Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling

3

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling Dit kun je al 1 2 3 4 5

natuurlijke getallen vermenigvuldigen natuurlijke getallen delen de commutatieve en de associatieve eigenschap herkennen de rekenmachine gebruiken bij berekeningen vergelijkingen van de vorm x + a = b oplossen

Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek. A

B

C

Verder oefenen?

3900

380

3800

oef. 32

51

15

25

oef. 32

In welke oefeningen wordt de commutatieve eigenschap toegepast?

–6 + 0 = –6

10 + 5 = 5 + 10

(–3 + 7) + 9 = –3 + (7 + 9)

oef. 175

4

Bereken met je rekenmachine.

124 – 231 + 15 =

– 92

– 355

– 340

oef. 187

5

Wat is de oplossing van deze vergelijking? x + 14 = –7

x=7

x = –7

x = –21

oef. 211

1

Bereken zonder rekenmachine.

19 · 20 =

2

Bereken zonder rekenmachine.

315 : 21 =

3

Dit heb je nodig • • • • • •

leerwerkboek p. 73–94 oefenboek p. 73–94 kladblok meetlat rekenmachine potlood en stiften

Inhoud G18 Gehele getallen vermenigvuldigen en delen

G19 De volgorde van de bewerkingen G20 Eigenschappen van het vermenigvuldigen

p. 74 p. 78

in 핑 en handig rekenen

p. 82 p. 84 p. 88

oplossen

p. 92

G21 De distributieve eigenschap G22 Rekenen met letters G23 Vergelijkingen van de vorm ax = b

73

G18

Gehele getallen vermenigvuldigen en delen Op verkenning a

Twee positieve getallen vermenigvuldigen

Een lasagne wordt klaargemaakt in een oven van 200 °C. Een baksteen wordt gebakken in een oven die vijf keer zo warm is. Hoe warm is de baksteenoven? •

Noteer de bewerking en het resultaat.

De maximumhoogte die een deltavlieger kan bereiken is 700 meter. Een F16 kan tot 22 keer hoger vliegen. Wat is de maximumhoogte die de F16 kan halen? •

200 · 5 = 1000

700 · 22 = 15 400

. . . . . . . . . . . .....................................................................

•

Vergelijk het teken van de factoren met het teken van het product.

................................................................................

•

De factoren zijn positief, is positief. . het . . . . . . . . . . .product . ............................................................................ Een negatief getal vermenigvuldigen met een positief getal

Op de Zuidpool heeft men de koudste temperatuur op aarde gemeten: –90 °C. Op de planeet Saturnus is het gemiddeld dubbel zo koud. •


In deze bouwput werken de arbeiders op een diepte van 9 meter. Mijnwerkers moesten 80 maal dieper afdalen met een lift om in de mijngangen te werken. Op welke diepte werkten zij? •


–9 · 80 = –720

–90 · 2 = –180

. . . . . . . . . . . . . ............................................................................

.........................................................................................

•

Controleer het product met je rekenmachine.

•

Controleer het product met je rekenmachine.

•


•


Een factor is negatief, is negatief. . het . . . . . . . . . .product ..................................................................... . . . . . . . . . . . .....................................................................

74


De factoren zijn positief, ......................................................................................... het product is positief. .........................................................................................

. . . . . . . . . . . . . ............................................................................

b


gehele getallen: vermenigvuldiging en deling

Een factor is negatief, het product is negatief. ................................................................................ ................................................................................

c

Twee negatieve getallen vermenigvuldigen •

Zoek de regelmaat in de rijen en vul de rijen verder aan.

•

Noteer de factor waarmee je vermenigvuldigt naast de pijlen.

•

2

1

0

–1

.........

–15

–10

–5

0

5

10

Vul de rijtjes verder aan. –5 · 4 = –20 –5 · 3 = –15 ..... –5 · . .2. . . = –10

–5 · .1. . . . = –5 ..... •

–2

3

–3 . .–4 ....... . .15 ....... . .20 .......

.........

–5 · 0 = .0 ....

+5

+5

–5 · (–2) . . . . . =10 .....

+5

(telkens . .+5 . . . . . . .)

+5

–5 · (–1) = . 5 ....

+5

(telkens . .–1 . . . . . . .)

(–5) .....

∙

(–5) .....

+5

–5 · (–3) . . . . . =15 .....

Vergelijk van de laatste drie producten het teken van de factoren met het teken van het product.

Beide factoren zijn negatief. Het product is positief.

. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . .

Rekenregel – twee gehele getallen vermenigvuldigen • Bepaal het teken van het product. – Het product van twee factoren met hetzelfde teken is steeds positief.

+. . . . . · –. . . . . · +. . . . . · –. . . . . ·

– Het product van twee factoren met een verschillend teken is steeds negatief. • Vermenigvuldig de absolute waarden van de getallen. CONTROLE 25 Reken uit. 12 · (–2) = –8 · (–5) = d

–24 40 ............................................

............................................

–7 · (+9) = 4 · (–7) =

(+. . . . . ) wordt (–. . . . . ) wordt (–. . . . . ) wordt (+. . . . . ) wordt

–63 –28 ............................................

+. . . . . +. . . . . –.. . . . –. . . . .

+6 · (+7) = +42 –5 · (–8) = +40 +6 · (–10) = –60 –5 · (+4) = –20

50 –5 · (–10) = ....................................... .....

............................................

–3 · (–1) =

3

...................................... . . . . . .

Meerdere getallen vermenigvuldigen • Vul de tabel aan. 4 · 8 · (–2)

–4 · (–3) · 2

–4 · (–1) · 5 · (–7)

–2 · (–3) · (–10) · (–2)

=

=

=

=

32 · (–2) = –64 ........ ........

12 · 2 = . .24 ......

4 · 5 · (–7) = .20 . . . . . . . · (–7) = –140 ........

........

........

6 · (–10) · (–2) = –60 . . . . . . . . · (–2) = 120 ........ ........

aantal mintekens in de opgave

1

2

3

4

teken van het product

–

+

–

+

Wat is het teken van het product als je tien negatieve factoren met elkaar vermenigvuldigt?

........................................................................................................... . . . . . . .

Wat is het teken van het product als je 101 negatieve factoren met elkaar vermenigvuldigt?

........................................................................................................... . . . . . . .

•

Wanneer is het product positief?

........................................................................................................... . . . . . . .

•

Wanneer is het product negatief?

........................................................................................................... . . . . . . .

• •

+ –

Als je een even aantal negatieve factoren vermenigvuldigt. ........................................................................................................... ....... Als je een oneven aantal negatieve factoren vermenigvuldigt. ........................................................................................................... .......

75

G18

Gehele getallen vermenigvuldigen en delen (vervolg)

Rekenregel – meerdere gehele getallen vermenigvuldigen • Bepaal het teken van het product. – Als het aantal negatieve factoren even is, is het product positief. – Als het aantal negatieve factoren oneven is, is het product negatief.

(–3) · (–5) · (–2) · (–6) · 10 = 1800 (–3) · (–5) · (–2) · (–6) · (–10) = –1800

• Vermenigvuldig de absolute waarden van de factoren met elkaar.

e

CONTROLE 26 Reken uit. (–2) · 5 · (–1) · (–3)

2 · (–1) · (–3) · (–2) · (–1)

–3 · (–2) · (–3) · 2 · (–1) · (–1) · (–2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................... = .–30

12 = .................................................................

72 = ........................................................... ......

Twee gehele getallen delen • Vul de redenering aan. :6 42 : 6 = 7

42

want 7 · 6 = 42

want

7

want

<

·6

–6 .–6 . . . . . . . . · . . .3 . . . . . . = .–18 ........

–18 : 3 =

:3 <

.........

–18

–6 .....

< .....

·3

: (–8)

–56 : (–8) = . . . 7 ......

<

•

Vergelijk de tekens van de factoren met het teken van het quotiënt. Wanneer is het quotiënt positief?

•

Wanneer is het quotiënt negatief?

7 (–8) = –56 .........

