Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 𝟒, hetedik eleme 𝟔𝟒. Számítsd ki a sorozat második tagját! Megoldás: Először számítsuk ki a sorozat hányadosát: 𝑎7 = 𝑎3 ∙ 𝑞 4 →
64 = 4𝑞 4
→
𝑞1 = 2
és
𝑞2 = −2
Ezek alapján két megoldás adódik: 𝑞 = 2 esetén:
𝑎3 = 𝑎2 ∙ 𝑞
→
4 = 2𝑎2
→
𝑎2 = 2
𝑞 = −2 esetén:
𝑎3 = 𝑎2 ∙ 𝑞
→
4 = (−2) ∙ 𝑎2
→
𝑎2 = −2
2. Egy mértani sorozat első tagja 𝟕, kvóciense 𝟐. Írd fel a sorozat általános (𝒏 - edik) tagját! Mennyi a sorozat első 𝟓 tagjának összege? Tagja - e a sorozatnak a 𝟒𝟒𝟖? Megoldás: Írjuk fel a sorozat általános (𝑛 - edik) tagját: 𝑎𝑛 = 7 ∙ 2𝑛−1 . Írjuk fel a sorozat első 5 tagjának összegét: 𝑆5 = 7 ∙
25 −1 2−1
= 217.
Amennyiben tagja a sorozatnak a 448, akkor legyen 𝑎𝑛 = 448, s számoljuk ki az 𝑛 értékét. Írjuk fel a következő egyenletet: 7 ∙ 2𝑛−1 = 448. Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy 𝑛 = 7. Ezek alapján a 448 a sorozat hetedik tagja.
3. Egy mértani sorozat negyedik és második tagjának különbsége 𝟏𝟖. Az ötödik és harmadik tag különbsége 𝟑𝟔. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Megoldás: Az adatokat 𝑎1 és 𝑞 segítségével felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: 𝑎4 − 𝑎2 = 18 } 𝑎5 − 𝑎3 = 36
→
𝑎1 ∙ 𝑞 3 − 𝑎1 ∙ 𝑞 = 18 } 𝑎1 ∙ 𝑞 4 − 𝑎1 ∙ 𝑞 2 = 36 1
→
𝑎1 ∙ 𝑞 ∙ (𝑞 2 − 1) = 18 } 𝑎1 ∙ 𝑞 2 ∙ (𝑞 2 − 1) = 36
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A második egyenletet elosztva az első egyenlettel a következő adódik: 𝑞 = 2. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 3.
4. Egy mértani sorozat második eleme 𝟔, ötödik eleme 𝟏𝟔𝟐. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű? Megoldás: Először számoljuk ki a sorozat első elemét és hányadosát: 𝑎5 = 𝑎2 ∙ 𝑞 3
→
162 = 6𝑞 3
→
𝑞=3
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞
→
6 = 3𝑎1
→
𝑎1 = 2
A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb háromjegyű szám a 999, és tudjuk, hogy a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek. Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget, s számoljuk ki az 𝑛 értékét: 10 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 999
→
lg 15 ≤ lg 3𝑛 ≤ lg 1498,5
10 ≤ 2 ∙ 3𝑛−1 ≤ 999 →
→
lg 15 ≤ 𝑛 ∙ lg 3 ≤ lg 1498,5
15 ≤ 3𝑛 ≤ 1 498,5 →
2,5 ≤ 𝑛 ≤ 6,65
Mivel 𝑛 csak egész szám lehet így a következő adódik: 𝑛 = 3; 4; 5; 6. Ezek alapján 4 olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű.
5. Egy növekvő mértani sorozat első három tagjának összege 𝟑𝟏. Az első és harmadik tag összege 𝟐𝟔. Mennyi a sorozat első tagja és kvóciense? Megoldás: Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: 𝑎1 + 𝑎3 = 26 } 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 31
→
𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞 2 = 26 } 𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞 + 𝑎1 ∙ 𝑞 2 = 31 5
A második egyenletből az elsőt kivonva, rendezés után a következő adódik: 𝑎1 = 𝑞.
2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s a következő adódik: 5𝑞 2 − 26𝑞 + 5 = 0. 1
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 5 és 𝑞2 = 5. Mivel a sorozat növekvő, ezért a 𝑞2 nem felel meg a feladatnak. 5
Ezek alapján a megoldás: 𝑞 = 5 és 𝑎1 = 5 = 1.
6. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 𝟏𝟏𝟐, a következő három tagjának összege 𝟏𝟒. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Megoldás: Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: 𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞 + 𝑎1 ∙ 𝑞 2 = 112 } 𝑎1 ∙ 𝑞 3 + 𝑎1 ∙ 𝑞 4 + 𝑎1 ∙ 𝑞 5 = 14
→
𝑎1 ∙ (1 + 𝑞 + 𝑞 2 ) = 112 } 𝑎1 ∙ 𝑞 3 ∙ (1 + 𝑞 + 𝑞 2 ) = 14 1
A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: 𝑞 = 2. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 64.
7. Egy mértani sorozat első négy tagjának összege 𝟏𝟓, a második, harmadik, negyedik és ötödik tag összege pedig 𝟑𝟎. Melyik ez a sorozat? Megoldás: Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: 𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞 2 + 𝑎1 · 𝑞 3 = 15 } 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞 2 + 𝑎1 · 𝑞 3 + 𝑎1 · 𝑞 4 = 30
→
𝑎1 · (1 + 𝑞 + 𝑞 2 + 𝑞 3 ) = 15 } 𝑎1 · 𝑞 · (1 + 𝑞 + 𝑞 2 + 𝑞 3 ) = 30
A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: 𝑞 = 2. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 1.
3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 8. Egy mértani sorozat első és harmadik tagjának összege 𝟐𝟓, a második és negyedik tag összege 𝟓𝟎. Melyik ez a sorozat? Megoldás: Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: 𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 2 = 25 } 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞 3 = 50
→
𝑎1 · (1 + 𝑞 2 ) = 25 } 𝑎1 · 𝑞 · (1 + 𝑞 2 ) = 50
A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: 𝑞 = 2. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 5.
9. Egy mértani sorozat első három tagjának összege nyolcadrésze a következő három tag összegének. Mennyi a sorozat hányadosa? Megoldás: Írjuk fel a következő egyenletet: 8 · (𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞 2 ) = 𝑎1 · 𝑞 3 + 𝑎1 · 𝑞 4 + 𝑎1 · 𝑞 5 . Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: 8 · 𝑎1 · (1 + 𝑞 + 𝑞 2 ) = 𝑎1 · 𝑞 3 · (1 + 𝑞 + 𝑞 2 ). Ezek alapján a megoldás: 𝑞 = 2.
10. Egy mértani sorozat harmadik tagja 𝟑𝟔 – tal nagyobb a másodiknál. E két tag szorzata −𝟐𝟒𝟑. Mennyi a sorozat első tagja? Megoldás: Legyen 𝑎3 = 𝑎2 + 36. Írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎2 ∙ (𝑎2 + 36) = −243. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑎2 2 + 36𝑎2 + 243 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑎21 = −9 és 𝑎22 = −27. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha 𝑎2 = −9, akkor 𝑎3 = 27; 𝑞 = −3 és 𝑎1 = 3. 1
Ha 𝑎2 = −27, akkor 𝑎3 = 9; 𝑞 = − 3 és 𝑎1 = 81.
4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 11. Egy mértani sorozat ötödik és hetedik tagja is −𝟏𝟐. Mennyi az első tíz tag összege? Megoldás: Írjuk fel a következő egyenletet: −12 = (−12) ∙ 𝑞 2 . Ebből azt kapjuk, hogy 𝑞1 = 1 és 𝑞2 = −1. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha 𝑞 = 1, akkor 𝑎1 = −12 és 𝑆10 = 10 ∙ (−12) = −120. Ha 𝑞 = −1, akkor 𝑎1 = −12 és 𝑆10 = 12 ∙
(−1)10 −1 −1−1
= 0.
12. Hány tagot kell összeadnunk az első tagtól kezdve az 𝒂𝒏 = 𝟑 ∙ 𝟐𝒏 sorozatból, hogy az összeg 𝟏 milliónál nagyobb legyen? Megoldás: A szöveg alapján a következő adatokat tudjuk: 𝑎1 = 6 és 𝑞 = 2. Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: 6 ∙
2𝑛 −1 2−1
≥ 1 000 000.
Az egyenlőtlenséget rendezve azt kapjuk, hogy 𝑛 ≥ 17,34. Ezek alapján legalább 18 tagot kell összeadni a feltétel teljesüléséhez.
