BAB IV ANALISIS MODEL 2
BAB IV ANALISIS MODEL 2 Pada bab ini akan dibahas titik-titik kesetimbangan Model tanpa delay dan dengan delay. Model yang akan dibahas adalah Model Persamaan 3.5 – 3.8. Selain itu, pada bab ini juga diberikan simulasi Model untuk Persamaan yang sama.
4.1 Titik Kesetimbangan Tanpa Delay Modelnya adalah i S (t ) i S (t )Vi I (t ) dH H i S (t ) = γ N H − mab −γ H dt NV
(4.1)
i S (t − τ )Vi I (t − τ ) i I (t ) H dH i i i I (t ) = mab −γ H dt NV
(4.2)
i I (t ) dVi S (t ) Vi S (t ) H = λ NV − ac − λVi S (t ) dt NH
(4.3)
i I (t − τ ) Vi S (t − τ e ) H dVi I (t ) e = exp(−λτ e )ac − λVi I (t ) dt NH
(4.4)
dengan tanpa delay terhadap waktu atau diasumsikan τ i dan τ e sama dengan nol, maka keempat Model diatas akan berbentuk i S (t ) i S (t )Vi I (t ) dH H i S (t ) = γ N H − mab −γ H dt NV
(4.5)
23
BAB IV ANALISIS MODEL 2 i I (t ) i S (t )Vi I (t ) dH H i I (t ) = mab −γ H dt NV
(4.6)
i I (t ) dVi S (t ) Vi S (t ) H = λ NV − ac − λVi S (t ) dt NH
(4.7)
i I (t ) dVi I (t ) Vi S (t ) H = ac − λVi I (t ) dt NH
(4.8)
Model diatas akan dinormalisasikan dengan mengasumsikan H S (t ) =
i S (t ) i I (t ) H H Vi I (t ) Vi S (t ) , H I (t ) = , VI (t ) = , VS (t ) = NH NH NV NV
sehingga diperoleh Persamaan baru
dH S (t ) = γ − mabH S (t )VI (t ) − γ H S dt
(4.9)
dH I (t ) = mabH S (t )VI (t ) − γ H I (t ) dt
(4.10)
dVS (t ) = λ − acVS (t ) H I (t ) − λVS (t ) dt
(4.11)
dVI (t ) = acVS (t ) H I (t ) − λVI (t ) dt
(4.12)
Model ini memiliki dua titik kesetimbangan yaitu
E0
=
(1, 0,1, 0 )
dan
E1 = ( H s *, H I *,Vs *, VI *) dengan Hs * = Vs * =
γ (ac + λ ) ma 2 bc − γλ , HI * = ac(mab + γ ) (mab + γ )ca ma 2 bc − γλ λ (mab + γ ) , VI * = mab(ac + λ ) mab(ac + λ )
Titik kesetimbangan yang pertama merupakan titik kesetimbangan bebas penyakit sedangkan titik yang kedua merupakan titik kesetimbangan endemik.
