5. Matematický popis dějů v litinách

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

25

FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství

5. Matematický popis dějů v litinách Matematické směřování k dosažení popisu požadovaných struktur odlitků lze rozdělit na dvě části. První vychází z naměřených hodnot a pozorování (podmínky lití, chemické složení, výsledná mikrostruktura, mechanické vlastnosti . . .) a následně vypracovává matematické popisy reálných dějů na mikroúrovni, jako je rychlost nukleace a její podmínky, rychlost růstu dendritů a další. Tento algoritmus však popisuje jen jednu částici, jeden nukleační zárodek, či dendrit, popř. jen velmi úzké okolí. Druhý směr využívá většinou laboratorních měření a takto určených algoritmů pro popis celého odlitku. Vyvrcholením snah je zanesení těchto algoritmů do komerčně používaných simulačních software tak, aby bylo možné provádět simulace výsledné mikrostruktury, mechanických vlastností či například parametrů grafitu, pro celý odlitek. Při řešení otázek tuhnutí, ať již u čistých kovů nebo slitin, dosahujeme již dnes dobré přesnosti, ale ještě větší shody lze dosáhnout, uvažujeme-li s ději i na mikroskopické úrovni. V takovém případě mluvíme o tzv. druhém obecném modelu. Protože u numerických modelů, u kterých je vzat do úvahy i například proces krystalizace, získáme přesnější informace ohledně tuhnutí, neboť je počítáno jak s teplotním tokem, tak i s kinetikou. Tímto postupem můžete postoupit až k řešení otázek spojených se strukturou materiálů. Zdá se, že za použití těchto postupů, budou postavené analýzy procesu lití materiálů v 21 století. V následujícím textu je uveden stručný výběr z matematických modelů, které slouží pro popis dějů souvisejících převážně s tvorbou struktur a mechanických vlastností tuhnoucích soustav. Vzhledem k tomu, že experimentální část práce byla věnována litině s kuličkovým grafitem, matematický popis je zaměřen na tento materiál, popř. na relativně blízký materiál - litinu s lupínkovým grafitem, u které bylo provedeno na poli modelování více práce.

5.1. Modely tuhnutí a chladnutí U odlitků z litin je stále více používána predikce mikrostruktury a mechanických vlastností. Počítačová simulace je užitečnou metodou pro určení mechanických vlastností, které závisí na chemickém složení a podmínkách nukleace a rychlostních podmínkách během lití, tuhnutí a chladnutí odlitků. Přesto je však stále obtížné popsat vzájemný vztah mezi mechanickými vlastnostmi a mikrostrukturou, neboť komplexnost a citlivost v popisu morfologie grafitu u litin má výrazný vliv na mechanické vlastnosti. Struktura a mechanické vlastnosti litiny s kuličkovým grafitem (LKG) jsou těsně spjaty s metalurgickými a technologickými parametry výrobního procesu. Predikce struktury a mechanických vlastností LKG má proto velký význam pro optimalizaci tvaru odlitku, snížení jeho ceny a zvýšení jeho kvality. V současné době je všeobecně přijímáno, že kompletní model pro simulaci tuhnutí odlitků by měl zahrnovat: 1. Makroskopické modelování přenosu tepla zahrnující proudění taveniny během plnění dutiny formy, výměnu tepla mezi kovem a formou a vznik napjatosti v odlitku. 2. Mikroskopické modelování kinetiky tuhnutí zahrnující proudění taveniny v dvoufázovém pásmu, kinetiku nukleace a růstu pevné fáze včetně fázových transformací v tuhém stavu.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


26



Obr. 12 Pohled na úrovně zkoumání odlitků. Z obrázku je názorně vidět jak postupoval vývoj zkoumání od makro celku na mikro úroveň [43]. Na makro úrovni, tj, do velikostí 10-2 m je předmětem modelování celý odlitek, popis o velikostech do 10-3 m řeší otázky teplotního přenosu, makrosegregace, objemových změn a porosity. Popis na úrovni 10-4 m řeší větvení dendritů, teplotní přenos v krystalech či rozdělení textury a na úrovni 10-6 m modelujeme kinetiku rozhraní, mikrosegregaci a další. O mikro úrovni mluvíme při popisu objektů o velikostech 10-9 m, tj. při řešení například kinetiky nukleace.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

27

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Při mikroskopickém modelování kinetiky tuhnutí představuje nejkomplikovanější problém výpočet rychlosti nukleace tj. určení počtu růstu schopných zárodků. Užívány jsou dvě skupiny modelů: • •

modely nepřetržité nukleace (continuous nucleation) modely okamžité nukleace (instanteneous nucleation)

Koncepce okamžité nukleace [29] předpokládá vznik všech zárodků současně po dosažení kritického přechlazení ∆Tn . Příspěvek k této koncepci představují původní teoretické výsledky studia nukleace částic grafitu v kapalné fázi soustavy Fe - C s přísadou Si. Pro popis chování při nukleaci lze použít i matematického popisu Monte-Carlo [44], kdy je materiál modelován jako síť s oky, v nichž uvažujeme s body, které považujeme za nukleační zárodky - obr. 13. O tom, je-li oko sítě elementem, kde probíhá nukleace nebo ne, rozhoduje pravděpodobnostní vztah Pi = ∆n VCA, kde VCA představuje objem každé buňky. Náhodný počet ∆n je počítán právě metodou Monte-Carlo.

Obr. 13 Vzájemný vztah mezi makro elementy a mikro buňkami [23] Jsou již navrženy i modely pro určení rychlosti růstu eutektických zrn. Vychází se z předpokladu, že zrna rostou do kulí s radiální rychlosti v(τ), která závisí na přechlazení pod rovnovážnou eutektickou teplotu:

v (τ ) = A[ ∆T (τ )]

2

(42) -1

-2

kde A je materiálový koeficient, pro litiny o hodnotě 0,04 µs K . Poloměr zrn R(τ,s) v čase τ, který se tvoří od času „s“ lze získat následovně: t

R(τ , s) = ∫ v (τ , )dτ ,

(43)

s

Předpokládá se, že během jejich růstu, uvolňované teplo krystalizace způsobuje zvýšení teploty v bezprostředním okolí těchto rostoucích zrn. Šířka tohoto δ - okolí je předpokládaná jako hodnota závislá na změně podílu pevné fáze:

δ (τ ) = K 3 kde

df s , dτ

(44)

K3 je koeficient roven pro GJS 200 mm/s τ je čas fs je podíl tuhé fáze

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

28


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství 5.2. Popis růstu dendritů Jedním z mnoha modelů pro růst dendritů je tzv. KGT model [29], který byl odvezen na binární slitině při nepohyblivém (velmi pomalém) růstu. Uvažujme s velkými teplotními gradienty a rychlosti tuhnutí (v): (obdoba vztahu (43) pro jeden časový okamžik) v = A ∆Tn

(45)

kde

A je materiálový parametr a n je obvykle přilehající k číslu 2,7. ∆T je přechlazení [K] Z tohoto velmi jednoduchého KGT modelu vidíme, že rychlost růstu dendritů je dána jen stupněm přechlazení, ostatní vlivy jako je chemické složení, resp. jeho značná nehomogenita jsou zde skryté pod konstantami. Práce [45] věnuje pozornost otázce vztahu mezi teplotou likvidu a uhlíkovým ekvivalentem v litině. Nejjednodušší řešení dávají lineární vztahy, jak ilustruje obrázek 14, který ukazuje rozpětí minima a maxima hodnot tepoty likvidu v závislost na rovnici: CEL = C% + 0,25Si % + 0,5P%

(46)

Obr. 14. Rozpětí minima a maxima teploty likvidu odvozeného z rovnice (46). Rovnovážná teplota likvidu - austenitu je odvozena z diagramu Fe - C

[45]

Přestože byl prováděn rozsáhlý výzkum věnovaný růstu dendritů, stále zůstává několik bodů, které je nutné ještě doplnit pro potřeby matematického modelování. Byly zkoušeny i simulační postupy s tzv. přímou solidifikací, kdy je model růstu dendritů založen na jednoduchém předpokladu, že růstová rychlost konců primárních dendritů je funkci „jen“ chemického složení a stupně přechlazení. Jeho doplněním je model výpočtu primárních a sekundárních konců dendritů, tj. přechod od jednoduchého modelu který uvažoval s „čistým“ koncem, na model složitější, popisující růst ramen dendritů. Aplikaci teoretických řešení pro růst vrcholů dendritů je však nutné brát s rezervou, neboť mnohé experimentální výsledky tyto závěry nepotvrzují. Rozdíly jsou i v tom, že teoretické modely jsou založené na neměnných podmínkách tuhnutí pro vedení tepla a jsou řešeny jen pro špici dendritu. Je zřejmě, že v reálných odlitcích je podstatně přítomno proudění, které výše zmiňované modely vůbec neuvažují. Bez ohledu na to o jaký typ dendritů se jedná, během jejího růstu se bude přechlazení měnit se složením naakumulovaného roztoku na vrcholu dendritu a rychlost jejího růstu bude vzrůstat. Vzájemný vztah mezi rychlosti růstu a přechlazením udává již zmíněný KGT model, který je vhodně použitelný pro binární slitiny. Odsud je již možné odvodit vztah i pro vícesložkové soustavy přidáváním dalších komponent jako je Cr, Mo, Co, které mají vliv na přechlazení.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

29


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Model CET přichází ke slovu v okamžiku, když rostoucí sloupovité dendrity jsou zablokovány a dál mohou růst jen rovnoosé dendrity. V ten okamžik místní přechlazení na čele pevné fáze vůči tavenině je dost velké na to, aby došlo k zahájení další nukleace, a to na bocích dendritů. Jestliže však počet nukleací na čele rozhraní není dost velký, rostoucí zrna budou uzavřena postupujícími sloupovitými dendrity. 5.3. Modely fázových transformací Částice grafitu nadkritické velikosti rostou volně v tavenině dokud nezačnou být obalovány obálkou austenitu. Další růst eutektických buněk je řízen difúzí uhlíku obálkou austenitu z taveniny k noduli grafitu. Rychlost růstu zárodku eutektického grafitu (47) a austentitické obálky (48) při stálých podmínkách je dán následujícími vztahy: [46] Pro eutektický uzel grafitu

ργ Rγ dRG C L /γ − C G /γ = DCγ . . G ρ G RG Rγ − RG C − C L / λ dτ

(

)