13. Egy számtani sorozat második tagja 𝟕, s e sorozat első, harmadik és nyolcadik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a mértani sorozat hányadosát! Megoldás: Legyenek a tagok sorrendben a következők:
7−𝑑
7+𝑑
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. 7+𝑑
Írjuk fel a következő egyenletet: 7 − 𝑑 =
7 + 6𝑑 7+𝑑
.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑑2 − 3𝑑 = 0. Ebből azt kapjuk, hogy 𝑑1 = 0 és 𝑑2 = 3.
5
7 + 6𝑑
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Ezek alapján két megoldás adódik: Ha 𝑑 = 0, akkor a sorozat tagjai 7; 7; 7, vagyis 𝑞 = 1. 3
Ha pedig 𝑑 = 3, akkor a sorozat tagjai 4; 10; 25, vagyis 𝑞 = 2.
14. Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 𝟓 – öt, 𝟔 – ot, 𝟗 – et és 𝟏𝟓 – öt adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozd meg a mértani sorozat hányadosát! Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2
𝑎2 + 𝑑
𝑎2 + 2𝑑
A mértani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑 + 5
𝑎2 + 6
𝑎2 + 𝑑 + 9
𝑎2 + 2𝑑 + 15
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 𝑎2 + 6 𝑎2
= −𝑑+5
𝑎2 + 𝑑 + 9 𝑎2 + 6
=
𝑎2 + 𝑑 + 9 𝑎2 + 6
𝑎2 + 2𝑑 + 15 𝑎2 + 𝑑 + 9
}
Az egyenletrendszert rendezve a következő adódik: 𝑎2 = 2𝑑. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy 𝑑1 = 3 és 𝑑2 = −3. 3
Ha 𝑑 = 3, akkor 𝑎2 = 6 és a sorozat tagjai: 8; 12; 18; 27. Ezek alapján 𝑞 = 2. Ha 𝑑 = −3, akkor 𝑎2 = −6 és a sorozat tagjai: 2; 0; 0; 3 . Ez nem mértani sorozat.
15. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 𝟐𝟎. A második, a harmadik és az ötödik tag ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎3 − 2𝑑
𝑎3 − 𝑑
𝑎3
A mértani sorozat tagjai:
𝑎3 − 𝑑
𝑎3
𝑎3 + 2𝑑
6
𝑎3 + 𝑑
𝑎3 + 2𝑑
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: 𝑎3 = 4. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba:
4−𝑑
4
4 + 2𝑑
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. 4
Írjuk fel a következő egyenletet: 4 − 𝑑 =
4 + 2𝑑 4
.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 2𝑑 2 − 4𝑑 = 0. Ebből azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 0 és 𝑑2 = 2. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha 𝑑 = 2, akkor a számtani sorozat tagjai 0, 2, 4, 6, 8; a mértanié pedig 2, 4, 8. Ha 𝑑 = 0, akkor a számtani sorozat tagjai 4, 4, 4, 4, 4; a mértanié pedig 4, 4, 4.
16. Egy növekvő számtani sorozat első három elemének összege 𝟓𝟒. Ha az első elemet változatlanul hagyjuk, a másodikat 𝟗 - cel, a harmadikat 𝟔 - tal csökkentjük, akkor egy mértani sorozat három egymást követő elemét kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2
𝑎2 + 𝑑
A mértani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2 − 9
𝑎2 + 𝑑 − 6
A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: 𝑎2 = 18. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba:
18 − 𝑑
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. 9
Írjuk fel a következő egyenletet: 18 − 𝑑 =
12 + 𝑑 9
.
7
9
12 + 𝑑
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑2 − 6𝑑 − 135 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 15 és 𝑑2 = −9. Mivel növekvő számtani sorozatról van szó, így a 𝑑2 nem felel meg a feladatnak. Ezek alapján a megoldás: a számtani sorozat tagjai 3, 18, 33; a mértanié pedig 3, 9, 27.
17. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 𝟑𝟓. Ha a harmadik számot 𝟓 - tel csökkentjük, egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2
𝑎2 + 𝑑
A mértani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2
𝑎2 + 𝑑 + 5
A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: 𝑎2 = 10. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba:
10 − 𝑑
10
15 + 𝑑
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. 10
Írjuk fel a következő egyenletet: 10 − 𝑑 =
15 + 𝑑 10
.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑2 + 5𝑑 − 50 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 5 és 𝑑2 = −10. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha 𝑑 = 5, akkor a számtani sorozat tagjai 5, 10, 15; a mértanié pedig 5, 10, 20. Ha 𝑑 = −10, akkor a számtani sorozat tagjai 20, 10, 0; a mértanié pedig 20, 10, 5.
8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 18. Egy mértani sorozat első három elemének összege 𝟒𝟐. Ugyanezek a számok egy növekvő számtani sorozat első, második és hatodik elemei. Melyek ezek a számok? Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎1
𝑎1 + 𝑑
𝑎1 + 5𝑑
A mértani sorozat tagjai:
𝑎1
𝑎1 + 𝑑
𝑎1 + 5𝑑
A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: 𝑎1 = 14 − 2𝑑. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba:
14 − 2𝑑
14 − 𝑑
14 + 3𝑑
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. 14 − 𝑑
Írjuk fel a következő egyenletet: 14 − 2𝑑 =
14 + 3𝑑 14 − 𝑑
.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 7𝑑 2 − 42𝑑 = 0. Ebből azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 0 és 𝑑2 = 6. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha 𝑑 = 0, akkor 𝑎1 = 14 és a mértani sorozat tagjai 14, 14, 14. Ha 𝑑 = 6, akkor 𝑎1 = 2 és a mértani sorozat tagjai 2, 8, 32.
19. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjához rendre 𝟏 - et, 𝟏𝟒 - et és 𝟐 - t adva egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek összege 𝟏𝟓𝟎. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2
𝑎2 + 𝑑
A mértani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑 − 1
𝑎2 − 14
𝑎2 + 𝑑 − 2
A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: 𝑎2 = 50. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 9
49 − 𝑑
36
48 + 𝑑
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. 36
Írjuk fel a következő egyenletet: 49−𝑑 =
48 + 𝑑 36
.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑2 − 𝑑 − 1056 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 33 és 𝑑2 = −32. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha 𝑑 = 33, akkor számtani sorozat tagjai 17, 50, 83; a mértanié pedig 16, 36, 81. Ha 𝑑 = −32, akkor számtani sorozat tagjai 82, 50, 18; a mértanié pedig 81, 36, 16.
20. Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 𝟔 - ot, 𝟕 - et és 𝟏𝟐 - t adva egy olyan mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek szorzata 𝟏𝟑 𝟖𝟐𝟒. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! Megoldás: A számtani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑
𝑎2
𝑎2 + 𝑑
A mértani sorozat tagjai:
𝑎2 − 𝑑 + 6
𝑎2 + 7
𝑎2 + 𝑑 + 12
Mértani sorozat esetén egy elem négyzete megegyezik a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával: (𝑎2 – d + 6) ∙ (𝑎2 + d + 12) = (𝑎2 + 7)2 . Írjuk fel a következő egyenletet: (𝑎2 + 7) ∙ (𝑎2 + 7)2 = 13 824. Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑎2 = 17. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba:
23 − 𝑑
24
29 + 𝑑
Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. 24
Írjuk fel a következő egyenletet: 23 − 𝑑 =
29 + 𝑑 24
.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑑2 + 6𝑑 − 91 = 0. 10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑑1 = 7 és 𝑑2 = −13. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha 𝑑 = 7, akkor a számtani sorozat tagjai 10, 17, 24; a mértanié pedig 16, 24, 36. Ha 𝑑 = −13, akkor a számtani sorozat tagjai 30, 17, 4; a mértanié pedig 36, 24, 16.
21. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának szorzata 𝟔𝟒. Ha az első elemhez hozzáadunk 𝟏 – et, a másodikhoz 𝟒 – et, a harmadikhoz pedig 𝟓 – öt, akkor egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Melyek a sorozatok tagjai? Megoldás: A mértani sorozat tagjai: A számtani sorozat tagjai:
𝑎2 𝑞 𝑎2 𝑞
+1
𝑎2
𝑎2 ∙ 𝑞
𝑎2 + 4
𝑎2 ∙ 𝑞 + 5
A mértani sorozat tagjait összeszorozva rendezés után a következő adódik: 𝑎2 = 4. Ezt helyettesítsük vissza a számtani sorozat tagjaiba:
4
+1
𝑞
8
4𝑞 + 5
Számtani sorozat esetén a szomszédos tagok különbsége megegyezik. 4
Írjuk fel a következő egyenletet: 8 − (𝑞 + 1) = 4𝑞 + 5 − 8. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2𝑞 2 − 5𝑞 + 2 = 0. 1
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 2 és 𝑞2 = 2. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha 𝑞 = 2, akkor a mértani sorozat tagjai 2, 4, 8; a számtanié pedig 3, 8, 13. 1
Ha 𝑞 = 2, akkor a mértani sorozat tagjai 8, 4, 2; a számtanié pedig 9, 8, 7.
