DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ......................................................................... i DAFTAR ISI ....................................................................................... iii SOAL - SOAL ....................................................................................... 2 UTS Genap 2009/2010 ................................................................................3 UTS Ganjil 2009/2010................................................................................4 UTS Genap 2008/2009 ................................................................................5 UTS Pendek 2008/2009 ................................................................................6 UTS 2007/2008 ............................................................................................8 UTS 2006/2007 ............................................................................................9 UTS 2005/2006 .......................................................................................... 10 UTS 2004/2005 .......................................................................................... 11 UTS 2003/2004 .......................................................................................... 12 UTS 2002/2003 .......................................................................................... 13 UTS 2001/2002 .......................................................................................... 14 UTS 2000/2001 .......................................................................................... 15 UTS 1999/2000 .......................................................................................... 17
PEMBAHASAN .................................................................................. 19 UTS Genap 2009/2010 .............................................................................. 20 UTS Ganjil 2009/2010.............................................................................. 24 UTS Genap 2008/2009 .............................................................................. 27 UTS Pendek 2008/2009 .............................................................................. 32 UTS 2007/2008 .......................................................................................... 39 UTS 2006/2007 .......................................................................................... 43 UTS 2005/2006 .......................................................................................... 49 UTS 2004/2005 .......................................................................................... 56 UTS 2003/2004 .......................................................................................... 60 UTS 2002/2003 .......................................................................................... 65 UTS 2001/2002 .......................................................................................... 69 UTS 2000/2001 .......................................................................................... 71 UTS 1999/2000 .......................................................................................... 76
iii
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
SOAL - SOAL
2
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Jum’at, 9 April 2010 UTS Genap 2009/2010 1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a.
x−2 x2 ≤ 4 x +1
b. x − 5 x ≥ 2 2. Diketahui f (x ) = sin 2 x dan g ( x) = x − 2 a. Tentukan D f , R f , Dg , dan Rg b. Periksa apakah g o f dan f o g terdefinisi ? c. Bila ya, tentukan Dg o f dan D f o g
a ,0 < x ≤ 1 3. Diketahui f ( x ) = x bx 2 − x, x > 1 Tentukan konstanta a dan b, agar f ( x ) terdiferensialkan di x = 1 . 4. Diketahui f (x ) = 5x 3 − 3x 5 a. b. c. d.
Tentukan selang kemonotonan Tentukan selang kecekungan dan titik belok (bila ada) Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya Gambarkan grafiknya
No Nilai Maks
1 10
2 7
3 8
4 10
Jumlah 35
3
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Close Book dan tanpa kalkulator UTS Ganjil 2009/2010 1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x 2 − 1 < 3 2. Tentukan nilai a agar fungsi sin (ax ) ,x<0 f (x ) = x x + 1, x ≥ 0 mempunyai limit di x = 0
3. Periksa apakah fungsi
x2 −1 , x <1 f (x ) = x − 1 x + 1, x ≥ 1 kontinu di x = 1 4. Diketahui kurva xy 2 + x 2 + y 2 = 3 a. Tentukan rumus y ' b. Tentukan persamaan garis singgung di titik (1,1) 5. Diketahui f (4) = 4, f '(4) = 2, g(4) = 4, g'(4) = 4, h(x) = f (g(x)), hitungh'(4)
x x −1 Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi Tentukan selang kecekungan dan titik belok Tentukan semua asimtot Sketsa grafik f ( x )
6. Diketahui f ( x ) = a. b. c. d.
4
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114 Tanggal : Jum’at, 17 April 2009 UTS Genap 2008/2009 1. Carilah
himpunan
penyelesaian
dari
pertidaksamaan
x − 1 + 2x −1 ≤ 2 2. Tentukan persamaan garis singgung dari
xy − 2 x 2 + 3x = 3 yang
tegak lurus dengan x − y + 1 = 0 x2 + 3 . Tentukan : x −1 Selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada) Selang kecekungan dan titik belok ( bila ada ) Asymtot Grafik fungsi
3. Diberikan fungsi a. b. c. d.
f (x ) =
4. Sebuah segiempat alasnya berimpit pada salah satu sisi sebuah segitiga siku-siku dengan alas = 5 cm dan tinggi 6 cm, seperti terlihat pada gambar di bawah. Berapa luas maksimal dari segiempat tersebut.?
6 cm
5 cm
5
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114 Tanggal : Senin 27 Juli 2009 UTS Pendek 2008/2009 1. Cari himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut 1 3 ≥ a. x +1 x − 2 b.
3 − 2x ≤4 1+ x
2. Diketahui fungsi f (x ) = x − 2 dan g ( x ) = 3 − x a. Cari Df, Rf, Dg, Rg b. Periksa apakah gof terdefinisi c. Bila ya, cari Dgof
3x + 5 bila ada x→+∞ 6 x − 8 b. Tentukan nilai k supaya tan kx , x<0 f (x ) = x 3x + 2k 2 , x ≥ 0
3. a. Hitung lim
kontinu di x = 0
4. Diketahui
2 x + 3 , x ≤ 4 f (x ) = 16 7 + x , x > 4
Periksa apakah f ( x ) punya turunan di x = 4 5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi sin y + cos x = 1 a. Cari nilai y '
6
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I b. Cari persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik
π π , 2 4 6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh f ( x ) = x 5 + 5x 4 a. Cari selang kemonotonan dan nilai ekstrik b. Cari selang kecekungan dan titik belok bila ada c. Gambar grafik f ( x )
7
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2007-2008 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114 29 Oktober 2007 UTS 2007/2008 1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan : x+3 x ≤ a. x +1 x − 2 1 b. − 2 >1 x 2. Diketahui f ( x) = 2 + x 2 , g ( x) = 1 a. Tentukan ܦ, ܴ, ܦ , ܴ b. Periksa apakah gof terdefinisi, jika ya tentukan ( gof )(x) c. Tentukan Dgof 3. Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 1
1 2 (x − 1) sin ; x ≠ 1 f ( x) = x −1 1; x =1 x2 − 6x + 9 x Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi Tentukan selang kecekungan dan titik belok (jika ada) Tentukan semua asimtotnya dan titik potong terhadap sumbu x & y (bila ada) Gambarkan grafik f(x)
4. Diketahui f ( x ) = a. b. c. d.
Soal Nilai
1 10
2 10
3 8
4 12
8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007 Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114 Senin 13 November 2006 UTS 2006/2007 1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ; 1 <5 a. − 1 < 2x − 1 4 b. ≥ x −3 x 2. Diketahui
f ( x) = x dan g ( x) = 1 − x 2
a. Periksa apakah fog ada ? b.
Jika fog ada, tentukan fog dan Dfog !
3. Tentukan nilai a agar lim
9 x 2 − ax − 7 + 3x = 1
x → −∞
2x 4. Diketahui f ( x) = , tentukan : 4 − x2
a. b. c. d.
Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada ) Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada ) Asimtot ( jika ada ) Sketsa grafiknya
5. Sebuah persegi panjang dibuat dalam lingkaran dengan jari-jari 4 dengan keempat titik sudutnya terleta pada lingkaran. a. Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi suatu peubah ! b. Tentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum ! -o0oSelamat mengerjakan -o0o-
9
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006 Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114 Senin 17 Oktober 2005 UTS 2005/2006 1. Tentukan persamaan garis singgung di dua titik potong kurva x 2 − xy + y 2 = 16 dengan sumbu x. 2. Tentukan himpunan 2 x + 1 + x( x + 1) ≤ 4
penyelesaian
dari
pertaksamaan
1 x → −∞ 3 a + cos(bx) = −2 b. Tentukan a dan b sehingga lim x →0 x2
3. a. Tentukan a agar lim 9 x 2 + ax + 4 + 3x =
x ⋅ Tentukan : x +1 Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada) Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada ) Asimtot ( jika ada ) Sketsakan grafiknya
4. Diketahui f ( x) = a. b. c. d.
2
5. Sebuah kotak tertutup dibuat dari selembar papan segi-empat berukuran 5 meter kali 8 meter . Ini dilakukan dengan memotong daerah yang diarsir dari gambar di bawah dan kemudian melipat pada garis titik-titik . berapakah ukuran x, y , dan z yang memaksimumkan volume kotak tertutup tersebut. x
y
z
10
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2004/2005 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1114 Tanggal : Senin 25 November 2004 UTS 2004/2005 1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x − 3 < 2. Tentukan
persamaan
garis
singgung
4 x
pada
kurva
y + Cos( xy 2 ) + 3x 2 = 4 di titik potong kurva dengan sumbu x. 3. Hitung lim x →1
4. Diketahui
x3 − 1 2x + 2 − 2 f ( x) =
x
tentukan semua nilai ekstrim fungsi x +1 beserta jenisnya pada selang [-½,2] 2
5. Tentukan luas maksimum dari segitiga yang terletak di dalam parabola seperti gambar berikut ini
11
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2003/2004 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Tanggal : Senin 6 Oktober 2003 UTS 2003/2004 1. Tentukan daerah asal dari fungsi a.
f ( x) = 2 x − 2 − x − 5
b.
f ( x) =
x3 − x2 − 6x x+3
2. Hitung a.
1 + cos x 2 x →π x sin x lim
b. tentukan a agar lim
4 x 2 + ax + 2 x = 5
x → −∞
x 2 − 2 x + 3, x ≥ 1 3. Periksa apakah fungsi f ( x) = 2 x − 2 x + 2, x < 1 terdiferensialkan di x = 1, jika ya tentukan f ‘(1) x2 + x −1 x −1 Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi beserta jenisnya Tentukan selang kecekungan dan titik belok Tentukan semua asimtot Gambarkan grafik fungsi f(x)
4. Diketahui f ( x ) = a. b. c. d.
5. Diketahui daerah D di kwadran pertama yang dibatasi oleh
y = 2 x, y = 3 − x 2 , dan sumbu y. a. Hitung luas D b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap y = -1
12
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2002/2003 Mata kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Tanggal : Senin/ 11 April 2003 UTS 2002/2003 Kerjakan dengan singkat dan jelas! Jangan lupa berdoa, sebelum mengerjakan! 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: a. b.
x −1 <x x +1 1 5− < 2 x x , tentukan : x −9 Selang kemonotonan dan titik ekstrim Selang kecekungan dan titik belok Asimtot Sketsa grafik f(x)
2. Diketahui fungsi f ( x) = a. b. c. d.
2
3. Diketahui fungsi implisit xy 2 − 5x 2 y = −6 a. Tentukan y’ b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di x = 1. 4. Diketahui daerah D dibatasi oleh y = x , x = 4, y = 0. tentukan : a. Luas daerah D b. Volume benda putar jika D diputae terhadap x = -1
-o0o-o0o-
13
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2001/2002 Mata Kuliah : Kalkulus 1 /MA-1314 Waktu :120 Menit UTS 2001/2002 Jangan lupa berdoa sebelum mengerjakan. Kemudian kerjakan dengan da tepat !. 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut 7 <3 a. 2x b.
−2< x−4 <3
2. Diketahui
x + 7 jika x≤b f ( x) = 3 x>b 2 x − 1 jika a. Tentukan b agar f(x) kontinu ! b. Periksa apakah f differensiabel (punya turunan ) pada x = b yang diproleh di atas ! 3. Tentukan persamaan garis singgung grafik f ( x) = 1 + 3 − 4 x yang sejajar dengan garis 2 x − 3 y = 3 . 4. Diketahui suatu daerah D dibatasi oleh y = x, y = 2, dan sumbu y. Hitung : a. luas D b. volume benda putar jika D diputar terhadap y = -1
14
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2000/2001 Mata Kuliah : Kalkulus 1 (DA-1314) Senin 23 Oktober 2000 UTS 2000/2001 1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : a.
1 − 3x ≤ 3x + 5
b.
x −1 <
2 x
x2, x <1 2. Diberikan fungsi f ( x) = px + q, x ≥ 1 a. Tentukan hubungan antara p dan q agar fungsi f kontinu di x =1 b. Tentukan nilai p dan q agar f ' (1) ada !
