Hoofdstuk 1. Complexe getallen. 1.1 Complexe getallen : definitie

Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1

Complexe getallen : definitie

De verzameling N van de natuurlijke getallen kan achtereenvolgens worden uitgebreid tot de verzamelingen Z van de gehele getallen, Q van de rationale getallen en R van de re¨ele getallen. Deze opeenvolgende uitbreidingen zijn er o.a. gekomen om steeds ruimere klassen van algebra¨ısche vergelijkingen te kunnen oplossen. De re¨ele getallen volstaan niet wanneer men oplossingen zoekt van vergelijkingen van de vorm x2 = c met c een negatief getal. De invoering van de complexe getallen is precies bedoeld om ook dat soort vergelijkingen te kunnen oplossen. Er zijn verschillende definities voor een complex getal mogelijk. We kiezen hier voor een definitie die een complex getal invoert als een koppel re¨ele getallen.

R

DEFINITIE 1.1

complex getal

Een complex getal is een koppel (x, y) van re¨ele getallen. Het eerste element x van het koppel heet het re¨ eel deel en het tweede element y het imaginair deel van het complex getal. De verzameling R × R bestaande uit alle koppels re¨ele getallen, is aldus ook de verzameling van de complexe getallen en we noteren deze als C. De verzameling van de koppels met tweede element gelijk aan nul, {(x, 0) | x ∈ R}, is een deelverzameling van C Identificeren we zulk een koppel (x, 0) met het re¨eel getal x, dan kunnen we de verzameling R van de re¨ele getallen opvatten als een deelverzameling van C. De verzameling van de koppels met eerste element gelijk aan nul, {(0, y) | y ∈ R}, is eveneens een deelverzameling van C 1–1

1–2

Complexe getallen

Een koppel (0, y) noemen we een zuiver imaginair getal. In het bijzonder stellen we het zuiver imaginair getal (0, 1) voor met de letter1 j en we noemen dit de imaginaire eenheid. We kunnen het koppel (x, y) schrijven als som van de koppels (x, 0) en (0, y) en dus (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1)

zodat met de eerder gemaakte afspraken van identificatie geldt : (x, y) = x + yj Deze notatie voor een complex getal zal voortaan de voorkeur genieten boven de koppelnotatie. Schrijft men z = x + yj dan noemt men het rechterlid ook de algebra¨ısche gedaante van het complex getal z. Men duidt het re¨eel deel x en het imaginair deel y van z = x + yj ook aan met de notaties x = Re(z) en y = Im(z).

1.2 1.2.1

Goniometrische gedaante van een complex getal Meetkundige voorstelling van een complex getal

Vatten we het re¨eel en het imaginair deel van een complex getal z = x+yj = (x, y) op als cartesiaanse co¨ordinaten van een punt P in het vlak, dan kan aan ieder complex getal precies ´e´en beeldpunt geassocieerd worden en omgekeerd. Dus z = x + yj correspondeert met P (x, y). Men noemt het puntenvlak waarin de punten complexe getallen voorstellen, ook het complexe vlak of vlak van Gauss en de co¨ordinaatassen worden re¨ ele en imaginaire as genoemd. Complexe getallen traden voor het eerst op het voorplan in de 16de eeuw toen de Italiaanse wiskundigen Niccolo Tartaglia and Gerolamo Cardano bij het oplossen van derde– en vierdegraadsvergelijkingen uitkwamen bij vierkantswortels uit negatieve getallen. Toch duurde het tot 1799 toen de Noor Caspar Wessel (1745–1818) een meetkundige interpretatie gaf aan complexe getallen vooraleer ze algemeen werden aanvaard. Deze meetkundige interpretatie waarbij complexe getallen worden voorgesteld als punten in een vlak, werd ook gevonden door de Franse amateur–wiskundige Jean Robert Argand (1768–1822) (argand–diagram) en is verder verspreid door Gauss. 1 De notatie j voor de imaginaire eenheid is vooral gebruikelijk in de techniek om een onderscheid te maken met de i voor stroomsterkte. In zuiver wiskundige werken gebruikt men meestal de letter i voor de imaginaire eenheid.

• Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–3

Figuur 1.1: Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

Het beeldpunt P van een complex getal kan ook nog ge¨ınterpreteerd worden als −→ eindpunt van de vector OP (met aangrijpingspunt in de oorsprong). Met ieder complex getal z = x + yj correspondeert bijgevolg ook een vector ~z die men de wijzer of fasor noemt. Het gebruik van fasoren is o.a. nuttig om sinuso¨ıdale trillingen voor te stellen (zie verder).

imaginaire as

z = x + yj

y = Im(z) ~z

x = Re(z)

re¨ele as

Figuur 1.2: voorstelling van een complex getal in het vlak van Gauss

Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–4

1.2.2

R

Complexe getallen

Toegevoegde van een complex getal DEFINITIE 1.2

toegevoegd complex getal

Het toegevoegd complex getal van z = x + yj is het complex getal z¯ = x − yj . De getallen z en z¯ hebben dus hetzelfde re¨eel deel, maar tegengesteld imaginair deel. De bijhorende beeldpunten in het complexe vlak liggen daarom symmetrisch t.o.v. de re¨ele as. De enige complexe getallen die zelftoegevoegd zijn, zijn deze waarvan het imaginair deel gelijk is aan nul, m.a.w. de re¨ele getallen.

1.2.3

Goniometrische gedaante van een complex getal

Het beeldpunt P (x, y) geassocieerd aan het complex getal z = x+yj , kan ook bepaald worden door middel van poolco¨ordinaten r en ϑ. −→

Daarin is de voerstraal r gelijk aan de lengte van de vector ~z = OP . Men noemt dit getal ook de modulus of absolute waarde van het complex getal z = x + yj en men noteert deze als |z|. Er geldt dus : p p Re(z)2 + Im(z)2 =

r = |z| =

Voor een re¨eel getal z = x + 0j ≡ x is |z| =

√

x2 + y 2

x2 + 0 = |x|

De modulusfunctie is dus een uitbreiding van de re¨ele absolutewaarde–functie. Merk op dat |¯ z | = |x − yj| =

p

x2 + y 2 = |x + yj| = |z| −→

De poolhoek ϑ is de hoek die de vector ~z = OP maakt met de positieve re¨ele as. Men noemt ϑ ook het argument van het complex getal z , notatie ϑ = arg(z). Dit argument is bepaald op een geheel veelvoud van 2π na. In de praktijk kiest men meestal 0 ≤ ϑ < 2π (of soms −π ≤ ϑ ≤ π ) en men spreekt dan over de hoofdwaarde van het argument of over het hoofdargument, notatie Arg(z ). • Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–5

Het argument van z = x + yj kan worden bepaald uit tan ϑ = houden met het kwadrant)  of uit het stelsel

 cos ϑ = √

=

Re(z) |z|

 sin ϑ =

=

Im(z) |z|

x x2 +y 2 √ y x2 +y 2

y Im(z) = (rekening x Re(z)

Is z = x + yj dan kunnen we ook schrijven : z = r cos ϑ + r sin ϑj = r(cos ϑ + j sin ϑ). Het rechterlid van z = r (cos ϑ + j sin ϑ) noemt men ook de goniometrische gedaante van het complex getal z . √

voorbeeld : bepaal de goniometrische gedaante van z = − 3 − j. q

√ (− 3)2 + (−1)2 = 2. −1 Het argument voldoet aan tan ϑ = √ . Vermits zowel het re¨eel als het imagi− 3 nair deel van z negatief zijn, ligt de hoofdwaarde van ϑ in het derde kwadrant, 1 π 7π dus ϑ =arctan( √ ) + π = + π = 6 6 √ 3 De goniometrische gedaante van z = − 3 − j is dus z = 2(cos 7π + j sin 7π ) 6 6

De modulus is r = |z| =

1.3

Exponenti¨ ele gedaante van een complex getal

In de re¨ele analyse toont men aan dat de natuurlijke exponenti¨ele functie een maclaurinreeksontwikkeling bezit die convergeert over R : ex = 1 + x +

x2 x3 x4 x5 x6 + + + + + ... 2! 3! 4! 5! 6!

We passen nu deze reeksontwikkeling formeel toe op de uitdrukking ejx met imaginaire exponent (jx)2 (jx)3 (jx)4 (jx)5 (jx)6 + + + + + ... 2! 3! 4! 5! 6! x2 x3 x4 x5 x 6 = 1 + jx − + −j + +j − + ... 2! 3! 4! 5! 6! x2 x4 x6 x3 x5 = (1 − + − + . . .) + j(x − + − . . .) 2! 4! 6! 3! 5!

ejx = 1 + jx +

Daarin werd gebruik gemaakt van j 2 = −1 (en de daaruitvolgende hogere machten van j : j 3 = −j , j 4 = 1 enz.) wat we verderop nog zullen aantonen. In het re¨eel deel van deze uitdrukking herkent men de maclaurinreeks voor cos x en in het imaginair deel deze van sin x. Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–6

Complexe getallen

Zo bekomen we de beroemde formule van Euler2 : ejx = cos x + j sin x Door gebruik te maken van deze formule kan de goniometrische gedaante van een complex getal nog in een andere vorm worden geschreven. Immers, vertrekkend van z = r(cos ϑ + j sin ϑ) verkrijgen we met bovenstaande formule : z = r ejϑ of nog z = |z| ej arg z

Men noemt dit de exponenti¨ele gedaante of polaire gedaante van het complex getal z. π

In het bijzonder is j = ej 2 , −1 = ejπ , 1 = e0j en −j = ej

3π 2

De formule ej π + 1 = 0 wordt soms de “mooiste” formule uit de wiskunde genoemd omdat ze in haar eenvoud de vijf belangrijkste wiskundige constanten 0, 1, e, j en π bevat.

z = x + yj = r ejϑ r = |z| θ = argz

Figuur 1.3: Leonhard Euler (1707–1783)

Figuur 1.4: polaire gedaante van z

2

De veelzijdige Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707–1783) heeft o.a. bijgedragen tot de ontwikkeling van de algebra van de complexe getallen. De notatie i voor de imaginaire eenheid werd door hem voor het eerst ingevoerd.

• Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1.4 1.4.1

1–7

Bewerkingen met complexe getallen Optelling en aftrekking van complexe getallen

Definitie en optelling in algebra¨ısche gedaante

Is z1 = (x1 , y1 ) en z2 = (x2 , y2 ) dan definieert men de som z1 + z2 als (x1 + x2 , y1 + y2 ). Maken we gebruik van de algebra¨ısche gedaante z1 = x1 + y1 j resp. z2 = x2 + y2 j dan is dus : z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )j

Het re¨eel deel (resp. het imaginair deel) van de som is dus gelijk aan de som van de re¨ele (resp. van de imaginaire delen). Beschouwen we i.h.b. twee re¨ele getallen x1 = (x1 , 0) en x2 = (x2 , 0) dan is de som daarvan in C gelijk aan (x1 + x2 , 0) = x1 + x2 , m.a.w. de optelling in C is een uitbreiding van de optelling in R. Associeert men de vectoren ~z1 en ~z2 met de complexe getallen z1 en z2 , dan bekomt men de vector geassocieerd met de som z1 + z2 m.b.v. de parallellogramregel. Optelling van complexe getallen correspondeert dus met de vectoroptelling.

z1 + z2

z2 z1

Figuur 1.5: optelling van complexe getallen

Optelling in goniometrische of polaire gedaante

Zijn z1 en z2 gegeven in goniometrische of exponenti¨ele gedaante, dan kunnen we de modulus en het argument van z1 + z2 berekenen in functie van de modulus en het argument van z1 en z2 . Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–8

Complexe getallen

Immers, door toepassing van de cosinusregel in driehoek OP S met P het beeldpunt van z1 en S het beeldpunt van z1 + z2 , vindt men : |z1 + z2 | =

p

|z1 |2 + |z2 |2 − 2|z1 ||z2 | cos α met α de hoek in P.

Gelet op 2(ϑ2 − ϑ1 ) + 2α = 2π (som van de hoeken van een vierhoek), hebben we dat α = π − (ϑ2 − ϑ1 ) en dus ook cos α = − cos(ϑ2 − ϑ1 ). We besluiten : |z1 + z2 | =

p

|z1 |2 + |z2 |2 + 2|z1 ||z2 | cos(ϑ2 − ϑ1 )

Merk op dat |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | waarbij de gelijkheid over het algemeen niet geldt. Vermits Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ) = |z1 | cos ϑ1 + |z2 | cos ϑ2 en Im(z p 12+ z2 ) = Im(z1 )2+ Im(z2 ) = |z1 | sin ϑ1 + |z2 | sin ϑ2 kan men |z1 + z2 | ook vinden uit Re (z1 + z2 ) + Im (z1 + z2 ) wat dezelfde formule oplevert. Het argument ϑ van z1 +z2 vindt men uit : tan ϑ =

Im(z1 + z2 ) |z1 | sin ϑ1 + |z2 | sin ϑ2 = Re(z1 + z2 ) |z1 | cos ϑ1 + |z2 | cos ϑ2

Opmerkingen :

1. Tellen we de complexe getallen (x, 0) ≡ x en (0, y) ≡ yj op, dan bekomen we : (x) + (yj) = (x + 0j) + (0 + yj) = x + yj wat betekent dat het plusteken in de algebra¨ısche gedaante van een complex getal dat het re¨eel deel met het imaginair deel verbindt, kan worden opgevat als een echte optelling. 2. Men toont gemakkelijk volgende eigenschap aan : z1 + z2 = z¯1 +¯ z2 (toegevoegde van een som is gelijk aan de som van de toegevoegden) 3. Er geldt z + z¯ = (x + yj) + (x − yj) = 2x = 2 Re(z) ∈ R

Tegengestelde van een complex getal en aftrekking

Voor een complex getal z = x + yj noemt men het complex getal −z = (−x) + (−y)j het tegengesteld complex getal. Klaarblijkelijk is z + (−z) = 0 + 0j ≡ 0 De aftrekking van twee complexe getallen wordt nu gedefinieerd als de som van het eerste getal met het tegengestelde van het tweede, dus z1 − z2 = z1 + (−z2 ). Is z1 = x1 + y1 j resp. z2 = x2 + y2 j dan is dus : z1 − z2 = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )j • Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1.4.2

1–9

Vermenigvuldiging van complexe getallen

Definitie en vermenigvuldiging in algebra¨ısche gedaante

Is z1 = (x1 , y1 ) en z2 = (x2 , y2 ) dan definieert men het product z1 · z2 als : (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ).

Maken we gebruik van de algebra¨ısche gedaante z1 = x1 + y1 j resp. z2 = x2 + y2 j dan is dus : z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + y1 x2 )j

In het bijzonder hebben we : (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) of dus met de eerder gemaakte notatieafspraken : j · j = −1. De formule j 2 = −1 (het kwadraat van de imaginaire eenheid is gelijk aan -1) is een essenti¨ele formule bij het rekenen met complexe getallen. Formeel kan men het product van z1 = x1 + y1 j en z2 = x2 + y2 j berekenen als een product van twee tweetermen, rekening houdend met j 2 = −1. Inderdaad : (x1 + y1 j) · (x2 + y2 j) = x1 x2 + x1 y2 j + y1 x2 j + y1 y2 j 2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + y1 x2 )j

Men gaat gemakkelijk na dat het product in C van twee re¨ele getallen x1 en x2 (opgevat als complexe getallen (x1 , 0) en (x2 , 0)) gelijk is aan het complex getal (x1 · x2 , 0), m.a.w. aan het re¨eel getal x1 x2 . De vermenigvuldiging in C is dus een uitbreiding van de vermenigvuldiging in R. Opmerkingen :

1. In het√bijzonder is z · z¯ = (x + yj) · (x − yj) = x2 + y 2 waaruit we ook hebben : |z| =

z · z¯

2. Men toont gemakkelijk volgende eigenschap aan : z1 · z2 = z¯1 · z¯2 (toegevoegde van een product is gelijk aan het product van de toegevoegden)

Vermenigvuldiging in goniometrische of polaire gedaante

Zijn de complexe getallen z1 en z2 gegeven in goniometrische of exponenti¨ele gedaante, dan kan men de modulus en het argument van z1 · z2 berekenen in functie van modulus en argument van z1 en z2 Is immers z1 = r1 (cos θ1 + j sin θ1 ) en z2 = r2 (cos θ2 + j sin θ2 ) dan is Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–10

Complexe getallen

z1 · z2 = r1 r2 (cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 + j (cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2 )) = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + j sin(θ1 + θ2 )

waaruit we besluiten dat de modulus van het product gelijk is aan het product van de moduli en het argument van het product gelijk aan de som van de argumenten. Dat is ook duidelijk, wanneer we gebruik maken van de polaire gedaante : z1 · z2 = r1 ejϑ1 · r2 ejϑ2 = r1 r2 ej (ϑ1 +ϑ2 )

We hebben dus : z1 · z2 = |z1 ||z2 | ej (arg z1 +arg z2 ) Meetkundige betekenis van de vermenigvuldiging

We hebben reeds gezien dat de optelling van twee complexe getallen meetkundig neerkomt op de optelling van twee vectoren (parallellogramregel). Voor het bepalen van het product z1 · z2 beschikt men over de volgende meetkundige constructie : de geassocieerde vector van het product bekomt men door de vector ~z1 te “verlengen” met een factor |z2 | (naargelang |z2 | > 1, |z2 | < 1 of |z2 | = 1 is dit verlengen, verkorten of lengte behouden) en vervolgens te roteren over een hoek ϑ2 (rotatie in tegenwijzerzin als ϑ2 > 0 en in wijzerzin als ϑ2 < 0)

z1 · z2

r1 r2

ϑ1 + ϑ 2

z2

z1

Figuur 1.6: vermenigvuldiging van complexe getallen

• Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–11

Bijzonder geval

In het bijzonder komt de vermenigvuldiging van een complex getal met een complex getal waarvan de modulus 1 is en met argument ϑ > 0, meetkundig neer op een draaiing over ϑ in tegenwijzerzin. Heel in het bijzonder betekent vermenigvuldiging met de imaginaire eenheid j een draaiing over 90o in tegenwijzerzin.

1.4.3

Machtsverheffing van complexe getallen

Is z = x+yj, dan kan z n = (x+yj)n met n een natuurlijk getal groter dan 1, berekend worden m.b.v. de formule voor de n−de macht van een tweeterm (binomium van Newton), rekening houdend met j 2 = −1. Het is evenwel gemakkelijker om gebruik te maken van de goniometrische of exponenti¨ele gedaante van z Immers : is z = rej ϑ dan is z n = z · z · · · · · z = rej ϑ · rej ϑ · · · · · rej ϑ = rn enjϑ (gelet op de hierboven gevonden uitdrukking voor vermenigvuldiging van complexe getallen in exponenti¨ele gedaante). De modulus van de n–de macht is dus gelijk aan de n–de macht van de modulus en het argument van de n–de macht is gelijk aan n keer het argument. √

voorbeeld : bereken (1 + j 3)6 √

π

We herschrijven πeerst z = 1 + j 3 in exponenti¨ele gedaante, nl. z = 2 ej 3 Nu is z 6 = 26 ej 6· 3 = 64 ej 2π = 64 De formule van de Moivre

Is z een complex getal met modulus 1, dus z = ejϑ = cos ϑ + j sin ϑ, dan vindt men voor de n−de macht ervan: z n = enjϑ = cos nϑ + j sin nϑ en anderzijds is z n = (cos ϑ + j sin ϑ)n .