11
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 22. Egy mértani sorozat négy egymást követő tagja közül a két szélső összege 𝟏𝟏𝟐, a két középső összege 𝟒𝟖. Mennyi a sorozat hányadosa? Megoldás: A mértani sorozat tagjai:
𝑎1
𝑎1 · 𝑞 2
𝑎1 · 𝑞
𝑎1 · 𝑞 3
Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 3 = 112 } 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞 2 = 48
→
𝑎1 · (1 + 𝑞 3 ) = 112 } → 𝑎1 · 𝑞 · (1 + 𝑞) = 48
𝑎1 · (1 + 𝑞) · (1 − 𝑞 + 𝑞 2 ) = 112 } 𝑎1 · 𝑞 · (1 + 𝑞) = 48
Az első egyenletet elosztva a másodikkal a következőt kapjuk:
1−𝑞+𝑞 2 𝑞
7
= 3.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3𝑞 2 − 10𝑞 + 3 = 0. 1
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 3 és 𝑞2 = 3.
23. Egy pozitív tagú mértani sorozat első és kilencedik tagjának szorzata 𝟐𝟑𝟎𝟒, a negyedik és hatodik tag összege 𝟏𝟐𝟎. Határozd meg a sorozat első elemét és a hányadosát! Megoldás: Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 𝑎1 · 𝑎9 = 2304 } 𝑎4 + 𝑎6 = 120
→
𝑎1 2 · 𝑞 8 = 2304 𝑎5 } + 𝑎5 · 𝑞 = 120 𝑞
Az első egyenletből azt kapjuk, hogy (𝑎1 · 𝑞 4 )2 = 2304, vagyis 𝑎51 = 48 és 𝑎52 = −48. Mivel a sorozat pozitív tagú, így az 𝑎52 nem felel meg a feladatnak. Ezt helyettesítsük vissza a második egyenletbe:
48 𝑞
+ 48𝑞 = 120.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2𝑞 2 − 5𝑞 + 2 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 2, vagy 𝑞2 = 0,5. Ezek alapján két megoldás adódik: 𝑞1 = 2 esetén 𝑎1 = 3, ha pedig 𝑞1 = 0,5, akkor 𝑎1 = 768.
12
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 24. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának összege 𝟏𝟐𝟔, szorzata 𝟏𝟑 𝟖𝟐𝟒. Határozd meg a sorozat hányadosát! Megoldás: A mértani sorozat tagjai:
𝑎2
𝑎2
𝑞
𝑎2 · 𝑞
Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 𝑎2 𝑞 𝑎2 𝑞
+ 𝑎2 + 𝑎2 · 𝑞 = 126 · 𝑎2 · 𝑎2 · 𝑞 = 13824
}
A második egyenletet rendezve a következőt kapjuk: 𝑎2 = 24. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe:
24 𝑞
+ 24 + 24𝑞 = 126.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 4𝑞 2 − 17𝑞 + 4 = 0 1
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑞1 = 4, vagy 𝑞2 = 4.
25. Egy mértani sorozat első négy tagjának összege 𝟎. A sorozat harmadik tagja 𝟕. Határozd meg a 𝟐𝟎𝟎𝟖. tagot! Megoldás: Írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎1 ·
𝑞 4 −1 𝑞−1
= 0.
Egy szorzat értéke csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ebből azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 0, vagy
𝑞 4 −1 𝑞−1
= 0.
Az 𝑎1 = 0 nem lehetséges, mert akkor minden tag 0 lenne.
A
𝑞 4 −1 𝑞−1
= 0 egyenletből azt kapjuk, hogy 𝑞1 = −1, vagy 𝑞2 = 1.
A 𝑞2 nem lehetséges, mert akkor minden tag 7 lenne, melyek összeg nem 0. Ezek alapján a megoldás: 𝑞 = −1 esetén 𝑎2008 = 7 · (−1)2005 = −7.
13
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 26. Egy mértani sorozat első 𝟓 tagjának az összege 𝟏𝟓𝟓, e számok reciprokának az összege 𝟎, 𝟑𝟖𝟕𝟓. Határozd meg ennek az öt tagnak a szorzatát! Megoldás: Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞 2 + 𝑎1 · 𝑞 3 + 𝑎1 · 𝑞 4 = 155 1 𝑎1
+𝑎
1
1 ·𝑞
+𝑎
1
2 1 ·𝑞
+𝑎
1
3 1 ·𝑞
+𝑎
1
4 1 ·𝑞
= 0,3875
}
→
𝑎1 · (1 + 𝑞 + 𝑞 2 + 𝑞 3 + 𝑞 4 ) = 155 1+𝑞+𝑞2 +𝑞3 +𝑞 4 𝑎1
·𝑞 4
= 0,3875
}
Az első egyenletet elosztva a második egyenlettel a következőt kapjuk: 𝑎1 2 · 𝑞 4 = 400. Ebből azt kapjuk, hogy (𝑎1 · 𝑞 2 )2 = 400, vagyis 𝑎31 = 20 és 𝑎32 = −20. A 𝑎32 = −20 nem felel meg a feladat szövegének. 20
Ezek alapján a megoldás: 𝑞2 ·
20 𝑞
· 20 · 20𝑞 · 20𝑞 2 = 3 200 000.
27. Egy mértani sorozat első tagja 𝟐. A sorozat első néhány tagjának az összege 𝟔𝟐, ugyanezen tagok reciprokának összege pedig 𝟎, 𝟔𝟐. Melyik ez a sorozat? Megoldás: Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 2 + 2𝑞 + 2𝑞 2 + ⋯ + 2 · 𝑞 𝑛−1 = 62 1
1
1
1
+ 2𝑞 + 2𝑞2 + ⋯ + 2 · 𝑞𝑛−1 = 0,62 2
}
→
1 + 𝑞 + 𝑞 2 + ⋯ + 𝑞 𝑛−1 = 31 1+𝑞+𝑞 2 +⋯+𝑞𝑛−1 𝑞 𝑛−1
= 1,24
}
Az első egyenletet elosztva a második egyenlettel a következőt kapjuk: 𝑞 𝑛−1 = 25.
Az első egyenletet alakítsuk át a következőképpen: 1 · 24
Helyettesítsük be a kapott értéket: 𝑞−1 + 25 = 31. Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑞 = 5. Ezek alapján a megoldás: 𝑎𝑛 = 2 · 5𝑛−1
14
𝑞 𝑛−1 −1 𝑞−1
+ 𝑞 𝑛−1 = 31.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 28. Egy mértani sorozat első tagja 𝟎, 𝟏. Az első négy tag összege 𝟏 – gyel nagyobb a sorozat hányadosánál. Határozd meg a sorozat első négy tagját! Megoldás: Írjuk fel a következő egyenletet: 0,1 ∙
𝑞4 − 1 𝑞−1
= 𝑞 + 1.
Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: 0,1 ∙
(𝑞 2 + 1) ∙ (𝑞 − 1) ∙ (𝑞 + 1) 𝑞−1
= 𝑞 + 1.
Ebből azt kapjuk, hogy 𝑞1 = −1, 𝑞2 = −3 és 𝑞3 = 3. Ezek alapján három megoldás is adódik: Ha 𝑞 = −1, akkor a sorozat első négy tagja: 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = −0,1; 𝑎3 = 0,1; 𝑎4 = −0,1. Ha 𝑞 = −3, akkor a sorozat első négy tagja: 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = −0,3; 𝑎3 = 0,9; 𝑎4 = −2,7. Ha 𝑞 = 3, akkor a sorozat első négy tagja: 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = 0,3; 𝑎3 = 0,9; 𝑎4 = 2,7.