3. Diberikan persamaan kurva x
2
3
+y
2
3
=2
dy di titik (1,-1) dx b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva tersebut yang melalui titik (1,-1). a. Tentukan
4. Hitunglah x
∫ t dt a.
lim x →0
x2
sin x
1
b.
x dx −1 x ∫
15
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I KERJAKANLAH SOAL NO 5 ATAU 6 (salah satu saja ) x2 −1 5. Diberikan fungsi f ( x) = ( x + 1) 2 a. b. c. d. 6.
Tetukan selang kemonotonan dan titik ekstrimnya (jika ada) Tentukan selang kecekungan dan titik beloknya Carilah semua asimtotnya Sketsalah grafiknya
Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y = ( x − 4) 2 , garis y = 4 , sumbu x dan sumbu y.
a. Gambarkan (arsir) daerah R dan hitunglah luasnya b. Hitunglah volume bennda putar bila R diputar mengelilingi sumbu x. Selamat Mengerjakan Teriring do’a Kami Untuk Keberhasilan Anda
16
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 1999/2000 Mata Kuliah : Kalkulus 1 /DA-1314 Tanggal : Senin 1 November 1999 UTS 1999/2000 1. Tentukan himpunan jawab : x +
2. a. Hitung lim
x → −∞
b. Diketahui
2 ≤3 x
x2 − 2x + 5 2x + 5
g ( x) − 3 ≤ x 2 − 10 x + 25, tentukan lim g ( x) x→5
3. Diketahui f ( x) = x 2 − 1 dan g ( x) = 1 + x a. Buktikan gof terdefinisi ! b. Tentukan persamaan dan asal daerah fungsi gof ! 2 x 2 + px − 15 x>3 4. Diketahui f ( x) = 3− x qx 2 − 7 x + 1 x ≤ 3
tentukan konstanta p dan q supaya f(x) kontinu di x = 3 5. Diketahui kurva ( x − 3) 2 + y 2 = 2 a. Tentukan y’ b. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva, dimana garis singgung tersebut tegak lurus pada garis y = x 6. f(x) adalah fungsi kontinu , dan f(0) = f(2) = 0. Jika grafik y = f ' (x ) seperti gambar di bawah ini
17
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
a. Tentukan selang kemonotonan f(x) b. Tentukan selang kecekungan f(x) c. Buat sketsa grafik f(x)
Selamat Bekerja Ebs-tza-jdn-mhd-rmi-wdt
18
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
PEMBAHASAN
19
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Jum’at, 9 April 2010 UTS Genap 2009/2010 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x−2 x2 a. ≤ 4 x +1 2 x x−2 − ≥0 x +1 4 4 x 2 − ( x + 1)( x − 2 ) ≥0 4( x + 1)
(
)
4x 2 − x 2 − x − 2 ≥0 4( x + 1) 3x 2 + x + 2 ≥0 4( x + 1)
Karena 3 x 2 + x + 2 definit positif, maka jelas bahwa pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika x + 1 > 0 yaitu x > −1 . Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah {x x > −1}. b. x − 5 x ≥ 2....(i ) Dengan menggunakan definisi dari nilai mutlak untuk x − 5 , kita peroleh untuk x ≥ 5 pertaksamaan (i) secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut (x − 5)x ≥ 2
x 2 − 5x ≥ 2
(x − 52 )2 − (52 )2 ≥ 2 (x − 52 )2 ≥ 334 x − 52 ≥ 12 33
x − 52 ≥ 12 33 atau x − 52 ≤ − 12 33
20
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I x ≥ 52 + 12 33 ∪ x ≤ 52 − 12 33 yang memberikan penyelesaian
{(
}{
)
}
Hp1 = x x ≥ 52 + 12 33 ∪ x ≤ 52 − 12 33 ∩ x ≥ 5 = x x ≥ 52 + 12 33 . Sedangkan untuk x < 5, pertaksamaan (i) secara berturut turut menjadi − (x − 5)x ≥ 2
− x 2 + 5x ≥ 2 x 2 − 5 x ≤ −2
(x − 52 )2 − (52 )2 ≤ −2 (x − 52 )2 ≤ 174 x−
5 2
≤
1 2
17
− 12 17 ≤ x − 52 ≤ 12 17 5 2
− 12 17 ≤ x ≤ 52 + 12 17 yang memberikan penyelesaian
{
}{
}
Hp2= x 52 − 12 17 ≤ x ≤ 52 + 12 17 ∩ x < 5 = x 52 − 12 17 ≤ x ≤ 52 + 12 17
Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (i) secara keseluruhan adalah
{(
Hp = Hp1 ∪ Hp2 = x
5 2
− 12 17 ≤ x ≤ 52 +
1 2
)
17 ∪ x ≥ 52 +
1 2
}
33 .
2. Diberikan f (x ) = sin 2 x dan g ( x) = x − 2 a. Menentukan D f , R f , Dg , dan Rg
D f = ℜ, R f = [−1,1], Dg = [2, ∞), dan Rg = [0, ∞) b. Memeriksa apakah g o f dan f o g terdefinisi Harus kita selidiki masing masing secara berturut turut apakah R f ∩ D g ≠ { } dan R g ∩ D f ≠ { }. Dengan menggunakan hasil pada poin sebelumnya diperoleh R f ∩ D g = { } yang menunjukkan bahwa g o f tidak terdefinisi, sedangkan R g ∩ D f = [0, ∞) ≠ { } yang menandakan bahwa f o g terdefinisi.
21
c. Menetukan Dg o f Karena
go f
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I dan D f o g tidak terdefinisi, maka
Dg o f
tidak dapat
ditentukan. Selanjutnya menurut definisi diperoleh
} {
{
}
D f o g = x ∈ Dg g (x ) ∈ D f = x ∈[2, ∞) x − 2 ∈ R
= {x ≥ 2 x − 2 ≥ 0} = {x x ≥ 2} a ,0 < x ≤ 1 3. Diberikan f ( x ) = x bx 2 − x, x > 1 Syarat perlu agar f terdiferensialkan di x = 1 adalah f harus kontinu di titik tersebut. Kekontinuan ini dijabarkan dan memberikan hasil lim f ( x ) = lim f (x ) = f (1) , yaitu a = b − 1 atau b = a + 1 (*) x →1−
x →1+
Kemudian dengan mempertimbangkan syarat cukup agar f terdiferensialkan di x = 1 dan dengan menggunakan (*), secara berturut turut kita peroleh f −' (1) = f +' (1) f (x ) − f (1) f (x ) − f (1) = lim lim− + − x 1 x −1 x →1 x →1 a 2 −a bx − x − a x = lim lim− + x − 1 x −1 x →1 x →1 (a + 1)x 2 − x − a a (1 − x ) = lim lim x −1 x →1− x ( x − 1) x →1+ ((a + 1)x + a )(x − 1) a lim− − = lim+ x x →1 x −1 x →1 − a = lim ((a + 1)x + a ) x →1+
− a = 2a + 1 a = − 13
Dengan demikian b =
2 3
Jadi agar f terdiferensialkan di x = 1 maka haruslah a = − 13 dan b=
2 3
22
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 4. Diberikan f (x ) = 5x − 3x a. Menentukan selang kemonotonan f ' (x ) = 15x 2 − 15x 4 = 15x 2 (1 − x )(1 + x ) − − −− + + + + + +− − − − −1 0 1 - f monoton naik jika f ' (x ) > 0 yaitu pada selang (− 1,0 ) ∪ (0,1) - f monoton turun jika f ' (x ) < 0 yaitu pada (− ∞,−1) ∪ (1, ∞ ) 3
5
b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok f " (x ) = 30x − 60x 3 = 30x 1 − 2 x 2 = 30x 1 − 2 x 1 + 2 x + + + + •− − − • + + +• − − − 1 0 − 12 2
(
(
)
)(
(
)∪ (0, ) f " (x ) < 0 yaitu pada (− ,0 ) ∪ ( ,0 )
- f cekung ke atas jika f " (x ) > 0 yaitu pada − ∞,− - f cekung ke bawah jika - karena
pada
)
pada
1 2
1 2
1 2
x=
1 2
,x=−
1 2
1 2
, dan x = 0
terjadi
( ), f (− ), dan f (0) masing ), (− ,− ), dan masing ada, maka ketiga titik ( , perubahan kecekungan serta f
1 2
1 2
1 2
7 4 2
1 2
7 4 2
(0,0) adalah titik belok. c. Menentukan nilai ekstrim dan jenisnya Titik (-1,-2) merupakan titik minimum lokal karena f ' (− 1) = 0 dan f " (− 1) > 0 , sedangkan titik (1,2) merupakan titik maksimum lokal karena f ' (1) = 0 dan f " (1) < 0
f ( x ) = 5 x 3 − 3x 5 d. Grafik ditunjukkan pada gambar di samping
23
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 UTS Ganjil 2009/2010 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan
x 2 − 1 < 3.
Pertaksamaan tersebut setara dengan − 3 < x 2 − 1 < 3 . Kasus x 2 − 1 > −3 disederhanakan menjadi x 2 > −2 yang akan selalu terpenuhi untuk setiap x ∈ ℝ. Sedangkan kasus x 2 − 1 < 3 secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut x2 −1 < 3 x2 < 4 x <2 −2< x<2 Jadi himpunan penyelesaian bagi pertaksamaan di atas adalah {x x ∈ ℜ ∩ −2 < x < 2} = {x − 2 < x < 2} sin (ax ) ,x<0 2. Diberikan f ( x ) = x x + 1, x ≥ 0 Agar f memiliki limit di x = 0 maka haruslah lim f (x ) = lim f ( x ) * − + x→0
x →0
Ekspresi pada ruas kiri (*) memberikan lim− f ( x ) = lim−
x→0
x →0
sin (ax ) sin (ax ) sin (ax ) = lim a = a lim = a ;a ≠ 0, − ax →0 ax ax x x →0
sedangkan dari ruas kanan (*) diperoleh
lim f ( x ) = lim+ ( x + 1) = 1 .