(47)

rychlost růstu austenitické obálky je

dRγ

RG ρL C L /γ − C G /γ = DC . . dτ ρ γ Rγ ( Rγ − RG ) C γ / L − C L /γ γ

(48)

kde RG a Rγ jsou poloměry grafitových zárodků a austenitické obálky, ρL , ρG a ργ jsou hustoty likvidu resp. grafitu a austenitu. Vzniklá soustava uvedených diferenciálních rovnic je řešena Eulerovou metodou pro sejmuté křivky ochlazování z experimentálních taveb pomocí např. programového prostředí Mathcad 7 Professional. Koncentrace CG/γ, CL/γ, Cγ/L lze určovat pomocí extrapolovaných hodnot získaných z regresních funkcí. Na křivce ochlazování je nejprve nalezen začátek eutektické krystalizace TEN (temperature of eutectic nucleation) a její konec TEE (temperature of end of eutectic solidification). Teplota a čas zahájení nukleace eutektika odpovídají 1. inflexnímu bodu na křivce ochlazování tj. místu 1. minima na křivce 1. derivace ( ∂ t ∂τ = 0 ). Teplota a čas konce eutektické krystalizace odpovídají 3. inflexnímu bodu na křivce ochlazování jehož poloha se určuje obdobně. Polohy vyznačených bodů na křivce ochlazování včetně teploty podchlazení TEU (temperature of eutectic undercooling) a rekalescence TER (temperature of eutectic recalescence) jsou určovány na náhradních čarách proložených příslušnými oblastmi sejmuté křivky například pomocí software Mathcad 7 Professional – viz obr. 8 a též kapitola 4. 2

2

Pro růst grafitu v systému Fe-C je zapotřebí k výpočtu zadat koncentrace uhlíku v grafitu, v austenitu na rozhraní austenit/tavenina a v tavenině, vše v atomových zlomcích, přičemž se v této variantě modelu předpokládá, že uvedené koncentrace se během růstu grafitu nemění. Vzhledem k řádově větší difuzivitě uhlíku v tavenině se předpokládá, že koncentrace uhlíku v tavenině je během procesu konstantní. Dále je zapotřebí znát a zadat počáteční velikosti (poloměry) grafitu, austenitické obálky a buňky grafitu. Kromě toho je zapotřebí zadat molové objemy grafitu, austenitu a taveniny, které byly v daném případě voleny tak, aby celkový objem systému zůstával v průběhu růstu grafitu prakticky konstantní. Z kinetických parametrů je pro aplikaci zapotřebí znát rychlost růstu grafitu na rozhraní grafit/austenit a koeficient difúze uhlíku v austenitu. Při aplikaci modelu růstu grafitu na reálné taveniny LKG Fe-C-M je zapotřebí během růstu grafitu v těchto systémech počítat s termodynamickými silami, které působí mezi uhlíkem a prvky nejen v tavenině, ale také v austenitu, kterým je rostoucí částice grafitu obklopena. Tyto doprovodné a legovací prvky i příměsi, se mohou přerozdělovat jak na rozhraní grafitu a austenitu tak i na rozhraní austenitu a taveniny, jestliže je grafit obklopen austenitickou obálkou, přes níž difunduje uhlík do rostoucí částice grafitu. Výsledkem je složitý proces přerozdělování uvažovaného prvku M, který je

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

30


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství spoluurčován nejenom interakčními koeficienty uhlíku s prvkem v tavenině a v austenitu, ale též rozdělovacím koeficientem prvku M mezi austenit a taveninu nasycenou uhlíkem. Tyto složité poměry jsou v modelu Fe-C-M řešeny zavedením gradientů chemického potenciálu prvků C a M (v systému Fe-C postačoval gradient koncentrace C) a zavedením nových, transformovaných koncentračních proměnných. Dále je zapotřebí na rozhraní grafit/austenit formulovat okrajové podmínky tak, aby vyjadřovaly termodynamickou interakci mezi uhlíkem a prvkem M, což pro model v systému Fe-C nebylo třeba. Rovnice okrajových podmínek pro C a M se tak stávají navzájem závislé. Rovněž na rozhraní austenit/tavenina je nutno určit z podmínek rovnováhy chemických potenciálů uhlíku a prvku M v tavenině a v austenitu rovnice okrajových podmínek. Tyto rovnice mají přitom transcendentní povahu a jsou pro oba prvky C a M opět navzájem závislé. Pro aplikaci modelu v systému Fe-C-M je proto zapotřebí k výpočtu také znát interakční koeficient v tavenině i austenitu (které jsou navzájem velmi blízké) a rovnovážné rozdělovací koeficienty uhlíku a přísadového prvku mezi tuhou a kapalnou fázi. Dále je třeba znát koeficienty difúze uhlíku a prvku M v austenitu, vždy při teplotě eutektické krystalizace taveniny LKG [47]. Pro eutektickou a eutektoidní transformaci platí: Rychlost růstu zárodku eutektického grafitu a austentitické obálky při stálých podmínkách je dán následujícími vztahy: Eutektický uzel grafitu

ργ Rγ dRG C L /γ − C G /γ = DCγ . . G ρ G RG Rγ − RG C − C L / λ dτ

(

)

(49)

Eutektický austenit

dRγ dτ

= DCγ

RG ρL C L /γ − C G /γ . . γ /L ρ γ Rγ ( Rγ − RG ) C − C L /γ

(50)

kde RG a Rγ jsou poloměry grafitových zárodků a austenitické obálky, ρL , ρG a ργ jsou hustoty likvidu resp. austenitu a grafitu. Feritická obálka

Rγ − Rα Cα /γ − Cγ /α dRα RG C γ / α − C G /α α α = DC . + DC . . . dτ Rα ( Rα − RG ) Cα /γ − Cγ /α Rγ Rα Cα /γ − Cγ /α

(51)

Grafitická obálka

Rα dRG C γ /α − C G /α α ρα . . = DC dτ ρ G RG ( Rα − RG ) C G − C G /α

(52)

Když ochlazování austenitu klesne pod teplotu A1, dojde k přesycení obou fází jak feritu, tak i cementitu, jejímž výsledkem bude precipitace feritu a cementitu a tvorba perlitu. Perlit může nukleovat na hranicích mezi zrny austenitu a mezi perlitickými a rovněž i feritickými zrny. Po nukleaci perlitická zrna budou růst v okolí austenitických zrn přibližně konstantní rychlosti tvaru globulí (sphere) nebo tvaru polokulovitého (hemisphere). Rychlost růstu perlitických zrn je dána následující rovnici:

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

31



dR P 2 = k . DCγ . ( ∆T ) dτ

,

(53)

kde k je termodynamická konstanta. 5.4. Vztahy mezi parametry matrice a mechanickými vlastnostmi Jako důležité se v inženýrském výzkumu materiálů ukázalo studium tvoření mikrostruktury a toho odvození mechanických vlastností. Jestliže lze mikrostrukturu a mechanické vlastnosti u odlitků predikovat již během předvýrobní etapy, dojde ke zvýšení výrobní účinnosti, snížení nákladů a rovněž ke zlepšení kvality odlitků. Základní experiment navrhl Lundback a jeho tým [48], kteří zjistili vztah mezi tvrdostí a množstvím perlitu u litin s globulárním grafitem. Vztah mezi tvrdostí a dalšími mechanickými vlastnostmi jsou podle nich následující: Tvrdost

HB = 153.0 + 1.030 (% Perlitu)

(54)

Mez pevnosti

σf = 3.39 HB - 73.0

(55)

Mez kluzu

σE = 1.95 HB + 6.0

(56)

Tažnosti

δf = 775.0 / (HB - 115.0)

(57)

Téměř všichni autoři, kteří měli k dispozici dostatečně velké množství vzorků u kterých měli zjištěné i jejich chemické složení, následně určili regresní závislost mezi chemickým složením a jednou či více mechanickými vlastnostmi. Následuje krátký přehled závislosti mezi chemickým složením a tvrdosti dle HB, který byl převzat z [49, 50]. Tento výzkum byl prováděn u litin s lupínkovým grafitem na SVÚM Brno na základě rozsáhlých podkladových materiálů z jednotlivých uživatelských sléváren. Některé z těchto závislostí jsou zde udány: Vztahy odvozené pro neočkovanou litinu s lupínkovým grafitem tavenou v kuplovně: HB = 0,25 Rm +4,8

(58)

HB = 155 + 1,2 (TL - 1025) - (%Cu +0,5% Mn)

(59)

HB = 239 - 87%C - 25%Si + 15% Mn +/- 12 (pro litinu ze zásadité pece)

(60)

HB = 444 - 71,2%C - 13,9%Si + 21% Mn + 170% Si +/-12,46

(61)

HB = 810,68 - 147,75% C - 47,24% Si - 48,61% Mn - 41,11% P + 288,13% S +/- 14,6

(62)

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

32


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Vztah odvozený pro očkovanou litinu s lupínkovým grafitem tavenou v kuplovně: HB = 385,47 - 51,32%C - 21,29% Si + 39,89% Mn - 62,97% P + 279,63% S +/- 12,5

(63)

Vztah odvozený pro neočkovanou litinu s lupínkovým grafitem tavenou v indukční peci: HB = 604,36 - 102,10 %C - 21,80% Si - 3,81%Mn - 54,63% P +110,06% S +/- 15,6

(64)

Vztah odvozený pro očkovanou litinu s lupínkovým grafitem tavenou v indukční peci: HB = 612,9 - 104,90%C - 23,61% Si + 3,86% Mn - 54,15 % P + 132,06 % S +/- 15,2

(65)

Vztah odvozený pro neočkovanou litinu s lupínkovým grafitem tavenou duplexně: HB = 383,09 - 45,54 %C - 14,94% Si - 4,07%Mn + 77,02% P - 71,30 % S +/- 6,7

(66)

Vztah odvozený pro očkovanou litinu s lupínkovým grafitem tavenou v indukční peci: HB = 497,63 - 73,89% C - 14,34% Si - 3,66% Mn + 33,98% P - 40,65% S +/- 11,2

(67)

Podobné vztahy bychom našli i u jiných autorů, kteří se problematikou určování výsledných mechanických vlastností na základě chemického složení zabývali.