Hieruit bekomt men de formule van De Moivre3 : (cos ϑ + j sin ϑ)n = cos nϑ + j sin nϑ

Deze formule legt een verband tussen de theorie van de complexe getallen en de goniometrie. Een aantal goniometrische identiteiten kunnen eenvoudig worden bewezen met deze formule. voorbeeld : 3

De Franse wiskundige Abraham De Moivre was vooral werkzaam in het domein van de kansrekening en de statistiek. De naar hem genoemde formule was wellicht ook reeds door sommige van zijn tijdgenoten gekend.

Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–12

Complexe getallen

Uit (cos ϑ + j sin ϑ)2 = cos 2ϑ + j sin 2ϑ volgt na uitwerking van het linkerlid dat cos2 ϑ + 2j cos ϑ sin ϑ − sin2 ϑ = cos 2ϑ + j sin 2ϑ

Stellen we de re¨ele en imaginaire delen van beide leden aan elkaar gelijk, dan bekomen we hieruit de identiteiten cos 2ϑ = cos2 ϑ − sin2 ϑ en sin 2ϑ = 2 sin ϑ cos ϑ

Figuur 1.7: Abraham De Moivre (1667–1754)

1.4.4

Deling van complexe getallen

Omgekeerde van een complex getal

Is z een van nul verschillend complex getal, dan definieert men het omgekeerde complex getal z −1 =

1 als het unieke complex getal waarvoor z · z −1 = 1. z

Is z = x + yj dan vindt men uit ½ (x + yj) · (a + bj) = 1 + 0j dat de onbekenden a en b xa − yb = 1 waaruit : moeten voldoen aan het stelsel ya + xb = 0

−y x en b = 2 . a= 2 2 x +y x + y2 x y 1 = 2 − 2 j 2 x + yj x +y x + y2 1 z¯ x − yj x − yj x y = = = = 2 = 2 − 2 j 2 2 z z · z¯ (x + yj) · (x − yj) x +y x +y x + y2

Bijgevolg is z −1 = Nu is ook z −1

zodat de omgekeerde van z ook kan worden gevonden door teller en noemer van de “breuk” z1 te vermenigvuldigen met het toegevoegde van de noemer. In het bijzonder is

1 = −j j

• Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–13

Deling in algebra¨ısche gedaante

Zijn z1 en z2 complexe getallen met z2 6= 0, dan is het quoti¨ent 1 z2 Zijn z1 = x1 + y1 j en z2 = x2 + y2 j dan is dus

z1 per definitie gelijk z2

aan het product van z1 met

z1 · z¯2 z1 = z2 z2 · z¯2 (x1 + y1 j) · (x2 − y2 j) = (x2 + y2 j) · (x2 − y2 j) x1 x2 + y1 y2 + j (y1 x2 − x1 y2 ) = x22 + y22 x1 x2 + y1 y2 y1 x2 − x1 y2 = +j 2 2 x2 + y 2 x22 + y22 1 + 2j 3+j 1 + 2j (1 + 2j) · (3 − j) 5 + 5j 1 1 = = = + j 3+j (3 + j) · (3 − j) 10 2 2

voorbeeld : bereken

Deling in goniometrische of exponenti¨ ele gedaante

Is een van nul verschillend complex getal z gegeven in goniometrische of polaire gedaante, z = r ej ϑ , dan is het omgekeerde van z gelijk aan : 1 z¯ z¯ r e−j ϑ 1 = = 2 = = e−j ϑ 2 z z · z¯ |z| r r

Men vindt dus het omgekeerde door de modulus om te keren en het argument van teken te veranderen. Zijn nu twee complexe getallen gegeven in goniometrische of exponenti¨ele gedaante z1 = r1 ej ϑ1 en z2 = r2 ej ϑ2 , dan hebben we : z1 = r1 ej ϑ1 · z2

1 r2

e−j ϑ2 =

r1 j (ϑ1 −ϑ2 ) e r2

De modulus van het quoti¨ent is dus gelijk aan het quoti¨ent van de moduli en het argument van het quoti¨ent is gelijk aan het verschil van de argumenten. M.a.w. :

|z1 | j (arg z1 −arg z2 ) z1 = e z2 |z2 |

Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–14

1.5

Complexe getallen

Het ongeordend veld van de complexe getallen

De verzameling C van de complexe getallen, voorzien van de optelling en de vermenigvuldiging zoals gedefinieerd in bovenstaande paragrafen, vormt een algebra¨ısche structuur die men een veld noemt. In zo’n structuur gelden bvb. de associatieve wetten z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 en z1 · (z2 · z3 ) = (z1 · z2 ) · z3 en de distributieve wet : z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 De verzameling R van de re¨ele getallen, voorzien van de optelling en de vermenigvuldiging vormt ook zo’n veldstructuur. Doordat de verzameling R kan worden opgevat als een deelverzameling van C en doordat de bewerkingen in C uitbreidingen zijn van de overeenkomstige bewerkingen in R, zegt men dat het veld (R, +, ·) een deelveld is van het veld (C, +, ·). De verzameling van de re¨ele getallen kan bovendien voorzien worden van een totale orderelatie z´o dat (R, +, ·, ≤) een totaal geordend veld wordt. Dat betekent dat de orderelatie verenigbaar is met de veldstructuur hetgeen neerkomt op: x ≤ y =⇒ x + u ≤ y + u voor alle x, y, u ∈ R x ≤ y en u > 0 =⇒ x · u ≤ y · u voor alle x, y, u ∈ R x ≤ y en u < 0 =⇒ x · u ≥ y · u voor alle x, y, u ∈ R

Het is ook mogelijk om de verzameling van de complexe getallen te voorzien van een orderelatie, bvb. de lexicografische ordening. Daarbij is z1 < z2 a.s.a. Re(z1 ) < Re(z2 ) of Re(z1 ) = Re(z2 ) ´en Im(z1 ) < Im(z2 ). Deze orderelatie is verenigbaar met de optelling, maar niet met de vermenigvuldiging. Immers, in die ordening is 0 < j , zodat verenigbaarheid zou betekenen dat ook 0 · j ≤ j · j , dus 0 < −1, een strijdigheid. De verzameling C kan dus wel geordend worden, maar het veld (C, +, ·) kan niet gestructureerd worden tot een geordend veld. Om die reden zal men slechts zelden de orderelatie in de verzameling van de complexe getallen beschouwen.

• Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1.6

1–15

Worteltrekking uit complexe getallen

Een complex getal zi is per definitie een n−de machtswortel uit het complex getal z als en slechts als zin = z Is z = |z| ejϑ en zi = |zi | ejϑi dan geldt dus : zin = z ⇐⇒ (|zi | ejϑi )n = |z| ejϑ ⇐⇒ |zi |n ejnϑi = |z| ejϑ   |z |n = |z| i ⇐⇒  nϑ = ϑ + k2π (k ∈ Z) i  p  |zi | = n |z| ⇐⇒  ϑi = ϑ + k2π (k ∈ Z) n

We kunnen aan k oneindig veel waarden toekennen, die echter niet allemaal verschillende n–de machtswortels opleveren. Voor k = n is het argument nϑ + 2π wat hetzelfde complex getal oplevert als de waarde k = 0. We vinden uiteindelijk n verschillende n−de machtswortels voor k = 0, 1, . . . , n − 1. Elk complex getal bezit dus precies n verschillende n−de machtswortels. np o √ ϑ+k2π Het symbool n z staat aldus voor de verzameling n |z| ej n | k = 0, 1, . . . , n − 1

De beeldpunten van deze n−de machtswortels vormen de hoekpunten van een regelmatige n−hoek. voorbeeld : bepaal de 3-de machtswortels uit −8 De exponenti¨ele gedaante van het complex −8 is 8 ejπ eno dus zijn alle n√getal π+k2π 3−de machtswortels uit −8 gegeven door 3 8 ej 3 |k = 0, 1, 2 π

Voor k = 0 bekomt men : 2ej 3 = 2(cos π3 + j sin π3 ) = 2( 21 + j

√

3 ) 2

=1+

√

3j

3π

Voor k = 1 bekomt men : 2ej 3 = 2(cos π + j sin π) = 2(−1 + j0) = −2 5π

Voor k = 2 bekomt men : 2ej 3 = 2(cos 5π + j sin 5π ) = 2( 12 − j 3 3

√

3 ) 2

=1−

√

3j

Het getal −8 bezit dus drie 3−de machtswortels (´e´en re¨ele en twee complex toegevoegde). De beeldpunten daarvan vormen de hoekpunten van een regelmatige (= gelijkzijdige) driehoek.

Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–16

Complexe getallen

1.5

1

0.5

–2

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

–0.5

–1

–1.5

Figuur 1.8: derdemachtswortels uit −8

1.7

De hoofdstelling van de algebra

¥ STELLING 1.1

hoofdstelling van de algebra

Elke n−de graadsvergelijking an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0 met complexe co¨effici¨enten ai (i = 0, 1, . . . , n) bezit minstens ´e´en oplossing in C

De stelling werd voor het eerst geformuleerd (zonder bewijs) door Girard in 1629. d’Alembert probeerde de stelling te bewijzen in 1746, maar het was Carl Friedrich Gauss die voor het eerst een volwaardig bewijs gaf in zijn doctoraatsproefschrift in 1799. Vandaag zijn verschillende bewijzen van de hoofdstelling gekend, sommige gebaseerd op technieken uit de complexe analyse, andere op topologische argumenten en nog andere op meer algebra¨ısche methoden (echter steeds gebaseerd op resultaten uit de analyse). Het feit dat elke veeltermvergelijking over C van de n–de graad (n ≥ 1) oplossingen bezit in C wordt ook verwoord als : “het veld van de complexe getallen is algebra¨ısch gesloten”. Uit de hoofdstelling volgen een aantal belangrijke nevenresultaten : 1. elke n−de graadsvergelijking an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0 met complexe co¨effici¨enten ai (i = 0, 1, . . . , n) bezit precies n oplossingen in C indien men rekening houdt met de multipliciteit van deze oplossingen.