24
BAB IV ANALISIS MODEL 2 a. Titik Kesetimbangan Non Endemik (Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit) Matrik Jacobi dari Model tanpa delay terhadap waktu di titik kesetimbangan bebas penyakit E0 = (1, 0,1, 0 ) adalah ⎡ -γ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 0 −γ 0 − ac −λ ac 0
− amb ⎤ amb ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ −λ ⎦
Persamaan karakteristik dari matriks Jacobi di titik kesetimbangan bebas penyakit adalah adalah ( s + γ )( s + λ )( s 2 + sλ + sγ − a 2 cmb + γλ )
(4.13)
Dari Persamaan diatas diperoleh dua nilai eigen yang negatif yaitu −λ , −γ , dan akar dari polinom (s 2 + sλ + sγ − a 2 cmb + γλ )
(4.14)
Selanjutnya dengan aturan Descartes akan ditentukan apakah akar dari polinom tersebut benilai negatif. Dari Persamaan 4.14 koefisien-koefisien Persamaan karakteristik pada saat
s = −s adalah x2 = 1 x1 = −(γ + λ ) x0 = − a 2 cmb + γλ
Koefisien x2 bernilai positif dan koefisien x1 bernilai negatif, maka menurut aturan Descartes koefisien x0 = − a 2 cmb + γλ haruslah bernilai positif agar didapatkan dua kali perubahan tanda yang mengindikasikan ada dua akar negatif, sehingga x0 dapat ditulis dalam bentuk x0 = γλ (1 − R0 ) dengan
R0 =
a 2 mbc
γλ
25
BAB IV ANALISIS MODEL 2 sehingga x0 akan bernilai positif jika R0 < 1 . Maka dapat diketahui bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit dari Model tanpa delay akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika R0 < 1 dan tidak stabil untuk R0 > 1
b. Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemiknya yaitu E1 = ( H S *, H I *, VS *.VI *) dengan HS * = VS * =
γ (ac + λ ) ma 2 bc − γλ , HI * = ac(mab + γ ) (mab + γ )ca λ (mab + γ ) ma 2 bc − γλ , VI * = mab(ac + λ ) mab(ac + λ )
Matrik Jacobinya di titik tersebut adalah
⎡ -a 2 mbc + γλ −γ ⎢ ac λ + ⎢ ⎢ a 2 mbc − γλ ⎢ ac + λ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣
0
0
−γ
0
cλ (mab + γ ) − mb(ac + λ )
a 2 mbc + γλ − −λ mab + γ
cλ (mab + γ ) mb(ac + λ )
−a 2 mbc + γλ − mab + γ
mbγ (ac + λ ) ⎤ ⎥ c(mab + γ ) ⎥ mbγ (ac + λ ) ⎥ ⎥ c(mab + γ ) ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ −λ ⎥⎦
−
Persamaan karakteristik dari matrik Jacobi di titik kesetimbangan endemik adalah
( s + γ )( s + λ )( s 2 + sλ + sγ + sambVI + sacH I + mabVI λ + γ acH I − a 2 mbcVS H S + γλ + a 2 mbcVI H I )
(4.15)
Dari Persamaan 4.15 diperoleh dua nilai eigen yang negatif yaitu −λ , −γ dan akar dari polinom
26
BAB IV ANALISIS MODEL 2
( s 2 + sλ + sγ + sambVI + sacH I + mabVI λ + γ acH I − a 2 mbcVS H S + γλ + a 2 mbcVI H I )
(4.16)
Selanjutnya dengan aturan Descartes akan ditentukan apakah akar dari polinom
tersebut
bernilai
negatif.
Dengan
mensubtitusikan
titik
kesetimbangan E1 ke Persamaan 16, maka akan diperoleh koefisien-koefisien Persamaan karakteristiknya pada saat s = −s adalah x1 = 1 a 2 mbc − γλ a 2 mbc − γλ x2 = −λ − γ − − ac + λ amb + γ x3 =
λ (a 2 mbc − γλ ) γ (a 2 mbc − γλ ) (a 2 mbc − γλ ) 2 + + ac + λ amb + γ (ac + λ )(amb + γ )
Syarat agar titik kesetimbangan stabil, menurut aturan Descartes adalah koefisien x2 bernilai positif, x1 bernilai negatif dan x0 bernilai positif. Aturan Descartes akan terpenuhi jika a 2 mbc − γλ > 0 atau γλ ( R0 − 1) > 0 dengan
R0 =
a 2 mbc
γλ
Artinya x1 akan bernilai negatif dan x0 bernilai positif jika R0 > 1 . Maka kestabilan titik kesetimbangan endemik Model dua akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika R0 > 1 .
4.2 Simulasi Model Selanjutnya akan ditunjukkan dinamik dari H S (t ) , H I (t ) , VS (t ) dan VI (t ) yang diperoleh dari Persamaan 4.9 - 4.12.
