Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma Helyi tanterv Matematika

Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma Helyi tanterv – Matematika

1. oldal

Tartalomjegyzék

Tartalom Helyi tantervünk kerettantervi háttere ................................................................................................. 2 A hatosztályos képzés............................................................................................................................ 2 A hatosztályos képzés 7-8. osztályainak helyi tanterve .................................................................... 5 A hatosztályos képzés 9-10. osztályainak helyi tanterve .................................................................. 6 A hatosztályos képzés 11-12. osztályainak helyi tanterve ................................................................ 7 A négyosztályos gimnáziumi képzés...................................................................................................... 7 A négyosztályos képzés 9-10. osztályainak helyi tanterve ................................................................ 7 A négyosztályos képzés 11-12. osztályainak helyi tanterve .............................................................. 9 Táblázatok ........................................................................................................................................... 10 Matematika óraszámok ................................................................................................................... 10 A hatosztályos képzés kerettanterv szerinti óraszámai .................................................................. 10 A négyosztályos matematika-informatika speciális képzés kerettanterv szerinti óraszámai ......... 11 A négyosztályos biológia-kémia speciális képzés kerettanterv szerinti óraszámai......................... 12 A négyosztályos idegen nyelvi (angol és német) speciális képzés kerettanterv szerinti óraszámai 13 A négyosztályos néprajz speciális és néprajz általános képzés kerettanterv szerinti óraszámai .... 14 A négyosztályos általános képzés kerettanterv szerinti óraszámai ................................................ 15 Mellékletek .......................................................................................................................................... 17 1. melléklet: a hatosztályos gimnáziumi 7-8. osztályok kerettanterve ........................................... 17 2. melléklet: a hatosztályos gimnáziumi 9-10. osztályok kerettanterve ......................................... 32 3. melléklet: a hatosztályos gimnáziumi 11-12. osztályok kerettanterve ....................................... 43 4. melléklet: a négyosztályos gimnáziumi 9-10. osztályok kerettanterve ...................................... 57 5. melléklet: a négyosztályos gimnáziumi 11-12. osztályok kerettanterve .................................... 72


2. oldal

Helyi tantervünk kerettantervi háttere Helyi tantervünket a kerettantervek kiadásának és jogállásának rendjéről szóló 51/2012. (XII. 21.) számú EMMI rendeletben meghatározott kerettanterv alapján készítettük, figyelembe véve az iskola hagyományait, adottságait is. Az iskola helyi tantervében a tantárgyak tananyagai és követelményei megegyeznek a minisztérium által kiadott kerettantervben meghatározott tananyaggal és követelményekkel. A tantárgyakat a fenntartó által engedélyezett heti óraszámban tanítjuk. Iskolánkban a tanulók idegen nyelvként az angol, a német, az olasz, a francia, a spanyol és a latin nyelv tanulását választhatják. Helyi tantervünket az iskola 9. évfolyamán a 2013/14. tanévben vezetjük be, felmenő rendszerben. A 2016/17. tanévtől kerül bevezetésre minden évfolyamon az új helyi tanterv. Az intézmény gimnáziumi képzésében a 6 és 4 évfolyamos képzést (7-12. és 9-12. évf.) valósítjuk meg. A képzési struktúrát a minisztérium által összeállított kerettantervek és a helyi lehetőségek ismeretében állítottuk össze. A 6 évfolyamos képzésben egy, általános tanrendű osztályt indítunk. A 4 évfolyamos képzésen négy osztályt indítunk. Választható tagozatok: Általános (teljes osztály) kémiabiológia (fél osztály) matematika-informatika (fél osztály) angol nyelvi (fél osztály) német nyelvi (fél osztály) humán tagozat (néprajz – általános fél-fél osztály).

A hatosztályos képzés Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika tanulása érzelmi és motivációs vonatkozásokban is formálja, gazdagítja a személyiséget, fejleszti az önálló rendszerezett gondolkodást, és alkalmazásra képes tudást hoz létre. A matematikai gondolkodás fejlesztése segíti a gondolkodás általános kultúrájának kiteljesedését. A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A matematika: kulturális örökség; gondolkodásmód; alkotó tevékenység; a gondolkodás örömének forrása; a mintákban, struktúrákban tapasztalható rend és esztétikum megjelenítője; önálló tudomány; más tudományok segítője; a mindennapi élet része és a szakmák eszköze. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mind-inkább ki tudják választani és alkalmazni tudják a természeti és társadalmi jelenségekhez illeszkedő modelleket, gondolkodásmódokat (analógiás, heurisztikus, becslésen alapuló, matematikai logikai, axiomatikus, valószínűségi, konstruktív, kreatív stb.), módszereket (aritmetikai, algebrai, geometriai, függvénytani, statisztikai stb.) és leírásokat. A matematikai nevelés sokoldalúan fejleszti a tanulók modellalkotó tevékenységét. Ugyanakkor fontos a modellek érvényességi körének és gyakorlati alkalmazhatóságának eldöntését segítő képességek fejlesztése. Egyaránt lényeges a reproduktív és a problémamegoldó, valamint az alkotó gondolkodásmód megismerése, elsajátítása, miközben nem szorulhat háttérbe az alapvető tevékenységek (pl. mérés, alapszerkesztések), műveletek (pl. aritmetikai, algebrai műveletek, transzformációk) automatizált végzése sem. A tanulás elvezethet a matematika szerepének megértésére a természet- és társadalomtudományokban, a humán kultúra számos ágában. Segít kialakítani a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának


3. oldal

igényét. Megmutathatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A tanulási folyamat során fokozatosan megismertetjük a tanulókkal a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása). Mindezzel fejlesztjük a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. Az új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, az önálló gondolatok megfogalmazását, a felmerült problémák megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a többféle nézőpont érvényesítését, a komplex problémakezelés képességét is fejleszti. A folyamat végén a tanulók eljutnak az önálló, rendszerezett, logikus gondolkodás bizonyos szintjére. A műveltségi terület a különböző témakörök szerves egymásra épülésével kívánja feltárni a matematika és a matematikai gondolkodás világát. A fogalmak, összefüggések érlelése és a matematikai gondolkodásmód kialakítása egyre emelkedő szintű spirális felépítést indokol – az életkori, egyéni fejlődési és érdeklődési sajátosságoknak, a bonyolódó ismereteknek, a fejlődő absztrakciós képességnek megfelelően. Ez a felépítés egyaránt lehetővé teszi a lassabban haladókkal való foglalkozást és a tehetség kibontakoztatását. A matematikai értékek megismerésével és a matematikai tudás birtokában a tanulók hatékonyan tudják használni a megszerzett kompetenciákat az élet különböző területein. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, illetve a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban segítheti a mindennapokban, és különösen a média közleményeiben való reális tájékozódásban. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv életkornak megfelelő, pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását írásban és szóban egyaránt. A tanulók rendszeresen oldjanak meg önállóan feladatokat, aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A feladatmegoldáson keresztül a tanuló képessé válhat a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára. Kialakul bennük az önellenőrzés igénye, a sajátunkétól eltérő szemlélet tisztelete. Mindezek érdekében is a tanítás folyamában törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. A matematikatanítás, -tanulás folyamatában egyre nagyobb szerepet kaphat az önálló ismeretszerzés képességnek fejlesztése, az ajánlott, illetve az önállóan megkeresett, nyomtatott és internetes szakirodalom által. A matematika lehetőségekhez igazodva támogatni tudja az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor), internet, oktatóprogramok stb. célszerű felhasználását, ezzel hozzájárul a digitális kompetencia fejlődéséhez. A tananyag egyes részleteinek csoportmunkában való feldolgozása, a feladatmegoldások megbeszélése az együttműködési képesség, a kommunikációs képesség fejlesztésének, a reális


4. oldal

önértékelés kialakulásának fontos területei. Ugyancsak nagy gondot kell fordítani a kommunikáció fejlesztésére (szövegértésre, mások szóban és írásban közölt gondolatainak meghallgatására, megértésére, saját gondolatok közlésére), az érveken alapuló vitakészség fejlesztésére. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jártas a problémamegoldásban. A matematikatanításnak kiemelt szerepe van a pénzügyi-gazdasági kompetenciák kialakításában. Életkortól függő szinten, rendszeresen foglakozzunk olyan feladatokkal, amelyekben valamilyen probléma legjobb megoldását keressük. Szánjunk kiemelt szerepet azoknak az optimumproblémáknak, amelyek gazdasági kérdésekkel foglalkoznak, amikor költség, kiadás minimumát; elérhető eredmény, bevétel maximumát keressük. Fokozatosan vezessük be matematikafeladatainkban a pénzügyi fogalmakat: bevétel, kiadás, haszon, kölcsön, kamat, értékcsökkenés, -növekedés, törlesztés, futamidő stb. Ezek a feladatok erősítik a tanulókban azt a tudatot, hogy matematikából valóban hasznos ismereteket tanulnak, ill. hogy a matematika alkalmazása a mindennapi élet szerves része. Az életkor előrehaladtával egyre több példát mutassunk arra, hogy milyen területeken tud segíteni a matematika. Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy milyen matematikai ismerteket alkalmaznak az alapvetően matematikaigényes, illetve a matematikát csak kisebb részben használó szakmák (pl. informatikus, mérnök, közgazdász, pénzügyi szakember, biztosítási szakember, illetve pl. vegyész, grafikus, szociológus stb.), ezzel is segítve a tanulók pályaválasztását. A matematikához való pozitív hozzáállást nagyban segíthetik a matematika tartalmú játékok és a matematikához kapcsolódó érdekes problémák és feladványok. A matematika a kultúrtörténetnek is része. Segítheti a matematikához való pozitív hozzáállást, ha bemutatjuk a tananyag egyes elemeinek a művészetekben való alkalmazását. A motivációs bázis kialakításában komoly segítség lehet a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott, egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok életének, munkásságának megismerése. A NAT néhány matematikus ismeretét előírja minden tanuló számára: Euklidész, Pitagorasz, Descartes, Bolyai Farkas, Bolyai János, Thalész, Euler, Gauss, Pascal, Cantor, Erdős, Neumann. A kerettanterv ezen kívül is sok helyen hívja fel a tananyag matematikatörténeti érdekességeire a figyelmet. Ebből a tanárkollégák csoportjuk jellegének megfelelően szabadon válogathatnak. A matematika oktatása elképzelhetetlen állítások, tételek bizonyítása nélkül. Hogy a tananyagban szereplő tételek beláttatása során milyen elfogadott igazságokból indulunk ki, s mennyire részletezünk egy bizonyítást, nagymértékben függ az állítás súlyától, a csoport befogadó képességétől, a rendelkezésre álló időtől stb. Ami fontos, az a bizonyítás iránti igény felkeltése, a logikai levezetés szükségességének megértetése. Ennek mikéntjét a helyi tantervre támaszkodva mindig a szaktanárnak kell eldöntenie, ezért a tantervben a tételek megnevezése mellett nem szerepel utalás a bizonyításra. A fejlesztési cél elérése szempontjából - egy adott tanulói közösség számára - nem feltétlenül a tantervben szereplő (nevesített) tételek a legalkalmasabbak bizonyítás bemutatására, gyakorlására.


5. oldal

Minden életkori szakaszban fontos a differenciálás. Ez nemcsak az egyéni igények figyelembevételét jelenti. Sokszor az alkalmazhatóság vezérli a tananyag és a tárgyalásmód megválasztását, más esetekben a tudományos igényesség szintje szerinti differenciálás szükséges. Egy adott osztály matematikatanítása során a célok, feladatok teljesíthetősége igényli, hogy a tananyag megválasztásában a tanulói érdeklődés és a pályaorientáció is szerepet kapjon. A matematikát alkalmazó pályák felé vonzódó tanulók gondolkodtató, kreativitást igénylő versenyfeladatokkal motiválhatók, a humán területen tovább tanulni szándékozók számára érdekesebb a matematika kultúrtörténeti szerepének kidomborítása, másoknak a középiskolai matematika gyakorlati alkalmazhatósága fontos. A fokozott szaktanári figyelem, az iskolai könyvtár és az elektronikus eszközök használatának lehetősége segíthetik az esélyegyenlőség megvalósulását.

A hatosztályos képzés 7-8. osztályainak helyi tanterve Az új iskolatípus lehetőséget nyújt arra, hogy pozitív motivációval hozzásegítsünk minden tanulót a matematikai gondolkodás örömének megismeréséhez. Tizenhárom éves kortól a tanulók mindinkább általánosító elképzelésekben, elvont konstrukciókban gondolkoznak. Elméleteket gyártanak, összefüggéseket keresnek, próbálják értelmezni a világot. Az iskolai tanítás csak akkor lehet eredményes, ha alkalmazkodik ezekhez a változásokhoz, illetve igyekszik azokat felhasználva fejleszteni a tanulókat. A matematika kiválóan alkalmas arra, hogy a rendszerező képességet és hajlamot fejlessze. Ebben a két évfolyamában mind inkább szükséges matematikai szövegeket értelmezni és alkotni. Segítsük, hogy a tanulók a problémamegoldásaik részeként többféle forrásból legyenek képesek ismereteket szerezni. Ebben a korban a tanításban már meg kell jelennie az elvonatkoztatás és az absztrakciós készség felhasználásának, fejlesztésének. A matematika tanításában itt jelenik meg a konkrét számok betűkkel való helyettesítése, a tapasztalatok általános megfogalmazása. Ezekben az évfolyamokban már komoly hangsúlyt kell helyeznünk arra, hogy a megsejtett összefüggések bizonyításának igénye is kialakuljon. A definíciókat és a tételeket mind inkább meg kell tudni különböztetni, azokat helyesen kimondani, problémamegoldásban mind többször alkalmazni. A mindennapi élet és a matematika (korosztálynak megfelelő) állításainak igaz vagy hamis voltát el kell tudni dönteni. A feladatok megoldása során fokozatosan kialakul az adatok, feltételek adott feladat megoldásához való szükségessége és elégségessége eldöntésének képessége. A tanítás része, hogy a feladatmegoldás előtt mind gyakrabban tervek, vázlatotok készüljenek, majd ezek közül válasszuk ki a legjobbat. Esetenként járjunk be több utat a megoldás során, és ennek alapján gondoljuk végig, hogy létezik-e legjobb út, vagy ennek eldöntése csak bizonyos szempontok rögzítése esetén lehetséges. A feladatmegoldások során lehetőséget kell teremteni arra, hogy esetenként a terveket és a munka szervezését a feladatmegoldás közben a tapasztalatoknak megfelelően módosítani lehessen. Egyes feladatok esetén szükséges általánosabb eljárási módokat, algoritmusokat keresni.

A matematika egyes területei más-más módon adnak lehetőséget ebben az életkorban az egyes kompetenciák fejlesztésére. A különböző matematikatanítási módszerek minden tananyagrészben segíthetik a megfelelő önismeret, a helyes énkép kialakítását. A tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességek hozzásegítenek az egyetemes kultúra, a magyar tudománytörténet megismeréséhez. A gyakorlati élethez kapcsolódó szöveges feladatok segítik a gazdasági nevelést, a környezettudatos életvitelt, az egészséges életmód kialakítását. A definíciók megtanulása fejleszti a memóriát, a szaknyelv precíz használatára ösztönöz. A geometriai ismeretek elsajátítása közben a tanulók térszemlélete fejlődik, megtanulják az esztétikus, pontos munkavégzést. A halmazszemlélet alakítása és fejlesztése a rendszerező-képességet erősíti.


6. oldal

Az érdeklődés specializálódása természetes dolog. Akinél ez a reáltárgyak felé fordul, ott igényes feladatanyaggal, kiegészítő ismeretekkel kell elérni, hogy az ilyen irányú továbbtanuláshoz szükséges alapok kialakuljanak, az érdeklődés fennmaradjon. Akinél a matematika, illetve a reáltárgyak iránti érdeklődés csökken, ott egyrészt sok érdeklődést felkeltő elemmel: matematikatörténeti vonatkozással, játékokkal, érdekes feladatokkal lehet ezt az érdeklődést visszaszerezni, másrészt célszerű sok olyan feladatot beiktatni, amelyek jól mutatják, hogy az életben sokszor előnybe kerülhetnek, jobb döntést hozhatnak azok, akik jól tudják a matematikát. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok tartalmazzák. Az egyes témakörökhöz rendelt óraszámok számítása az OFI és a KPSZTI ajánlásai alapján történt, az ott javasolt óraszámok arányos átvételével. A témakörök címei által jelölt részletes tartalmakat a csatolt melléklet tartalmazza.

A hatosztályos képzés 9-10. osztályainak helyi tanterve A hat évfolyamos gimnázium második szakaszában a szemlélet alapján, a tevékenységeken, felfedeztetéseken keresztül korábban kialakított fogalmak pontos definiálására, az összefüggések felismerésére, modellek készítésére kell helyezni a fő hangsúlyt. Szükséges a matematika alkalmazási területeinek széles körű bemutatása a matematikán belüli problémák megoldásában, illetve más tudományok segítőjeként való közreműködésben. Ezekben az években erősödik a tanulók önismerete, és megfelelő képességfejlesztéssel és módszertani változatossággal mind több tanulóban kialakulhat a matematika, illetve a természettudomány valamely ága iránti érdeklődés. A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az ismertszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. Ezeken az évfolyamokon a fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségeik megismerésén van a hangsúly. Ezért a tanulóknak meg kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel. (Mindenki által elfogadott alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állítások megfogalmazása és azok igazolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdések felsorolása, a következmények elemzése.) A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai alapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokon alapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerni akarnak, ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyan következtetésekre jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományos feladatokkal nem tudnánk elérni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutassuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (szimmetriák, aranymetszés) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Az ezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek következtében növekvő érdeklődés, javuló motiváció miatt. Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájú feladatokkal, számos geometriai és algebrai szélsőérték-feladattal lehet gyakorlati kérdésekre optimális megoldásokat keresni. Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen követelmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, interneten nézzenek utána. Ez a kutatómunka hozzájárulhat a tanulók digitális kompetenciájának növeléséhez, ugyanúgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is. A számítógép által nyújtott határtalan lehetőségeket képesek legyenek felismerni, és hatékonyan felhasználni. Fontos célkitűzés, hogy a feladatmegoldások közben a számológépet segédeszközként tudják használni.


7. oldal

Ebben az életkori szakaszban már elvárható, hogy a tanulók a leírt szöveget pontosan megértsék, a gondolataikat igyekezzenek szabatosan kifejteni. A matematikai gondolkodásmód fejlődésével egyre magabiztosabban képesek véleményt nyilvánítani, érvelni, mások gondolatait megérteni. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok tartalmazzák. Az egyes témakörökhöz rendelt óraszámok számítása az OFI és a KPSZTI ajánlásai alapján történt, az ott javasolt óraszámok arányos átvételével. A témakörök címei által jelölt részletes tartalmakat a csatolt melléklet tartalmazza.

A hatosztályos képzés 11-12. osztályainak helyi tanterve Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos tényezője az elemző és összegző képesség alakítása. Ebben a két évfolyamban áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellett sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyanokat, amelyekhez kell az előző évek alapozása, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A koordinátageometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetetlen. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például alkalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók se tekintsék gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok tartalmazzák. Az egyes témakörökhöz rendelt óraszámok számítása az OFI és a KPSZTI ajánlásai alapján történt, az ott javasolt óraszámok arányos átvételével. A témakörök címei által jelölt részletes tartalmakat a csatolt melléklet tartalmazza.