x →0 +
x →0
Kesimpulannya a harus bernilai 1 agar f memiliki limit di x = 0. 3. Memeriksa apakah fungsi di bawah berikut kontinu di x = 1. x2 −1 , x <1 f (x ) = x − 1 x + 1, x ≥ 1
24
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Jangan terkecoh dengan kerumitan dari penampakan fungsi f. Perhatikan bahwa untuk x < 1 berlaku x 2 − 1 (x − 1)( x + 1) = = x +1 x −1 x −1 (“pencoretan” x − 1 pada langkah di atas adalah benar karena x ≠ 1 ). Dengan demikian sebenarnya kita telah menunjukkan bahwa f (x ) = x + 1 untuk setiap x, dan telah kita ketahui bersama bahwa fungsi ini kontinu pada ℝ, khususnya pada x = 1. 4. Diketahui kurva xy 2 + x 2 + y 2 = 3 a. Menentukan rumus y ' Dengan menurunkan kedua ruas persamaan kurva yang diberikan secara implisit terhadap x, kemudian menyelesaikannya untuk y ' , maka secara berturut turut diperoleh hasil berikut
y 2 + 2 xyy'+2 x + 2 yy' = 0 2 xyy'+2 yy' = −2 x − y 2
(2xy + 2 y )y' = −2x − y 2 2x + y 2 y' = − 2 xy + 2 y b. Menentukan persamaan garis singgung di titik (1,1) Dengan melakukan subtitusi pada hasil dari bagian sebelumnya diperoleh kemiringan garis singgung di titik (1,1) yaitu − 34 . Sehingga persamaan garis singgungnya adalah y − 1 = − 34 ( x − 1) atau y = − 34 x +
7 4
5. Mengevaluasi h ' (4 ) jika diketahui f (4 ) = 4, f ' (4 ) = 2, g (4 ) = 4, g ' (4 ) = 4, dan h(x) = f (g(x)) Penerapan aturan rantai pada h(x ) menghasilkan h' (x) = f ' (g (x))g ' (x). Dengan demikian h ' (4 ) = f ' (g (4 )).g ' (4 ) = f ' (4 ).g ' (4 ) = 2.4 = 8
(x − 1) + 1 = 1 + 1 ; x ≠ 1 x = x −1 x −1 x −1 a. Menentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi
6. f ( x ) =
25
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I f ' (x ) = −
1
(x − 1)2 f ' (x ) < 0
untuk setiap x ≠ 1 , maka f selalu turun pada Karena (-∞,∞)/{1}. Ini juga menegaskan bahwa f tidak memiliki nilai ekstrim. b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok 2 f " (x ) = (x − 1)3 f cekung ke atas jika f " (x ) > 0 yaitu untuk x > 1 , dan cekung ke bawah jika f " (x ) < 0 yaitu untuk x < 1 .f tidak memiliki titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b)
1 1 f ( x) = lim 1 + =0 x →∞ x x →∞ x −1 x 1 b = lim f ( x) − ax = lim 1 + =1 x →∞ x −1 x →∞ jadi f memiliki asimtot datar yaitu y = 1 a = lim
- Asimtot tegak (berbentuk x = c) Karena lim f ( x ) = ∞ maka x = 1 merupakan asimtot tegak. x →1
d. Sketsa grafik f (x )
26
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114 Jum’at, 17 April 2009 UTS Genap 2008/2009 1. Menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
x − 1 + 2 x − 1 ≤ 2......(i ) Menurut definisinya x − 1 ; x ≥ 1 x −1 = − ( x − 1) ; x < 1 2 x − 1 ; x ≥ 1 2 2x − 1 = − (2 x − 1); x < 1 2 Sehingga : - untuk x < 1 2 (i) menjadi − ( x − 1) − (2 x − 1) ≤ 2 − 3x ≤ 0 x≥0 Jadi untuk x < 1 2 pertidaksamaan (i)
memiliki himpunan
penyelesaian Hp1 = {( x ≥ 0 ) ∩ ( x < 1 2)} = {0 ≤ x < 1 2} - untuk 1 2 ≤ x < 1 (i) menjadi − (x − 1) + (2 x − 1) ≤ 2 x≤2 Hp 2 = {(x ≤ 2 ) ∩ (1 2 ≤ x < 1)} = {1 2 ≤ x < 1}
- untuk x ≥ 1 (i) menjadi (x − 1) + (2 x − 1) ≤ 2 3x ≤ 4 x≤4 3 Hp3 = {(x ≤ 4 3) ∩ ( x ≥ 1)} = {1 ≤ x ≤ 4 3} Dengan demikian himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah Hp = Hp1 ∪ Hp 2 ∪ Hp 3 = {0 ≤ x ≤ 4 3} (ans)
27
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2. Menentukan persamaan garis singgung dari xy − 2 x 2 + 3x = 3 yang tegak lurus dengan garis x–y+1 = 0. Kita tahu bahwa y’ merupakan gradient dari garis yang menyinggung kurva. Karena garis singgung yang dimaksud tegak lurus dengan garis x − y + 1 = 0 yang memiliki kemiringan 1, maka gradient garis singgung yang kita cari haruslah y’= -1/1 = -1. Kemudian dengan menurunkan persamaan kurva yang diberikan secara implisit terhadap x dan menyelesaikannya untuk y’ diperoleh secara berturut turut hasil berikut
(
)
D x xy − 2 x 2 + 3x = D x (3) y + xy '−4 x + 3 = 0 xy ' = 4 x − y − 3 4x − y − 3 y' = x Karena garis singgung yang akan dicari memiliki kemiringan -1, maka kita memperoleh 4x − y − 3 = −1 x 4x − y − 3 = −x y = 5x − 3 Substitusikan ke persamaan kurva awal memberikan
x(5x − 3) − 2 x 2 + 3x = 3 3x 2 = 3 x = ±1
untuk x = 1 diperoleh y = 2 dan untuk x = −1 diperoleh y = −8 . Jadi kita memiliki 2 buah titik singgung yakni (1,2) dan (-1,-8). - Di titik (1,2) persamaan garis y − 2 = −(x − 1) atau y = − x + 3 (ans) - Di titik (-1,-8) persamaan garis y + 8 = −( x + 1) atau y = − x − 9 (ans)
singgungnya
adalah
singgungnya
adalah
28
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2
x +3 . x −1 a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada)
3. Diberikan fungsi f ( x ) =
(
2 x (x − 1) − x 2 + 3
f ' (x ) =
(x − 1)2 x2 − 2x − 3
=
(x − 1)
2
=
) = 2x
2
− 2 x − x2 − 3
(x − 1)2
(x − 3)(x + 1) (x − 1)2
+++ o −−− o −−− o +++ −1 3 1
f ' (x )
- f(x) monoton naik jika f ' (x ) > 0 yaitu pada (-∞,-1) dan (3,∞) - f(x) monoton turun jika f ' (x ) < 0 yaitu pada (-1,1) dan (1,3) - Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -1 (+ -) dan f(-1) ada maka titik (-1,f(-1)) = ( -1,-2) merupakan titik maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan kemonotonan pada x = 3 (- +) dan f(3) ada sehingga (3,f(3)) = (3,6) merupakan titik minimum lokal. b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok ( bila ada )
(2 x − 2)(x − 1)2 − 2(x − 1)(x 2 − 2 x − 3) (x − 1)4 2( x − 1)2 − 2(x 2 − 2 x − 3) = (x − 1)3
f "(x ) =
=
(
) (
)=
2 x 2 − 2x + 1 − 2 x 2 − 2x − 3
8
(x − 1)
(x − 1)3
−−−−−−−−−
o
3
++++++++
f " (x )
1
- f(x) cekung ke atas jika f " (x ) > 0 yaitu pada selang (1,∞) - f(x) cekung ke bawah jika f " (x ) < 0 yaitu pada selang (-∞,1) - f tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan kecekungan di titik x = 1 , tetapi f(1) tidak ada, sehingga x =1 bukanlah titik belok..
29
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I c. Menentukan Asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b)
a = lim
x →∞
x2 + 3 f ( x) x2 + 3 = lim = lim 2 x →∞ ( x − 1) x x →∞ x − x x
3 3 x 2 1 + 2 1 + 2 x x = lim = lim =1 1 x →∞ 1 x →∞ 2 x 1 − 1 − x x
x2 + 3 x 2 + 3 − x(x − 1) − x = lim x →∞ x − 1 x →∞ x −1 x →∞ 4 x+3 = lim 1 + =1 = lim x →∞ x →∞ x − 1 x −1 jadi f memiliki asimtot miring (a ≠ 0 ) yaitu y = x + 1 (ans) b = lim f ( x) − ax = lim
- Asimtot tegak (berbentuk x = c)
x2 + 3 = ∞ maka x = 1 merupakan x →1 x − 1
Karena lim f (x ) = lim x →1
asimtot tegak. (ans) d. Grafik fungsi
30
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 4. Menentukan luas maksimal segi empat seperti pada gambar di samping. y perhatikan gambar di samping ! 6 Titik P dapat bergerak sepanjang garis l . persamaan garis l adalah l y −0 x−5 6 P = ⇒ y=− x+6 6−0 0−5 5 y Luas segi empat yang diarsir adalah x 5 x L(x ) = alas . tinggi
6 6 L( x ) = x. y = x − x + 6 = − x 2 + 6 x ;0 ≤ x ≤ 5 5 5 Nilai maksimum L(x ) terletak pada titik kritisnya, yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval domain L(x ) . Titik stasioner terjadi ketika L' (x ) = 0 yakni
− 125 x + 6 = 0 ⇒ x =
5 2
Jadi sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis, yaitu x = 52 yang berasal dari titik stasioner dan x = 0, x = 5 yang berasal dari ujung interval domain L(x) . untuk mengetahui nilai maksimum dari L(x), kita evaluasi nilai L(x) pada titik - titik kritis tersebut, yakni
L( 52 ) = 152 , L(0) = 0 , L(5) = 0 . jadi L(x) mencapai nilai maksimum pada x = 52 dengan luas
15 2
.
31
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114 Tanggal : Senin 27 Juli 2009 UTS Pendek 2008/2009 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1 3 ≥ a. x +1 x − 2 1 3 − ≥0 x +1 x − 2 x − 2 − 3( x + 1) ≥0 ( x + 1)( x − 2)
− 2x − 5 ≥0 ( x + 1)( x − 2) ++++ −5
• − − − − o+ + + + o − − − − 2 −1 2
5 Hp = x x ≤ − ∪ −1 < x < 2(ans) 2 b.
3 − 2x ≤ 4.................(i ) 1+ x Alternatif -1 (Menggunakan definisi ) Menurut definisinya 3 − 2x 3 − 2x ; ≥0 3 − 2 x 1 + x 1+ x = 1+ x − −− −− + + + + + + − −− −− − 3 − 2 x ; 3 − 2 x < 0 o • 3 1 + x −1 1+ x 2 atau 3 − 2x 3 3 − 2 x 1 + x ;−1 < x ≤ 2 = 3 − 2x 1+ x − ; x < −1 ∪ x > 32 1+ x
3 − 2x 1+ x
32
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - Untuk − 1 < x ≤
3 2
pertidaksamaan (i) di atas menjadi
3 − 2x ≤4 1+ x 3 − 2x −4≤0 1+ x 3 − 2 x − 4(1 + x) ≤0 1+ x − 6x − 1 − − − − − + + + + + + − − − − − − 6x − 1 ≤0 o • 1+ x −1 −1 1+ x 6 pertidaksamaan terakhir ini terpenuhi jika x < −1 ∪ x ≥ − 16 , sehingga untuk − 1 < x ≤
{
Hp1 = x (x < −1 ∪ x ≥
- Untuk x < −1 ∪ x >
− 16
3 2
3 2
himpunan penyelesaian (i) adalah
) ∩ (−1 < x ≤ 32 )} = {x − 16 ≤ x ≤ 32 } .
pertidaksamaan (i) menjadi
3 − 2x ≤4 1+ x 3 − 2x − −4≤0 1+ x 3 − 2 x + 4( x + 1) − ≤0 1+ x 2x + 7 ≥0 1+ x −
+++++ −7
•
−−−−−
o
+++++
−1
2
pertidaksamaan terakhir 7 x ≤ − 2 ∪ x > −1 sehingga
{ = {x x ≤ −
2x + 7 1+ x
ini
terpenuhi
jika
}
Hp2 = x (x ≤ − 72 ∪ x > −1) ∩ (x < −1∪ x > 32 ) 7 2
∪x>
3 2
}
Jadi himpunan penyelesaian dari (i) yang dimaksud adalah
{
}
Hp = Hp1 ∪ Hp 2 = x x ≤ − 76 ∪ x ≥ − 16 (ans )
33
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Aternatif -2 (Menggunakan sifat)
3 − 2x ≤4 1+ x 2
3 − 2x ≤ 42 1+ x 2
3 − 2x 2 −4 ≤0 1 + x 3 − 2x 3 − 2 x − 4 + 4 ≤ 0 1+ x 1 + x
3 − 2 x − 4( x + 1) 3 − 2 x + 4( x + 1) ≤0 1+ x 1+ x (−6 x − 1)(2 x + 7) ⋅≤ 0 (1 + x) 2 − − − − • + + + + o + + + + •− − − − 1 −7
−1
2
−
6
Jadi himpunan penyelesaian bagi (i) adalah
{
}
Hp = x x ≤ − 72 ∪ x ≥ − 16 (ans) Alternative -3 (menggunakan sifat lain) 3 − 2x ≤4 1+ x 3 − 2x ≤4 −4 ≤ 1+ x pertaksamaan ini setara dengan 3 − 2x 3 − 2x ≥ −4 dan ≤ 4 ………...(iii) 1+ x 1+ x pertaksamaan sebelah kiri (iii) menjadi 3 − 2x +4≥0 1+ x 3 − 2 x + 4(1 + x) ≥0 1+ x
34
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2x + 7 ≥0 1+ x +++++ −7
• 2
−−−−−
o
+++++
−1
2x + 7 1+ x
Hp 1 = {x ≤ − 72 ∪ x > −1}
Sedangkan pertaksamaan sebelah kanan (iii) menjadi 3 − 2x ≤4 1+ x 3 − 2x −4≤0 1+ x 3 − 2 x − 4(1 + x) ≤0 1+ x − 6x − 1 ≤0 1+ x −−−−−
o++++++ • −−−−− 1
−1
−
6
− 6x − 1 1+ x
Hp 2 = {x < −1 ∪ x ≥ − 16 }
Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah Hp = Hp1 ∩ Hp 2
= {x ≤ − 72 ∪ x ≥ − 16 } (ans) 2. Diberikan fungsi f (x ) = x − 2 dan g ( x ) = 3 − x a. Menentukan Df, Rf, Dg, Rg D f = [2, ∞) , R f = [0, ∞)
Dg = (−∞,3] , R g = [0, ∞) b. Memeriksa apakah gof terdefinisi Untuk mengetahuinya kita selidiki
apakah R f ∩ Dg ≠ { } .