Jak je vidět z krátkého přehledu matematického aparátu použitého pro modelování, je i přes snahu o popis skutečností stále nutno uvažovat s materiálovými konstantami vzešlými z experimentu a představujících popis určitého „nejasna“ při dějích. Ať již jsou tyto konstanty zaváděny pro jednoduchost (a spolehlivost) při výpočtech a nebo pro zaplnění „bílého místa“, vždy je s nimi spojena jistá míra rizika v nepřesnosti.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


33



6. Matematické modely v simulačních programech Základem vědeckotechnických výpočtů pro potřebu technického rozvoje jsou řešení známých diferenciálních rovnic matematické fyziky. Výpočtové postupy před nástupem počítačů používaly často velmi zjednodušujících předpokladů, výsledky analytického řešení proveditelných jen pro geometricky jednoduché oblasti a zvláštní případy okrajových podmínek, příhodných pro výpočet. Rozvoj výpočetní techniky umožnil zavedení novodobých výpočetních metod, způsobilých k řešení úloh v prakticky libovolně utvářených geometrických oblastech a při okrajových podmínkách běžně se vyskytující v technické praxi. Největší význam mezi přibližnými numerickými metodami získala metoda konečných prvků, která se brzy prosadila jak při řešení úloh z oblasti pružnosti a pevnosti, tak i z oblasti teplotních polí a obecně potenciálních úloh stacionárních i nestacionárních [51]. 6.1. The finite differences method - FDM Metoda konečných diferencí (FDM) je vhodná pro mnohé aplikace, kde je využito její vhodnosti při aproximaci řešení spojených s teplotním přenosem. Pro použití této metody nepochybně mluví dva důležité argumenty. Prvním z nich je jednoduchost při programování a numerické realizaci a druhým důvodem je relativní jednoduchost v nelineárních matematických modelech. Mezi vady této metody však patří problém s aproximací okrajových podmínek na jednotlivých částech hranic, které nejsou vhodně použitelné na rozdílně husté sítě, zhoršení přesnosti aproximovaného řešení pro síť s různým odstupem uzlů a konečně, nezbytnost relativně hustého časového kroku. Každá geometrie musí být pro potřeby výpočtů rozdělena na síť. Prostorová (geometrická) síť je tvořena skupinou samostatných bodů v určité oblasti.

Obr. 15 Obdélníková síť Síť zobrazena na obr. 15 je dvoudimenzionální (2D) obdélníková síť s kladným souřadnicovým systémem. V jiných případech bude vhodnější použít válcovou, kulovou, kosoúhlou nebo toroidní síť a nebo komponenty těchto sítí. Každá síť je tvořena uzly, které rozdělujeme na vnitřní a hraniční uzly. Na obr. 16 jsou znázorněny takové hvězdice s 5, 7 a 9 - ti bodovým počátkem. V teplotním výpočtu jsou obvykle používány 5 - ti bodové hvězdice. Výchozím bodem metody FDM je časově závislé rozdělení teploty v odlitku, jenž je popsáno diferenciálními rovnicemi. Ty však mohou být analyticky řešené jen pro kouli nebo nekonečnou plochu. Všechny ostatní tělesa lze řešit jenom na základě podobností.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

34



Obr. 16 Hvězdice uzlů v odlišných sítích Pomocí této diferenční metody se úloha převede dle diferenciálního operátoru (nejčastěji pomocí Taylorova rozvoje) na diferenciální rovnice, podle níž se různá tělesa mohou řešit za určitých omezení - okrajové podmínky pro řešení diferenciálních rovnic. Tohoto postupu je využito v simulačních programech. Definujme takovou časovou posloupnost od 0 = τ0 < τ1 . . . < τf < τ f + 1 < . . . τ F < ∞ , kde segment ∆τ f = τ f + 1 + τ f se nazývá časový krok. Nyní můžeme tento problém interpolovat za použití Taylorova rozvoje (95), jehož obecný tvar je

T ( x) = T ( x 0 ) + T ( x 0 ) ,

( x − x 0 ) + T ,, 1!

(x0 )

( x − x 0 ) 2 +...

,

2!

(68)

kde T (x0), T´ (x0), T´´(x0) jsou hodnoty funkcí T a jejich derivací v bodech x0 .

Jako příklad si ukažme řešení rovnice λ d2T / dx2 + qv = 0 s okrajovými podmínkami T (0) = T0 , T (L) = Tn. Předpokládejme, že hodnoty teplot T v „přechodných“ bodech xi - 1 , xi , xi + 1 jsou řešením Ti - 1 , Ti , Ti + 1. V této chvíli použijme Langangeovu interpolační větu do které dosadíme tyto body a získáme tak tvar:

T ( x ) = Ti −1

( x − xi )( x − xi +1 ) 2h

2

+ Ti

( x − xi −1 )( x − xi +1 ) h

2

+ Ti +1

( x − xi )( x − xi −1 ) 2h 2

(69)

Lze snadno dokázat, že T (xi - 1 ) = T i - 1 , T (xi ) = Ti , T (xi + 1 ) = Ti + 1. Tím je splněna interpolační podmínka. Dále lze spočítat T´´(x) a tvar zbytkové funkce R. Nakonec získáme systém rovnic: xi + 0 , 5

 Ti +1 − 2Ti + Ti −1  + q v dx = 0 λ 2 h  xi − 0 , 5 

∫

i = 1, 2, . . . , (n-1)

(70)

a následnou integraci získáme:

Ti −1 − 2Ti + Ti +1 = −

qv h 2

λ

i = 1, 2, . . . , (n-1),

(71)

kde k je vzdálenost mezi uzly sítě. Ve stejným čase jsou z okrajových podmínek známé T0 a Tn.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


35


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství 6.2. The control volume method - CVM Control Volume Method - CVM je zvláštní variantou FDM, která je používána při výpočtech teplotního a látkového přenosu. Ačkoliv není tato metoda plně akceptována po matematické stránce, neboť se z části odvolává na intuitivní postupy a může mít i obtíže s konvergenci, přesto se v numerických aplikacích pomocí ní řeší i velmi komplikované úlohy a to s vysokou kvalitou výsledku, které byly následně potvrzeny experimentálními metodami. Kromě toho lze dokázat, že pro typické tvary upravených objemů (obdélník, válec, koule atd.) leží energetická rovnováha v totožných vztazích jak u metody FDM [2]. Když řešíme přenosové jevy spojené s teplotním polem, prvně provedeme opět rozdělení oblasti na elementární objemy. Předpokládejme teplotní pole včetně vnitřního tepla, které je soustředěno do uzlů, zatímco teplotní odpory jsou soustředěny v oblastech spojených uzly sítě. Teplotní překážky - odpory mezi uzly mohou být definovány dvěma způsoby, například Szargut /52/ uvádí následující postup:

R0e =

Le λ 0e ∆Fe

(72)

kde Le je vzdálenost mezi uzly, ∆Fe je střední plocha přes oblasti kolmé na Le , λ0e je střední tepelná vodivost mezi uzly 0 a e. Tato vodivost může být tvaru integrální, aritmetické nebo harmonické jednotky.

Obr. 17. Dělení oblastí v CVM Další definici metody lze nalézt v literatuře /53/: CVM transformuje dosti různorodé technické úlohy, jako například model makroskopické segregace či určení smrštění a vznik dutin v odlitcích. 6.3. The Finite Element Method - FEM Metoda konečných prvků (též MKP) představuje moderní, vysoce efektivní numerickou metodu pro řešení technických a vědeckých úloh. V současnosti je považována za jednu z nejúčinnějších přibližných metod pro řešení problémů popsaných diferenciálními rovnicemi. Metodu konečných prvků navrhl v roce 1943 Richard Courant, americký matematik německého původu. Zhruba o deset let později byla znovu objevena americkými inženýry při provádění pevnostních výpočtů leteckých konstrukcí. Systematické teoretické studium MKP (FEM)

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


36


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství začalo až v šedesátých letech. V roce 1968 dokázal jako první konvergenci MKP brněnský profesor Miloš Zlámal (1924 - 1997) [54]. Základní myšlenkou metody je, že se nejprve trianguluje vyšetřované těleso, tj. rozdělí se na konečný počet jednotlivých oblastí, což jsou pro rovinnou úlohu většinou trojúhelníky či čtyřúhelníky a pro prostorové úlohy čtyřstěny, pětistěny, kvádry a podobně. Poté se minimalizuje odpovídající potenciální energie na množině spojitých a po částech polynomických funkcí nad již vytvořenou triangulací. Vhodnou volbou bázových funkcí lze tuto úlohu převést na řešení soustavy lineárních (popř. nelineárních) algebraických rovnic, jejíž matice je řídká, tj. obsahuje většinou nulové prvky. Řídkost matice snižuje nároky na paměť počítače a počet prováděných aritmetických operací. To nám již v současnosti umožňuje řešit obrovské soustavy až o miliónech rovnic a milionech neznámých na počítačích s paralelní architekturou. Pokud je úloha nelineární, její řešení se většinou převádí na posloupnost lineárních rovnic. Hlavní výhodou MKP je, že umožňuje dokonale aproximovat vyšetřované těleso a že celý výpočtový proces lze na počítačích zautomatizovat: • Interpolace vstupních dat • Generování triangulí • Sestavení soustavy algebraických rovnic • Vyřešení soustavy algebraických rovnic • Vyhlazení numerického řešení • Aposteriorní odhady chyby • Grafické znázornění výsledků Těchto sedm bodů je implementováno v nepřeberném množství souborů programů, které vytvářejí uživatelsky příjemné prostředí pro zadání úlohy spolu s kontrolou vstupních údajů (např. v programu SIMTEC, kterého je používáno pro výpočet úloh spojených s řešením teplotního pole). Zjemňování sítě probíhá buď interaktivně, kdy si uživatel sám volí oblasti, kde chce získat lepší aproximaci řešení, nebo adaptivně (tj. bez zásahu člověka). V tomto druhém případě počítač sám vyhodnocuje velikost chyby na jednotlivých prvcích, které pak případně dále rozděluje. Příslušná výstupní data jsou pak ve formě izolinií, různě obarvených, stínovaných či vyšrafovaných ploch [29]. Metoda konečných prvků (nebo také elementů) je nejpopulárnější metodou používanou pro numerické modelování okrajových počátečních problémů jak v oblasti mechaniky, tak i pro přenosové jevy tepla. Vývoj směrem k osobním počítačům a CAD systémům ještě zvýšil význam této metody, která je dnes začleňována do CAD systémů a tvoří jeden ze základních bloků moderního počítačového navrhování. Značná pozornost je v současnosti věnována rozvoji nového směru v metodě konečných prvků, pro který se vžil anglický termín „domain decomposition method“. Při tomto postupu je těleso rozděleno na několik oblasti, které mají relativně jednoduchý geometrický tvar, využije se toho, že na oblastech takto jednoduchého tvaru lze počítat tzv. rychlé algoritmy, čímž se značně sníží počet výpočtových operací. Nyní si stručně ukažme řešení nestacionárního vedení tepla v odlitku a formě Fourierovou rovnici (navržena panem Fourierem před více jak 170 lety), která je v několika programech (např. SIMTEC) použita pro modelování teplotního pole právě ve spojení s FEM. Fourierova rovnice matematicky představuje popis časové závislosti teploty a působení zdrojů energie. Zápis rovnice v kartézských souřadnicích je:

ρc p

∂T ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T  = λ  + λ  + λ  + Q ∂x ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 

(73)

Rovnice přechází na integraci:

∫∫∫

 λ  δT  2  δT  2  δT  2     +   +   − ρc δT QT dxdydz + ( 1 α (u , v )T 2 − γ (u , v )T )dudv = min p ∫∫ 2  2  δx   δy   δz   δτ  

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

37


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Diferenciální tvar rovnice (73) pro explicitní vyjádření neznámé teploty T(k + 1) v kartézských souřadnicích odvodíme z tepelné rovnováhy obecného uzlového bodu (i, jo) sítě. Schéma tohoto uzlu je na obr. 18. Objem prvku Vi,jo , je ohraničen plochami SV , SS, SH , SD, SP , SL (m2). Teplo akumulované v objemu Vi,jo za časový krok ∆τ je rovno

Qak = QV + QS + QH + QD + QP + QL

Obr. 18 Bilanční schéma uzlového bodu [2] Tepelné toky QV a QL jsou kolmé na ohraničené plochy SV a SL se stejným indexem. Akumulované teplo změní v průběhu časového kroku teplotu uzlu na T(k + 1) . Zápis (73) je připraven pro náhradu derivace teploty podle času dopřednou diferencí: Qak = ρCvi, jo (T(k+1) - T(k))

(74)

Výraz (74) udává teplo přiteklé do uzlu (i, jo) o krok ∆τ (v rozmezí času k+1, k). Při řešení Fourierovy rovnice je třeba dbát okrajových podmínek čtyř druhů: 1. druhu - je zadána teplota na povrchu tělesa v závislosti na čase (tzv. podmínka Dirichletova) T = T (τ) 2. druhu - je zadán teplotní gradient na povrchu tělesa (podmínka Neumannova) = - λ δT / δn kde n značí jednotkový vektor normály k hranici . 3. druhu - je zadána teplota okolí a součinitel přestupu tepla mezi tělesem a okolím (nazývaná též podmínka Newtonova) -λ(δT/δn) = β ( T(τ) - To (τ) ), kde β je součinitel přestupu tepla To je teplota okolního prostředí 4. druhu - jsou zadány termodynamické vlastnosti a teplotní pole tělesa 2, které přijde v okamžiku ∆τ=0 do dokonalého fyzikálního styku s povrchem řešeného tělesa1. Otázky týkající se konvergence metody FEM přesahují rámec této práce a odkážeme čtenáře na příslušnou literaturu [2].

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

38


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství 6.4. The Collocation Methods - CM Přestože metody CM nejsou tak populární jako FDM, FEM nebo BEM, někteří autoři v nich nalezli zalíbení /55,56,57/. Prvním důvodem je fakt, že metody CM velmi efektivně aproximují řešení u širokého okruhu typicky okrajových počátečních problémů a jsou i numericky velmi jednoduché, kdy i velmi složité elementy v uvažovaných počítačových programech jsou řešeny soustavou lineárních rovnic. 6.5. The Boundary Element Method - BEM Metoda okrajových elementů je novější metodou pro řešení okrajových počátečních problémů. Typické použití BEM je ve spojení s teplotní teorii u slévárenských procesů pro oblast teplotních polí, neboť nám více vyhovuje počáteční tvar energetická rovnice (předpokládáme-li, že termofyzikální parametry kovu mohou být pojaty jako konstanty). Objekt je v takovém případě rozdělen na trojúhelníkové oblasti, jak je vidět na obr. 19.

Obr. 19 Lineární trojúhelníkové buňky [2] Uvažovaný 1D stacionární problém jsme doposud popisovali rovnici λd2T/dx2 + qv = 0 s podmínkami x = 0: Φ1 (T,dT/dx) = 0, x = L: Φ2 (T, dT / dx) = 0. Výraz však může nabýt i tvaru

T * (ζ , x ) =

1 (L − x − ζ ) , 2λ

(75)

jakožto základního řešení, který může jako funkce samozřejmě mít první i druhou derivaci. Základní řešení pak lze interpretovat i následovně: V bodě ζ na desce o tloušťce L je v bodě teplotní zdroj, který působí v uvažované oblasti obecně vpravo i vlevo na teplotní pole a to ve tvaru lomené čáry. Tento tok odpovídá stacionárnímu stavu rozdělení teplotního na obě strany, jak na levou (0 < x < ζ ), tak i na pravou ( ζ < x < L) část desky. Funkce T* pak splňuje rovnici ve tvaru λd2T*/dx2 = δ (x - ζ). S takovým přístupem pracuje i BEM, kde je výraz (75) zapsán jako (76):

 *  d 2T ∫0  λ dx 2 + qV T (ζ , x )dx = 0 L

(76)

V integrálu (75) lze provést substituci sumou dvou integrálů, zatímco první z nich transformujeme integraci na dvě části. (77) L

L

L L  dT * d 2T * d T*  d 2T * dT * dT  dT *  ∫0 λ dx 2 T dx = λ dx T  0 − ∫0 λ dx dx dx = λ dx T − λ dx T  + ∫0 λ dx 2 Tdx 0 L

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


39



7. Přehled simulačních programů V posledních 25 letech má používání výpočetní techniky ve slévárenství trvale vzrůstající tendenci. První konference Americké slévárenské společnosti AFS na dané téma - CompuCast - se konala již v roce 1983 a právě zde byly poprvé slévačům představeny, v té době se vynořující, simulační softwary na řešení slévárenských úloh. Poté co jim byly předvedeny i první výsledky ze simulace teplotního pole, začaly mnohé slévárny investovat i do tohoto vybavení. V projektu American Metalcasting Consortium bylo zmapováno používání software pro modelování. Ukázalo se, že zavedené výpočetní techniky pro modelování slévárenských dějů znamená 40% úsporu času při návrhu odlitků, 30 % úsporu v laboratořích a 25 % zvýšení výtěžnosti. Další průzkum ukázal, že ze jediný rok bylo takto uspořeno přes 530 000 USD (jen z údajů pocházejících z USA) [58]. V současnosti je ve světě vyvinuta a používána řada slévárenských simulačních produktů, které se snaží o zodpovězení otázek týkajících se slévárenských procesů. Výpočetní systémy pro simulace dnes pracují jak na osobních počítačích – PC, tak i na pracovních stanicích. Používání obou kategorií prostředků v čase rostlo, spolu s tím jak narůstala jejich výpočetní síla a snižovala se relativní cena hardware. Všechny simulační software obsahují databanky materiálů, možnost importu z ostatních CADů a to jak přes 2-D rozhraní (např. AFSCad, Shape File, DXF, IGES) tak i přes 3-D (např. STL, DXF Surfaced, IGES Surfaced), či možnost automatického generování sítě. Jako počítačové platformy jsou dnes používány buď UNIXovské pracovní stanice, dnes nahrazované systémem Linux, či systémy prostředí Windows 95, 98, 2000 a NT či MacOS 8 (stav ke konci roku 2000), abych vyjmenoval ty hlavní. 1) AFS Solidification System Výrobcem tohoto komerčně používaného produktu je přímo American Foundrymen´s Society [59]. Program řeší pomocí metody konečných prvků (FEM) 2-D a 3-D otázky teplotních polí u odlitků a forem, umožňuje výpočet grafitické expanze v litinách a změny jejich složení mezi teplotou likvidu a solidu. Výpočet zahrnuje i vývin latentního tepla a stupeň podchlazení. Výsledkem je rovněž určení změny objemu, podílu tuhé fáze či určení hustoty v jednotlivých částech odlitku [59].

2) CAM-CAST/SIMULOR Výrobce tohoto software je slévárna hliníku Usine de Mercus z Francie [60]. Systém byl původně určen jen pro vnitřní podnikové použití při simulacích lití hliníku, však během doby byl dále rozšiřován a dnes umožňuje modelování odlitků z různých slitin, plnění formy, tuhnutí, mikrostruktury a zbytkového pnutí a to nejen u slitin hliníku, ale rovněž i pro další materiály a to jak pro gravitační lití do písku, či tlakové lití do trvalých forem, včetně přesného lití.

Obr. 20 Simulace teplotního pole na odlitku při použití programu Simulor

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


40


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Výpočet je prováděn na základě klasické Navier-Stokesovy rovnice spolu s řešením rovnice tepla za použití matematického aparátu metody CVM. Počítačová platforma jsou UNIXovské pracovní stanice. Modul CAM-CAST/SIMULOR [61] byl navržen pro rychlé modelování v línii: CADovský návrh Simulace - Výroba forem (jader) - Prototyp. Tím by měla být zajištěna kontrola defektů ve výrobě odlitků během plnících operací, včetně nezaběhnutí a přílišné oxidace. 3) CAP a AMESH Výrobcem tohoto modelovacího software je společnost EKK - USA [62], která od roce 1991 vyvíjí softwary pro slévárenský aplikace. V současnosti má dva spojené produkty a to AMESH (tvorba 3D geometrie a import dat) a CAP (3-D program určený pro teplotní analýzu pomocí FEM). Systém najde využití při modelování plnění formy, tuhnutí, výpočtu mikrostruktury a zbytkového pnutí u lití do písku, trvalých modelů a modelování přesného lití. Počítačová platforma je Windows 95 a výše či NT a Unix. V literatuře [62] je též velmi dobře zpracována problematika počítačového modelování slévárenských dějů

Obr. 21 Snímek zachycuje teplotní analýzu jedné poloviny souměrného odlitku automobilového kola za použití programu CAP 4 ) CASTCAE Společnost CT-CASTech (Finsko) ve spolupráci s Technical Research Centre of Finland [63] vyvinuly softwarový balík pro 3-D modelování založený na metodě CVM a FDM - CASTCAE. Program je určen pro simulaci plnění, tuhnutí a výpočet výsledné mikrostruktury při lití jak do netrvalých, tak i trvalých forem a pro účely lití do skořepin a vakua.