A négyosztályos gimnáziumi képzés A négyosztályos képzés 9-10. osztályainak helyi tanterve Ez a matematika kerettanterv mindazon tanulóknak szól, akik a 9. osztályban még nem választottak matematikából emelt szintű képzést. Azoknak is, akik majd később, fakultáción akarnak felkészülni matematikaigényes pályákra, és természetesen azoknak is, akiknek a középiskola után nem lesz


8. oldal

rendszeres kapcsolatuk a matematikával, de egész életükben hatni fog, hogy itt milyen készségeik alakultak ki a problémamegoldásban, a rendszerező, elemző gondolkodásban. Ezeket a tanulókat ebben az időszakban lehet megnyerni a gazdasági fejlődés szempontjából meghatározó fontosságú természettudományos, műszaki, informatikai pályáknak. A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az ismertszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. A középiskola első két évfolyamán sok, korábban már szereplő ismeret, összefüggés, fogalom újra előkerül, úgy, hogy a fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségeik megismerésén van a hangsúly. Ezért a tanulóknak meg kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel. (Mindenki által elfogadott alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állítások megfogalmazása és azok igazolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdések felsorolása, a következmények elemzése.) A felsorolt célok az általános iskolai matematikatanítás céljaihoz képest jelentős többletet jelentenek, ezért is fontos, hogy változatos módszertani megoldásokkal tegyük könnyebbé az átmenetet. A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai alapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokon alapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerni akarnak, ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyan következtetésekre jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományos feladatokkal nem tudnánk elérni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutassuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (szimmetriák, aranymetszés) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Az ezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek következtében növekvő érdeklődés, javuló motiváció miatt. (A tantervben dőlt betűkkel szerepelnek ezek a részek.) Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájú feladatokkal, számos geometriai és algebrai szélsőérték-feladattal lehet gyakorlati kérdésekre optimális megoldásokat keresni. Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen követelmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, interneten nézzenek utána. Ez a kutatómunka hozzájárulhat a tanulók digitális kompetenciájának növeléséhez, ugyanúgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is. A tanulók későbbi, matematika szempontjából nagyon különböző céljai, a fogalmi gondolkodásban megnyilvánuló különbségek igen fontossá teszik ebben a szakaszban a differenciálást. Az évfolyamok összetételének a bevezetőben vázolt sokszínűsége miatt nagyon indokolt csoportbontásban tanítani a matematikát.


9. oldal

Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok tartalmazzák. Az egyes témakörökhöz rendelt óraszámok számítása az OFI és a KPSZTI ajánlásai alapján történt, az ott javasolt óraszámok arányos átvételével. A témakörök címei által jelölt részletes tartalmakat a csatolt melléklet tartalmazza.

A négyosztályos képzés 11-12. osztályainak helyi tanterve Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos tényezője az elemző- és összegzőképesség alakítása. Ebben a két évfolyamban áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellett sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyanokat, amelyekhez kell az előző évek alapozása, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A koordinátageometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetetlen. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például alkalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók se tekintsék gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok tartalmazzák. Az egyes témakörökhöz rendelt óraszámok számítása az OFI és a KPSZTI ajánlásai alapján történt, az ott javasolt óraszámok arányos átvételével. A témakörök címei által jelölt részletes tartalmakat a csatolt melléklet tartalmazza.


10. oldal

Táblázatok Matematika óraszámok hatosztályos általános biokémia matematika idegen nyelv néprajz néprajz-általános emelt szint

7. 4

8. 4

9. 5 4 4 5 4 3 3

10. 5 4 4 5 4 3 3

11. 4 4 3 5 3 3 3 5

12. 4 5 3 6 4 3 3 6

A hatosztályos képzés kerettanterv szerinti óraszámai 7. osztály (hatosztályos, 144 óra) Gondolkodási módszerek (Törd a fejed!) Számok és műveletek Középpontos tükrözés Az arány fogalma, arányos következtetések Hozzárendelések, függvények, sorozatok Számelmélet Sokszögek és a kör Algebra Hasábok, hengerek Ismétlés, rendszerezés

7 16 12 12 28 20 12 21 11 5

8. osztály (hatosztályos, 144 óra) Gondolkodási módszerek (Gondolkodjunk együtt!) Algebra Négyzetgyök, Pitagorasz tétel Síkgeometria Valószínűségszámítás, statisztika Összefoglalás, Rendszerező ismétlés

24 54 15 12 25 14

9. osztály (hatosztályos, 180 óra) Kombinatorika, halmazok Algebra és számelmélet Függvények Háromszögek, négyszögek, sokszögek Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Egybevágósági transzformációk Statisztika Év végi ismétlés, rendszerezés

12 36 13 25 40 28 16 10


11. oldal

10. osztály (hatosztályos, 180 óra) Gondolkodási módszerek A gyökfogalom kiterjesztése A másodfokú egyenlet A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése Vektorok Szögfüggvények Valószínűségszámítás Év végi ismétlés, rendszerezés

10 48 40 11 17 10 8 9 14 13

11. osztály (hatosztályos, 144 óra) Kombinatorika, gráfok Hatvány, gyök, logaritmus A trigonometria alkalmazásai Függvények Koordinátageometria Valószínűségszámítás, statisztika Év végi ismétlés

12 33 30 16 35 10 8

12. osztály (hatosztályos, 120 óra) Logika, bizonyítási módszerek Számsorozatok Térgeometria Valószínűségszámítás és statisztika Rendszerező összefoglalás - Gondolkodási módszerek Rendszerező összefoglalás - Számelmélet, algebra Rendszerező összefoglalás - Függvények Rendszerező összefoglalás - Geometria Rendszerező összefoglalás - Valószínűség, statisztika Év végi ismétlés

8 18 17 8 6 15 18 11 5 14

A négyosztályos matematika-informatika speciális képzés kerettanterv szerinti óraszámai 9. osztály (matematika-informatika, 180 óra) Kombinatorika, halmazok Algebra és számelmélet Függvények Háromszögek, négyszögek, sokszögek Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek

Egybevágósági transzformációk Statisztika Év végi ismétlés, rendszerezés

24 30 14 30 28 35 8 11


12. oldal

10. osztály (matematika-informatika, 180 óra) Gondolkodási módszerek A gyökfogalom kiterjesztése A másodfokú egyenlet A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése Vektorok Szögfüggvények Valószínűségszámítás Év végi ismétlés, rendszerezés

15 39 32 20 20 8 12 9 12 13

11. osztály (matematika-informatika, 180 óra) Kombinatorika, gráfok Hatvány, gyök, logaritmus A trigonometria alkalmazásai Függvények Koordinátageometria Valószínűségszámítás, statisztika Év végi ismétlés

18 40 35 22 35 15 15

12. osztály (matematika-informatika, 180 óra) Logika, bizonyítási módszerek Számsorozatok Térgeometria Valószínűségszámítás és statisztika Rendszerező összefoglalás - Gondolkodási módszerek Rendszerező összefoglalás - Számelmélet, algebra Rendszerező összefoglalás - Függvények Rendszerező összefoglalás - Geometria Rendszerező összefoglalás - Valószínűség, statisztika Év végi ismétlés

11 25 30 6 6 26 24 27 10 15

A négyosztályos biológia-kémia speciális képzés kerettanterv szerinti óraszámai 9. osztály (biológia-kémia, 144 óra) Kombinatorika, halmazok Algebra és számelmélet Függvények Háromszögek, négyszögek, sokszögek Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek


10. osztály (biológia-kémia, 144 óra)

20 24 10 25 24 28 6 7


13. oldal

Gondolkodási módszerek A gyökfogalom kiterjesztése A másodfokú egyenlet A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése Vektorok Szögfüggvények Valószínűségszámítás Év végi ismétlés, rendszerezés

11 15 40 15 14 6 12 9 10 12

11. osztály (biológia-kémia, 108 óra) Kombinatorika, gráfok Hatvány, gyök, logaritmus A trigonometria alkalmazásai Függvények Koordinátageometria Valószínűségszámítás, statisztika Év végi ismétlés

11 26 22 14 20 8 7

12. osztály (biológia-kémia, 90 óra) Logika, bizonyítási módszerek Számsorozatok Térgeometria Valószínűségszámítás és statisztika Rendszerező összefoglalás - Gondolkodási módszerek Rendszerező összefoglalás - Számelmélet, algebra Rendszerező összefoglalás - Függvények Rendszerező összefoglalás - Geometria Rendszerező összefoglalás - Valószínűség, statisztika Év végi ismétlés

6 13 13 5 3 14 11 11 4 10

A négyosztályos idegen nyelvi (angol és német) speciális képzés kerettanterv szerinti óraszámai 9. osztály (matematika-informatika, 144 óra) Kombinatorika, halmazok Algebra és számelmélet Függvények Háromszögek, négyszögek, sokszögek Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek


20 24 10 25 24 28 6 7


14. oldal

10. osztály (matematika-informatika, 144 óra) Gondolkodási módszerek A gyökfogalom kiterjesztése A másodfokú egyenlet A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése Vektorok Szögfüggvények Valószínűségszámítás Év végi ismétlés, rendszerezés

11 15 40 15 14 6 12 9 10 12

11. osztály (matematika-informatika, 108 óra) Kombinatorika, gráfok Hatvány, gyök, logaritmus A trigonometria alkalmazásai Függvények Koordinátageometria Valószínűségszámítás, statisztika Év végi ismétlés

11 26 22 14 20 8 7

12. osztály (matematika-informatika, 120 óra) Logika, bizonyítási módszerek Számsorozatok Térgeometria Valószínűségszámítás és statisztika Rendszerező összefoglalás - Gondolkodási módszerek Rendszerező összefoglalás - Számelmélet, algebra Rendszerező összefoglalás - Függvények Rendszerező összefoglalás - Geometria Rendszerező összefoglalás - Valószínűség, statisztika Év végi ismétlés

8 18 18 7 3 16 13 20 4 13

A négyosztályos néprajz speciális és néprajz általános képzés kerettanterv szerinti óraszámai 9. osztály (néprajz, 108 óra) Kombinatorika, halmazok Algebra és számelmélet Függvények Háromszögek, négyszögek, sokszögek Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek


16 18 8 15 24 14 6 7


15. oldal

10. osztály (néprajz, 108 óra) Gondolkodási módszerek A gyökfogalom kiterjesztése A másodfokú egyenlet A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése Vektorok Szögfüggvények Valószínűségszámítás Év végi ismétlés, rendszerezés

7 10 25 12 10 4 19 7 7 7

11. osztály (néprajz, 108 óra) Kombinatorika, gráfok Hatvány, gyök, logaritmus A trigonometria alkalmazásai Függvények Koordinátageometria Valószínűségszámítás, statisztika Év végi ismétlés

11 26 22 14 21 7 7

12. osztály (néprajz, 90 óra) Logika, bizonyítási módszerek Számsorozatok Térgeometria Valószínűségszámítás és statisztika Rendszerező összefoglalás - Gondolkodási módszerek Rendszerező összefoglalás - Számelmélet, algebra Rendszerező összefoglalás - Függvények Rendszerező összefoglalás - Geometria Rendszerező összefoglalás - Valószínűség, statisztika Év végi ismétlés

6 15 14 6 3 10 10 13 4 9

A négyosztályos általános képzés kerettanterv szerinti óraszámai 9. osztály (általános, 144 óra) Kombinatorika, halmazok Algebra és számelmélet Függvények Háromszögek, négyszögek, sokszögek Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek


10. osztály (általános, 144 óra)

18 25 10 22 30 20 9 10


16. oldal

Gondolkodási módszerek A gyökfogalom kiterjesztése A másodfokú egyenlet A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése Vektorok Szögfüggvények Valószínűségszámítás Év végi ismétlés, rendszerezés

13 16 32 16 14 8 22 7 9 7

11. osztály (általános, 144 óra) Kombinatorika, gráfok Hatvány, gyök, logaritmus A trigonometria alkalmazásai Függvények Koordinátageometria Valószínűségszámítás, statisztika Év végi ismétlés

14 36 32 22 26 7 7

12. osztály (általános, 150 óra) Logika, bizonyítási módszerek Számsorozatok Térgeometria Valószínűségszámítás és statisztika Rendszerező összefoglalás - Gondolkodási módszerek Rendszerező összefoglalás - Számelmélet, algebra Rendszerező összefoglalás - Függvények Rendszerező összefoglalás - Geometria Rendszerező összefoglalás - Valószínűség, statisztika Év végi ismétlés

10 22 28 12 5 18 14 18 6 17


17. oldal

Mellékletek 1. melléklet: a hatosztályos gimnáziumi 7-8. osztályok kerettanterve Tematikai egység/ Fejlesztési cél

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika

Órakeret 27 óra

Előzetes tudás

Összehasonlításhoz, viszonyításhoz szükséges kifejezések értelmezése, használata (pl. egyenlő; kisebb; nagyobb; több; kevesebb; legalább; legfeljebb; nem; és; vagy; minden, van olyan). Állítások igazságának eldöntése. Igaz és hamis állítások megfogalmazása. Konkrét dolgok adott szempont(ok) szerinti rendezése, rendszerezése. Néhány elem kiválasztása, elemek sorba rendezése különféle módszerekkel.

A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai

Az anyanyelv tudatos használata tények és gondolatok megjelenítésére. Gondolatok (állítások, feltételezések, választások stb.) világos, érthető szóbeli és írásbeli közlése. Egyszerű állítások igazságának eldöntése. Fogalmak, állítások logikai kapcsolata. A bizonyítási igény fejlesztése. A matematikai bizonyítás előkészítése; ellenpéldák szerepe a cáfolásban. Kommunikáció, együttműködés fejlesztése. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése kombinációs készség fejlesztése. A digitális technológiák kritikus használatának bevezetése. A matematikai műveltség fontosságának erősítése, pozitív attitűd kialakítása.

Ismeretek Elemek halmazokba rendezése, adott halmaz elemeinek felsorolása. Halmazfogalom szemléletes kialakítása. Halmazok megadási módjai.

Fejlesztési követelmények

Kapcsolódási pontok

Lényeges és lényegtelen információk Magyar nyelv és szétválasztása. irodalom: mondatok, Elemek, adatok szétválogatása két szavak hangok szempont szerint: (halmazba tartozó rendszerezése. vagy nem). Biológia-egészségtan: élőlények rendszerezése. Földrajz: országai.

földrészek

Kémia: anyagok csoportosítása. Véges, végtelen halmazok, Természetes számok, egész számok, intervallumok. racionális számok elhelyezése Végtelen számosság szemléletes halmazábrában, számegyenesen. fogalma. Részhalmaz, kiegészítő halmaz, Szöveges megfogalmazások Biológia-egészségtan: unió, metszet, különbség. matematikai modellre fordítása. egyed alatti Alaphalmaz és komplementer Elnevezések, jelölések megtanulása, szerveződési szintek halmaz. definíciókra való emlékezés. részhalmaz-kapcsolata. Megosztott figyelem: két, illetve Részhalmazok száma.


több szempont egyidejű követése.

18. oldal

Informatika: adattárolás szerkezete; könyvtári ismeretek. Kémia: anyagok csoportosítása.

A nyelv logikai elemeinek Az anyanyelvi kommunikáció használata: az „és”, „vagy”, „ha … fejlesztése a logika megfelelő akkor”, „nem”, „van olyan”, elemeinek felhasználásával. „minden” kifejezések. Matematikai tartalmú szöveg értése, értelmezése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Egyszerű állítások igazolása, cáfolata konkrét példák kapcsán.

Magyar nyelv és irodalom: az anyanyelvi kommunikáció fejlesztése a logika megfelelő elemeinek felhasználásával. Ének-zene: népdalok szövegének vizsgálata a logika segítségével. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: kommunikációs kompetencia: mások érvelésének összefoglalása és figyelembevétele.

Az „akkor és csak használata. Tétel és megfordítása. Matematikatörténet:

Konkrét tételek, állítások megfogalmazásában a szükséges és az elégséges feltételek megkülönböztetése. Matematikai tartalmú szöveg értése, Eukleidész szerepe a értelmezése. tudományosság kialakításában. Pólya György: A gondolkodás Érvelés alkalmazása indoklásokban. Adott tétel megfordításának iskolája. megfogalmazása, a megfordítás értelmezése, igazságtartalmának eldöntése. Sorbarendezés, néhány elem esetén.

akkor”

kiválasztás

Kreativitás az összes lehetőség többféle felsorolási módjában. Különböző tárgyak, elemek, számok, betűk, lehetőségek sorba rendezése, néhány elem kiválasztása. Különböző események kimeneteli lehetőségeinek számbavétele.

Informatika: Adattárolás kettes számrendszerben (kettes számrendszerbe átírt számok lehetséges esetei).

Permutáció (ismétlés nélküli és Kombinatorika a mindennapokban: ismétléses). tudatos megfigyelés és értelmezés Számolás faktoriálissal. összeszámlálási és kiválasztási feladatokban. A tapasztalatok rögzítése. (Az esetek

Technika, életvitel és gyakorlat: hétköznapi problémák megoldása a kombinatorika eszközeivel.


19. oldal

összeszámlálásánál minden esetet meg kell találni, de minden esetet csak egyszer lehet számításba venni.) Rendszerezés gyakorlása.

Szöveg matematika nyelvre fordítása, matematikai modell készítése. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Véges, végtelen halmaz, intervallum. Részhalmaz, kiegészítő halmaz. Alaphalmaz és komplementer halmaz. Unió, metszet, különbség, „és”, „vagy”, „ha … akkor”, „nem”, „van olyan”, „minden” kifejezések. Ismétlés nélküli és ismétléses permutáció. Faktoriális.

Tematikai egység/ Fejlesztési cél

2. Számelmélet, algebra

Órakeret 70 óra

Előzetes tudás

A racionális számok helyes leírása, olvasása, számegyenesen való ábrázolása, két szám összehasonlítása. Helyes műveleti sorrend ismerete a négy alapművelet esetén. A mindennapi életben felmerülő egyszerű, konkrét arányossági feladatok megoldása következtetéssel. A százalék fogalmának ismerete. 2, 3, 5, 9, 10, 100-zal való oszthatósági szabály ismerete. Osztó, többszörös közös osztó, közös többszörös fogalma. Algebrai kifejezések gyakorlati használata a terület, kerület, felszín és térfogat számítása során. Egyszerű elsőfokú egyismeretlenes egyenletek megoldása szabadon választható módszerrel.


Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. A mennyiségi jellemzők kifejezése számokkal, a számok értelmezése a valóság mennyiségeivel. A számfogalom elmélyítése. Absztrahálás, betűkifejezések használata, egyszerűsítő eljárások megismertetése. Szövegben megfogalmazott helyzet, történés megfigyelése, lényeges és lényegtelen információk szétválasztása. Matematikatörténeti érdekességeken keresztül a tantárgyi motiváció erősítése. Digitális technikák használata.

Ismeretek



Mérés, mértékegység használata, Számolás 10 pozitív egész kitevőjű Fizika: mértékegységek átváltás. hatványaival. átváltása. Kémia: atomok száma. Földrajz: távolság, terület méretének meghatározása. A racionális szám fogalma.

Racionális

számok

néhány

Fizika: mennyiségek megadása,


20. oldal

Racionális számok tizedes tört tulajdonságának megismerése. alakja (véges, végtelen szakaszos tizedes

törtek),

példák

nem

racionális számra.

A négyzetgyök fogalma.

Végtelen szakaszos tizedes törtek tulajdonságainak

vizsgálata,

periódus meghatározása.

Számológép Nagyságrendi becslés.

használata.

Valós számkör. Annak belátása, hogy A valós számok és a számegyenes racionális szám. kapcsolata. Műveletek a racionális számkörben. Műveletek tulajdonságai. Matematikatörténet: a számfogalom matematikatörténeti fejlődése (számok írása, Rhindpapirusz).

Ellentett, abszolút érték. Reciprok.

értékegységek átváltása.

2 nem

Műveletek gyakorlása a racionális Fizika; kémia: számkörben. számítások.

Műveletek tulajdonságainak felismerése és alkalmazása. A zárójelek, a műveleti sorrend biztos alkalmazása. Számolási készség erősödése a racionális számkörben (fejben és írásban). Eredmények becslése. Számológép használata. Helyes és értelmes kerekítés. Fejben történő számolás.

Fizika: távolságok megadása, hőmérséklet, hőmérsékletváltozás, áram feszültség előjeles értelmezése.

Arány, aránypár, arányos osztás.

Számológép használata. Földrajz: térképek A kapott eredmény helyességének méretarányainak vizsgálata. értelmezése. Arányos osztás a mindennapi életben: részekre osztás.

Egyenes és fordított arányosság.

Megfelelő modell keresése szöveges feladatokhoz. Mérési eredmények és a kerekítés kapcsolata. A számolandó eredmény becslése.

Százalékszámítási, kamatszámítási feladatok.

Következtetés. Takarékossági, számítások.

Fizika; kémia: arányossági számítások felhasználása feladatmegoldásokban.

Technika, életvitel és gazdaságossági gyakorlat: pénzeszközök takarékos, gazdaságos felhasználása, kamatszámítás. Földrajz:


21. oldal

népességváltozás. A növekedés és csökkenés Szöveges számítási feladatok Technika, életvitel és kifejezése százalékkal („mihez megoldása a mindennapokból: gyakorlat: tudatos viszonyítunk?”). százalékszámítás (pl. megtakarítás, élelmiszer-választás, kölcsön, áremelés, árleszállítás, pénzkezelés. élelmiszerek százalékos összetétele). Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Számológép használata. Értelmes kerekítés. Pozitív egész kitevőjű fogalma, azonosságai.

hatvány

A hatvány, hatványozás fogalmának elmélyítése.

