Bij opwarmen ontstaat een normale isotrope vloeibare. Bij afkoelen van een vloeibaar kristal ontstaat een

Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde

• De cholesterische fase: – Net als nematisch, in de richting loodrecht de molekulaire as ontstaat een schroef.

• De smectische fase: – Lange afstand orde in de molekulaire oriëntatie (gelaagde structuur).

• De nematische fase: – Lange afstand orde in de molekulaire oriëntatie (geen orde in positie).

Verschillende fasen


{Een vloeibaar kristal scherm

{Vloeibaar-kristal cellen

{Een vloeibaar kristal in een aangelegd elektrisch veld.

{Optische eigenschappen van vloeibare kristallen.

{Wat zijn de bouwstenen?

{Wat is een vloeibaar kristal?

Vloeibaar-kristal schermen

3

1


De cholesterische fase


• Een materiaal dat zich in een toestand tussen vast en vloeibaar bevindt. – Het materiaal is min of meer vloeibaar (hoge viscositeit). – Het materiaal is min of meer geordend. – Bij afkoelen van een vloeibaar kristal ontstaat een normaal vast kristallijn materiaal. – Bij opwarmen ontstaat een normale isotrope vloeibare fase. – Hun eigenschappen (mechanisch, optisch) zijn zeer anisotroop. – Ze zijn opgebouwd uit staafvormige molekulen.

Wat is een vloeibaar kristal?

4

2


5CB (@ λ=515 nm): ne=1.736; no=1.544

– Dubbele breking is aanzienlijk:

– Voor een vloeibaar-kristal scherm is de dubbele breking essentieel ⇒ Elke cel moet een éénkristal bevatten.

– De gemiddelde richting van de molekulaire lange as (de “director”) legt de optische as van het materiaal vast.

– De brekingsindex hangt af van de voortplantingsrichting door het vloeibare kristal en van de polarisatierichting van het invallende licht (denk aan kristallijn kwarts en kalkspaat!).

• Nematische en smectische vloeibare kristallen zijn dubbelbrekend.

7

Optische as

Director

Temperatuurgebied waarin 5 nematisch

Optische eigenschappen


Molekulen voor vloeibare kristallen


Om verder te komen moeten we eerst een uistapje naar de elektrostatica maken!

ε ≠ ε⊥

z • Door middel van een elektrisch veld kan je de richting van de director veranderen. E θ • Oorzaak: anisotropie van de diëlektrische coëfficiënt.

In een elektrisch veld


Isobare faselijn

P-ethoxybenzoic acid

Fase overgangen

8

n

6

x

y

E

ε xy ε xz   Ex   ε yy ε yz   E y  ε zy ε zz   Ez  x

D

E y

n

 ε ⊥ cos 2 θ + ε sin 2 θ  0 =  ε − ε sin θ cos θ ( )  ⊥


ε eff

0

ε⊥

0

0

ε⊥

0 ⊥

11

− ε ) sin θ cos θ   0  2 2 ε ⊥ sin θ + ε cos θ  

(ε

9

0 sin θ   0    1 0  0  0 cos θ   E 

Draaiing van de E-vector naar de director.

0   cos θ  0  0 ε   − sin θ

Diëlektrische coëfficiënt op hoofdassen.

0 − sin θ   ε ⊥  1 0  0 0 cos θ   0

Terugdraaiing naar de richting van de E-vector.

 Dx   cos θ D =  Dy  =  0  D   sin θ  z 

Effektieve diëlektrische tensor

θ

z

Nematisch vloeibaar kristal in extern veld 1


 Dx   ε xx     Dy  =  ε yx  D  ε  z   zx

D =εE

• In het elektromagnetisme wordt naast het elektrische veld E een diëlektrische verplaatsing D ingevoerd. In isotrope materialen is de D = εE diëlektrische permittiviteit ε een constante. • In anisotrope materialen (zoals nematische en smectische vloeibaar kristallen is de diëlektrische permittiviteit een tensor; E en D zijn niet langer evenwijdig! Men schrijft dan: z

Diëlektrische verplaatsing

y

θ

n

 ( ε ⊥ − ε ) sin θ cos θ    0 E  ε ⊥ sin 2 θ + ε cos 2 θ   

D=

0

0  0 ε 3 

ε LC

ε⊥  = 0 0 

0

ε⊥

0


Liquid Crystal

A

Condensator

d

1d Q2 2 2 A ( ε cos θ + ε ⊥ sin 2 θ )

