7
BAB II KAJIAN TEORITIS DAN HIPOTESIS TINDAKAN 1.1. Kajian Teoritis 2.1.1
Hakikat Bilangan Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk
pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks (Http://id.wikipedia.org/wiki/bilangan) Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika. Teori Bilangan (NumberTheory) menurut Winataputra,dkk (1993:184) adalah cabang dari ilmu matematika yang mempelajari tentang sifat-sifat, hubungan-hubungan dari berbagai macam bilangan. Kelompok bilanganbilangan alam (natural numbers) adalah kelompok bilangan terpenting yang dipelajari didalam TeoriBilangan dari berbagai macam kelompok bilangan yang
8
terdapat didalam teori bilangan. Dari kelompok bilangan-bilangan alam tersebut yang peranannya menonjol adalah bilangan prima, yang merupakan bilangan alam yang lebih besar dari 1 dan pembagi positifnya hanyalah 1 dan bilangan itu sendiri.Salah satu hasil dari Teori Bilangan menunjukkan bahwa perkalian dari bilangan-bilangan prima dapat menghasilkan semua bilangan alam kecuali 1.
2.1.2 Jenis-jenis Bilangan A. Bilangan Asli Biasanya dinyatakan dengan lambang N. Bilangan asli memiliki asal dari kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-benda, dimulai dari bilangan satu. Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsur himpunan {1, 2, 3, 4, ...} Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan teori himpunan. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan himpunan kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, logika dan ilmu komputer. Matematikawan lain, seperti dalam bidang teori bilangan, bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama. Di mulai dari 1, 2, 3, 4, 5, …. Bilangan asli terdiri atas : 1. Bilangan genap Adalah bilangan cacah yang habis dibagi dua, seperti 2,4,6,8….
2. Bilangan ganjil
9
Adalah bilangan cacah yang tidak genap. Bilangan tersebut adalah 1, 3, 5, 7,…. 3. Bilangan Komposit Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan yang lain Komposit = {4,6,8,9,… 4. Bilangan prima Bilangan prima adalah suatu bilangan yang dimulai dari 2 dan hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri = {2,3,5,7,...}. B. Bilangan bulat Biasanya dinyatakan dengan lambang Z. Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan“). Di mulai dari …., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Bilangan bulat terdiri dari : 1. Bilangan bulat negatif Di mulai dari …., -5, -4, -3, -2, -1 2. Bilangan cacah Adalah semua bilangan asli. Bilangan tersebut adalah 1, 2, 3,…. 3. Bilangan nol Kata Nol atau “Zero” berasal dari bahasa latin Zephirum yang berarti kosong atau hampa ratusan tahun yang lalu, manusia hanya
10
mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Nol telah digunakan dalam notasi posisi sejak 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka mencopotnya bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut. Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan India Brahmagupta C. Bilangan Rasional Adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk dengan p dan q bilangan bulat serta q ≠ 0. Bilangan rasional merupakan bentuk pembagian dua buah bilangan bulat dengan desimal tak terbatas dan periodik. D. Bilangan Irasional Adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, , dan bilangan e. Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi = 3,1415926535.... atau = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... Untuk bilangan : = 1,4142135623730950488016887242096.... atau = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798.. dan untuk bilangan e: = 2,7182818.... E. Bilangan Real
11
Adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal. Menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan sqrt2. Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. F. Bilangan Kompleks Adalah bilangan yang berbentuk dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a. Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2. 2.1.3 Bilangan Prima Adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya. Coba perhatikan contoh beberapa bilangan berikut ini: 2,3,5,7 2=1x2
12
3=1x3 5=1x5 7=1x7 Ke empat factor tersebut mempunyai factor 1 dan dirinya sendiri, tidak mempunyai factor yang lain. Bilangan semacam ini disebut bilangan prima. 11 = 1 x 11 tidak mempunyai factor lain selain 11 dan 1, sehingga 11 adalah bilangan prima. Akan tetapi 4 adalah bukan bilangan prima, sebab selain 1 x 4 = 4, 4 juga dapat dinyatakan dengan 2 x 2,yang berarti 4 mempunyai factor 1,2 dan 4. Walaupun 1= 1 x 1, yang berarti 1 mempunyai factor 1 dan dirinya sendiri, akan tetapi 1 tidak digolongkan sebagai bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1 yang mempunyai hanya dua factor yaitu 1 dan dirinya sendiri. Menurut Wahyudin (dalam Hamka 2010:10)bilangan prima adalah integer yang lebih besar dari 1 dan pembagi positifnya hanyalah 1 dan dirinya sendiri. Contoh bilangan prima adalah 2, 3,5, 7, 11, 13, 17, ....Integer yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit (composite number). Pengertian lainnya adalah Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya (Koetting,1996:137) 2.1.4