Osztó, többszörös fogalma, osztási Gondolatmenet követése, maradékok. Oszthatóság fogalma, egyszerű gondolatmenet alaptulajdonságok. Oszthatósági megfordítása. Következtetések. szabályok (4; 8; 25) ismerete. Tanulói együttműködésben részvétel. Oszthatósági szabályok

rendszerezése. Összetett oszthatósági szabályok. Számelmélet szerepe a kódolásban, titkosításban. Prímszám, összetett szám fogalma. Számok prímtényezős felbontása. A számelmélet alaptétele. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, relatív prímek. Matematikatörténeti és számelméleti érdekességek (pl. végtelen sok prímszám létezik, tökéletes számok, barátságos számok, Eukleidész, Mersenne, Euler, Fermat)

Hatványok, használata.

hatványazonosságok

Gondolkodás fejlesztése számelméleti alapú matematikai játékokon keresztül.

Oszthatósági feladatok nevezetes A bizonyítási igény kialakítása azonosságokkal. oszthatósági feladatokban. Érvelés képességének fejlesztése.

A matematikai próbálkozás, sejtés, cáfolat, bizonyítás láncolatának bemutatása egyegy számelméleti probléma megoldásánál. Számrendszerek. A helyi értékes írásmód Átváltás tízes számrendszerre más lényegének megértése. alapú számrendszerből. Matematikatörténet: Neumann János.

Informatika: a kettes számrendszer használata.


22. oldal

Matematikatörténet: 12-es, 60-as számrendszer. Nulla és negatív egész kitevőjű Permanenciaelv bemutatása hatvány fogalma, a hatványozás konkrét számokkal. azonosságai. A bizonyítási igény. fejlesztése Számok normálalakja. A természettudományokban és a Fizika; kémia; földrajz; Számolás normálalakkal írásban és társadalomban előforduló nagy és biológia-egészségtan: számológép segítségével. kis mennyiségekkel történő Tér, idő, nagyságrendek. számolás. Méretek és nagyságrendek becslése és számítása az atomok méreteitől az ismert világ méretéig. Az algebrai egész kifejezés fogalma. Elnevezések, jelölések megértése, Fizika: összefüggések Egytagú, többtagú egynemű rögzítése, definíciókra való megfogalmazása, leírása kifejezés fogalma. emlékezés. Egyszerű szimbólumok a matematika nyelvén. megértése és alkalmazása a matematikában. Betűk használata szöveges feladatok általánosításánál. Algebrai egész kifejezések Műveletek biztos elvégzése, átalakítása (egytagúak szorzása, törekvés a pontos, precíz munkára. egytagú szorzása többtagúval), helyettesítési értékeinek kiszámítása. Matematikatörténet: az algebra kezdetei, az arab matematika. Többtagú szorzása többtagúval, összevonás. Nevezetes azonosságok:

a  b

2

összeg alakja, szorzat alakja.

a b 2

2

Fizika; kémia; biológiaegészségtan: Képletek átalakítása. A képlet értelme, jelentősége. Helyettesítési érték kiszámítása képlet alapján.

Kreativitás többféle bizonyítási Informatika: tantárgyi módszer alkalmazása során. Az szimulációs programok algebra és geometria használata. összekapcsolása az azonosságok igazolásánál. Ismeretek tudatos memorizálása.

Szorzattá alakítás kiemeléssel, A tanult nevezetes azonosságok felhasználása. alkalmazásával. Teljes négyzetté alakítás.

azonosságok

Egyismeretlenes elsőfokú Algoritmus használata, egyenletek, egyenlőtlenségek begyakorlása a megoldás során. megoldása következtetéssel, Az egyenlőtlenségek és a negatív mérlegelvvel. számmal történő szorzás és osztás Az alaphalmaz szerepének kapcsolata. vizsgálata. Az ellenőrzés fontossága. Azonosság. Megoldáshalmaz ábrázolása


Azonos egyenlőtlenség.

23. oldal

számegyenesen.

Elsőfokúra visszavezethető A tanult algebrai átalakítások egyenletek, egyenlőtlenségek beépítése a megoldásba. megoldása nevezetes azonosságok, szorzattá alakítás felhasználásával. Elsőfokú kétismeretlenes Különböző algebrai módszerek egyenletrendszerek megoldási alkalmazása ugyanarra a módszerei. problémára (behelyettesítő módszer, ellentett együtthatók módszere). Elsőfokú egyenletre, A mindennapokhoz kapcsolódó Fizika: mozgások, egyenletrendszerre vezető szöveges problémák megértése, a megoldást erőtörvények. feladatok. segítő ábra elkészítése. Matematikai modellalkotás Kémia: számítások. (egyenlet, illetve egyenletrendszer felírása); a megoldás ellenőrzése, a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?).

Kulcsfogalmak/ fogalmak

Racionális szám, valós szám, négyzetgyök. Ellentett, abszolút érték, reciprok. Arány, aránypár, arányos osztás. Egyenes és fordított arányosság. Hatvány. Normálalak. Prímszám, összetett szám. Számok prímtényezős felbontása, relatív prímek. Algebrai egész kifejezés, egytagú, többtagú. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös.

Egyismeretlenes elsőfokú egyenlet, egyenlőtlenség. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer. Azonosság.

3. Függvények, sorozatok


Előzetes tudás


Órakeret 18 óra

Helymeghatározás gyakorlati szituációkban, konkrét esetekben. Számegyenes, számintervallumok ábrázolása, leolvasása ábráról. Pont koordinátáinak ismerete Descartes-féle koordináta-rendszerben. Sorozatok folytatása adott szabály szerint, szabályfelismerés. Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvénymodell), vizsgálat a grafikon alapján. Számítógép bevonása a függvények ábrázolásába, vizsgálatába. Tudatos megfigyelés tulajdonságok és kapcsolatok szerint. Lineáris folyamatok, a meredekség jelentésének megértetése.

Ismeretek Sorozatok vizsgálata. A sorozat mint speciális függvény. Matematikatörténet: háromszögszámok, négyzetszámok.

Fejlesztési követelmények Sorozatok néhány jellemzőjének vizsgálata (növekedés, csökkenés). Néhány elemével adott sorozathoz szabályok keresése.



24. oldal

Hozzárendelések fajtái. Konkrét függvények elemzése a Fizika; biológiaAlapfogalmak. grafikonjuk alapján. egészségtan; kémia; A függvény fogalma, elemi Számítógép használata a függvények földrajz: függvényekkel tulajdonságai (értelmezési vizsgálatára leírható folyamatok. tartomány, szélsőérték, zérushely, növekedés, fogyás, értékkészlet). Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. A lineáris függvény, lineáris Időben lejátszódó történések kapcsolatok. megfigyelése, a változás A lineáris függvények megfogalmazása. tulajdonságai. Táblázatok készítése adott Az egyenes arányosság. szabálynak, összefüggésnek megfelelően. Lineáris kapcsolatok vizsgálata a hétköznapokban.

Fizika: a sebesség és az út-idő grafikon kapcsolata; az ellenállás és a feszültségáramerősség grafikon kapcsolata.

A lineáris függvény grafikonjának Modellek alkotása: lineáris meredeksége, ennek jelentése kapcsolatok felfedeztetése. lineáris kapcsolatokban. Számítógép használata a lineáris Lineáris függvény ábrázolása folyamat megjelenítésében. paraméterei alapján. Az abszolútérték-függvény. Számítógép használata a függvények Az illetve ábrázolására. x  xb ,

x  x  c függvény grafikonja és tulajdonságai. A másodfokú függvény. Az

x  x  b  , 2

illetve

Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok).

Számítógép használata a függvények Fizika: a gyorsuló ábrázolására. mozgás út-idő grafikonja. az

x  x  c függvény grafikonja 2

és tulajdonságai. A fordított arányosság függvénye.

a x x

( ax  0 )

Számítógép használata.

grafikonja,

tulajdonságai.

Fizika: adott távolság esetén a sebesség és az idő, adott tömeg esetén a sűrűség és a térfogat. Informatika: számítógépes program az ábrázoláshoz.

Gyakorlati függvényekre.

problémák Példák a gyakorlati életből,

mindennapjainkból.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Technika, életvitel és gyakorlat: valós folyamatok a mindennapi életben.


25. oldal

Biológia-egészségtan; fizika; kémia: mérési eredmények kiértékelése grafikonok alapján. Egyenletek, egyenlőtlenségek A tanult ismeretek alkalmazása új grafikus megoldása. helyzetben. Matematikatörténet: René Descartes. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Sorozat, függvény. Értelmezési tartomány, szélsőérték, zérushely, növekedés, fogyás, értékkészlet. Lineáris függvény, lineáris kapcsolat, meredekség. Abszolútérték-függvény, másodfokú függvény.


Előzetes tudás

4. Geometria

Órakeret 39 óra

Pont, vonal, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, szögtartomány. A tengelyes tükrözés. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok. Körző, vonalzó és a szögmérő használata. Szögmásolás, szögfelezés, szakaszfelező merőleges szerkesztése. Háromszögek, négyszögek csoportosítása. Háromszög, négyszög belső és külső szögeinek összegére vonatkozó ismeretek. Háromszögek, négyszögek kerületének kiszámítása. Téglatest felszíne és térfogata konkrét esetekben. A térfogat és űrtartalom mértékegységeinek átváltása. A téglalap és a deltoid kerületének és területének kiszámítása. Tájékozódás a síkban és a térben. Valós probléma geometriai modelljének megalkotása. A matematika tanulási módszereinek továbbfejlesztése.


Tömör, de pontos, szabatos kifejezőkészség fejlesztése. A szaknyelv minél pontosabb használata írásban is. Jelek, jelölések, megállapodások megjegyzése. Megfigyelőképesség, vizuális képzelet fejlesztése (képzeletben történő mozgatás, átdarabolás, szétvágás). Képi emlékezés, ismeretek felidézése. A szerkesztéshez szükséges eszközök célszerű használata. A pontosság igényének fejlesztése. A transzformációs szemlélet továbbfejlesztése. Geometriai modell készítése. Az esztétikai-művészeti tudatosság és kifejezőképesség kompetenciájának fejlesztése. Digitális technikák felhasználása a feldolgozás során.


Ismeretek Szögpárok (egyállású váltószögek, kiegészítő merőleges szárú pótszögek).

26. oldal



szögek, A tanult szögpárok felismerése, szögek, megnevezése és ábrákon való szögek, bejelölése.

A háromszög belső és külső Tételek megfogalmazása szögeinek összege. megfigyelés és az eddig tanult Matematikatörténet: ismeretek alapján. Bolyai Farkas, Bolyai János. Háromszög-egyenlőtlenség.

Diszkusszió a szerkesztésénél.

háromszögek

Ponthalmazok:  Adott térelemtől adott távolságra levő pontok a síkban.

Szerkesztések elvégzése. Törekvés a pontos, munkára.

precíz



Két térelemtől egyenlő távolságra levő pontok a síkban. Néhány eset vizsgálata térben is.

Háromszögek nevezetes vonalai, Ismeretek mozgósítása, Fizika: alakzatok pontjai, körei (magasságvonal, rendszerezése problémamegoldás súlypontja. szögfelező, oldalfelező merőleges, érdekében. középvonal, súlyvonal definíciója, Informatika: tantárgyi tulajdonságai; magasságpont, szimulációs programok súlypont, háromszög köré és beírt használata (geometriai kör középpontja, sugara). szerkesztőprogram). Matematikatörténet: például az Euler-egyenes, Feuerbach-kör bemutatása (interaktív szerkesztőprogrammal). A négyszögek belső szögeinek Tételek megfogalmazása összege. megfigyelés és az eddig tanult ismeretek alapján. A tanult négyszögek áttekintése. Paralelogramma, rombusz tulajdonságai.

A régebbi ismeretek mozgósítása.

A tanult speciális négyszögek A definíciók és tételek pontos Informatika: tantárgyi magassága, középvonala. ismerete, alkalmazása. szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram). Sokszögek. Háromszög-tulajdonságok Konvex sokszögek átlóinak alkalmazása. száma, belső és külső szögeinek összege.

Vizuális kultúra: Vasarely művészete.


Szabályos tulajdonságai.

sokszögek

27. oldal

és Szimmetriaviszonyok

áttekintése.

A kör és részei, érintői.

A fogalmak pontos ismerete.

Vizuális kultúra: építészeti formák.

Pitagorasz tétele. A tételek felhasználása indoklást Informatika: tantárgyi Thalész tétele. igénylő feladatokban. szimulációs program Matematikatörténet: Pitagorasz Számításos feladatok megoldása. használata. és Thalész élete és munkássága. Állítás és megfordításának gyakorlása. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: Pitagorasz és kora. Háromszög-, négyzet- és téglalap Elképzelt és valóságos testek Természetismeret: tárgyak alapú egyenes hasábok, a tulajdonságainak felismerése, alakja, a tanult testek forgáshenger, forgáskúp, gúla, megfogalmazása, különböző hálók felismerése. hálója, tulajdonságai. készítése konkrét esetekben. A gömb. Vizuális kultúra:

axonometrikus testábrázolás. Középpontos tükrözés. Pontos, precíz munka elvégzése A transzformáció tulajdonságai, a szerkesztés során. alakzat képének szerkesztése.

Középpontosan alakzatok a síkban.

Eltolás a síkban.

szimmetrikus

Vizuális kultúra: művészeti alkotások megfigyelése a tanult transzformációk segítségével.

Középpontosan szimmetrikus Vizuális kultúra: alakzatok keresése a természetben, festmények geometriai művészeti alkotásokban, a alakzatai. közvetlen környezetben (pl. Penrose, Escher, Vasarely). Gondolkodás fejlesztése szimmetrián alapuló játékokon keresztül. Egyszerű alakzatok eltolt képének megszerkesztése.

Pont körüli forgatás Egyszerű geometriai alakzatok Földrajz: bolygók tengely tulajdonságai és szerkesztési adott pont körüli elforgatásának körüli forgása, keringés a eljárások elsajátítása. megszerkesztése. Nap körül. Az egybevágóság szemléletes Geometriai állítások igazolása fogalma, a háromszögek konkrét feladatokban az egybevágóságának esetei. egybevágóság alapeseteinek felhasználásával. Középpontos nagyítás és A középpontos nagyítás, Földrajz: kicsinyítés szerkesztése konkrét kicsinyítés felismerése hétköznapi ismeretek. arányokkal. szituációkban. Szakasz arányos osztásának

térképészeti


28. oldal

szerkesztése. Nevezetes szögek szerkesztése. Szögfelezés és szögmásolás. Háromszögek szerkesztése. Négyszögek szerkesztése.

Kör érintőinek szerkesztése.

Szerkesztési eljárások Informatika: szerkesztési feladatokban. programok használata. Szerkesztési terv készítése. Vázlatkészítés. A szerkesztés menetének leírása. Pontos, esztétikus munkára. nevelés.

Háromszögek nevezetes Nevezetes vonalak és pontok Informatika: vonalainak, pontjainak és köreinek változásának dinamikus szerkesztési szerkesztése. szemléltetése számítógépes felhasználói szerkesztési program segítségével. ismerete. A vektor fogalma. Vektorok összege, különbsége és szorzása számmal. Vektorok összegének, különbségének és számmal való szorzásának szerkesztése. Vektor felbontása összetevőire. A vektorműveletek tulajdonságai.

egy program szintű

A szerkesztési eljárások Fizika: elmozdulás, erő, előnyeinek és hátrányainak sebesség. felismerése. Műveletek tulajdonságainak vizsgálata szerkesztések elvégzése után.

Háromszögek, négyszögek és a A terület meghatározása kör kerülete, területe. átdarabolással. A kör kerületének közelítése méréssel. Számítógépes animáció használata az egyes területképletekhez.

Technika, életvitel és gyakorlat: a hétköznapi problémák területtel kapcsolatos számításai (lefedések, szabászat, földmérés).

Háromszög-, négyzet- és téglalap alapú egyenes hasábok és a forgáshenger felszíne, térfogata.

Kémia: térfogata.

Gyakorlati feladatok megoldása.

tárolóedények

Fizika: testek térfogata.


Szögpár. Háromszög, négyszög, sokszög, kör. Egybevágósági transzformáció. Középpontos nagyítás és kicsinyítés. Paralelogramma, rombusz. A vektor, vektorműveletek. Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszög-, négyzet-, téglalapalapú egyenes hasáb, forgáshenger, forgáskúp, gúla, gömb.

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési

5. Valószínűség, statisztika

Órakeret 16 óra

Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramok olvasása. Százalékszámítás. A világ megismeréseének igénye. Valószínűségi, statisztikai szemlélet fejlesztése. Jártasság kialakítása az adatok rendszerezésében, kezelésében.


céljai

29. oldal

Tapasztalatszerzés újabb kísérletekkel, kiértékelés, következtetések. Diagram készítése, olvasása. Együttműködés képességének fejlesztése. Táblázat értelmezése, számítógépes táblázatkezelő használata az adatok rendezésében, értékelésében. Az esély és a relatív gyakoriság fogalmának kialakítása. Ismeretek



Adatok gyűjtése, rendszerezése, A mindennapi élethez kapcsolódó Informatika: az adatok adatsokaság szemléltetése, adatok rendszerezett gyűjtése, ezek ábrázolására alkalmas grafikonok készítése. alapján értelmes grafikonok program. készítése. Tendenciák leolvasása, várható Biológia-egészségtan: események megfogalmazása. genetika. Adathalmazok elemzése (módusz, A napi sajtóból, internetről, medián, átlag) és értelmezése, tapasztalatból különböző grafikonok ábrázolásuk. keresése, elemzése. Adatok gyűjtése különböző témákhoz kapcsolódóan, ezekből középértékek meghatározása.

Földrajz: statisztikai adatok jellemzése (átlagos népsűrűség, országok különböző szempont szerinti rangsorai). Informatika: statisztikai adatelemzés.

Valószínűségi kísérletek végzése, gyakorisági táblázat készítése.

Tudatos megfigyelés. A tapasztalatok rögzítése.

A relatív gyakoriság fogalma, kiszámítása. Matematikatörténet: érdekességek a valószínűség számítás fejlődéséről. Valószínűség előzetes becslése, Különböző élethelyzetek szemléletes fogalma. eseményeit vizsgálva az adott A kombinatorikus valószínűség feltételeknek eleget tevő összes szemléletes fogalma. lehetőség meghatározása és ezen belül az adott szempontok szerinti összes jó lehetőség kiválasztása. Valószínűségi gondolkodás fejlesztése. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Adatsokaság, diagram, módusz, medián, átlag. Gyakoriság, relatív gyakoriság, esély.

A fejlesztés várt eredményei a két évfolyamos ciklus végén

Gondolkodási és megismerési módszerek  Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete. A tanulók képesek elemeket halmazba rendezni több szempont alapján.  A nyelv logikai elemeinek tudatos szerepeltetése a feladatok megoldása


   

30. oldal

során. Egyszerű állítások igazságának eldöntése, tagadás. Gondolatok (állítások, feltételezések, indoklások) világos, érthető szóbeli és írásbeli közlése. Egyre pontosabb szövegértelmezés. Egyszerű leszámlálási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban. Szisztematikus összeszámlálással az összes lehetőség megadása. Fagráfok használata feladatok megoldásánál. A bizonyítás iránti igény kialakulása.