Berdasarkan hasil pada poin sebelumnya kita memiliki R f ∩ Dg = [0, ∞) ∩ (−∞,3] = [0,3] ≠ { } yang menunjukkan bahwa gof terdefinisi. (ans)
35
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I c. Menentukan Dgof Menurut definisinya
{
} = {x ∈[0, ∞)
{
}
D gof = x ∈ R f f ( x )∈ D g
}
x − 2 ∈ (−∞,3]
= x ≥ 0 x − 2 ≤ 3 = {x ≥ 0 x − 2 ≤ 9}
= {x ≥ 0 x ≤ 11} = {0 ≤ x ≤ 11} (ans) 3. a. Menghitung lim
3
x→+∞
lim
x→+∞
3
3x + 5 6x − 8
(3 + 5x ) = 3 x(3 + 5x ) 3x + 5 3 = lim 3 = lim 8 8 x → +∞ x (6 − ) x → +∞ (6 − ) 6x − 8 x x
1 2
(ans)
tan kx ;x<0 b. Menentukan k agar f (x ) = x kontinu di x = 0 3x + 2k 2 ; x ≥ 0 Agar f kontinu di x = 0 maka harus berlaku lim f ( x ) = lim+ − f ( x ) = f (0 )
x →0 −
x →0
Kekontinuan kiri f di x = 0 dijabarkan sebagai berikut lim− f ( x ) = f (0 ) x →0
lim−
x →0
tan kx = 2k 2 x
k = 2k 2 2k 2 − k = 0 k (2k − 1) = 0
k = 0 atau k =
1 2
Jadi agar f kontinu di x = 0 maka haruslah k ∈ {0, 12 } (ans) 4. Memeriksa apakah fungsi berikut memiliki turunan di x = 4
2 x + 3 , x ≤ 4 f (x ) = 16 7 + x , x > 4
36
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Untuk mengetahuinya harus kita periksa apakah f −' (4) = f +' (4) . Sekarang f ( x ) − f (4 ) x−4 x →4 2( x − 4) 2 x + 3 − 11 2x − 8 = lim = lim = lim =2 − − − x−4 x−4 x →4 x →4 x − 4 x→4 Sedangkan f ( x ) − f (4 ) f +' (4 ) = lim + x−4 x→4 16 − 4 x 16 16 7 + − 11 −4 x x = lim = lim x = lim x−4 x−4 x→4+ x →4 + x − 4 x →4+ − 4( x − 4 ) = lim = −1 + x( x − 4 ) x→4 f −' (4) = lim −
Karena f −' (4) ≠ f +' (4) maka f tidak tidak memiliki turunan di x = 4 5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi sin y + cos x = 1 a. Menentukan nilai y ' D x (sin y + cos x ) = D x (1)
y ' cos y − sin x = 0 y ' cos y = sin x
y' =
sin x (ans) cos y
b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva
(π2 , π4 ) Di titik (π2 , π4 ) di titik
y' =
1 1 2
= 2 2
Sehingga persamaan garis singgung di titik
y − π4 = 2 (x − π2 ) atau y = 2 x +
(
1 4
(π2 , π4 )
adalah
)
− 12 2 π . (ans)
37
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Sedangkan persamaan garis normal y − π4 = −
1 2
(x − π2 )
atau y = − 12
2x +
di titik
(π2 , π4 )
adalah
(1+ 2 ) π .(ans) 4
6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh f ( x ) = x 5 + 5x 4 a. Menentukan selang kemonotonan dan nilai ekstrim
f ' ( x ) = 5x 4 + 20x 3 = 5 x 3 ( x + 4) +++++
+++++ o −−−−− o 0
−4
f ' (x )
- f(x) monoton naik jika f ' (x ) > 0 yaitu pada selang (-∞,-4) dan (0,∞) - f(x) monoton turun jika f ' (x ) < 0 yaitu pada selang (-4,0) - karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -4 (+ -) dan f(-4) ada maka titik (-4,f(-4)) = ( -4,256) merupakan titik maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan kemonotonan pada x = 0 (- +) dan f(0) ada sehingga (0,f(0)) = (0,0) merupakan titik minimum lokal. b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok bila ada
f " (x ) = 20 x 3 + 60 x 2 = 20 x 2 ( x + 3) −−−−−
o
−3
+++++
o
0
+++++
f " (x )
- f(x) cekung ke atas jika f " (x ) > 0 yaitu pada selang (-3,0) dan (0,∞) - f(x) cekung ke bawah jika f " (x) < 0 yaitu pada selang (-∞,3) - Karena terjadi perubahan kecekungan pada x = -3 dan f(-3) ada maka titik (-3,f(-3))=(-3,162) merupakan titik belok. c. Grafik f ( x ) diperagakan di samping
38
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2007-2008 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114 Tanggal : 29 Oktober 2007 UTS 2007/2008 1. Menentukan Himpunan Pertidaksamaan : a.
x+3 x ≤ x +1 x − 2 x+3 x − ≤0 x +1 x − 2 ( x + 3)( x − 2) − x( x + 1) ≤0 ( x + 1)( x − 2)
x 2 − 2 x + 3x − 6 − x 2 − x ≤0 ( x + 1)( x − 2) −6 ≤0 ( x + 1)( x − 2) - - - - -• + + + + +•+ - - - -1
2
Hp = {x x < −1 ∪ x > 2}
b. 1 − 2 > 1 x
1 −2 x
2
> 12 2
1 2 − 2 −1 > 0 x
1 1 − 2 − 1 − 2 + 1 > 0 x x 1 1 − 3 − 1 > 0 x x (1 − 3x)(1 − x) >0 x2 ++++ +++-------- +++ • • 0• 1 / 3 1
{
}
Hp = x ( x < 0) ∪ (0 < x < 13 ) ∪ x > 1
39
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2
2. Diketahui f ( x) = 2 + x , g ( x) = 1 a. Menentukan ܦ, ܴ, ܦ , ܴ -
D f = R(ans)
- Untuk setiap x ∈ R berlaku x2 ≥ 0 2 + x2 ≥ 2
f ( x) ≥ 2 Sehingga R f = [2, ∞ )(ans) -
D g = R (ans )
-
R g = {1}( ans )
b. Memeriksa apakah gof terdefinisi dan menentukan gof jika terdefinisi. Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah R f ∩ D g ≠ { } . Dari hasil pada poin sebelumnya kita memiliki R f ∩ Dg = [2, ∞) ∩ R = [2, ∞ ) ≠ { } yang menunjukkan bahwa gof terdefinisi (ans). Selanjutnya gof ( x) = g ( f ( x)) = g (2 + x 2 ) = 1, (ans) c. Menentukan Dgof Menurut definisinya,
{
} {
D gof = x x ∈ D f , f ( x) ∈ D g = x x ∈ R , x 2 + 2 ∈ R
}
= {x x ∈ R, x ∈ R} = {x x ∈ R}(ans) 1 2 3. Memeriksa apakah f ( x) = ( x − 1) sin x − 1 ; x ≠ 1 1 ; x =1 kontinu di x = 1. Untuk mengetahuinya harus diperiksa apakah lim f ( x) = f (1) . x →1
Sekarang perhatikan bahwa untuk sembarang nilai x kecuali x =1 berlaku
40
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 1 − 1 ≤ sin ≤1 x −1 1 2 2 2 − ( x − 1) ≤ ( x − 1) sin ≤ (x − 1) x −1 − (x − 1)2 ≤ f ( x ) ≤ (x − 1)2
lim − ( x − 1) = 0 2
Selanjutnya
dan
x →1
lim ( x − 1) = 0 , sehingga 2
x →1
menurut teorema apit lim f ( x ) = 0 . Jadi karena lim f ( x ) = 0 ≠ f (1), x →1
x →1
maka f tidak kontinu di x = 1. x 2 − 6x + 9 x a. Menentukan selang keonotonan dan titik ekstrim (2 x − 6) x − ( x 2 − 6 x + 9) 2 x 2 − 6 x − x 2 + 6 x − 9) f ' ( x) = = x2 x2 x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) = = x2 x2
4. Diketahui f ( x ) =
++++ ----- ------ ++++
• -3
•
0
•
3
- f monoton naik jika f ' ( x ) > 0, yaitu pada selang (− ∞,−3) ∪ (3, ∞ ) - f monoton turun jika f ' ( x ) < 0, yaitu pada selang (− 3,0) ∪ (0,3) - Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -3(+ -) dan f(-3) ada , maka titik (-3,f(-3)) = (-3,-12) merupakan titik maksimum lokal. Karena terjadi perubahan kemonotonan di x =3 (+ -), maka titik (3,f(3)) = (3,0) merupakan titik minimum lokal. b. Menentukan selang kecekungan x2 − 9 9 f ' ( x) = =1− 2 2 x x f ' ' ( x) =
18 x3
41
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - f cekung ke atas jika f " ( x ) > 0 , yaitu untuk x > 0 - f cekung ke bawah jika f " ( x ) < 0 , yaitu pada selang (− ∞,0 ) - f tidak memiliki titik belok. c. Menentukan Asimtot - Asimtot datar / miring (berbentuk y = ax + b) f ( x) x 2 − 6x + 9 6 9 = lim = lim 1 − + 2 = 1 a = lim 2 x →∞ x → ∞ x → ∞ x x x x 2 x − 6x + 9 x2 − 6 x + 9 − x2 b = lim f ( x) − ax = lim − x = lim x→∞ x →∞ x →∞ x x − 6x + 9 9 = lim = lim − 6 + = −6 x x x →∞ x →∞ Jadi f memiliki asimtot miring yaitu y = x – 6 - Asimtot tegak ( berbentuk x = c) x 2 − 6x + 9 Karena =∞, lim f ( x ) = lim x →0 x→0 x2 merupakan asimtot tegak dari f.
maka
x=0
d. Grafik f(x)
42
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007 Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114 Senin 13 November 2006 UTS 2006/2007 1. Menentukan himpunan penyelesaian dari : 1 <5 a. − 1 < 2x −1 Pertaksamaan ini setara dengan 1 1 > −1 dan < 5 ……....(i) 2x −1 2x −1 pertidaksamaan sebelah kiri pada (i) menjadi 1 + (2 x − 1) >0 2x −1 2x >0 2x − 1 + + + + o+ - - - - - o+ + + + 0
1/2
Hp1 = {x x < 0 ∪ x > 1 / 2} pertidaksamaan sebelah kanan pada (i) menjadi 1 − 5(2 x − 1) <0 2x − 1 6 − 10 x <0 2x − 1
-----+++++ ----o o 1/2
3/5
Hp2 = {x x < 1 / 2 ∪ x > 3 / 5} Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud Hp = Hp1 ∩ Hp2 = {x x < 0 ∪ x > 3 / 5}(ans) b.
adalah
4 ≥ x − 3 ……………………………………………………..(ii) x
x ;x≥0 Menurut definisinya x = − x ; x < 0
43
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I sehingga : - untuk x ≥ 0 (ii) menjadi 4 ≥ x −3 x 4 − x(x − 3) ≥0 x − x 2 − 3x − 4 ≥0 x (x − 4)(x + 1) ≤ 0 x
(
)
− − − •+ + + •− − − − − •+ + + −1 0 4
Pertaksamaan terakhir ini terpenuhi untuk x ≤ −1 ∪ 0 < x ≤ 4 , sehingga himpunan penyelesaian bagi (ii) untuk x ≥ 0 adalah Hp1 = {x (x ≤ −1 ∪ 0 < x ≤ 4) ∩ x ≥ 0} = {x (0 < x ≤ 4)} - untuk x < 0 (ii) menjadi 4 ≥ x−3 −x − 4 − x ( x − 3) ≥0 x x 2 − 3x + 4 ≤0 x Karena x 2 − 3 x + 4 definit positif maka jelas pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika x < 0 . Sehingga himpunan penyelesaian untuk (ii) adalah Hp2 = {x x < 0 ∩ x < 0} = {x x < 0}
(
)
Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir untuk (ii) adalah Hp = Hp1 ∪ Hp2 = {x x ≤ 4 ; x ≠ 0} (ans) 2. Diberikan f ( x) = x dan g ( x) = 1 − x 2 a. Memeriksa apakah fog terdefinisi Untuk memeriksanya kita selidiki apakah R g ∩ D f ≠ { }.
