Hoofdstuk 1
Complexe getallen 1.1
Rekenen met complexe getallen
1.1.1 We kunnen re¨ele getallen opvatten als punten van een rechte lijn, de getallenrechte. Net zo kunnen we complexe getallen opvatten als punten van het vlak. Om voor punten van het vlak de naam “getallen” waar te maken, moeten we een optelling en een vermenigvuldiging voor punten in het vlak gaan defini¨eren. In deze paragraaf bespreken we • het begrip complex getal, • de optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen, • de beschrijving van complexe getallen in termen van poolco¨ordinaten, • quoti¨enten van complexe getallen, • de geconjugeerde van een complex getal, • diverse rekenregels, • de meetkundige interpretatie van complexe getallen. 1.1.2 We nemen in het platte vlak een loodrecht assenstelsel. Van dit assenstelsel noemen we de horizontale as de re¨ele as en de verticale as de imaginaire as. Ieder punt in het vlak wordt ten opzichte van dit assenstelsel bepaald door twee co¨ ordinaten a en b, die uiteraard re¨eel zijn. We noemen het punt (a, b) een complex getal, dat we in de regel in plaats van met (a, b) zullen noteren als a + bi. De punten (a, 0) op de eerste as noteren we eenvoudigweg met a en de punten (0, b) op de tweede as met bi. In het bijzonder is i het 33
34
Complexe getallen
punt (0, 1). Voor een complex getal gebruiken we vaak de letter z of w. De verzameling complexe getallen wordt aangegeven met C. bi imaginaire as
z = a + bi
-
0
a
6
re¨ele as
1.1.3 (Som) We defini¨eren de som van twee complexe getallen z1 = a1 + b1 i en z2 = a2 + b2 i als volgt: z1 + z2 := (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i. Bijvoorbeeld is (1 + i) + (−2 + 4i) = −1 + 5i. Optelling van complexe getallen is dus de co¨ordinaatsgewijze optelling in het vlak. Meetkundig is het de bekende vectoroptelling. Door uitschrijven gaan we eenvoudig na dat voor deze optelling van complexe getallen alle rekenregels gelden die we van de optelling van re¨ele getallen kennen. Bijvoorbeeld is de optelling commutatief : voor alle complexe getallen z en w geldt z + w = w + z. De optelling is ook associatief : voor alle complexe getallen z1 , z2 , z3 geldt (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ). 1.1.4 (Product) We defini¨eren het product van twee complexe getallen z1 = a1 + b1 i en z2 = a2 + b2 i door z1 z2 := (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 ) i. Dit lijkt een ingewikkelde formule, maar hij is eenvoudig te onthouden. Werk het product (a1 + b1 i) (a2 + b2 i) uit, gebruik makend van de rekenregels voor re¨ele getallen, en gebruik als extra eigenschap i2 = − 1, dan volgt de formule van het rechterlid. Ga na dat (1 + i) (−2 + 4i) = −2 + 4i + (−2)i + i(4i) = −6 + 2i. Vanwege de manier waarop we deze vermenigvuldiging gedefinieerd hebben is het niet verwonderlijk dat voor de vermenigvuldiging van complexe getallen en de interactie met de optelling van complexe getallen dezelfde rekenregels gelden als voor de re¨ele getallen, met de extra eigenschap i2 = − 1. De verificatie hiervan is betrekkelijk veel maar eenvoudig rekenwerk. Naast commutativiteit en associativiteit is de zogenaamde distributiviteit van de vermenigvuldiging over de optelling een voorbeeld van zo’n rekenregel: voor alle complexe getallen z1 , z2 , z3 geldt z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 .
1.1 Rekenen met complexe getallen
35
1.1.5 (Absolute waarde en argument) Vermenigvuldiging van complexe getallen heeft ook een meetkundige interpretatie. Daarbij gebruiken we de nu te bespreken absolute waarde en argument, zie verder 1.1.9 en 1.1.12. We kunnen in het vlak een punt, behalve in Cartesische co¨ordinaten, ook weergeven met poolco¨ ordinaten: • de absolute waarde is de afstand tot de oorsprong; • het argument is de hoek met de positieve x–as. De absolute waarde van het complexe getal z = a + bi (met a en b re¨eel!) √ 2 is gelijk aan a + b2 . Het argument is slechts op een veelvoud van 2π na bepaald. Als we het argument kiezen tussen −π en π dan spreken we van de hoofdwaarde van het argument. De hoofdwaarde van het argument van punten op de negatieve re¨ele as is π. Voor de oorsprong is het argument ongedefinieerd. z O
I
|z|
arg(z) R
Als een complex getal z absolute waarde |z| en argument ϕ heeft, dan zijn de co¨ ordinaten respectievelijk |z| cos ϕ en |z| sin ϕ, zodat we dat complexe getal kunnen schrijven als z = |z| cos ϕ + i|z| sin ϕ, z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
of
√ 1.1.6 Voorbeeld. Het complexe getal i heeft absolute waarde 02 + 12 = 1 en argument π/2. p √ Het complexe getal −1 + i heeft absolute waarde (−1)2 + 12 = 2; de hoofdwaarde van het argument is 3π/4. Het getal is dus ook te schrijven als √ 2 (cos(3π/4) + i sin(3π/4)). Het voordeel van deze schrijfwijze is dat we onmiddellijk zien wat absolute waarde en argument van −1 + i zijn. 1.1.7 (Re¨ ele en imaginaire deel) Als z = a + bi met a, b ∈ R, dan heten a en b respectievelijk het re¨ele deel van z, genoteerd door Re(z), en het imaginaire deel van z, genoteerd door Im(z). Re en Im zijn dus afbeeldingen van C
36
Complexe getallen
naar R. Merk op dat het imaginaire gedeelte van een complex getal re¨eel is! De volgende eigenschappen volgen direct uit de definities: Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ), Re(z1 z2 ) = Re(z1 )Re(z2 ) − Im(z1 )Im(z2 ), Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ), Im(z1 z2 ) = Re(z1 )Im(z2 ) + Im(z1 )Re(z2 ). Uit de absolute waarde en het argument van een complex getal z kunnen we eenvoudig het re¨ele en imaginaire gedeelte vinden: Re(z) = |z| cos(arg(z)), Im(z) = |z| sin(arg(z)). Omgekeerd vinden we uit het re¨ele en imaginaire gedeelte de absolute waarde van z met de formule p |z| = Re(z)2 + Im(z)2 .
Vaak denkt men dat (de hoofdwaarde van) het argument gegeven wordt door de formule ³ Im(z) ´ . arg(z) = arctan Re(z) Dit is juist als Re(z) > 0, maar in het algemeen onjuist. Ga dit zelf na aan de hand van het complexe getal −1 − i. De volgende (niet zo belangrijke) formule is wel correct als z niet op de negatieve re¨ele as ligt: arg(z) = 2 arctan
Im(z) . |z| + Re(z)
1.1.8 (Driehoeksongelijkheid) De absolute waarde heeft de volgende eigenschap: |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. Deze eigenschap staat bekend als de driehoeksongelijkheid. Zie verder Opgave 6. 1.1.9 (Absolute waarde en argument: rekenregels) Beschouw twee complexe getallen z1 en z2 met poolco¨ordinaten (|z1 |, ϕ1 ) en (|z2 |, ϕ2 ), respectievelijk. Dan geldt z1 = |z1 | cos ϕ1 + i |z1 | sin ϕ1 , z2 = |z2 | cos ϕ2 + i |z2 | sin ϕ2 ,
1.1 Rekenen met complexe getallen
37
waaruit volgt: ³ z1 z2 = |z1 | |z2 | (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) +
´ i(cos ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ2 sin ϕ1 ) ³ ´ = |z1 | |z2 | cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) .