Számelmélet, algebra – Biztos számolási ismeretek a racionális számkörben. A műveleti sorrendre, zárójelezésre vonatkozó szabályok ismerete, helyes alkalmazása. – Műveletek egész kitevőjű hatványokkal, a hatványozás azonosságainak használata feladatmegoldásban. Normálalak használata a számok egyszerűbb írására, számolás normálalakkal. – A négyzetgyökvonás műveletének használata geometriai feladatoknál – Egyenes és fordított arányosság felismerése és alkalmazása matematikai és hétköznapi feladatokban. A mindennapjainkhoz kapcsolódó százalékszámítási feladatok megoldása. – Az oszthatósággal kapcsolatos definíciók ismerete, egyszerű oszthatósági problémák vizsgálata. – A tanulók célszerűen tudják használni a betűkifejezéseket (algebrai egész kifejezések) és az azokkal tanult műveleteket matematikai, hétköznapi, természettudományi problémák megoldásában (pl. modellalkotás szöveg alapján, egyenletek megoldása, képletek értelmezése). – Elsőfokú, egy-; kétismeretlenes egyenlet, illetve egyenletrendszer megoldási módszereinek ismerete. Szöveges gyakorlati problémák megoldása a megtanult egyenlet-megoldási módszerekkel. Egyismeretlenes egyenlőtlenség megoldása. – A tanulók tisztában vannak a százalékszámítás alapfogalmaival, értik a tanult összefüggéseket, tudják alkalmazni ismereteiket a feladatmegoldások során. – A számológép ésszerű használata a számolás megkönnyítésére. Függvények, sorozatok – Függvények megadása, a szereplő halmazok ismerete (értelmezési tartomány, értékkészlet); valós függvény alaptulajdonságainak ismerete. – A lineáris függvény, az abszolútérték-függvény, a másodfokú függvény, a fordított arányosság függvényének ismerete (tulajdonságok, grafikon). – Egylépéses függvénytranszformációk végrehajtása. – Valós folyamatok elemzése a folyamathoz tartozó függvény grafikonja alapján, függvénymodell készítése lineáris kapcsolatokhoz; a meredekség. – Sorozatok folytatása adott szabály szerint. Sorozatok néhány jellemzőjének vizsgálata. – Az egyenes arányosság grafikonjának felismerése, a lineáris kapcsolatokról tanultak alkalmazása természettudományos feladatokban is – Grafikonok elemzése a tanult szempontok szerint, grafikonok készítése, grafikonokról adatokat leolvasása Geometria – A tanuló a geometriai ismeretek segítségével képes jó ábrákat készíteni,


–

– – –

– –

– –

–

–

31. oldal

pontos szerkesztéseket végezni. Háromszögek szögei és oldalai közötti összefüggések ismerete és alkalmazása. Négyszögek belső és külső szögeire vonatkozó összefüggések ismerete. Háromszögek nevezetes vonalainak, pontjainak, köreinek meghatározása, megszerkesztése. Háromszögszerkesztések lépéseinek leírása, a szerkesztési lépések elvégzése. Egybevágósági transzformációk felismerése, tulajdonságainak ismerete. Szerkesztések elvégzése (tengelyes és középpontos tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás). Középpontos kicsinyítés és nagyítás elvégzése. Középpontosan szimmetrikus alakzatok tulajdonságainak ismerete és felhasználása geometriai feladatok megoldásánál. A négyszögek több szempont szerinti összehasonlítása, csoportosítása, tulajdonságainak ismerete (oldalak párhuzamossága, egyenlősége, szimmetria). A Pitagorasz-tétel és Thalész-tétel ismerete és alkalmazása. A vektor fogalmának és a vektorokkal végzett műveleteknek az ismerete: vektorok összeadása, kivonása, vektor szorzása valós számmal; vektor felbontása. Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának kialakulása, a jellemzők kiszámítása (képlet alapján); mértékegységek ismerete; valós síkbeli, illetve térbeli probléma geometriai modelljének megalkotása. (Háromszögek, négyszögek területének kiszámítása. Háromszög és négyszög alapú egyenes hasábok valamint a forgáshenger felismerése, jellemzése, felszíne és térfogata. A forgáskúp, a gömb felismerése.) A tanuló képes térbeli alakzatok axonometrikus képét felvázolni, és ennek segítségével sikeresen old meg problémákat.

Valószínűség, statisztika – Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. – Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése. – Adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának meghatározása, értelmezése. – A véletlen jelenségek tudatos megfigyelése, tapasztalatok levonása, ezek alapján a valószínűségi szemlélet fejlődése. – Valószínűségi kísérletek eredményeinek értelmes lejegyzése, gyakoriságok, relatív gyakoriságok meghatározása – Konkrét feladatok kapcsán a tanuló érti az esély, a valószínűség fogalmát, felismeri a biztos és a lehetetlen eseményt. – Zsebszámológép célszerű használata statisztikai számításokban – A tanulónak van némi rálátása a legnagyobb matematikusok munkásságára, a magyar matematikusok eredményeire.


32. oldal

2. melléklet: a hatosztályos gimnáziumi 9-10. osztályok kerettanterve Tematikai egység/ Fejlesztési cél

1. Gondolkodási módszerek, matematikai logika, kombinatorika

Órakeret 11 óra

Előzetes tudás

Egyes matematikai szakkifejezések ismerete. Sorbarendezés, kiválasztás. Permutáció, faktoriális.


Kommunikáció, együttműködés fejlesztése. Igaz és hamis állítások megkülönböztetése. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése. Nyitottság és önbizalom kialakítása az új, a kombinatorikus gondolkodás megismeréséhez.

Ismeretek Tétel kimondása, (direkt, indirekt).

Fejlesztési követelmények bizonyítása

Skatulyaelv, logikai szita.

Variáció (ismétlés ismétléses).

nyelv és Matematikai tartalmú szöveg Magyar irodalom: mondatok, értése, értelmezése. A köznyelvi hangok kötőszavak és a matematikai szavak, logikában használt kifejezések rendszerezése. jelentéstartalmának kapcsolata.

Szétválogatás különböző szempontok szerint, e szempontok egyidejű követése.

Szöveg matematikai nyelvre fordítása, kombinatorikus modell készítése, kombinatorikus Kombináció (ismétlés nélküli). gondolkodás. Binomiális együttható jelentése, Esetfelsorolás, érvelés, a kiszámítása. szempontok és a feltételek állandósága, illetve változtatása. Matematikatörténet: Pascal. A problémához leginkább illő megoldási mód kiválasztása. A szakszerű, szabatos indoklás megkövetelése.



Előzetes tudás

nélküli


és

Technika, életvitel és gyakorlat: feladatok a családban, munkamegosztás lehetősége a családon belül.

Magyar nyelv és irodalom: periodicitás, ismétlődés és kombinatorika mint szervezőelv poetizált szövegekben.

Variáció, kombináció, binomiális együttható.


Órakeret 83 óra

Hatványozás és azonosságai, normálalak, zárójelhasználat, műveletek sorrendje, kiemelés, nevezetes azonosságok, mértékegység-átváltás, négyzetgyök fogalma. Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldása. Egyszerű szöveg alapján egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése.


Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelési és –megoldási készség fejlesztése. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. A megoldási módszer önálló kiválasztási képességének kialakítása. Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés igényének erősítése. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata.


Ismeretek Műveletek kifejezésekkel,

33. oldal

egész

Fejlesztési követelmények algebrai Korábbi ismeretek felidézése, nevezetes módszerekre való emlékezés.

azonosságok: a  b ; a 3  b 3 .

Kapcsolódási pontok Fizika: leírása.

mozgások

3

Polinom fogalma, adott helyen vett Jelek szerepe, alkotása, használata. Fizika: helyettesítési helyettesítési értéke. Különféle alakú, de azonos értelmű érték kiszámítása adott kifejezések értelmezése, absztrahálás, képlet szerint. konkretizálás, általánosítás. Algebrai törtkifejezések értelmezési tartományának meghatározása. Műveletek algebrai törtekkel (összeadás, kivonás, szorzás, osztás).

Analógiás gondolkodás alkalmazása.

Fizika: számítási feladatok elvégzése.

Négyzetgyökös betűkifejezések Kifejezések egyszerűbb alakra Fizika: négyzetgyökkel értelmezési tartományának hozása, algoritmusok alkalmazása, felírt képletek vizsgálata. megfordítása. használata (fonálinga, Négyzetgyökvonás azonosságai. rezgésidő). Algebrai átalakítások négyzetgyököt tartalmazó kifejezésekkel. Az n-edik azonosságai.

gyök

fogalma

és

Fogalmak módosulása újabb Fizika: atomfizika tapasztalatok, ismeretek szerint; egy- (bomlástörvény, egy fogalom újabb fogalommá aktivitás). bővítése. Számológép használata.

Számrendszerek. Számrendszeres gondolkodás, Átírás tízes számrendszerből más átkódolás másik modellbe. alapú számrendszerbe. Matematikatörténet: Neumann János. Egyismeretlenes egyenletek megoldása különböző módszerek segítségével: mérlegelv, szorzattá alakítás, értelmezési tartomány vizsgálat, értékkészlet-vizsgálat, grafikus megoldás.

Algoritmusok használata.

Informatika: a kettes és a 16-os számrendszer, az adattárolás egységei, gép és ember kapcsolata. Kémia: az oldatok összetételével kapcsolatos számítások: hígítás, töményítés, keverés. Fizika:


34. oldal

egyenletmegoldás kinematikában és dinamikában. Törtes egyenletek. Egy és két abszolút tartalmazó egyenletek.

a a

Ismeretek felidézése, alkalmazása. értéket

Definíciókra való emlékezés.

Fizika: a mérés hibája.

Elsőfokú kétismeretlenes A szöveg matematikai modellezése, Fizika: egyenletrendszer megoldása új az ellenőrzés elvégzése. dinamika. ismeretlen bevezetésével. A kapott eredmény értelmezése, Egyenletrendszerre vezető szöveges valóságtartalmának vizsgálata. feladatok. Teljes négyzetté alakítás.

kinematika,

Megoldások keresése többféle úton.

A másodfokú egyenlet megoldása, a A megoldóképlet készségszintű Fizika: megoldóképlet. használata. mozgás. Algoritmus keresése, általánosítás. A megismert gondolatmenet panelként való felhasználása. Számológép használata. Diszkrimináns fogalma, vizsgálata.

gyorsuló

Diszkusszió.

A gyöktényezős alak, másodfokú Egyszerűsítő eljárások kifejlesztése: polinom szorzattá alakítása, új ismeretlen bevezetése, szorzattá törtkifejezések egyszerűsítése. alakítás. Gyökök és együtthatók összefüggések.

közötti

Másodfokúra visszavezethető egyszerű magasabb fokú egyenlet megoldása. Matematikatörténet: magasabb fokú egyenletek megoldhatósága. Másodfokú egyenletre szöveges feladatok. Másodfokú egyenlőtlenség.

vezető

A gyöktényezős alak és az együtthatók közötti kapcsolat megfigyelése, megértése. Ismeretek felidézése, alkalmazása.

Modellalkotás, a megoldás szövegben történő ellenőrzése, összevetése a valósággal. A másodfokú függvény eszközjellegű Informatika: tantárgyi alkalmazása. szimulációs programok használata.

Szélsőérték feladatok megoldása Szöveges feladatokban előforduló Fizika: mozgások. teljes négyzetté alakítással. maximum-minimum helyek és értékek megállapításához szükséges Technika, életvitel és eljárás kidolgozása, megértése. gyakorlat: egy

választott probléma megoldásának a folyamata szükséglet, illetve igény szerint.


35. oldal

Számtani közép és mértani közép Együttváltozó mennyiségek Informatika: beépített definíciója. összetartozó adatpárjainak számítása, átlagfüggvények. Összefüggés két pozitív szám a változás leírása, a nagyságrendi számtani és mértani közepe között. viszonyok megfigyelése. A matematika különböző területei közötti kapcsolatok tudatosítása (algebra és geometria). Négyzetgyökös egyenletek Az algebrai és grafikus módszerek Fizika: egyenletesen megoldása grafikus és algebrai úton. együttes alkalmazása. gyorsuló mozgás. (Egy-két négyzetre emeléssel megoldható egyenletek.) Adott alaphalmazon ekvivalens és Diszkussziós igény algebrai nem ekvivalens egyenletmegoldási feladatokban. lépések megismerése. Az ellenőrzés fontosságának Hamis gyök, gyökvesztés vizsgálata. bemutatása. Másodfokú egyenletrendszerek. Eljárásokra, módszerekre való Másodfokú egyenletrendszerre emlékezés. A korábban megismert vezető szöveges feladatok. eljárások, módszerek panelként való felhasználása.

Fizika: ütközések.

Egyszerű trigonometrikus Periodikus jelenségek felismerése a Fizika: harmonikus mindennapokban. rezgőmozgás. egyenletek ( k  f c  x   d ). Kulcsfogalmak/ fogalmak

Azonosság. Ekvivalens egyenlet. Hamis gyök. Első és másodfokú egyenlet, diszkrimináns. Egyenletrendszer. Egyenlőtlenség. Számtani közép, mértani közép. Trigonometrikus egyenlet.


Órakeret 16 óra

3. Függvények

Előzetes tudás

Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Lineáris függvények, fordított arányosság függvénye, abszolútérték-függvény, másodfokú függvény ismerete.


Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvénymodell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Számítógép bevonása a függvények ábrázolásába, vizsgálatába.

Ismeretek A függvény fogalmának és elemi tulajdonságainak rendszerezése. Új függvénytulajdonságok: periodicitás, paritás, korlátosság. Az

abszolútérték-függvény:

Fejlesztési követelmények Ismeretek tudatos memorizálása.

Ismeretek (függvénytulajdonságok).

felidézése

Kapcsolódási pontok Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata, adatkezelés és diagramkészítés táblázatkezelővel. Informatika: abszolút

átlagos eltérés


x  a x b c

36. oldal

függvénye.

függvény

grafikonja, tulajdonságai ( a  0 ). A

négyzetgyökfüggvény:

Ismeretek (függvénytulajdonságok). x  a  x  b  c ( a  0 ; x  b ) függvény grafikonja, tulajdonságai. A

másodfokú

függvény Rendszerezés, x  ax  bx  c a  0 ábrázolása felismerése. és tulajdonságai. Függvénytranszformációk áttekintése az alak x  a( x  u ) 2  v segítségével. 2

felidézése

Fizika: a matematikai inga lengésideje.

kapcsolatok

Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás kinematikája. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

A trigonometrikus alapfüggvények ( Időtől függő periodikus jelenségek Fizika: a harmonikus megfigyelése. rezgőmozgás, a x  sin x; x  cos x; x  tg x ) hullámmozgás, ábrázolása, jellemzése. váltakozó áram és feszültség leírása. Egyenlet, egyenletrendszer grafikus Egy adott probléma megoldása két Informatika: tantárgyi megoldása. különböző módszerrel. Az algebrai és szimulációs programok a grafikus módszer összevetése, az használata. eredmények ellenőrzése. A tanult függvények többlépéses Tudatos megfigyelés a változó Informatika: tantárgyi transzformációi: szempontok és feltételek szerint. szimulációs programok Függvénytranszformációk és használata. f ( x)  c; f ( x  c); c  f ( x); f ( x) ; geometriai transzformációk f (c  x) . kapcsolatának bemutatása. Valós számok részhalmazán Az értelmezési tartomány Biológia-egészségtan: értelmezett függvények ábrázolása, leszűkítése és a a biológiai rendszerek vizsgálata. függvénytulajdonságok változásának térbeli és időbeli kapcsolata. változásait leíró grafikonok értelmezése. Kulcsfogalmak/ fogalmak


Előzetes tudás

A tematikai egység

Függvénytulajdonság. Függvénytranszformáció. Grafikus megoldás.

4. Geometria

Órakeret 45 óra

Térelemek. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Gömb, hasáb, henger és gúla felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel és a Thalész-tétel ismerete. A térbeli tájékozódás fejlesztése, tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és


nevelési-fejlesztési céljai

37. oldal

egyéb vázlatok alapján. A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. Összetett számítási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal; a valóságos tárgyak formájának és a tanult formáknak az összevetése. Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata.

Ismeretek

Térelemek távolsága, hajlásszöge. (Pont távolsága a síktól, két egyenes távolsága, hajlásszöge, egyenes és sík hajlásszöge, két sík hajlásszöge.) Ívmérték, középponti szög, kerületi szög.



Szemléletes rajzok készítése.

A feladatban szereplő tárgyak elképzelése, vázlatos rajzok készítése, összevetésük az eredetivel, a modell „jóságának” megítélése, idealizáló absztrakció. Átkódolás különböző modellek között. Mérőszám és mértékegység viszonya.

Fizika: körmozgás, harmonikus rezgőmozgás.

A körív hossza, körcikk középponti Az egyenes arányosság megállapítása a Informatika: szöge, területe. tapasztalat alapján. szemléltetése A szemlélet alapján felismert kördiagram összefüggések képletben történő segítségével. leírása, alkalmazása. Kerületi és tételei.

középponti szögek

Középpontos hasonlóság és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció és tulajdonságai. Transzformációk szorzatának szerkesztése. A háromszögek hasonlóságának alapesetei. Szakasz arányos osztása.

adatok

Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak lejegyzése, következtetések levonása. Geometriai modell készítése. Fizika: lejtőn történő Geometriai transzformációkban mozgás leírása során megfigyelt megmaradó és változó hasonló háromszögek tulajdonságok megfigyelése, keresése. tudatosítása. Informatika: Diszkusszió végzése. geometriai szerkesztőprogram használata. Vizuális kultúra: összetett arányviszonyok érzékeltetése, az aranymetszés felismerése a természetben és a művészetekben.

Arányossági tételek a A megoldott probléma főbb lépéseinek háromszögben (befogótétel, leírása és az indoklást igénylő magasságtétel, szögfelezőtétel). problémák egyes lépéseinek szabatos


Mértani közép szerkesztése.

38. oldal

megfogalmazása.

A Thalész-tétel felidézése. Húrnégyszögek és érintő- Négyszögek osztályozása, Vizuális négyszögek definíciója, tételei. különbözőségek, azonosságok építészet. tudatosítása. Szükséges és elégséges feltételek felismerése. Vektorműveletek, vektorfelbontások rendszerezése. Bázisvektorok, bázisrendszer. Vektorok koordinátái. Vektor hossza. Helyvektorok, szabadvektorok.

kultúra:

Rajzolt és tárgyi jelek értelmezése. Fizika: Ugyanannak a problémának többféle vektormennyiségek (pl. megoldási vetülete. Átkódolás erő, sebesség, különböző modellek között. térerősség).

Hegyesszögek szögfüggvényei. Távolságok, szögek kiszámítása síkban Fizika: lejtőn lecsúszó Nevezetes hegyesszögek szög- és térben. testre ható erők függvény-értékeinek kiszámítása. Adatok jegyzése, rendezése, számítása. Szögfüggvények közötti ábrázolása. összefüggések. A valós problémák matematikai Emelkedési szög, depressziószög. modelljének megalkotása, a problémák önálló, illetve csoportban való megoldása. Térszemlélet fejlesztése. Egységkör. Forgásszögek értelmezése.

Régebbi ismeretek mozgósítása, Fizika: a harmonikus felhasználása új helyzetben. rezgőmozgás, a szögfüggvényeinek Időtől függő periodikus jelenségek. hullámmozgás leírása. Permanencia-elv.

Pitagoraszi összefüggés egy szög A trigonometrikus szinusza és koszinusza között. megértése, használata. Összefüggés a szög és a mellékszöge Függvénytáblázat szinusza, illetve koszinusza között. A feladatok megoldásában. tangens kifejezése a szinusz és a koszinusz hányadosaként.

azonosságok alkalmazása

A háromszög területének többféle A mennyiség és a mérőszám kiszámítása (oldal és hozzá tartozó kapcsolatának megértése, alkalmazása. magasság, két oldal és a közbezárt Az újabb esetekre való szög, három oldal, beírható kör alkalmazhatóság felismerése. sugara és a félkerület segítségével). Sokszögek területe.

Korábbi ismeretek alkalmazása.

Hasonló síkidomok kerületének és Térképkészítési elvek megértése, a területének aránya. valós viszonyok becslése térkép

alapján. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Fizika: grafikonok alatti terület a lendületváltozás, a végzett munka kiszámításakor.

Földrajz: térképkészítés, térképolvasás.

Ívmérték, középponti szög, kerületi szög. Hasonlóság. Húrnégyszög, érintőnégyszög. Bázisvektor, bázisrendszer. Vektorkoordináták. Hegyesszög és forgásszög szögfüggvényei.



39. oldal


Órakeret 15 óra

Előzetes tudás

Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramok olvasása. Százalékszámítás. Adatsokaság, diagram, módusz, medián, átlag. Gyakoriság, relatív gyakoriság, esély.


Ismeretek rendszerezése. Tapasztalatszerzés újabb kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése (relatív gyakoriság, eloszlás), következtetések. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában. A valószínűségi gondolkodás fejlesztése, a fogalmak mélyítése. A kritikus gondolkodás, a döntéshozatal képességének fejlesztése.