–56

......... · .........

7

..... <

· (–8) ..... : (–10)

40 : (–10) = . –4 ........

<

40

–4 (–10)= . .40 .......

want

<

......... · .........

< .....

–4 .....

· (–10)

Als deler en deeltal hetzelfde teken hebben. ........................................................................................................... .......

Als deler........................................................................................................... en deeltal een verschillend teken hebben. .......

Rekenregel – twee gehele getallen delen • Bepaal het teken van het quotiënt. – Het quotiënt van twee gehele getallen met hetzelfde teken is steeds positief. – Het quotiënt van twee gehele getallen met een verschillend teken is steeds negatief.

+. . . . . –. . . . . +. . . . . –. . . . .

: : : :

(+. . . . . ) (–. . . . . ) (–. . . . . ) (+. . . . . )

wordt wordt wordt wordt

+. . . . . +. . . . . –. . . . . –. . . . .

+12 : (+2) = +6 –15 : (–3) = +5 +18 : (–2) = –9 –42 : (+6) = –7

• Deel de absolute waarden. CONTROLE 27 Reken uit. 45 : (–9) = –36 : 4 =

–5 –9 ..........................................

..........................................

–28 : (–7) = 24 : (–6) =

4 –4 ..........................................

..........................................

72 : (+9) = –18 : (–3) =

8 6 .................................... ......

.................................... . . . . . .

Oefeningen WeeR? 215 MeeR? 216 217

76

1

Kleur de vakjes met een positief resultaat groen. a

0 · (–20)

d

+4 · (+5)

g

200 : (–50)

j

–50 · (–12)

m

–125 : (+25)

b

–6 · (–3)

e

–6 · (+7)

h

–9 : (–1)

k

+99 · (–60)

n

+45 : (–15)

c

–5 · 8

f

–35 : (–5)

i

49 : (+7)

l

8 · (–100)

o

0 : (–15)


2

3

Reken uit. a

5 · (–3) =

b

–4 · 5 =

c

–16 · (–1) =

b c

5

d

–5 · 0 =

e

2 · 12 =

f

–9 · (–6) =

Reken uit. a

4

–15 ........................... –20 ........................... 16 ...........................

–13 –26 : 2 = ........................... 32 : (–8) = –4 ........................... –100 : (–5) = 20 ...........................

Reken uit.

8........................... –7 ........................... –72 ...........................

d

0 : (–17) =

e

–17 : 0 =

f

–27 : (–3) =

a

–2 · (–4) =

d

–48 : (–6) =

b

49 : (–7) =

e

6 · (–7) =

c

–9 · 8 =

f

–24 : 4 =

• •

Bereken hoe diep elk dier zwemt. Schrijf als een wiskundige bewerking.

0........................... 24 ........................... 54 ........................... 0........................... /........................... 9........................... 8........................... –42 ........................... –6 ...........................

g

9 · (–9) =

h

–7 · (–4) =

i

12 · 11 =

–81 ..................... . . . . . . 28 ..................... . . . . . . 132 ..................... . . . . . .

g

68 : (–4) =

h

–155 : (–5) =

i

–72 : 6 =

g

–7 · 8 =

h

11 · (–9) =

i

–99 : (–3) =

–17 ..................... . . . . . . 31 ..................... . . . . . . –12 ..................... . . . . . . –56 ...................... . . . . . –99 ...................... . . . . . 33 ...................... . . . . .

MeeR? 221 223 WeeR? 226 227 MeeR? 230 231 WeeR? 232 MeeR? 233 234

WeeR? 235 236

Een zeester leeft meestal tot op –30 m. a

WeeR? 218 219

MeeR? 237 238

Een potvis zwemt tot 100 keer zo diep als een zeester.

–30 . . . . . . . . . . .·. . .100 ............= . . . . . . . .–3000 .............................................................. b

Een potvis zwemt drie keer dieper dan de grijze haai.

–3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . .:. . 3 . . . . . . .= . . . . . . . –1000 ............................................................... c d e f 6

–3000 : 10 = –300 –300 · 2 = –600 Een Weddell–zeehond zwemt tot dubbel zo diep als een Noordzeekrab. .................................................................. ....... –1000 : 2 = –500 Een keizerspinguïn zwemt maar half zo diep als een grijze haai. .................................................................. ....... –500 : 20 = –25 Een koraalvlinder zwemt twintig keer minder diep dan een keizerspinguïn. .................................................................. ....... Een Noordzeekrab zwemt tien keer minder diep dan een potvis.

.................................................................. . . . . . . .

Is het product positief of negatief? Zet een kruisje in de juiste kolom.

WeeR? 239

positief product

negatief product

X

11 · (–12) · 13 · (–14) · 15 =

X X

2 · 4 · (–6) · (–8) · 10 · (–12) · (–14) · (–16) =

X

8 · (–9) · 3 · (–20) · 0 · (–6) =

7

Commandorekenen: reken telkens verder. a

·2

: (–3)

30

15

8

MeeR? 240

X

–3 · (–6) · 7 · (–11) · 10 =

·4

–10 –40

WeeR? 241

+9

– (–7)

–31

–24

b 4

· (–3)

·6

: (–4)

–2

+ (–7)

–12

–72

18

16

9

Vul het rijtje verder aan.. a

1

2

4

8

16 .32 ....... .64 . . . . . . . 128 ........

........

b

729

243

81

27

........

9

........

3

........

1

........

WeeR? 242 MeeR? 243 244

Wat moet je kunnen? τ gehele getallen vermenigvuldigen τ twee gehele getallen delen

77

G19

De volgorde van de bewerkingen Op verkenning a

De volgorde van de bewerkingen Vera koopt een paar schoenen van 64 euro aan de helft van de prijs en drie paar sokken van zes euro per paar. Hoeveel zal Vera moeten betalen? •

Leg in woorden uit hoe je dit berekent door de kaders in te vullen. de prijs van

+

de schoenen gedeeld door 3 ............................................................................... •

de prijs van

de sokken maal 3

........................................................................... . . . .

Vervang de woorden door de getallen uit de opgave.

64

..................................

:

2

+

..................................

3

...................................

·

6

..................................

:............................................................................................. + en ·

•

Welke bewerkingen staan in de opgave?

•

Laat de kaders weg en schrijf alle bewerkingen achter elkaar.

•

Onderstreep de bewerkingen die je eerst moet uitvoeren om de opgave op te lossen.

•

Reken de onderstreepte bewerkingen telkens uit op de volgende regel:

64 : 2 + 3 · 6 = 32 + 18 .................................................................................................................................. ................................................. = 50 ................................................. .................................................................................................................................. ................................................. ..................................................................................................................................

Als je twee gsm-kaarten van tien euro koopt, krijg je de derde gsm-kaart aan halve prijs. Xander koopt drie gsm-kaarten en geeft aan de kassa een cadeaubon van vijftien euro af. Hoeveel moet Xander betalen? •

Leg in woorden uit hoe je dit berekent door de kaders in te vullen. de prijs van

2 gsm-kaarten

. . . . . . . . . . . . .............................................

•

+

de prijs van

gsm-kaart halve prijs

.........................................................

–

de prijs van

cadeaubon

...................................................... . . .

Vervang de woorden door de getallen uit de opgave.

2 · 10

+

– 10 : 2 15 · + : – ........................................................................................................... .......

•

Welke bewerkingen staan in de opgave?

•

Laat de kaders weg en schrijf alle bewerkingen achter elkaar.

•

Onderstreep de bewerkingen die je eerst moet uitvoeren om de opgave op te lossen.

•

Reken de onderstreepte bewerkingen telkens uit op de volgende regel:

2 · 10 + 10 : 2 – 15 = + 5 – 15 . . . . . . . . . .20 . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... = – 15 = 10 . . . . . . . . . .25 . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .

Rekenregel – de volgorde van de bewerkingen Een opgave met verschillende bewerkingen oplossen. • Reken eerst de vermenigvuldigingen en delingen uit van links naar rechts. • Reken daarna de optellingen en aftrekkingen uit van links naar rechts.