44
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I D f = [0, ∞ ) , R f = [0, ∞) , D g = R Sekarang perhatikan bahwa untuk setiap x ∈ R x2 ≥ 0 − x2 ≤ 0 1 − x2 ≤ 1 g ( x) ≤ 1, Rg = (− ∞,1] . Dengan demikian Kemudian
berlaku
karena
R g ∩ D f = (− ∞,1] ∩ [0, ∞) = [0,1] ≠ { } , maka fog terdefinisi/ada. b. Menentukan fog dan Dfog fog ( x) = f ( g ( x)) = f (1 − x 2 ) = 1 − x 2 Menurut definisinya D fog = x ∈ R x ∈ D g , g ( x) ∈ D f
{ = {x ∈ R x ∈ R ,1 − x = {x ∈ R 1 − x ≥ 0} = {x ∈ R x ≤ 1} = {x ∈ R x ≤ 1}
2
} ∈ [0, ∞ )}
2
2
= {x ∈ R − 1 ≤ x ≤ 1} 3. Menentukan a agar lim 9 x 2 − ax − 7 + 3x = 1 x → −∞
lim
2
9 x − ax − 7 + 3 x = 1
x → −∞
9x2 − ax − 7 − 3x 2 =1 lim 9x − ax − 7 + 3x 9x2 − ax − 7 − 3x x →−∞
lim
x → −∞
lim
x → −∞
9 x 2 − ax − 7 − 9 x 2 9 x 2 − ax − 7 − 3x − ax − 7
=1
=1
a 7 x 9 − − 2 − 3x x x
45
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 7 x − a − x =1 lim x → −∞ a 7 − x 9 − − 2 − 3x x x 7 − a − x =1 lim x → −∞ a 7 − 9− − 2 −3 x x −a =1 ⇒ a = 6 − 9 −3 2x 4. Diberikan f ( x) = 4 − x2 a. Menentukan selang kemonotonan 2(4 − x 2 ) − (−2 x)2 x 8 − 2 x 2 + 4 x 2 2x2 + 8 = f ' ( x) = = (4 − x 2 ) 2 (4 − x 2 ) 2 (4 − x 2 ) 2 f ' ( x) selalu bernilai positif untuk setiap nilai x, (x ≠ ± 2). Ini berarti f(x) selalu naik pada interval (-∞,∞)/{±2}. Fakta ini juga menunjukkan bahwa f(x) tidak memiliki nilai ekstrim .
b. Menentukan selang kecekungan 4x(4 − x2 )2 − 2(4 − x2 )(−2x)(2x2 + 8) f ' ' (x) = (4 − x2 )4 = =
4 x( 4 − x 2 ) + 4 x(2 x 2 + 8) (4 − x 2 ) 3
=
16 x − 4 x 3 + 8 x 3 + 32 x (4 − x 2 ) 3
4 x( x 2 + 12) 4 x 3 + 48 x = (2 − x) 3 (2 + x) 3 ( 2 − x) 3 (2 + x) 3 +++++ ----- +++++
-2
0
-----
f “(x)
2
- f(x) cekung ke atas jika f ' ' ( x) > 0 , yaitu pada interval x < −2 dan 0 < x < 2
46
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - f(x) cekung ke bawah jika f ' ' ( x) < 0 , yaitu pada interval − 2 < x < 0 dan x > 2 - Karena terjadi perubahan kecekungan pada x = 0 dan f(0) ada, maka titik (0,f(0)) = (0,0) adalah titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b) f ( x) 2x 2 = lim = lim =0 a = lim 2 x →∞ x → ∞ x → ∞ x (4 − x ) x (4 − x 2 )
b = lim f ( x) − ax = lim
( x)
x2 2
2x
= lim
=
0 =0 −1
x 2 4 2 −1 x Dengan demikian f(x) memiliki asimtot datar yaitu berupa garis y = 0. x →∞
x →∞
2
(4 − x )
x →∞
- Asimtot tegak ( berbentuk x = c ) 2x 2x Karena lim = ∞, dan lim = ∞ maka f(x) memiliki 2 2 x→2 4 − x x→−2 4 − x dua asimtot tegak yaitu x = 2 dan x = -2 d. Grafik f(x)
R
Q (x,y) 44
O
grafik f ( x) =
2x 4 − x2
P P
Gambar 5
47
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 5. Perhatikan gambar 5 di atas ! a. Menyatakan luas persegi panjang sebagai suatu peubah. Titik Q terletak pada lingkaran dengan persamaan
x 2 + y 2 = 16 ⇒ y = 16 − x 2 Sehingga luas persegi panjang = L(x) = 4× luas persegi panjang OPQR. L( x) = 4 × OP × PQ
= 4 x 16 − x 2
0≤ x≤4
b. Menentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum. Nilai maksimum L(x) terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval. Titik stasioner terjadi ketika L’(x) = 0 yakni 4 16 − x 2 + 4 x.
( −2 x ) 2 16 − x 2
4x 2
4 16 − x 2 −
16 − x 2
=0
=0
2
4 16 − x 2 − 4 x 2 = 0 2 64 − 4 x = 4 x 2 8 x 2 = 64 x=± 8
Karena 0 ≤ x ≤ 4 maka x yang mememuhi adalah x = 8 . Sehingga sekarang kita memiliki 3 buah titik kritis yaitu x = 8 yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 , x = 4 yang berasal dari ujung interval domain L(x). Untuk mengetahui dimana L(x) mencapai maksimum, kita cukup mengevaluasi nilai L(x) pada titik-titik kritis tersebut yaitu L( 8 ) = 32 , L(0) = 0 , L(4) = 0 . Karena L( 8 ) = 32 merupakan luas maksimum, maka ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum adalah 2.OP × 2.PQ = 2 8 × 2 8 = 4 2 × 4 2 (ans) .
48
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006 Mata Kuliah Kalkulus I (MA 1114) Senin 17 Oktober 2005 UTS 2005/2006 1. Menentukan persamaan garis singgung di perpotongan kurva x 2 − xy + y 2 = 16 .........(i ) dengan sumbu x. Titik potong kurva dengan sumbu x berada pada y = 0. Sehingga dari (i) diperoleh x 2 = 16 atau x = ±4 Dengan demikian kita memiliki dua buah titik singgung yaitu (4,0), dan (-4,0). Langkah selanjutnya adalah kita tentukan kemiringan garis di tiap-tiap titik tersebut. D x ( x 2 − xy + y 2 ) = D x (16)
2 x − ( y + xy') + 2 yy' = 0 2 x − y − xy'+2 yy' = 0 (2 x − y ) − ( x − 2 y ) y ' = 0 (2 x − y ) = ( x − 2 y ) y '
y' =
2x − y x − 2y
Di titik (4,0), y ' = 2 Di titik (-4,0), y ' = 2 Jadi persamaan garis singgung di titik(4,0) adalah y − 0 = 2(x − 4 ) atau y = 2 x − 8 (ans ) , sedangkan Di titik (-4,0) persamaan garis singgungnya adalah y − 0 = 2(x − (− 4 )) atau y = 2 x + 8 (ans ). 2. Menentukan
himpunan
penyelesaian
pertaksamaan
2 x + 1 + x(x + 1) ≤ 4..............(iii ) Menurut definisinya x + 1, x ≥ −1 x +1 = − ( x + 1), x < −1
49
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Sehingga - untuk x ≥ -1 (iii) menjadi 2( x + 1) + x( x + 1) ≤ 4 2x + 2 + x 2 + x ≤ 4 x 2 + 3x ≤ 2
(x + 32 )2 − ( 32 )2 ≤ 2 (x + 32 )2 ≤ 174 x + 32 ≤ 12 17 − 12 17 ≤ x + 32 ≤ 12 17 − 12 17 − 32 ≤ x ≤ 12 17 − 32 Hp1 = [−1, ∞) ∩[− 12 17 − 32 , 12 17 − 32 ] = [−1, 12 17 − 32 ] - sedangkan untuk x < -1 (iii) menjadi 2(− ( x + 1) ) + x(x + 1) ≤ 4 − 2x − 2 + x 2 + x ≤ 4 x2 − x − 6 ≤ 0 ( x − 3)( x + 2) ≤ 0 − 2 ≤ x ≤ 3 ( periksa !) Hp 2 = (−∞,−1] ∩ [−2,3] = [ −2,−1] Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (iii) adalah Hp = Hp1 ∪ Hp2 = − 1, 12 17 − 32 ∪ [− 2,−1] = − 2, 12 17 − 32 (ans)
[
]
3. a. Menentukan a agar lim
9 x 2 + ax + 4 + 3x =
x → −∞
2 lim 9x + ax+ 4 + 3x.
x→−∞
lim
x → −∞
[
]
1 3
9x2 + ax+ 4 − 3x 1 = 9x2 + ax+ 4 − 3x 3
9 x 2 + ax + 4 − 9 x 2 9 x 2 + ax + 4 − 3 x
=
1 3
50
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I lim
x → −∞
lim
ax + 4
=
9 x 2 + ax + 4 − 3 x 4 x a + x
1 3
=
a 4 + 2 − 3x x x 4 x a + 1 x = lim x → −∞ 3 a 4 x 9 + + 2 − 3x x x 4 x a + 1 x = lim x → −∞ 3 a 4 − x 9 + + 2 − 3x x x 4 a + 1 x = lim x →−∞ 3 a 4 − 9+ + 2 −3 x x 1 a = − 9 −3 3 a 1 = −6 3 a = −2(ans) x → −∞
x2 9 +
1 3
b. Menentukan nilai a dan b jika lim
a + cos(bx)
x2 lim a + cos(bx) haruslah bernilai 0. Sebab
= −2
x →0
jika hal ini tidak
x→0
terjadi (katakanlah lim a + cos(bx) = c ≠ 0 )
akan berakibat
x →0
a + cos(bx) c = =∞ 2 2 x →0 x lim x
lim
x →0
51
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I yang bertentangan dengan pernyataan lim x →0
a + cos(bx) x2
= −2
Tulis lim a + cos(bx) = 0 x →0
a + cos 0 = 0
a + 1 = 0, a = −1 (ans) a + cos(bx) berbentuk x →0 x2 kita dapat menerapkan dalil L’Hospital a + cos(bx) = −2 lim x →0 x2 − b sin(bx) = −2 lim x →0 2x − b 2 cos(bx) = −2 lim x→0 2 − b2 = −2 ⇒ b 2 = 4 ⇒ b = ±2(ans ) 2 x 4. Diberikan f ( x) = 2 ⋅ x +1 a. Menentukan selang kemonotonan 1 x 2 + 1 − (2 x )x 1 − x2 x 2 + 1 − 2x 2 f ' (x ) = . = = 2 ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1) 2 x2 +1
Kemudian karena sekarang lim
(
0 0
maka
)
(
- - - - - -
-1
)
+ + + +
- - - - - - f ‘(x)
1
- f(x) monoton naik jika f ' (x ) > 0, yaitu pada selang (-1,1). - f(x) monoton tutun jika f ' (x ) < 0 , yaitu pada selang (-∞,-1) dan (1,∞). - Karena terjadi perubahan kemonotonan (- + ) dititik x = -1 dan f(-1) ada, maka (-1,- ½) merupakan titik minimum lokal. Selain itu pada x = 1 terjadi perubahan kemonotonan ( +-) dan f(1) , maka titik (1,½ ) merupakan titik maksimum local.