Daarbij zegt men dat een oplossing (of wortel) z0 van een veeltermvergelijking p(z) = 0 multipliciteit m bezit als en slechts als p(z) = (z − z0 )m q(z) met q(z) een veelterm die z0 niet als nulpunt bezit. • Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–17

Dit gevolg zegt dus dat een n–de graadsvergelijking over C steeds n (niet noodzakelijk verschillende) wortels bezit. Gevolg : elke veelterm van de n−de graad met complexe co¨effici¨enten kan ontbonden worden in complexe lineaire factoren (eventueel met multipliciteit). 2. Beschouwen we nu in het bijzonder een n−de graadsvergelijking met re¨ ele co¨effici¨enten. Dan zal deze in C n (niet noodzakelijk verschillende) oplossingen bezitten. Omdat voor iedere oplossing z0 ook de complex toegevoegde z¯0 een oplossing is van de vergelijking (dit volgt uit pn (¯ z0 ) = pn (z0 ), kunnen we de niet–re¨ele oplossingen van de n–de graadsvergelijking dus groeperen in paren. Bijgevolg kan pn (x) ontbonden worden in re¨ele lineaire factoren x − x0 met x0 re¨eel en in re¨ele kwadratische factoren (x − c)(x − c¯) = x2 − (c + c¯)x + c¯c (re¨eel omdat c + c¯ ∈ R en c¯c = |c|2 ∈ R). Elke veelterm van de n–de graad met re¨ele co¨effici¨enten kan worden ontbonden in re¨ele lineaire en irreduciebele kwadratische factoren (eventueel met multipliciteit) Uit het voorgaande volgt ook i.h.b. dat een n−de graadsvergelijking met re¨ele co¨effici¨enten en met n oneven minstens ´e´en re¨eel nulpunt bezit.

1.8

De sinus– en cosinus van een complex getal

Wegens de formule van Euler hebben we : ejϑ = cos ϑ + j sin ϑ en ook e−jϑ = cos(−ϑ) + j sin(−ϑ) = cos ϑ − j sin ϑ Daaruit volgt : cos ϑ =

ejϑ + e−jϑ ejϑ − e−jϑ en sin ϑ = 2 2j

De cosinus en de sinus van een re¨eel getal ϑ kunnen dus geschreven worden m.b.v. complexe uitdrukkingen. Vervangen we in deze formules de re¨ele ϑ formeel door een complexe z , dan bekomen we definities voor de cosinus en de sinus van een complex getal. cos z = Hoofdstuk 1

ejz + e−jz ejz − e−jz en sin z = 2 2j • Algebra voor ingenieurs •

1–18

Complexe getallen

M.b.v. deze definities toont men gemakkelijk aan dat cos2 z + sin2 z = 1 voor elke z ∈ C zodat de grondformule van de goniometrie ook geldig blijft in het complex geval. Maken we gebruik van Euler’s formule, dan kunnen we schrijven : ejz + e−jz 2 ej(x+yj) + e−j(x+yj) = 2 ejx e−y + e−jx ey = 2 (cos x + j sin x)e−y + (cos x − j sin x)ey = 2 ey + e−y ey − e−y = cos x. − j sin x. 2 2

cos z =

= cos x. cosh y − j sin x. sinh y

De cosinus van een complex getal is dus zelf een complex getal. In het bijzonder is de cosinus van een zuiver re¨eel en van een zuiver imaginair getal telkens re¨eel. We zien o.a. dat cos(0 + yj) = cosh y en stellen dus vast dat de cosinus van het zuiver imaginair getal yj niets anders is dan de cosinus hyperbolicus van het re¨eel getal y . cosh y = cos(jy) voor elke y ∈ R

Volledig analoge beschouwingen voor de sinus leiden o.a. tot : sinh y = 1j sin(jy) =−j sin(jy) voor elke y ∈ R

Zo zien we hoe de re¨ele hyperbolische functies een verband hebben met de “gewone”sinus en cosinus van een complex argument, wat hun benaming rechtvaardigt (zie analyse).

1.9

De logaritme van een complex getal

Voor een van nul verschillend complex getal z definieert men : w = ln z ⇐⇒ z = exp(w)

Stelt men z = x + yj en w = α + βj dan is dus : • Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–19

w = ln z ⇐⇒ eα+βj = x + yj ⇐⇒ eα eβj = x + yj ⇐⇒ eα (cos β + j sin β) = x + yj   eα cos β = x ⇐⇒  eα sin β = y

Gelet op z = x+yj = |z| (cos(arg z)+j sin(arg z)) bekomen we dat eα = |z| en β = arg z of nog α = ln |z| en β = arg z = Arg z + k 2π (k ∈ Z) We besluiten dus : ln z = ln |z| + j (Arg z + k 2π)

Een van nul verschillend complex getal bezit dus oneindig veel logaritmen. Deze logaritmen zijn zelf complexe getallen, alle met hetzelfde re¨eel deel (de re¨ele logaritme van de modulus van het complex getal) en met imaginair deel gelijk aan het argument van dat complex getal (bepaald op een geheel veelvoud van 2π na). Voor k = 0 bekomt men de zogeheten hoofdlogaritme (genoteerd met hoofdletter) : Ln z = ln |z| + j Arg z met 0 ≤ Arg z ≤ 2π Neemt men i.h.b. z = x + 0j , dan is |z| = |x| (absolute waarde van x ∈ R) en Arg z = 0 of π naargelang x > 0 of x < 0 Bijgevolg is Ln(x + 0j) = ln |x| + j0 = ln x voor x > 0 en Ln(x + 0j) = ln |x| + jπ = ln(−x) + jπ voor x < 0 Zo kan men nu de (complexe) logaritme van een negatief re¨eel getal bepalen. √

voorbeelden : Ln(−1) = jπ en Ln(1 + j ) = ln( 2) + j

Hoofdstuk 1

π 4

• Algebra voor ingenieurs •

1–20

1.10

Complexe getallen

Toepassingen van complexe getallen

Het nut van complexe getallen in de wetenschap en de techniek is bijzonder groot. O.a. bij de studie van harmonische trillingen en golven, bij de studie van elektrische wisselstromen en in de systeemtheorie en regeltechniek biedt een aanpak met complexe getallen heel wat voordelen. Daarnaast vormen complexe getallen de basisverzameling voor de complexe analyse waarin complexwaardige functies van een complexe veranderlijke worden bestudeerd. Deze complexe analyse heeft dan zelf weer toepassingen in de re¨ele analyse (berekenen van oneigenlijke integralen), in de stromingsleer (warmtestromen, vloeistofstromen, . . .), bij de studie van fractalen etc. We geven hieronder een onvolledig overzicht van enkele interessante toepassingen.

1.10.1

Harmonische trillingen en complexe getallen

Beschouw een sinuso¨ıdale trilling beschreven door de tijdsafhankelijke functie y = A sin(ωt + φ) met A de amplitude, ω de cirkelfrequentie en φ de beginfase. Deze trilling kan in een wijzerdiagram of fasordiagram voorgesteld worden door een roterende vector (wijzer) met lengte A die met hoeksnelheid ω rond de oorsprong roteert in positieve zin (tegenwijzerzin). De wijzer maakt daarbij op het tijdstip t = 0 een hoek φ (de beginfase) met de horizontale as. Interpreteert men het vlak waarin de wijzer roteert als het vlak van Gauss, dan is het eindpunt van de roterende wijzer het beeldpunt van het complex getal z = A ej (ωt+φ) = A (cos(ωt + φ) + j sin(ωt + φ)). De sinuso¨ıdale trilling y = A sin(ωt + φ) is niets anders dan het imaginair deel van dit complex getal dat we ook als Y¯ noteren, y = Im(Y¯ ). Het complex getal A ej (ωt+φ) kan nog geschreven worden als : Y¯ = A ej φ · ej ωt = A¯ ej ωt

De tijdsonafhankelijke factor A¯ = A ej φ noemt men de complexe amplitude en ej ωt heet de tijdfunctie van de complexe voorstelling van de trilling. Merk op dat de amplitude en de beginfase van de trilling precies de modulus en het ¯ en φ = arg(A) ¯ argument zijn van de complexe amplitude : A = |A| Opmerking :

Een gelijkaardige redenering kan worden gemaakt bij het complex beschrijven van een cosinustrilling y = A cos(ωt + φ). Deze kan worden opgevat als het re¨eel deel van het roterend complex getal Y¯ = A ej (ωt+φ) . • Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–21

Bij de studie van trillingsproblemen heeft de complexe rekenwijze verschillende voordelen t.o.v. de re¨ele rekenwijze. Als voorbeeld bekijken we de superpositie van twee trillingen met dezelfde frequentie. Zij y1 = A1 sin(ωt + φ1 ) en y2 = A2 sin(ωt + φ2 ) twee sinuso¨ıdale trillingen. De superpositie van deze twee resulteert in een trilling met dezelfde frequentie y = y1 + y2 = A sin(ωt + φ). We willen nu de amplitude A en de fasehoek φ van deze trilling berekenen uit de amplitudes en beginfases van de samengetelde trillingen. Stellen we beide trillingen complex voor : Y¯1 = A¯1 ej ωt en Y¯2 = A¯2 ej ωt . De superpositie van beide trillingen in complexe vorm geeft : Y¯1 + Y¯2 = A¯1 ej ωt + A¯2 ej ωt = (A¯1 + A¯2 ) ej ωt = A¯ ej ωt