3 – 30 : 5 · 2 =3–6·2 = 3 – 12 = –9

CONTROLE 28 • Reken uit. • Noteer de tussenstappen.

78

–8 + 4 · 5 + 8 – 6 : 3

–17 + (–3) · 7 – (+7)

+8–2 = –8 . . . . . . . . .+ . . . . . 20 . . . . .......................................................................................

–17 + (–21) – (+7) = .................................................................................................... .....

= 20 . . . . . . . .– . . . . .2 . . . . . .......................................................................................

–38 – (+7) = .................................................................................................... .....

= 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................

–45 = .................................................................................................... .....


b

De volgorde van de bewerkingen bij opgaven met haakjes Tijdens de wintersolden koopt Yasmina een broek van twintig euro en een T-shirt van acht euro. Als ze thuiskomt, zegt haar moeder dat ze de helft zal terugbetalen omdat Yasmina een goed rapport had. Hoeveel moet moeder aan Yasmina terugbetalen? • • • • •

Je telt de prijs van de broek en het T-shirt op en deelt de som door 2. ........................................................................................................... ....... De optelling. Welke bewerking moet je in dit geval eerst uitvoeren? ........................................................................................................... ....... In a moest je eerst verm. en delen. Vergelijk de rekenvolgorde met de volgorde uit a. ........................................................................................................... ....... (20 + 8) : 2 Vervang de woorden door de getallen uit de opgave. ........................................................................................................... . . . . . . . Leg in woorden uit hoe je dit berekent.

........................................................................................................... . . . . . . .

Gebruik haakjes om aan te geven welke bewerking je eerst moet uitvoeren.

........................................................................................................... . . . . . . .

= 28 : 2 = 14

Rekenregel – de volgorde van de bewerkingen bij vormen met haakjes Haakjes doorbreken de normale rekenvolgorde. Reken daarom in een oefening eerst de bewerking(en) tussen haakjes uit. • Reken eerst de vermenigvuldigingen en delingen uit van links naar rechts. • Reken daarna de optellingen en aftrekkingen uit van links naar rechts.

(3 – 30 : 5) · 2 = (3 – 6) · 2 = –3 · 2 = –6

CONTROLE 29 • Reken uit. • Noteer de tussenstappen. Onderstreep de bewerking die je eerst uitvoert.

c

3 · (6 – 9)

(2 · 3) – 12 · (–3)

= .3 . . . . .·. . .(–3) . . . . . . . . . . ...................................................................................

6 – 12 · (–3) = ....................................................................................................... ......

= . –9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................

6 – (–36) = ....................................................................................................... ......

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................

42 = ....................................................................................................... ......

Opgaven met meerdere haakjes oplossen De eerste vijf dagen van januari bedroegen de temperaturen –3, –2, 4, –1 en –3 graden. Bereken de gemiddelde temperatuur. •

Leg in woorden uit hoe je dit berekent.

•

Noteer de bewerkingen.

Je telt eerst de temperaturen op en deelt ........................................................................................................... ....... de som door 5. ........................................................................................................... ....... –3 + (–2) + 4 + (–1) + (–3) ) : 5 ....... (...........................................................................................................

•

Gebruik haakjes om aan te geven welke bewerking je eerst moet uitvoeren.

=........................................................................................................... (–5) : 5 = –1 .......

•

Om de onduidelijkheid van de opeenvolgende haakjes te vermijden, gebruik je vierkante haakjes [ ]. Schrijf [–3 + (–2) + 4 + (–1) + (–3)] : 5 de opgave opnieuw en gebruik vierkante haakjes. ........................................................................................................... .......

Wiskundetaal – symbolen Om bewerkingen te groeperen, gebruik je (ronde) haakjes. In opgaven met meerdere haakjes gebruik je vierkante haakjes om verwarring te voorkomen. Voer eerst de bewerkingen uit tussen de ronde haakjes en pas daarna de bewerkingen tussen de vierkante haakjes.

–25 – 2 . (–5) + [–3 . (–6 + 8) + (–5)] = –25 – 2 . (–5) + [–3 . 2 + (–5)] = –25 – 2 . (–5) + [–6 + (–5)] = –25 – 2 . (–5) + (–11) = –25 – (–10) + (–11) = –15 + (–11) = –26

79

G19

De volgorde van de bewerkingen (vervolg)

Gebruik van de rekenmachine Welke toetsen gebruik je voor: •

ronde haakjes?

•

vierkante haakjes?

Welke toetsen moet je indrukken voor deze bewerking? 12 · (–13) + [ –53 · (–16 + 17) + (–78) ]

Oefeningen WeeR? 246 247 MeeR? 248 249

WeeR? 255 MeeR? 256

9

• • •

Reken uit. Schrijf alle tussenstappen op. Onderstreep telkens de bewerking die je uitvoert.

a

2·3+5

e

(2 + 3) · 8

g

16 : (–2) – 5

[–13 – (–5)] : (–2)

= .6 . . . . .+ . . . . .5 . . . . . . . ............................

5·8 = ..............................................

–8 – 5 = ..............................................

–8 : (–2) = ........................................ ......

= .11 . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................

40 = .............................................

–13 = .............................................

4 = ........................................ .....

b

d

f

h

2+3·5

36 : 2 – 17

3 · (–6) + 2 · 8

–3 · [40 + (–22)]

= .2 . . . . .+ . . . . . 15 . . . . . . . ............................

18 – 17 = ..............................................

–18 + 16 = ..............................................

–3 · 18 = ........................................ ......

= .17 . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................

1 = .............................................

–2 = .............................................

–54 = ........................................ .....

10 • • • a

Reken uit. Schrijf alle tussenstappen op. Onderstreep telkens de bewerking die je uitvoert. 40 : 5 + 2 · (–3) · (–4)

=

8 + (–6) · (–4) 8. . . . + . . . . . .24 . . . . . ................................................ 32 . . . . . . . . . . . . . . . ................................................

=

. . . . . . . . . . . . . . . . ................................................

= =

b

. . . . . . . . . . . . . . . . ................................................

(–4 – 3 · 2) · 7

c

8 · (–5) + 10 : (–2) · 6

=

– 40 + (–5) · 6 –40 + (–30) ................................................................ –70 ................................................................

=

................................................................

= =

d

................................................................

[ 15 + (–3) ] : (6 – 8)

e

2 · (–9) + 50 – 3 · (–5)

=

–18 + 50 – (–15) ......................................................... ....... 32 – (–15) 47 ......................................................... .......

=

......................................................... . . . . . . .

= =

f

......................................................... . . . . . . .

(–5 · 3 – 10) + [ 7 · (–3) – 1 ]

=

12 : (–2) –6 ................................................................

=

(–4 – 6) · 7 .–10 . . . . . . . . . . .·. . .7 . ................................................ .–70 . . . . . . . . . . . . . . . ................................................

=

................................................................

=

(–15 – 10) + (–21 – 1) –25 + (–22) ......................................................... ....... –47 ......................................................... .......

=

. . . . . . . . . . . . . . . . ................................................

=

................................................................

=

......................................................... . . . . . . .

= =

80

c

. . . . . . . . . . . . . . . . ................................................


=

................................................................

= =

......................................................... . . . . . . .

11 • • a

Vertaal het volledige vraagstuk in één berekening. Gebruik haakjes waar nodig. Reken uit.

WeeR? 257

Voor zijn favoriete tv-programma zit Thom 38 minuten voor de tv. Het programma wordt drie keer onderbroken met een reclameblok van vier minuten. Hoelang duurt zijn favoriete tv-programma eigenlijk maar?

38 – 3 · 4 – 12 .= . . . . . . .38 . . . ........................................................................... Het duurt maar 26 min. .= . . . . . . .26 . . . ........................................................................... . . . . . . . . . . . ...........................................................................

b

In het restaurant 'Le Chef' staan zes tafels voor twee personen en vier tafels voor vier personen. Voor elke persoon staan er drie glazen op tafel: één voor witte wijn, één voor rode wijn en een waterglas. Hoeveel glazen staan er in het restaurant als alle tafels gedekt zijn?