Ismeretek



Statisztikai adatok ábrázolása és Vonaldiagram, oszlopdiagram, Földrajz: időjárási, értékelése. kördiagram ábrázolása. éghajlati és gazdasági Rendszerezést segítő eszközök statisztikák. használata (számológép, számítógép). Történelem, Az adatok kritikus értékelése. társadalmi és állampolgári ismeretek: történelmi, társadalmi témák vizuális ábrázolása (táblázat, diagram). Szóródási mutatók (terjedelem, Mennyiségi jellemzők kifejezése Informatika: átlagos abszolút eltérés, szórás) számokkal. adatkezelés, értelmezése, számolása, az Adatok jegyzése, rendezése, adatfeldolgozás, adathalmaz értékelése. Osztályba osztályba sorolása, táblázatba információmegjelenítés. sorolás. rendezése, ábrázolása. Számológép használata. Következtetések levonása, kapcsolatok vizsgálata. Csoportmunkában való együttműködés. Esemény, eseménytér, biztos Az események és a halmazok esemény, lehetetlen esemény. közötti kapcsolatok. Komplementer esemény. Műveletek eseményekkel.

Kétváltozós értelmezése.

műveletek

Logikai műveletek, halmazműveletek és események közötti műveletek összekapcsolása. A relatív gyakoriság valószínűség kapcsolata.

és

a

Lényeges és lényegtelen információk szétválasztása.


40. oldal

A valószínűség szemléletes fogalma, Két állítás megítélése abból a Biológia-egészségtan: kiszámítása. szempontból, hogy függetlenek-e. genetikában az Klasszikus valószínűségi mező. egymástól függő vagy független tulajdonságok öröklődése.




41. oldal

Diagramok. Szóródási mutatók. Esemény. Valószínűség.

Gondolkodási és megismerési módszerek – Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése. – Bizonyítási módszerek ismerete, a logikai szita és skatulyaelv alkalmazása feladatmegoldás során. – Kiválasztási és sorbarendezési feladatok megoldása szisztematikus összeszámlálással. A megoldás gondolatmenetének rögzítése írásban – A gráfokról tanult ismereteiket alkalmazása gondolatmenet szemléltetésére, probléma megoldására. – Értsék és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a hétköznapi életben. – Számelmélet, algebra – Biztos műveletvégzés a racionális számkörben. – A gyökvonás fogalmának ismerete, a gyökvonás azonosságainak használata átalakítások során. – Polinom fogalmának ismerete. Algebrai törtkifejezések átalakítása, négyzetgyökös kifejezések értelmezési tartományának meghatározása. – Egyismeretlenes törtes egyenletek, másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldási módszereinek ismerete, alkalmazása. Szöveges és gyakorlati feladatokban a helyes modell megtalálása, a felírt egyenlet, egyenletrendszer megoldása, és a kapott megoldás ellenőrzése. – A másodfokú egyenlet diszkriminánsának vizsgálata. A gyökök és együtthatók közötti összefüggés, a gyöktényezős alak alkalmazása. – Egyszerűsítő eljárások alkalmazása speciális magasabbfokú egyenletek megoldásánál (új ismeretlen bevezetése, szorzattá alakítás). – Másodfokúra vezető szélsőérték-problémák megoldása teljes négyzetté alakítással. – Egy-két négyzetre emeléssel megoldható négyzetgyökös egyenletek megoldása. Az ekvivalens egyenletmegoldási lépés felismerése. A hamis gyök felismerése, a gyökvesztés lehetőségének kizárása. – A grafikus egyenletmegoldási módszer ismerete, és alkalmazása. – Egyszerű trigonometrikus egyenletek [ k  f c  x   d ] megoldása. A megoldások számának vizsgálata. – Az időszak végére elvárható a valós számkör biztos ismerete, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazása – A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek, keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényeg kiemelésére Függvények A függvényfogalom mélyülése új ismeretek során. Új függvényjellemzők ismerete. – A négyzetgyök függvény, trigonometrikus alapfüggvények ( –


42. oldal

x  sin x; x  cos x; x  tg x ) ábrázolása, jellemzése. –

Többlépéses függvénytranszformációk elvégzése:

f ( x)  c; f ( x  c); c  f ( x); f ( x) ; f (c  x) . – –

Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzése a megfelelő függvény grafikonja alapján. A tanulók tudják az elemi függvényeket ábrázolni koordináta-rendszerben, és a legfontosabb függvénytulajdonságokat meghatározni, nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, és különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is.

Geometria Térelemek ismerete, távolság és szög fogalma, mérése. A kör és részeinek ismerete. Körrel kapcsolatos tételek alkalmazása (kerületi és középponti szögek tétele, húrnégyszögek és érintőnégyszögek tételei). – A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete. A hasonlósági transzformáció ismerete. A háromszög hasonlósági alapeseteinek ismerete, alkalmazása egyszerű esetekben. A háromszög súlyvonalai, súlypontja. A háromszögekre vonatkozó arányossági tételek alkalmazása. Hasonló síkidomok területének aránya. – Bázisvektorok, bázisrendszer fogalmának ismerete a vektor-koordináták megadásánál. Vektor hosszának kiszámítása. – Hegyesszögek, forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezése, számolás szögfüggvényekkel háromszögben. A szögfüggvények ismeretének felhasználása gyakorlati problémák megoldásánál. Szögfüggvények közötti összefüggések ismerete. – Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának kialakítása, a jellemzők kiszámítása képlet alapján: a háromszög területének többféle kiszámítási módjának alkalmazása, sokszögek területe. – A geometriai ismeretek bővülésével, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása után fejlődött a tanulók dinamikus geometriai szemlélete, diszkussziós képessége. – A háromszögekről tanult ismeretek bővülésével a tanulók képesek számítási feladatokat elvégezni, és ezeket gyakorlati problémák megoldásánál alkalmazni. – A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontos munkavégzésre. – Valószínűség, statisztika – Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának meghatározása. – Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése; adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának értelmezése, meghatározása. – Véletlen esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet, esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata. A műveletek elvégzése az eseménytérben. – Nagyszámú véletlen kísérlet kiértékelése, az előzetesen „jósolt” esélyek és a relatív gyakoriságok összevetése. – – –

Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma Helyi tanterv – Matematika – –

–

43. oldal

A valószínűség klasszikus modelljének alkalmazása. A valószínűség-számítási, statisztikai feladatok megoldása során a diákok rendszerező képessége fejlődjön. A tanulók képesek legyenek adatsokaságot jellemezni, ábrákról adatsokaság jellemzőit leolvasni, – A szisztematikus esetszámlálással egy adott esemény bekövetkezésének esélyét tudják meghatározni.

3. melléklet: a hatosztályos gimnáziumi 11-12. osztályok kerettanterve Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai

1. Gondolkodási módszerek, matematikai logika, gráfok

Órakeret 14 óra

Koordináta-rendszer. A kombinatorika fogalmai. Ponthalmazok ábrázolása a koordináta-rendszerben. Szövegértés, szövegalkotás fejlesztése: állítások megfogalmazása, tagadása, megfordítása. Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, a gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása konkrét példák alapján.

Ismeretek



A kombinatorika alkalmazása A megoldást szemléltető ábrák egyszerű feladatokban. készítése. Ponthalmazok a koordinátasíkon.

Tájékozódást ismerete.

segítő

eljárás

Technika, életvitel és gyakorlat: gazdasági optimalizálás. Földrajz: GPS.

Állítások, tagadások. Matematikai tartalmú szöveg Logikai műveletek, értéktáblázatok értése, értelmezése. (negáció, konjunkció, diszjunkció). Következtetés megítélése helyessége szerint. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. Gráfelmélet alapfogalmai (gráf, pont, él, út, vonal, kör, egyszerű gráf, teljes gráf, összefüggő gráf, fagráf). Fokszámösszeg és az élek száma közötti összefüggés. n pontú fagráf éleinek száma.

Magyar nyelv és irodalom: leíró nyelvtan, szövegértelmezés. Informatika: kapcsolások, áramkörök.

logikai

Szöveges problémák Biológia-egészségtan: matematizálása, matematikai rendszertan. modell választása az adott szituációhoz. Technika, életvitel és A problémát jól tükröző ábra gyakorlat: készítése. útvonaltervezés. Kémia: molekulák szerkezeti rajza. Informatika: könyvtárkészítés az operációs rendszerben,


44. oldal

adattárolási technológia. Magyar nyelv irodalom: könyvtárszerkezet. Kulcsfogalmak/ fogalmak

és

Negáció, konjunkció, diszjunkció. Gráf, pont, él, út, vonal, kör, egyszerű gráf, teljes gráf, összefüggő gráf, fagráf.



Előzetes tudás


Órakeret 26 óra

Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenletek fogalma. Ívmérték. Egységkör, forgásszögek szögfüggvényei. Trigonometrikus függvények. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldása megfelelő modell választásával. Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése. A matematika alkalmazása más tudományokban. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. A matematika épülésének elvei: létező fogalom újraértelmezése, kiterjesztése, a permanencia-elv felhasználása .

Ismeretek



A hatványozás kiterjesztése pozitív A hatványfogalom célszerű Fizika: exponenciális alap esetén racionális kitevőre. kiterjesztése, a permanencia-elv folyamatok. alkalmazása. Számológép használata. A hatványazonosságok vizsgálata racionális kitevő esetén.

Ismeretek tudatos memorizálása. Megismert gondolatmenet panelként való felhasználása az új folyamatban.

A racionális kitevőjű hatvány és az n-edik gyök kapcsolata.

Ismeretek mozgósítása. Technika, életvitel és Régi és új ismeretek gyakorlat: összekapcsolása. kamatszámítás, hitelfelvétel, törlesztőrészletszámítás.

Exponenciális egyenletek. Exponenciális egyenletre vezető Fizika: radioaktivitás. Definíció és azonosságok közvetlen valós problémák modellezése. alkalmazása egyenletek Földrajz: globális megoldásánál. problémák (pl. demográfiai mutatók, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok,


45. oldal

túltermelés túlfogyasztás).

és

A logaritmus fogalma. Korábbi ismeretek felidézése Technika, életvitel és Matematikatörténet: (hatvány fogalma). A hatványozás gyakorlat: a logaritmus fogalmának és a logaritmus kapcsolatának zajszennyezés. kialakulása, változása. felismerése. Ismeretek tudatos memorizálása. Kémia: pH-számítás. Számológép használata. A logaritmus azonosságainak A diszkusszió fontosságának ismerete és alkalmazása. tudatosítása: a feltételek miben és hogyan befolyásolják az eredményt. Logaritmikus egyenletek. A Gyakorlati problémákhoz Fizika; kémia; definíció és az azonosságok matematikai modell keresése. biológia-egészségtan: közvetlen alkalmazása egyenletek Számológép használata. számítási feladatok. megoldásánál. Exponenciális egyenletekre vezető valós problémák logaritmus segítségével történő megoldása (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás). Trigonometrikus egyenletre vezető Egységkör, illetve trigonometrikus háromszöggel kapcsolatos valós függvény grafikonjának problémák. felhasználása az egyenlet A tanult azonosságok alkalmazását megoldásához. igénylő trigonometrikus egyenlet. Az egyenletek megoldásának megadása a valós számkörben. Az összes megoldás megkeresése. Időtől függő periodikus jelenségek vizsgálata. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, sebességhez, gyorsuláshoz tartozó időpillanatok meghatározása.

Racionális kitevőjű hatvány. Logaritmus. Periodicitás.

3. Függvények, sorozatok

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai

Órakeret 28 óra

Függvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. Az időbeli tájékozódás fejlesztése: lineáris folyamat, exponenciális folyamat, összehasonlításuk. A matematika és a valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően. Számítógép használata.

Ismeretek



Az exponenciális függvény és Permanencia-elv alkalmazása az tulajdonságai. alaphalmaz kiterjesztésénél. Exponenciális

folyamatok

a

Modellek

alkotása

Fizika: radioaktivitás.


természetben és a társadalomban.

46. oldal

(függvénymodell): a lineáris és az exponenciális növekedés/csökkenés Földrajz: a társadalmimatematikai modelljének gazdasági tér összevetése konkrét, valós szerveződése és problémákban. folyamatai. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: globális kérdések (például erőforrások kimerülése, fenntarthatóság, demográfiai robbanás a harmadik világban, népességcsökkenés Európában).

A logaritmusfüggvény és Matematikai modell keresése a Informatika: tantárgyi vizsgálata. változások leírására. szimulációs programok Együtt változó mennyiségek használata. összetartozó adatpárjainak értelmezése. Az exponenciális és a Tudatos megfigyelés a változó logaritmikus függvények szempontok és feltételek szerint. transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c Függvényrajzoló program f(x); f(c x). használata. Függvények abszolút értéke. Transzformációkban megfigyelt megmaradó és változó tulajdonságok tudatosítása. Számsorozat fogalma. Sorozat A divergens gondolkodás megadása. fejlesztése. Matematikatörténet: Fibonacci.

Fizika: hullámmozgás, rezgőmozgás, váltakozó áram és feszültség. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Informatika: algoritmusok megfogalmazása, tervezése.

Számtani sorozat definíciója, n- Tudatos megfigyelés adott edik elemének meghatározása, tulajdonság szerint. első n elem összegének A számtani sorozat felismerése, a kiszámítási módja. megfelelő összefüggések használata A számtani közép tulajdonság. a problémamegoldás során. Matematikatörténet: Gauss. A mértani sorozat definíciója, n- Tudatos megfigyelés adott edik elemének meghatározása, tulajdonság szerint. első n elem összegének A mértani sorozat kiszámítási módja. összefüggéseinek használata a A mértani közép tulajdonság. problémamegoldás során. Kamatos pénzügyi megismerése

Kémia; fizika; biológiaegészségtan; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: exponenciális folyamatok vizsgálata.

kamatszámítás, A problémához illeszkedő Földrajz: alapfogalmak matematikai modell választása. A világgazdaság (törlesztőrészlet, tanult ismeretek mozgósítása szerveződése

a és


kamat, THM, gyűjtőjáradék).


47. oldal

(logaritmus). Szövegértés fejlesztése: a szövegbe többszörösen beágyazott, közvetett módon megfogalmazott információk azonosítása és összekapcsolása. Információk keresése és értelmezése különböző egyéni pénzügyi döntésekkel kapcsolatban (befektetés, hitel).

működése, a pénztőke működése, a monetáris világ jellemző folyamatai, hitelezés, adósság, eladósodás.

Exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat. Számsorozat. Számtani sorozat, mértani sorozat. Kamat, kamatos kamat.

4. Geometria


Órakeret 50 óra

Előzetes tudás

Vektorok, vektorműveletek, szögfüggvények. Síkidomok kerülete, területe. Síkidomok nevezetes vonalai, pontjai, körei. Távolságfogalom. Egyenletrendszer megoldása. A másodfokú függvény. Testek hálója. Hasonlóság. Kocka, téglatest, hasáb, henger felszíne és térfogata.


A térben, a világ mennyiségi viszonyaiban való tájékozódás fejlesztése: távolságok, szögek, terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. A matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordinátageometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.

Ismeretek


Skaláris szorzat definíciója, A művelet műveleti tulajdonságai. felfedeztetése.

újszerűségének

Kapcsolódási pontok Fizika: munka, elektromosságtan.

Párhuzamos és merőleges Szükséges és elégséges feltétel vektorok skaláris szorzata. megértése. Skaláris szorzat kiszámítása a vektorok koordinátáiból. Vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái. Műveletek koordinátáival. Szinusztétel. Koszinusztétel.

vektorok

Műveleti tulajdonságok vizsgálata.

Informatika: vektorgrafikus ábrázolás.

Az algebra és a geometria Technika, életvitel és kapcsolatának felfedezése. gyakorlat: alakzatok Geometriai modell alkalmazása. adatainak Megfelelő ábra, megoldási terv meghatározása. készítése. Földrajz: távolságok, szögek kiszámítása. Vizuális kultúra: esztétikus ábrák.


48. oldal

Szakasz hossza. Ismeretek alkalmazása újabb Informatika: egy Szakasz felezőpontjának, ismeretek megszerzésében, geometriai harmadolópontjának koordinátái. sejtések, indoklások szerkesztőprogram Háromszög súlypontjának megfogalmazásában. felhasználói ismerete. koordinátái. Kapcsolat felfedezése az elemi geometria és az algebra között. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, összefüggések közöttük.

Az egyenest jellemző adatok, a Fizika: közöttük felfedezhető értékelése. összefüggések értése, használata.

Egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételei.

Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel.

mérések

Az egyenes normálvektoros, vagy Egyenes egyenletének felírása; az Informatika: tantárgyi irányvektoros egyenlete. adatok kiolvasása az egyenletből. szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram). Az egyenes egyenletének Egyenes egyenletének felírása, iránytényezős alakja. adatok kiolvasása az egyenletből. Egyenesek metszéspontja.

Emlékezés az egyenletrendszer Informatika: tantárgyi megoldási módszereire. szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

Adott középpontú és sugarú kör Kör egyenletének felírása, adatok egyenlete. kiolvasása az egyenletből. A kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet. Egyenes és kör kölcsönös helyzete.

Összefüggések felismerése. Kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása, a diszkrimináns és a metszéspontok számának a kapcsolata. Az alakzatok képzeletben történő mozgatása. A képzelt és a tényleges megoldás összevetése.

Kör adott pontjában húzott érintő Algebrai és geometriai ismeretek meghatározása. összekapcsolása. Két kör kölcsönös helyzetének Geometriai probléma megoldása meghatározása a középpontok algebrai eszközökkel. koordinátáiból és a sugarakból. Hengerszerű testek. Kúpszerű testek. Csonkagúla, csonkakúp.

Térbeli viszonyok, testek Vizuális kultúra: ábrázolási lehetőségeinek axonometria. megismerése síkban. A tényleges alkotás összevetése az elképzelttel. Informatika: tantárgyi Képi emlékezés. szimulációs programok Megfigyelés adott tulajdonság használata (geometriai


49. oldal

szerint.

szerkesztőprogram). Kémia: kristályok. Technika, életvitel és gyakorlat: a mindennapjainkban előforduló térbeli alakzatok modellje, absztrakciója.

Kerület- és területszámítás eddig Képi emlékezés, ismeretek Fizika: terület, kerület tanult részeinek áttekintése. felidézése. meghatározás. Képzeletben történő mozgatás, átdarabolás, szétvágás. Földrajz: térképkészítési elvek. Sokszögek területe.

A tanult ismeretek felhasználása.

Felszín- és térfogatszámítás eddig Testháló összehajtásának, Technika, életvitel és tanult részeinek áttekintése. szétvágásának elképzelése, gyakorlat: térfogat- és Matematikatörténet: különféle síkmetszetek lerajzolása. felszínszámítás. Arkhimédész, Cavalieri Adott tárgy több nézőpontból való elképzelése, vetületek megrajzolása. Hasonló testek felszínének és A hasonlósági transzformációk térfogatának aránya. felelevenítése. Középpontosan hasonló testek. Annak tudatosítása, hogy nem egyformán változik egy test felszíne és térfogata, ha kicsinyítjük vagy nagyítjuk. Csonkagúla, csonkakúp felszíne és térfogata.

A gömb síkmetszetei. A gömb felszíne és térfogata.

Térgeometria a mindennapjainkban. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

Ismeretek alkalmazása. Térszemlélet fejlesztése. Térgeometriai alkalmazása.

ismeretek

Biológia-egészségtan: keringéssel kapcsolatos számítási feladatok.

Csonkagúla, csonkakúp, gömb, irányvektor, normálvektor, meredekség, skaláris szorzat.

Tematikai egység / Fejlesztési cél Előzetes tudás

Ismeretek alkalmazása.


Órakeret 12 óra

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a kísérlet


50. oldal

fogalma. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek. Esemény, műveletek eseményekkel. A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai

Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. A modellfogalom mélyítése, a modellek használhatóságának, érvényességi körének vizsgálata.

Ismeretek



Statisztikai mintavétel, Matematikai módszerek és Földrajz: (reprezentatív mintavétel). eszközök megismerésének igénye. évkönyv.

statisztikai

Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: választások. A valószínűség klasszikus modellje. A modell és a valóság Biológia-egészségtan: Matematikatörténet: kapcsolatának felismerése, genetikai számolási a valószínűségszámítás történeti vizsgálata. feladatok. érdekességei. Változatos feladatok megoldása. Ismeretek mozgósítása, tanult kombinatorikai módszerek alkalmazása. Visszatevéses és nélküli mintavételek. Kulcsfogalmak/ fogalmak

visszatevés

Modellválasztás a különböző gyakorlati problémákban.