Bijgevolg is de complexe amplitude van de som van de trillingen gelijk aan de som van de complexe amplituden van de enkelvoudige trillingen. Door de modulus en het argument te nemen van de complexe amplitude van de som, bekomt men de amplitude A en de fasehoek φ van de resulterende trilling. voorbeeld : Bepaal de som van de trillingen y1 = 100 sin(ωt + π6 ) en y2 = 200 sin(ωt + π4 ). De som in complexe gedaante is gelijk aan j (ωt+ π6 ) j (ωt+ π4 ) ¯ ¯ ¯ Y = Y1 + Y2 = 100 e + 200 e . π π De complexe amplitude van de som is dan 100 ej 6 + 200 ej 4 Gaan we over op de algebra¨ısche gedaante, dan bekomen we : √

A¯ = 100 (cos π6 + j sin π6 ) + 200 (cos π4 + j sin π4 ) = 100 ( 228 + j 191 ¯ = Bijgevolg is A = |A|

3 2

+ j 12 ) + 200 (

√

2 2

+j

√ 2 ) 2

≈

p

(228)2 + (191)2 ≈ 297 en φ = arctan 191 ≈ 0, 69 228

De som van beide trillingen is dus y = 297 sin(ωt + 0, 69)

Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–22

1.10.2

Complexe getallen

Wisselstromen en complexe getallen

Complexe getallen kunnen erg nuttig zijn bij het oplossen van elektrische netwerken met wisselstroom. Stelt men de sinuso¨ıdale wisselspanning u = u0 sin(ωt + φu ) en de erdoor voortgebrachte wisselstroom i = i0 sin(ωt + φi ) voor in complexe gedaante : U¯ = U¯0 ej ωt met U¯0 = u0 ej φu de complexe spanningsamplitude en I¯ = I¯0 ej ωt met U¯ I¯0 = i0 ej φi de complexe stroomsterkteamplitude, dan wordt de verhouding Z¯ = ¯ I de impedantie genoemd. U¯

u

Deze is nog gelijk aan Z¯ = ¯0 = 0 eφu −φi . i0 I0 De modulus van de impedantie is dus

u0 en het argument van de impedantie is het i0

faseverschil φu − φi tussen spanning en stroom.

De complexe impedantie kan ook in algebra¨ısche gedaante worden geschreven Z¯ = R + j X. ¯ = R noemt men de weerstand en het imaginair deel Het re¨eel deel ervan Re(Z) ¯ = X de reactantie. Im(Z) Wanneer nu in een wisselstroomnetwerk verschillende elementen aanwezig zijn zoals ohmse weerstanden, condensatoren en spoelen, dan kan men voor elk van deze elementen de bijhorende complexe impedantie bepalen. Voor een ohmse weerstand R is u = R · i (wet van Ohm) en dan ook U¯ = R · I¯. De complexe impedantie van de ohmse weerstand is bijgevolg re¨eel en gelijk aan Z¯R = R + 0 j . Omdat het argument van de impedantie hier nul is, is het faseverschil tussen spanning en stroom nul bij een ohmse weerstand. Bij een condensator met capaciteit C is q = C · u waaruit door afleiding naar de dq

du

dU¯

=C· en dan ook I¯ = C · of dus I¯0 ej ωt = C · U¯0 j ω ejωt . De tijd volgt i = dt dt dt 1 complexe impedantie van de condensator is bijgevolg Z¯C = jωC

Dit is nog gelijk aan −

1 j , de impedantie van een condensator is zuiver imaginair. ωC

Het faseverschil tussen stroomsterkte en spanning is het argument van dit complex getal en bedraagt hier − π2 . Bij een condensator loopt de spanning dus 90o achter op de stroom. Bij een spoel met zelfinductie L tenslotte volgt uit de inductiewet dat u = L · • Algebra voor ingenieurs •

di en dt

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–23

dI¯

dan ook U¯ = L · of dus U¯0 ej ωt = L · I¯0 j ω ejωt . De complexe impedantie van de dt spoel is bijgevolg Z¯L = Lω j . Dit is een zuiver imaginair getal met argument π2 zodat bij een spoel de spanning 90o voorijlt op de stroom. Men kan nu, rekening houdend met voorgaande resultaten, schakelingen beschouwen waarin verschillende componenten in serie of in parallel staan. In het geval van een serieschakeling is de totale impedantie de som van de impedanties van de afzonderlijke componenten. Bij een parallelschakeling is het omgekeerde van de impedantie gelijk aan de som van de omgekeerden van de impedanties van de afzonderlijke componenten. 1 Men noemt de omgekeerde van de impedantie ook wel de admittantie Y¯ = ¯ . Z In algebra¨ısche notatie is Y¯ = G + j B waarbij het re¨eel deel G de conductantie of geleidbaarheid en het imaginair deel B de susceptantie wordt genoemd.

voorbeeld : Op een wisselstroomnet i(t) = 220 sin(100π t) zijn in serie aangesloten een ohmse weerstand van 100 Ω, een condensator met capaciteit C = 20 µF en een spoel met co¨effici¨ent van zelfinductie L = 0, 1 H. Bepaal het faseverschil tussen spanning en stroom. De impedanties van de weerstand, de condensator en de spoel zijn resp. gelijk

1 1 j=− j en Z¯L = ωL j = 100π · 0, 1 j ωC 100π · 20 · 10−6 1 De totale impedantie is bijgevolg gelijk aan Z = R + j (ωL − ) = 100 + ωC j (31, 42 − 159, 15) = 100 − j 127, 73.

aan Z¯R = R = 100, Z¯C = −

Het argument van dit complex getal volgt uit tan φ = − 127,73 en dus (gelet op 100 o het kwadrant) φ = −51, 9 . Dit argument geeft het faseverschil tussen spanning en stroomsterkte. De spanning zal dus 51,9o naijlen op de stroom.

1.10.3

Systeemtheorie en complexe getallen

Vele tijdsafhankelijke “systemen” worden wiskundig beschreven door lineaire differentiaalvergelijkingen. Schematisch kan een systeem dan worden voorgesteld door een blok dat tengevolge van een bepaalde input f (t) een bepaalde output y(t) produceert. In de systeemtheorie zal men dikwijls een transformatie uitvoeren waarbij het tijdsdomein wordt omgezet naar het frequentiedomein d.m.v. de laplacetransformatie. Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–24

Complexe getallen

De schematische voorstelling van het systeem bevat nu een inputfunctie F (s) en een outputfunctie (responsie) Y (s). Zo wordt het tweede orde systeem dat geassocieerd is met de lineaire differentiaalvergelijking ay 00 + by 0 + c = f (t) (met beginvoorwaarden y(0) = y 0 (0) = 0 na transformatie naar het s–domein (as2 + bs + c) Y (s) = F (s) of schematisch voorgesteld door inputfunctie F (s) −−−→ De verhouding

as2

1 −−−→ responsiefunctie Y (s) + bs + c

Y (s) wordt genoteerd als H(s) en wordt de transferfunctie van het F (s)

systeem genoemd.

De ligging van de complexe nulpunten en de polen van de bekomen transferfunctie van een complexe veranderlijke zijn van groot belang om het gedrag van het systeem beter te kennen. Zo geldt bijvoorbeeld dat een systeem stabiel is (d.w.z. dat een begrensde inputfunctie een begrensde responsiefunctie oplevert) wanneer alle polen van de transferfunctie links van de imaginaire as liggen (dus een negatief re¨eel deel bezitten). Bij de studie van lineaire systemen worden ook een aantal diagrammen gebruikt die de functie H(s) voor s = jω grafisch voorstellen. Zo heeft men o.a. het Bode– diagram, het Nyquist–diagram en het Nichols–Black–diagram. Bij het Bode–diagram worden de modulus en het argument van H(jω) afzonderlijk voorgesteld als functie van ω . Bij de voorstelling van |H(jω)| werkt men met een logaritmische schaalverdeling op de ω –as en een logaritmische schaalverdeling (geijkt in dB) op de ordinaatas volgens M = 20 log[10]|H(jω)|. Bij de voorstelling van arg(H(jω)) (fasediagram) gebruikt men een logaritmische schaalverdeling op de ω –as. Er bestaan methodes om snel een manuele schets (asymptotische benadering) te maken van beide Bode–plots met behulp van de kennis van de nulpunten en de polen van de transferfunctie. Wanneer men de waarden van de functie H(jω) (dat zijn complexe getallen) uitzet als beeldpunten in het vlak van Gauss, dan bekomt men een kromme die men het polair diagram of Nyquist–diagram noemt. De vorm van deze kromme zal ook weer afhangen van de ligging van de nulpunten en de polen van de transferfunctie. Tenslotte is er nog het Nichols–Black–diagram waarbij de modulus |H(jω)| met een logaritmische schaalverdeling wordt uitgezet tegenover het argument arg(H(jω)). • Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–25

100

1

w 10

.1e–2

|H(jw)|

.1e–1

.1

10

100

0

–1

.1e–2

.1e–1

.1

10

arg(H(jw))

100

w

–2

–3

.1

Figuur 1.9: voorbeeld van een Bode–diagram (modulus en fase)

Een ander belangrijk begrip bij de studie van systemen is de poolbaan of rootlocus. Om de ligging van polen en nulpunten van een systeem met transferfunctie H(s) te kennen, kan men gebruik maken van de transferfunctie Hc (s) = bijhorende gesloten loop–systeem met versterkingsfactor K .

K H(s) van het 1 + K H(s)

De kromme die beschreven wordt in het vlak van Gauss door de nulpunten van de noemer van Hc (s) (= de polen van Hc (s)) wanneer K varieert van 0 tot oneindig noemt men de poolbaan of rootlocus. Meestal bestaat deze uit verschillende “takken”. Uit de kennis van de rootlocus kan heel wat informatie over het systeem worden afgelezen, zoals de stabiliteit ervan voor verschillende waarden van K .