52
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I b. Menentukan selang kecekungan − 2x(x2 +1)2 − 2(x2 +1)(2x)(1− x2 ) f ''(x) = ⋅ (x2 +1)4 =
− 2 x( x 2 + 1) − 2(2 x)(1 − x 2 ) ( x 2 + 1) 3
=
− 2x3 − 2x − 4x + 4x3 2x 3 − 6x = ( x 2 + 1) 3 ( x 2 + 1) 3
=
2 x( x 2 − 3) 2 x( x − 3 )( x + 3 ) = ( x 2 + 1) 3 ( x 2 + 1) 3 - - - -
−
+ + + +
3
- - - -
+ + + + f “(x)
3
0
- f cekung ke atas jika f ' ' ( x) >0, yaitu pada selang (− 3,0) dan
( 3, ∞) - f cekung ke bawah jika
f ' ' ( x) <0, yaitu pada selang
(−∞,− 3 ) dan (0, 3 ) - Karena terjadi perubahan kecekungan di x = 3 , x = 0 dan
x=− 3
serta f ( 3 ), f (0), f (− 3 ) masing masing ada,
maka ( 3, f ( 3 )) , (0 f (0)) , dan (− 3, f (− 3 )) merupakan titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b) x 1 f ( x) = lim 2 = lim 2 =0 a = lim x →∞ ( x + 1) x x →∞ ( x + 1) x x →∞
x =0 x →∞ ( x + 1) x →∞ jadi f memiliki asimtot datar yaitu y = 0. b = lim f ( x) − ax = lim
2
- f tidak memiliki asimtot tegak
53
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I d. Sketsa grafik f(x) y 1,1/2 • 3,0.1 3 •
x
0,0 • •
− 3,−0.1 3 •
-1,-1/2
grafik f ( x) =
x ⋅ x2 + 1
5. Menentukan ukuran x,y,z agar volume kotak pada gambar di bawah ini maksimum. Terlebih dahulu kita tentukan fungí dari volume benda sebagai suatu peubah.. 8m x
⋅
y
5m
z
2 x + 2 y = 8, ⇒ y = 4 − x 2 x + z = 5, ⇒ z = 5 − 2 x Volume = V = y × z × x V ( x) = (4 − x)(5 − 2 x) x
= (20 − 8x − 5x + 2 x 2 ) x = (20 − 13x + 2 x 2 ) x = 20 x − 13 x 2 + 2 x 3 ; 0 ≤ x ≤
5 2
54
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Titik maksimum V (x) terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval dari domain V (x). Titik stasioner terjadi ketika V ’(x) = 0 yakni 20 − 26 x + 6 x 2 = 0 20 − 26 x + 6 x 2 = 0 3x 2 − 13 x + 10 = 0 (3 x − 10)( x − 1) = 0
x = 1 ∪ x = 103 Kita tolak x = 103 Karena tidak berada pada interval 0 ≤ x ≤
5 2
. Jadi
sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis yaitu x = 1 yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 , x = 52 yang berasal dari ujung interval domain V (x) . Untuk mengetahui dimana V (x) mencapai nilai maksimum, kita evaluasi nilai V (x) pada titiktitik kritis tersebut, yaitu
V (1) = 9m 3 , V (0) = 0 m 3 dan
V ( 52 ) = 0 m 3 . V (1) = 9 m 3
merupakan volume maksimum, sehingga ukuran kotak agar volumenya maksimum adalah x = 1 , y = 3, z = 3 . (ans)
55
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2004/2005 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1114 Senin 25 November 2004 UTS 2004/2005 1. Menetukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x − 3 < 4x ......(i ) Menurut definisinya x − 3, x ≥ 3 x−3 = − ( x − 3) , x < 3 Sehingga : - Untuk x ≥ 3 (i) menjadi
x − 3 < 4x x − 3 − 4x < 0 x( x − 3) − 4 <0 x x 2 − 3x − 4 <0 x ( x − 4)( x + 1) <0 x - - - - - + + + - - - - - + + + + -1
0
4
x < −1 ∪ 0 < x < 4
Hp1 = {x ( x < −1 ∪ 0 < x < 4) ∩ x ≥ 3 = {x 3 ≤ x < 4} - Sedangkan untuk x < 3 (i) menjadi
− (x − 3) < 4x − x + 3 − 4x < 0 x(− x + 3) − 4 <0 x x 2 − 3x + 4 >0 x
56
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2
Karena x − 3x + 4 definit positif, maka jelas pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika x > 0, sehingga Hp2 = {x x > 0 ∩ x < 3} = {x 0 < x < 3} Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah Hp = Hp1 ∪ Hp 2 = {x 0 < x < 4} (ans) 2. Menentukan persamaan garis singgung pada kurva 2 2 y + Cos( xy ) + 3x = 4.....(ii ) di titik potong kurva dengan sumbu x. Letak titik potong kurva dengan sumbu x adalah y = 0, sehingga dari (ii) diperoleh Cos 0 + 3 x 2 = 4 1 + 3x 2 = 4 x2 =1 x = ±1 Dengan demikian kita memiliki 2 titik singgung yang akan kita cari persamaan garis singgungnya yaitu (1,0), dan (-1,0). Selanjutnya kita tentukan gradien garis singgung pada kedua titik tersebut. Dx ( y + cos(xy 2 ) + 3x 2 ) = Dx 4
y'− sin(xy 2 ).( y 2 + 2 yy' x) + 6 x = 0 y'− y 2 sin(xy 2 ) − 2 xyy' sin(xy 2 ) + 6 x = 0 y'−2 xyy' sin(xy 2 ) = y 2 sin(xy 2 ) − 6 x (1 − 2 xy sin(xy 2 ) y' = y 2 sin(xy 2 ) − 6 x y' =
y 2 sin( xy 2 ) − 6 x 1 − 2 xy sin( xy 2 )
Di titik (1,0) y’= -6 dan di titik (-1,0) y’= 6. Jadi persamaan garis singgung di titik (1,0) adalah y − 0 = −6( x − 1) y = −6 x + 6 (ans ) sedangkan di titik (-1,0) persamaan garis singgungnya adalah y − 0 = 6( x − (−1)) y = 6 x + 6 (ans )
57
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 3
3. Menghitung lim x →1
x −1 2x + 2 − 2
3
lim x →1
x −1 2x + 2 − 2
= lim
x →1
x 3 −1
2x + 2 + 2
⋅
2x + 2 − 2
2x + 2 + 2
3
( x − 1)( 2 x + 2 + 2) 2x + 2 − 4 ( x 3 − 1)( 2 x + 2 + 2) = lim x →1 2x − 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1)( 2 x + 2 + 2) = lim x →1 2( x − 1) = lim
x →1
( x 2 + x + 1)( 2 x + 2 + 2) =6 x →1 2
= lim
4. Menentukan nilai ekstrim dari f ( x) =
x pada selang [- ½ ,2]. x +1 (1 − x )(1 + x ) 2
( x 2 + 1) − (2 x) x 1− x2 = f ' ( x) = = ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1) 2 - - - - - -
• -1
+ + + + + + + - - - - -½
• 1
f ‘(x)
2
Pada selang [- ½ ,2] terdapat tiga buah titik kritis yaitu titik ujung x = − 12 dan x = 2 serta titik stasioner x = 1. Untuk − 12 < x < 1 , f ' (x ) > 0 sedangkan untuk 1 < x < 2 , f ' (x) < 0. jadi f (1) = 12 merupakan nilai maksimum f pada selang [-½ ,2]. Jika f memiliki nilai minimum, harus terjadi pada titik kritis yang lainnya yaitu pada x = − 12 atau x = 2 . Sekarang f (− 12 ) = − 52 dan f ' (x ) > 0 untuk − 12 < x < 0 . Kemudian f (0) = 0 dan f ( x ) > 0 > − 52
untuk 0 < x ≤ 2 , sehingga f (− 12 ) = − 52 adalah nilai minimum pada [- ½ ,2].
f
58
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 5. Menentukan luas maksimum dari segitiga di bawah.
Titik p dapat bergerak sepanjang kurva y = − x 2 + 4 x ( periksa !) Luas ∆ pqr = L(x) = 2.Luas ∆ prs ps.rs L( x) = 2. = ps.rs = ps. p ' p 2 = ( x − 2)(− x 2 + 4 x) = − x3 + 4 x2 + 2 x 2 − 8x
= − x 3 + 6 x 2 − 8x ; 2 ≤ x ≤ 4 Untuk menentukan nilai maksimum L(x), terlebih dahulu harus ditentukan titik kritisnya. Titik stasioner diperoleh dengan menyelesaikan L ' ( x) = 0 − 3 x 2 + 12 x − 8 = 0 x 2 − 4 x + 83 = 0
( x − 2) 2 − 4 + 83 = 0 ( x − 2) 2 = x=2±
4 3
4 3
Kita tolak x = 2 −
4 3
karena tidak berada dalam selang 2 ≤ x ≤ 4 .
Jadi pada titik stasioner kita telah memiliki sebuah titik kritis, sedangkan dari ujung interval kita memiliki dua buah titik kritis yaitu x = 2 dan x = 4. Untuk mengetahui yang mana yang merupakan titik maksimum, kita evaluasi L(x) pada titik kritis yang kita miliki, yakni f (2 +
4 3
) = 163 3 , f ( 2) = 0 , f ( 4) = 0 . Jadi
Luas segitiga maksimum adalah
16 3
3.(ans)
59
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2003/2004 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Senin 6 Oktober 2003 UTS 2003/2004
1. Menetukan daerah asal suatu fungsi: a. f ( x) = 2 x − 2 − x − 5
D f = {x f ( x) ∈ R}
{
= x 2 x −2 − x −5∈R
{
}
}
= x2x −2 − x −5≥0
Kita selesaikan pertidaksamaan 2 x − 2 − x − 5 ≥ 0..(i ) Menurut definisinya ;x≥2 x − 2 x−2 = − ( x − 2 ) ; x < 2 ;x≥0 x x = − x ; x < 0 Sehingga : - untuk x ≤ 0 (i) menjadi
2( −( x − 2)) − (− x) − 5 ≥ 0 − 2x + 4 + x − 5 ≥ 0 − x −1 ≥ 0 x ≤ −1 Hp1 = {x x ≤ 0 ∩ x ≤ −1} = {x x ≤ −1}
- kemudian untuk 0 < x < 2 (i) menjadi 2(−( x − 2)) − x − 5 ≥ 0 − 2x + 4 − x − 5 ≥ 0 − 3x − 1 ≥ 0 x ≤ − 13
{
}
Hp 2 = x 0 < x < 2 ∩ x ≤ − 13 = { }
60
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - sedangkan untuk x ≥ 2 (i) menjadi 2( x − 2) − x − 5 ≥ 0 2x − 4 − x − 5 ≥ 0 x≥9 Hp 3 = {x x ≥ 2 ∩ x ≥ 9} = {x x ≥ 9} Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah Hp = Hp1 ∪ Hp 2 ∪ Hp3 = {x x ≤ −1 ∪ x ≥ 9} yang sekaligus menjadi daerah asal f yaitu D f = {x x ≤ −1 ∪ x ≥ 9} (ans)
x3 − x2 − 6x x+3 Menurut definisinya D f = {x f ( x) ∈ R}
b. f ( x) =
x 3 − x 2 − 6x ≥ 0 ; x ≠ −3} x+3 x3 − x 2 − 6x Kita selesaikan pertidaksamaan ≥ 0....................(ii ) x+3 x ( x 2 − x − 6) ≥0 x+3 x( x − 3)( x + 2) ≥0 x+3 = {x
+ + + + + -- - + + + + - - - - - - - - + + + + -3
-2
0
3
Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (ii) adalah {x x < −3 ∪ −2 ≤ x ≤ 0 ∪ x ≥ 3} yang sekaligus menjadi daerah asal f. (ans) 1 + cos x 2 x →π x sin x
2. a. Menghitung lim
Karena limit berbentuk dalil L’Hopital.