29. Öt szám közül az első három egy mértani, a négy utolsó pedig egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A négy utolsó szám összege 𝟐𝟎, a második és az ötödik szám szorzata 𝟏𝟔. Melyik ez az öt szám? Megoldás: Legyen az öt szám: 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒. Számtani sorozat esetén teljesül a következő: 𝑏 + 𝑒 = 𝑐 + 𝑑. Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 𝑏 + 𝑒 = 10 } 𝑏 ∙ 𝑒 = 16 Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: 𝑏 = 10 − 𝑒. Ezt helyettesítsük a második egyenletbe: 𝑒 2 − 10𝑒 + 16 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑒1 = 2 és 𝑒2 = 8. Ha 𝑒 = 2, akkor 𝑏 = 8. A számtani sorozatból azt kapjuk, hogy 𝑐 = 6 és 𝑑 = 4. 8
6
32
𝑎
8
3
A mértani sorozatból pedig = adódik, vagyis 𝑎 = 15
.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Ha 𝑒 = 8, akkor 𝑏 = 2. A számtani sorozatból azt kapjuk, hogy 𝑐 = 4 és 𝑑 = 6. 2
4
A mértani sorozatból pedig 𝑎 = 2 adódik, vagyis 𝑎 = 1. 32
Ezek alapján a megoldások: 1; 2; 4; 6; 8 és 8; 6; 4; 2; 3 .
30. Egy mértani sorozat második tagja négyszer akkora, mint a negyedik tagja. A harmadik és az ötödik tag szorzata 𝟏𝟎𝟎. Melyik ez a sorozat? Megoldás: Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 𝑎1 · 𝑞 = 4 · 𝑎1 · 𝑞 3 } 𝑎1 · 𝑞 2 · 𝑎1 · 𝑞 4 = 100 1
1
Az első egyenletből a következőt kapjuk: 𝑞1 = 2 és 𝑞2 = − 2. Mindkét hányados esetén a második egyenletből a következő adódik: 𝑎1 2 = 6400. Ebből a következőt kapjuk: 𝑎11 = 80 és 𝑎12 = −80. Ezek alapján négy megoldás adódik: 1 𝑛−1
1 𝑛−1
𝑎𝑛 = 80 · (2)
𝑎𝑛 = 80 · (− 2)
1 𝑛−1
1 𝑛−1
𝑎𝑛 = −80 · (2)
𝑎𝑛 = −80 · (− 2)
31. Az 𝒂𝒏 mértani sorozat első négy tagjának az összege 𝟖𝟏. Tudjuk továbbá, hogy 𝒂𝟒 −𝒂𝟏 𝟏𝟑 = 𝟑 . Melyik ez a sorozat? 𝒂 −𝒂 𝟑
𝟐
Megoldás: Alakítsuk át a megadott képletet a következőképpen: 𝑎4 −𝑎1 𝑎3 −𝑎2
=𝑎
𝑎1 · 𝑞 3 − 𝑎1
1
· 𝑞2
− 𝑎1
𝑎 · (𝑞3 −1)
= 𝑎 1· 𝑞 · (𝑞−1) = ·𝑞 1
𝑎1 · (𝑞−1) · (𝑞 2 +𝑞+1) 𝑎1 · 𝑞 · (𝑞−1)
16
=
𝑞 2 +𝑞+1 𝑞
.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Írjuk fel a következő egyenletet:
𝑞 2 +𝑞+1 𝑞
=
13 3
.
Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3𝑞 2 − 10𝑞 + 3 = 0. 1
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑞1 = 3 és 𝑞2 = 3.
Ezt követően írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎1 · 81
𝑞 4 −1 𝑞−1
= 81.
1
Ekkor 𝑞1 = 3 esetén 𝑎1 = 40, míg 𝑞2 = 3 esetén pedig 𝑎1 =
81
Ezek alapján két megoldás adódik: 𝑎𝑛 = 40 · 3𝑛−1 és 𝑎𝑛 =
2187 40
2187 40
.
1 𝑛−1
· (3)
.
32. Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 𝟐𝟖. Ha a második tagot megszorozzuk az első és a harmadik tag összegével 𝟏𝟔𝟎 – at kapunk. Melyik ez a sorozat? Megoldás: Legyen a következő: 𝑎2 = 𝑥 és 𝑎1 + 𝑎3 = 𝑦. Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 𝑥 + 𝑦 = 28 } 𝑥𝑦 = 160 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 8; 𝑦1 = 20 és 𝑥2 = 20; 𝑦2 = 8. Az első esetben a következő adódik: 𝑎3 = 20 − 𝑎1 . Mivel 𝑎2 2 = 𝑎1 · 𝑎3 , így felírhatjuk a következő egyenletet: 64 = 𝑎1 · (20 − 𝑎1 ). Ebből azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 4, vagy 𝑎1 = 16. 1
Ekkor 𝑎1 = 4 esetén 𝑞 = 2, míg 𝑎1 = 16 esetén pedig 𝑞 = 2. A második esetben a következő adódik: 𝑎3 = 8 − 𝑎1. Mivel 𝑎2 2 = 𝑎1 · 𝑎3 , így felírhatjuk a következő egyenletet: 400 = 𝑎1 · (8 − 𝑎1 ). Ebből azt kapjuk, hogy az egyenletnek nincs megoldása. 1 𝑛−1
Ezek alapján két megoldás adódik: 𝑎𝑛 = 4 · 2𝑛−1 és 𝑎𝑛 = 16 · (2) 17
.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 33. Egy mértani sorozat első nyolc tagjának az összege 𝟐𝟓𝟎. Tudjuk továbbá, hogy (𝒂𝟐 + 𝒂𝟒 + 𝒂𝟔 + 𝒂𝟖 ) − (𝒂𝟏 + 𝒂𝟑 + 𝒂𝟓 + 𝒂𝟕 ) = 𝟏𝟓𝟎. Határozd meg az első tagot és a sorozat hányadosát! Megoldás: Tekintsük a következő jelöléseket: 𝑥 = 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + 𝑎7 és 𝑦 = 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + 𝑎8 . Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 𝑥 + 𝑦 = 250 𝑦 − 𝑥 = 150} 𝑥·𝑞 =𝑦 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 50; 𝑦 = 200; 𝑞 = 4.
Írjuk fel a következő egyenletet: 𝑎1 ·
48 −1 4−1
= 250
50
Ebből azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 4369.
34. Négy, adott sorrendben felírt számról a következőket tudjuk: a két szélső szám összege 𝟏𝟒 a két középső szám összege 𝟏𝟐 az első három szám egy mértani sorozat három egymást követő tagja az utolsó három szám egy számtani sorozat három egymást követő tagja. Melyik ez a sorozat? Megoldás: Legyen a négy szám a negyedik pontnak megfelelően a következő: 𝑥; 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2 ; 𝑎2 + 𝑑. A második pontnak megfelelően írjuk fel a követkeőzt: 𝑎2 − 𝑑 + 𝑎2 = 12. Ebből a következő adódik: 𝑑 = 2𝑎2 − 12. Az első pontnak megfelelően írjuk fel a következőt: 𝑥 + 𝑎2 + 𝑑 = 14. Helyettesítsük be a kapott kifejezést: 𝑥 = 14 − 𝑎2 − (2𝑎2 − 12) = 26 − 3𝑎2 . 18
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A harmadik pontnak megfelelően írjuk fel a következőt: (𝑎2 − 𝑑)2 = 𝑥 · 𝑎2. Helyettesítsük be a kapott kifejezéseket: (12 − 𝑎2 )2 = (26 − 3𝑎2 ) · 𝑎2 . Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2𝑎2 2 − 25𝑎2 + 72 = 0. 9
A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑎2 = 8, vagy 𝑎2 = 2. 9
Ekkor 𝑎2 = 8 esetén 𝑑 = 4, míg 𝑎2 = 2 esetén pedig 𝑑 = −3. Ezek alapján két megoldás adódik: 2; 4; 8; 12 és
25 15 9 3 2
;
2
;2;2
35. Az 𝒂; 𝒃; 𝒄 egy mértani sorozat első három tagja. Ha a 𝒄 – t az 𝒂 és a 𝒃 összegével csökkentjük, egy számtani sorozat három szomszédos tagjához jutunk. Az 𝒂; 𝒃 + 𝟏𝟎; 𝒄 pedig szintén egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Határozd meg az 𝒂; 𝒃; 𝒄 számokat! Megoldás: Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 𝑏 2 = 𝑎𝑐 𝑎+𝑐−(𝑎+𝑏) 𝑏= } 2 𝑏 + 10 =
𝑎+𝑐 2
Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎1 = 5; 𝑏1 = 15; 𝑐1 = 45 és 𝑎2 = 20; 𝑏2 = 0; 𝑐2 = 0. Ezek alapján két megoldás adódik: 5; 15; 45 és 20; 0; 0.