4

2

0 –3

–2

–0.6

–0.1

–2

–4

Figuur 1.10: voorbeeld van een poolbaan of rootlocus

Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–26

1.10.4

Complexe getallen

Fractalen en complexe getallen

Fractalen zijn bijzondere meetkundige structuren met als voornaamste kenmerk “zelfgelijkvormigheid”(self–similarity) wat betekent dat bij uitvergroting van een deel van de figuur de oorspronkelijke figuur kan teruggevonden worden. Een belangrijke klasse van fractalen wordt aangetroffen bij de studie van niet– lineaire dynamische systemen. Deze fractalen komen tot stand door eigenschappen van punten in het complexe vlak te onderzoeken onder herhaald toepassen van een functie (iteratie). Een belangrijk voorbeeld daarvan zijn de Julia–fractalen. Wanneer we het iteratief voorschrift zn+1 = zn 2 +c met c ∈ C bekijken in het complexe vlak, dan wordt vertrekkend van een startwaarde z0 een rij punten z0 , z1 , z2 , z3 , . . . gegenereerd. Blijft deze rij begrensd, dan wordt het startpunt z0 in het vlak van Gauss geplot. De Julia–verzameling Jc geassocieerd aan de functie f (z) = z 2 + c bestaat uit alle punten z0 waarvoor de bijhorende rij z0 , z1 , z2 , . . . begrensd is. Bijvoorbeeld voor c = 0 bestaat J0 uit de punten van een cirkelschijf met straal 1. De rand van een Julia–verzameling wordt een “Julia–fractaal” genoemd. De vorm van een Julia–verzameling Jc hangt af van de waarde van c. Een fundamentele stelling, in 1919 onafhankelijk van elkaar bewezen door de Franse wiskundigen Gaston Julia en Pierre Fatou, stelt dat er slechts twee soorten Julia– verzamelingen bestaan : samenhangende en niet–samenhangende. Een samenhangende Julia–verzameling bestaat uit ´e´en deel terwijl een niet–samenhangende Julia–verzameling is opgebouwd uit oneindig veel delen die elk uit slechts ´e´en punt bestaan. Zo’n onsamenhangende verzameling wordt ook een Cantorverzameling genoemd. Het al dan niet samenhangend zijn van Jc wordt bepaald door de baan van de bijzondere startwaarde z0 = 0 onder het iteratief voorschrift. De verzameling is samenhangend als en slechts als deze baan niet naar oneindig voert. De Pools–Franse wiskundige Benoit Mandelbrot die in 1977 het begrip fractaal introduceerde, ontdekte dat de complexe getallen waarvoor Jc samenhangend is, alle behoren tot een welbepaalde verzameling die nu de Mandelbrot–verzameling wordt genoemd en die wellicht de meest besproken figuur is in de context van fractalen.

• Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–27

Figuur 1.11: De Mandelbrot–verzameling en voorbeelden van Julia–verzamelingen

Fractalen vinden toepassingen in heel wat domeinen, bij groeipatronen van planten en kristallen, bij de structuur van wolken en bergen, bij de vorm van kustlijnen, etc... . Als onderdeel van de chaostheorie die volledig is gebaseerd op de eigenaardige gedragingen van niet–lineaire systemen, komen fractalen dikwijls voor bij simulatie of voorspelling van natuurlijke verschijnselen zoals bij weerpatronen en klimatologische veranderingen, bij chemische reacties met chaotische kenmerken, onvoorspelbare turbulenties in gas– en vloeistofstromen en bij complexe economische verschijnselen. De kleurrijke voorstellingen van fractalen in het complexe vlak (toevoeging van kleuren gebeurt naargelang de snelheid waarmee bepaalde punten naar een vast punt convergeren in het iteratief proces) maken deze objecten ook aantrekkelijk. Fractalen kunnen zelfs hoorbaar worden gemaakt door het visueel beeld te scannen en iedere kleur te laten corresponderen met een muzikale parameter zoals toonhoogte (fractale muziek).

1.10.5

Complexe analyse

In de complexe analyse worden complexwaardige functies van een complexe veranderlijke bestudeerd, dus functies van C naar C Stelt men f (z) = f (x + yj) = u(x, y) + v(x, y)j dan worden de re¨eelwaardige functies u en v resp. het re¨eel en het imaginair deel van f genoemd. Een belangrijke klasse van complexe functies wordt gevormd door de holomorfe functies. Voor een R − R functie werd de afleidbaarheid in een (inwendig) punt van de defi(x0 ) nitieverzameling gedefinieerd door te eisen dat lim f (x)−f bestaat en eindig is. x−x0 x→x0

Willen we deze definitie uitbreiden naar C − C functies, dan moeten we opmerken (z0 ) niet ondubbelzinnig bepaald is. dat lim f (z)−f z−z0 z→z0

Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–28

Complexe getallen

Immers daar waar men op de re¨ele rechte enkel langs links of langs rechts kan naderen naar x0 , kan men in het complexe vlak op oneindig veel manieren naderen naar z0 . Daarom definieert men : f is complex afleidbaar in z0 als lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) onafhanz − z0

kelijk is van de wijze waarop z naar z0 nadert en als deze limiet eindig is.

In het bijzonder kan men in het geval van een complex afleidbare functie in z0 de (z0 ) waarde van lim f (z)−f berekenen door z naar z0 te laten naderen evenwijdig met z−z0 z→z0

de re¨ele as, resp. evenwijdig met de imaginaire as en men bekomt dan : lim

z→z0

f (z)−f (z0 ) z−z0

resp. lim

z→z0

= lim

∆x→0

f (z)−f (z0 ) z−z0

f (x0 +∆x+y0 j)−f (x0 +y0 j) ∆x

= lim

∆y→0

f (x0 +(y0 +∆y)j)−f (x0 +y0 j) j∆y

Identificeert men de verzameling C met de verzameling R2 van de koppels re¨ele getallen, door x + yj te vereenzelvigen met (x, y), dan kan men een functie van een complexe veranderlijke ook opvatten als een functie van twee re¨ele veranderlijken f (x + yj) ≡ f (x, y).

Door deze identificatie kunnen bovenstaande limieten opgevat worden als de parti¨ele afgeleiden van f (x, y) naar x resp. naar y. We besluiten : als f complex afleidbaar is, dan is f (na de identificatie) ook partieel afleidbaar naar x en y en er geldt : Dz f =

∂f 1 ∂f = ∂x j ∂y

Gelet op 1j = −j hebben we dan ook dat de parti¨ele afgeleiden voldoen aan de betrekking ∂f ∂f +j =0 ∂x ∂y

Men noemt dit de voorwaarde van Cauchy–Riemann. Stelt men f (z) = f (x + yj) = u(x, y) + jv(x, y) dan gaat men gemakkelijk na dat deze voorwaarde gelijkwaardig is met de twee voorwaarden samen : ∂v ∂u ∂v ∂u = en =− ∂x ∂y ∂y ∂x

die men ook de voorwaarden van Cauchy–Riemann noemt. Deze voorwaarden zijn dus nodige voorwaarden voor het complex afleidbaar zijn van een functie f. • Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–29

Goursat heeft aangetoond dat deze voorwaarden ook voldoende zijn. Een functie f die voldoet aan de voorwaarde van Cauchy–Riemann en die bovendien van de klasse C1 is (d.w.z. het re¨eel deel en het imaginair deel van f zijn continue functies met continue parti¨ele afgeleiden), wordt een holomorfe functie genoemd. voorbeelden : • De functie f : z → z 2 is holomorf.

Immers : f (x + yj) = (x + yj)2 = (x2 − y 2 ) + 2xyj De voorwaarden van Cauchy–Riemann zijn vervuld : ∂u ∂x

= 2x =

∂v ∂y

en

∂u ∂y

∂v = −2y = − ∂x

De complexe afgeleide is gegeven door Dz z 2 =

∂f ∂x

=

∂u ∂x

∂v + j ∂x = 2x + 2yj = 2(x + yj) = 2z

• De functie f : z → z is niet holomorf.

Immers : f (x + yj) = x − yj zodat

∂u ∂x

= 1 6=

∂v ∂y

= −1

Holomorfe functies bezitten bijzondere eigenschappen. E´en daarvan heeft betrekking op integratie. Zij f een C − C functie die gedefinieerd is over een gebied Ω en onderstel dat f continu is over Ω. Zij verder K een pad in Ω van z1 = x1 + y1 j naar z2 = x2 + y2 j We defini¨eren de integraal van f over K m.b.t. z als : R K

f (z) dz =

(xR 2 ,y2 )

(xR 2 ,y2 )

(x1 ,y1 )

(x1 ,y1 )

(u + jv)(dx + jdy) =

udx − vdy + j

(xR 2 ,y2 )

vdx + udy

(x1 ,y1 )

waarbij f (x + yj) = u(x, y) + v(x, y)j werd gesteld. Met deze definitie wordt de integraal van een functie van een complexe veranderlijke teruggebracht tot de berekening van twee lijnintegralen van re¨eelwaardige functies van twee re¨ele veranderlijken (zie vectoranalyse). De waarde van de integraal is over het algemeen een complex getal. In bovenstaande definitie werd zowel de kromme K waarlangs men integreert als het begin– en eindpunt van deze kromme betrokken. Over het algemeen zal een andere keuze van K met zelfde begin– en eindpunt een andere integraalwaarde opleveren. Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–30

Complexe getallen

We kunnen ons afvragen onder welke voorwaarden de keuze van K geen rol speelt R zodat f (z) dz enkel afhangt van de randpunten z1 = (x1 , y1 ) en z2 = (x2 , y2 ) en K

zodat we in dat geval ondubbelzinnig de notatie

Rz2

f (z) dz kunnen gebruiken.

z1

Het antwoord op die vraag is een gevolg van de belangrijke stelling van Cauchy : Zij Ω een gesloten gebied inH het vlak van Gauss met ge¨ori¨enteerde randkromme K en zij f holomorf over Ω. Dan is K f (z) dz = 0

Uit deze stelling volgt: is de functie f holomorf in een gesloten gebied ΩHen zijn K1 H en K2 twee paden binnen Ω met randpunten z1 en z2 , dan is K1 f (z) dz = K2 f (z) dz. Voor een holomorfe functie (in het andere geval niet !) kunnen we dus de notatie Rz2

f (z) dz gebruiken, zonder dat het pad dat z1 met z2 verbindt, moet gespecifieerd

z1

worden.