(6 · 2 + 4 · 4) · 3 + 16) · 3 .= . . . . . . .(12 . . . ........................................................................... ·3 .= . . . . . . .28 . . . ........................................................................... .= . . . . . . .84 . . . ........................................................................... 84 glazen. .Er . . . . . .staan . . . . ........................................................................... . . . . . . . . . . . ...........................................................................

12 Als je het antwoord op een meerkeuzevraag niet weet, kun je gokken. Om het gokken tegen te gaan, trekt de leraar één punt af bij een fout antwoord. Voor elk goed antwoord krijgt de leerling twee punten. • Bereken hoeveel Mia, Domino en Anne behaalden op een test op 20 punten. • Noteer de berekening. • Formuleer een antwoordzin. a

WeeR? 258

Anne: 6 goede antwoorden, 4 foute antwoorden

6. . . . .·. . .2. . . . .+ 4 · (–1) .......................................... (–4) = 12 . . . . . . . .+ . .......................................... =8 . . . . . . . . . .......................................... Anne behaalde 8 op 20. . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................... b

Mia: 9 goede antwoorden, 1 fout antwoord

9 · 2 + 1 · (–1) (–1) = 18 ........+ . .......................................... = .17 . . . . . . . . .......................................... 17 op 20. .Mia . . . . . . . . . . . .behaalde .................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . ..........................................

c

Domino: 6 goede antwoorden, 2 foute antwoorden en 2 niet ingevuld

6. . . . .·. . .2. . . . .+.......................................... 2 · (–1) + 2 · 0 (–2) + 0 = 12 . . . . . . . .+ . .......................................... = 10 . . . . . . . . . .......................................... Domino behaalde 10 op 20. . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................... Wat moet je kunnen? τ verwoorden in welke volgorde je de bewerkingen in een opgave moet uitvoeren τ opgaven met meerdere bewerkingen uitrekenen

81

G20

eigenschappen van het vermenigvuldigen in ℤ en handig rekenen Op verkenning a

De commutatieve eigenschap onderzoeken voor het vermenigvuldigen van gehele getallen • Vul de tabel in. Kies twee getallen

Vermenigvuldig deze getallen

Verwissel de getallen van plaats en vermenigvuldig ze

Beide producten zijn …

3 · 6 = 18

6 · 3 = 18

gelijk – niet gelijk

(–3) · (–6) = 18

(–6) · (–3) = 18


3 · (–6) = –18

(–6) · 3 = –18


twee positieve getallen:

3

6

......... en .........

twee negatieve getallen:

–3 ......... en –6 ......... een negatief en een positief getal:

3

–6

......... en .........

Het product van twee gehele getallen veranniet als je de factoren van plaats verwisselt. .dert . . . . . . . . . . . . ................................................................... ...................................................................................................................................... .....

•

Wat kun je uit deze voorbeelden besluiten?

•

Vervang in het volgende voorbeeld de getallen door letters. Gelijke getallen worden door gelijke letters vervangen. –7 · 5 = 5 · (–7)

............................................................................................................................... . . . . .

a·b = b·a

............................................................................. . . . . . . .

eigenschap – het vermenigvuldigen is commutatief in ℤ Je mag factoren van plaats wisselen als je gehele getallen vermenigvuldigt. Het resultaat blijft hetzelfde.

a en b zijn gehele getallen a·b=b·a

Het vermenigvuldigen is commutatief in ℤ.

5·6 =6·5 –7 · 3 = 3 · (–7) –11 · (–5) = –5 · (–11)

CONTROLE 30 • Pas de commutatieve eigenschap toe om volgende berekeningen sneller op te lossen. • Noteer je berekening. –2 · (–7) · 5 125 · (–9) · 8 4 · (–12) · (–25)

125 · 8 · (–9) = –9000 = .................................................................

(–7) = 70 = . .–2 . . . . . . . .·. . .5 . . . . .·............................................... b

twee positieve getallen: . . . . . en . . . . . twee negatieve getallen: . . . . . en . . . . . een negatief en een positief getal: . . . . . en . . . . . •

Deel deze getallen

Verwissel de getallen van plaats en deel ze

Beide quotiënten zijn …

8:4 = 2

4 : 8 = 0,5


–8 : (–4) = 2 –4 : (–8) = 0,5


–8 : 4 = –2 +4 : (–8) = –0,5


Het delen is niet commutatief in ℤ. Als de getallen van plaats verwisselt, verandert het quotiënt. . . . . . . . . . je . . . . ......................................................................................................................................................................................................... .......

Is het delen commutatief in ℤ? Waarom (niet)?

........................................................................................................... . . . . . . .

De associatieve eigenschap onderzoeken voor het vermenigvuldigen van gehele getallen • Vul de tabel in. Plaats haakjes rond de eerste twee factoren en reken uit

Vermenigvuldig de gehele getallen 5, 8 en –3. Vermenigvuldig drie andere gehele . . . . . , .–3 . . . . . . . en . .4 ...... getallen: . . .2

82

4 · (–25) · (–12) = 1200

........................................................... . . . . .

De commutatieve eigenschap onderzoeken voor het delen van gehele getallen • Vul de tabel in. Kies twee verschillende gehele getallen

c

=

Plaats haakjes rond de laatste twee factoren en reken uit

Vermenigvuldig de factoren van links naar rechts

5 – [8 · (–3)] (5 · 8) · (–3) 5 · 8 · (–3) = –120 = 40 · (–3) = –120 = 5 · (–24) = –120 [2 · (–3)] · 4 = 2 · [(–3) · 4] 2 · (–3) · 4 = –24 –6 · 4 = –24 = 2 · (–12) = –24


Het product blijft gelijk als je haakjes in de opgave plaatst, verplaatst of weglaat. Het vermenigvuldigen is associatief. ........................................................................................................... .......

•

Wat kun je uit deze voorbeelden besluiten?

........................................................................................................... . . . . . . .

•

Vervang in dit voorbeeld de getallen door letters. Gelijke getallen worden door gelijke letters vervangen.

5 · (–3) · 7 = [5 · (–3)] · 7 = 5 · [(–3) · 7]

a........................................................................................................... · b · c = (a · b) · c = a · (b · c) .......

eigenschap – het vermenigvuldigen is associatief in ℤ Je mag haakjes rond de factoren verplaatsen, weglaten of toevoegen als je gehele getallen vermenigvuldigt. Het resultaat blijf hetzelfde. Het vermenigvuldigen is associatief in ℤ.

a, b en c zijn gehele getallen (a · b) · c = a · (b · c) =a·b·c

[3 · (–5)] · 4 = 3 · [(–5) · 4] = 3 · (–5) · 4

CONTROLE 31 • Gebruik de associatieve eigenschap om handig te rekenen. • Noteer je berekening.

d

14 · 25 · 4

–15 · 2 · 5

–3 · (–2) · 5 · 4 · 25

· 4) = 14 . . . . . . . . ·. . .(25 . . . . . . . ...............................................

· (2 · 5) = –15 .................................................................

–3 · [(–2) · 5] · (4 · 25) . . . . . . = ...........................................................

= 14 . . . . . . . . ·. . .100 . . . . . . . ...............................................

· 10 = –15 .................................................................

–3 · (–10) · 100 = ........................................................... ......

= 1400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................

= –150 .................................................................

3000 = ........................................................... ......

De associatieve eigenschap onderzoeken voor het delen van gehele getallen •

Onderzoek of de associatieve eigenschap geldt voor het delen van gehele getallen.

•

Is het delen associatief in ℤ? Waarom (niet)?

? ? (8 : 4) : (–2) = 8 : [4 : (–2)] = 8 : 4 : (–2) ? 2 : (–2) = 8 : (–2) ........................................................................................................... ....... ........................................................................................................... –1 ≠ –4 ≠ –1 . . . . . . . Neen, het resultaat is verschillend als je. . . . . . . ........................................................................................................... ........................................................................................................... haakjes verplaatst, plaatst of weglaat.. . . . . . . ........................................................................................................... . . . . . . .