Obr. 22 Teplotní pole u sestavy do stromečku při přesném lití za použití software CASTCAE Programový balík CASTCAE obsahuje tři uživatelské úrovně s jednotlivými moduly: a) START CastCAE MeshGenerator pro tvorbu 3D obrazu ve formátu STL CastCAE – uživatelské rozhraní CastCAE Heat Transfer and Solidification CastCAE Visualizer – vizualizace výpočtů b) BASIC -

Disertační práce

CastCAE Shrinkage and Expansion CastCAE Extended X-ray Visualization (zobrazení dutin)

Pavel BOUCNÍK


41


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství c) ADVANCED CastCAE Mould Filling - Navier-Stokesova rovnice CastCAE Coatings CastCAE Microstructure – pro řešení mikrostruktury, zvláště pro litiny s kuličkovým grafitem. Lze řešit i otázky tvrdosti (HB), či výpočet tvorby karbidů. Počítačová platforma: Windows NT, 95, MacOS 8 a UNIXovské systémy

5) BlowView Od společnosti Jordan z Kanady [64] pochází program založený na metodě konečných prvků, který analyzuje slévárenské procesy plnění, teplotního přenosu, pnutí a struktury. Program je určen zejména pro tlakové lité, jak je rovněž patrné z obrázku 23. Stejná společnost nabízí i software pro řešení modelovacích zařízení – PlasView. Uváděná počítačová platforma je Windows NT a UNIX.

Obr. 23 Výsledné pnutí na tlakově litém odlitku za použití metody BlowView

6) FLOW-3D Výrobcem je firma Flow Science USA. Program je určený pro modelování plnění, tuhnutí a mikrostruktury (zatím jen fenomenologicky). Umožňuje rovněž výpočet binární segregace a obsahuje model pro výpočet smršťování a řeší otázky porosity, vše při použití metody CVM [65]. Na obrázku 24 vidíme zobrazenou segregaci uhlíku v binární slitině (0,4% uhlíku ve slitině železa). Počítačová platforma PC s OS Windows nebo UNIXová platforma

Obr. 24 Tavenina kovu je obohacena uhlíkem separovaným na rozhraní solidu a likvidu. Uhlíkem obohacené části jsou vyznačeny červenou barvou.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

42



7) MAGMASOFT Jeden z nejznámnějších simulačních programů byl vyvinut ve spolupráci Technical University Aachen (Německo), Technical University of Copenhagen (Dánsko) a společnosti Magma (Německo). Software Magmasoft je určen pro 2D a 3D simulace plnění, teplotního toku a pole, výpočtu zbytkového pnutí a to vše za použití matematického aparátu FEM-FDM [66].

Obr. 25 Zachycuje rozložení teplotního pole na ½ odlitku.

• • • • •

Program obsahuje několik modulů: MAGMAhpdc - simulace lití při vysokém tlaku do trvalých forem. MAGMAdisa - simulace procesů na DISAMATICu (tento modul byl vyvinut za asistence Daimler Benz AG a Georg Fischer +GF+ DISA). MAGMAiron - simulaci litin - řešení tvorby mikro fází. MAGMAthixo - simulaci plnění a tuhnutí odlitků při použití thixotropních materiálů. MAGMAlpdc – simulace při nízkých tlacích při lití do kokil.

Počítačová platforma: Silicon Graphics, Hawlett Packard, IBM (klony UNIXu a Linuxu) a Sun. 8) MAVIS& GLENIS Výrobcem obou produktů je společnost Alphacast Software (Velká Británie), která při jejich přípravě spolupracovala s Univezita of Wales Swansea [67]. Software MAVIS, určený pro 3D modelování slévárenských dějů, obsahuje tři moduly: RAPID - který je postaven na výpočetním algoritmu BEM řeší, snad jako první komerčně nasazený program, výpočetní úlohy pomocí buněčné automatizace. FDM – simulátor teplotních polí využívající metody konečných diferencí (FDM) a FLOW pro modelování plnění a tuhnutí zahrnující předešlé dva moduly.

Obr. 26 Simulace teplotního pole za použití programu MAVIS

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


43


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Všechny moduly MAVIS mohou importovat plošná data z většiny 3D CAD/CAM systémů použitím stereolitografického formátu dat (ASCII STL). Modely pro simulaci jsou následně automaticky síťovány ASCII STL překladačem. Pro doplnění komerční nabídky je nabízen i program Solid View IGES 3.2, který umožní konvertovat data IGES CAD v ASCII STL formátu pro přímý import do programu MAVIS. Všechny moduly jsou určené pro operační systém Windows. Simulační software GLENIS obsahuje objemový modelář, překladač pro ASCII STL CAD soubory, vizualizační nástroje pro zobrazení výsledné geometrie a editor materiálových vlastností. GLENIS je určen spíše pro oblast výzkumných prací a laboratorní podmínky. 9) NovaFlow & Solid Výrobcem programu je společnost NovaCAST ze Švédska. Software obsahuje, jako každý spořádaný simulační prostředek, možnost importu dat a to z obou nejdůležitějších formátů – ASCII a z binárního STL. Program rovněž podporuje import z DXF 3D. NovaFlow & Solid obsahují nástroje pro zesíťování metodou FDM. Program umožňuje mimo výpočtu teplotního pole a pnutí také analýzu 1) poměrů na rozhraní v trvalé formě a 2) řešení ve vzduchové mezeře mezi formou a odlitkem

Obr. 27 Simulace plnění dutiny formy za použití programu NovaFlow Databáze u programu NovaFlow & Solid obsahuje úplné chemické složení zanesených materiálů, což ulehčuje případnou identifikaci s termofyzikálními parametry příslušejícím jednotlivým látkám [68]. Počítačová platforma: PC s operačním systémem Winows95 a výše, NT

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


44


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství 10) PASSAGE-PowerCast Výrobce je Technanalysis z USA. Produkt řeší metodou FEM teplotní otázky při odlévání, plnění formy, tuhnutí a výslednou mikrostrukturu [69]. Software PASAGE obsahuje následující moduly: WHEEL, který obsahuje mesh generátor pro tvorbu sítě pomocí níž lze následně provádět výpočet laminárního a turbulentního proudění kovu. Jeho součásti jsou rovněž optimalizační nástroje. Na obr. 28 vidíme ukázku analýzy toku kovu při průchodu rotačním kanálem na odlitku lopatky turbíny. Modul DUCT je určen pro výpočet vedení a proudění tepla a SYSFLOW - na prostředí X-Window založené grafické rozhraní pro změnu stávající sítě simulované soustavy. Modul Post-Procesor je určen pro interpretace vypočtených tlaků, rychlostí, teploty a hustoty materiálu. Obr. 28 Teplotní pole oběžného kola turbíny zhotovené metodou PassagePowerCast PowerCast je určen pro analýzu plnění a tuhnutí materiálů, predikci teplotního pole v odlitku a ve formě a předpovědi podílu tuhé a kapalné fáze či výsledné porosity po ztuhnutí Počítačové prostředí: UNIXovské pracovní stanice a superpočítače. 11) PROCAST Společnost UES (USA) uvedla produkt pro modelování slévárenských dějů ProCAST. Jedná se o tří dimenzionální program řešící metodou konečných prvků (FEM) výpočty nejen teplotního pole, toku a napěťových poměrů, ale rovněž predikci mikrostruktur.

Obr. 29 Teplotní pole na simulovaném odlitku pomocí SW ProCAST Ze zaměření software rovněž vyplývají v něm obsažené moduly: Thermal Analysis - teplotní analýza simulované soustavy odlitek – forma - okolí Fluid Analysis - řešení toku kovu v dutině formy Meshing- MeshCAST - tvorba sítě Radiation Analysis - analýza teplotního přenosu radiaci Stress Analysis - napěťové poměry odlitku po ztuhnutí a zchladnutí Microstructure Modeling - modelování mikrostruktur kovu

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

45


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Modelování mikrostruktury se děje po výpočtu teplotního pole, při zahrnutí nukleace a růstu zrn, přičemž se jedná o postup navržený pro průmyslově používané slitiny, tj. vícekomponentní systémy. V literatuře [70] je rovněž uvedeno srovnání jednotlivých metod síťování geometrie a uvedeny jejich výhody a nevýhody. Počítačové prostředí: PC s OS Windows, nebo pracovní stanice pod UNIXem. 12) SIMTEC Výrobcem dalšího rozšířeného produktu je firma RWP z Německa. Tento program najde využití při řešení otázek teplotního chování při plnění formy, rozdělení teplot v odlitku a formě při zahrnutí kriteriální funkcí pro zjištění např. výskytu porosity a staženin. Dále pro znázornění křivek ochlazování, výpočtu zbytkové tekuté fáze - izolované tekuté oblasti, vnitřního pnutí, smrštění tekuté fáze a deformace. Program řeší rovněž otázky spojené se strukturou materiálu, mechanických vlastností (tvrdosti) [71]. Obr. 30 Napěťové poměry v odlitku. Po odlití prvně chladne okraj, zatímco materiál o vyšší teplotě je soustředěn vevnitř odlitku. Výsledkem je tak tahové a tlakové napětí.

Obr. 31 Teplotní pole na odlitku třmene Program SIMTEC se skládá z těchto modulů: VDA, STL ANG

- CADový preprocessing, rozhraní pro import data z jiných CADů - slouží pro tvorbu síťované geometrie metodou FEM, která se zde buď přímo vytváří, nebo je importována z vnějších systémů. FILL - řešení plnění formy kovem TFB - Mainprocessing sloužící pro výpočet teplotního pole SPA - výpočet vnitřních pnutí a výsledné deformace odlitku ZTUE a ZTUC - výpočet mikrostruktury analýzou diagramů ARA resp. IRA EDA - postprocessing sloužící k zviditelnění vypočtených řešení FILM + FORM - výpočet materiálově závislých kriteriálních funkcí, tvorba obrázků.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


46


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Počítačové prostředí je UNIXovský operační systém na PC či na pracovních stanicích, nově rovněž operační systém Windows NT. 13) RAPID CAST a COMPACT Výrobcem programu je National Center for Excellence in Metalworking Technology [72] v USA. Software zahrnuje metodiku pro simulaci plnění formy, teplotního přenosu a kinematiku tuhnutí během odlévání. Program obsahuje výpočtový modul pro odhalení a eliminaci teplotních uzlů, výpočet zbytkového pnutí a smrštění či určení trhlin za tepla a porosity. Umožňuje rovněž výpočet turbulentní viskosity, rychlosti tekutého kovu při zaplňování formy. U simulace mikrostruktury predikuje velikosti zrn, vzdálenost buněk a rozpětí ramen dendritů, provádí analýzy mikro segregace. Základem výpočtu je metoda konečných diferencí FDM. Ze stejné vývojové dílny pochází i komerční software COMPACT, který je určen pro simulaci toku taveniny, přenos tepla a hmoty, pro modelování tuhnutí ingotů, makrosegregace, růstu zrn a mikrosegregace během rafinace.