Een R − R functie f die onbeperkt afleidbaar is in een omgeving van een punt x0 van haar definitieverzameling kan ontwikkeld worden in een machtreeks rond x0 (taylorreeks). Voor een holomorfe C − C functie f beschikt men over een gelijkaardige stelling : f (z) =

+∞ P

n=0

an (z − z0 )n met an =

(Dzn f )(z0 ) voor alle z in een omgeving van z0 n!

De Franse wiskundige Pierre Laurent breidde het resultaat uit door het invoeren van reeksen met zowel positieve als negatieve gehele exponenten. Dit is de stelling van Laurent : Zij f holomorf in Ω \ {z0 }. Dan geldt voor elke z in een schijfvormig gebied binnen Ω met middelpunt z0 : +∞ +∞ P P bm f (z) = an (z − z0 )n + m n=0 m=1 (z − z0 ) H H f (z) 1 1 met an = 2πj en b = f (z)(z − z0 )m−1 dz waarbij de kringintegralen m 2πj (z − z0 )n+1 worden berekend langs de rand van het beschouwde schijfvormig gebied.

De laurentreeks is geen machtreeks, maar bevat wel een machtreeksgedeelte (met +∞ P

positieve gehele exponenten)

an (z − z0 )n dat men het analytisch deel van de lau-

n=0

rentreeks noemt. Het gedeelte met de negatieve gehele machten men het hoofddeel van de laurentreeks. • Algebra voor ingenieurs •

+∞ P

bm noemt m m=1 (z − z0 ) Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–31

Laurentreeksen werden ingevoerd om een functie te kunnen ontwikkelen in een omgeving van punten waarin ze niet holomorf is. Men noemt deze punten ook singuliere punten of singulariteiten. De (ge¨ısoleerde) singuliere punten van een functie kunnen worden geclassificeerd op basis van de bijhorende laurentreeks. Men onderscheidt : • bm = 0 voor alle m = 1, 2, . . . De laurentreeks rond z0 bestaat dus enkel uit een analytisch deel. Men zegt dat z0 een ophefbaar ge¨ısoleerd singulier punt is.

voorbeeld : z0 = 0 is een ophefbaar singulier punt van de functie f (z) = 3

sin z . z

5

Immers, gelet op de Maclaurinreeks voor sin z = z − z3! + z5! − . . . bekomen we : sin z =1− z

z2 3!

+

z4 5!

− ...

Deze laurentreeks bevat enkel een analytisch deel. • bm 6= 0 voor slechts een eindig aantal m–waarden. Het hoofddeel in de Laurentreeks rond z0 is dus een afbrekende reeks. Stelt men p = max{m | bm 6= 0} dan noemt men het ge¨ısoleerd singulier punt z0 een pool van de orde p.

voorbeeld : z0 = 0 is een pool van de functie f (z) = Immers :

z4

z4

1 − z5

1 1 = 4 5 −z z (1 − z) 1 1−z

=

1 z4

·

=

1 z4

· (1 + z + z 2 + z 3 + . . .)

=

1 z4

+

1 z3

+

1 z2

+

1 z

+ 1 + z + ...

We zien dat het hoofddeel een afbrekende reeks is met slechts vier termen. Bijgevolg is z0 = 0 een pool van de vierde orde. • bm 6= 0 voor een oneindig aantal m–waarden. Het hoofddeel in de laurentreeks rond z0 is dus een reeks met oneindig veel termen. In dit geval noemt men z0 een wezenlijk ge¨ısoleerd singulier punt.

voorbeeld : z0 = 0 is een wezenlijk ge¨ısoleerd singulier punt van de functie 1 f (z) = z 2 e− z

1

Immers : e− z = 1 + (− z1 ) + 2!1 (− z1 )2 + 3!1 (− z1 )3 + . . . 1

zodat z 2 e− z = z 2 − z + 2!1 −

1 3!z

+

1 4!z 2

− ...

Het hoofddeel van deze laurentreeks is een oneindige reeks.

Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–32

Complexe getallen

E´en van de belangrijkste stellingen uit de complexe analyse is ongetwijfeld de residustelling. Is z0 een pool of een wezenlijk ge¨ısoleerd singulier punt van f , dan noemt men de co¨effici¨ent b1 in de laurentreeks van f rond z0 het residu van f in z0 H

1 Dit residu kan berekend worden als een kringintegraal : b1 = 2πj f (z)dz waarbij ge¨ıntegreerd wordt over een cirkel met middelpunt in z0 of het kan gewoon afgelezen worden uit de laurentreeks van f rond z0 indien deze gegeven is.

In het bijzonder geval van een pool, beschikt men nog over een andere handige formule om het residu te bepalen. Er geldt namelijk : Res(f ; z0 ) =

1 lim (p−1)! z−→z 0

Dzp−1 ((z − z0 )p f (z))

indien z0 een pool is van de orde p. Formuleren we nu de residustelling : Zij Ω ⊆ C en zij f holomorf in Ω uitgenomen in een eindig aantal polen of wezenlijk ge¨ısoleerde singuliere punten. Zij verder K de randkromme van een gesloten deelgebied van Ω dat de polen of wezenlijk ge¨ısoleerde singuliere punten z1 , z2 , . . . , zk bevat als inwendige punten. k H P Res(f ; zi ) Dan geldt : f (z) dz = 2πj i=1

K

De residustelling heeft verrassende toepassingsgebieden zoals de berekening van bepaalde klassen oneigenlijke integralen van re¨elwaardige functies (die enkel via technieken van de re¨ele analyse niet kunnen berekend worden). Door het integratieinterval te beschouwen als onderdeel van een gesloten contour in het complexe vlak kan men deze integralen wel berekenen uit de contourintegraal waarvan de waarde wordt gevonden met de residustelling. Z

+∞

voorbeeld : 0

π sin x = x 2

De complexe analyse vormt ook een zeer geschikt kader voor het oplossen van problemen uit de potentiaaltheorie. In deze tak van de wiskunde bestudeert men de oplossingen van de vergelijking van Laplace ∇2 Φ = 0, ´e´en van de belangrijkste parti¨ele differentiaalvergelijkingen. Deze oplossingen worden harmonische functies genoemd. De overgang van de re¨ele harmonische functie Φ naar de complexe functie F = Φ+j Ψ met Ψ de toegevoegde harmonische functie van Φ (dit is : Φ en Ψ voldoen aan de voorwaarden van Cauchy–Riemann, m.a.w. F = Φ + j Ψ is holomorf) biedt heel • Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–33

wat voordelen en deze techniek wordt ondermeer toegepast in de stromingsleer (berekening van snelheid van stromingsveld), in de warmteleer (bepalen van warmtestroomlijnen en isothermen) en in de elektriciteit (potentiaalberekeningen).

1.10.6

Transformaties van het complexe vlak

Wanneer men een puntenverzameling van het complexe vlak onderwerpt aan een complexe functie f dan is de beeldverzameling opnieuw een puntenverzameling van het complexe vlak. Men zegt ook wel dat de functie f een transformatie van het complexe vlak bepaalt. Is z = x + y j en w = f (z) = u + v j dan zegt men dat w het beeldpunt is van z onder de transformatie. Enkele eenvoudige voorbeelden van transformaties van het complexe vlak zijn : • translaties : f (z) = z + K met K = a + bj een vast complex getal. • dilataties : f (z) = z · K met K een vast positief re¨eel getal. • rotaties : f (z) = z · K met K = ej α een vast complex getal met modulus 1.

Elke samenstelling van translaties, dilataties en rotaties noemt men een lineaire transformatie van het complexe vlak. Dit soort afbeeldingen f (z) = Az + B met A en B vaste complexe getallen, zijn bijecties van het complexe vlak waarbij rechten worden afgebeeld op rechten. Lineaire transformaties zijn ook steeds hoektrouwe afbeeldingen, d.w.z. dat de hoek tussen twee krommen in een punt dezelfde is als de hoek tussen de beeldkrommen in het beeldpunt. Er zijn natuurlijk ook nog andere hoektrouwe afbeeldingen buiten de lineaire. Een hoektrouwe afbeelding die bovendien ook de ori¨entatie van de hoek behoudt, noemt men een conforme afbeelding van het complexe vlak. Het belang van conforme afbeeldingen wordt duidelijk bij volgende stelling : Is f een functie van de klasse C1 (continu met continue afgeleiden), dan zijn volgende uitspraken gelijkwaardig : (i) f is conform in elk punt van een open gebied Ω en (ii) f is holomorf in Ω met een afgeleide die nergens nul is

De conforme afbeeldingen zijn dus precies de holomorfe functies. Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–34

Complexe getallen

Voorbeelden daarvan zijn er in overvloed : de complexe sinusfunctie, de complexe exponenti¨ele functie, de complexe machtfuncties, . . .. Een uiterst belangrijke groep van voorbeelden wordt gevormd door de M¨ obius– transformaties, ook gekend als lineaire rationale transformaties. az + b

Deze zijn gedefinieerd door f (z) = met a, b, c, d vaste complexe getallen waarcz + d voor ad − bc 6= 0. Door deze transformaties worden cirkels afgebeeld op cirkels of op rechten en rechten worden afgebeeld op rechten of cirkels. 1 z

De eenvoudigste M¨obiustransformatie is een inversie f (z) = . Het beeld van een punt z = x + y j is dus het punt w = omgekeerde van een complex getal).