Hieruit volgen de volgende twee belangrijke formules (mod=modulo): |z1 z2 | = |z1 | |z2 |, arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 )
(mod 2π).
(1.1)
Door herhaald toepassen van deze regels vinden we voor n complexe getallen z1 , z2 , . . . , zn : |z1 z2 · · · zn | = |z1 | |z2 | · · · |zn |, arg(z1 z2 · · · zn ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + · · · + arg(zn )
(mod 2π).
(1.2)
Zijn z1 , z2 , . . . , zn alle gelijk aan het getal z, dan vinden we: |z n | = |z|n , arg(z n ) = n arg(z)
(mod 2π).
(1.3)
1.1.10 (Het quoti¨ ent) Voor ieder complex getal z 6= 0 bestaat ook ‘1/z’. Immers, 1/z dient te voldoen aan z (1/z) = 1, dus wegens formule (1.1) aan |z| |1/z| = |1| = 1 , arg(z) + arg(1/z) = arg(1) = 0, zodat we 1/z in poolco¨ ordinaten kunnen defini¨eren door ¯1¯ ¯ ¯ = 1, z |z| arg(1/z) = − arg(z). Het quoti¨ent z/w van twee complexe getallen (met w 6= 0) defini¨eren we nu als het product z (1/w). In termen van poolco¨ ordinaten volgt met formule (1.1) voor het quoti¨ent: |z/w| = |z|/|w|, arg(z/w) = arg(z) − arg(w)
(mod 2π).
(1.4)
38
Complexe getallen
Voor dit quoti¨ent gelden de gebruikelijke rekenregels; zo is bijvoorbeeld z 1 w1 z 1 w1 = . z 2 w2 z 2 w2 We kunnen van 1/z ook het re¨ele en imaginaire deel opsporen. Stel z = a+bi met a, b ∈ R en niet beide nul. Dan is 1 a − bi a − bi 1 = = = 2 . z a + bi (a + bi)(a − bi) a + b2 Ga na dat
1 3 − 4i = 3 + 4i 25
en dat
1+i 5−i = . 2 + 3i 13
1.1.11 (De geconjugeerde) Als z = a + bi met a, b ∈ R een complex getal is, dan heet a−bi de geconjugeerde van z, ook genoteerd als conj(z) of z¯. Conjugeren is dus spiegelen t.o.v. de re¨ele as. Ieder van de volgende eigenschappen kan eenvoudig nagegaan worden, meetkundig of door “invullen”. Re(z) Im(z) Re(z) Im(z) |z| arg(z) z1 + z2 z1 z2 z + z¯ z z¯
= = = = = = = = = =
Re(¯ z ), − Im(¯ z ), 1 ¯), 2 (z + z 1 (z − z¯), 2i |¯ z |, − arg(¯ z ), z1 + z2 , z1 · z 2 , 2 Re(z), |z|2 .
Merk op dat uit de laatste formule volgt 1 z¯ = 2 , z |z| in overeenstemming met 1.1.10. We vinden dus 1/z door eerst te spiegelen t.o.v. de x–as en dan door |z|2 te delen. 1.1.12 (Meetkundige interpretatie) Laat z = a+bi en w = c+di twee complexe getallen zijn. De absolute waarde |z − w| heeft p als meetkundige interpretatie de afstand van z tot w. Immers, |z − w| = (c − a)2 + (d − b)2 , terwijl de stelling van Pythagoras vertelt dat dit de afstand is van z tot w. Van deze interpretatie kunnen we soms gebruik maken:
1.1 Rekenen met complexe getallen
39
• De vergelijking |z − i| = 5 heeft als oplossingen precies die complexe getallen z die afstand 5 tot i hebben. Dit is een cirkel om i met straal 5. Natuurlijk kunnen we deze vergelijking ook omwerken tot de bekende vergelijking van een cirkel: als z = x + iy, dan volgt |z − i| = 5 ⇔ |z − i|2 = 25 ⇔ |x + (y − 1)i|2 = 25 ⇔ x2 + (y − 1)2 = 25. • De vergelijking |z − a| = |z − b| heeft als oplossingen alle punten z die dezelfde afstand tot a en b hebben. Dit is de middelloodlijn tussen a en b. Er is ook een meetkundige interpretatie voor het vermenigvuldigen met een complex getal; deze interpretatie volgt uit 1.1.9. We illustreren haar aan de hand van het vermenigvuldigen met i. Als z 6= 0, dan is |zi| = |z| · |i| = |z|, terwijl arg(zi) = arg(z) + arg(i) = arg(z) + π/2. Met andere woorden, zi wordt uit z verkregen door z over de hoek π/2 te roteren. Op een zelfde manier volgt dat z vermenigvuldigen √ met 1 + i betekent dat we z in absolute waarde oprekken met een factor 2 en het resultaat draaien over de hoek π/4. 1.1.13 Rekenen met complexe getallen vereist een redelijke rekenvaardigheid. We dienen steeds een keuze te maken of we de representatie in Cartesische co¨ordinaten of in poolco¨ ordinaten zullen gebruiken. Ruwweg kunnen we daarbij de volgende vuistregels hanteren: • als de berekening hoofdzakelijk optellingen bevat, dan is gebruik van Cartesische co¨ ordinaten raadzaam; • als de berekening hoofdzakelijk vermenigvuldigingen bevat, dan is rekenen in poolco¨ ordinaten aan te bevelen. Bij het oplossen van vergelijkingen speelt een rol dat twee complexe getallen aan elkaar gelijk zijn dan en slechts dan als zowel de re¨ele als imaginaire gedeelten aan elkaar gelijk zijn; voor twee complexe getallen ongelijk 0 geldt dat ze gelijk zijn dan en slechts dan als ze dezelfde absolute waarden hebben en de argumenten op een veelvoud van 2π na gelijk zijn. Met deze eigenschappen kunnen we complexe vergelijkingen omzetten in re¨ele vergelijkingen. Dat is overigens niet altijd handig of nodig. 1.1.14 Voorbeeld. We lossen de vergelijking z 2 = 2i op.