4.2.1 Model Tanpa Delay Waktu
Misalkan diberikan nilai parameter untuk Model tanpa delay waktu yang telah dinormalisasikan, yaitu sebagai berikut
27
BAB IV ANALISIS MODEL 2 m = 2, a = 0.35, b = 0.015, c = 0.025, λ = 0.5, γ = 0.00032
Berdasarkan parameter diatas, akan diperoleh nilai R0 = 0.5733 < 1 . Simulasi ini menggunakan nilai awal H S (0) = 0.9, H I (0) = 0.1, VS (0) = 1, dan VI (0) = 0 Maka Grafik H S (t ) , H I (t ) , VS (t ) , dan VI (t ) terhadap waktu (t ) adalah sebagai berikut
Gambar 4.1 Model Tanpa Delay Waktu untuk Non Endemik
Pada Grafik H S (t ) , dapat dilihat bahwa banyaknya susceptible host naik ke titik kesetimbangannya karena ada faktor kelahiran alami.
Pada Grafik H I (t ) , dalam populasi terdapat host yang terinfeksi akibat terjadinya kontak antara susceptible host dengan infectious vector sehingga menjadi infectious host. Selanjutnya, banyaknya infectious host dalam populasi terus berkurang karena kematian dari infectious host. Hal ini akan berlangsung terus hingga pada waktu yang lama akan habis menuju kondisi kesetimbangan.
Begitu juga dengan Grafik VS (t ) , pada waktu awal banyaknya susceptible vector akan berkurang disebabkan karena adanya kontak antara susceptible vector dengan
28
BAB IV ANALISIS MODEL 2
infectious host dan kematian dari susceptible vector. Namun, akan bertambah karena adanya kelahiran susceptible vector. Penambahan ini akan terus terjadi sampai pada saat menuju kondisi kesetimbangan untuk waktu yang lama.
Sedangkan untuk Grafik VI (t ) , dalam populasi vektor mulai ada vektor yang terinfeksi akibat terjadinya kontak antara susceptible vector dengan infectious host sehingga menjadi infectious vector. Selanjutnya, banyaknya infectious vector dalam populasi terus berkurang menuju titik kesetimbangannya karena kematian alami dari infectious vector.
Selanjutnya Model akan dianalisis jika beberapa koefisiennya diganti. Misalkan dengan menaikkan parameter
menjadi m = 2.1 , a = 0.45 , b = 0.025 , c = 0.035 .
Maka diperoleh hasil seperti pada Gambar 4.2 sampai 4.5
Gambar 4.2 Kenaikan Parameter m
Gambar 4.3 Kenaikan Parameter a
29
BAB IV ANALISIS MODEL 2
Gambar 4.4 Kenaikan Parameter b
Gambar 4.5 Kenaikan Parameter c
Dari beberapa simulasi diatas, secara keseluruhan untuk R0 < 1 Grafik H S , H I , VS dan VI konvergen ke nilai kesimbangan bebas penyakitnya yaitu (1, 0, 1, 0). Namun jika nilai parameter m, a, b dan c dinaikkan maka Grafiknya jika dibandingkan dengan Grafik 4.1 akan semakin lambat menuju titik kesetimbangan bebas penyakitnya. Artinya semakin lambat menuju keadaan bebas penyakit. Selain itu, R0 akan semakin besar dan mendekati satu yang berarti semakin mendekati epidemi penyakitnya.
Misalkan diberikan nilai parameter untuk Model tanpa delay terhadap waktu yang telah dinormalisasikan, yaitu sebagai berikut m = 2, a = 0.25, b = 0.065, c = 0.035, λ = 0.5, γ = 0.00032
Berdasarkan parameter diatas, akan diperoleh nilai R0 = 1.7745 > 1 dengan titik kesetimbangannya adalah (0.5678, 0.4322, 0.9925, 0.0075) seperti yang terlihat pada Gambar 4.6. Simulasi ini menggunakan nilai awal H S (0) = 1, H I (0) = 0, VS (0) = 0.99, dan VI (0) = 0.01 Maka Grafik H S (t ) , H I (t ) , VS (t ) , dan VI (t ) terhadap waktu (t ) adalah sebagai berikut
30
BAB IV ANALISIS MODEL 2
Gambar 4.6 Model Tanpa Delay Waktu untuk Endemik
Pada Grafik H S (t ) , karena semakin meningkatnya jumlah host yang terinfeksi disebabkan oleh adanya kontak antara susceptible host dengan infectious vector mengakibatkan jumlah susceptible host mengalami penurunan, selain itu juga karena kematian dari susceptible host. Penurunan ini akan terus berlangsung hingga mencapai titik kesetimbangannya.