Oefeningen 13 • • a

WeeR? 259

Bereken het product van deze getallen. Reken handig uit. c

15, 7 en 2

–15, 9 en 2

15 . . . . . . . ·. . .2 . . . . ·. . .7 . . ........................................................................... = . . . . . . . .30 . . . . . . .·. . .7 . ........................................................................... = . . . . . . . . .210 . . . . . . . . . . ...........................................................................

–15 ·2·9 ................................................................................................. ..... = –30 · 9 ................................................................................................. ..... = –270 ................................................................................................. .....

b

d

7, 8 en 5

7. . . . .·. .(8 . . . . . . ·. . .5) . . . ............................................................. .............. = . . . . . . . .7 . . . .·. . 40 . . . . . ............................................................. .............. = . . . . . . . . .280 . . . . . . . . . . ............................................................. ..............

2, 4, 5 en 15

..... 2................................................................................................. · 15 · 4 · 5 ................................................................................................. ..... = 30 · 20 ................................................................................................. ..... = 600

14 Noteer bij elke aangeduide gelijkheid de eigenschap die wordt toegepast. a 4·9·5 b 5 · 7 · (–5) · 4





9·4·5





9 · (4 · 5)

vermenigvuldigen is commutatief in ℤ. . vermenigvuldigen ....................................................... is associatief in ℤ. .......................................................

MeeR? 260





7 · 5 · (–5) · 4

 7 · (5 · (–5) · 4)



vermenigvuldigen .................................................... is commutatief in ℤ. vermenigvuldigen .................................................... is associatief in ℤ.

WeeR? 261 262 MeeR? 265 266

Wat moet je kunnen? τ de eigenschappen in woorden formuleren τ de eigenschappen in symbolen formuleren

τ de eigenschappen herkennen in berekeningen τ de eigenschappen toepassen bij handig rekenen

83

G21

De distributieve eigenschap Op verkenning a

Een factor vermenigvuldigen met een som of een verschil Op een school worden extra toiletten gebouwd. Hiervoor wordt een groot klaslokaal in twee delen gesplitst.

7m

7m

klas

klas

14m 10m •

toiletten

nieuwe situatie

situatie nu

14m 4m

10m

4m

Vul de bewerkingen aan. oppervlakte van de klas

opp. van de klas

+

opp. van de toiletten

7 · 10 7·4 .. + ............................................. 70 = ............................................ ............................................. . . + 28 98 = ................................................................................................. ..

= 7 · (10 + 4)

................................................

14 = .7. . . . ·. . .......................................................... = .98 . . . . . . ..........................................................

Het vermenigvuldigen met factor 7 wordt verdeeld over de termen tussen de haakjes. De eigenschap die hier wordt toegepast, noem je de verdeeleigenschap. •

Ga na of je de vermenigvuldiging kunt verdelen ten opzichte van de optelling en de aftrekking. . . . . · .9 . . . . + .5 . . . . · .6 .... 5 · (9 + 6) = .5

5, 9 en 6

•

5 · 15 = 45 + 30 75 = 75 5 · (9 – 6) = .5 . . . . · .9 . . . . – .5 . . . . · .6 .... 5 · 3 = 45 – 30 15 = 15


Kies drie gehele getallen en controleer opnieuw. –3 . . . + . .2. . . ) = .–3 . . . . · . .5. . . +(–3) . . . . . · . .2. . . . . . . . · (. .5

–3 5 ..... , ..... 2 en .....

84


–3 · 7 = –15 – 6 = –21 –3 . . . . . · (. .5. . . – . .2. . . ) = .–3 . . . . · . .5. . . –(–3) . . . . . · . .2 ... –3 · 3 = –15 + 6 –9 = –9


Bij het handig rekenen gebruik je geregeld de verdeeleigenschap. • •

Splits één factor. Pas de verdeeleigenschap toe. 14 · 11

19 · 7

. . . . + .1 . . . .) = 14 · (.10

= (20 . . . . . – .1 . . . .) · 7

= 14 · 10 . . . . . + 14 · .1 ....

20 · 7 – 1 · 7 = ................................................................................................... ..

+ 14 = .140 . . . . . . . . ...................................................................................

=

= 154 . . . . . . . . ................................................................................... •

140 –7 ................................................................................................... . = 133 ................................................................................................... .

Vul de eigenschap aan met letters.

a·b+a·c a · (b + c) = ......................................................................... a·b–a·c a·c+b·c (a + b) · c = ......................................................................... a·c–b·c (a – b) · c = ......................................................................... .........................................................................

Weetje

a · (b – c) =

eigenschap – de distributieve eigenschap (verdeeleigenschap) Je mag de factor die buiten de haakjes staat vermenigvuldigen met elke term die binnen de haakjes staat en de bekomen producten optellen.

a, b en c zijn gehele getallen a · (b + c) = a · b + a · c en a · (b – c) = a · b – a · c

Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van het optellen in ℤ.

Distribu tief Latijn. D komt uit het istribuer e beteke verdelen nt .

5 · 17 = 5 · (10 + 7) = 5 · 10 + 5 · 7 7 · 28 = 7 · (30 – 2) = 7 · 30 – 7 · 2

CONTROLE 32 Reken handig uit door één factor te splitsen.

b

21 · 7

16 · (–8)

·7 = . . (20 ..........+ . . . . . .1) .................................................................................... .

+ 6) · (–8) = (10 ................................................................................................... ...... .

1· 7 = . . 20 . . . . . . . . .·. . 7 . . . . .+ .................................................................................... .

· (–8) + 6 · (–8) = 10 .................................................................................................... ..... .

7 = 147 = . .140 . . . . . . . . . . .+ . . . . . ....................................................................................

–80 + (–48) = –128 = .................................................................................................... ..... .

Een som vermenigvuldigen met een som Elke kamer van de woning wordt voorzien van nieuwe vloerbekleding. •

Bereken de totale oppervlakte op twee manieren. Eerste manier

Tweede manier

Vermenigvuldig de totale lengte van de Bereken de som van de oppervlakten woning met de totale breedte. van de vier kamers. (5 + . .8 . . . . ) · (. .7 . . . . + . .9 . . . .) 5 · 7 + . .5 .... · .9 . . . . . + . .8 . . . . · . .7 . . . . + . .8 . . . . · . .9 .... = =

. . . . . . · 16 ...... 13 .208 .....

. . . . . . + 56 . . . . . . + 72 ...... 35 + 45 = 208 ......

=

eetkamer

keuken

5m WC hal

living

8m

......

7m

9m

85

G21

De distributieve eigenschap (vervolg) •

Reken handig uit door eerst beide factoren te splitsen. 13 · 27

26 · 19

= (10 + . . .3 . . . . . ) · (. 20 . . . . . . . + . . .7 . . . . .)

= (20

= = =

10 20 + .10 . . . . . . · . . .7 .... + ..3 . . . . . · .20 . . . . . . + . .3 . . . . . · . .7 ..... + 70 + 60 + 21 .200 . . . . . . .................................................................................... .351 . . . . . . ....................................................................................

....... · .......

= = =

+6 –1 20 · 20 + 20 · (–1) + 6 · 20 + 6 · (–1) . . . . . . ............................................................................................. 400 – 20 + 120 – 6 ............................................................................................. ...... 494 ............................................................................................. ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) · (20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )

Rekenregel – een som vermenigvuldigen met een som Om een som te vermenigvuldigen met een som, vermenigvuldig je elke term van de eerste som met (a + b) · (c + d) elke term van de tweede som en = a · c + a · d + b · c + b · d tel je de bekomen producten op.

= = = =

17 · 23 (10 + 7) · (20 + 3) 10 · 20 + 10 · 3 + 7 · 20 + 7 · 3 200 + 30 + 140 + 21 391

CONTROLE 33 Reken handig uit door beide factoren te splitsen. 17 · 14

21 · (–19)

· (10 + 4) = .(10 . . . . . . . . . .+ . . . . . 7) . . .......................................................................................