A Dz A = d Ez d Energie U =

Capaciteit C = ε eff

1 Q2 Energie U = 2 C

12

z

10

0  0 ε 

diëlektrische tensor op hoofassen

0 

 ε1 0 ε =  0 ε 2

Reoriëntatie van nematisch vloeibaar kristal in extern veld

x

E

z


• Je kan de diëlektrische tensor diagonaliseren door over te gaan op een gedraaid coördinatenstelsel. De nieuwe coördinaat-assen heten de hoofdassen. • Als je het elektrische veld langs een van de hoofdassen aanlegt staat de diëlektrische verplaatsing in dezelfde richting. • Voor een materiaal met één symmetrieas (zoals een nematisch of smectisch vloeibaar kristal) geldt:

Anisotrope materialen

Q2 1d 2 2 A ( ε cos θ + ε ⊥ sin 2 θ )

•

parallel

Soort cel:

“splay”

parallel “bend”

parallel


Door de oplijning van de molekulen in een LC-cel heeft zo een cel zeer anisotrope optsiche eigenschappen!

Dit is het soort cel waar we verder naar zullen kijken

antiparallel

Wrijfrichting:

In een LC scherm zit het vloeibare kristal ingeklemd tussen twee gewreven wanden!

Cellen met gewreven wanden


to Electrodynamics, 4.4.4).

Dat levert tegenovergestelde voorwaarden op voor minimale potentiële energie. Je bent nu op een dwaalspoor (zie Griffiths, Introduction

Energie U =

1A (ε cos2 θ + ε ⊥ sin 2 θ )V 2 2d

Minimaal bij θ=π/2 als ε − ε ⊥ < 0

Minimaal bij θ=0 als ε − ε ⊥ > 0

Energie U =

Door zich te reoriënteren gaat de potentiële energie omlaag.

Je kan ook schrijven:

•

Nematisch vloeibaar kristal in extern veld

15

13

•

Door mechanisch wrijven van een op het substraat aangebrachte polymeerlaag ontstaat parallele homogene oplijning: zo ontstaat een éénkristal

Parallele homogene oplijning

Licht

We moeten zorgvuldig kijken naar de polarisatierichting van het licht op elke plek in de cel. Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde

5 µm

Een complete LC-cel is een complex optisch element.

Een vloeibaar-kristal cel


Homeotrope oplijning

Om een vloeibaar-kristal cel goed te laten werken moet het materiaal een éénkristal vormen. Eénkristallen worden gevormd door de wanden van de cel te prepareren. Het fysisch mechanisme achter dit proces wordt nog altijd niet volledig begrepen.

Nematische éénkristallen

16

14

Ey

x

– Faseverschil ϕx-ϕy bepaalt het soort gepolariseerd licht: » ϕx-ϕy=0: Lineair gepolariseerd » ϕx-ϕy=±π/2: circulair gepolariseerd (als Ex=Ey). » andere situaties: elliptisch gepolariseerd.

1 0   0 i 

– Kwart-lambda plaatje:

 cos α   sin α


OA

  sin α

− sin α   1 0   cos α   cos α   0 i   − sin α

  cos α   0 −1  − sin α

sin α   cos α 


Optische As

– Invallend veld gepolariseerd onder hoek α t.o.v. optische as: E α – Half-lambda plaatje:  cos α − sin α   1 0   cos α

– Kwart-lambda plaatje:

   0 −1

• Invallend veld parallel aan optische as gepolariseerd: 1 0  E – Half-lambda plaatje:

Andere Jones matrices


 cos α eiφ x  E ( z , t ) = E0  exp(i (ω t − k z ))  sin α eiφ y   

Alternatieve beschrijving: de complexe veldcomponenten worden samen als een twee-dimensionale eenheidsvector geschreven.

α

y E x

E ( z , t ) = x Ex exp(i (ω t − kz + φ x )) + y E y exp(i (ω t − kz + φ y ))

• Beschrijving van gepolariseerd licht;

Gepolariseerd licht

19

17

 cos α     sin α  1 1    2  ±i 

E α

0   e−i Γ  0   cos α  e − i Γ   − sin α

Polarisator

− sin α   ei Γ  cos α   0


18

 cos α M' =  sin α

− sin α   1 0   cos α   cos α   0 0   − sin α

sin α   cos α  20

Invallend veld gepolariseerd onder hoek α t.o.v. transmissie- as:

1 0 M' =  0 0

Invallend licht gepolariseerd parallel aan transmissie-as:

 cos α M =  sin α

Invallend veld gepolariseerd onder hoek α t.o.v. optische as:

 ei Γ M =  0

Invallend licht gepolariseerd parallel aan optische as:


•

•

•

•

1 0    0 0

Willekeurig vertragingsplaatje


Jones matrix voor x-polarisator:

Door middel van een matrix (de z.g. Jones matrix).

Hoe beschrijf je een element die de polarisatie toestand verandert?