Pada Grafik H I (t ) , di awal terjadinya endemik, jumlah infectious host meningkat akibat terjadinya kontak antara susceptible host dengan infectious vector. Hal ini akan berlangsung terus hingga pada waktu yang lama akan menuju kondisi kesetimbangannya.
Begitu juga dengan Grafik VS (t ) , pada waktu awal banyaknya susceptible vector akan naik karena ada kelahiran. Namun akan berkurang disebabkan karena adanya kontak antara susceptible vector dengan infectious host dan kematian dari susceptible vector. Pengurangan ini akan terus terjadi sampai menuju kondisi kesetimbangan.
Sedangkan untuk Grafik VI (t ) , pada mulanya dalam populasi vektor ada vektor yang terinfeksi. Kemudian, banyaknya infectious vector dalam populasi berkurang karena
31
BAB IV ANALISIS MODEL 2
mengalami kematian. Namun dengan bertambahnya populasi susceptible vector menyebabkan infectious vector ikut naik karena kontak antara susceptible vector dengan infectious host sehingga menjadi infectious vector. Pertambahan ini akan naik terus mencapai titik kesetimbangannya.
Selanjutnya Model akan dianalisis jika beberapa koefisiennya diganti. Misalkan dengan menaikkan parameter
menjadi m = 2.1 , a = 0.35 , b = 0.165 , c = 0.135 .
Maka diperoleh hasil seperti pada Gambar 4.7 sampai 4.10.
Gambar 4.7 Kenaikan Parameter m
Gambar 4.9 Kenaikan Parameter b
Gambar 4.8 Kenaikan Parameter a
Gambar 4.10 Kenaikan Parameter c
32
BAB IV ANALISIS MODEL 2
Dari Gambar 4.7 diperoleh R0 = 1.8632 > 1 dengan titik kesetimbangannya adalah (0.5410, 0.4590, 0.9920, 0.0080) . Sedangkan pada Gambar 4.8 diperoleh
R0 = 3.4780 > 1 dengan titik kesetimbangannya (0.2925, 0.7075, 0.9830, 0.0170) . Begitu juga dengan Gambar 4.9 dan Gambar 4.10 dimana diperoleh R0 = 4.5045 > 1 dan R0 = 6.8445 > 1 dengan titik kesetimbangan (0.2250, 0.7750, 0.9866, 0.0134) dan (0.1544, 0.8456, 0.9460, 0.0540) .
Secara keseluruhan, berdasarkan kenaikan parameter-parameter diatas diperoleh nilai R0 > 1 , dan Grafik
H S (t ) ,
H I (t ) , VS (t ) , dan VI (t )
konvergen ke nilai
kesetimbangan endemiknya.
Dari beberapa simulasi di atas, dapat diketahui bahwa jika nilai m, a, b dan c kita naikkan (R0 akan naik) maka jumlah susceptible host dan susceptible vector mengalami penurunan lebih cepat sedangkan infectious host dan infectious vector mengalami kenaikan lebih cepat. Artinya terjadinya epidemi demam berdarah lebih cepat jika nilai R0 semakin besar. Selain itu, kenaikan parameter menyebabkan H S (t ) , H I (t ) , VS (t ) , dan VI (t ) semakin cepat menuju titik kesetimbangan endemiknya.