36. Egy pozitív tagú, nem állandó számtani sorozat első, második és ötödik tagja egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Milyen 𝒌 – ra teljesül, hogy a sorozat első, harmadik és 𝒌 – adik tagja ugyancsak egy mértani sorozat egymást követő tagjai lesznek? Megoldás: Mértani sorozat esetén egy elem négyzete megegyezik a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával: 𝑎1 · (𝑎1 + 4𝑑) = (𝑎1 + d)2 . Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑑 = 2𝑎1 . 19
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) A második feltételből írjuk fel a következőt: 𝑎3 2 = 𝑎1 · 𝑎𝑘 . Ebből a következő egyenlet adódik: (𝑎1 + 2𝑑)2 = 𝑎1 · [𝑎1 + (𝑘 − 1) · 𝑑]. A kapott kifejezést behelyettesítve azt kapjuk, hogy 𝑘 = 13.
37. Van – e olyan nem állandó számtani sorozat, ami mértani sorozat is egyben? Megoldás: Legyenek a számtani sorozat szomszédos tagjai: 𝑎2 − 𝑑; 𝑎2 ; 𝑎2 + 𝑑. Mértani sorozat esetén teljesül a következő: 𝑎2 2 = (𝑎2 − 𝑑) · (𝑎2 + 𝑑). Ebből azt kapjuk, hogy 𝑑 = 0. Ezek alapján a számtani sorozat csak konstans tagok esetén lehet mértani is.
38. Melyek azok a számtani sorozatok, amelyeknek az első három tagját 𝟐 – vel megszorozva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk? Megoldás: Amennyiben 2𝑎1 ; 2𝑎2 ; 2𝑎3 egy mértani sorozat egymást követő tagjai, akkor az 𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 számhármasra is tagja egy mértani sorozatnak, továbbá a két sorozat kvóciense megegyezik. Ezek alapján csak a konstans sorozatok tesznek eleget a feladat feltételének, mert csak abban az esetben lesz a számtani sorozat tagjai mértani sorozatnak is tagjai.
39. Van – e olyan mértani sorozat, amelynek minden tagja irracionális? Megoldás: Lehetséges, ha az első tag irracionális, a hányados pedig racionális (𝑞 ≠ 0).
40. Van – e olyan nem állandó mértani sorozat, amelynek minden tagja négyzetszám? Megoldás: Lehetséges, ha az első tag és a hányados is négyzetszám.
20
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
41. Igazold, hogy
√𝟐 + 𝟏
𝟏
;
𝟏
; egy mértani sorozat három egymást követő tagja!
√𝟐 − 𝟏 𝟐 − √𝟐 𝟐
Megoldás: Számítsuk ki az egymást követő tagok hányadosát: 1 2 − √2 √2 + 1 √2 − 1
= (2−
1 2 1 2 − √2
=
√2 − 1 √2) · (√2+1)
=
√2 − 1
=
√2
2 − √2 2
2 − √2 2
Mivel a kapott értékek megegyeznek így a számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai.
42. Igazold, hogy a következő számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai √𝟓 − 𝟐 𝟏 𝟗
𝟑
; 𝟑 ; √𝟓 + 𝟐; 𝟗 − 𝟒 ·
!
√𝟓
Megoldás: Számítsuk ki az egymást követő tagok hányadosát: 1 3 √5 − 2 9
=
√5 + 2 1 3
√5
=( −2
√5−2) · (√5+2)
= 3 · (√5 + 2)
= 3 · (√5 + 2)
3 9 − 4 · √5
√5 + 2
3 · (√5+2)
3
3
= 9−4·
·
1
√5 √5 + 2
=
3 √5 − 2
= 3 · (√5 + 2)
Mivel a kapott értékek megegyeznek így a számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai.
43. Írj fel egy olyan mértani sorozat három további tagját, amelynek a tagjai között 𝟖 𝟑𝟐 vannak a következő számok: 𝟑; 𝟗 ; 𝟖𝟏! Megoldás: 8 8 32 8 2 Számítsuk ki a lehetséges hányadost: 9 : 3 = 27, illetve 81 : 9 = 3. 2
A kapott értékek 𝑞 egész kitevőjű hatványai, vagyis a kvóciens egy lehetséges értéke: 𝑞 = 3. 4 8 16 32
64
Ezek alapján egy lehetséges megoldás: 3; 2; 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 … 21
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 44. Van – e olyan mértani sorozat, amelynek az 𝟏, a 𝟐 és a 𝟑 is tagja? Megoldás: Tegyük fel, hogy lehetséges, így a sorozat tagjai: 𝑎𝑘 = 1; 𝑎𝑚 = 2; 𝑎𝑛 = 3. Számítsuk ki a tagok hányadosát:
𝑎𝑚 𝑎𝑘
𝑎
𝑎
3
= 2; 𝑎𝑛 = 3; 𝑎 𝑛 = 2 𝑚
𝑘
A kapott értékek a 𝑞 pozitív egész kitevőjű hatványai. 𝑥
𝑦
Ebből azt kapjuk, hogy 𝑞 = √3 = √2, vagyis 3𝑦 = 2𝑥 . Ellentmondást kaptunk, mert a prímtényezős felbontás miatt nem lehet egyenlő a két oldal. Ezek alapján nincs ilyen sorozat.
45. Számítsd ki a 𝟐 első tíz nemnegtaív egész kitevőjű hatványának összegét! Megoldás: Írjuk fel a következő összeget: 20 + 21 + ⋯ + 29 . Ebből adódik, hogy egy mértani sorozat egymást követő tagjai, ahol: 𝑎1 = 1; 𝑞 = 2; 𝑛 = 10.
Ezek alapján a megoldás: 𝑆10 = 1 ·
210 −1 2−1
= 1023.
46. Írd le a 𝟑 első száz (pozitív egész kitevőjű) hatványát egymás mellé, majd két – két szomszédos szám közé írd be ezek különbségét úgy, hogy mindig a nagyobbikból vond ki a kisebbet! Mennyi a beírt számok összege? Megoldás: Írjuk fel a következő összeget: (32 − 31 ) + (33 − 32 ) + ⋯ + (3100 − 399 ). Ebből adódik, hogy a tagok egy mértani sorozat egymást követő tagjai, ahol: 𝑎1 = 6 és 𝑞 = 3.
Ezek alapján a megoldás: 𝑆99 = 6 ·
399 −1 3−1
= 3100 − 3.
22
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 47. Igaz – e tetszőleges 𝒏 > 𝟎 egészre, hogy 𝟏𝟏 … 𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 … 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 … 𝟑𝟑𝟐, ahol az 𝟏 – esekből álló szám 𝟐𝒏 jegyű, a 𝟐 – esekből és 𝟑 – asokból álló számok pedig 𝒏 jegyűek? Megoldás: Írjuk fel az adott számokat a következő alakban:
11 … 11 = 1 + 101 + 102 + ⋯ + 102𝑛−1 = 1 ·
102𝑛 −1 10−1
=
22 … 22 = 2 + 2 · 101 + 2 · 102 + ⋯ + 2 · 10𝑛−1 = 2 ·
33 … 33 = 3 + 3 · 101 + 3 · 102 + ⋯ + 3 · 10𝑛−1 = 3 ·
102𝑛 − 1 9
10𝑛 −1 10−1
10𝑛 −1 10−1
=
=
2 · 10𝑛 − 2 9
10𝑛 − 1 3
Írjuk fel az első két szám különbségét és alakítsuk át a következőképpen: 102𝑛 − 1 9
−
2 · 10𝑛 − 2 9
=
102𝑛 − 2 · 10𝑛 + 1 9
10𝑛 −1 2
=(
3
)
Ezek alapján az állítás teljesül minden pozitív egész 𝑛 - re.
48. A Papp család betesz a bankba 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot 𝟓 évre, évi 𝟕 % - os kamatozással. Mennyi pénzt vehetnek ki az ötödik év végén? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Megoldás: A kamatos kamat képletével a következő adódik: 100 000 ∙ 1,075 = 140 255. Ezek alapján 5 év után kb. 140 000 Ft - ot vehet majd ki a bankból a Papp család.