40
Complexe getallen • (Eerste oplossing) Bij deze oplossing schrijven we z = x + iy (met x en y re¨eel) en vullen in: x2 + 2ixy − y 2 = 2i. Gelijkstellen van de re¨ele en imaginaire delen levert de twee vergelijkingen x2 − y 2 = 0 en 2xy = 2. Uit de eerste vergelijking (voor de re¨ele getallen x en y) volgt x = y of x = −y. Invullen in de tweede geeft x2 = 1 en x2 = −1. De vergelijking x2 = −1 heeft geen (re¨ele!) oplossingen en de vergelijking x2 = 1 leidt tot x = 1 of x = −1. We vinden ten slotte de twee oplossingen 1 + i en −1 − i. • (Tweede oplossing) Gebruik makend van de absolute waarde en het argument redeneren we als volgt. z 2 = 2i ⇔ |z 2 | = 2 en arg(z 2 ) = π/2 + 2kπ (k geheel) ⇔ |z|2 =√2 en 2 arg(z) = π/2 + 2kπ (k geheel) ⇔ |z| = 2 en arg(z) = π/4 + kπ (k geheel). Hieruit volgen de twee oplossingen √ √ 2 (cos(π/4) + i sin(π/4)) en 2 (cos(5π/4) + i sin(5π/4)) (we gebruiken enkel de waarden k = 0 en k = 1, omdat we voor k = 2 weer dezelfde oplossing vinden als voor k = 0, voor k = 3 dezelfde oplossing als voor k = 1 enz.). Ga na dat dit dezelfde getallen zijn als beschreven in de eerste oplossing.
1.2
De complexe e–macht, sinus en cosinus
Tot nu toe kunnen we met complexe getallen alleen optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen, en machtsverheffen tot een gehele macht. We zullen nu laten zien hoe we in de complexe getallen de e–macht en de sinusen cosinusfunctie defini¨eren. 1.2.1 Definitie. (Complexe e–macht) Voor ieder complex getal z defini¨eren we het complexe getal ez door |ez | = eRe(z) , arg(ez ) = Im(z) .
1.2 De complexe e–macht, sinus en cosinus
41
1.2.2 Merk op dat we in deze definitie de van de re¨ele getallen bekende e–macht gebruiken. Als z een re¨eel getal is, dan is |ez | = ez en arg(ez ) = 0, dus definitie 1.2.1 levert de re¨ele e–macht op en breidt derhalve de definitieverzameling van de e–macht uit van R naar C. Omdat de re¨ele e–macht nooit 0 is, volgt dat de complexe e–macht ook nooit 0 is: |ez | = eRe(z) 6= 0, en een getal waarvan de absolute waarde ongelijk 0 is, is zelf ongelijk 0. 1.2.3 Voorbeeld. Het complexe getal eπi heeft absolute waarde eRe(πi) = e0 = 1 en argument Im(πi) = π zodat eπi = −1. Het getal e1+πi/2 heeft absolute waarde eRe(1+πi/2) = e1 en argument Im(1+πi/2) = π/2 zodat e1+πi/2 = e i. 1.2.4 Voorbeeld. Om de vergelijking ez = 1+i op te lossen stellen we de absolute waarden links en rechts gelijk en ook de argumenten. Met z = x+iy betekent dit √ π ex = 2 en y = + 2kπ met k geheel. 4 We vinden dus de volgende (oneindige) oplossingsverzameling: π 1 { log(2) + i( + 2kπ) | k ∈ Z }, 2 4 waarin log de natuurlijke logaritme is. 1.2.5 Stelling. ez1 ez2 = ez1 +z2 . Bewijs. |ez1 ez2 | = |ez1 | |ez2 | = eRe(z1 ) eRe(z2 ) = eRe(z1 )+Re(z2 ) , |ez1 +z2 | = eRe(z1 +z2 ) = eRe(z1 )+Re(z2 ) . Het linker– en het rechterlid hebben dus dezelfde absolute waarde. Ook geldt arg(ez1 ez2 ) = arg(ez1 ) + arg(ez2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) , arg(ez1 +z2 ) = Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) . Het linker– en het rechterlid hebben dus ook hetzelfde argument, en daarmee zijn ze gelijk. ¤ 1.2.6 Stelling. (ez )n bestaat voor ieder complex getal z en voor iedere gehele (dus ook negatieve) n. Voor iedere gehele n en iedere complexe z geldt (ez )n = enz .
42
Complexe getallen
Bewijs. Omdat voor iedere z het getal ez 6= 0, bestaat (ez )n voor iedere z en iedere gehele (dus ook negatieve) n. Resteert het bewijs van de gelijkheid (ez )n = enz . Voor positieve n is deze eigenschap een gevolg van de vorige. Voor n = 0 zijn linkerlid en rechterlid per definitie 1. Nu n = − 1. Wegens 1.1.10 is de absolute waarde van 1/ez gelijk aan ³ ´−1 |(ez )−1 | = |ez |−1 = eRe(z) = e− Re(z) = eRe(− z) en analoog vinden we voor het argument ³ ´ arg (ez )−1 = − arg(ez ) = − Im(z) = Im(− z) . Dus is (ez )−1 = e−z . Dat nu de eigenschap voor alle negatieve n waar is volgt uit Stelling 1.2.5. ¤ 1.2.7 Gevolg. e2πin = 1 , eπin = (− 1)n voor iedere gehele n. Beide eigenschappen volgen direct uit de definitie van ez en Stelling 1.2.6. 1.2.8 Stelling. De functie ez is periodiek met periode 2πi. Bewijs. ez+2πi = ez e2πi = ez · 1 = ez .
¤
1.2.9 De formules in Gevolg 1.2.7 zijn een bijzonder geval van een algemene eigenschap. Laat ϕ een re¨eel getal zijn. Dan is eiϕ een complex getal met absolute waarde 1 en argument ϕ, dus: Eigenschap. Voor ieder re¨eel getal ϕ geldt eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ . Deze relatie legt het verband tussen de e–macht, de sinus en de cosinus en geeft bovendien een andere veel gebruikte notatie voor een complex getal in termen van zijn absolute waarde en argument:
Zo is bijvoorbeeld 1 + i =
√
z = |z| ei arg z . 2 eπi/4 .
1.2.10 Uit 1.2.9 volgt voor re¨ele ϕ e−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ ,
1.2 De complexe e–macht, sinus en cosinus
43
zodat voor iedere re¨ele ϕ geldt ³ ´ eiϕ + e−iϕ ,
cos ϕ =
1 2
sin ϕ =
1 2i
³
´ eiϕ − e−iϕ .
We defini¨eren nu voor complexe z de sinus en de cosinus. 1.2.11 Definitie. (Complexe sinus en cosinus) ³ ´ cos z = 21 eiz + e−iz , sin z =
1 2i
³
eiz − e−iz
´
.
Wegens 1.2.9 resulteren deze definities voor het geval dat z re¨eel is in de van ouds bekende sinus en cosinus. 1.2.12 Stelling. De sinus en de cosinus zijn periodiek met periode 2π. Ook geldt sin2 (z) + cos2 (z) = 1
∀z ∈ C.
Bewijs. sin(z + 2π) =
1 2i
³
´ ei(z+2π) − e−i(z+2π) =
=
1 2i
³
´ eiz − e−iz = sin z,
1 2i
³
eiz e2πi − e−iz e−2πi
´
want e−2πi heeft absolute waarde 1 en argument − 2π, en is dus ook gelijk aan 1. Net zo tonen we aan dat de cosinus periodiek is met periode 2π. De betrekking sin2 (z) + cos2 (z) = 1 vinden we door de definities van sin(z) en cos(z) in te vullen. ¤ 1.2.13 Voorbeeld. Los op de vergelijking cos(z) = 2 . Het is duidelijk dat er binnen R geen oplossingen zijn. We moeten oplossen ´ 1 ³ iz e + e−iz = 2 . 2
44
Complexe getallen
Noem eiz = w, dan is w 6= 0 wegens 1.2.2 en vinden we de vergelijking w+
1 w
=4,
w2 − 4w + 1 = 0 , (w − 2)2 = 3 , w =2±
√
3.
