BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN

15

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1Relasi Dispersi Pada bagian ini akan dibahas relasi dispersi untuk gelombang internal pada fluida dua-lapisan.Tinjau lapisan fluida dengan 𝜌𝑎 dan 𝜌𝑏 berturut-turut merupakan kerapatan fluida pada lapisan atas dan lapisan bawah.Misalkan gelombanginternal yang ditinjau berupa gelombang monokromatik berikut 𝜂𝑏 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑒 𝑖(𝑘𝑥 −𝜔𝑡 ) , dengan𝜔 merupakan frekuensi gelombang dank menyatakan bilangan gelombang serta A suatu konstanta.Panjang gelombang dapat ditentukan berdasarkan persamaan 𝜆=

2𝜋 𝑘

.

Penyelesaian persamaan (2.20) dengan syarat batas sesuai persamaan (2.25) dinyatakan dalam bentuk 𝜙𝑎 𝑥, 𝑦, 𝑡 = 𝐴𝑎 cosh 𝑘 𝑦 − ℎ𝑎

𝑒𝑖 𝑘𝑥−𝜔𝑡 .

(3.1a)

Kemudian penyelesaian persamaan (2.21) dengan syarat batas sesuai persamaan (2.26) dinyatakan dalam bentuk 𝜙𝑏 𝑥, 𝑦, 𝑡 = 𝐴𝑏 cosh 𝑘 𝑦 + ℎ𝑏

𝑒𝑖 𝑘𝑥−𝜔𝑡 .

(3.1b)

Penurunan persamaan (3.1a) dan (3.1b) dapat dilihat pada lampiran II. Jika persamaan (3.1a) disubstitusikan ke dalam kondisi batas kinematik pada persamaan (2.23), maka di y = 0 diperoleh 𝐴𝑎 𝑘 sinh 𝑘ℎ𝑎 𝑒 𝑖

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

= −𝑖𝜔𝐴𝑒 𝑖

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

+ 𝑈𝑎 𝑖𝑘𝐴𝑒 𝑖

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

.

(3.2a)

Selanjutnya, jika persamaan (3.1b) disubstitusikan ke dalam kondisi batas kinematik pada persamaan (2.23), maka di y = 0 diperoleh 𝐴𝑏 𝑘 sinh 𝑘ℎ𝑏 𝑒 𝑖

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

= −𝑖𝜔𝐴𝑒 𝑖

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

+ 𝑈𝑎 𝑖𝑘𝐴𝑒 𝑖

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

.

(3.2b)

Berdasarkan persamaan (3.2a) dan (3.2b) diperoleh 𝐴𝑎 =

𝑖𝐴 𝑘𝑈𝑎 − 𝜔 , 𝑘 sinh 𝑘ℎ𝑎

(3.3a)

16

𝐴𝑏 =

𝑖𝐴 𝑘𝑈𝑏 − 𝜔 . 𝑘 sinh 𝑘ℎ𝑏

(3.3b)

Jika𝜙𝑎 dan 𝜙𝑏 pada persamaan (3.1a) dan (3.1b) disubstitusikanke dalam kondisi batas dinamik pada persamaan (2.24), maka diperoleh 𝜌𝑏 𝑈𝑏 𝑖𝑘𝐴𝑏 cosh⁡ (𝑘ℎ𝑏 )𝑒 𝑖

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

− 𝑖𝜔𝐴𝑏 cosh 𝑘ℎ𝑏 𝑒 𝑖

= 𝜌𝑎 𝑈𝑏 −𝑖𝑘𝐴𝑎 cosh⁡ (𝑘ℎ𝑎 )𝑒 𝑖 + 𝑖𝜔𝐴𝑎 cosh 𝑘ℎ𝑎 𝑒 𝑖 + 𝛾(𝑖𝑘)2 𝐴𝑒 𝑖

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

+ 𝑔𝐴𝑒 𝑖

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

+ 𝑔𝐴𝑒 𝑖

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

.