49. Beteszünk a bankba 𝟓 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot évi 𝟏𝟏 % - os kamatozással. Mennyi év után vehetjük ki a pénzünket, ha minimum 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot szeretnénk kivenni majd? Megoldás: A kamatos kamat képletével írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: 5 000 ∙ 1,11𝑛 ≥ 100 000 →
lg 1,11𝑛 ≥ lg 20
1,11𝑛 ≥ 20
→ →
𝑛 ∙ lg 1,11 ≥ lg 20
→
Ezek alapján kb. 29 év után vehetjük ki a pénzünket a bankból. 23
→ lg 20
𝑛 ≥ lg 1,11 ≈ 28,7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 50. Egy autó ára újonnan 𝟓 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft. Mennyi százalékkal csökken az autó ára minden évben, ha 𝟑 év után 𝟑 𝟒𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ért tudjuk majd eladni? (A megoldást egészre kerekítve add meg!) Megoldás: A kamatos kamat képletével írjuk fel a következő egyenletet: 𝑝
3
5 000 000 ∙ (1 − 100) = 3 400 000. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑝 ≈ 12,06. Ezek alapján kb. 12 % - kal csökken minden évben az autó ára. 51. Egy gépsor értéke új korában 𝟏𝟓 millió forint. Évenként 𝟏𝟑 % - os értékcsökkenéssel számolva mikor kerül a gépsor értéke 𝟔 millió forint alá? Megoldás: A kamatos kamat képletével írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: 13 𝑛
6 000 000 > 15 000 000 · (1 − 100) . lg 0,4
Az egyenlőtlenség rendezése után a következő adódik: 𝑛 > lg 0,87 ≈ 6,58. Ezek alapján kb. 7 év után teljesül a feltétel. 52. Egy bankba a Kovács család minden év elején betesz 𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft - ot, mely év végén 𝟓 % - ot kamatozik. 𝟐𝟎 év után mekkora összeget tudnak majd kivenni a bankból? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Megoldás: Az első év végén kivehető összeg: 30 000 ∙ 1,05. A második év végén: (30 000 ∙ 1,05 + 30 000) ∙ 1,05 = 30 000 ∙ 1,052 + 30 000 ∙ 1,05. A huszadik év végén felvehető összeg: 30 000 ∙ 1,0520 + 30 000 ∙ 1,0519 + ⋯ + 30 000 ∙ 1,05 = 30 000 ∙ 1,05 ∙ (1 + 1,05 + ⋯ + 1,0519 ) = 30 000 ∙ 1,05 ∙ 1 ∙
1,0520 − 1 1,05 − 1
≈ 1 041 578
Ezek alapján 20 év után kb. 1 042 000 Ft - ot vehet majd ki a bankból a Kovács család. A gyűjtőjáradék képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 24
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 53. Valaki 𝟒𝟎 éves korában életbiztosítást köt a következő feltételekkel. Minden év elején azonos összeget fizet be a biztosító társasághoz, és 𝟕𝟎 éves korában 𝟓 millió forintot kap. A befizetett pénz 𝟖 % - kal kamatozik. Mekkora összeget kell befizetnie minden év elején? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Megoldás: Legyen az évente befizetett összeg: 𝑥. Ekkor az első év végén a kamatozással keletkező összeg: 𝑥 ∙ 1,08. A második év végén: (𝑥 ∙ 1,08 + 𝑥) ∙ 1,08 = 𝑥 ∙ 1,082 + 𝑥 ∙ 1,08. A harmincadik év végén felvehető összeg: 𝑥 ∙ 1,0830 + 𝑥 ∙ 1,0829 + ⋯ + 𝑥 ∙ 1,08 = 𝑥 ∙ 1,08 ∙ (1 + 1,08 + ⋯ + 1,0829 ) = = 𝑥 ∙ 1,08 ∙ 1 ∙
1,0830 − 1 1,08 − 1
Ebből felírható a következő egyenlet: 𝑥 ∙ 1,08 ∙ 1 ∙
1,0830 − 1 1,08 − 1
= 5 000 000.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 40 868. Ezek alapján kb. 41 000 Ft - ot kell befizetnie az illetőnek minden év elején. A gyűjtőjáradék képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
54. Kovács Zoltán 𝟑𝟎 évesen lakást szeretne venni. Ehhez felvesz 𝟗 millió kölcsönt, 𝟏𝟓 évre évi 𝟕 % - os kamatozással. Mekkora lesz az éves törlesztőrészlete? (A törlesztőrészletet ezres kerekítéssel add meg!) Megoldás: Legyen az éves törlesztőrészlet: 𝑥. A 15. év végére visszafizetendő összeg: 9 000 000 ∙ 1,0715 . Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden év végén, így a 15. év végére befizetett összeg: 𝑥 ∙ 1,0714 + 𝑥 ∙ 1,0713 + ⋯ + 𝑥 ∙ 1,072 + 𝑥 ∙ 1,07 + 𝑥 = = 𝑥 ∙ (1 + 1,07 + 1,072 + ⋯ + 1,0714 ) = 𝑥 ∙ 1 ∙
25
1,0715 − 1 1,07 − 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Ebből felírható a következő egyenlet: 𝑥 ∙ 1 ∙
1,0715 − 1 1,07 − 1
= 9 000 000 ∙ 1,0715 .
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 988 152. Ezek alapján az éves törlesztőrészlet kb. 988 000 Ft lesz. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
55. A Futó család új lakást akar vásárolni. Ehhez kölcsönt vesznek fel, méghozzá 𝟏𝟎 millió Ft - ot 𝟐𝟎 évre, évi 𝟔 % - os kedvezményes kamatra. Minden év végén úgy törlesztenék a kölcsönt és kamatait, hogy 𝟐𝟎 éven át minden évben ugyanakkora összeget akarnak befizetni. Mekkora legyen ez az összeg? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Megoldás: Legyen az éves törlesztőrészlet: 𝑥. Az első év végén fennmaradó összeg: 10 000 000 ∙ 1,06 − 𝑥. A második végén: (10 000 000 ∙ 1,06 − 𝑥) ∙ 1,06 − 𝑥 = 10 000 000 ∙ 1,062 − 𝑥 ∙ 1,06 − 𝑥. A huszadik év végén: 10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ 1,0619 − 𝑥 ∙ 1,0618 − ⋯ − 𝑥 ∙ 1,06 − 𝑥 = 10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ (1 + 1,06 + 1,062 + ⋯ + 1,0619 ) = 10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ 1 ∙
1,0620 −1 1,06−1
Ebből felírható a következő egyenlet: 10 000 000 ∙ 1,0620 − 𝑥 ∙ 1 ∙
1,0620 −1 1,06−1
= 0.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 871 846. Ezek alapján az éves törlesztőrészletnek kb. 872 000 Ft – nak kell lennie. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 26
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 56. Elhelyezünk 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot évi 𝟒 % - os kamatra. A következő évtől kezdve tíz éven át egynelő összegeket akarunk felvenni midnen év elején úgy, hogy a tíz év letelte után ne maradjon pénzünk. Mennyi pénzt vegyünk fel egy évben? Megoldás: Legyen az éves felvett összeg: 𝑥. Az első év végén fennmaradó összeg: 10 000 ∙ 1,04 − 𝑥. A második végén: (10 000 ∙ 1,04 − 𝑥) ∙ 1,04 − 𝑥 = 10 000 ∙ 1,042 − 𝑥 ∙ 1,04 − 𝑥. A tizedik év végén: 10 000 ∙ 1,0410 − 𝑥 ∙ 1,049 − 𝑥 ∙ 1,048 − ⋯ − 𝑥 ∙ 1,04 − 𝑥 = 10 000 ∙ 1,0410 − 𝑥 ∙ (1 + 1,04 + 1,042 + ⋯ + 1,049 ) = 10 000 ∙ 1,0410 − 𝑥 ∙ 1 ∙
1,0410 −1 1,04−1
Ebből felírható a következő egyenlet: 10 000 ∙ 1,0410 − 𝑥 ∙ 1 ∙
1,0410 −1 1,04−1
= 0.
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 1233 𝐹𝑡. Ezek alapján kb. 1233 Ft – ot kell felvenni. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
57. Aladár 𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot vesz fel kölcsönbe évi 𝟏𝟐 % - os kamatra. Két év alatt kell visszafizetnie, havi egyenlő részletekben. Mennyi lesz a havi törlesztőrészlet? Megoldás: A szövegből adódik, hogy a havi kamat: 1 %. Legyen a havi törlesztőrészlet: 𝑥. A 2. év végére visszafizetendő összeg: 500 000 ∙ 1,0124 .
27
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden hó végén, így a 2. év végére befizetett összeg: 𝑥 ∙ 1,0123 + 𝑥 ∙ 1,0122 + ⋯ + 𝑥 ∙ 1,012 + 𝑥 ∙ 1,01 + 𝑥 = = 𝑥 ∙ (1 + 1,01 + 1,012 + ⋯ + 1,0123 ) = 𝑥 ∙ 1 ∙
Ebből felírható a következő egyenlet: 𝑥 ∙ 1 ∙
1,0124 − 1 1,01 − 1
1,0124 − 1 1,01 − 1
= 500 000 ∙ 1,0124 .
Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 𝑥 ≈ 23 537. Ezek alapján a havi törlesztőrészlet kb. 23 500 Ft lesz. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást.