Hieruit volgt |eiz | = e−Im(z) = |w| = 2 ±
√
3 , dus Im(z) = − log(2 ±
√
3) .
arg(eiz ) = Re(z) = arg w = 0 (mod 2π), dus Re(z) = k 2π , k ∈ Z . Alle oplossingen van de vergelijking zijn dus √ z = − i log(2 + √3) + k · 2π , k ∈ Z, z = − i log(2 − 3) + k · 2π , k ∈ Z. Merk op dat de absolute waarde van de complexe cosinus dus niet altijd kleiner dan of gelijk is aan 1, zoals voor de re¨ele cosinus! 1.2.14 Stelling. ez = ez¯, sin(z) = sin(¯ z ), cos(z) = cos(¯ z ). Bewijs. z Re(z) = eRe(¯ z) , z ³ |e ´| = |e | = e = − arg(ez ) = − Im(z) = Im(¯ z ), arg ez
dus ez = ez¯.
´ ³ 1 ´³ ´ ´ 1 ³ ¯i¯z 1 ³ iz ¯ e − e−iz = e − e−i¯z eiz − e−iz = − 2i 2i 2i ´ ´ 1 ³ −i¯z 1 ³ i¯z =− e − ei¯z = e − e−i¯z 2i 2i
sin(z) =
= sin(¯ z ). De formule voor cos(z) wordt analoog bewezen.
¤
1.3 Complexe polynomen
45
1.2.15 Met de rekenregel ez ew = ez+w voor de complexe e–macht zijn de diverse gonioformules snel af te leiden en handig te onthouden. Herschrijf bijvoorbeeld de gelijkheid e2it = eit eit (voor re¨ele t) als volgt: cos(2t) + i sin(2t) = (cos t + i sin t)(cos t + i sin t). Werk het rechterlid uit en vergelijk het re¨ele deel en het imaginaire deel van het linkerlid en van het uitgewerkte rechterlid: cos(2t) = cos2 t − sin2 t en sin(2t) = 2 sin t cos t. Deze formules gelden ook voor complexe waarden van t; dat is eenvoudig te verifi¨eren door de definitie van de complexe sinus en cosinus toe te passen. Uit de gelijkheid eia eib = ei(a+b) is op soortgelijke manier af te leiden dat cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b; sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
1.3
Complexe polynomen
1.3.1 Het oplossen van vergelijkingen is een belangrijke bezigheid in de wiskunde. Met complexe getallen kunnen we meer vergelijkingen aan dan enkel met re¨ele getallen. Een veel voorkomend type vergelijking is de veeltermvergelijking of polynoomvergelijking. In deze paragraaf bespreken we het begrip complex polynoom en een aantal typen polynoomvergelijkingen. 1.3.2 (Complexe polynomen) Een uitdrukking van de gedaante an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 waarin a0 , . . . , an complexe getallen zijn, heet een complex polynoom (of complexe veelterm) in z. Als an 6= 0 dan heet n de graad van het polynoom. De getallen a0 , . . . , an heten de co¨effici¨enten van het polynoom. Zijn ze alle re¨eel, dan noemen we het polynoom re¨eel. Laat p(z) een polynoom zijn. Als p(α) = 0, dan heet α een nulpunt van het polynoom of ook wel een wortel of oplossing van de (polynoom)vergelijking p(z) = 0. We gebruiken in deze paragraaf, en ook later, regelmatig de formules (1.2) en (1.3): |z1 z2 · · · zn | = |z1 | |z2 | · · · |zn |, arg(z1 z2 · · · zn ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + · · · + arg(zn )
(mod 2π)
46
Complexe getallen
en in het bijzonder als z1 = z2 = ... = zn = z: |z n | = |z|n , arg(z n ) = n arg(z)
(mod 2π).
1.3.3 Voorbeeld. We bepalen alle oplossingen in C van z3 = i . Zo’n oplossing moet voldoen aan |z 3 | = |z|3 = |i| = 1 , dus |z| = 1 . Ook moet gelden arg(z 3 ) = 3 arg(z) = arg(i) =
π + k · 2π , k ∈ Z , 2
zodat
π 2π +k· , k∈Z. 6 3 Op veelvouden van 2π na vinden we dus slechts 3 verschillende waarden van arg(z), namelijk voor k = 0, 1 en 2. De drie oplossingen van de vergelijking zijn dus arg(z) =
z = cos
π π + i sin , 6 6
z = cos
5π 5π + i sin , 6 6
z = cos
9π 9π + i sin . 6 6
1.3.4 Net zo als in dit voorbeeld lossen we in het algemeen de vergelijking zn = a op, waarin n een natuurlijk getal is en a een complex getal met a 6= 0. Immers, uit z n = a volgt p |z n | = |z|n = |a| , dus |z| = n |a| ,
arg(z n ) = n arg(z) = arg(a) + k · 2π , k ∈ Z , 2π 1 , k∈Z. arg(z) = arg(a) + k · n n Op veelvouden van 2π vinden we dus n verschillende waarden voor arg z, namelijk voor k = 0, ..., n − 1. De vergelijking p z n = a heeft dus n verschillende oplossingen, die alle n op de cirkel |z| = |a| liggen en waarvan de onderlinge hoekafstand van twee opeenvolgende 2π/n is. Hieronder zijn de vier oplossingen van z 4 = 1 geschetst.
1.3 Complexe polynomen
47 i
−1
1
−i De vergelijking z n = 0 geeft aanleiding tot ‘n’ vergelijkingen z = 0. De vergelijking z n = 0 heeft dus n samenvallende oplossingen 0. Zie ook 1.3.6. In het bijzonder heeft de vergelijking z 2 = a , a 6= 0 twee oplossingen, beide met absolute waarde 1 1 2 arg(a) en 2 arg(a) + π als argument.
p |a| en met respectievelijk
We onderzoeken nu in het algemeen de nulpunten van een ne graads complex polynoom p(z). 1.3.5 Stelling. Als voor een complex polynoom p(z) van graad n geldt p(α) = 0, dan bevat p(z) een factor z − α, d.w.z. er bestaat een polynoom q(z) van graad n − 1 zo dat p(z) = (z − α) q(z) . Bewijs. Voor iedere keuze van α kunnen we p(z) delen door z − α. We vinden dan een quoti¨ent q(z) en een rest r, een complex getal. Dus: r p(z) = q(z) + , z−α z−α p(z) = (z − α)q(z) + r . Nu is p(α) = 0, zodat 0 = p(α) = (α − α)q(α) + r dus r = 0.
¤
1.3.6 Als p(α) = 0, dan kan p(z) geschreven worden als (z − α)q(z). Als q(α) = 0, dan bevat ook q(x) een factor (z − α), en geldt dus p(z) = (z − α)2 r(z) , enz.
48
Complexe getallen
Definitie. α heet een nulpunt van multipliciteit m van een complex polynoom p(z) als er een polynoom t(z) met t(α) 6= 0 bestaat zo dat p(z) = (z − α)m t(z) .