(20 + 1) · (–20 + 1) = ................................................................................................... ......

+ 10 · 4 + 7 · 10 + 7 · 4 = .10 . . . . . . . .·. . .10 . . . . . . .......................................................................................

20 · (–20) + 20 · 1 + 1 · (–20) + 1 · 1 . . . . . . = ...................................................................................................

+ 70 + 28 = .100 . . . . . . . . . . . .+ . . . . . 40 .......................................................................................

–400 + 20 + (–20) + 1 = ................................................................................................... ......

= .238 . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................... .

–399 = ................................................................................................... ...... .

Oefeningen WeeR? 267 MeeR? 269 270

15 Formuleer de eigenschap die in de oefening wordt toegepast. a

2 · (5 · 6) = 2 · 5 · 6

b

2 · (5 + 6) = 2 · 5 + 2 · 6

c

[(–7) · 8] · 5 = –7 · 8 · 5

d

9 · (20 – 1) = 9 · 20 – 9 · 1

WeeR? 271

16 • •

MeeR? 272 273

a

Het vermenigvuldigen is associatief in ℤ. Het verm. is distributief ten opzichte van het optellen ............................................................................................................................................... . . . . . . . in ℤ. Het vermenigvuldigen is associatief in ℤ. ............................................................................................................................................... ....... Het verm. is distributief ten opzichte van het optellen ............................................................................................................................................... . . . . . . .in ℤ.

............................................................................................................................................... . . . . . . .

Bereken de oppervlakte van de rechthoeken. Verdeel de rechthoeken, zodat je de oppervlakte handiger kunt berekenen.

27 8

= (20 + 7) · 8 +7·8 .= . . . . . . . .20 . . . . . . . .·. . .8 . . ........................................................................................ 56 .= . . . . . . . .160 . . . . . . . . . . .+ . . ........................................................................................ .= . . . . . . . .216 . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................

86

4

b


18

= (10 + 8) · 4 ........................................................................................................ ...... = 10 · 4 + 8 · 4 ........................................................................................................ ...... = 40 + 32 ........................................................................................................ ...... = 72 ........................................................................................................ ......

17 Reken uit op twee manieren.

WeeR? 275

Haakjes uitwerken (volgorde van de bewerkingen)

7 · (60 – 4)

Haakjes wegwerken (distributieve eigenschap)

7 · (60 – 4)

=

. . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................

7 · 56

· 60 – 7 · 4 =7 . .................................................................................................... ....

=

. . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................

392

– 28 = 420 . .................................................................................................... ....

=

. . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................

= 392 . .................................................................................................... . . . .

(80 + 6) · 9

(80 + 6) · 9

= 86 . . . . . . . .·. . .9 . . . . ..........................................................................................

·9+6·9 = 80 . .................................................................................................... ....

= 774 . . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................

+ 54 = 720 . .................................................................................................... ....

=

= 774 . .................................................................................................... . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . ..........................................................................................

WeeR? 276

18 Vul de tabel in. 65 · 7 ≈ 420 ........

Schat het resultaat.

a

Bereken het resultaat met handig rekenen.

65 · 7 = 60 · 7 + 5 · 7 = 420 + 35 = 455

b

103 · 8 ≈ 800 ........

c

198 · 6 ≈ 1200 ........

103 · 8

198 · 6

= 100 . . . . . . . . . . ·. . .8 . . . . .+ . . . . .3 . . . .·. . .8 .....

=

200 . . . . . . . . . . . ·. . .6 ....– . . . . .2 . . . . ·. . .6 .....

= 800 . . . . . . . . . . .+ . . . . .24 ...................

=

1200 . . . . . . . . . . . . . .– . . . . .12 ................

= 824 ...................................

=

1188 ...................................

MeeR? 277

Wat moet je kunnen? τ de distributieve eigenschap in woorden formuleren τ de distributieve eigenschap in symbolen formuleren

τ de distributieve eigenschap herkennen in berekeningen τ handig vermenigvuldigen door één van de factoren op te splitsen

87

G22

Rekenen met letters Op verkenning a

Letters in plaats van getallen Je kent al heel wat uitdrukkingen waar letters in voorkomen.

x + 5 = –24

S=l·b

a+b=b+a

Het bedrag dat je betaalt voor een taxirit is afhankelijk van het aantal km dat je aflegt b = 4 + 3a

zijn a en b ............................

bedrag . . . . b: ................................

S: oppervlakte .................................... Wat stellen de letters voor?

Aantal mogelijke oplossingen als je de letter vervangt door een getal.

l:

lengte

.....................................

onbekende in een vergelijking b: breedte x: ..................................... ....................................

gehele getallen

.........................................

a:

aantal km

................................ . . . .

1......................................... oplossing meerdere alle gehele meerdere . . . ......................................... ......................................... ...................................... getallen oplossingen . . . ......................................... oplossingen ......................................... ......................................... ......................................

Wiskundetaal – begrippen Letters gebruik je: • als onbekenden In een vergelijking schrijf je de letter x als plaatshouder voor het onbekende getal. • in formules (als veranderlijke) Een formule is een verband tussen verschillende grootheden. In een formule zijn de letters veranderlijken. Een veranderlijke is een grootheid die verschillende waarden kan aannemen.

• om te veralgemenen Een eigenschap is een uitspraak die altijd waar is. Je kunt een eigenschap niet uit een voorbeeld afleiden. Daarom gebruik je letters, die je door alle mogelijke getallen uit een getallenverzameling kunt vervangen.

Ik denk aan een getal en trek er 18 van af, dan bekom ik 24. in wiskundetaal x – 18 = 24 De omtrek van een vierkant is gelijk aan 4 maal de zijde van het vierkant. in wiskundetaal O=4·z Een kaart kost € 2 en een poster kost € 3. Hoeveel kaarten en posters kun je kopen als je precies € 20 betaalt? in wiskundetaal 2 · k + 3 · p = 20 mogelijke oplossingen: 1 kaart en 6 posters 4 kaarten en 4 posters 7 kaarten en 2 posters 10 kaarten en 0 posters Het optellen is commutatief in ℤ. in wiskundetaal a en b zijn gehele getallen: a+b=b+a

Als je een probleem vertaalt in wiskundetaal gebruik je bewerkingstekens (+ – · en :) en vergelijkingstekens (=, >, <). Je gebruikt letters om grootheden (lengte, breedte, omtrek ...) of aantallen (hoeveelheid peren, appelen, leesboeken ...) te vertalen in wiskundetaal. •

Vertaal in wiskundetaal. – –

88

S + B + I < 50 ....... Sanne (S), Björn (B) en Inge (I) hebben samen minder dan 50 euro............................................................................ k = g + 16 De kerktoren (k) is 16 meter hoger dan het gebouw (g) ernaast................................................................................. .......


Wiskundetaal – begrippen

b

Een lettervorm is een uitdrukking waarin letters en getallen voorkomen.

3a + 4b 3c 2k + 3p = 20

Een lettervorm (die een product voorstelt) bestaat uit een cijfergedeelte (coëfficiënt) en een lettergedeelte.

4·z

Belangrijke afspraken: • Schrijf eerst het cijfergedeelte en daarna het lettergedeelte. • Als het cijfergedeelte 1 is, laat je 1 weg. • Laat het vermenigvuldigingsteken weg als er geen verwarring mogelijk is.

z·4 4·z 1·a a 4·z 4z b·h bh 7 · 5 blijft 7 · 5

cijfergedeelte (coëfficiënt) lettergedeelte

Lettervormen optellen • Bereken de omtrek van deze figuren met een optelling. • Bereken de omtrek van deze figuren met een vermenigvuldiging. 11

5 5

11

5

a

11

11

a

11

a 5

5

11

5

5+5+5+5+5+5 = 30 6·5 = 30

11

a a

11

11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 ....................................................................

a................................................................. +a+a+a+a ...

88 = ................................................................