58. Tíz év alatt minden év elején 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot teszünk a takarékba. Tíz év elteltével 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – ot veszünk ki évenként. Mennyi pénzünk lesz a huszadik év végén, ha 𝟓 % - os a kamat? Megoldás: Az első év végén levő összeg: 𝑎1 = 4000 · 1,05. A második év végén levő összeg: 𝑎2 = (4000 · 1,05 + 4000) · 1,05. A tízedik év végén levő összeg: 𝑎10 = 4000 · (1,05 + ⋯ + 1,0510 ) = 4000 · 1,05 ·
1,0510 −1 1,05−1
≈ 52830 𝐹𝑡.
A tízenegyedik év végén levő összeg: 𝑎11 = (52830 − 4000) · 1,05. A huszadik év végén levő összeg: 𝑎20 = 52380 · 1,0510 − 4000 · (1,05 + ⋯ + 1,0510 ) = = 52830 · 1,0510 − 52380 ≈ 33225 𝐹𝑡 Ezek alapján kb. 33 225 𝐹𝑡 lesz a huszadik év végén.
28
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 59. András munkába állás során két ajánlat közül választhat. Az első szerint a kezdő fizetése 𝟏𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 lenne és minden hónapban 𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 – tal növelnék meg az előző havi jövedelmét. A második szerint a kezdő fizetése 𝟖𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝑭𝒕 lenne és minden hónapban az előző havi jövedelmét 𝟑 % - kal növelnék. Melyik ajánlatot válassza, ha 𝟓 évre tervez előre, s a legtöbbet szeretné keresni ezen időszak alatt, s melyiket, ha az utolsó hónapban? Változik – e az álláspontja, ha legalább 𝟔 évre tervez? Megoldás: Az 5 év alatt összesen 60 hónapon keresztül kap fizetést András. Az első ajánlat során a fizetések egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A sorozat első tagja 120 000, differenciája 4000. Számítsuk ki az utolsó havi fizetését: 𝑎60 = 120 000 + 59 ∙ 4000 = 356 000. Számítsuk ki az 5 év alatt szerzett összjövedelmét: 𝑆60 =
120 000 + 356 000 2
∙ 60 = 14 280 000.
A második ajánlat során a fizetések egy mértani sorozat egymást követő tagjai. A sorozat első tagja 80 000, kvóciense 1,03. Számítsuk ki az utolsó havi fizetését: 𝑎60 = 80 000 ∙ 1,0359 ≈ 457 600. Számítsuk ki az 5 év alatt szerzett összjövedelmét: 𝑆60 = 80 000 ∙
1,0360 − 1 1,03 − 1
≈ 13 044 000.
Ezek alapján 5 év elteltével, az utolsó hónapot szem előtt tartva a másodikat, az összjövedelmet figyelve pedig az elsőt kell választania.
Végül számítsuk ki a 6 éves (72 hónap) összjövedelmeket:
𝑆72 =
2 ∙ 120 000 + 71 ∙ 4000 2
𝑆72 = 80 000 ∙
1,0372 − 1 1,03 − 1
∙ 72 = 18 864 000
≈ 19 733 000
Ezek alapján 6 év elteltével minden tekintetben a második ajánlat lesz a kedvezőbb.
29
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 60. Egy cég termelése havonta 𝟑 % - kal növekszik. Három év elteltével a termelés hányszorosa lesz a kezdeti (első havi) termelésnek? Megoldás: A szövegből a következők adódnak: 𝑞 = 1,03 és 𝑛 = 36. Ebből írjuk fel a következőt: 𝑎36 = 𝑎1 · 1,0335 ≈ 2,81 · 𝑎1. Ezek alapján kb. 2,81 – szeresére változik.
61. Egy 𝟓𝟎 literes hordóban tiszta alkohol van. Óránként 𝟏 litert vesznek ki belőle, és óránként befolyik 𝟏 liter víz. Mennyi idő múlva lesz 𝟒𝟎 % - os keverék a hordóban? Megoldás: 49 Egy óra múlva a tiszta alkohol mennyisége 50 – szeresére változik. 49 𝑛
Írjuk fel a következő egyenletet: 50 · (50) = 50 · 0,4. lg 0,4
Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑛 = lg 0,98 ≈ 45,35. Ezek alapján kb. 46 óra múlva lesz 40 % - os a keverék.
62. Egy szigeten élő rágcsálópopuláció 𝟑 havonként az aktuális létszám 𝟖 % - ával gyarapszik. Hány évvel ezelőtt voltak 𝟑𝟎 – an, ha jelenleg a csapdázások alapján végzett számítások szerint mintegy 𝟏𝟓𝟎𝟎 egyed él a szigeten, és a megfigyelések szerint a rágcsálók legalább 𝟓𝟎 évig élnek? Megoldás: Egy év elteltével a rágcsálók száma: 30 · 1,084 . Írjuk fel a következő egyenletet: 30 · 1,084𝑛 = 1500. lg 50
Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑛 = 4 · lg 1,08 ≈ 12,7. Ezek alapján kb. 13 évvel ezelőtt voltak 30 - an.
30
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 63. Egy erdő faállománya 𝟑𝟓𝟎𝟎 𝒎𝟑 . A mindenkori állomány évenként 𝟑 % - kal gyarpaszik, és kétévenként a meglévő állomány 𝟐 % - át kivágják. Mennyi fa lesz az erdőben 𝟐𝟎 év múlva? Megoldás: Két év után az eredeti állomány 1,032 · 0,98 – szerese lesz. Ezek alapján a megoldás: 3500 · (1,032 · 0,98)10 ≈ 5165 𝑚3 .
64. Egy nyúlékony zsinórra felfüggesztünk egy súlyt. A zsinór nyúlása az első négy órában minden eltelt órában másfélszeresére nő. Kezdetben 𝟕𝟎 𝒄𝒎 hosszú volt. Mennyi idő (egész órában) elteltével lesz legalább 𝟑, 𝟓 𝒎 hosszú? Megoldás: A szövegből a következők adódnak: 𝑞 = 1,5 és 𝑎1 = 70. Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: 70 · 1,5𝑛 > 350. lg 5
Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑛 > lg 1,5 ≈ 3,97. Ezek alapján 4 óra kell hozzá.
65. Egy berendezés értéke újonnan 𝟗𝟎 𝟎𝟎𝟎 euró. Az avulás mértéke évenként 𝟏𝟓 %, de minden évben ráköltenek 𝟔𝟎𝟎𝟎 eurót, ezzel emelve a gép értékét. Hány év múlva lesz a berendezés értéke a kezdeti értékének kevesebb, mint fele? Megoldás: Az első év végén a berendezés értéke: 90 000 · 0,85 + 6000. A második év végén a berendezés értéke: (90 000 · 0,85 + 6000) · 0,85 + 6000. Az 𝑛 – edik év végén az értéke: 90 000 · 0,85𝑛 + 6000 · (1 + 0,85 + ⋯ + 0,85𝑛−1 ).
Ebből felírható a következő egyenlőtlenség: 90 000 · 0,85𝑛 + 6000 · 1 · Az egyenlőtlenség rendezése után a következő adódik: 𝑛 > 14,17. Ezek alapján 15 év kell hozzá.