De multipliciteit van een nulpunt α is dus het aantal factoren (z − α) van p(z). 1.3.7 Als p(z) een polynoom van graad n is, dan volgt direct uit het voorgaande dat het aantal nulpunten van p(z), ieder geteld met zijn multipliciteit, hoogstens n is. In feite geldt een nog veel sterkere eigenschap. 1.3.8 Stelling. (Hoofdstelling van de algebra) Ieder complex polynoom van graad n heeft precies n nulpunten als ieder nulpunt geteld wordt met zijn multipliciteit. Het bewijs van deze stelling valt buiten het kader van deze cursus. Merk op dat we de stelling al bewezen hebben voor polynomen van het type z n − a. Merk ook op dat de hoofdstelling van de algebra niet geldt binnen de re¨ele getallen: x2 + 1 is een re¨eel polynoom van graad 2 dat binnen R geen nulpunten heeft. 1.3.9 (Graad 1) Voor polynomen van graad 1 is het nulpunt altijd direct te vinden: Uit az + b = 0 , a 6= 0 volgt z = − b/a.
1.3.10 (Graad 2) We beschouwen nu polynomen van graad 2: az 2 + bz + c , a 6= 0 . We herschrijven het polynoom als volgt b b 4ac − b2 az 2 + bz + c = a(z 2 + z) + c = a(z + )2 + . a 2a 4a Noem nu z +
b 2a
= w, dan vinden we de (kwadratische) vergelijking
b2 − 4ac . 4a2 Deze heeft twee oplossingen voor w (tenzij b2 − 4ac = 0), zie 1.3.4, waaruit direct de twee oplossingen voor z volgen. Bovenstaande techniek heet kwadraat afsplitsen. Merk op dat we de abc–formule niet gebruiken; die geeft aanleiding tot wortels van complexe getallen en die hebben we niet gedefinieerd. w2 =
1.3 Complexe polynomen
49
1.3.11 Voorbeeld. Beschouw de vergelijking z 2 + (2 + 4i)z + i = 0 . Kwadraat afsplitsen levert (z + (1 + 2i))2 = −3 + 3i , zodat wegens 1.3.4. z + 1 + 2i =
√ 4
18(cos(
3π 3π ) + i sin( )) of 8 8
z + 1 + 2i =
√ 4
18(cos(
11π 11π ) + i sin( )). 8 8
Hieruit volgt z = −1 + z = −1 −
√ 4
18 cos(
√ 3π 3π ) + i(− 2 + 4 18 sin ) 8 8
√ 4
18 cos(
√ 3π 3π ) + i(− 2 − 4 18 sin ). 8 8
of
1.3.12 (Graad 3 en hoger) Het is nog mogelijk om voor polynomen van graad 3 en graad 4 algoritmen te geven die leiden naar de drie of vier nulpunten van deze polynomen. Voor polynomen van graad hoger dan vier bestaan dergelijke algoritmen niet, en is het dus betrekkelijk toevallig als we de nulpunten exact kunnen vinden. Uiteraard bestaan er algoritmen die de nulpunten numeriek benaderen. Tot slot van deze paragraaf besteden we enige aandacht aan polynomen waarvan de co¨effici¨enten re¨eel zijn. 1.3.13 Stelling. Beschouw het polynoom p(z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 , waarin an , an−1 , ..., a1 , a0 re¨eel zijn. Als het complexe getal α voldoet aan p(α) = 0, dan geldt ook p(¯ α) = 0. Bewijs. Gegeven is an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 = 0 .
50
Complexe getallen
Complex conjugeren geeft an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 = ¯0 . Toepassen van de rekenregels 1.1.11. levert dan an α ¯ n + an−1 α ¯ n−1 + · · · + a1 α ¯ + a0 = 0, dus p(¯ α) = 0.
¤
1.3.14 Gevolg. Elk polynoom (ongelijk het nulpolynoom) met re¨ele co¨effici¨enten is ontbindbaar in factoren van graad 1 of 2 met re¨ele co¨effici¨enten. Bewijs. Laat p(z) een polynoom met re¨ele co¨effici¨enten zijn. Als α een re¨eel nulpunt van p is, dan kan p(z) geschreven worden als p(z) = (z − α)q(z) , waarin q ook een polynoom met re¨ele co¨effici¨enten is. Als α een niet–re¨eel nulpunt is, dan is α ¯ ook een nulpunt en is p(z) = (z − α)(z − α ¯ ) r(z) 2 = (z − (α + α ¯ )z + αα ¯ ) r(z) = (z 2 − 2Re(α)z + |α|2 ) r(z) . De eerste factor heeft re¨ele co¨effici¨enten, dus r(z) ook. Aangezien q(z) en r(z) lagere graad hebben dan p(z), kunnen we deze constructie herhalen, net zo lang tot we voor q(z) of r(z) een polynoom van graad 0, dus een re¨ele constante, gevonden hebben. ¤ 1.3.15 Voorbeeld. Van het polynoom p(z) = z 5 − 6z 4 + 25z 3 − z 2 + 6z − 25 is gegeven dat 3 − 4i een nulpunt is. We gaan dit polynoom ontbinden in re¨ele factoren van graad 1 en 2. Omdat het polynoom re¨ele co¨effici¨enten heeft, is 3 + 4i ook een nulpunt, en moet het een factor (z − 3 + 4i)(z − 3 − 4i) = z 2 − 6z + 25 bevatten. Een staartdeling geeft dan p(z) = (z 2 − 6z + 25)(z 3 − 1) . De laatste factor heeft z = 1 als nulpunt en bevat dus een factor z − 1: p(z) = (z 2 − 6z + 25)(z − 1)(z 2 + z + 1) .
De derde factor is verder onontbindbaar.
1.4 Complexwaardige functies van een re¨ ele variabele, harmonische trillingen
1.4
51
Complexwaardige functies van een re¨ ele variabele, harmonische trillingen
1.4.1 We beschouwen in deze paragraaf complexwaardige functies van een re¨ele variabele t, gedefinieerd op een interval I. Aan de orde komen: • continu¨ıteit van zulke functies, • differentiatie en integratie van dergelijke functies, • de rol van deze functies bij de beschrijving van harmonische trillingen. 1.4.2 Als we de variabele van een complexwaardige functie als de tijd opvatten dan vormen de functiewaarden een “baan” in het complexe vlak. Een voorbeeld is de functie f (t) = eit , waarin t de re¨ele getallen doorloopt. Voor iedere t is f (t) een complex getal met co¨ ordinaten (cos t, sin t). Als t een interval met lengte 2π doorloopt, dan beschrijft f (t) een cirkel in C om de oorsprong met straal 1. Beschouwen we t als de tijd, dan beschrijft f (t) een eenparige cirkelbeweging. 1.4.3 Definitie. (Re¨ ele en imaginaire deel) Laat f : I → C een complexwaardige functie zijn. Dan defini¨eren we Re(f ) : I → R en Im(f ) : I → R voor alle t ∈ I door Re(f )(t) = Re(f (t)), Im(f )(t) = Re(f (t)). Dus f (t) = (Re f )(t) + i(Im f )(t). 1.4.4 (Continu¨ıteit) Een complexwaardige functie f : I → C heet continu in t = α ∈ I als lim f (t) = f (α) , t→α
dus als
³ ´ ³ ´ lim Re(f )(t), Im(f )(t) = Re(f )(α), Im(f )(α) .