Dari semua simulasi numerik Model Persamaan 4.9 sampai 4.12 dengan tanpa delay, diperoleh hasil seperti yang terlihat pada Gambar 4.1 sampai 4.10. Simulasi diatas dilihat untuk mengetahui sensitivitas parameter Model 4.9 sampai 4.12 terhadap nilai R0.
33
BAB IV ANALISIS MODEL 2
Secara umum diperoleh hasil untuk nilai a. R0 < 1 Jika nilai parameter m, a, b dan c dinaikkan maka H S (t ) , H I (t ) , VS (t ) , dan VI (t ) akan semakin lambat menuju titik kesetimbangan bebas penyakitnya. b. R0 > 1 Kenaikan parameter menyebabkan H S (t ) , H I (t ) , VS (t ) , dan VI (t ) semakin cepat menuju titik kesetimbangan endemiknya. Jumlah susceptible host dan susceptible vector mengalami penurunan lebih cepat sedangkan infectious host dan infectious vector mengalami kenaikan lebih cepat. Artinya terjadinya epidemik demam berdarah lebih cepat jika nilai R0 semakin besar. Hasil yang diperoleh diatas adalah dengan menggunakan nilai awal yang telah ditetapkan. Oleh sebab itu dilakukan simulasi untuk nilai awal yang berbeda-beda, yakni a. H S (0) = 1, H I (0) = 0, VS (0) = 0.9, dan VI (0) = 0.1 dan H S (0) = 1, H I (0) = 0, VS (0) = 0.75, dan VI (0) = 0.25
Gambar 4.11 Kenaikan Nilai Awal Infectious Vector
Jika nilai awal VI di perbanyak menjadi 0.25 (Gambar kanan), maka H S dan VS akan semakin cepat turun sedangkan H I dan VI akan semakin cepat naik.
34
BAB IV ANALISIS MODEL 2
b. H S (0) = 0.9, H I (0) = 0.1, VS (0) = 1, dan VI (0) = 0 dan H S (0) = 0.75, H I (0) = 0.25, VS (0) = 1, dan VI (0) = 0
Gambar 4.12 Kenaikan Nilai Awal Infectious Host
Pada mulanya tidak ada vektor
yang terinfeksi, namun karena ada host yang
terinfeksi kontak dengan susceptible vector menyebabkan mulai bertambahnya vektor yang terinfeksi. Kemudian jika H I diperbanyak menjadi 0.25 (Gambar 4.12 kanan), maka penurunan jumlah VS dan pertambahan VI akan semakin cepat.
Dari beberapa simulasi nilai awal diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa •
Jika nilai awal VI diperbesar, menyebabkan jumlah H I akan ikutan naik sehingga H S dan VS akan turun.
•
Jika nilai awal H I diperbesar, menyebabkan kenaikan pada jumlah VI sehingga VS dan H S juga akan turun.
•
Adanya H I sangat mempengaruhi pertambahan VI atau sebaliknya, walaupun pada keadaan awal nilainya sama dengan nol.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa pemilihan skenario nilai awal tidak terlalu berpengaruh dalam simulasi ini.
35
BAB IV ANALISIS MODEL 2 4.2.2
Model dengan Delay Waktu
Misalkan diberikan nilai parameter untuk Model dengan delay waktu, yaitu sebagai berikut m = 2, a = 0.3, b = 0.095, c = 0.075, λ = 0.5, γ = 0.00032, NV = 1, N H = 1, τ i = 4, dan τ e = 6
Berdasarkan parameter diatas, akan diperoleh nilai R0 = 0.3984 < 1 . Simulasi ini menggunakan fungsi awal H S (t ) = exp(2t ), H I (t ) = exp(−2t ), VS (t ) = exp(2t ), dan VI (t ) = exp(−2t ) Maka Grafik H S (t ) , H I (t ) , VS (t ) , dan VI (t ) terhadap waktu (t ) adalah sebagai berikut
Gambar 4.15 Model dengan Delay Waktu untuk Non Endemik
Selanjutnya Model akan dianalisis jika beberapa koefisiennya diganti. Misalkan dengan menaikkan parameter menjadi m = 2.1 , a = 0.4 , b = 0.195 , dan c = 0.175 , Maka diperoleh hasil seperti pada Gambar
36
BAB IV ANALISIS MODEL 2
Gambar 4.16 Kenaikan Parameter m, a, b, dan c
Dari beberapa simulasi diatas diperoleh nilai R0 < 1. Jika nilai parameter m, a, b dan c dinaikkan, dibandingkan dengan Gambar 4.15 keempat Gambar 4.16 akan semakin lambat menuju titik kesetimbangan bebas penyakitnya. Artinya semakin lambat menuju keadaan bebas penyakit.