(3.4)

Jika kedua ruas pada persamaan (3.4) dibagi dengan 𝑒 𝑖

𝑘𝑥 −𝜔𝑡

, maka diperoleh

𝜌𝑏 𝑈𝑏 𝑖𝑘𝐴𝑏 cosh⁡ (𝑘ℎ𝑏 ) − 𝑖𝜔𝐴𝑏 cosh 𝑘ℎ𝑏 + 𝑔𝐴 = 𝜌𝑎 𝑈𝑎 −𝑖𝑘𝐴𝑎 cosh⁡ (𝑘ℎ𝑎 ) + 𝑖𝜔𝐴𝑎 cosh 𝑘ℎ𝑎 + 𝑔𝐴 + 𝛾𝐴(𝑖𝑘)2 , atau 𝜌𝑏 𝑈𝑏 𝑘 − 𝜔 𝑖 𝐴𝑏 cosh 𝑘ℎ𝑏 + 𝑔𝐴 = 𝜌𝑎 − 𝑈𝑎 𝑘 − 𝜔 𝑖𝐴𝑎 cosh 𝑘ℎ𝑎 + 𝑔𝐴 +𝛾𝐴(𝑖𝑘)2 . (3.5) Jika bentuk Aadan Ab pada persamaan (3.3a) dan (3.3b) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.5) dan dieliminasikanA, maka diperoleh 𝜌𝑏

𝑈𝑏 𝑘 − 𝜔 𝑖

𝑖 𝑘𝑈𝑏 − 𝜔 𝑘 sinh 𝑘ℎ𝑏

cosh 𝑘ℎ𝑏 + 𝑔

= 𝜌𝑎 − 𝑈𝑎 𝑘 − 𝜔 𝑖

𝑖 𝑘𝑈𝑎 − 𝜔 𝑘 sinh 𝑘ℎ𝑎

cosh 𝑘ℎ𝑎 + 𝑔

+ 𝛾 𝑖𝑘 2 , atau 𝜌𝑏

𝑈𝑏 𝑘 − 𝜔

2

−1 +𝑔 𝑘 tanh 𝑘ℎ𝑏

= 𝜌𝑎

𝑈𝑎 𝑘 − 𝜔

2

1 + 𝑔 +𝛾 𝑖𝑘 2 . (3.6) 𝑘 tanh 𝑘ℎ𝑎

Jika persamaan (3.6) dikalikan dengan k, maka diperoleh −𝑆𝑏 𝑈𝑏 𝑘 − 𝜔 2 𝜌𝑏 + 𝑔𝑘𝜌𝑏 −𝑆𝑎 𝑈𝑎 𝑘 − 𝜔 2 𝜌𝑎 − 𝑔𝑘𝜌𝑎 + 𝛾𝑘 3 = 0,

17

atau 𝑆𝑏 𝑈𝑏 𝑘 − 𝜔 2 𝜌𝑏 − 𝑔𝑘𝜌𝑏 +𝑆𝑎 𝑈𝑎 𝑘 − 𝜔 2 𝜌𝑎 + 𝑔𝑘𝜌𝑎 + 𝛾𝑘 3 = 0, atau (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 )𝜔2 − 2𝑘 𝑆𝑎 𝑈𝑎 + 𝑆𝑏 𝑈𝑏 𝜔 + 𝑘 2 𝑆𝑎 𝑈𝑎2 + 𝑆𝑏 𝑈𝑏2 − 𝑔𝑘 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 + 𝛾𝑘 3 = 0, (3.7)

dengan 𝜌𝑎 , tanh 𝑘ℎ𝑎

𝑆𝑎 = Persamaan

(3.7)

𝑆𝑏 =

𝜌𝑏 . tanh 𝑘ℎ𝑏

merupakan persamaan kuadrat

𝜔dengan

dalam

penyelesaian dalam bentuk: 𝜔𝑏 ,𝑎 𝑘 =

𝑘 𝑆𝑎 𝑈𝑎 + 𝑆𝑏 𝑈𝑏 𝐷 ± , 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 𝑆𝑎 + 𝑆𝑏

(3.8)

dengan 𝐷 = 𝑘 2 𝑆𝑎 𝑈𝑎 + 𝑆𝑏 𝑈𝑏

2

− (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 ) 𝑘 2 𝑆𝑎 𝑈𝑎2 + 𝑆𝑏 𝑈𝑏2 − 𝑔𝑘 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎

+(𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 ) 𝛾𝑘 3 . Persamaan (3.8) merupakan relasi dispersi dari persamaan dasar fluida ideal yang tak berotasi.Relasi dispersi ini merupakan relasi dispersi Kelvin-Helmholtz (Visser, 2004). Relasi ini yang akan dikaji dalam penelitian ini. 3.2. Ketakstabilan Gelombang Internal Perubahan amplitudo gelombang sangat berpengaruh pada terjadinya ketakstabilan gelombang internal.Perubahan amplitudo dapat diakibatkan oleh perubahan

bilangan

gelombang,

frekuensi

gelombang,

dan

kecepatan

arus.Amplitudo yang meningkat secara terus menerus menyebabkan gelombang internal tidak stabil. 3.2.1. Ketakstabilan Temporal Ketaksabilan dari gelombang internal ditentukan dari bagian imajiner pada relasi dispersi Kelvin-Helmholtz pada persamaan (3.8). Bagian imajiner dari persamaan (3.8) diperoleh bilamana (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 )2 < 0, sehingga diperoleh 𝑘 2 𝑆𝑎 𝑈𝑎 + 𝑆𝑏 𝑈𝑏

2

− (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 ) 𝑘 2 𝑆𝑎 𝑈𝑎2 + 𝑆𝑏 𝑈𝑏2 − 𝑔𝑘 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 +(𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 )𝛾𝑘 3 = 0.

(3.9)

18

Misalkan kecepatan arus pada lapisan bawah sangat kecil (Ub= 0) dan tegangan permukaan 𝛾=0, maka persamaan (3.9) menjadi: −𝑆𝑏 𝑆𝑎 𝑈𝑎2 𝑘 2 + 𝑔𝑘 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 ) = 0.

(3.10)

Kestabilan temporal dihasilkan dari −𝑆𝑏 𝑆𝑎 𝑈𝑎2 𝑘 2 + 𝑔𝑘 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 ) < 0, atau 𝑈2𝑎 >

𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 ) . 𝑘𝑆𝑎 𝑆𝑏

(3.11)

Nilai kritis dari kestabilan temporal adalah 𝑈𝑎𝑐𝑟𝑖𝑡 =

𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 (𝑆𝑎 + 𝑆𝑏 ) . 𝑘𝑆𝑎 𝑆𝑏

(3.12)

Dengan demikian kestabilan temporal terjadi bilamana |Ua|
(3.13)

Persamaan (3.13) merupakan persamaan taklinear terhadap k yang penyelesaiannya secara analitik sulit dilakukan, untuk itu diperlukan beberapa asumsi. Misalkan diasumsikan domain fluida dua lapisan masing-masing memiliki ketebalan yang cukup besar (kha>>0 dan khb>>0), sehingga Sa = 𝜌𝑎 dan Sb= 𝜌𝑏 . Berdasarkan asumsi tersebut persamaan (3.13) menjadi (𝜌𝑎 + 𝜌𝑏 )𝜔2 − 2𝑘 𝜌𝑎 𝑈𝑎 𝜔 + 𝑘 2 𝜌𝑎 𝑈𝑎2 − 𝑔𝑘 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 = 0, atau 𝑘 2 𝜌𝑎 𝑈𝑎2 − 𝑘 2𝜌𝑎 𝑈𝑎 𝜔 + 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎

+ 𝜌𝑎 + 𝜌𝑏 𝜔2 = 0.

(3.14)

Persamaan (3.14) berupa persamaan kuadrat dalam k dengan penyelesaian dalam bentuk: 𝑘𝑏,𝑎 𝜔, 𝑈𝑎 =

2𝜌𝑎 𝑈𝑎 𝜔 + 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2𝜌𝑎 𝑈𝑎2 ±

2𝜌𝑎 𝑈𝑎 𝜔 + 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎

2

− 4𝜌𝑎 𝑈𝑎2 𝜌𝑎 + 𝜌𝑏 𝜔 2

2𝜌𝑎 𝑈𝑎2

,

19

atau 𝑘𝑏,𝑎 𝜔, 𝑈𝑎 = ±

2𝜌𝑎 𝑈𝑎 𝜔 + 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2𝜌𝑎 𝑈𝑎2 4𝜌𝑎2 𝑈𝑎2 𝜔 2 + 4𝜌𝑎 𝑈𝑎 𝜔𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 + 𝑔2 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2𝜌𝑎 𝑈𝑎2