t→α
Hieruit volgt dat een complexwaardige functie f continu in t = α is dan en slechts dan als de beide co¨ ordinaatfuncties Re(f ) en Im(f ) continu zijn in t = α. Daaruit volgt weer dat de complexwaardige functie f continu is op I dan en slechts dan als de beide co¨ordinaatfuncties Re(f ) en Im(f ) continu zijn op I. In het bijzonder vinden we dat als de beide co¨ordinaatfuncties
52
Complexe getallen
Re(f ) en Im(f ) combinaties (som, product, quoti¨ent – let wel op delen door 0 – en samenstelling) zijn van continue functies gedefinieerd op I, de functie f continu is op I. 1.4.5 (Differentieerbaarheid) Een complexwaardige functie f : I → C heet differentieerbaar in t = α als lim
∆t→0
f (α + ∆t) − f (α) = f ′ (α) ∆t
bestaat. Uiteraard is f ′ (α) hier een complex getal. Noteren we f (α + ∆t) − f (α) door ∆f , dan geldt dus voor kleine ∆t ∆f ≃ f ′ (α)∆t . De richting van f ′ (α) is dus de richting van de raakvector aan de baan. 1.4.6 Stelling. f ′ (α) = Re(f )′ (α) + i Im(f )′ (α). Bewijs. f (α + ∆t) − f (α) ∆t Re(f )(α + ∆t) + iIm(f )(α + ∆t) − Re(f )(α) − iIm(f )(α) = lim ∆t→0 ∆t Re(f )(α + ∆t) − Re(f )(α) = lim + ∆t→0 ∆t Im(f )(α + ∆t) − Im(f )(α) +i lim ∆t→0 ∆t = Re(f )′ (α) + iIm(f )′ (α) ¤
f ′ (α) = lim
∆t→0
Deze stelling zegt dus dat het re¨ele gedeelte van de afgeleide de afgeleide is van het re¨ele gedeelte, en analoog dat het imaginaire gedeelte van de afgeleide de afgeleide is van het imaginaire gedeelte. 1.4.7 Eigenschap. Net zo als dat bij re¨eelwaardige functies gebeurt, tonen we de volgende eigenschappen van het differenti¨eren van complexwaardige functies aan: • optelregel: (f + g)′ (α) = f ′ (α) + g ′ (α); • productregel: (f g)′ (α) = f ′ (α)g(α) + f (α)g ′ (α).
1.4 Complexwaardige functies van een re¨ ele variabele, harmonische trillingen
53
1.4.8 In principe kunnen we de afgeleide van een complexwaardige functie vinden door het re¨ele en het imaginaire deel afzonderlijk te differenti¨eren en de resultaten weer samen te voegen volgens Stelling 1.4.6. Vaak is dat onhandig. Met de definitie van afgeleide gaan we eenvoudig na dat d (a t) = a dt voor ieder complex getal a. Daaruit leiden we met de optel– en productregel direct af dat d (an tn + an−1 tn−1 + · · · + a1 t + a0 ) = n an tn−1 + (n − 1)an−1 tn−2 + · · · + a1 dt waarin an , ..., a0 complexe getallen zijn. De volgende eigenschap is wat we op grond van de kettingregel zouden verwachten: 1.4.9 Stelling. Laat a(t) een complexwaardige differentieerbare functie zijn. Dan is d a(t) e = a′ (t)ea(t) . dt Bewijs. We splitsen ea(t) in het re¨ele en imaginaire gedeelte, differenti¨eren en voegen het resultaat weer samen; hiervoor gebruiken we x(t) = Re(a(t)) en y(t) = Im(a(t)). ea(t) = ex(t)+iy(t) = ex(t) cos y(t) + i ex(t) sin y(t), dus, gebruik makend van de regels voor re¨eelwaardige functies en van stelling 1.4.6, vinden we: d a(t) e = ex(t) x′ (t) cos y(t) − ex(t) y ′ (t) sin y(t) + dt i ex(t) x′ (t) sin y(t) + i ex(t) y ′ (t) cos y(t) = ex(t) x′ (t) cos y(t) + i ex(t) x′ (t) sin y(t) + i ex(t) y ′ (t) cos y(t) + i2 ex(t) y ′ (t) sin y(t) = ex(t) (cos y(t) + i sin y(t))(x′ (t) + iy ′ (t)) = ea(t) a′ (t). ¤
54
Complexe getallen
1.4.10 Voorbeeld. d2 dt2
´ ³ ´ ³ 2 d (1+4i)t e et sin 4t = Im dt 2 ¡ ¢ = Im (1 + 4i)2 e(1+4i)t ¡ ¢ = Im (− 15 + 8i)et (cos 4t + i sin 4t) = 8et cos 4t − 15et sin 4t.
1.4.11 (Integratie) We gaan nu over tot bepaalde en onbepaalde integralen van een complexwaardige functie f . De bepaalde integraal Zb
f (t) dt
a
wordt net zo gedefinieerd als voor een re¨eelwaardige functie. We verdelen het interval [a, b] in eindig veel deelintervalletjes met lengte (∆t)i , kiezen in ieder deelinterval een punt ξi en vormen de Riemannsom n X
f (ξi ) (∆t)i
i=1
De integraal is nu de limiet van de Riemannsom voor maximale deelintervallengte naar nul. Nu geldt voor de Riemannsom n X
f (ξi )(∆t)i =
i=1
n X
Re(f )(ξi )(∆t)i + i
i=1
n X
Im(f )(ξi )(∆t)i ,
i=1
zodat we vinden voor de limiet voor maximale deelintervallengte naar nul Zb a
f (t) dt =
Zb a
Re(f )(t)dt + i
Zb
Im(f )(t)dt.
a
Deze eigenschap zegt dus dat het re¨ele gedeelte van een integraal de integraal van het re¨ele gedeelte is, en dat het imaginaire gedeelte van een integraal de integraal van het imaginaire gedeelte is.
1.4 Complexwaardige functies van een re¨ ele variabele, harmonische trillingen
55
1.4.12 Stel F is een primitieve van de complexwaardige functie f . Dan is Re(F )′ = Re(f ) en Im(F )′ = Im(f ) zodat Zb
f (t)dt =
a
Zb
Re(f )(t)dt + i
a
Zb
Im(f )(t)dt
a
= Re(F )(b) − Re(F )(a) + i(Im(F )(b) − Im(F )(a)) = F (b) − F (a). De hoofdstelling van de integraalrekening geldt dus ook voor complexwaardige functies. 1.4.13 De volgende eigenschappen komen bij toepassingen veel voor. Stel T > 0 en definieer ω = 2π T . Dan is voor n ∈ Z, n 6= 0 ZT
einωt dt =
0
=
1 inωt ¯¯T e ¯ inω t=0 ´ 1 ³ 2πin e − e0 = 0, inω
en voor n = 0 is ZT
i0ωt
e
dt =
0
ZT
dt = T.
