Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zernike College Haren Benodigde Voorkennis: • • • • • •
−1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r (cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) Regel van De Moivre: (cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) n = cos nϕ + i ⋅ sin nϕ De formule van Euler: e iϕ = cos ϕ + i ⋅ sin ϕ Formules maken met Excel
Inleiding: In deze praktische opdracht maak je kennis met een aantal functies van complexe getallen. Je leert hoe je functies kunt itereren en wat ‘aantrekkers’ zijn. In deel III ga je het ‘aantrekkingsgebied’ van de functie: f ( z ) = z 2 + c onderzoeken. Dit blijkt een hele bijzondere verzameling te zijn. I: Kennismaking met een aantal complexe functies. 1.1 Gegeven is de functie: f ( z ) = z1 ⋅ z waarbij z1 een vast complex getal is, bijvoorbeeld z1 = 1 + 3 ⋅ i . a) Beschrijf hoe een punt in het complexe vlak wordt verplaatst door de functie f. Je kunt hierbij denken aan spiegelingen, translaties (verschuivingen), vermenigvuldigingen en rotaties. b) Wat wordt het bereik van de functie als je als domein het eenheidsvierkant neemt. Dat is in dit geval het vierkant in het complexe vlak met als hoekpunten 1+i, 1-i, -1+i en -1-i. 1.2 Gegeven is de functie g ( z ) = z n . Voor n = 2, 3 en 5. a) Beschrijf hoe een punt in het complexe vlak wordt verplaatst door de functie f. Je kunt hierbij denken aan spiegelingen, translaties (verschuivingen), vermenigvuldigingen en rotaties. b) Wat wordt het bereik van de functie als je als domein het eenheidsvierkant neemt. c) Los op g ( z ) = 1 . Hoe ziet deze oplossing er uit in het complexe vlak?
II: Iteraties: A: Itereren bij parabolen. Op het eerste gezicht lijkt er weinig interessants te ontdekken aan de functie f(x) = x2. De grafiek ervan is een dalparabool met zijn minimum in de oorsprong. Het berekenen van de y-waarde gaat heel eenvoudig met een rekenmachine. Voer een getal in, bijvoorbeeld 2 en druk op de kwadraat-toets. De uitkomst is 4, niet erg verrassend. Druk je nu opnieuw op de kwadraat-toets, dan wordt de uitkomst van de eerste berekening gebruikt als invoer voor de tweede, en dat geeft als nieuwe uitkomst 16. Ga je hier mee door, dan krijg je 256, vervolgens 65536, en na nog een paar keer geeft de calculator een foutmelding, omdat de uitkomst te groot wordt. We noemen dit proces itereren.
ITEREREN: een bewerking uitvoeren op een getal en dan de uitvoer opnieuw als invoer gebruiken. 2.1 Neem bij dezelfde functie als startwaarde 1,5. Na hoeveel stappen wordt je uitkomst groter dan 100? 2.2 Neem als startwaarde 0,9. Wat valt je op? Er is een heel aardige manier om dit itereren grafisch weer te geven. Bedenk dat we telkens voor de nieuwe x de oude y gebruiken. In de figuur is de diagonaal getekend ( y = x). We starten met een xwaarde, trekken een lijntje vertikaal omhoog tot de parabool (y) en daarna een horizontaal lijntje naar de diagonal (nieuwe x). Dan weer omhoog (of omlaag) tot de parabool, enzovoort.
We zien in de figuur hierboven dat de groene lijn wegschiet naar oneindig. Wanneer we starten met het getal 0.5, ligt dat anders. De eerste uitkomst is dan 0.25, vervolgens 0.0625, enzovoort, in de richting van 0. Dat geldt voor alle getallen kleiner dan 1. Ook hier kan het proces grafisch weergegeven worden met behulp van de diagonaal. Zie de figuur hieronder.