31
0,85𝑛 −1 0,85−1
< 45 000.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 66. Egy 𝟔𝟎° - os szög egyik szárán jelölünk ki egy 𝑷 pontot. Ebből a másik szárra állítsunk merőlegest, amelynek talppontja a másik száron legyen 𝑷𝟏 . Innen újabb merőleges metszi ki az előző szárból 𝑷𝟐 – t. Folyatassuk ezt végtelensokszor. A 𝑷𝑷𝟏 szakaszt jelöljük 𝒂𝟏 – gyel. Mekkora lesz a nyolcadik merőleges szakasz hossza, illetve az első nyolc szakasz hosszának összege? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Legyen az 𝑂𝑃 távolság 𝑥. Tekintsük az első néhány merőleges szakasz hosszát: 𝑎1 = 𝑥 ∙ sin 60° = 𝑥 ∙
√3 ; 𝑎2 2
= 𝑎1 ⋅ sin 30° = 𝑥 ∙
√3 ; 𝑎3 4
= 𝑎2 ⋅ sin 30° = 𝑥 ∙ 1
A merőleges szakaszok hosszai mértani sorozatot alkotnak, ahol 𝑞 = 2. Ezek alapján a megoldások: 1 7
𝑎8 = 𝑥 ∙
√3 ∙ 2
𝑆8 = 𝑥 ∙
√3 (2) − 1 ∙ 1 2 −1
√3
(2) = 𝑥 ∙ 256 1 8
2
255
=𝑥∙
√3 −256 ∙ 1 2 − 2
=𝑥∙
255 ∙ √3 256
≈ 1,725𝑥
32
√3 ;… 8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 67. Egy egységnégyzetnek felezzük meg az oldalait, s a második négyzet az oldalfelező pontok alkotta négyszög lesz. Ezután ennek felezzük meg az oldalait és kapunk egy kisebb négyzetet. 𝟏𝟎𝟎 lépés után mennyi lesz a keletkező négyzetek kerületeinek és területeinek összege? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: 𝑎1 =
√2 ; 𝑎2 2
= 𝑎1 ⋅
√2 2
1
= 2 ; 𝑎3 = 𝑎2 ⋅
√2 2
=
√2 ;… 4
Tekintsük az első néhány kerület nagyságát: 𝐾1 = 2 ⋅ √2; 𝐾2 = 2; 𝐾3 = √2; … 1
1
1
Tekintsük az első néhány terület nagyságát: 𝑇1 = 2 ; 𝑇2 = 4 ; 𝑇3 = 8 ; …
A kerületek és területek mértani sorozatot alkotnak, ahol 𝑞 =
Ezek alapján a megoldások:
𝑆𝐾100 = 2 ⋅ √2 ⋅
1
𝑆𝑇100 = 2 ⋅
√2 ) 2
(
−1
√2 −1 2
1 100 −1 2 1 −1 2
( )
100
≈ 9,657
=1
33
√2 , 2
1
illetve 𝑞 = . 2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 68. A 𝟕 egység oldalhosszúságú négyzet oldalait osszuk fel az egyik csúcspontjától kezdve 𝟑: 𝟒 aránybban. A kapott osztópontok ismét négyzetet határoznak meg. Ennek az oldalait is osszuk fel az adott arányban. Folytassuk ezt végtelen sokszor. Mekkora lesz a hetedik négyzet oldala, illetve az első hét négyzet kerületének, területének összege? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
5
5
Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: 𝑎1 = 7; 𝑎2 = 𝑎1 ⋅ 7 = 5; 𝑎3 = 𝑎2 ⋅ 7 = Tekintsük az első néhány kerület nagyságát: 𝐾1 = 28; 𝐾2 = 20; 𝐾3 =
Tekintsük az első néhány terület nagyságát: 𝑇1 = 49; 𝑇2 = 25; 𝑇3 =
100 7
625 49
25 7
;…
;…
;…
5
25
Az oldalak, a kerületek és a területek mértani sorozatot alkotnak, ahol 𝑞 = 7, illetve 𝑞 = 49. Ezek alapján a megoldások: 5 6
15625
𝑎7 = 7 ∙ (7) = 16807 ≈ 0,93 𝑆𝐾7 = 28 ⋅
𝑆𝑇7 = 49 ⋅
5 7 7 5 −1 7
≈ 3,17
25 7 49 25 −1 49
= 49
( ) −1
( ) −1
34
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 69. Egy 𝒂 oldalú négyzetbe érintőkört írunk, ebbe négyzetet, amibe ismét kört. Ezt így folytatva mekkora lesz a hatodik négyzet oldala, illetve a hatodik kör sugara? Mekkora az első hat négyzet, illetve kör kerületének összege? Megoldás: Tekintsük a következő ábrát:
Legyen a négyzetek oldalhossza 𝑎1 ; 𝑎2 ; …, a beírt körök sugarának hossza: 𝑟1 ; 𝑟2 ; …. Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: 𝑎1 = 𝑎; 𝑎2 = 𝑎1 ⋅
√2 2
=𝑎⋅
√2 ; 𝑎3 2
= 𝑎2 ⋅
√2 2
1
= 𝑎 ⋅ 2;…
Tekintsük az első néhány sugár hosszát: 1
1
1
𝑟1 = 𝑎1 ⋅ 2 = 𝑎 ⋅ 2 ; 𝑟2 = 𝑎2 ⋅ 2 = 𝑎 ⋅
√2 ; 𝑟3 4
1
1
= 𝑎3 ⋅ 2 = 𝑎 ⋅ 4 ; …
Tekintsük az első néhány négyzet kerületét: 𝐾1 = 4𝑎; 𝐾2 = 𝑎 ⋅ 2 ⋅ √2; 𝐾3 = 2𝑎; …
Tekintsük az első néhány kör kerületét: 𝑘1 = 𝑎 ⋅ 𝜋; 𝑘2 = 𝑎 ⋅
√2 2
Az oldalak, sugarak és kerületek mértani sorozatot alkotnak, ahol 𝑞 =
35
1
⋅ 𝜋; 𝑘3 = 𝑎 ⋅ 2 ⋅ 𝜋; … √2 . 2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Ezek alapján a megoldások: 5
√2
𝑎6 = 𝑎 ⋅ ( 2 ) = 𝑎 ⋅ 1
√2 8
5
√2
√2
𝑟6 = 𝑎 ⋅ 2 ⋅ ( 2 ) = 𝑎 ⋅ 16 𝑆𝑎𝐾6 = 4𝑎 ⋅
6 √2 ) 2
(
−1
√2 −1 2
𝑆𝑟𝐾6 = 𝑎 ∙ 𝜋 ⋅
6 √2 ) 2
(
= 4𝑎 ⋅
−1
√2 −1 2
1 −1 8 √2 − 2 2
=𝑎∙𝜋∙
= 4𝑎 ⋅
7 ∙ (2 + √2) 2
7 4
2 − √2
=𝑎∙
7 ∙ (2 + √2)
≈ 11,95𝑎
2
≈ 9,39𝑎
70. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei? Megoldás: Legyenek a háromszög oldalai:
𝑎1
𝑎1 ∙ 𝑞 2
𝑎1 ∙ 𝑞
Alkalmazzuk a Pitagorasz – tételt: 𝑎1 2 + 𝑎1 2 ∙ 𝑞 2 = 𝑎1 2 ∙ 𝑞 4 . Ebből rendezés után a következő egyenlet adódik: 𝑞 4 − 𝑞 2 − 1 = 0. Legyen 𝑏 = 𝑞 2 , s a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 𝑏 2 − 𝑏 − 1 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑏1 = A 𝑏2 értéke nem felel meg a feladatnak.
A 𝑏1 visszahelyettesítése után a következő adódik: 𝑞 2 =
1 + √5 2
.
A háromszög szögeit így kiszámíthatjuk a szögfüggvények segítségével: 𝑎1
sin 𝛼 = 𝑎
2 1𝑞
cos 𝛽 =
𝑎1 𝑎1
𝑞2
1
2
= 𝑞2 = 1 +
=
1 𝑞2
=
√5
2 1 + √5
→
𝛼 ≈ 38,17°
→
𝛽 ≈ 51,83° 36
1+√5 2
és 𝑏2 = −
1+√5 2
.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 71. Egy négyzetet 𝟒 egybevágó négyzetre bontunk, majd 𝟑 négyzetet befestünk rendre pirosra, kékre, zöldre. A negyedik négyzetet újra 𝟒 egybevágó négyzetre bontjuk, s a kapott kisebb négyzeteket ismét beszínezzük az előzőek szerint. Ezt az eljárást folytatva, mennyi lesz 𝒏 lépés után a pirosra festett részek területe? Megoldás: 1 Az első kis négyzet területe: 4. 1
1
1
A második kis négyzet területe: 4 · 4 = 16. 1
1
Ebből adódik, hogy a mértani sorozat adatai: 𝑎1 = 4 ; 𝑞 = 4. 1
Ezek alapján a megoldás: 𝑆𝑛 = 4 ·
1 𝑛 4 1 −1 4
( ) −1
1
1
= 3 − 3 · 4𝑛 .
72. Bizonyítsd be, hogy ha 𝒂; 𝒃; 𝒄 egy mértani sorozat három egymást követő eleme, akkor teljesül a következő: (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) · (𝒂 − 𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 ! Megoldás: Tekintsük a következő jelöléseket: 𝑎 = 𝑎1 ; 𝑏 = 𝑎1 · 𝑞; 𝑐 = 𝑎1 · 𝑞 2 . Ezek alapján adódik a bizonyítandó állítás: (𝑎1 + 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞 2 ) · (𝑎1 − 𝑎1 · 𝑞 + 𝑎1 · 𝑞 2 ) = = 𝑎1 2 + 𝑎1 2 · 𝑞 2 + 𝑎1 2 · 𝑞 4 = 𝑎1 2 + (𝑎1 · 𝑞)2 + (𝑎1 · 𝑞 2 )2.
37