0
De voor re¨eelwaardige functies geldende regels voor parti¨ele integratie en substitutie gelden ook voor complexwaardige functies. 1.4.14 Voorbeeld. We bepalen voor iedere n ∈ Z 1 cn = 2
Z1
t e2πint dt
0
Parti¨ele integratie levert voor n 6= 0 Z1 ¯1 1 t 2πint ¯ e e2πint dt . cn = ¯ − 4πin 4πin 0 0
56
Complexe getallen
Deze laatste integraal is 0 wegens het vorige voorbeeld, dus 1 i =− voor n 6= 0 4πin 4πn = 1/4.
cn = c0
1.4.15 Complexe e–machten worden vaak gebruikt bij het beschrijven van harmonische trillingen. 1.4.16 Definitie. (Harmonische trilling) Laat A een positief re¨eel getal zijn en ω en ϕ re¨ele getallen. Dan heet de functie A cos(ωt + ϕ) (t ∈ R) een harmonische trilling met amplitudo A, hoeksnelheid ω en fasehoek ϕ. In plaats van het woord hoeksnelheid wordt vaak het woord hoekfrequentie, of soms zelfs kortweg frequentie, gebruikt. 1.4.17 Een harmonische trilling is periodiek, en de periode is T =
2π . ω
Deze periode heet de trillingstijd. De frequentie (in Herz) is het aantal trillingen per tijdseenheid, dus gelijk aan 1/T . De hoekfrequentie is dus 2π maal zo groot als de frequentie in Herz. 1.4.18 Laat a een complex getal zijn met absolute waarde A en argument ϕ. Dan is a = A(cos ϕ + i sin ϕ) = Aeiϕ . Dan is
a eiωt = A eiϕ eiωt = Aei(ωt+ϕ) = A cos(ωt + ϕ) + iA sin(ωt + ϕ),
zodat A cos(ωt + ϕ) = Re(a eiωt ). Iedere harmonische trilling is dus het re¨ele gedeelte van de complexwaardige functie a eiωt . Omgekeerd, als t de re¨ele getallen doorloopt, dan beschrijft a eiωt
1.4 Complexwaardige functies van een re¨ ele variabele, harmonische trillingen
57
een baan in het complexe vlak, in parametervoorstelling gegeven door ½ x = A cos(ωt + ϕ) y = A sin(ωt + ϕ). Dit is de parametervoorstelling van een eenparige cirkelbeweging in het vlak om de oorsprong met straal A, hoeksnelheid ω en starthoek ϕ. Iedere harmonische trilling is dus de projectie op de re¨ele as van zo’n eenparige cirkelbeweging in het complexe vlak. Voor de meeste berekeningen met harmonische trillingen blijkt dat werken met het re¨ele gedeelte niet echt handig is. We hebben echter al een eenvoudige formule voor het re¨ele gedeelte van een complex getal gezien: 1 Re(z) = (z + z¯) . 2 Voor de harmonische trilling vinden we dus ´ 1³ ´ ³ ´ 1³ a eiωt + a eiωt = a eiωt + a ¯ e−iωt . A cos(ωt + ϕ) = Re a eiωt = 2 2 Merk op dat a ¯ e−iωt de gespiegelde t.o.v. de re¨ele as is van aeiωt . De harmonische trilling is dus de som van twee gespiegelde eenparige cirkelbewegingen in het complexe vlak en omgekeerd. 1.4.19 Voorbeeld. ³ ³ ´ ´ 1 e3it − e−3it + 12 · 21 e3it + e−3it 5 sin(3t) + 12 cos(3t) = 5 · 2i ³ ´ ³ ´ = 6 − 52 i e3it + 6 + 25 i e−3it . Inderdaad is 5 sin(3t) + 12 cos(3t) de som van twee geconjugeerde eenparige cirkelbewegingen³in het ´complexe vlak en dus een harmonische trilling. Stel ϕ = arg 6 − 25 i = arctan −5 12 . Dan is 5 sin 3t + 12 cos(3t) = =
13 iϕ 3it 2 e e 13 2
³
+
13 −iϕ −3it e 2 e
ei(3t+ϕ) + e−i(3t+ϕ)
´
= 13 cos(3t + ϕ). De harmonische trilling ³ ´ heeft dus een amplitudo 13, hoeksnelheid 3 en fasehoek ϕ = arctan −5 12 .
58
1.5
Algebra 2
Verzamelingenleer en Algebra Functie– theorie
Algebra
Complexe getallen
Aantekeningen
Veel uitgewerkte voorbeelden van het rekenen met complexe getallen zijn te vinden in [6] en [7] (zie de bibliografie aan het eind van de syllabus). De constructie van complexe getallen kan opgevat worden als een speciaal geval van een constructie van rekensystemen die in Algebra 2 aan de orde komt. De formulering van de complexe getallen met behulp van paren re¨ele getallen zoals in dit hoofdstuk gegeven dateert uit 1833 en gaat terug op W.R. Hamilton (1805– 1865), zie [1], p. 524. Hamilton wist deze constructie nog te generaliseren tot een rekensysteem met elementen van de vorm a+bi+cj +dk (met a, b, c, d ∈ R), waarin i2 = −1, j 2 = −1, k 2 = −1, ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik; dit is het rekensysteem der quaternionen. Voor de lineaire algebra ligt het nut van complexe getallen daarin dat we allerlei polynoomvergelijkingen kunnen oplossen (dat zal in de volgende hoofdstukken blijken). Rekenen met polynomen komt bij Verzamelingenleer en Algebra uitgebreider aan de orde. De Hoofdstelling van de Algebra gaat terug op C.F. Gauss (1777–1855), zie [1]; er bestaan diverse bewijzen van deze stelling, sommige algebra¨ısch, sommige analytisch. Een bewijs dat gebruik maakt van complex integreren wordt behandeld bij Functietheorie. Dat er geen expliciete formules bestaan om veeltermvergelijkingen van graad 5 en hoger op te lossen, vergt de nodige algebra¨ısche voorkennis; soortgelijke algebra¨ısche technieken zijn nodig om een vergelijkbaar verschijnsel te begrijpen, namelijk dat er van sommige in bekende functies uit te drukken functies geen primitieven bestaan die zelf weer combinaties van bekende functies zijn (een 2 voorbeeld van zo’n functie is ex ). Zulke technieken (voornamelijk uit de groepentheorie en de lichaamstheorie) komen aan de orde bij latere (keuze)vakken in de algebra. De analyse van functies f : C → C (d.w.z. differentieerbaarheids- en integreerbaarheidskwesties) komt aan de orde bij het vak Functietheorie. Deze complexe analyse wordt veel gebruikt in de elektrotechniek en de mathematische fysica.
1.6
Opgaven
§1 1 Schrijf de volgende complexe getallen in de vorm a + bi met a en b re¨eel: 7+i a. (2 + 3i)(1 − i), d. , 1 + 2i b.
√ √ (− 12 + 21 i 3)(− 12 − 21 i 3),
e.
9 − 3i , 1 + 3i
c.
1 , 4 − 3i
f.
√ √ z 1 1 , met z = 2 + 2 2 2i. (z + 1)2
1.6 Opgaven
59
2 Schrijf de volgende complexe getallen in de vorm r(cos ϕ + i sin ϕ), waarbij r > 0 en −π ≤ ϕ ≤ π, en teken deze punten in het complexe vlak: √ a. −3, d. 3 + i, b.
2i,
e.
5 + 12i,
c.
1 + i,
f.
4 − 4i.