Na obr. 32 je vidět simulace mikro porezity u litiny s kuličkovým grafitem

Obr. 33 Velikost zrn rozdělených podle objemu v těle odlitku

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


47



Výsledkem dalšího vývoje simulačních software budou nástroje a postupy pro modelování stavů, díky nimž bude možné odlévání vysoce kvalitních produktů s vhodným poměrem odpadu ku maximálnímu ekonomickému užitku. V tomto ohledu jsou důležité tyto tři aspekty: • Fyzikální a matematické modely popisují zatím slévárenský proces jen částečně. K dosažení stavu, který umožní dobrý popis reality je třeba zvětšení komplexnost modelu. Výzkum v budoucnu přinese určení závislostí mezi parametry inicializačního procesu a výslednou slévárenskou kvalitou. • Do matematických optimalizačních postupů je třeba zahrnout optimalizační techniky z odlišných inženýrských disciplín, které budou převedeny za účelem optimálního slévárenského procesu • Hlavní krok ve vývoji numerických metod spočívá nepřímo ve formě velkého zlepšení schopnosti, rychlosti a paměti použitých počítačů. Aktuální stav optimalizace ukázal dva odlišné přístupy: • Programy napsané pro specifické technické účely používající vnitřní optimalizační modely. V nich jsou optimalizační přístupy přímo vsunuty do zdrojového kódu počítače. Tento přístup je limitován použitím pro speciální případy a otázky v laboratořích. • Celé optimalizační prostředí pracuje pro danou konkrétní úlohu bez našeho zásahu v samotném programu. Řešený problém je bez potíží optimalizován převedením na optimalizační program pro různé druhy úkolů. V tomto systému lze optimalizační program používat, aniž by došlo k výměně vnitřní struktury modelovacího software, bez nutné znalosti jejich zdrojového kódu. To umožňuje široký rozsah aplikací s jen jedním programovým balíkem.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


48



8. Úvod do experimentální části V průběhu této práce se vycházelo z řady metod pro experimentální měření, mnoha postupů pro jejich vyhodnocování a následného počítačového modelování teplotního pole a mikrostruktury. Proto, než přistoupíme k výkladu a popisu experimentálních činností, uvedeme stručný teoretický rozbor těchto postupů a souvisejících jevů. 8.1. Přeměny austenitu Pro simulace mikrostruktur je třeba zadat do výpočtů data popisující fázové přeměny. Proto se nejprve podívejme na přeměny v litinách a teorii konstrukce diagramů ARA, resp. IRA. V důsledku polymorfie soustavy Fe-C se při ochlazování přeměňuje kubická plošně centrovaná modifikace železa v modifikaci kubickou prostorově centrovanou. Přeměna je doprovázena výraznou objemovou změnou, způsobenou větší hustotou uspořádání atomů v mřížce γ než v mřížce α. V austenitu se intersticiální uhlík rozpouští v poměrně velikém rozsahu a ve feritu je jeho rozpustnost za rovnovážných podmínek nepatrná. Výška teploty při které přeměna austenitu probíhá, je rozhodující pro účinný rozsah difúze v průběhu přeměny a má vliv jak na průběh, tak na výsledné produkty. Přeměnami austenitu za většího přechlazení vznikají z kinetických důvodů fáze a struktury termodynamicky méně výhodné, než je rovnovážná feriticko-cementická směs. Přeměny austenitu při různých rychlostech ochlazování a za různých stupňů přechlazení mají veliký praktický význam, neboť nám popisují chování materiálu při tepelném zpracování. Jednotlivé druhy přeměn se liší svým průběhem, produkty svého rozpadu a dávají tedy také rozmanité vlastnosti. Většinou prochází austenit řadou přeměn různého druhu. Přehled o vzájemných vztazích přeměn přechlazeného austenitu poskytují tzv. transformační diagramy, které udávají vliv teploty na průběh přeměny, zejména na její začátek a konec. Zahrnují vliv času, který je zejména v podobě rychlosti ochlazování jedním z hlavních činitelů [34]. Na rozdíl od rovnovážných diagramů platí pro slitiny určitého chemického složení a pro určité podmínky austenitizace (velikost zrna, homogenní austenit a.p.). Obsahují údaje o počátku a konci vylučování jednotlivých fází a martenzitické přeměně austenitu. Jsou sestrojovány obvykle za pomocí integrálních metod (dilatometrie, magnetometrie aj.), udávají proto pouze průměrnou rychlost ochlazování. Vedle těchto údajů jsou často uvedeny (a pro případ počítačové simulace nutně potřebné) také např. podíly produktů určité přeměny, hodnoty tvrdosti či jiných mechanických vlastnosti příslušejících výsledné struktuře. Na neštěstí pro počítačové simulace, většina veřejně publikovaných transformačních diagramů neobsahuje údaje o podílu vzniklé struktury. Dnes používané transformační diagramy jsou dvojího druhu: • Izotermické diagramy IRA - diagramy izotermického rozpadu austenitu TTT, udávající doby rozpadu austenitu za izotermických podmínek. • Anizotermické diagramy ARA - diagramy rozpadu austenitu při plynulém ochlazování - CCT, udávají doby potřebné k přeměně austenitu při různých rychlostech ochlazování. Oba druhy diagramů se kreslí v osách teplota (T) a logaritmu času (τ). Zahrnují dále údaje kritických teplot a polohy začátku, popřípadě konce martenzitické přeměny. Často vyjadřují také podíly produktů určité přeměny, obsahují údaje o výsledné tvrdosti, příslušející výsledné struktuře po ochlazení podle odpovídající křivky ochlazování. Při přeměně austenitu za plynulého ochlazování se vlivem teplotní hystereze posouvá poloha kritických bodů k nižším teplotám. Informace o tomto jevu poskytuje tzv. Déjeanův diagram. Tento diagram však neposkytuje údaje o kinetice jednotlivých přeměn. Diagramy ARA, podobně jako diagramy IRA pro izotermické podmínky, podávají údaje o začátku a konci jednotlivých přeměn přechlazeného austenitu při plynulém ochlazování. Jsou však komplikovanější proto, že výsledná struktura je tvořena směsí produktů přeměn probíhajících při různých teplotách.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

49


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Průběh fázových přeměn pro určitou rychlost ochlazování (a tím i výsledná struktura) se určí z dané křivky ochlazování podle jejího průběhu oblastmi fázových přeměn diagramu. Průběh ochlazování se vyjadřuje buď jako skutečná závislost teploty a času (jak bylo při zkoušce zjištěno), nebo se křivky ochlazování korigují tak, že za počátek časové stupnice se považuje okamžik přechodu teplotou AC3. Fyzikálně je tento druhý způsob správnější, neboť austenit začíná být nestabilní až v tomto okamžiku a průběh ochlazování nad AC3 nemá podstatný vliv na kinetiku přeměn. Dobré využití diagramů ARA však vyžaduje znalost průběhu ochlazování tepelně zpracovávaného kusu nebo jeho části, které mají mít požadovanou strukturu [34, 73]. 8.2. Strukturní diagramy Strukturní diagramy znázorňují souvislost mezi chemickým složením, rychlosti ochlazování a výslednou strukturou. Byly vyvinuty pro litiny s lupínkovým grafitem a litiny bílé. Strukturních diagramů je v literatuře uvedena celá řada. Na osách diagramů se obvykle vynáší obsah uhlíku a křemíku a plocha je rozdělena do oblastí jednotlivých struktur. V nejjednodušším diagramu se nebere v úvahu rychlost ochlazování a takový diagram platí pouze pro odlitky s určitými podmínkami ochlazování (např. pro tělesa s danou tloušťkou stěn). Takovým základním typem, víceméně pouze s názorným významem, je Maurerův diagram. V něm je plocha rozdělena přímkovými hranicemi do 5-ti oblasti, která se obvykle označují římskými čísly, v nichž vzniká struktura:

I - cementická II a - cementicko - perlitická s přechlazeným grafitem, tzv. maková II - perlitická II b - perlito-feritická III - feritická Obr. 34 Maurerův strukturní diagram [34]. Pozdější typy strukturních diagramů pak již respektují, že hranice mezi oblastmi nejsou přímkové, ale hyperbolické. Takovým diagramem je např. Laplancheův. V něm jsou přímková rozmezí nahrazena křivkami grafitizačních koeficientů Ko. Hodnoty grafitizačních koeficientů, které vymezují oblastí jednotlivých struktur se určují podle tloušťky stěny odlitku. Tímto způsobem Laplancheův diagram respektuje vliv rychlosti ochlazování.

Obr.35 Laplancheův strukturní diagram [34]. KO - Koeficient grafitizace SE - stupeň eutektičnosti

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

50


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Jestliže do tohoto diagramu zakreslíme i přímky pro různé hodnoty stupně eutektičnosti zjišťujeme, že při určité konstantní hodnotě SE lze získat rozdílné struktury litiny. Kromě uvedených diagramů existuje celá řada dalších, někdy dosti komplikovaných, strukturních diagramů, které obvykle vychází z obsahu základních prvků a rychlosti ochlazování. 8.3. Teorie zhotovování diagramů ARA, resp. IRA Kvalitní kvantifikace podílů vyloučených fází v kovových slitinách v závislosti na výchozím stavu materiálu a na průběhu technologického zpracování je možné dosáhnout dvěmi cestami matematickým modelováním a analýzou dilatometrických měření. Například autoři [74] použili Kvaziizotermický model. Ve své práci se sice zabývali jako materiálem ocelí, ale jejich poznatky lze přenést i pro potřeby litin. Základem jeho použití pro případ plynulého ochlazování kovových slitin je rozdělení skutečného průběhu teploty na sérii prodlev na těch teplotách, pro které máme vstupní data ve tvaru avramiovské funkce:

z = z mj 1 − s 

b jt

nj

 , kde 

(78)

z je objemový podíl uvažované fáze v čase t od začátku ochlazování a prodlevy na izotermě j, zmj je maximální objemový podíl dané složky po skončení přeměny na j-té izotermě (t → ∞), bj , nj jsou kinetické parametry přeměny pro prodlevy na j-té izotermě. Podíl z v čase t + ∆t na konci dílčího izotermického kroku je dán počáteční hodnotou z v čase t a délkou prodlevy ∆t , která připadá na daný krok algoritmu. Těsně po přechodu z předchozí izotermy odpovídá fiktivní čas t* okamžitému podílu sledované fáze. Podíl na konci izotermického kroku je vyjádřen vztahem: j −b (t * + ∆t )  z (t + ∆t ) = z max j 1 − e j    n