0 0
, maka kita dapat menerapkan
− sin x 1 + cos x 0 = lim = = 0 (ans ) 2 2 x →π x sin x x →π 2 x sin x + x cos x 0−π 2 lim
61
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I b. Menentukan a agar lim
4 x 2 + ax + 2 x = 5
x → −∞
lim
4 x 2 + ax + 2 x = 5
lim
4 x 2 + ax + 2 x ⋅
x → −∞
x → −∞
lim
x → −∞
4 x 2 + ax − 4 x 2 4 x 2 + ax − 2 x ax
4 x 2 + ax − 2 x 4 x 2 + ax − 2 x
=5
=5
=5 a x 4 + − 2x x ax =5 lim x → −∞ a x 4 + − 2x x ax =5 lim x → −∞ a − x 4 + − 2x x a =5 lim x → −∞ a − 4+ −2 x a =5 − 4−2 a = −20 (ans) lim
x → −∞
2
3. Memeriksa apakah x 2 − 2 x + 3, x ≥ 1 f ( x) = 2 x − 2 x + 2, x < 1 diferensiabel di x = 1. Jika kita perhatikan dengan baik, terlihat bahwa f tidak kontinu di x = 1 karena lim f (x ) = 2 = f (1) sedangkan lim f ( x ) = 1 . Ini + − x →1
x→1
mengakibatkan f tidak diferensiabel di x = 1. (ans) 62
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2
x + x −1 x −1 a. Menentukan selang kemotonan
4. f ( x) =
f ' ( x) =
(2 x + 1)( x − 1) − 1( x 2 + x − 1) x 2 − 2 x x( x − 2) = = ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2
+ + + + - - - - - - - - + + + 0
1
2
- f(x) naik jika f ‘(x) > 0, yaitu pada selang (-∞,0) dan (2,∞). - f(x) turun jika f ‘(x) < 0, yaitu pada selang (0,1) dan (1,2). - Terjadi perubahan kemonotonan di x = 0 (+ -), maka (0,f(0)) = (0,0) adalah titik maksimum local. Terjadi perubahan kemonotonan di x =2 (- +), maka (2,f(2)) = (2,5) merupakan titik minimum local. b. Menentukan selang kecekungan
(2 x − 2)( x − 1) 2 − 2( x − 1)( x 2 − 2 x) ( x − 1) 4 (2 x − 2)( x − 1) − 2 x( x − 2) = ( x − 1) 3
f " ( x) =
=
2x2 − 2x − 2x + 2 − 2x2 + 4x 2 = 3 ( x − 1) ( x − 1) 3 - - - - - - - - + + + + + + + 1
- f(x) cekung ke atas jika f " ( x) > 0, yaitu pada selang x > 1 - f(x) cekung ke bawah jika f " ( x) < 0, yaitu pada selang x < 1 - f tidak memiliki titik belok, walaupun terjadi perubahan kecekungan di x = 1 tetapi f(1) tidak ada. c. Menentukan asimtot • Asimtot miring/ datar (berbentuk y = ax + b)
63
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I a = lim
x →∞
f ( x) x2 + x −1 x2 + x −1 = lim = lim 2 x →∞ x( x − 1) x→∞ x − x x
1 1 1 1 x 2 1 + − 2 1 + − 2 x x x x = lim =1 = lim x →∞ x →∞ 1 1 1 − x 2 1 − x x
x2 + x −1 −x x →∞ ( x − 1)
b = lim f ( x) − ax = lim x →∞
2x − 1 ( x 2 + x − 1) − x ( x − 1) = lim =2 x→∞ x →∞ x − 1 x −1
= lim
Jadi f memiliki asimtot miring y = x + 2 • Asimtot tegak ( berbentuk x = c )
x2 + x −1 = ∞, maka x = 1 merupakan asimtot x →1 ( x − 1) tegak dari f. Karena lim
d. Grafik f(x)
5. Materi UAS
64
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2002/2003 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Senin 11 April 2003 UTS 2002/2003 1. Menetukan himpunan penyelesaian dari x −1 <x a. x +1 x −1 −x<0 x +1 x − 1 − x( x + 1) <0 x +1 x −1 −x2−x <0 x +1 −1−x2 <0 x +1 1 +x2 >0 x +1 Karena 1 + x 2 definit positif maka jelas pertaksamaan terakhir terpenuhi jika dan hanya jika x > −1 . Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x x > −1}(ans) b. 5 −
1 <2 x 2
5−
1 < 22 x 2
1 2 5 − < 2 x 2
1 2 5 − − 2 < 0 x 1 1 5 − − 2 5 − + 2 < 0 x x
65
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 1 1 3 − 7 − < 0 x x 3x − 1 7 x − 1 <0 x x (3 x − 1)(7 x − 1) <0 x2 + + +
{
○ 0
+ + + - - + + + + + + ○ ○ 1/7 1/3
}
Hp = x 1 < x < 1 (ans ) 7 3 x 2. Diketahui f ( x) = 2 x −9 a. Menentukan selang kemonotonan
1.( x 2 − 9) − (2 x).x = ( x 2 − 9) 2 Karena untuk setiap x = ±3 ; pada (-∞,∞)/{±3}. Hal ini memiliki nilai ekstrim. (ans) f ' ( x) =
x 2 − 9 − 2 x 2 − ( x 2 + 9) = 2 ( x 2 − 9) 2 ( x − 9) 2 f ' ( x) < 0 maka f tidak selalu turun juga menunjukan bahwa f tidak
b. Menentukan selang kecekungan Selang kecekungan dapat ditentukan dari f " ( x)
− (2 x)( x 2 − 9) 2 − 2( x 2 − 9)(2 x)(−( x 2 + 9)) ( x 2 − 9) 4
f " ( x) = =
− (2 x)( x 2 − 9) − 2(2 x)(−( x 2 + 9)) ( x 2 − 9) 3
=
− 2 x 3 + 18x + 4 x 3 + 36 x 2 x 3 + 54 x 2 x( x 2 + 27) = = ( x 2 − 9) 3 ( x 2 − 9) 3 ( x − 3) 3 ( x + 3) 3 - - - -
+ + + ○ -3
- - - ○ 0
+ + + +
f “(x)
○ 3
- f(x) cekung ke atas jika f " ( x) > 0, yaitu pada selang (-3,0) dan (3,∞)
66
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - f(x) cekung ke bawah jika f " ( x) < 0, yaitu pada selang (-∞,-3) dan (0,3) - Karena terjadi perubahan kecekungan di x = 0 dan f(0) ada, maka titik (0,f(0)) = (0,0) merupakan titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring ( berbentuk y = ax + b ) f ( x) x 1 a = lim = lim 2 = lim 2 =0 x →∞ x → ∞ ( x − 9) x x → ∞ ( x − 9) x
( )
x2 1 x 0 x b = lim f ( x) − ax = lim 2 − 0 = lim = =0 x →∞ x →∞ ( x − 9) x →∞ 2 x 1 − 9 2 1 x Jadi memiliki asimtot datar yaitu y = 0
- Asimtot tegak ( berbentuk x = c ) x x Karena lim 2 = ∞, dan lim 2 = ∞ maka x = ±3 x → 3 ( x − 9) x → −3 ( x − 9) merupakan asimtot tegak dari f. d. Grafik f(x)
f ( x) =
x x2 − 9
67
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2
2
3. Diketahui xy − 5x y = −6.............................................................(i) a. Menentukan y’
Dx ( xy 2 − 5x 2 y) = Dx (−6) Dx ( xy 2 ) − Dx (5x 2 y) = Dx (−6) (1. y 2 + 2 yy'.x) − (10x. y + y'.5x 2 ) = 0 y 2 + 2 yy'.x − 10x. y − y'.5x 2 = 0 2 yy'.x − y'.5 x 2 = 10xy − y 2 (2 yx − 5 x 2 ) y' = 10xy − y 2 y' =
10xy − y 2 2 xy − 5x 2
............................................................................(ii)
b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal di x = 1. Ketika x = 1 , maka persamaan (i) memberikan y 2 − 5 y = −6
y2 − 5y + 6 = 0 ( y − 3)( y − 2) = 0 y = 3 , atau y = 2 Dengan demikian kita memiliki dua titik singgung yaitu (1,3) dan (1,2). Kemudian dengan menyulihkan kedua titik tersebut pada (ii), maka diperoleh kemiringan garis singgung pada masing masing titik secara beruturut-turut yaitu y ' = 21 dan y ' = −16 . Jadi : - Persamaan garis singgung di titik (1,3) adalah y − 3 = 21( x − 1) atau y = 21x − 18 (ans ) - Persamaan garis singgung di titik (1,2) adalah y − 2 = −16( x − 1) atau y = −16 x + 18 (ans) - Persamaan garis normal di titik (1,3) adalah 1 y − 3 = − 21 ( x − 1) atau x + 21 y − 64 = 0 ( ans) - Persamaan garis normal di titik (1,2) adalah 1 y − 2 = − −16 ( x − 1) atau x − 16 y + 31 = 0 (ans ) 4. Materi UAS
68
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2001/2002 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 UTS 2001/2002 1. Menetukan himpunan penyelesaian dari : 7 a. <3 2x 7 −3< 0 2x 7 − 3(2 x) <0 2x 7 − 6x <0 2x - - - - -
{
+ + + + + +
○ 0
Hp = x x < 0 ∪ x >
7 6
- - - - - ○ 7/6
}
b. − 2 < x − 4 < 3.....(i ) Pertaksamaan ini setara dengan dengan x − 4 > −2 dan x − 4 < 3. x − 4 > −2 adalah suatu pernyataan yang benar untuk sembarang nilai x, jadi pertaksamaan ini dipenuhi oleh x∈R. - x−4 <3 −3< x−4<3 1< x < 7 Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (i) adalah {x x ∈ R ∩ 1 < x < 7} = {x 1 < x < 7}
-
1 (x + 7 ) ; x ≤ b 2. Diberikan f ( x) = 3 2 x − 1 ; x > b a. Menentukan nilai b agar f kontinu Agar f kontinu dimana mana maka f harus kontinu di x = b, yaitu harus dipenuhinya syarat lim f ( x) = lim f ( x) = f (b) x →b −
x →b +
69
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I lim f ( x) = lim+ f ( x)
x →b −
lim
x →b −
1 3
x →b
1 3
(x + 7 ) =
lim 2 x − 1
x →b +
(b + 7 ) = 2b − 1
b + 7 = 6b − 3 b=2
b. Memeriksa apakah f diferensiabel di x = b = 2 Untuk mengetahui harus diselidiki apakah f −' (2) = f +' (2). Tetapi karena 1 1 (x + 7 ) − 3 ( x − 2) 1 f ( x) − f (2) f −' (2) = lim = lim 3 = lim 3 = x−2 x−2 x−2 3 x→2− x→ 2 − x→2− sedangkan 2( x − 2 ) f ( x ) − f ( 2) (2 x − 1) − 3 f +' ( 2) = lim = lim = lim = 2, + + + x−2 x−2 x−2 x →2 x →2 x→2 maka jelas kesimpulannya bahwa f tidak diferensiabel di x = 2. 3. Menentukan persamaan garis singgung kurva f ( x) = 1 + 3 − 4 x yang sejajar dengan 2 x + 3 y = 3 −1 −2 f ' ( x) = 12 (3 − 4 x) 2 (−4) = 3 − 4x Karena garis singgung sejajar dengan garis 2 x + 3 y = 3 yang memiliki gradien -2/3, maka haruslah −2 2 =− 3 3 − 4x 3 − 4x = 3 3 − 4x = 9 x = − 32 Subtitusi ke fungsi awal untuk mendapatkan y = f (− 32 ) = 4 . Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud adalah 3 2 2 y − 4 = − 3 ( x − ( − 2 )) atau y = − 3 x + 3 . 4. Materi UAS
70
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2000/2001 Mata Kuliah : Kalkulus I (DA 1314) Senin 23 Oktober 2000 UTS 2000/2001 1. Menetukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a. 1 − 3x ≤ 3x + 5 2
1 − 3x ≤ 3x + 5
2
(1 − 3x)2 ≤ (3x + 5)2 (1 − 3x)2 − (3x + 5)2 ≤ 0 ((1 − 3 x) + (3 x + 5) )((1 − 3 x) − (3 x + 5) ) ≤ 0 6(− 4 − 6 x ) ≤ 0 − 4 − 6x ≤ 0 x ≥ − 23
{
Hp = x x ≥ − 23
}
b. x − 1 < 2 ...... (i ) x
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak untuk x , maka
Untuk x ≥ 0, (i) menjadi 2 x 2 x −1− < 0 x x( x − 1) − 2 <0 x x2 − x − 2 <0 x x −1<
( x − 2 )( x + 1) <0 x
x <1∪ 0 < x < 2
- - - - + + + - - - - - - + + +
-1
0
2
Hp1 = {x ( x ≥ 0) ∩ ( x < 1 ∪ 0 < x < 2)} = {x 0 < x < 2}
71
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Sedangkan untuk x < 0 (i) menjadi 2 x −1 < −x 2 x −1+ < 0 x x( x − 1) + 2 <0 x x2 − x + 2 <0 x Karena x 2 − x + 2 definit positif, maka jelas pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika x < 0 , sehingga Hp2 = {x x < 0 ∩ x < 0} = {x x < 0} Jadi himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah Hp = Hp1 ∪ Hp 2 = {x 0 < x < 2 ∪ x < 0} = {x x < 2 ; x ≠ 0}
x2 , x <1 2. Diketahui f ( x) = px + q, x ≥ 1 a. Menentukan hubungan antara p dan q agar f kontinu di x = 1. Menurut hipotesisnya, kekontinuan kiri f pada x = 1 akan menghasilkan lim− f (x ) = f (1) x →1
2 lim− x = p + q
x →1
1= p + q Sedangkan kekontinuan kanan f di x = 1menghasilkan hubungan trivial ( p + q = p + q ). Jadi hubungan antara p dan q agar f
kontinu di x = 1 adalah 1 = p + q b. Menentukan nilai p dan q agar f ' (1 ) ada agar f ' (1 ) ada maka f −' (1) = f +' (1) yaitu f ( x) − f (1) f ( x) − f (1) = lim lim− x −1 x −1 x →1 x →1+
72
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2
x − ( p + q) px + q − ( p + q) = lim + x −1 x −1 x→1 x →1 2 px − p x −1 = lim lim− + x −1 x →1 x − 1 x →1 ( x − 1)( x + 1) p( x − 1) = lim lim− + x −1 x −1 x →1 x →1 lim x + 1 = p lim−
x →1−
p = 2 (ans ) Dengan demikian kita peroleh q = −1 (ans ) 2
2
3. Diketahui kurva x 3 + y 3 = 2 a. Menentukan y ' di (1,-1) Dx (x 2 3
x
−1
y' =
2
3
3
+y
+ 23 y
− 23 x 2 3
2
y
−1
−1
3
3
3
−1
) = D x ( 2) 3 .y' =
0
y = − x
1
3
Di titik (1,-1) y ' = 1 (ans ) b. Persamaan garis singgung dititik (1,-1) adalah y − (− 1) = (x − 1) atau y = x − 2 (ans ) . Sedangkan persamaan garis normalnya adalah y − (− 1) = 4. Menghitung :
−1 1
(x − 1) atau
y = − x (ans ) .