– Circulair gepolariseerd licht:

– Lineair gepolariseerd licht:

 cos α eiφx    iφ y   sin α e 

Voor de beschrijving van manipulaties van de polarisatie toestand van het licht gebruiken we enkel de Jones vector:

OA

•

•

Jones-matrix beschrijving

α

x

E

Γ1

β1

Γ2

β2

OA

β3

Γ3

β4

Γ4

OA

Achter de serie wordt de polarisatie van het licht gegeven door:

y

OA OA

Beschouw een serie polarisatie-veranderende elementen: – Ieder plaatje een andere vertraging Γi. – ieder plaatje een ander oriëntatie van de optische as βi.

sin β i   cos β i 

 e iΓ j M (Γ j ) =   0 

0   − iΓ j  e 


• In een twisted-nematic cel draait de director over 90 graden tussen de elektroden. • De director staat altijd loodrecht op de voortplantingsrichting van het licht. • Deel de cel op in dunne plakjes; elk dun plakje fungeert als dubbelbrekend element met bepaalde relatieve vertraging. • De dubbelbrekende elementen zijn ten opzichte van elkaar gedraaid.

Twisted Nematic cel 1


 cos β i R( βi ) =   − sin β i

23

21

 Ex   E cos α  −1 −1 −1 −1   = R ( β 4 ) M (Γ 4 ) R ( β 4 )i R ( β 3 ) M (Γ3 ) R ( β 3 )i R ( β 2 ) M (Γ 2 ) R ( β 2 )i R ( β1 ) M (Γ1 ) R ( β1 )   E  E sin α   y

•

De kracht van het Jones-matrix formalisme 1

sin β   0 

β1

β2

λ

2π

(ne − no )d

•Vertraging •Draaiing

Γ/N ρ=φ/Ν

φ

β3

β4

TA

22

N


= R (−φ ) (W (Γ) R (φ / N ) )

N

N

= R −1 (φ ) (W (Γ) R (φ / N ) )

= R −1 ( N ρ ) (W (Γ) R ( ρ ) )

M = R −1 ( N ρ )W (Γ) R ( ρ )W (Γ) R ( ρ )i iW (Γ) R ( ρ )iW (Γ) R ( ρ )

R( ρ )

24

M = R −1 ( N ρ )W (Γ) R ( N ρ )i R −1 (( N − 1) ρ )W (Γ) R (( N − 1) ρ )i i R −1 (2 ρ )W (Γ) R (2 ρ )i R −1 ( ρ )W (Γ) R ( ρ )

Per dunne plak:

Totale director-draaiing (twist) over celdikte d:

Totale vertraging over celdikte d: Γ =

Twisted nematic cel 2


4 Vier  cos β sin β   cos 4 β sin β cos3 β    = polarisatoren: M =  0 0   0 0 

sin β   cos β

E x

Per polarisator: M =  0 0   − sin β cos β  =  0    

 1 0   cos β

β 4 − β 3 = β 3 − β 2 = β 2 − β1 = β1

y

( β ) = R( β )

Een serie polarisatoren op een rijtje

−1

R ( β ) R ( β ) = R (2 β )

R ( β ) R −1 ( β ) = 1

R ( 2β ) R

• Er geldt:

De kracht van het Jones-matrix formalisme 2

N

∆n ⋅ d

Γ

2

π

φ

X≈

Γ 2 1

sin X X Γ sin X cos X + i 2 X

φ


λ

2π

Bijna altijd geldt:

Γ sin X   cos X − i 2 X M = R (−φ )  sin X  −φ  X        Γ   cos 2 M ≈ R ( −φ )   0  

2

25

 0   Γ cos  2

Γ met X = φ 2 +   2

Men kan laten zien dat dit kan worden herschreven als:

 φ Γ  φ Γ     cos N exp  −i 2 N  sin N exp  −i 2 N       M = R (−φ )   φ φ  Γ   Γ   − sin exp  i  cos exp  i  N N  2N   2N   

Twisted Nematic cel 3

26

Niet verstrooiend

Sterk verstrooiend Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde

Geordend

In polymer-dispersed liquid crystals zitten kleine bolletjes vloeibaar kristal opgesloten in een matrix van polymeer (zeg maar plastic). Omdat de director van een bolletje een willekeurige richting uitwijst, heeft, ten gevolge van de dubbele breking van het materiaal, elk bolletje effectief een andere brekingsindex. Dit geldt voor elke keuze van de voortplantingsrichting van het licht. Een materiaal opgebouwd uit bolletjes die een andere brekingsindex hebben dan hun omgeving verstrooit het licht heel effectief. In een uitwendig elektrisch veld lijnen de directors van de bolletjes op. De brekingsindex van het materiaal wordt homogeen; de verstrooing verdwijnt.

Ongeordend

•

•

•

Polymer-dispersed liquid crystals

Bij opwarmen ontstaat een normale isotrope vloeibare. Bij afkoelen van een vloeibaar kristal ontstaat een

Recommend Documents