(79)

Testování výpočtového modelu vyžaduje zadání vstupních materiálových dat pro každou izotermu zvlášť (viz výše uvedené parametry zm, b, n). Ty autoři získali z diagramů IRA, kdy odečetli inkubační dobu (čas začátku reakce definovaný tak, že z/zmax = 0,05) a čas konce vylučování složky (z/zmax = 0,95). Koeficientům zmax přiřadili hodnoty rovnovážných koncentrací strukturních složek v binární soustavě Fe-Fe3C. Výsledkem pokusných výpočtů byly podíly strukturních složek po ochlazení podle režimů znázorněných v diagramu ARA. Uspokojivých výsledků však bylo dosaženo až po tendenční úpravě vstupních parametrů pocházejících z diagramů IRA. Závěrem autoři [74] konstatují, že informace odečtené z publikovaných diagramů IRA a ARA nelze použít pro přesné modelování fázových přeměn. Diagramy mají pouze orientační charakter a nejsou dostatečně obecným popisem přeměn fází. Jako podmínky termoanalytických testů, za kterých konstrukce diagramů vychází, se zpravidla uvádí chemické složení, teplota austenitizace a doba prodlevy na ní, velikost zrna a režim ochlazování. Podstatný vliv na kinetiku fázových přeměn mají také další parametry výchozího strukturního stavu a podmínek experimentu. Jsou to například podíly strukturních složek a jejich prostorového rozložení, rychlost ohřevu (u fázových přeměn v režimu TZ), úroveň vnitřních a vnějších pnutí ve zkušením vzorku, atd. Stejní autoři se domnívají, že pro popis fázových přeměn je třeba volit univerzálnější přístup, který by využíval aktuální možnosti měřené a numerických výpočtů. Další autoři ve své práci [75] poukazují na typický přístup (v roce 1996) k analýze vztahu mezi průběhem křivek chladnutí a diagramem TTT (time - temperature - transformation, čas - teplotatransformace). Zdůrazňují, že z numerického hlediska není konstrukce matematického modelu a vytvoření adekvátního programu simulujícího tepelný pochody v odlitku složitou věci. Za účelem propojení průběhu křivek chladnutí ve vybraných bodech odlitku (nebo ve všech uzlech celé součásti) s TTT diagramem, však musí být do programu vloženo rozmezí mikrostrukturních změn uvažovaného materiálu.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

51


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Za tím účelem zavádějí tzv. identifikační matici S. Řady v této matici odpovídají postupně se zvyšujícím teplotám: T0, T0 + ∆T, T0 + 2∆T,… atd., zatímco sloupce odpovídají časům: τ0, τ0 + ∆τ0, τ0 + 2∆τ0,… atd. Různé oblasti korespondují s perlitickou, martenzitickou (obecně s jakoukoliv strukturou) a s dalšími transformacemi. Oblasti jsou rozlišeny v diskutované matici pod čísly 0, 1, 2… a „fixovány“ v adekvátních místech (elementech). Výsledky numerických výpočtů, zvláště hodnota teploty, v uvažované oblasti odlitku pro čas τ mění hodnotu elementů matice. 8.4. Simulace mikrostruktur První přístup modelování mikrostruktury řeší výsledný druh a množství příslušné fáze v odlitku jako průsečík křivky chladnutí pro daný element - uzel zesíťované geometrie odlitku s příslušným ochlazovacím diagramem ARA. Data diagramu dané slitiny jsou vložena do programu předem. Tento přístup je jednoduchý jak z hledisek algoritmu výpočtu, času potřebného k výpočtu, tak především z toho důvodu, že není nutné geometrii odlitku rozdělit pro počítačové zpracování na menší elementy, než jsou potřebné pro výpočet teplotního pole či pnutí. Nevýhodou je, že pro celý odlitek a celý časový průběh tuhnutí a ochlazování je použit jen jeden diagram o jednom chemickém složení. Do výpočtu není zahrnut model přenosu látky odmíšení, difúze. To sebou samozřejmě vnáší do výpočtu apriorní chybu, která je tím větší, čím větší je u daného reálného odlitku přenosový jev. Na tomto principy pracuje např. současná verze programu Simtec. Druhý přístup řeší otázky spojené se vznikem nových fází modelováním na úrovni zrn dendritů, ramen dendritů. Do výpočtu jsou zahrnuté algoritmy nukleace, růstu a interakce nové fáze, modelování odmíšení a segregace, tzv. mikropohled. Tvrdost se pak stanoví z vypočítaných objemových podílů různých fází pomocí kriteriárních funkce. Narůst výpočetní doby lze akceptovat, zejména s přihlédnutím na velký narůst v přesnosti výpočtu. Pro potřeby výpočtu se však, z praktických důvodů, častěji uvažuje v diagramu s časem chladnutí, než s rychlosti chladnutí. A tak jsou data pro strukturu matrice, podobně jako vlastnosti perlitu, bainitu, martenzitu a zbytkového austenitu, získané na kontinuálně chladnoucích vzorcích, zaneseny do grafů v závislosti na času chladnutí. V současnosti se používá několik rozdílných definic času chladnutí a typu prezentace. Jedna z definic uvažuje s časem chladnutí z teploty austenitizace (Ta) do teploty pokojové (20 až 250C). Další a praktičtější definice hovoří o tom, že čas chladnutí je brán z austenitizační teploty do teplot 400 nebo 5000C. Pravděpodobně však nejvíce používaná a také nejpraktičtější metoda zavádí termín "half cooling time" - poloviční čas chladnutí. Zde je čas chladnutí odečten mezi teplotami austenitizace (Ta) a teploty (THC). THC je střední hodnota z teploty austenitizace a pokojové teploty (například 250C) [76]. Matematický zápis tohoto postupu vypadá takto:

THC =

T A − 25 T + 25 + 25 = A 2 2

(80)

Tak například, jestliže je teplota austenitizace T(a) 9000C potom

THC =

900 + 25 = 4630 C 2

a poloviční čas chladnutí je čas mezi teplotami 9000C a 4630C.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


52


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství 8.5. Struktura programu Simtec pro výpočet mikrostruktury Na našem pracovišti VUT FSI Brno, odboru slévárenství máme k dispozici program pro modelování slévárenských dějů – Simtec od společnosti RWP Aachen. Vedle výpočtů teplotních poměrů a pnutí umožňuje výpočet i mikrostruktury. Pro simulaci mikrostruktury je nejprve třeba provést výpočet teplotního pole. Pro každý uzlový bod je konkrétně specifikován průběh teploty v závislosti na čase a dále teplotní gradienty. Z těchto údajů jsou vyhodnoceny křivky chladnutí, které se pak matematicky porovnávají s vloženým ARA diagramy příslušného materiálu. Pro každý bod je spočteno procentuální zastoupení dané fáze. Při prezentaci výsledků se pak vytvoří oblasti s přibližně stejným procentuálním složením dané fáze. U litin a ocelí jsme schopni spočítat rozložení feritu, perlitu a bainitu. Kromě procentuálního složení dané fáze, systém Simtec dokáže predikovat rozložení tvrdostí dle Vickerse. 8.6. Metody studia fázových přeměn Fázové přeměny kovů a slitin jsou doprovázeny změnou fyzikálních a mechanických vlastností (rozměrů, elektrických a magnetických vlastností, skupenských a překrystalizačních tepel, tvrdosti, pevnosti atd.). Průběh fázové přeměny je tedy možno studovat na základě rozboru těchto veličin. Tepelná analýza Teploty při kterých probíhají v čistých kovech a jejich slitinách fázové přeměny (kritické teploty) můžeme určit sestrojením křivek ochlazování nebo ohřevu těchto slitin a jejich rozborem. V nejjednodušším případě je pokus uspořádán tak, že se teplota měří termočlánkem v ochlazovaném kovu a je registrována v závislosti na čase [77]. Diferenční termická analýza Pro jemnější měření přeměn, zejména v tuhém stavu, byla vypracována diferenční metoda termické analýzy (DTA). Princip této metody spočívá v použití srovnávacího vzorku s podobným tepelnými vlastnostmi, který má v měřené oblasti monotónní průběh křivky ochlazování. Etalon musí splňovat podmínku, aby ve sledovaném intervalu neměl žádnou fázovou přeměnu. Rozdíl teplot etalonu a vzorku se měří pomocí diferenčního termočlánku. Záznam DTA je v případě použití Derivatografu v souřadnicích teplota - čas. V záznamu je zachycen průběh teploty v závislosti na čase (τ) a rozdíl teplot etalonu a vzorku v závislosti na čase (DTA). Mimo uvedené závislosti registruje přístroj teplotní dilataci vzorku. Záznam tedy podává úplnou informaci pro zakreslení křivky v souřadnicích rozdíl teplot etalonu a vzorku - teplota, anebo pro stanovení za jaké teploty dochází na křivkách DTA k charakteristickým výchylkám způsobenými fázovými přeměnami. Dilatometrie je založena na poznatku, že během fázové přeměny dochází k přeskupení hmotných částic a v důsledku toho ke změně objemu jiného charakteru, než odpovídá běžné tepelné roztažnosti. Snímáme-li tedy vhodným způsobem dilatační křivky v závislosti na teplotě, můžeme z anomálii na těchto křivkách stanovit důležité body fázových přeměn. Rozdělení dilatometrickýoh metod závisí na způsobu měřeni dilatací. U absolutního způsobu se měří dilatace vzorku (ve tvaru tyče) v závislosti na teplotě přímo mechanicky, opticky nebo rentgenograficky. Tyto metody jsou velmi přesné, avšak pracně a časově náročné. Elektrické a magnetické vlastnosti kovů jsou závislé na jejich chemickém složeni a také fyzikálním stavu. Vzhledem k tomu, že některé elektrické a magnetické veličiny se dají snadno měří, mohou se stát zdrojem informací o stavu struktury i prostředkem ke studiu fázových přeměn.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