2

− 4𝜌𝑎 𝑈𝑎2 𝜌𝑎 + 𝜌𝑏 𝜔 2

atau 𝑘𝑏,𝑎 𝜔, 𝑈𝑎 = ±

2𝜌𝑎 𝑈𝑎 𝜔 + 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2𝜌𝑎 𝑈𝑎2 (4𝜌𝑎2 𝑈𝑎2 −4𝜌𝑎 𝑈𝑎2 𝜌𝑎 + 𝜌𝑏 )𝜔 2 + 4𝜌𝑎 𝜔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔𝑈𝑎 + 𝑔2 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2 , 2𝜌𝑎 𝑈𝑎2

atau 𝑘𝑏,𝑎 𝜔, 𝑈𝑎 = ±

2𝜌𝑎 𝑈𝑎 𝜔 + 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2𝜌𝑎 𝑈𝑎2 (−4𝜌𝑎 𝜌𝑏 𝑈𝑎2 )𝜔 2 + 4𝜌𝑎 𝜔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔𝑈𝑎 + 𝑔2 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2𝜌𝑎 𝑈𝑎2

2

.

(3.15)

Ketakstabilan dari gelombang internal ditentukan dari bagian imajiner pada persamaan (3.15).Bagian imajiner dari persamaan (3.15) diperoleh bilamana (2𝜌𝑎 𝑈𝑎2 )2 < 0,sehingga nilai kritis dari kestabilan spasial berbentuk (4𝜌𝑎 𝜌𝑏 𝑈𝑎2 )𝜔2 − 4𝜌𝑎 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔𝑈𝑎 𝜔 − 𝑔2 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎

2

=0

(3.16)

Persamaan (3.16) merupakan persamaan kuadrat dalam 𝜔 dengan penyelesaian dalam bentuk: 𝜔𝑏 ,𝑎𝐶𝑟𝑖𝑡

𝜌𝑎 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔 (4𝜌𝑎 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔𝑈𝑎 )2 + 4(4𝜌𝑎 𝜌𝑏 𝑈𝑎2 )𝑔2 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2 = ± , 2𝜌𝑎 𝜌𝑏 𝑈𝑎 2𝜌𝑎 𝜌𝑏 𝑈𝑎2

atau 𝜔𝑏,𝑎𝐶𝑟𝑖𝑡 =

𝜌𝑎 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔 16𝜌𝑎2 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2 𝑔2 𝑈𝑎2 + 16𝜌𝑎 𝜌𝑏 𝑈𝑎2 )𝑔2 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 2 ± , 2𝜌𝑎 𝜌𝑏 𝑈𝑎 8𝜌𝑎 𝜌𝑏 𝑈𝑎2

atau 𝜔𝑏,𝑎𝐶𝑟𝑖𝑡 =

𝜌𝑎 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔 4𝑈𝑎 𝑔 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝜌𝑎 𝜌𝑏 + 𝜌𝑎2 ± , 2𝜌𝑎 𝜌𝑏 𝑈𝑎 8𝜌𝑎 𝜌𝑏 𝑈𝑎2

,

20

atau 𝜔𝑏,𝑎𝐶𝑟𝑖𝑡

𝜌𝑎 ± 𝜌𝑎 𝜌𝑏 + 𝜌𝑎2 𝜌𝑏 − 𝜌𝑎 𝑔 = . 2𝜌𝑎 𝜌𝑏 𝑈𝑎

(3.17)

Dengan demikian kestabilan spasial terjadi bilamana 𝜔 < 𝜔𝑏𝐶𝑟𝑖𝑡 (untuk 𝜔 > 0) dan 𝜔 > 𝜔𝑎𝐶𝑟𝑖𝑡 (untuk 𝜔 < 0). 3.3. PembangkitanGelombang Internal di Selat Makassar Pada bagian ini akan diuraikan skenario pembangkitan gelombang internal di Selat Makassar. Skenario tersebut menggunakan relasi dispersi pada persamaan (3.8). Terdapat dua skenario yang akan digunakan, yaitu simulasikecepatan arus dan panjang gelombang internal yang ditinjau pada Selat Makassar. Berikut ini akan dikaji relasi dispersi pada persamaan (3.8) dengan menggunakan beberapa asumsi yang berdasarkan data oseanografi pada Selat Makassar. Asumsi-asumsi tersebut adalah sebagai berikut: Asumsi 1.Kedalaman pada lapisan atas adalah 300 meter, sehingga ha = 300m. Ketebalan ha = 300mdipilih berdasarkan kondisi oseanografi Selat Makassar dimana pada ketebalan 300 meter terjadi perubahan kerapatan yang sangat cepat. Ketebalan lapisan bawah yang ditinjau adalah hb = 1500m. Asumsi 2.Kecepatan arus pada lapisan bawah sangat kecil sehingga diasumsikan Ub = 0, sedangkan kecepatan arus pada lapisan atas berubah terhadap kedalaman. Asumsi 3.Tegangan permukaan diasumsikansama dengan nol, yaitu𝛾 = 0. kg

