Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1

a) Určete jeho hodnotu pro

=

.

b) Určete, pro kterou hodnotu proměnné

je výraz roven nule.

Řešení: a) Za proměnnou

dosadíme:

=

a vypočteme hodnotu výrazu.

b) Nejprve zapíšeme rovnost, ve které bude na levé straně výraz a na pravé straně nula:

dále upravíme jako rovnici:

je zřejmé, že čitatel a jmenovatel zlomku se musí rovnat:

1

Úloha č. 2

a) Určete podmínky, pro něž má výraz smysl (podmínky řešitelnosti). b) Určete definiční obor výrazu. Řešení: a) Při stanovení podmínek řešitelnosti vycházíme z toho, že jmenovatel zlomku musí být různý od nuly. Úlohu dále řešíme stejně jako rovnici:

neboli

b) Definiční obor výrazu je roven množině všech reálných čísel R s výjimkou čísla 6. Zapíšeme: D = R – {6}

Úloha č. 3 Určete definiční obor výrazu V(x) = Řešení: Druhou odmocninu lze vytvořit pouze z nezáporného čísla, platí tedy:

2

Pro zápis definičního oboru použijeme interval: D= – Podrobněji o intervalech např. zde: http://www.szscb.wz.cz/info/projekty/sablony/ma1/vy_32_inovace_ma1-ja-10.pdf http://www.szscb.wz.cz/info/projekty/sablony/ma1/vy_32_inovace_ma1-ja-11.pdf

Úloha č. 4

Řešení: Při stanovení podmínek řešitelnosti vycházíme ze dvou předpokladů: a) Druhá odmocnina v čitateli je definována pouze pro nezápornou hodnotu, platí tedy:

b) Jmenovatel zlomku nesmí být roven nule:

Platí přitom, že součin dvou výrazů je roven nule pouze tehdy, pokud je alespoň jeden výraz roven nule (tato úvaha se v matematice často používá, je proto užitečné si ji zapamatovat!). Výraz

nemůže být roven nule pro žádné . Zbývá tedy podmínka 3

.

Ve výsledku musí platit podmínky uvedené v obou bodech (a, b). Výsledek si můžeme opět zapsat pomocí intervalu: D = –

Úloha č. 5 – Řešení: Opět si musíme uvědomit, že výraz ve jmenovateli nesmí být roven nule. Platí:

D = R – {1}

Úloha č. 6 Upravte podle vzorce: a) b) c)

Řešení: Využíváme algebraické vzorce (a + b)2, (a – b)2. 4

a) b) c) obecně platí:

Úloha č. 7 Rozložte na součin: a) b) c) d)

Řešení: V úlohách a-c) využíváme algebraické vzorce a2 – b2, (a + b)2. V úloze d) postupné vytýkání. a) b) c) d)

5

Úloha č. 8 Vypočtěte: a) b) Řešení: Při řešení pamatujte na to, že sčítat a odčítat lze pouze stejné mocniny proměnných. a) b)

Úloha č. 9 Vypočtěte: a) b) Řešení: Při násobení výrazu jednočlenem postupujeme takto: a.(b + c + d + ...) = a.b + a.c + a.d + ... . a) = b)

Úloha č. 10 a) b) 6

Řešení: Při násobení dvojčlenu dvojčlenem postupujeme takto: (a + b) . (c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d . Obdobně postupujeme při násobení ostatních mnohočlenů (např. trojčlenů). a) b)

Úloha č. 11 Zjednodušte a uveďte podmínky řešitelnosti:

Řešení: Čitatel i jmenovatel zlomku nejprve rozložíme na součin a poté můžeme krátit.

Při stanovení podmínek řešitelnosti je třeba pamatovat na to, že jmenovatel zlomku nesmí být roven nule. Podmínky řešitelnosti:  

Úloha č. 12 Zjednodušte a uveďte podmínky řešitelnosti:

7

Řešení: Číslo 1 můžeme zapsat ve tvaru a obdobně

jako

. V dalším postupu stanovíme společný

jmenovatel atd.

Podmínky řešitelnosti:



Úloha č. 13 Zjednodušte a uveďte podmínky řešitelnosti:

Řešení: Abychom získali stejný (společný) jmenovatel, vytkneme číslo – 1 ve jmenovateli druhého zlomku:

Podmínky řešitelnosti:



Úloha č. 14 Zjednodušte a uveďte podmínky řešitelnosti:

8

Řešení: Využijeme algebraický vzorec:

.

Podmínky řešitelnosti:  

Úloha č. 15 Zjednodušte a uveďte podmínky řešitelnosti:

Řešení: Opět použijeme vytýkání čísla –1 před závorku.

Podmínky řešitelnosti: ;



9

Úloha č. 16 Zjednodušte a udejte podmínky řešitelnosti:

Řešení:

Podmínky řešitelnosti: 



–

Úloha č. 17 Zjednodušte a udejte podmínky řešitelnosti:

Řešení:

Podmínky řešitelnosti:

10



–



Úloha č. 18 Zjednodušte a udejte podmínky řešitelnosti:

Řešení: Dva zlomky vydělíme tak, že první zlomek vynásobíme zlomkem převráceným ke druhému.

Podmínky řešitelnosti:  

neboli

Úloha č. 19 Zjednodušte a udejte podmínky řešitelnosti:

11

Řešení:

Podmínky řešitelnosti:  

neboli

Úloha č. 20 Zjednodušte a udejte podmínky řešitelnosti:

Řešení: Složené zlomky představují podíl dvou zlomků. Dva zlomky vydělíme tak, že první zlomek vynásobíme zlomkem převráceným ke druhému.

Podmínky řešitelnosti:

 

neboli

12

Úloha č. 21 Zjednodušte a udejte podmínky řešitelnosti:

Řešení:

Podmínky řešitelnosti:



13