Matematikai valószínűség. Reprezentatív mintavétel.

valószínűségszámítási

6. Rendszerező összefoglalás

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai

Klasszikus

modell.

Órakeret 33 óra

A középiskolai matematika anyaga. A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Motiváltság. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás.

Ismeretek



Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazok. Ponthalmazok és A problémának megfelelő számhalmazok. Valós számok szemléltetés kiválasztása (Vennhalmaza és részhalmazai. diagram, számegyenes, koordinátarendszer). Matematikatörténet: Cantor munkássága. Állítások logikai értéke. Logikai Szövegértés: a szövegben található Filozófia: műveletek. információk összegyűjtése, következetes

a és


51. oldal

rendszerezése.

rendezett gondolkodás elmélete, a logika kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez. Informatika: navigációs eszközök használata hierarchizált és legördülő menük használata.

A halmazelméleti és a logikai Halmazok ismeretek kapcsolata. használata.

eszközjellegű

Definíció és tétel. A tétel Emlékezés a tanult definíciókra és bizonyítása. A tétel megfordítása. tételekre, alkalmazásuk önálló Bizonyítási módszerek. problémamegoldás során. Kombinatorika: leszámlálási Sorbarendezési feladatok. Egyszerű feladatok problémák megoldása gráfokkal. Gondolatmenet gráffal. Gráfelméleti rendszerezése.

ismeretek

és

kiválasztási felismerése. szemléltetése

A szöveg tartalmához megfelelő ábra készítése.

Műveletek értelmezése és Absztrakt fogalom és annak műveleti tulajdonságok. konkrét megjelenései közötti Valós számok halmazán kapcsolat megértése. értelmezett műveletek, halmazműveletek, logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel. Számelmélet, algebra Gyakorlati számítások.

Számelméleti számrendszerek.

Kerekítés, közelítő érték, becslés Technika, életvitel és tudatos használata. Számológép gyakorlat: alapvető használata, értelmes kerekítés. adózási, biztosítási, egészség-, nyugdíj- és társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek. Feladatmegoldó továbbfejlesztése.

rutin

Egyenletek és egyenlőtlenségek. Feladatmegoldó Alaphalmaz, értelmezési továbbfejlesztése. tartomány. Megoldáshalmaz.

rutin

Algebrai hatványozás

ismeretek,

azonosságok, Az azonosságok azonosságai, használatuk.

szerepe,

Fizika; kémia; biológiaegészségtan;


gyökfogalom, azonosságai, azonosságok.

52. oldal

logaritmus trigonometrikus

történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: képletek használata.

Számtani és mértani közép. Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Algebrai megoldás, grafikus megoldás. Ekvivalens egyenletek, ekvivalens átalakítások. A megoldások ellenőrzése.

Adott egyenlethez illő megoldási módszer önálló kiválasztása. Az önellenőrzés alkalmazása. Önfegyelem fejlesztése: sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás.

Első- és másodfokú egyenlet és Tanult egyenlettípusok és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös egyenlőtlenségtípusok önálló egyenletek. Abszolút értéket megoldása. tartalmazó egyenletek. Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek. Elsőfokú és egyszerű másodfokú A tanult megoldási módszerek kétismeretlenes egyenletrendszer biztos alkalmazása. megoldása. Egyenletekre, egyenlőtlenségekre Matematikai modell (egyenlet, Fizika; kémia; biológiavezető gyakorlati életből vett és egyenlőtlenség) megalkotása, egészségtan; szöveges feladatok. vizsgálatok a modellben, ellenőrzés. történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek. Függvények, sorozatok A függvény megadása. függvények jellemzése.

A

Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése, ismerete.

Az alapfüggvények ábrázolása és Képi emlékezés tulajdonságai. helyzetekben felidézése).

statikus (grafikonok

Függvénytranszformációk: Kapcsolat a matematika két között: f (x  c) ; cf (x ) ; f (cx ) . területe függvénytranszformációk és Eltolás, nyújtás és összenyomás a geometriai transzformációk. tengelyre merőlegesen. f (x )  c ,

Függvényvizsgálat szempontok szerint.

a

Függvények használata folyamatok elemzésében.

tanult valós

Emlékezés, ismeretek mozgósítása. Függvény alkalmazása matematikai Fizika; kémia; biológiamodell készítésében. egészségtan történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.


Számtani sorozat, mértani sorozat, kamatos kamatszámítás.

53. oldal

Felismerés, alkalmazás. Geometria

Geometriai ponthalmazok.

alapfogalmak,

Felismerés, alkalmazás.

Térelemek kölcsönös helyzete, Valós problémában a megfelelő távolsága, szöge. Távolságok és geometriai fogalom felismerése, szögek kiszámítása. alkalmazása. Geometriai transzformációk. Valós problémában a megfelelő Távolságok és szögek vizsgálata geometriai fogalom felismerése, transzformációknál. alkalmazása. Egybevágóság, Szimmetriák.

hasonlóság.

Felismerés, alkalmazás.

Háromszögekre vonatkozó tételek Állítások, tételek jelentésére való és alkalmazásuk. emlékezés. A problémának A háromszög nevezetes vonalai, megfelelő összefüggések pontjai és körei. felismerése, alkalmazása. Matematikatörténet: Euler. Összefüggések a háromszög oldalai, oldalai és szögei között. A derékszögű háromszög oldalai, oldalai és szögei közötti összefüggések. Négyszögekre vonatkozó tételek Állítások, tételek jelentésére való és alkalmazásuk. emlékezés. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai. Kör és részei. Körre vonatkozó tételek alkalmazásuk. Számítási feladatok.

Fogalmak és ismerete.

és

tételek

pontos

Vektorok, vektorok koordinátái. Bázisrendszer. Vektorok alkalmazásai. Szögfüggvények háromszögekben. Forgásszögek.

alkalmazása

Koordinátageometriai ismeretek. Kerületszámítás, területszámítás. A

tanult

térbeli

alakzatok

A geometria és összekapcsolása.

az

algebra


54. oldal

áttekintése. Felszín- és térfogatszámítás.

A tanult ismeretek rendszerezése. Valószínűségszámítás, statisztika

Adathalmaz jellemzői. Diagramok. Adathalmazok jellemzése önállóan Magyar nyelv és Statisztikai mutatók: középértékek választott mutatók segítségével. irodalom: a tartalom és szóródási mutatók. értékelése hihetőség szempontjából; a szöveg hitelességével kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a kétértelmű, több jelentésű tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Véletlen esemény valószínűsége. A valószínűség kiszámítása a klasszikus modell alapján. A véletlen törvényszerűségei. Mintavételi eljárások.

A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésének felfedezése a termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a társadalmi folyamatokban. A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek felismerése.

Technika, életvitel és gyakorlat; biológiaegészségtan: szenvedélybetegségek és rizikófaktorok.


Gondolkodási és megismerési módszerek      

Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. Szövegértés: a szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából. A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása. Feladatok megoldása rendszerezett összeszámlálással, ill. a tanult ismeretek segítségével A gráfok eszköz jellegű használata problémamegoldásában.

Számtan, algebra A kiterjesztett hatványfogalom ismerete. A logaritmus fogalmának ismerete. A gyökvonás, a hatványozás és a logaritmus azonosságainak célszerű alkalmazása konkrét esetekben  Exponenciális és logaritmusos egyenletek alkotása szöveg alapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése.  A számológép biztos és értelmes használata.  Trigonometrikus egyenletek megoldása, az azonosságok alkalmazása, az összes gyök megtalálása.  A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult új műveletek felhasználásával.   


Összefüggések, függvények, sorozatok Exponenciális-, logaritmus- és a trigonometrikus függvények értelmezése, ábrázolása, jellemzése.  Függvény-transzformációk végrehajtása.  Exponenciális folyamatok matematikai modellje.  A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások.  Pénzügyi alapfogalmak ismerete, pénzügyi számítások megértése, reprodukálása, kamatos kamatszámítás elvégzése.  A hitelfelvétel kockázatai, előnyei, hátrányai.  Az új függvények ismerete és jellemzése során legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról. 

Geometria  Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazása  Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása.  Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében, szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása.  Valós problémákhoz geometriai modell alkotása.  A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban..

   

A geometriai és algebrai ismeretek között összekapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása. Térbeli viszonyok, testek felismerése, geometriai modell készítése. Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása. A tanulók alkalmazzák számolási, gyakorlati feladatokban a háromszögekre vonatkozó általános tételeket.

Valószínűség, statisztika  Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében.  A valószínűség matematikai fogalmának, klasszikus kiszámítási módjának ismerete, alkalmazása.  Mintavétel és valószínűség kapcsolata, alkalmazása.  A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni.  Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok korlátait, érvényességi körét. Összességében A matematikai tanulmányok végére a matematika tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat.  Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat.  Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni.  Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket.  Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni.  A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket.  A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére.  A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége.  A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek alapvető matematika kultúrtörténeti ismeretekkel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire. 

4. melléklet: a négyosztályos gimnáziumi 9-10. osztályok kerettanterve Tematikai egység/ Fejlesztési cél

1. Gondolkodási és megismerési módszerek

Órakeret 20 óra

Előzetes tudás

Példák halmazokra, geometriai alapfogalmak, alapszerkesztések. Halmazba rendezés több szempont alapján. Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szinthez illeszkedő ismerete.


A valós számok halmazának ismerete. Kommunikáció, együttműködés. A matematika épülése elveinek bemutatása. Igaz és hamis állítások megkülönböztetése. Halmazok eszközjellegű használata. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése.

Ismeretek



Véges és végtelen halmazok. Annak megértése, hogy csak a Végtelen számosság szemléletes véges halmazok elemszáma adható fogalma. meg természetes számmal. Matematikatörténet: Cantor. Részhalmaz. Halmazműveletek: Megosztott figyelem; két, illetve Magyar nyelv és unió, metszet, különbség. Halmazok több szempont egyidejű követése. irodalom: mondatok, közötti viszonyok megjelenítése. Szöveges megfogalmazások szavak, hangok matematikai modellre fordítása. rendszerezése. Elnevezések megtanulása, definíciókra való emlékezés. Biológia-egészségtan: halmazműveletek alkalmazása a rendszertanban. Kémia: anyagok csoportosítása. Biológia-egészségtan: Alaphalmaz és komplementer Annak tudatosítása, hogy élőlények osztályozása; halmaz. alaphalmaz nélkül nincs besorolás közös rész komplementer halmaz. nélküli halmazokba. Halmaz közös elem nélküli halmazokra bontása jelentőségének belátása. Informatika: A megismert számhalmazok: A megismert számhalmazok számábrázolás természetes számok, egész számok, áttekintése. Természetes számok, (problémamegoldás racionális számok. egész számok, racionális számok táblázatkezelővel). A számírás története. elhelyezése halmazábrában, számegyenesen. Valós számok halmaza. Az Annak tudatosítása, hogy intervallum fogalma, fajtái. intervallum végtelen halmaz. Irracionális szám létezése.

az

Vizuális kultúra: a tér Távolsággal megadott Ponthalmazok megadása ábrával. ábrázolása. ponthalmazok, adott tulajdonságú Megosztott figyelem; két, illetve ponthalmazok (kör, gömb, felező több szempont egyidejű követése Informatika: tantárgyi

merőleges, középpárhuzamos).

szögfelező, (például két feltétellel megadott szimulációs programok ponthalmaz). használata.

Logikai műveletek: „nem”, „és”, Matematikai és más jellegű „vagy”, „ha…, akkor”. érvelésekben a logikai műveletek (Folyamatosan a 9–12. felfedezése, megértése, önálló évfolyamon.) alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése. Szöveges feladatok. Szöveges feladatok értelmezése, (Folyamatos feladat a 9–12. megoldási terv készítése, a feladat évfolyamon: a szöveg alapján a megoldása és szöveg alapján történő megfelelő matematikai modell ellenőrzése. megalkotása.) Modellek alkotása a matematikán belül; matematikán kívüli problémák modellezése. Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése (a szövegben előforduló információk). Figyelem összpontosítása. Problémamegoldó gondolkodás és szövegfeldolgozás: az indukció és dedukció, a rendszerezés, a következtetés.

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés; információk azonosítása és összekapcsolása, a szöveg egységei közötti tartalmi megfelelés felismerése; a szöveg tartalmi elemei közötti kijelentés-érv, okokozati viszony felismerése és magyarázata. Technika, életvitel és gyakorlat: egészséges életmódra és a családi életre nevelés.

A „minden” és a „van olyan” helyes A „minden” és a „van olyan” helyes használata. használata. Nyitott mondatok igazsághalmaza, Halmazok eszközjellegű használata. szemléltetés módjai. A matematikai bizonyítás. Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás (folyamatos feladat a 9–12. évfolyamokon). Matematikatörténet: Euklidesz szerepe a tudományosság kialakításában.

Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás megkülönböztetése. Érvelés, vita. Érvek és ellenérvek. Ellenpélda szerepe. Mások gondolataival való vitába szállás és a kulturált vitatkozás. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont (pl. a saját és a vitapartner szempontjának) egyidejű követése.

Állítás és megfordítása. Az „akkor és csak akkor” „Akkor és csak akkor” típusú használata. Feltétel és állítások.

Magyar nyelv és irodalom: mások érvelésének összefoglalása és figyelembevétele.

következmény felismerése a „Ha …, akkor …” típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése. Etika: a következtetés, Gondolatmenet tagolása. érvelés, bizonyítás és Rendszerezés (érvek logikus cáfolat szabályainak sorrendje). alkalmazása. Következtetés megítélése helyessége szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, bizonyítási módszerekre való emlékezés. Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és helytelenül megfogalmazott következtetésekre. Informatika: Egyszerű kombinatorikai feladatok: Rendszerezés: az esetek problémamegoldás leszámlálás, sorbarendezés, összeszámlálásánál minden esetet táblázatkezelővel. gyakorlati problémák. meg kell találni, de minden esetet Kombinatorika a mindennapokban. csak egyszer lehet számításba venni. Technika, életvitel és Megosztott figyelem; két, illetve gyakorlat: hétköznapi több szempont egyidejű követése. problémák megoldása a Esetfelsorolások, diszkusszió (pl. vankombinatorika e ismétlődés). eszközeivel. Sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás; a Magyar nyelv és sikertelenség okának feltárása (pl. irodalom: periodicitás, minden feltételre figyelt-e). ismétlődés és kombinatorika mint szervezőelv poetizált szövegekben. Kémia: molekulák A gráffal kapcsolatos alapfogalmak Gráfok alkalmazása térszerkezete. (csúcs, él, fokszám). problémamegoldásban. Egyszerű hálózat szemléltetése. Számítógépek egy munkahelyen, Informatika: elektromos hálózat a lakásban, problémamegoldás település úthálózata stb. informatikai szemléltetése gráffal. eszközökkel és Gondolatmenet megjelenítése módszerekkel, gráffal. hálózatok. Bizonyítás.

Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: pl. családfa.

Technika, életvitel és gyakorlat: közlekedés. Kulcsfogalmak/f ogalmak

Unió, metszet, különbség, komplementer halmaz. Gráf csúcsa, éle, csúcs fokszáma. Logikai művelet (NEM, ÉS, VAGY. „Ha …., akkor …”). Feltétel és következmény. Sejtés, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás. Faktoriális.


Órakeret 66 óra

2. Számtan, algebra

Előzetes tudás

Számolás racionális számkörben. Prímszám, összetett szám, oszthatósági szabályok. Hatványjelölés. Egyszerű algebrai kifejezések ismerete, zárójel használata. Egyenlet, egyenlet megoldása. Egyenlőtlenség. Egyszerű szöveg alapján egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése.


Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és -megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Első- és másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló kiválasztási képességének kialakítása. Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata.

Ismeretek


Számelmélet elemei. A tanult oszthatósági szabályok. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Relatív prímek. Matematikatörténeti és számelméleti érdekességek: (pl. végtelen sok prímszám létezik, tökéletes számok, barátságos számok, Eukleidész. Mersenne, Euler, Fermat)

A tanult oszthatósági szabályok rendszerezése. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös meghatározása a felbontás segítségével. Egyszerű oszthatósági feladatok, szöveges feladatok megoldása. Gondolatmenet követése, egyszerű gondolatmenet megfordítása. Érvelés.

Hatványozás 0 és negatív egész Fogalmi általánosítás: kitevőre. Permanencia-elv. definíció kiterjesztése. A hatványozás azonosságai.

a


korábbi

Korábbi ismeretekre való emlékezés.

Fizika: hőmérséklet, Egyenértékű definíció (távolsággal elektromos töltés, adott definícióval). áram, feszültség előjeles értelmezése. Informatika: Különböző számrendszerek. A A különböző számrendszerek kommunikáció ember helyiértékes írásmód lényege. egyenértékűségének belátása. és gép között, Kettes számrendszer. adattárolás egységei. Számok abszolút értéke.

Matematikatörténet: János.

Neumann

Számok normálalakja.

Az egyes fogalmak (távolság, idő, terület, tömeg, népesség, pénz, adat stb.) mennyiségi jellemzőinek kifejezése számokkal, mennyiségi következtetések. Számolás normálalakkal írásban és számológép segítségével. A természettudományokban és a társadalomban előforduló nagy és kis mennyiségekkel történő számolás

Fizika; kémia; biológiaegészségtan: tér, idő, nagyságrendek – méretek és nagyságrendek becslése és számítása az atomok méreteitől az ismert világ méretéig; szennyezés, környezetvédelem.

Nevezetes azonosságok: Régebbi ismeretek mozgósítása, kommutativitás, asszociativitás, összeillesztése, felhasználása. disztributivitás. Számolási szabályok, zárójelek használata. Szöveges számítási feladatok a Szöveges számítási feladatok természettudományokból, a megoldása a mindennapokból. természettudományokból, a mindennapokból (pl. százalékszámítás: megtakarítás, kölcsön, áremelés, árleszállítás, bruttó ár és nettó ár, ÁFA, jövedelemadó, járulékok, élelmiszerek százalékos összetétele). A növekedés és csökkenés kifejezése százalékkal („mihez viszonyítunk?”). Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv).

Számológép használata. Az értelmes kerekítés megtalálása.

(a ± b)2, (a ± b)3 polinom alakja, a 2  b 2 szorzat alakja. Azonosság fogalma.

Egyszerű feladatok polinomok, illetve algebrai törtek közötti műveletekre. Tanult azonosságok alkalmazása. Algebrai tört

Fizika; kémia; biológiaegészségtan: számítási feladatok. Informatika: problémamegoldás táblázatkezelővel. Földrajz: a pénzvilág működése. Technika, életvitel és gyakorlat: tudatos élelmiszer-választás, becslések, mérések, számítások.

Társadalmi, állampolgári és gazdasági ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. Fizika: számítási Ismeretek tudatos memorizálása feladatok megoldása (azonosságok). (pl. munkatétel). Geometria és algebra összekapcsolása az azonosságok igazolásánál. Fizika; kémia; biológiaIsmeretek felidézése, mozgósítása (pl. egészségtan: számítási szorzattá alakítás, tört egyszerűsítése, feladatok. bővítése, műveletek törtekkel).

értelmezési tartománya. Algebrai kifejezések egyszerűbb alakra hozása. Fizika; kémia: képletek Egyes változók kifejezése fizikai, A képlet értelmének, jelentőségének értelmezése. kémiai képletekből. belátása. Helyettesítési érték kiszámítása képlet alapján. Fizika: kinematika, Elsőfokú kétismeretlenes Megosztott figyelem; két, illetve több dinamika. egyenletrendszer megoldása. szempont egyidejű követése. Különböző módszerek alkalmazása ugyanarra a problémára (behelyettesítő módszer, ellentett együtthatók módszere). Fizika: kinematika, Elsőfokú egyenletre, A mindennapokhoz kapcsolódó dinamika. egyenlőtlenségre, problémák matematikai modelljének egyenletrendszerre vezető elkészítése (egyenlet, egyenlőtlenség, Kémia: százalékos szöveges feladatok. illetve egyenletrendszer felírása); a keverési feladatok. megoldás ellenőrzése, a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?). Egy abszolútértéket tartalmazó egyenletek. x  c  ax  b . A négyzetgyök definíciója. négyzetgyök azonosságai.