x
∫ t dt 2
a. lim x x →0 sin x Karena limit berbentuk 0/0 maka berlaku dalil L’Hopital. Kemudian gunakan TDK II untuk mendapatkan hasil berikut x
x
D x ∫ t dt
∫ t dt lim x →0
x2
sin x
= lim x →0
x2
D x (sin x )
= lim x→0
x − x 2 .2 x x − 2x 2 = lim =0 x→0 cos x cos x
73
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Alternative lain adalah dengan mengerjakan bagian yang mengandung integral terlebih dahulu sebagai berikut x
∫ t dt lim x →0
x
2
sin x
= lim x →0
2 3
t
3
2 x x2
sin x
= lim x →0
2 3
x
3
2
− 23 x 3
sin x
Selanjutnya karena limit terakhir berbentuk 0/0 maka berlaku dalil L’Hopital yang memberikan hasil berikut lim
2 3
x
x→0
3
2
− 23 x 3
sin x
= lim
x →0
x − 2x 2 = 0 (ans ) cos x
1
x dx −1 x
b. ∫
Misalkan f ( x) =
x −x −x . Fakta bahwa f (− x) = = = − f ( x) x −x x 1
x dx = 0 −1 x
menunjukkan bahwa f fungsi ganjil yang berakibat ∫ 5. Diberikan f ( x) =
x 2 − 1 (x − 1)( x + 1) x − 1 2 = = =1− ; x ≠ −1 2 2 x +1 x +1 ( x + 1) (x + 1)
a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim 2 f ' ( x) = (x + 1)2 f selalu naik pada (-∞,∞)/{-1} karena untuk setiap nilai x kecuali x = -1, f ' ( x) > 0 . Kenyataan ini juga menunjukkan
bahwa f tidak memiliki nilai ekstrim. b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok −4 f " ( x) = ( x + 1) 3 - f(x) cekung ke atas jika f " ( x) > 0, yaitu pada selang (-∞,-1) - f(x) cekung ke bawah jika f " ( x) < 0, yaitu pada selang (-1,∞) - f(x) tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan kecekungan di x = -1, tetapi f(-1) tidak ada.
74
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I c. Menentukan Asimtot - Asimtot datar / miring (berbentuk y = ax + b)
f ( x) 1 2 1 2 = lim 1 − =0 = lim − x →∞ x→∞ x x + 1 x x →∞ x x ( x + 1) 2 b = lim f ( x ) − ax = lim 1 − =1 x →∞ x →∞ x + 2 Jadi f memiliki asimtot datar yaitu y =1 a = lim
- Asimtot tegak (berbentuk x = c) karena lim f ( x ) = ∞ maka x = -1 asimtot tegak dari f. x → −1
d. Sketsa Grafik f(x)
Grafik f ( x ) =
x2 −1 ( x + 1) 2
75
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 1999/2000 Mata Kuliah Kalkulus I (DA 1314) Senin 1 November 1999 UTS 1999/2000 1. x +
2 ≤3 x
2 x+ x
2
≤ 32 2
2 2 x+ ≤3 x 2
2 2 x+ −3 ≤0 x
2 2 x + + 3 x + − 3 ≤ 0 x x 2 x + 3 x + 2 x 2 − 3 x + 2 ≤0 x x ( x + 2)( x + 1) ( x − 2)( x − 1) ≤0 x x ( x + 2)( x + 1)( x − 2)( x − 1) ≤0 x2 + + +
- - ● -2
+ + + ● -1
○ 0
+ + + - - - + + + ● ● 1 2
Hp = {x − 2 ≤ x ≤ −1 ∪ 1 ≤ x ≤ 2} (ans) 2. a. lim
x → −∞
x2 − 2x + 5 2x + 5 2
lim
x → −∞
x − 2x + 5 = lim x→−∞ 2x + 5
2 5 2 5 + 2 x 1− + 2 x x x x = lim 5 x → −∞ 5 x 2 + x 2 + x x
x2 1 −
76
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2 5 2 5 + 2 − 1− + 2 x x x x = − 1 = − 1 (ans ) = lim (2) 2 5 5 x → −∞ x 2 + 2 + x x
− x 1− = lim
x → −∞
b. Menentukan lim g ( x) jika diketahui g ( x) − 3 ≤ x 2 − 10 x + 25. x→5
2
g ( x ) − 3 ≤ x − 10 x + 25,
− ( x 2 − 10x + 25) ≤ g ( x) − 3 ≤ x 2 − 10x + 25 − x 2 + 10x − 22 ≤ g ( x) ≤ x 2 − 10x + 28 Karena lim − x 2 + 10 x − 22 = 3 dan lim x 2 − 10 x + 28 = 3 , maka x →5
x →5
menurut teorema apit lim g ( x) = 3 (ans ) x →5
2
3. Diberikan f ( x) = x − 1 dan g ( x) = 1 + x a. Membuktikan bahwa gof terdefinisi Akan ditunjukkan bahwa R f ∩ Dg ≠ { }
D f = ℜ, Untuk setiap x ∈ ℜ, berlaku x2 ≥ 0 x 2 − 1 ≥ −1 f ( x) ≥ −1
dengan demikian R f = [− 1, ∞), Dg = [− 1, ∞) Kemudian
R f ∩ Dg = [− 1, ∞ ) ≠ { } , persis seperti yang ingin
ditunjukkan dan membuktikan bahwa gof terdefinisi∎ b. Menentukan gof dan daerah asalnya gof ( x) = g ( f ( x)) = g ( x 2 − 1) = 1 + ( x 2 − 1) = x 2 = x .(ans ) Menurut definisinya Dgof = x ∈ D f f ( x) ∈ Dg = x ∈ R x2 −1∈[−1, ∞) = x ∈ R x 2 − 1 ≥ −1
{ = {x ∈ R x
} {
2
} {
}
}
≥ 0 = {x ∈ R} (ans )
77
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2 x 2 + px − 15 , x>3 4. f ( x) = 3− x qx 2 − 7 x + 1, x ≤ 3
Agar f kontinu di x = 3, maka haruslah lim f ( x) = f (3) = lim f ( x). − + x →3
x →3
Kekontinuan kiri f pada x = 3 menghasilkan hubungan trivial (9q − 20 = 9q − 20 ) . Sedangkan kekontinuan kanan f pada x = 3
dijabarkan sebagai berikut lim f ( x) = f (3)
x → 3+
2 x 2 + px − 15 = 9q − 20........(i ) x → 3+ 3− x 2 lim 2 x + px − 15 haruslah bernilai 0, sebab jika tidak (katakanlah lim
x →3 +
2 lim 2 x + px − 15 = c ≠ 0 ) akan berakibat
x → 3+
2 x 2 + px − 15 c = =∞ lim x →3+ 3− x lim (3 − x ) x →3+
yang menyebabkan f gagal kontinu di x = 3. Tulis 2 lim 2 x + px − 15 = 0 x →3 +
18 + 3 p − 15 = 0 p = −1 Dengan menyulihkan hasil ini pada (i) 2 x 2 − x − 15 = 9q − 20 lim x → 3+ 3− x (2 x + 5)( x − 3) = 9q − 20 lim x →3 + 3− x lim − (2 x + 5) = 9q − 20
akan memberikan
x → 3+
− 11 = 9q − 20 q =1 Jadi Agar f kontinu di x = 3 maka haruslah p = -1 dan q = 1 (ans).
78
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2
2
5. Diberikan ( x − 3) + y = 2 a. Menentukan y’
(
)
Dx ( x − 3) 2 + y 2 = Dx (2) 2( x − 3) + 2 yy ' = 0 2 yy ' = −2( x − 3) ( x − 3) y' = − y b. Menentukan garis singgung yang tegak lurus garis y = x. Karena tegak lurus dengan garis y = x yang memiliki gradien 1, maka gradient garis singgung yang dimaksud haruslah memiliki gradient -1/1 = -1. Sehingga dengan melihat hasil pada poin sebelumnya diperoleh ( x − 3) − = −1 y y = x−3 Subtitusi ke persamaan awal memberikan y 2 + y 2 = 2 atau y = ±1. - untuk y =1 menghasilkan x = 4, sehingga persamaan garis singgungnya adalah y − 1 = −( x − 4 ) atau y = − x + 5 - untuk y = -1 menghasilkan x = 2, sehingga persamaan garis singgungnya adalah y − (− 1) = −(x − 2 ) atau y = − x + 1 6. Diketahui f(x) adalah fungsi kontinu dan f(0) = f(2) = 0, serta grafik f ' (x ) sbb.
79
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I a. Menentukan selang kemonotonan Perhatikan grafik f ' (x ) ! - f(x) monoton naik jika f ' (x ) > 0, yaitu pada (0,1) dan (3, ∞ ) - f(x) monoton turun jika f ' (x ) < 0, yaitu pada selang (-∞,-1), (-1,0), (1,2), dan (2,3) b. Menentukan selang kecekungan - f(x) cekung keatas jika f " (x ) > 0, atau dengan kata lain jika f ' (x ) naik, yaitu pada selang (-∞,-1), dan (2,∞) - f(x) cekung ke bawah jika f " (x ) < 0, atau dengan kata lain jika f ' (x ) turun, yaitu pada selang (-1,0), dan (0,2) c. Sketsa f(x)
80