En het getal 1 zelf? Dat blijft keurig op zijn plaats. Het scheidt het gebied van getallen die door 0 worden aangetrokken van het gebied dat naar oneindig gaat. We noemen het punt 0 een AANTREKKER Het is gemakkelijk in te zien dat voor negatieve startwaarden geldt, dat alle getallen groter dan -1 ook dezelfde aantrekker 0 hebben. Getallen kleiner dan -1 gaan weer naar oneindig. Samengevat: de parabool f(x) = x2 heeft een aantrekker in het punt x = 0, voor startwaarden tussen -1 en +1. Nu gaan we kijken wat er gebeurt wanneer we de parabool omhoog of omlaag verplaatsen. Het verticaal verschuiven van de parabool, betekent dat de functie wordt: f(x) = x2 + c. De top van deze dalparabool is nu (0, c).
De vraag is, wat gebeurt er nu wanneer we deze functie itereren? Het antwoord is hierboven te zien, waar c gelijk aan -0,5 is gekozen. We zien dat er weer een aantrekker is, maar die is nu niet meer nul. De aantrekker is precies het snijpunt van de parabool met de diagonaal! Het andere snijpunt van de parabool met de diagonaal heeft ook betekenis: wanneer de startwaarde rechts van dit snijpunt ligt, dan gaat het itereren naar oneindig. 2.3 Bereken met behulp van de abc-formule de snijpunten van deze parabool met de diagonaal. Rond af op drie decimalen. Wat is in dit geval de aantrekker en welke beginwaarden worden uiteindelijk naar deze aantrekker toe getrokken? 2.4 Onderzoek zelf wat er gebeurt in het geval c = -1. Is hier ook sprake van een aantrekker? En zo ja, welke beginwaarden worden hier naar toe getrokken?
B Itereren met je Grafische Rekenmachine: 2.5 Toets in op je GR: 5 [enter] en dan 2*[Ans]+1 [enter] [enter] [enter] [enter] [enter]. Wat valt je op? De antwoorden die je krijgt zijn de iteraties van de functie f ( x ) = 2 x + 1 met begingetal 5. De verschillende iteraties noteren we vaak als f 1 (5) , f 2 (5) , f 3 (5) enz. Dus f 1 (5) =11, f 2 (5) =23 en f 3 (5) = 47. Ga na dat in dit geval f 10 (5) =6143. Bij deze functie blijkt f n (5) op den duur oneindig groot te worden als n naar oneindig gaat. De rij van iteraties heet dan divergent. Opdrachten: 1 2.6 Gegeven f ( x) = 1 + . Bereken f 10 (1) , f 11 (1) en f 12 (1) . Verwacht je dat deze rij van iteraties x divergent is? Een rij die niet divergent is heet convergent. De opeenvolgende iteraties zullen steeds dichter bij een bepaalde waarde komen, de limietwaarde. 2.7 Gegeven is: g ( x) = x 2 − 0,5 . Bereken g 20 (2) en g 20 (1) . Wat valt je op? Blijkbaar is het mogelijk dat een bepaalde functie bij het itereren voor de ene beginwaarde convergent is en voor de andere divergent. Dit principe komt straks weer terug als we de Julia-verzameling gaan onderzoeken. b) Het bijzondere is dat deze methode van itereren met de GR ook toegepast kan worden met complexe getallen. 2.8 Neem f ( z ) = (1 + 3 ⋅ i ) ⋅ z . Bereken f 3 (2 + 2i ) en f 6 (2 + 2i ) . Had je deze antwoorden kunnen voorspellen? Denk aan opgave 1.1.