Hakikat Media saringan erastothenes
2.1.4.1 Pengertian media
13
Media berasal dari bahasa latin yang merupakan bentuk kata ‘ medium ‘secara harfiah adalah pengantar/perantara. Media adalah pengantar dan perantara pesan dari pengerim ke penerima pesan.Menurut Gagne (dalam Hamalik,1998:6) menyatakan bahwa media adalahberbagai jenis komponen dalam lingkungan siswa yang dapat merangsang siswa untuk belajar. Media dalam pengertian yang lebih spesifik lagi adalah sebagai alat bantu atau peraga. Berkenaan dengan pengertian ini. Natawijaya dalam Tambunan (2006:14) mengemukakan bahwa Alat peraga yaitu alat bantu atau pelengkap yang digunakan oleh guru dalam berkomunikasi dengan siswa. Alat peraga berupa benda maupun perilaku. Benda dapat berupa langsung seperti daun-daunan,bunga atau pensil. Dapat juga berupa benda tiruan berupa model bola dunia,gajah-gajahan dan dapat berupa benda tak langsung misalnya papan tulis,tape, recorder atau film. Dari uraian tersebut dapat disimpulkan media bukan sekedar alat peraga yang dilihat atau didengar, namun media merupakan segala sesuatu yang dapat digunakan untuk menyalurkan pesan untuk merangsang,pikiran,perasaan dan minat serta perhatian anak sehingga proses belajar mengajar akan terlaksana dengan baik sesuai yang diharapkan. Menurut Azhar (2002:32) Manfaat penggunaan media dalam proses pembelajaran adalah sebagai : 1. Meletakkan dasar-dasar yang konkret dalam berfikir dan mengurangi verbalism. 2. Memperbesar perhatian siswa dalam proses belajar mengajar
14
3. Meletakkan dasar-dasar yang penting untuk perkembangan proses belajar mengajar dan membuat pelajaran yang mantap 4. Menumbuhkan pemikiran yang teratur, lentur dan kontinu terutama melalui gambar hidup membantu tumbuhnya pengertian yang dapat membantu perkembangan kemampuan berbahasa 5. Memberikan pengalaman yang tidak mudah diperoleh dengan cara lain dan membantu efisiensi dan keragaman yang lebih banyak dalam belajar. 2.1.4.2 Saringan Erastothenes dalam Pembelajaran Bilangan Prima Saringan Erastothnes adalah sebuah media yang dapat digunakan untuk menemukan bilangan prima antara 1 dan suatu angka n. Saringan Erastothenes ini ditemukan oleh Eratosthenes, seorang ilmuwan Yunani kuno ( http:/id.wikipedia/Saringan_Erastothenes )
Langkah-langkah pengunaan saringan erastothenes adalah sebagai berikut : 1. Tulis semua bilangan, mulai dari 1 sampai n. Misalkan ini adalah daftar A. 2. Buat suatu daftar yang masih kosong, sebut saja daftar B. 3. Coret bilangan 1 dari daftar A.
15
4. Lalu tulis 2 pada daftar B. Lalu coret 2 dan semua kelipatannya dari daftar A 5. Bilangan pertama yang belum tercoret dari daftar A (misalnya 3) adalah bilanganprima. Tulis bilangan ini di daftar B, lalu coret bilangan ini dan semua kelipatannya dari daftar A. 6. Ulangi langkah 4 dan berhenti pada giliran bilangan yang lebih besar dari √n. 7. Tulis semua bilangan yang belum dicoret pada daftar B. 8. Selesai. Daftar B memuat semua bilanganprima antara 1 sampai n.
2.1.5
Kajian Penelitian Yang Relevan Berdasarkan hasil penelitian Eneng Sri Susilowati dalam meningkatkan
kemampuan siswa menentukan bilangan prima pada mata pelajaran matematika di sekolah dasar dengan menggunakan media dadu.kemampuan anak menggenal
16
konsep bilangan berdasarkan kategorisasi pada awal (pre-test) tidak ada seorang anak pun yang berada pada BSH (Berkembang Sesuai Harapan), lima orang anak atau 33,3 % berada pada kategori MDP (Masih Dalam Proses) dan 10 orang anak atau 66,6 % berada pada kategori BT (Belum Terlihat), sedangkan berdasarkan hasil post test, kemampuan anak mengenal bilangan mengalami peningkatan yaitu yang bearad pada kategori BSH(Berkembang Sesuai Harapan) sebanyak 14 orang atau 93,3 % pada kategori MDP(Masih Dalam Proses) hanya satu orang atau 6,6% dan yang berada pada kategori BT(belum Terlihat) tidak ada atau 0%. Dari data tersebut dapat disimpulkan bahwa semua anak mengalami peningkatan dalam kemampuan menentukan bilangan. Hal ini terjadi karena melalui pembelajaran dengan menggunakan media dadu, proses pembelajaran lebih menyenangkan, menarik sehingga anak-anak semakin termotifasi dan aktif untuk mengikuti proses pembelajaran.
2.2 Hipotesis Tindakan Hipotesis tindakan dalam penelitian ini adalah
sebagai berikut :“Jika
melalui media saringan erastothenes maka kemampuan menentukan bilangan prima pada siswa kelas IV SDN 2 Tolinggula Tengah akan meningkat.”
2.3 Indikator Kinerja Yang menjadi indikator keberhasilan penelitian tindakan kelas ini adalah minimal 75 % siswa kelas IV SDN 2 Tolinggula Tengah yang dikenai tindakan memperoleh nilai 70 ke atas.
17