A

Definíciókra való emlékezés. Fizika: Számológép használata. lengésideje, A négyzetgyök azonosságainak számítása. használata konkrét esetekben.

fonálinga rezgésidő

A másodfokú egyenlet Különböző algebrai módszerek Fizika: egyenletesen megoldása, a megoldóképlet. alkalmazása ugyanarra a problémára gyorsuló mozgás (szorzattá alakítás, teljes négyzetté kinematikája. kiegészítés). Ismeretek tudatos memorizálása (rendezett másodfokú egyenlet és megoldóképlet összekapcsolódása). A megoldóképlet biztos használata. Fizika; kémia: Másodfokú egyenletre vezető Matematikai modell (másodfokú számítási feladatok. gyakorlati problémák, szöveges egyenlet) megalkotása a szöveg feladatok. alapján. A megoldás ellenőrzése, gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetségese?). Gyöktényezős alak. Másodfokú polinom szorzattá alakítása. Gyökök és összefüggései.

együtthatók

Algebrai ismeretek alkalmazása. Önellenőrzés: egyenlet megoldásának ellenőrzése.

Néhány egyszerű magasabb fokú Annak belátása, hogy vannak a egyenlet megoldása. matematikában megoldhatatlan Matematikatörténet: problémák. részletek a harmad- és ötödfokú

egyenlet történetéből.

megoldásának

Egyszerű egyenletek.

négyzetgyökös

Megoldások ellenőrzése.

ax  b  cx  d .

Másodfokú egyenletrendszer. A behelyettesítő módszer.

Fizika: például egyenletesen gyorsuló mozgással kapcsolatos kinematikai feladat.

Egyszerű másodfokú egyenletrendszer megoldása. A behelyettesítő módszerrel is megoldható feladatok. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Informatika: tantárgyi Egyszerű másodfokú Egyszerű másodfokú egyenlőtlenség szimulációs programok egyenlőtlenségek. megoldása. Másodfokú függvény használata. 2 ax  bx  c  0 (vagy > 0) alakra eszközjellegű használata. visszavezethető egyenlőtlenségek ( a  0 ). Példák adott alaphalmazon Megosztott figyelem; két, illetve több ekvivalens és nem ekvivalens szempont egyidejű követése. egyenletekre, átalakításokra. Halmazok eszközjellegű használata. Alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz. Hamis gyök, gyökvesztés. Fizika: minimum- és Összefüggés két pozitív szám Geometria és algebra maximumproblémák. számtani és mértani közepe összekapcsolása az azonosság között. Gyakorlati példa minimum igazolásánál. és maximum probléma Gondolatmenet megfordítása. megoldására. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Hatvány. Normálalak. Egyenlet. Alaphalmaz, értelmezési tartomány. Azonosság. Ekvivalens egyenlet. Hamis gyök. Első- és másodfokú egyenlet, diszkrimináns. Egyenletrendszer. Egyenlőtlenség. Számtani közép, mértani közép.


3. Összefüggések, függvények, sorozatok

Órakeret 16 óra

Előzetes tudás

Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben.


Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvénymodell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése.

Ismeretek A függvény tulajdonságai.

megadása,


Kapcsolódási pontok Fizika; kémia; biológiaelemi Ismeretek tudatos memorizálása egészségtan: időben (függvénytani alapfogalmak). lejátszódó folyamatok Alapfogalmak megértése, konkrét leírása, elemzése. függvények elemzése a grafikonjuk alapján. Informatika: tantárgyi

A lineáris függvény, lineáris kapcsolatok. A lineáris függvények tulajdonságai. Az egyenes arányosság. A lineáris függvény grafikonjának meredeksége, ennek jelentése lineáris kapcsolatokban.

Az

abszolútérték-függvény.

Időben lejátszódó valós folyamatok szimulációs programok elemzése grafikon alapján. használata, adatkezelés Számítógép használata a függvények táblázatkezelővel. vizsgálatára. Fizika: időben lineáris Táblázatok készítése adott folyamatok vizsgálata, a szabálynak, összefüggésnek változás sebessége. megfelelően. Időben lejátszódó történések Kémia: egyenes megfigyelése, a változás arányosság. megfogalmazása. Modellek alkotása: lineáris kapcsolatok felfedezése a Informatika: hétköznapokban (pl. egységár, a táblázatkezelés. változás sebessége). Lineáris függvény ábrázolása paraméterei alapján. Számítógép használata a lineáris folyamat megjelenítésében.

Az

Ismeretek (függvénytulajdonságok). x  ax  b függvény grafikonja,

felidézése

Az

felidézése

Fizika: matematikai inga lengésideje.

felidézése

Fizika: ideális izoterma.

tulajdonságai ( a  0 ). A

négyzetgyökfüggvény.

Ismeretek (függvénytulajdonságok). függvény

( x  0) x x grafikonja, tulajdonságai.

A fordított arányosság függvénye.

x

a x

( ax  0 )

grafikonja,

tulajdonságai. Függvények alkalmazása.

Ismeretek (függvénytulajdonságok).

gáz,

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Fizika: kinematika.

Valós folyamatok függvénymodelljének megalkotása. A Informatika: tantárgyi folyamat elemzése a függvény szimulációs programok vizsgálatával, az eredmény használata. összevetése a valósággal. A modell érvényességének vizsgálata. Számítógép alkalmazása (pl. függvényrajzoló program). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Fizika; kémia; biológiaEgyenlet, egyenletrendszer Egy adott probléma megoldása két egészségtan; földrajz: grafikus megoldása. különböző módszerrel. számítási feladatok. Az algebrai és a grafikus módszer összevetése. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Számítógépes program használata. Fizika: egyenletesen felidézése (algebrai Az x  ax 2  bx  c (a  0) Ismeretek gyorsuló mozgás másodfokú függvény ábrázolása és ismeretek és függvénytulajdonságok kinematikája. ismerete). tulajdonságai.

Függvénytranszformációk áttekintése az x  a( x  u) 2  v alak segítségével. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Számítógép használata. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Függvény. Valós függvény. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőértékhely, szélsőérték. Alapfüggvény. Függvénytranszformáció. Lineáris kapcsolat. Meredekség. Grafikus megoldás.


Órakeret 60 óra

4. Geometria

Előzetes tudás

Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel ismerete.


Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria szerepének felismerése a matematikában, a valóságban. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. Összetett számítási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal; a valóságos tárgyak formájának és a tanult formáknak az összevetése, gyakorlati számítások (henger, hasáb, kúp, gúla, gömb). Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata.

Ismeretek


Geometriai alapfogalmak. Idealizáló absztrakció: Térelemek, távolságok és szögek egyenes, sík, síkidomok, értelmezése. (Folyamatosan a 9-10. Vázlat készítése. évfolyamon.)


pont, testek.

Informatika: tantárgyi A háromszög nevezetes vonalai, A definíciók és tételek pontos szimulációs programok körei. Oldalfelező merőlegesek, ismerete, alkalmazása. használata (geometriai belső szögfelezők, magasságvonalak, szerkesztőprogram). középvonalak tulajdonságai. Körülírt kör, beírt kör. Matematikatörténet: például az Euler-egyenes, Feuerbach-kör bemutatása (interaktív szerkesztőprogrammal). Konvex sokszögek általános Fogalmak alkotása specializálással: tulajdonságai. Átlók száma, belső konvex sokszög, szabályos sokszög. szögek összege. Szabályos sokszög belső szöge. Kör és részei, kör és egyenes. Ív,

Fogalmak pontos ismerete.

Fizika: körmozgás, a körpályán mozgó test

húr, körcikk, körszelet. Szelő, érintő.

sebessége.

A körív hossza. Egyenes arányosság Együttváltozó a középponti szög és a hozzá tartozó összetartozó körív hossza között (szemlélet vizsgálata. alapján).

A körcikk területe. Egyenes Együttváltozó arányosság a középponti szög és a összetartozó hozzá tartozó körcikk területe között vizsgálata. . A szög mérése. A szög ívmértéke.

Vizuális kultúra: építészeti stílusok. Fizika: körmozgás mennyiségek sebessége, adatpárjainak szögsebessége. Földrajz: távolság a Föld két pontja között. mennyiségek adatpárjainak

Fizika: szögsebesség, Mérés, mérési elvek megismerése. körmozgás, Mértékegység-választás, mérőszám. rezgőmozgás. Földrajz: tájékozódás a földgömbön; hosszúsági és szélességi körök, helymeghatározás.

Thalész tétele. A matematika örökség.

mint

Ismeretek tudatos memorizálása. kulturális Állítás és megfordításának gyakorlása.

Pitagorasz-tétel alkalmazásai. (Koordináta-geometria előkészítése.)

Ismeretek mozgósítása, Fizika: vektor rendszerezése problémamegoldás felbontása merőleges érdekében. Állítás és összetevőkre. megfordításának gyakorlása. Fizika: A tengelyes és a középpontos A megmaradó és a változó elmozdulásvektor, tükrözés, az eltolás, a pont körüli tulajdonságok tudatosítása. forgások. elforgatás. A transzformációk tulajdonságai. Földrajz: bolygók A geometriai vektorfogalom. tengely körüli forgása, keringés a Nap körül. Egybevágóság, szimmetria.

Szimmetria felismerése a matematikában, a művészetekben, a környezetünkben található tárgyakban.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Vizuális kultúra: kifejezés, képzőművészet; művészettörténeti stíluskorszakok. Biológia-egészségtan: az emberi test síkjai, szimmetriája.

Vizuális kultúra: kifejezés, képzőművészet; művészettörténeti stíluskorszakok. Informatika: tantárgyi Egyszerű szerkesztési feladatok. Szerkesztési eljárások gyakorlása. szimulációs programok Szerkesztési terv készítése, használata (geometriai ellenőrzés. Megosztott figyelem; két, szerkesztőprogram). illetve több szempont egyidejű követése. Pontos, esztétikus munkára nevelés. Fizika: erők összege, Vektorok összege, két vektor Műveleti analógiák (összeadás, két erő különbsége, különbsége. kivonás). vektormennyiség változása (pl. sebességváltozás). Informatika: tantárgyi Középpontos hasonlóság, A megmaradó és a változó szimulációs programok hasonlóság. Arányos osztás. tulajdonságok tudatosítása. használata (geometriai A hasonlósági transzformáció. szerkesztőprogram). Szimmetrikus négyszögek. Négyszögek csoportosítása szimmetriáik szerint. Szabályos sokszögek.

Hasonló alakzatok.

A háromszögek alapesetei.

Fogalmak alkotása specializálással.

A megmaradó és a változó tulajdonságok tudatosítása: a megfelelő szakaszok hosszának aránya állandó, a megfelelő szögek egyenlők, a kerület, a terület, a felszín és a térfogat változik. hasonlóságának

Szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. Ismeretek tudatos memorizálása.

A hasonlóság alkalmazásai. Új ismeretek Háromszög súlyvonalai, súlypontja, alkalmazása. hasonló síkidomok kerületének, területének aránya.

matematikai

Fizika: súlypont, tömegközéppont. Vizuális kultúra: összetett arányviszonyok érzékeltetése, formarend, az aranymetszés megjelenése a természetben, alkalmazása a művészetekben.

Magasságtétel, befogótétel a Ismeretek tudatos memorizálása, derékszögű háromszögben. Két alkalmazása szakaszok hosszának pozitív szám mértani közepe. számolásánál, szakaszok szerkesztésénél. Földrajz: A hasonlóság gyakorlati Modellek alkotása a matematikán térképkészítés, alkalmazásai. Távolság, szög, terület belül; matematikán kívüli problémák térképolvasás. a tervrajzon, térképen. modellezése: geometriai modell.

Hasonló testek térfogatának aránya.

felszínének,

Vektor szorzása valós számmal. Vektorok felbontása összetevőkre.

Bázisvektorok, vektorkoordináták.

Hegyesszög szinusza, koszinusza, tangense és kotangense. A Pitagorasz-tétel és a hegyesszög szögfüggvényeinek alkalmazása a derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására. Távolságok és szögek számítása gyakorlati feladatokban, síkban és térben. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Annak tudatosítása, hogy nem egyformán változik egy test felszíne és térfogata, ha kicsinyítjük vagy nagyítjuk.

Biológia-egészségtan: példák arra, amikor adott térfogathoz nagy felület (pl. fák levelei) tartozik.

Fizika: Newton II. Új műveletfogalom kialakítása és törvénye. gyakorlása. Fizika: eredő erő, Ismeretek mozgósítása új eredő összetevőkre helyzetben. Emlékezés korábbi bontása. információkra. Fizika: Elnevezések, jelek és egyéb helymeghatározás, megállapodások megjegyzése. erővektor felbontása Emlékezés definíciókra. összetevőkre. Fizika: erővektor felbontása derékszögű összetevőkre. Fizika: erővektor A valós problémák matematikai felbontása derékszögű (geometriai) modelljének összetevőkre. megalkotása, a problémák önálló megoldása.

Tér, sík, egyenes, pont. Sokszög. Háromszög, négyszög, speciális háromszög, speciális négyszög. Belső szög, külső szög, átló. Kerület, terület. Egybevágó, hasonló. Szimmetria. Arány. Vektor, vektorművelet. Szinusz, koszinusz, tangens, kotangens.



Órakeret 10 óra

Előzetes tudás

Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramok olvasása. Százalékszámítás.


A valószínűség fogalmának mélyítése: ismeretek rendszerezése, tapasztalatszerzés újabb kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése (relatív gyakoriság, eloszlás), következtetések. Diagram, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram készítése, olvasása. Táblázat értelmezése, készítése. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában.

Ismeretek

Kapcsolódási pontok Informatika: Statisztikai adatok és ábrázolásuk Adatok jegyzése, rendezése, adatkezelés, (gyakoriság, relatív gyakoriság, ábrázolása. Együttváltozó adatfeldolgozás, eloszlás, kördiagram, mennyiségek összetartozó információmegjelenítés. oszlopdiagram, vonaldiagram). adatpárjainak jegyzése. Diagramok, táblázatok olvasása, Történelem, társadalmi készítése. és állampolgári Grafikai szervezők összevetése ismeretek: történelmi, más formátumú dokumentumokkal, társadalmi témák vizuális következtetések levonása írott, ábrázolása (táblázat, ábrázolt és számszerű információ diagram). összekapcsolásával. Számítógép használata. Földrajz: időjárási, éghajlati és gazdasági statisztikák. Informatika: statisztikai Adathalmazok jellemzői: átlag, A statisztikai mutatók nyújtotta adatelemzés. medián, módusz. információk helyes értelmezése. Nagy adathalmaz vizsgálata kevés statisztikai jellemzővel: előnyök és hátrányok. Biológia-egészségtan: Véletlen esemény és A véletlen esemény szimmetria öröklés, mutáció. bekövetkezésének esélye, alapján, logikai úton vagy kísérleti valószínűsége. úton megadható, megbecsülhető esélye, valószínűsége. Kísérletek, játékok csoportban. Adat. Diagram, táblázat. Módusz, medián, átlag. Véletlen kísérlet. Biztos Kulcsfogalmak/ esemény, lehetetlen esemény. Gyakoriság, relatív gyakoriság, esély, fogalmak valószínűség.



Gondolkodási és megismerési módszerek  Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete.  Értsék és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a hétköznapi életben.  Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése.  Egyszerű leszámlálási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban.  Gráffal kapcsolatos alapfogalmak ismerete. Alkalmazzák a gráfokról tanult ismereteiket gondolatmenet szemléltetésére, probléma megoldására. Számtan, algebra  Egyszerű algebrai kifejezések használata, műveletek algebrai kifejezésekkel; a tanultak alkalmazása a matematikai problémák megoldásában (pl. modellalkotás szöveg alapján, egyenletek megoldása, képletek értelmezése); egész kitevőjű hatványok, azonosságok.  Elsőfokú, másodfokú egyismeretlenes egyenlet megoldása; ilyen egyenletre



  

vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz egyenletek felírása és azok megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. Elsőfokú és másodfokú (egyszerű) kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása; ilyen egyenletrendszerre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz az egyenletrendszer megadása, megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. Egyismeretlenes egyszerű másodfokú egyenlőtlenség megoldása. Az időszak végére elvárható a valós számkör biztos ismerete, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazása. A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek, keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényeg kiemelésére.

Összefüggések, függvények, sorozatok  A függvény megadása, a szereplő halmazok ismerete (értelmezési tartomány, értékkészlet); valós függvény alaptulajdonságainak ismerete.  A tanult alapfüggvények ismerete (tulajdonságok, grafikon).  Egyszerű függvénytranszformációk végrehajtása.  Valós folyamatok elemzése a folyamathoz tartozó függvény grafikonja alapján.  Függvénymodell készítése lineáris kapcsolatokhoz; a meredekség.  A tanulók tudják az elemi függvényeket ábrázolni koordináta-rendszerben, és a legfontosabb függvénytulajdonságokat meghatározni, nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, és különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. Geometria  Térelemek ismerete; távolság és szög fogalma, mérése.  Nevezetes ponthalmazok ismerete, szerkesztésük.  A tanult egybevágósági és hasonlósági transzformációk és ezek tulajdonságainak ismerete.  Egybevágó alakzatok, hasonló alakzatok; két egybevágó, illetve két hasonló alakzat több szempont szerinti összehasonlítása (pl. távolságok, szögek, kerület, terület, térfogat).  Szimmetria ismerete, használata.  Háromszögek tulajdonságainak ismerete (alaptulajdonságok, nevezetes vonalak, pontok, körök).  Derékszögű háromszögre visszavezethető (gyakorlati) számítások elvégzése Pitagorasz-tétellel és a hegyesszögek szögfüggvényeivel; magasságtétel és befogótétel ismerete.  Szimmetrikus négyszögek tulajdonságainak ismerete.  Vektor fogalmának ismerete; három új művelet ismerete: vektorok összeadása, kivonása, vektor szorzása valós számmal; vektor felbontása, vektorkoordináták meghatározása adott bázisrendszerben.  Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának kialakulása, a jellemzők kiszámítása (képlet alapján); mértékegységek ismerete; valós síkbeli, illetve térbeli probléma geometriai modelljének megalkotása.  A geometriai ismeretek bővülésével, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása után fejlődött a tanulók dinamikus geometriai szemlélete, diszkussziós képessége.  A háromszögekről tanult ismeretek bővülésével a tanulók képesek számítási feladatokat elvégezni, és ezeket gyakorlati problémák megoldásánál



alkalmazni. A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontos munkavégzésre.

Valószínűség, statisztika  Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása.  Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése.  Adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának értelmezése, meghatározása.  Véletlen esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet, esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata.  Nagyszámú véletlen kísérlet kiértékelése, az előzetesen „jósolt” esélyek és a relatív gyakoriságok összevetése.  A valószínűség-számítási, statisztikai feladatok megoldása során a diákok rendszerező képessége fejlődött. A tanulók képesek adatsokaságot jellemezni, ábrákról adatsokaság jellemzőit leolvasni. Szisztematikus esetszámlálással meg tudják határozni egy adott esemény bekövetkezésének esélyét.

5. melléklet: a négyosztályos gimnáziumi 11-12. osztályok kerettanterve


1. Gondolkodási és megismerési módszerek

Órakeret 11 óra

Előzetes tudás

Sorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása. Gráffal kapcsolatos alapfogalmak.


Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének megértése. Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, konkrét példák alapján gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása. A modellhasználati, modellalkotási képesség fejlesztése.

Ismeretek



Vegyes kombinatorikai feladatok, Modell alkotása valós Földrajz: előrejelzések, kiválasztási feladatok. A problémához: kombinatorikai tendenciák kombinatorika alkalmazása egyszerű modell. megfogalmazása geometriai feladatokban. Megosztott figyelem; két, illetve Mintavétel visszatevés nélkül és több szempont egyidejű követése. Biológia-egészségtan: visszatevéssel. genetika Matematikatörténet: Erdős Pál. Binomiális együtthatók.

Jelek szerepe, alkotása, használata: célszerű jelölés megválasztásának jelentősége a matematikában.

Gráfelméleti alapfogalmak, Modell alkotása valós alkalmazásuk. Fokszám összeg és az problémához: gráfmodell. Megfelelő, élek száma közötti összefüggés. a problémát jól tükröző ábra Matematikatörténet: Euler. készítése. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül.