3 Teken in het complexe vlak een willekeurig complex getal z, met ongespecificeerd re¨eel en imaginair deel en ongespecificeerde absolute waarde en argument. a. Teken zonder te rekenen (!) de volgende complexe getallen op hun juiste positie t.o.v. z: z + 2,
−2z,
1 , z
z − 2i,
iz,
z,
−iz.
b. Idem voor de getallen z(cos(π/2)−i sin(π/2)), 3z(cos(7π/6)+i sin(7π/6)) en z(cos(2π/3) + i sin(2π/3)). 4 Schets in het complexe vlak de verzameling van die z ∈ C die voldoen aan: |z + 1 − i|2 ≤ 2
en
π 3π ≤ arg z ≤ . 2 4
5 Bepaal de verzameling van complexe getallen z die voldoen aan: √ a. |z − i| = |z + 3i|, d. Re(z 2 + 1) = 0 en |z| = 2, b.
|z − 3i| = |4 + 2i − z|,
c.
Re(z 2 ) = Im(z 2 ),
e.
arg(z/z) =
2π 3 .
6 Bewijs de driehoeksongelijkheid |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | aan de hand van de volgende onderdelen. a. Bewijs de ongelijkheid voor z1 = 1; schrijf daarbij z2 in poolco¨ordinaten: z2 = r(cos φ + i sin φ). b. Bewijs de ongelijkheid |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | voor z1 6= 0 door aan beide kanten een factor |z1 | naar buiten te halen. Laat verder zien dat voor complexe getallen z1 , z2 , . . . , zn geldt: |z1 + z2 + · · · + zn | ≤ |z1 | + |z2 | + · · · + |zn |.
60
Complexe getallen
§2 7 Teken de volgende getallen in het complexe vlak en schrijf hen in de vorm a + bi: a. 2eπi/2 , d. e5πi/3 , b.
3e2πi/3 ,
e.
e(−πi/3)+3 ,
c.
√
f.
e−5πi/6+2kπi , k ∈ Z.
d.
e|z| = 1,
e.
e−z = −i,
f.
e2iz =
2eπi/4 ,
8 Los de volgende vergelijkingen op: a. ez = 1 + i, √
b.
ez = 1 +
c.
eRe(z) = 5,
3i,
2
1+i 1−i .
9 Laat met behulp van de definities van cosinus en sinus zien dat voor alle complexe z geldt: a. sin 2z = 2 sin z cos z. b. cos 2z = cos2 z − sin2 z. 10 Los de volgende vergelijkingen op: a.
1 iz 2 (e
+ e−iz ) = 0,
b. sin(2z) = 4. §3 11 Los de volgende vergelijkingen op en teken de oplossingen in het complexe vlak: a. z 6 = 1, e. (z + 2 − i)6 = 27i, b.
z 3 = 8,
f.
z 2 = z,
c.
z 4 = 16i,
g.
z 3 = −z.
d.
(z + i)4 = −1,
1.6 Opgaven
61
12 Los de volgende vergelijkingen op en teken de oplossingen in het complexe vlak: a. z 2 + z + 1 = 0, b. z 2 − 2iz + 8 = 0, c. z 2 − (4 + 2i)z + 3 + 4i = 0, d. z 2 (i + z 2 ) = −6. 13 a. De vergelijking z 3 + (2 − 3i)z 2 + (−2 − 6i)z − 4 = 0 heeft een oplossing z = i. Bepaal de andere oplossingen. b. De vergelijking z 4 +4z 3 +3z 2 −14z +26 = 0 heeft een oplossing z = 1+i. Bepaal de andere oplossingen. c. Van een derdegraads polynoom met re¨ele co¨effici¨enten is gegeven dat 5 en 1 + 2i nulpunten zijn. Bepaal zo’n polynoom. d. Van een vierdegraads polynoom met re¨ele co¨effici¨enten is gegeven dat i en 2 − 3i nulpunten zijn. Bepaal zo’n polynoom. 14 Ontbind in re¨ele factoren van zo laag mogelijke graad: a. z 4 − 3z 2 − 4, b. z 3 + 3z 2 + 4z + 2, c. z 4 + z 3 + 2z 2 + z + 1. 15 a. Bereken (1 + i)11 . b. Van het complexe getal z is gegeven dat √ π z 4 = 8 3 + 8i en ≤ arg(z) ≤ π. 2 Geef de exacte waarde van |z 23 | en van arg(z 23 ), gemeten tussen 0 en 2π. 16 Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n geldt: (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ (formule van De Moivre, naar de Franse wiskundige A. de Moivre (1667– 1754)). Bepaal hiermee formules voor cos 3ϕ en sin 4ϕ in termen van cos ϕ en sin ϕ.
62
Complexe getallen
§4 17 a. Bepaal de afgeleide van de functie f (t) = t2 e3it . b. Laat zien dat voor de functie f (t) = 41 t(1−it)eit geldt: f ′′ (t)+f (t) = teit . 18 Gegeven is de functie f (t) = et cos t. Bereken f (10) (t). 19 Herschrijf elk van de volgende uitdrukkingen in de vorm A cos(ωt + ϕ) met re¨ele A, ω en ϕ en met A > 0: a. ie3it − ie−3it , b. (1 + i)e5it√+ (1 − i)e−5it , √ c. (− 12 + 12 i 3)e2it + (− 21 − 12 i 3)e−2it , d. 3 sin(2t) + 4 cos(2t), e. 2 sin(t + 1) − 3 cos(t + 1). 20 Zij p(z) = az 2 + bz + c een complex polynoom met a 6= 0. Bewijs de volgende bewering: Het polynoom p heeft een dubbel nulpunt (nulpunt met multipliciteit 2) dan en slechts dan als b2 − 4ac = 0. In de bewering zijn twee implicaties opgenomen. Behandel beide implicaties apart als volgt. • Te bewijzen: als p een dubbel nulpunt heeft dan geldt b2 − 4ac = 0. Neem dus aan dat p een dubbel nulpunt heeft, zeg λ. Lever het bewijs van deze stap als volgt. – Er geldt p(z) = az 2 + bz + c = a(z − λ)2 .
– Druk b en c uit in termen van λ en verifieer dat b2 − 4ac = 0. • Te bewijzen: als b2 − 4ac = 0 dan heeft p een dubbel nulpunt. Splits een kwadraat af en maak gebruik van de relatie b2 − 4ac = 0.
1.6.1
Oefenen op tentamenniveau
21 Bepaal de verzameling van de elementen z ∈ C die voldoen aan ¯ ¯ ¯ z¯ · z ¯ ¯ ¯ ¯ (1 − z)2 ¯ = 1.
1.6 Opgaven
63
22 Los de volgende vergelijking op in C : e2iz =
1+i . 1−i
23 a. Schets in het complexe vlak de verzameling van alle z ∈ C waarvoor geldt π | arg(z)| = , 4 en de verzameling van alle z ∈ C waarvoor geldt |z + 2i| = |z − 3|. b. Bereken alle z ∈ C waarvoor geldt | arg(z)| =
π 4
en |z + 2i| = |z − 3|.
24 Het polynoom z 4 − 2z 3 + 9z 2 − 8z + 20 heeft z = 1 + 2i als nulpunt. Geef de ontbinding in re¨ele factoren van zo laag mogelijke graad en bereken de andere nulpunten. √ 25 Schrijf − 3 cos(3t) − sin(3t) in de vorm A cos(ωt + φ) met re¨ele A > 0, ω en φ.
64
Complexe getallen