kg

Asumsi 4.𝜌𝑏 = 1035 m 3 dan𝜌𝑎 = 1024 m 3 . Hasil ini berdasarkan profil kerapatan yang diberikan pada Gambar 2.3. Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, maka penyelesaian dari relasi dispersi Kelvin Helmholtz pada persamaan (3.8), yaitu 𝜔𝑏 (𝑘) dan 𝜔𝑎 (𝑘) untuk nilai Ua yang berbeda-bedadiberikan dalam Gambar 3.1.

21

𝝎

0.15

Ua=0.65 Ua=0.75

0.10

Ua=0.85 0.05

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

k

Gambar 3.1.Grafik frekuensi gelombang 𝜔(𝑘). Fungsi𝜔(𝑘)seperti yang diperlihatkan Gambar3.1 menggunakan nilai Uayang berbeda, yaitu: Ua = 0.65, Ua = 0.75 dan Ua = 0.85. Garis putus-putus memperlihatkan penyelesaian𝜔𝑎 (𝑘)pada persamaan (3.8) yang merupakan frekuensi gelombang internal yang terjadi di lapisan atas.Garis kontinu memperlihatkan penyelesaian𝜔𝑏 (𝑘) pada persamaan (3.8) yang merupakan frekuensi gelombang internal yang terjadi di lapisan bawah. Berdasarkan Gambar 3.1, jika k kecil, maka frekuensi gelombang negatif.Ini berarti gelombang yang terjadi bergerak menjauhi gelombang yang lebih besar.Selain itu, jika kecepatan arus pada lapisan atas mengecil, maka k membesar pada lapisan bawah. Ini berarti panjang gelombang internal yang terjadi semakin mengecil, atau dengan kata lain amplitudo semakin besar. Dengan demikian kecepatan fase juga semakin besar, hal ini konsisten dengan kecepatan fase pada Gambar 3.2. Karena kecepatan fase didefinisikansebagai 𝑐 𝑘 = fasepada lapisan atas adalah 𝑐𝑎 𝑘 = adalah 𝑐𝑏 𝑘 =

𝜔 𝑏 (𝑘) 𝑘

𝜔 𝑎 (𝑘) 𝑘

𝜔 (𝑘) 𝑘

, maka kecepatan

dan kecepatan fase pada lapisan bawah

. Kecepatan fasegelombang dapatdilihat pada Gambar 3.2,

dengan Ua = 0.65, Ua = 0.75 dan Ua = 0.85.

22

c 2

1

Ua=0.85 0.1

0.2

0.3

Ua=0.75

Ua=0.65

0.4

0.5

k

 1 -1

Gambar 3.2.Kecepatan FaseGelombang pada lapisan atas (garis putus-putus dan pada lapisan bawah (garis kontinu) untuk Uaberbeda-beda. 3.4. Ketakstabilan Gelombang Internal di Selat Makassar Pada bagian ini akan dibahas ketakstabilan dari gelombang internal di Selat Makassar berdasarkan kriteria ketakstabilan temporal dan spasial. 3.4.1. Ketakstabilan Temporal Berdasarkan persamaan (3.12), diperoleh Gambar 3.3 yang memperlihatkan suatu daerah dimana pada saat nilai Ua tertentu, gelombang menjadi tak stabil. UaCrit Area tak stabil

1.26

k 0.125

Gambar

3.3.Daerah ketakstabilan persamaan (3.12).

gelombang

internal

berdasarkan

Gambar 3.3 memperlihatkan bahwa gelombang yang memiliki bilangan gelombang 0.125 (panjang gelombang 50 m) tidak stabil pada daerah dengan

23

kecepatan arus lebih besar dari 1.26 m/s. Jika kecepatan arusnya kurang dari 1.26 m/s, maka gelombang tersebut akan stabil. Berdasarkan persamaan (3.8), dapat ditunjukkan hubungan antara frekuensi gelombang dengan daerah kestabilan gelombang dengan k≈ 0.125 seperti diperlihatkan pada Gambar 3.4. 𝝎 0.15