5a ................................................................. . . . 8.................................................................... · 11 88 = ................................................................

Zeth en Elle brengen elk frisdrank en chips mee naar het klasfeestje. Zeth heeft 6 zakjes (z) en 11 flesjes (f) bij, Elle 7 zakjes en 7 flesjes. Hoeveel zakjes chips en flesjes frisdrank hebben ze samen? • Schrijf in wiskundetaal. (6z + . . . . .11f . . . . . . . . . . . ) + (. . . . . .7z . . . . . . . . . . + . . . . . .7f . . . . . . . . . .)

11f + 7z + 7f 6z + 7z + 11f + 7f = 13z + 18f = ...................................................................................................... ....... Je kunt geen flesjes en ............................................................................................................ ....... zakjes samentellen. (= niet gelijksoortig) ............................................................................................................ ....... = 6z +

•

Je kunt termen met z niet optellen bij termen met f. Verklaar waarom.

......................................................................................... . . . . . . .

Rekenregel – lettervormen optellen Je kunt alleen termen bij elkaar optellen die hetzelfde lettergedeelte hebben. 5a + a = 6a 2a + b = 2a + b • Tel de coëfficiënten bij elkaar op. 5d + 8 = 5d + 8 • Behoud het lettergedeelte. 10b – 15b = –5b 3a + 5b + 10a – 7b = 13a – 2b CONTROLE 34 Werk zo ver mogelijk uit. 4a + 3b + 6a

7a – 5 + 4b + 2

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................

10a + 3b

=

7a + 4b – 3 ................................................................................................... .....

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... ....................

=

................................................................................................... . . . . .

(2a – 8b + 7b) + 4a = =

2a – 8b + 7b + 4a .6a ........– . . . . .b . . . . ................................................................... .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... ....................

(13a – 8) + (9b – 4)

13a – 8 + 9b – 4 ................................................................................................... ..... + 9b – 12 = 13a ................................................................................................... ...... =

89

G22

Rekenen met letters (vervolg) c

Lettervormen vermenigvuldigen met een getal • Bereken de totale omtrek van deze gelijkzijdige driehoeken. a

a a

3 · a = 3a

•

a

a a a

a

a

a

a a

2 · 3a = 2 · 3 · a = (2 · 3) · a = .6 .... · a = .6a ....

a

a

a

a

a a

3.......................................... · 3a = 3 · 3 · a = (3 · 3) · a .......................................... = 9·a .......................................... = 9a ..........................................

Welke eigenschap pas je toe om de cijfergedeelten (coëfficiënten) met elkaar te vermenigvuldigen?

Het vermenigvuldigen is associatief in ℤ.

. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .

De flessen frisdrank (f) in een warenhuis zitten per zes in een pak (p). In de drankenhoek staan nog 18 pakken met flessen gestapeld. Hoeveel flessen zijn dat in totaal? •

Schrijf in wiskundetaal. . . . . . . · f) 18p = 18 · (. .6

= 18 · . . .6 ..... · f

= .108 . . . . . . . . . . .·. .f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= .108f ................................................................ Rekenregel – een lettervorm die een product voorstelt vermenigvuldigen met een getal 3 . 4a = 12a • Vermenigvuldig het getal met de coëfficiënt. 10 . 5b = 50b • Behoud het lettergedeelte. 7 . 6cd = 42cd CONTROLE 35 Reken uit. 2a · 9 = .18a ........................ –6 · 4b = .–24b ........................ d

8a · (–3) = .–24a ........................

Lettervormen vermenigvuldigen

3b

b a

•

–5b · (–1) = .5b ........................

ab

ab

ab 2a

Bereken de oppervlakte.

a·b .= . . . . . . .ab . . . . . ................................................... . . . . . . . . . . . . . ...................................................

•

Teken een rechthoek met twee keer breedte a en drie keer lengte b.

•

Bereken de oppervlakte van de grote rechthoek.

ab

ab

ab

2a · 3b = 6ab

. . . . . . . . . . . . . ...................................................

•

Hoe vaak past de gegeven rechthoek in de grote rechthoek? . . . .6 . . . . . . keer Rekenregel – lettervormen vermenigvuldigen • Vermenigvuldig de coëfficiënten. • Vermenigvuldig de lettergedeelten.

90


3a · 2b = 6ab 5a · 2a = 10aa

3a · 2b · 5c = 30abc 3a · (–2b) · 5c = –30abc

Oefeningen 19 Reken uit. a

2T + 5T = 7T ............

c

2 · 3T =

b

5E – 11E = –6E ............

d

–3 · 9E =

6T –27E .......... ..........

e

2T + 2E + 8T + 3E =

f

5H + 10E + 9H – 15 E =

d

4d – d + 3d =

20 Reken zo ver mogelijk uit. a

2a + 3a =

b

4b + b =

c

3c – 2c =

5a .................................................................. 5b .................................................................. 1c = c ..................................................................

e f

10T + 5E 14H – 5E . . . . . . .............................

............................. . . . . . .

6d 2e –2e + 4e = ...................................................... ...... 0 –5f + 5f = ........................................................ ...... ................................................ . . . . . .

5a + 5b

5 · (a + b) =

.............................................................

b

3 · (a + b) =

.............................................................

c

10 · (a + b + c) =

.............................................................

d

12 · (x + y + 2) =

.............................................................

22 • •

MeeR? 279

WeeR? 280 MeeR? 281 WeeR? 282

21 De letters stellen willekeurige gehele getallen voor. Werk de haakjes weg. a

WeeR? 278

MeeR? 283

3a + 3b

10a + 10b + 10c

12x + 12y + 12 · 2 = 12x + 12y + 24

Werk eerst de haakjes weg. Werk dan uit zo ver je kunt.

a

(5a – 3b) – (a – b + c) =

b

3a + (2a – b + c) =

c

– (a – b) + (c – d) =

d

(a + 3c) – (a – 2c + d) =

5a – 3b – a + b – c = 4a – 2b – c 3a + 2a – b + c = 5a – b + c ..................................................................................................................... ....... –a + b + c – d ..................................................................................................................... ....... a + 3c – a + 2c – d = 5c – d ..................................................................................................................... ....... ..................................................................................................................... . . . . . . .

WeeR? 284 285 MeeR? 286 287

23 Bereken de omtrek van elke veelhoek. x

h

y g

g

y

x

v

x y

y

WeeR? 293 294 MeeR? 295 296

x

h

2g . . . . . . . . .+ . . . . . .2h . . . . . . . . . . ...............

m

p

n

4x + 8y ........................................

8m + 8n

........................................

6p + 6v ..................................... ...

Wat moet je kunnen? τ twee lettervormen optellen τ twee lettervormen vermenigvuldigen

τ een getal en een lettervorm met elkaar vermenigvuldigen

91

G23

Vergelijkingen van de vorm ax = b oplossen Op verkenning Lees de vraagstukken aandachtig en onderstreep de bekende gegevens.

•

Drie postpakketjes wegen evenveel. Hun totale gewicht Een halve bol Oud–Brugge weegt zes kilo. is 1500 gram. Hoeveel weegt één pakketje? Hoeveel weegt een volledige bol? Wat is de onbekende? De onbekende stel je voor door de letter x.

•

x is de massa van één pakketje.

x is de massa van een volledige bol Oud-Brugge kaas. .............................................................................................................. ..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... ................

.............................................................................................................. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... ................

Schrijf het verband tussen de onbekende en de bekende gegevens als een vergelijking.

•

:3

..........

3x = 1500 . . . . . . . . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . . . . . . 1500 . . . . . . . . . . . . . .:. . .3 ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . .x . . . . . .= . . . . . . . 500 .......................... .........................................................

:3

x:2 = 6 . . . . . . . . . . . . . . . .x . . . . . . .= . . . . . . .6 . . . . ·. . .2 .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .x . . . . . . .= . . . . . . .12 ......................... .........................................................

·2

..........

..........

·2

..........

