APLIKASI MATRIKS DAN RUANG VEKTOR, oleh Dr. Adiwijaya Hak Cipta © 2014 pada penulis GRAHA ILMU Ruko Jambusari 7A Yogyakarta 55283 Telp: 0274-889398; Fax: 0274-889057; E-mail:
[email protected] Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit. ISBN: Cetakan ke I, tahun 2014
KATA PENGANTAR
B
uku “Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor” dapat digunakan sebagai pedoman bagi setiap mahasiswa yang sedang mengambil mata kuliah Matriks dan Ruang vektor atau Aljabar Linear Elementer atau mata kuliah sejenisnya yang diselenggarakan di tahun pertama perkuliahan. Buku ini pun dapat menjadi rujukan bagi para mahasiswa yang sedang mengambil tugas akhir, karena buku ini telah dilengkapi dengan aplikasi dan contoh penyelesaian masalah dengan menggunakan MATLAB. Mata kuliah Matriks dan Ruang vektor maupun Aljabar Linear Elementer merupakan mata kuliah wajib bagi setiap mahasiswa yang berada di fakultas teknik. Hal ini dikarenakan materi Matriks dan Ruang vektor atau Aljabar Linear Elementer menjadi dasar dalam mempelajari ilmu pengetahuan maupun teknologi yang lebih tinggi. Dalam pemaparan materi, penulis melakukan pendekatan praktis, sehingga diharapkan para pembaca dapat memahami isi buku ini lebih mudah dan cepat. Selain itu, buku ini dilengkapi dengan beberapa contoh penggunaan atau penyelesaian menggunakan MATLAB. Penyusunan buku ini berawal dari sebuah diktat mata kuliah Aljabar Linear Elementer di Telkom University (d/h Institut Teknologi Telkom), Bandung. Sejak disusun tahun 2002, dikat yang digunakan bagi mahasiswa perkuliahan Matriks dan Ruang vektor atau Aljabar Linear Elementer yang dilaksanakan pada Tahap Persiapan Bersama (Tingkat I), secara terus
vi
Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor
menerus mengalami penyempurnaan. Sehingga akhirnya, jadilah sebuah buku yang diberi judul “Matriks, Ruang Vektor dan Aplikasinya “ yang telah siap digunakan sebagai rujukan atau pedoman data pengambilan mata kuliah yang terkait. Dalam buku ini penjelasan materi diberikan secara rinci yang disertai dengan banyak contoh soal. Penulis sengaja memperbanyak contoh soal sehingga pembaca dapat memeperoleh pemahaman yang lebih dalam. Sebagai sarana untuk menguji pemahaman pembaca, penulis menyediakan soal latihan di setiap akhir bab. Penulis pun telah melengkapi dengan penyelesaian pada bagian akhir buku ini, sehingga ini akan memudahkan dan menuntun bagi setiap mahasiswa dalam mempelajari buku ini. Selain itu, Kami pun menyediakan sub bab khusus tentang pembahasan materi setiap bab menggunakan MATLAB. Dengan demikian, setiap mahasiswa dapat langsung mempraktekan di depan komputer saat mempelajari buku ini. Materi yang disampaikan meliputi matriks dan operasi matriks termasuk operasi baris elementer didalamnya, dilanjutkan dengan determinan matriks dan system persamaan linear. Pembahasan berikutnya adalah vektor di bidang dan di ruang dan ruang vektor secara umum serta ruang hasilkali dalam. Selanjutnya, materi transformasi linear dan ruang eigen yang banyak digunakan dalam aplikasi teknis. Pada bagian akhir buku ini, dipaparkan beberapa aplikasi dalam optimasi terutama dalam pengolahan citra. Dengan demikian, buku ini diharapkan akan memberikan dasar yang kuat bagi para mahasiswa dan bekal pengembangan dalam ilmu pengetahuan yang lebih lanjut.
Penulis,
Dr. Adiwijaya
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR............................................................................
i
DAFTAR ISI ......................................................................................
iii
DAFTAR GAMBAR .............................................................................
v
BAB 1. MATRIK DAN OPERASI MATRIKS.........................................
1
1.1 Matriks dan Jenisnya.......................................................
1
1.2 Operasi Matriks ..............................................................
5
1.3 Operasi Baris Elementer .................................................
7
1.4 Matriks Invers.................................................................
10
1.5 Matriks Menggunakan Matlab ........................................
14
BAB 2. DETERMINAN MATRIKS .......................................................
25
2.1 Permutasi dan Determinan ............................................
26
2.2 Menghitung Determinan Menggunakan OBE .................
28
viii
Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor
2.3 Menghitung Determinan Menggunakan Ekspansi Kofaktor .........................................................................
33
2.4 Determinan dengan Matlab ............................................
38
BAB 3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR ...............................................
43
3.1 Pendahuluan ..................................................................
43
3.2 Solusi Sistem Persamaan Linear .....................................
45
3.2.1 Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE........
46
3.2.2. Solusi SPL dengan Aturan Cramer dan Matriks Invers ...................................................................
51
3.3 Sistem Persamaan Linear Homogen................................
57
3.4 Solusi Spl Menggunakan Matlab.....................................
63
BAB 4. VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG.................................
69
4.1 Operasi Vektor ...............................................................
69
4.2 Hasilkali Titik .................................................................
72
4.3 Hasilkali Silang (Cross Product) ......................................
77
4.4 Operasi Vektor Menggunakan Matlab ............................
82
BAB 5. RUANG VEKTOR ...................................................................
87
5.1 Ruang Vektor Umum......................................................
87
5.2 Subruang ........................................................................
90
5.3 Basis dan Dimensi ..........................................................
92
5.4 Ruang Vektor Menggunakan Matlab...............................
101
BAB 6. RUANG HASILKALI DALAM .................................................
107
6.1 Hasilkali Dalam .............................................................
107
6.2 Himpunan Ortonormal dan Proses GRAMM- SCHMIDT
110
6.3 Basis Orthonormal Menggunakan Matlab.......................
121
ix
Daftar Isi
BAB 7. TRANSFORMASI LINEAR ......................................................
127
7.1 Kelinearan dan Matriks Transformasi ..............................
127
7.2 Kernel dan Jangkauan.....................................................
137
BAB 8. RUANG EIGEN .....................................................................
143
8.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ..........................................
143
8.2 Diagonalisasi..................................................................
148
8.3 Sistem Persamaan Diferensial Linear .............................
157
8.4 Nilai Eigen Menggunakan Matlab...................................
165
BAB 9. APLIKASI UNTUK OPTIMASI ...............................................
173
9.1 Bentuk Kuadratik ...........................................................
173
9.2 Optimasi Menggunakan Conjugate GRA-DIENT.............
176
9.3 Dekomposisi Nilai Singular ...........................................
181
9.4 Beberapa Aplikasi Menggunakan Matlab .......................
194
DAFTAR PUSTAKA.............................................................................
199
LAMPIRAN I ......................................................................................
201
LAMPIRAN II .....................................................................................
207
INDEX
219
......................................................................................
oooOooo