C: Itereren met Excel Ook in Excel kun je itereren met complexe getallen. Neem als voorbeeld de functie f ( z ) = z 2 − 0,5 . Om complexe getallen te itereren in Excel maak je een aparte kolom voor Re(z) en een aparte kolom voor Im(z). Stel we willen de opeenvolgende iteraties van 0,6+0,4i berekenen dan zou dat in Excel er zo uit kunnen zien. Het itereren van de functie f(z)=z^2+c met z = a+bi a b c
0,6 0,4 -0,5
n
a 1 2 3 4
b 0,6 0,4 -0,3 0,48 -0,6404 -0,288 -0,1728318 0,3688704
Het is aan jullie om te ontdekken welke formules hier gebruikt zijn. 2.9 Als f ( z ) = z 2 − 0,5 , druk dan f(a+bi) uit in a en b. 2.10 Bereken met behulp van Excel f 50 (0,6 + 0,4i ) . Is hier sprake van convergentie? Zo ja, wat is dan de limiet? III: Complexe functies en de Juliaverzameling. Inleiding: In het hoofdstuk over itereren hebben we gezien dat de functie f ( x) = x 2 − 0,5 als aantrekker heeft het punt x = -0,366. Alle startwaarden tussen -1,366 en 1,366 worden bij het itereren naar deze aantrekker toe getrokken. Het interval <-1,366; 1,366> wordt ook wel het aantrekkingsgebied genoemd, het is de verzameling van alle startwaarden die naar de aantrekker worden toegetrokken. Aan het eind van dat hoofdstuk hebben we gezien dat je ook met complexe getallen kunt itereren. Ook in het complexe vlak kunnen we dus spreken over aantrekkers en aantrekkingsgebieden. Het aantrekkingsgebied is in dit geval een deel van het complexe vlak. 3.1 Gegeven is de functie f ( z ) = z 2 . Bewijs dat in dit geval z = 0 de aantrekker is en het aantrekkingsgebied de cirkelschijf is die wordt beschreven door: z <1. Het aantrekkingsgebied van f ( z ) = z 2 + c is vaak een stuk ingewikkelder als c ≠ 0 . Op de site: http://www.stuif.com/fractals/fractal8.html staat een applet waarmee je voor verschillende waarden van c het aantrekkingsgebied kunt laten tekenen. Dit aantrekkingsgebied wordt ook wel een “Juliaverzameling” genoemd. 3.2 Maak met behulp van de applet zelf enkele Julia-verzamelingen. Neem voor c ook eens een complex getal. Dit onderdeel moet je laten aftekenen. Onderzoek ook de werking van het inzoomen en het tonen van details. 3.3 Een Juliaverzameling is een voorbeeld van een “fractal”. Zoek op internet een goede definitie van het woord fractal en geef enkele voorbeelden. In welke vakgebieden worden fractals zoal toegepast?
De grillige vorm van de meeste Julia-verzamelingen is niet zo makkelijk te verklaren. Wat wij wel kunnen doen is met behulp van onze iteratietechnieken controleren of een bepaald punt wel of niet tot een Julia-verzameling behoort. 3.4 Hieronder zie je de Julia-verzameling die hoort bij de functie f ( z ) = z 2 + 0,325 + 0,417i . Onderzoek met behulp van itereren in Excel of de volgende punten bij deze Julia-verzameling horen: z1 = 0,25 − 0,36i , z2 = 0,15 − 0,59i en z3 = 0,177 − 0,236i
3.5 Het is ook mogelijk van het itereren in Excel een grafiek te maken. Je gebruikt hiervoor dezelfde methode als in het PO over modelleren. Pas dit eens toe voor de gevallen van 3.4. Wat valt je op? 3.6 Eigen onderzoek: Wat kun je nog meer over Julia-verzamelingen te weten komen? Suggesties: • Kies zelf een geschikte Julia-verzameling en teken deze met behulp van de applet. • Kun je iets zeggen over het aantal aantrekkers van deze Julia-verzameling? • Onderzoek of de functie ook dekpunten heeft. Dat zijn punten die op zichzelf worden afgebeeld. Spelen deze nog een rol in de Julia-verzameling? • Wat voor soort symmetrie zie je bij de Julia-verzamelingen? Geef hiervoor een verklaring met behulp van de formule f ( z ) = z 2 + c