0.10

0.05

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Ua

 0.05 -

UaCrit

 0.10 -

Gambar 3.4.Hubunganfrekuensi gelombang dan kecepatan arus. Pada Gambar 3.4 memperlihatkan bahwa gelombang dengan k≈ 0.125 memiliki frekuensi yang meningkat mendekati kurva linear dengan bertambahnya nilai Ua> 1.26. Dengan kata lain gelombang ini tidak stabil. Berdasarkan Gambar 3.4, bilamana 𝑈𝑎 mengecil dengan 𝑈𝑎 < 1.26,frekuensi gelombang berada pada nilai 0.08-0.11. Dengan kata lain gelombang ini akan stabil.Dengan demikian untuk membangkitkan gelombang dengan panjang 50 m dan stabil, maka diperlukan adanya arus dengan kecepatan kurang dari 1.26 m/s. 3.4.2. Ketakstabilan Spasial Berdasarkan

persamaan

(3.17),

diperoleh

Gambar

3.5

yang

memperlihatkan suatu daerah dimana pada saat nilai 𝜔 dan Ua tertentu, gelombang menjadi tak stabil.

24

𝝎

𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒂𝒌 𝒔𝒕𝒂𝒃𝒊𝒍 0.12

𝝎𝒃

𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒃𝒊𝒍 -0.01 -0.02

Ua

2.2

𝝎𝒂 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒂𝒌 𝒔𝒕𝒂𝒃𝒊𝒍

Gambar

3.5.Daerahketakstabilan persamaan (3.17)

gelombang

internal

berdasarkan

Gambar 3.5 memperlihatkan bahwa gelombang yang memiliki frekuensi gelombang -0.01 tidak stabil pada daerah dengan kecepatan arus lebih besar dari 2.2 m/s. Jika kecepatan arusnya kurang dari 2.2 m/s, maka gelombang tersebut akan stabil. Berdasarkan persamaan (3.15), dapat ditunjukkan hubungan antara bilangan gelombang dengan daerah kestabilan gelombang dengan 𝜔 = −0.01 seperti diperlihatkan pada Gambar 3.6. k 0.010

0.005

Stabil

Tak stabil

2

4

6

8

10

Ua

UaCrit

Gambar 3.6.Hubunganbilangan gelombang dan kecepatan arus untuk 𝜔 = −0.01. Pada Gambar 3.6 memperlihatkan bahwa gelombang dengan 𝜔 = −0.01 memiliki bilangan gelombang yang meningkat pada lapisan atas (ka(Ua)) dan menurun pada lapisan bawah (kb(Ua)), kedua kurva bilangan gelombang seperti

25

yang ditunjukkan dengan garis merah pada Gambar 3.6 bergerak mendekati kurva berwarna biru dengan bertambahnya nilai Ua> 2.2. Dengan kata lain gelombang ini tidak stabil. Berdasarkan Gambar 3.6, bilamana 𝑈𝑎 mengecil dengan (𝑈𝑎 < 2.2), maka gelombang ini akan stabil.Dengan demikian untuk membangkitkan gelombang dengan frekuensi -0.01 Hz dan stabil, maka diperlukan adanya arus dengan kecepatan kurang dari 2.2 m/s. Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.15), dapat ditunjukkan hubungan antara bilangan gelombang dengan daerah kestabilan gelombang dengan Ua = 1 seperti diperlihatkan pada Gambar 3.7. k

Tak stabil

Stabil

Tak stabil

0.3

0.2

0.1

 0.2

 0.1

0.1

 0.1

𝜔aCrit

𝜔bCrit

0.2

0.3

𝝎

 0.2

Gambar 3.7.Kurva k dari ketakstabilan spasial yang bergantung pada 𝜔. Pada Gambar 3.7 memperlihatkan bahwa gelombang dengan Ua =1 memiliki bilangan gelombang yang meningkat mendekati kurva linear dengan bertambahnya nilai 𝜔> 0.12. Dengan kata lain gelombang ini tidak stabil. Berdasarkan Gambar 3.7, bilamana 𝜔 mengecil dengan −0.02 < 𝜔 < 0.12, maka gelombang ini akan stabil. Selanjutnya, bilangan gelombang menurun mendekati kurva linear dengan berkurangnya nilai 𝜔 < −0.02. Dengan kata lain gelombang ini tidak stabil. Dengan demikian apabila kecepatan arus ditetapkan 1 m/s, maka gelombang akan stabil pada frekuensi antara -0.02 dan 0.12. Dalam hal ini bilangan gelombang menjadi dua kali lipat atau panjang gelombang yang tertentu menjadi setengahnya.