Misalkan diberikan nilai parameter untuk Model dengan delay waktu, yaitu sebagai berikut m = 2, a = 0.45, b = 0.15, c = 0.0825, λ = 0.5, γ = 0.00032, NV = 1, N H = 1, τ i = 4, dan τ e = 6
Berdasarkan parameter diatas, akan diperoleh nilai R0 = 1.5570 > 1 . Simulasi ini menggunakan fungsi awal
37
BAB IV ANALISIS MODEL 2
H S (t ) = exp(2t ), H I (t ) = exp(−2t ), VS (t ) = exp(2t ), dan VI (t ) = exp(−2t ) Maka Grafik H S (t ) , H I (t ) , VS (t ) , dan VI (t ) terhadap waktu (t ) adalah sebagai berikut
Gambar 4.17 Model dengan Delay Waktu untuk Endemik
Selanjutnya Model akan dianalisis jika beberapa koefisiennya diganti. Misalkan dengan menaikkan parameter menjadi m = 2.1, a = 0.5, b = 0.25, c = 0.1825, τ i = 8, dan τ e = 7 Maka diperoleh hasil seperti pada Gambar
38
BAB IV ANALISIS MODEL 2
Gambar 4.18 Kenaikan Parameter m, a, b, dan c
Dari beberapa simulasi di atas, dapat diketahui bahwa jika nilai m, a, b dan c kita naikkan maka H S (t ) , H I (t ) , VS (t ) , dan VI (t ) semakin cepat menuju titik kesetimbangan endemiknya.
Kemudian hasil yang diperoleh diatas adalah dengan menggunakan fungsi awal H S (t ) = exp(2t ), H I (t ) = exp(−2t ), VS (t ) = exp(2t ), dan VI (t ) = exp(−2t ) Oleh sebab itu dilakukan simulasi untuk fungsi awal yang berbeda-beda, yakni a. H S (t ) = exp(1 + 2t ), H I (t ) = exp(−2t ), VS (t ) = exp(2t ), dan VI (t ) = exp(−2t )
Gambar 4.19
39
BAB IV ANALISIS MODEL 2
b. H S (t ) = exp(2t ), H I (t ) = exp(1 − 3t ), VS (t ) = exp(1 + 2t ), dan VI (t ) = exp(−t )
Gambar 4.20
Dari hasil simulasi nilai awal diatas dapat disimpulkan bahwa skenario fungsi awal juga tidak terlalu berpengaruh dalam simulasi ini.
Selanjutnya akan dibandingkan analisis numerik Model dengan delay dan tanpa delay waktu untuk parameter yang sama yaitu m = 2, a = 0.45, b = 0.15, c = 0.0825, λ = 0.5, γ = 0.00032, NV = 1, N H = 1, τ i = 4, dan τ e = 6
Maka akan diperoleh hasil sebagai berikut
Gambar 4.21 Simulasi dengan Delay
Gambar 4.22 Simulasi tanpa Delay
40
BAB IV ANALISIS MODEL 2
Dari simulasi diatas dapat disimpulkan bahwa penggunaan delay waktu membuat H S , H I , VS dan VI lebih lama naik dan turun serta lebih lama menuju titik kesetimbangannya. Artinya dengan adanya delay waktu menyebabkan maksimum kejadian demam berdarah dengue akan semakin lama jika dibandingkan dengan tidak ada delay waktu.
41