–4

–3

–2

–1

x2

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

4

–4

–3

–2

–1

0

–1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

x y − 2 j (zie 2 +y x + y2

1

2

3

4

Figuur 1.12: Beeld van een rechthoekig raster onder een inversie

Een ander belangrijk voorbeeld van een conforme afbeelding van het complexe vlak 1

is de transformatie van Joukowski f (z) = z + . Het beeld van cirkels door (−1, 0) z die het punt (1, 0) omsluiten zijn gesloten krommen die optreden als profiel bij vliegtuigvleugels. Uit de kennis van de luchtstromingen rond een cirkel kan men aldus het stromingsgedrag rond het vleugelprofiel afleiden door toepassing van de Joukowski transformatie wat voor het eerst werd opgemerkt door de Russische wiskundige naar wie de transformatie is genoemd.

• Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–35

1.11

Maple–commando’s voor complexe getallen

1.11.1

Een complex getal invoeren

De imaginaire eenheid j wordt in Maple standaard voorgesteld door de hoofdletter I. Complexe getallen worden ingevoerd in algebra¨ısche gedaante x + yI voorbeeld : >

z:=x+y*I; z := x + y I

>

w:=3-2*I; w := 3 − 2 I

Men kan de imaginaire eenheid vervangen door een andere letter (bvb. de gebruikelijke i of j ) door het commando interface(imaginaryunit=j). Hou er wel rekening mee dat deze instelling verdwijnt na een restart. >

interface(imaginaryunit=j); j

>

z:=2*j; z := 2 j

>

z^2; −4

> >

restart: z:=2*j; z := 2 j

>

z^2; 4 j2

1.11.2

Overgang tussen algebra¨ısche en polaire gedaante

Is een complex getal ingevoerd in de algebra¨ısche gedaante, dan kan men daaruit de goniometrische en de polaire gedaante vinden door berekening van de modulus en het argument. Deze worden bepaald met de commando’s abs(z) en argument(z) . Het gevonden argument is daarbij steeds het hoofdargument gelegen tussen −π en π . voorbeeld : >

z:=1-I; z := 1 − I

Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–36 >

>

Complexe getallen abs(z);

√

2

argument(z); −

π 4

Modulus en argument kunnen ook in ´e´en keer samen worden bepaald met het commando convert(...,polar) >

convert(z,polar);

√ π polar( 2, − ) 4

Wordt een complex getal ingevoerd in polaire gedaante (met exp) dan wordt dit automatisch omgezet door Maple in algebra¨ısche gedaante voor bijzondere waarden van het argument (zoals π4 , π6 e.a.). In de overige gevallen, kan men de algebra¨ısche gedaante vinden door eerst het re¨eel en het imaginair deel te bepalen met de commando’s Re(z) en Im(z) voorbeelden : >

z:=2*exp(Pi/6*I); z :=

>

z:=2*exp(-Pi/4*I); z :=

>

√

√

3+I

2−

√

2I

z:=2*exp(Pi/8*I); z := 2 e(1/8 I π)

>

>

>

>

Re(z); π 2 cos( ) 8

Im(z);

π 2 sin( ) 8

z:=Re(z)+Im(z)*I; evalf(%);

π π z := 2 cos( ) + 2 I sin( ) 8 8 1.847759065 + 0.7653668650 I

• Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1.11.3

1–37

Bewerkingen uitvoeren met complexe getallen

De bewerkingen optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing van complexe getallen in algebra¨ısche gedaante, worden uitgevoerd op de gebruikelijke wijze (net zoals bij re¨ele getallen). voorbeelden : >

z[1]:=2-3*I; z1 := 2 − 3 I

>

z[2]:=3-2*I; z2 := 3 − 2 I

>

z[1]+z[2]; 5 − 5I

>

z[1]*z[2]; −13 I

>

>

z[1]/z[2];

z[1]^3;

12 5 − I 13 13 −46 − 9 I

Wanneer men bewerkingen uitvoert met “niet–numerieke”complexe getallen (d.i. complexe getallen waarin letters optreden), dan wordt het resultaat van een bewerking niet vanzelf in de eenvoudigste algebra¨ısch gedaante gezet. Men kan dat wel forceren door gebruik te maken van evalc(z) . voorbeelden : >

z:=x+y*I; z := x + y I

>

w:=u+v*I; w := u + v I

>

z+w; x+yI +u+vI

>

evalc(z+w); x + u + (y + v) I

>

z*w; (x + y I) (u + v I)

>

evalc(z*w); x u − y v + (x v + y u) I

>

1/z;

Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–38

Complexe getallen 1 x+yI

>

evalc(1/z); x2

x yI − 2 2 +y x + y2

Voor het complex toegevoegde van een complex getal beschikt men over het commando conjugate(z) . voorbeeld : >

conjugate(x+y*I); (x + y I)

>

evalc(%); x−yI

>

conjugate(1/4-2*I); 1 + 2I 4

1.11.4

Een complex getal meetkundig voorstellen

Complexe getallen kunnen worden voorgesteld als punten in het vlak met het commando complexplot(L,x=a..b,y=c..d,style=point,opties) . Het eerste argument is de lijst L van de complexe getallen die moeten worden voorgesteld. De optionele bereiken voor x en y bepalen welk deel van het vlak van Gauss moet worden weergegeven en de optie style=point zorgt voor een weergave waarbij de complexe getallen worden voorgesteld als punten (zonder verbinding). Het symbool dat hiervoor wordt gebruikt (een cirkel, een kruisje, . . .) en de grootte en kleur daarvan kan worden gekozen met bijkomende opties. voorbeelden : > >

> >

with(plots): z[1]:=1+I;z[2]:=2-I;z[3]:=3+2*I; z1 := 1 + I z2 := 2 − I z3 := 3 + 2 I complexplot([z[1],z[2],z[3]],x=0..4,y=-1..3,style=point,symbol=circle ,symbolsize=20

• Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–39

3

2 y 1

0

1

2 x

3

4

–1

1.11.5

Wortels uit een complex getal bepalen

De n–de machtswortels uit een complex getal c worden gevonden door de vergelijking z n = c op te lossen (commando solve). De bekomen oplossingen kunnen in eenvoudigste algebra¨ısche gedaante worden gezet door eventueel nog evalc toe te passen. Zoals bekend vormen de beeldpunten van de n–de machtswortels de hoekpunten van een regelmatige n–hoek (voor te stellen met complexplot). voorbeeld : >

>

> >

vergelijking:=z^4+1=0; vergelijking := z 4 + 1 = 0 wortels:=solve(vergelijking,z); √ √ √ √ 2 1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 1 √ + I 2, − + I 2, − − I 2, − I 2 wortels := 2 2 2 2 2 2 2 2 for k from 1 to 4 do r[k]=abs(wortels[k]) ; Arg(z[k])=simplify(argument(wortels[k])) end do; r1 = 1 π Arg(z1 ) = 4 r2 = 1 3π Arg(z2 ) = 4 r3 = 1 3π Arg(z3 ) = − 4 r4 = 1 π Arg(z4 ) = − 4

Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •

1–40 > >

Complexe getallen with(plots):complexplot([wortels],x=-1..1,y=-1..1,style=point, symbolsize=30,scaling=constrained);

1 0.8 y

0.6 0.4 0.2

–1–0.8

–0.4 0 –0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 x

–0.4 –0.6 –0.8 –1

>

vergelijking:=z^6=I; vergelijking := z 6 = I

wortels:=solve(vergelijking,z); p p p √ √ p √ √ √ 2I + 2 3 2I + 2 3 2I − 2 3 2I − 2 3 2 1 √ wortels := ,− , ,− , − I 2, 2 2 2 2 2 2 √ 2 1 √ − + I 2 2 2 >

>

for k from 1 to 6 do z[k]=evalc(wortels[k]) end do; √ √ √ √ 6 2 6 2 z1 = + +( − )I 4 4 4 4 √ √ √ √ 6 2 6 2 z2 = − − + (− + )I 4 4 4 4 √ √ √ √ 6 2 6 2 − +( + )I z3 = 4 4 4 4 √ √ √ √ 6 2 6 2 z4 = − + + (− − )I 4 4 4 4 √ 2 1 √ − I 2 z5 = 2 2 √ 2 1 √ + I 2 z6 = − 2 2

>

complexplot([wortels],style=point,symbol=cross,symbolsize=40,color=bl ue,scaling=constrained);

>

• Algebra voor ingenieurs •

Hoofdstuk 1

Complexe getallen

1–41

1

0.5

–1

–0.5

0.5

1

–0.5

–1

1.11.6

Sinus, cosinus en logaritme van een complex getal bepalen

De sinus, cosinus en hoofdlogaritme van een complex getal kunnen worden bepaald met de functies sin, cos en ln (gevolgd door evalc). voorbeeld : >

sin(x+y*I); sin(x + y I)

>

evalc(%); sin(x) cosh(y) + cos(x) sinh(y) I

>

cos(x+y*I); cos(x + y I)

>

>

>

>

>

evalc(%); cos(x) cosh(y) − sin(x) sinh(y) I evalc(sin(Pi/3+Pi/4*I)); 1 π 1√ π 3 cosh( ) + I sinh( ) 2 4 2 4 ln(1+I); ln(1 + I) evalc(%); 1 1 ln(2) + I π 2 4 ln(-5); ln(5) + π I

Hoofdstuk 1

• Algebra voor ingenieurs •