2. Számtan, algebra

Órakeret 23 óra

Előzetes tudás

Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma.


Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldása megfelelő modell választásával. A matematika alkalmazása más tudományokban. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. A matematika épülésének elvei: létező fogalom újraértelmezése, kiterjesztése. A fogalmak kiterjesztése követelményeinek megértése. Függvénytulajdonság alkalmazása egyenlet megoldásánál (pl. szigorú monotonitás).

Ismeretek n-edik gyök. A négyzetgyök általánosítása.

Fejlesztési követelmények A matematika belső fejlődésének fogalmának felismerése, új fogalmak alkotása.


Hatványozás pozitív alap racionális kitevő esetén.

Hatványozás alkalmazása. azonosságok maradására.

és

Fogalmak módosítása újabb tapasztalatok, ismeretek alapján. A hatványfogalom célszerű kiterjesztése, permanenciaelv alkalmazása.

azonosságainak Ismeretek tudatos memorizálása. Példák az Ismeretek mozgósítása. érvényben

A definíciók és a hatványozás Modellek alkotása (algebrai modell): Fizika; kémia: azonosságainak közvetlen exponenciális egyenletre vezető valós radioaktivitás. alkalmazásával megoldható problémák (például: befektetés, hitel, exponenciális egyenletek. értékcsökkenés, népesség alakulása, Földrajz; biológiaradioaktivitás). egészségtan: globális problémák - demográfiai mutatók, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás. A logaritmus értelmezése. Korábbi ismeretek felidézése Technika, életvitel és Matematikatörténet: (hatvány fogalma). gyakorlat: zajszennyezés. A logaritmussal való számolás Ismeretek tudatos memorizálása. szerepe (például a KeplerKémia: pH-számítás. törvények felfedezésében). Fizika: Keplertörvények. Zsebszámológép táblázat használata.

használata,

A logaritmus azonosságai.

Annak felismerése, hogy a technika Fizika; kémia: számítási fejlődésének alapja a matematikai feladatok. tudás. A hatványozás és a logaritmus kapcsolatának felismerése.

A definíciók és a logaritmus Modellek alkotása (algebrai modell): Életvitel és gyakorlat: azonosságainak közvetlen logaritmus alkalmazásával zajszennyezés. alkalmazásával megoldható megoldható egyszerű exponenciális logaritmusos egyenletek. egyenletek; ilyen egyenletre vezető Kémia: pH-számítás. valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség Biológia-egészségtan: alakulása, radioaktivitás). érzékelés, az inger és az érzet. Kulcsfogalmak/ fogalmak

n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus.


3. Összefüggések, függvények, sorozatok

Órakeret

28 óra Előzetes tudás

Függvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. Négyzetgyök. Függvény megadása, tulajdonságai. Hegyesszög szögfüggvényeinek értelmezése.


A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. Tájékozódás az időben: lineáris folyamat, exponenciális folyamat. A matematika és a valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően. Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. Ismerethordozók használata.

Ismeretek Szögfüggvények trigonometrikus (sin, cos, tg).



kiterjesztése, A kiterjesztés szükségességének, Fizika: periodikus alapfüggvények alapgondolatának megértése. Időtől mozgás, hullámmozgás, függő periodikus jelenségek váltakozó feszültség és kezelése. áram. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS.

A trigonometrikus függvények Tudatos megfigyelés a változó Informatika: tantárgyi transzformációi: f (x )  c , f (x  c) ; szempontok és feltételek szerint. szimulációs programok használata. cf (x ) ; f (cx ) . Az exponenciális függvények.

Permanenciaelv alkalmazása.

Exponenciális folyamatok a Modellek alkotása (függvény természetben és a társadalomban. modell): a lineáris és az exponenciális növekedés/csökkenés matematikai modelljének összevetése konkrét, valós problémákban (például: népesség, energiafelhasználás, járványok stb.).

Fizika; radioaktivitás.

kémia:

Földrajz: a társadalmigazdasági tér szerveződése és folyamatai. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek; földrajz: globális kérdések: erőforrások kimerülése, fenntarthatóság, demográfiai robbanás a harmadik világban, népességcsökkenés az öregedő Európában.

A logaritmusfüggvények vizsgálata. Logaritmus alapfüggvények grafikonja, jellemzésük. A logaritmusfüggvény mint az exponenciális függvény inverze. Függvénynek és inverzének a grafikonja a koordináta-

Fizika; radioaktivitás.

kémia:

rendszerben. A számsorozat fogalma. A Sorozat megadása rekurzióval és Informatika: függvény értelmezési tartománya a képlettel. problémamegoldás pozitív egész számok halmaza. informatikai eszközökkel Matematikatörténet: Fibonacci. és módszerekkel: algoritmusok megfogalmazása, tervezése. Számtani sorozat, az n. tag, az első A sorozat felismerése, a megfelelő n tag összege. képletek használata Matematikatörténet: Gauss. problémamegoldás során. Mértani sorozat, az n. tag, az első A sorozat felismerése, a megfelelő n tag összege. képletek használata problémamegoldás során. A számtani sorozat mint lineáris függvény és a mértani sorozat mint exponenciális függvény összehasonlítása. Kamatoskamat-számítás.

Fizika; kémia, biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: exponenciális folyamatok vizsgálata.

Modellek alkotása: befektetés és hitel; különböző feltételekkel meghirdetett befektetések és hitelek vizsgálata; a hitel költségei, a törlesztés módjai. Az egyéni döntés felelőssége: az eladósodás veszélye. Korábbi ismeretek mozgósítása (pl. százalékszámítás).

Földrajz: a világgazdaság szerveződése és működése, a pénztőke működése, a monetáris világ jellemző folyamatai, hitelezés, adósság, eladósodás.

A szövegbe többszörösen mélyen beágyazott, közvetett módon megfogalmazott információk és kategóriák azonosítása.

Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. Magyar nyelv és irodalom: szövegértés.



Előzetes tudás

Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény. Exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat. Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat.

4. Geometria

Órakeret 42 óra

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hegyesszögek szögfüggvényei. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú és másodfokú egyenlet, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai

megoldása. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata. A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai

Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek, terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. A matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.

Ismeretek


Szinusztétel, koszinusztétel.


Általános eset, különleges eset Fizika: vektor viszonya (a derékszögű háromszög és felbontása adott állású a két tétel). összetevőkre. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS.

Síkidomok kerületének területének számítása.

és

Ismeretek alkalmazása.

Földrajz: felszínszámítás.

Pitagoraszi összefüggés egy szög A trigonometrikus azonosságok szinusza és koszinusza között. megértése, használata. Összefüggés a szög és a Függvénytáblázat alkalmazása mellékszöge szinusza, illetve feladatok megoldásában. koszinusza között. A tangens kifejezése a szinusz és a koszinusz hányadosaként. Egyszerű trigonometrikus A problémához hasonló egyszerű Fizika: rezgőmozgás, egyenletek. Trigonometrikus probléma keresése. adott kitéréshez, egyenletre vezető, háromszöggel sebességhez, kapcsolatos valós problémák. gyorsuláshoz tartozó Azonosság alkalmazását igénylő időpillanatok egyszerű trigonometrikus meghatározása. egyenlet. Két vektor skaláris szorzata. A A művelet újszerűségének Fizika: skaláris szorzat tulajdonságai. Két felfedezése. munka, vektor merőlegességének A szükséges és az elégséges feltétel fluxus. szükséges és elégséges feltétele. felismerése, megkülönböztetése. Helyvektor.

Emlékezés: jelek, megállapodások.

jelölések,

mechanikai mágneses

Fizika: vonatkoztatási rendszer, hely megadása.

Műveletek koordinátáikkal adott A vektor fogalmának bővítése Fizika: erők összeadása vektorokkal. Vektorok és (algebrai vektorfogalom). Sík és tér: a komponensek rendezett számpárok közötti dimenzió szemléletes fogalmának segítségével, megfeleltetés. fejlesztése. háromdimenziós képalkotás (hologram). A helyvektor koordinátái. Szakasz felezőpontjának,

Képletek értelmezése, alkalmazása.

Fizika: hely megadása.

harmadoló háromszög koordinátái.

pontjának, a súlypontjának

Két pont távolsága, a szakasz hossza. A kör egyenlete.

Képletek értelmezése, alkalmazása. Geometria összekapcsolása.

és

algebra

Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).

Az egyenes különböző megadási Megosztott figyelem; két, illetve Informatika: módjai. Az irányvektor, a több szempont egyidejű követése. ponthalmaz normálvektor, az iránytangens. megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram). Iránytangens meredeksége.

és

az

egyenes

Fizika: út-idő grafikon és a sebesség kapcsolata.

A merőlegesség megfogalmazása Geometriai ismeretek felelevenítése, skaláris szorzattal. megfogalmazása algebrai alakban. Az egyenes egyenlete. Az egyenest jellemző adatok, a Informatika: tantárgyi Két egyenes párhuzamosságának, közöttük felfedezhető összefüggések szimulációs programok merőlegességének feltétele. értése, használata. használata (geometriai szerkesztőprogram). Két egyenes metszéspontja. Geometriai probléma megoldása Kör és egyenes kölcsönös algebrai eszközökkel. Ismeretek helyzete. mozgósítása, alkalmazása (elsőfokú, illetve másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása).

Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).

A kör adott pontjában húzott A geometriai fogalmak megjelenítése Informatika: érintője. algebrai formában. Geometriai ponthalmaz ismeretek mozgósítása. megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram). A koordinátageometriai Geometriai problémák megoldása Informatika: tantárgyi ismeretek alkalmazása egyszerű algebrai eszközökkel. Geometriai szimulációs programok síkgeometriai feladatok problémák számítógépes használata (geometriai megoldásában. megjelenítése. szerkesztőprogram használata). Fizika: pályája.

égitestek

Mértani testek csoportosítása. A problémához illeszkedő vázlatos Informatika: tantárgyi Hengerszerű testek (hasábok és ábra alkotása; síkmetszet elképzelése, szimulációs programok hengerek), kúpszerű testek (gúlák ábrázolása. Fogalomalkotás közös használata és kúpok), csonka testek (csonka tulajdonság szerint (hengerszerű, (térgeometriai

gúla, csonka kúp). Gömb.

kúpszerű testek, poliéderek).

szimulációs program). Kémia: kristályok.

A tanult testek felszínének, A valós problémákhoz modell Informatika: tantárgyi térfogatának kiszámítása. alkotása: geometriai modell. szimulációs programok Gyakorlati feladatok. Ismeretek megfelelő csoportosítása. használata (térgeometriai szimulációs program). Kulcsfogalmak/ fogalmak

Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris szorzat. Ponthalmaz egyenlete; kétismeretlenes egyenletnek megfelelő ponthalmaz. Felszín, térfogat.



Órakeret 20 óra

Előzetes tudás

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a véletlen kísérlet fogalma. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek.


Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek értelmezése az események között. Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűség matematikai fogalmának fejlesztése. Véletlen mintavétel módszerei jelentőségének megértése.

Ismeretek Eseményekkel végzett műveletek. Példák események összegére, szorzatára, komplementer eseményre, egymást kizáró eseményekre. Elemi események. Események előállítása elemi események összegeként. Példák független és nem független eseményekre.



A matematika különböző területei Informatika: közötti kapcsolatok tudatosítása. folyamatok, Logikai műveletek, halmazműveletek kapcsolatok leírása és események közötti műveletek logikai áramkörökkel. összekapcsolása.

Véletlen esemény, valószínűség. A véletlen kísérletekből számított A valószínűség matematikai relatív gyakoriság és a valószínűség definíciójának bemutatása kapcsolata. példákon keresztül. A valószínűség klasszikus modellje. Matematikatörténet: Rényi: Levelek a valószínűségről.

A modell és a valóság kapcsolata.

Egyszerű valószínűség-számítási Ismeretek mozgósítása, tanult Fizika: az űrkutatás problémák. kombinatorikai módszerek hatása alkalmazása. mindennapjainkra, a találkozás valószínűsége.

Statisztikai mintavétel. Modell alkotása (valószínűségi Informatika: tantárgyi Valószínűségek visszatevéses modell): a mintavételi eljárás lényege. szimulációs programok mintavétel esetén. Visszatevés használata. nélküli mintavétel. Adathalmazok jellemzői: átlag, A statisztikai kimutatások és a medián, módusz, terjedelem, valóság: az információk kritikus szórás. Nagy adathalmazok értelmezése, az esetleges jellemzése statisztikai mutatókkal. manipulációs szándék felfedeztetése. Közvélemény-kutatás, minőségellenőrzés, egyéb gyakorlati alkalmazások elemzése. Számológép/számítógép használata statisztikai mutatók kiszámítására. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számítási modell. Szórás.


Rendszerező összefoglalás

Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai

Órakeret 40 óra

A középiskolai matematika anyaga. A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése.

Ismeretek



Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazok. Ponthalmazok és A problémának megfelelő számhalmazok. Valós számok szemléltetés kiválasztása (Vennhalmaza és részhalmazai. diagram, számegyenes, koordinátarendszer). Állítások logikai értéke. Logikai Szövegértés. A szövegben található Filozófia: logika - a műveletek. információk összegyűjtése, következetes és rendszerezése. rendezett gondolkodás elmélete, a logika kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez. Informatika: Egy bizonyos, nemrég történt esemény információinak begyűjtése több párhuzamos forrásból, ezek összehasonlítása,

elemzése, az igazságtartalom keresése, a manipulált információ felfedése. Navigációs eszközök használata: hierarchizált és legördülő menük használata. A halmazelméleti és a logikai ismeretek kapcsolata.

Halmazok eszközjellegű használata.

Definíció és tétel. A tétel Emlékezés a tanult definíciókra és bizonyítása. A tétel megfordítása. tételekre, alkalmazásuk önálló problémamegoldás során. Bizonyítási módszerek.

Direkt és indirekt bizonyítás közötti Filozófia: különbség megértése. Néhány szillogizmusok. tipikusan hibás következtetés bemutatása, elemzése.

Kombinatorika: leszámlálási Sorbarendezési és kiválasztási feladatok. Egyszerű feladatok problémák felismerése. megoldása gráfokkal. Gondolatmenet szemléltetése gráffal. Műveletek értelmezése műveleti tulajdonságok.

és

Absztrakt fogalom és annak konkrét megjelenései: valós számok halmazán értelmezett műveletek, halmazműveletek, logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel. Számtan, algebra

Gyakorlati számítások.

Kerekítés, közelítő érték, becslés. Technika, életvitel és Számológép használata, értelmes gyakorlat: alapvető kerekítés. adózási, biztosítási, egészség-, nyugdíj- és társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek.

Egyenletek és egyenlőtlenségek.

Megoldások az értelmezési megoldáshalmaz kezelésével.

alaphalmaz, tartomány, megfelelő

Algebrai azonosságok, Az azonosságok szerepének hatványozás azonosságai, ismerete, használatuk. Matematikai logaritmus azonosságai, fogalmak fejlődésének bemutatása pl. trigonometrikus azonosságok. a hatvány, illetve a szögfüggvények példáján. Egyenletek és egyenlőtlenségek

Adott egyenlethez illő megoldási

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: képletek használata

megoldása. Algebrai megoldás, módszer önálló kiválasztása. grafikus megoldás. Ekvivalens Az önellenőrzésre való képesség. egyenletek, ekvivalens Önfegyelem fejlesztése: sikertelen átalakítások. A megoldások megoldási kísérlet után újjal való ellenőrzése. próbálkozás. Első- és másodfokú egyenlet és Tanult egyenlettípusok és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös egyenlőtlenségtípusok önálló egyenletek. Abszolút értéket megoldása. tartalmazó egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek. Elsőfokú és egyszerű másodfokú A tanult megoldási módszerek biztos kétismeretlenes egyenletrendszer alkalmazása. megoldása. Egyenletekre, egyenlőtlenségekre Matematikai modell (egyenlet, Fizika; kémia; biológiavezető gyakorlati életből vett és egyenlőtlenség) megalkotása, egészségtan; földrajz; szöveges feladatok. vizsgálatok a modellben, ellenőrzés. történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek. Összefüggések, függvények, sorozatok A függvény megadása. függvények tulajdonságai.

A

Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése, ismerete. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás fogalmak alkalmazása konkrét feladatokban. Az alapfüggvények ábrázolása és tulajdonságai.

A tanult alapfüggvények ismerete.

Képi emlékezés statikus helyzetekben (grafikonok felidézése).

Függvénytranszformációk: Kapcsolat a matematika két területe f (x )  c , f (x  c) ; cf (x ) ; f (cx ) . között: függvénytranszformációk és Eltolás, nyújtás és összenyomás a geometriai transzformációk. tengelyre merőlegesen. Függvényvizsgálat szempontok szerint.

a

tanult

Emlékezés, ismeretek mozgósítása. Függvények használata valós Fizika, kémia; biológiafolyamatok elemzésében. egészségtan; földrajz; Függvény alkalmazása matematikai történelem, társadalmi modell készítésében. és állampolgári ismeretek: matematikai modellek. Geometria

Geometriai ponthalmazok.

alapfogalmak,

Térelemek kölcsönös helyzete, Valós problémában a megfelelő távolsága, szöge. geometriai fogalom felismerése, Távolságok és szögek kiszámítása. alkalmazása. Geometriai transzformációk. Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál. Egybevágóság, Szimmetriák.

hasonlóság.

Szerepük felfedezése művészetekben, játékokban, gyakorlati jelenségekben.

Háromszögekre vonatkozó tételek Állítások, tételek jelentésére való és alkalmazásuk. emlékezés. A háromszög nevezetes vonalai, A problémának megfelelő pontjai és körei. Összefüggések a összefüggések felismerése, háromszög oldalai, oldalai és szögei alkalmazása. között. A derékszögű háromszög oldalai, oldalai és szögei közötti összefüggések. Négyszögekre vonatkozó tételek Állítások, tételek jelentésére való és alkalmazásuk. emlékezés. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai. Körre vonatkozó tételek alkalmazásuk. Számítási feladatok.

és

Vektorok, vektorok koordinátái. Bázisrendszer. Matematikatörténet: a vektor fogalmának fejlődése a fizikai vektorfogalomtól a rendezett szám n-esig. Vektorok alkalmazásai. Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Geometria Két alakzat közös pontja. összekapcsolása. Matematikatörténet: nevezetes szerkeszthetőségi problémák.

és

algebra

Valószínűség-számítás, statisztika Diagramok. Statisztikai mutatók: Adathalmazok jellemzése önállóan Magyar nyelv és módusz, medián, átlag, szórás. választott mutatók segítségével. A irodalom: a tartalom reprezentatív minta jelentőségének értékelése hihetőség megértése. szempontjából; a szöveg hitelességével kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a

kétértelmű, többjelentésű tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Véletlen esemény valószínűsége. A valószínűség kiszámítása a klasszikus modell alapján. A véletlen törvényszerűségei.

A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésének felfedezése a termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a társadalmi folyamatokban. A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek felismerése.

Technika, életvitel és gyakorlat; biológiaegészségtan: szenvedélybetegségek és rizikófaktor.

A Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma


Helyi Tanterv - Matematika

Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési tartomány. Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen, valószínűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távolság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell.

Gondolkodási és megismerési módszerek A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása. A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában. Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából. – A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. – A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével tudjanak kombinatorikai problémákat jól megoldani – A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek tudásukban, alkalmazzák ismereteiket a feladatmegoldásban is. – – – – –

Számtan, algebra A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete. A logaritmus fogalmának ismerete. A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából. – Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szöveg alapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése. – A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult új műveletek felhasználásával. – Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban. – – –


Összefüggések, függvények, sorozatok – Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása. – Függvénytranszformációk végrehajtása. – Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete. – Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése. – A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások. – Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról.

Geometria – Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében. – A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. – A valós problémákhoz geometriai modell alkotása. – Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása. – Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása.

A Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma – –

Helyi Tanterv - Matematika

Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazása. A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása. Valószínűség, statisztika

– – – – – –

– – – – – – –

– –

Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében. A valószínűség matematikai fogalma. A valószínűség klasszikus kiszámítási módja. Mintavétel és valószínűség. A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni. Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok korlátait, érvényességi körét. Összességében A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat. Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat. Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni. Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket. Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni. A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket. A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége. A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek a matematika alapvető kultúrtörténeti ismereteivel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire.

Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma Helyi tanterv Matematika

Recommend Documents