•

Los de vergelijking hierboven op (met behulp van een pijlenschema). – Welke bewerking moet je uitvoeren (in het linker– en het rechterlid) om x af te zonderen? Schrijf deze bewerking naast de pijlen. – Bereken de waarde van x.

•

Controleer de oplossing door het getal in te vullen in de vergelijking op de plaats van x.

3 · 500 = 1500

12 : 2 = 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... ................

.............................................................................................................. . .

Formuleer een antwoordzin.

•

Eén postpakketje weegt 500 g.

Eén bol Oud-Bruggekaas weegt 12 kg.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................... ................

.............................................................................................................. . .

:2

:2

Stappenplan – vergelijkingen van de vorm ax = b oplossen a en b zijn gehele getallen en a ≠ 0 5x = 20

∙

x = b : a

:a

:5

∙

ax = b

:a

∙

gelijkheidstekens netjes onder elkaar.  Zonder x af door in beide leden dezelfde bewerking uit te voeren. • Het linker- en het rechterlid delen door dezelfde factor. • Het linker- en het rechterlid vermenigvuldigen met dezelfde factor.  Bereken de waarde van x.  Controleer de oplossing door het getal in te vullen in de vergelijking op de plaats van x.

∙

 Noteer elke stap op een nieuwe regel en schrijf de

:5

x = 20 : 5 x = 4

controle: 5 · 4 = 20

CONTROLE 36 Los de vergelijkingen op. : (–3) : (–5)

x.............. = ................................................. 27 : (–3) x.............. = ................................................. –9


–5x = –40

∙

x. . . . . . . = :4 . . . . . . . . 28 . . . . . . . ......................................... x. . . . . . . = . . . . . . . .7 . . . . . . . .........................................

–3x = 27

∙

∙

: (–3)

∙

92

:4

∙

4x = 28

∙

:4

: (–5)

x............................................................... = –40 : (–5) x............................................................... = 8

Oefeningen WeeR? 297

24 Eén appel wordt voorgesteld door de letter x. a Schrijf boven elke groep appels de gepaste lettervorm. b

MeeR? 298

Een appel kost 30 eurocent. Schrijf onder elke groep appels de gepaste vergelijking.

x

3x

..........

1x = 30

5x

..........

3x

...................

8x

..........

= . . . . . . .90 ...........

5x

........................

..........

= . . . . . . . 150 .................

8x

...........................

= . . . . . . . . .240 ..................

25 Vul de tabel in.

WeeR? 299 Wat is de onbekende?

a

Drie bakjes aardbeien kosten samen 9 euro. Hoeveel kost één bakje aardbeien?

Noteer de vergelijking en los ze op

x is de prijs van één bakje aardbeien

:3

3x = 9 1x = 9 : 3

:3

MeeR? 300 301

x=3 b

c

d

In een klas van 24 leerlingen worden 144 schriften verdeeld. Hoeveel schriften krijgt elke leerling?

Een pallet bakstenen kost 300 euro. Hoeveel kosten drie volledige palletten?

Vijf mensen moeten samen een schuld van 175 euro afbetalen. Hoeveel neemt elk voor zijn rekening?

x is

het aantal schriften voor één leerling.

24x = 144 1x = 144 : 24 x=6

x is

de prijs van drie palletten bakstenen.

x = 300 · 3 1x = 300 · 3 x = 900

x is

5x = 175 1x = 175 : 5 x = 35

het bedrag dat ieder moet betalen.

26 Los de vergelijkingen op. a

x= x= b

c

5x = 55

55 : 5 .11 . ..................................................................................

x=

. . ..................................................................................

10 · 3 30 x = ................................................................................. x=

x= d

x : 3 = 10 .................................................................................

7x = –28

WeeR? 302

–28 :7 ............................................................................... ...... –4 ............................................................................... . . . . . .

x : 8 = –3

–3 · 8 x = .............................................................................. ...... –24 x = .............................................................................. ......

Wat moet je kunnen? τ vergelijkingen van de vorm ax = b oplossen

τ vraagstukken oplossen met behulp van een vergelijking van de vorm ax = b

93

Problemsolving 27 Conny Struisvogel traint voor de Olympische Spelen voor dieren. Zij doet mee aan het ‘kop in het zand steken’. Toen zij afgelopen maandag om 10.15 uur haar kop uit het zand haalde, zag ze tot haar vreugde dat zij een nieuw persoonlijk record van 88 uur en 45 minuten had gevestigd. Wanneer stak Conny haar kop in het zand?

Hoeveel volledige dagen zitten er in 88 uur en 45 min? 3 dagen.

.................... ........................................................................................................................ . . . . . .

Hoeveel uur blijft er na drie dagen nog over? 88 uur – 72 uur = 16 uur.

.................... ........................................................................................................................ . . . . . .

We starten op maandag om 10.15 uur. Drie volledige dagen eerder was

.................... ........................................................................................................................ . . . . . .

het vrijdag 10.15 uur. Van vrijdag 10.15 uur moeten nu nog 16 uur en

.................... ........................................................................................................................ . . . . . .

45 minuten afgetrokken worden. Het is dan donderdag 17.30 uur.

.................... ........................................................................................................................ . . . . . .

28 Een verpleegster werkt steeds drie dagen achter elkaar en heeft dan één dag vrij. Hoeveel dagen zitten er tussen twee vrije zaterdagen?

De is elke vierde dag........................................................................................................................ vrij. In een week zijn zeven dagen. De volgende. . . . . . . . . . . . . . .verpleegster . . . . . . . . . . ............................................................. vrije zal op een veelvoud van 7 vallen. Namelijk op de 28ste dag . . . . . . . . . . . .zaterdag . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ ...... (4 28). Er zijn dan 27 dagen tussen twee vrije zaterdagen. . . . . . .·. . .7 . . . . . .= . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ ...... 29 Het vierkante dartsbord hiernaast is verdeeld in vier gebieden A, B, C en D. Alle hokjes in gebied A zijn evenveel waard. Alle hokjes in gebied B zijn evenveel waard. En alle hokjes in gebied C zijn evenveel waard. De totale waarde van de hokjes in de gebieden A, B, C en D zijn gelijk. De dartspijl in het hokje in gebied A en de dartspijl in het hokje in gebied B leveren samen 5 punten op. Hoeveel levert de dartspijl in het hokje in gebied C op? A

B

6

C

8

D

12

24

e

30

�

�

D C B A

�

Hoeveel vakjes telt A? 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . . Hoeveel vakjes telt B? 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . . Hoeveel vakjes telt C? 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ . . . . . . Eén uit A + één vakje uit B ........................................................................................................................ = 5 . . . . . . . . . . .vakje . . . . . . . . ............................................................. ...... In waarden kunnen we vijf........................................................................................................................ splitsen? 1 + 4 of 2 + 3 . . . . . . welke . . . . . . . . . . . . . ............................................................. ...... 24 24 en 16 · 4 = 64 ........................................................................................................................ de waarden zijn niet gelijk. . . . . . . . .·. .1 . . . . . . .= . . ............................................................. ...... 24 48 en 16 · 3 = 48 ........................................................................................................................ de waarden zijn gelijk. . . . . . . . .·. .2 . . . . . . .= . . ............................................................. ...... Eén van C heeft als waarde: 48 : 8 = 6. . . . . . . . . . . .vakje . . . . . . . . ............................................................. ........................................................................................................................ ...... 30 In een bloemenperk heeft een roos zeven rozen meer als buur dan margrieten. In dit bloemenperk staan er twee keer zoveel rozen als margrieten. Hoeveel margrieten heeft een margriet als buur? A

6

B

7

C

8

D

9

e

10

Met erbij staan er acht .................. . . . . . . . . . . de . . . . . . . .roos . ............................................................. rozen in het bloemenperk dan . . . . . . . . . . . . . . .meer . . . . ............................................................. .................. margrieten. Er staan dan 16 rozen en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................. .................. 8 margrieten in het bloemenperk. Eén margriet heeft zeven margrieten als buur. 94

problemsolving

Gehele getallen: vermenigvuldiging en deling

Recommend Documents