53


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství 8.7. Teorie tvrdosti Tvrdostí rozumíme odpor materiálu proti vnikání cizího tělesa a posuzujeme ji z velikosti trvalé deformace, kterou cizí těleso vtlačované do povrchu zkoušeného materiálu vyvolá. Zkouška tvrdosti patří mezi nejpoužívanější druhy zkoušek na vyhodnocení mechanických vlastností strojírenských materiálů. Její přednost spočívá zejména v poměrně snadném a rychlém provedení a možnosti zkoušení i hotových součástí bez jejich znehodnocení. Z tvrdosti lze často usuzovat i na jiné vlastnosti (pevnost v tahu, obrobitelnost, strukturu). Výhodou zkoušky tvrdosti je, že u ní nenastává náhlý mezní stav porušení. Údaje o tvrdosti prvků, jejich sloučenin a materiálů z nich vyrobených, patří v technické praxi k běžným charakteristikám látek. Pojem tvrdost však není dosud jednoznačně určen. Nejrozšířenější je díky strojírenské praxi názor, podle něhož je tvrdost odpor, který klade zkoumané těleso proti vniknutí jiného tělesa [78, 79]. Reprodukovatelnému změření a serioznímu srovnání hodnot tvrdosti látek při použití rozličných metod měření mezi sebou brání zejména: • Nedokonalá definice tvrdosti, která zahrnuje soubor několika dalších vlastností, přičemž je anizotropní veličinou s tenzorem vyššího řádu • Nejednotnost a vzájemná nesrovnatelnost metod měření • Experimentální potíže s měřením tvrdosti u velmi tvrdých látek V technice je dávána přednost metodám, které za působení konstantní zkušební síly zanechávají trvalé změny tvaru. V poslední době byla vyvinuta řada metod, indentorů a přístrojů, vybavených snímacím zařízením a doplněných osobním počítačem s bohatým softwarem, umožňujícím záznam a vyhodnocení většího množství proměnných parametrů současně. Rozdílné vlastnosti litin vyplývají z jejich rozdílné tvrdosti, ale především z a) rozdílné mikrostruktury v kovové matrici, b) velikosti, tvaru a rozdělení grafitu, c) spletité nedokonalosti a d) z chemického složení [73]. Rodina litin tak představuje složený materiál ne nepodobný kompozitu skládající se z kovu a částic, zjednodušený prostorový síťový model. Ve skutečnosti však není tak jasná demarkační linie mezi jednotlivými oblastmi [80]. Směsi fází jsou běžné a mohou tak dosahovat rozdílných zastoupení ve svých množstvích. To vytváří předpoklady pro rozdílné způsoby jak obdržet v místních objemech odlišné tvrdosti. Tvar důlku, proces zrodu odlitku ve slévárně, následné tepelné zpracování, mohou vést k ovlivnění tvaru, množství a rozdělení složek v litině a jejich vlastností [81]. Na obr. 36 je vtlačený kontakt na ploše zahrnující rozsáhlou mikrooblast s rozdílnými složkami. Mnohé literární prameny ukazují lineární závislost mezi pevnosti v tahu a tvrdosti HB. Další, praktičtěji, ukazují, že existuje pás rozptylu u reálných materiálů vlivem rozdílnosti v jejich chemickém složení a chybách měření [81].

Obr. 36 Oblast vtlaku při měření tvrdosti V mnoha aplikacích a literárních zdrojích se setkáváme s hodnotami tvrdosti HV i u materiálů, kde se tato metoda měření nepoužívá, např. v simulačních programech či srovnávacích tabulkách pro rozličné druhy materiálů, kde slouží pro jednodušší buď matematické vyjádření, nebo srovnání hodnot u více materiálů.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

54


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství 8.8. Ultrazvuková defektoskopie Jedna z možností jak předejít reklamacím je důsledná kontrola výrobků před jejich uvolněním k zákazníkovi. Možností jak pečlivě kontrolovat mechanické vlastnosti odlitků, a to nejen pro automobilový průmysl, je samozřejmě nedestruktivní ultrazvuková defektoskopie, která umožňuje až 100% kontrolu a to při relativně malých provozních nákladech ⇒ rychlá metoda použitelná i přímo v provozu slévárny. Měření ultrazvukové rychlosti představuje rychlou nepřímou metodu zkoušení a vytváří základnu pro stanovení třídící meze pro počáteční kontrolu typu dobrý - špatný odlitek. Metoda umožňuje na základě rychlosti průchodu ultrazvukových vln stěnou odlitku stanovit v tomto místě hodnoty mechanických vlastností, např. pevnosti, tvrdosti a nebo struktury matrice. Lze použít různé typy přístrojů z nichž jsme využívali především dva druhy a to ultrazvukový přístroj na určování tloušťek tzv. tloušťkoměr a přístroj ECHOMETR, jenž přímo určuje absolutní rychlost ultrazvuku při průchodu materiálem. Rychlost zvuku silně souvisí s mechanickými, resp. se strukturními vlastnostmi materiálu, včetně modulu pružnosti. Jejím určením lze odvodit například pevnost odlitku v daném místě. Poněvadž měření rychlostí je nyní velmi přesné, lze jím stanovit moduly pružnosti. Akustické vlny prostupují materiálem tím hůře, čím větší je množství a velikost vnitřních nespojitostí. Rozhraní matrice grafit tak odrazí značnou část amplitudy akustické vlny. Přímé šíření akustické vlny litinou je po několika odrazech od grafitu vyčerpáno a rozptýleno. Dráha matrici pak závisí na labyrintu grafitových útvarů [50]. 8.9. Určení mechanických vlastností nedestruktivními metodami Pro určení závislostí mezi mechanickými veličinami jako je např. pevnost, tvrdost a další, a vhodně měřitelnou veličinou - rychlosti šíření ultrazvuku je, přes určité pokroky v oblasti popisu chování materiálů z hlediska atomové struktury a mikrostruktury, pro praktické účely stále nutné zjišťovat korelační vztahy experimentálně. Z lit. [49] se dozvídáme, že pro stanovení závislostí relativní ultrazvukové rychlosti (absolutní rychlost ultrazvuku podělena rychlosti šíření UV v oceli) na mechanických vlastnostech, byla provedena měření na dvou souborech. První dávka obsahovala 206 vzorků a druhá 125 vzorků, které byly získány náhodným výběrem za určité údobí z kýlových bloků odlévaných v ZŤS Olomouc. K měření bylo použito přístroje K-metru a D-metru (firmy Krautkrimer). Pro přesnější údaje odkazuji na lit. [49]. Relativní rychlost ultrazvuku vln cr je dána vztahem:

cr =

c L (litina ) c L (ocel )

(81)

Pro hodnotu rychlosti vln v oceli byla dosazena hodnota 5930 ms-1. Autor dochází na základě svých experimentálních měření k následujícím funkčním závislostem pro LKG: 1 ) Rm = 1380,09 crD - 658,89 Index korelace: 0,301

(82)

2) Rm = 2,213 (crD x HB) + 161,33 Index korelace: 0,732

(83)

3) Rm = 1332,32 crK - 583,62 Index korelace: 0,302

(84)

4) Rm = 2,282 (crK x HB) + 158,21 Index korelace: 0,745

(85)

5) Rm = 2,266 HB + 131,41 Index korelace: 0,741

(86)

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

55


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství 6) A5 = -0,09 (crD x HB ) + 31,17 Index korelace: 0,598

(87)

7 ) A5 = -0,094 (crK * HB) + 31,60 Index korelace: 0,619

(88)

Tyto výsledky však vykazují malý index korelace, proto autor doplnil vztahové rovnice údaji o tvrdosti, měřených na stejném místě odlitku. Tím autor dosáhl vyšší přesnosti. Tvrdost v kombinaci s rychlostí průchodu ultrazvukových vln nám komplexněji může popsat chování ve stěně odlitku, kde provádíme měření (povrchová vrstva - měření tvrdosti, rychlost ultrazvuku - průchod celou stěnou). Dalšího zpřesnění došlo použitím rovnic vyšších řádů. Navíc je výsledek měření závislý na použitém měřícím přístroji ( K-metr a D-metru) - přesnost při odečítání (mechanický ukazovatel nebo digitální). V [50] jsou dále uváděny následující vztahy. Pro litinu s kuličkovým grafitem autor určil závislost Youngova modulu a pevnosti litiny (v rozmezí pevnosti 500 až 900 MPa) a Modulu pružnosti od 174 až 178 000 MPa. E = 221 150,7 Rm-0,0135 a to s koeficient korelace 0,9134

[MPa]

(89)

Závislost mezi pevnosti v tahu Rm a tvrdosti HB v intervalu od 150 do 325 HB a od 450 do 900 MPa pevnosti. Rm = 2,7 HB + 10 (90) Použijeme-li stejného postupu při temperované litině, docházíme k malému koeficientu korelace, což bylo ovlivněno strukturou temperované litiny. Pro LKG určil autor [50] závislost Youngova modulu na pevnosti materiálu litiny (v rozmezí pevnosti 500 až 900 MPa) a modulu pružnosti od 174 až 178 000 MPa a tvrdosti HB

E′ =

1 . x10 −9 HB 6.405x10 − 352 −6

(91)

s koeficientem korelace 0,9759. Autor [50] ve své práce využívá pro určení Rm i měření elektrických a magnetických veličin u kovů, jakožto kontrolní metody pro určování mechanických vlastností odlitků. Použity byly: a) měrný el. odpor ρ b) koercitivní síla Hc c) remanentní indukci Br d) magnetickou indukci Bl resp. intenzitu magmetického pole H. Autor získal vysoké koeficienty korelace a ukázal, že tento přístup je možný. 8.10. Měření teploty termočlánky Pro měření křivek chladnutí je nejvhodnější zvolit měření teploty pomocí termoelektrického teploměru - termočlánku. Princip termočlánku je založen na principu termoelektrického napětí, které vzniká vlivem rozdílu teplot na jednotlivých koncích dvou rozdílných vodičů. Tyto vodiče jsou na pevném konci (dříve nazývaný teplý spoj) a na srovnávacím konci (dříve studený spoj) spojeny. Na konci srovnávacího vedení je připojen na milivoltmetr. Termoelektrické napětí závisí na rozdílu teplot T1 a T2 měřených míst a na druhu použitých kovů pro termočlánek. Každý termočlánek je nutno při měření chránit. Nejčastěji se používá keramická ochrana (korund) a dále je obalen ochranným pláštěm z kovu NiCr nebo Ni. V praxi ovlivňují dosažitelnou přesnost především dva faktory, teplota srovnávacích spojů (vliv teploty okolí) a úbytek napětí vlivem skutečných odporů v obvodu. Pro odstranění vlivu teploty srovnávacích spojů používáme řady kompenzací. V laboratořích se dá použít vložení spoje do lázně o teplotě 00C. V praxi (v provozu sléváren) lze použít kompenzaci teploty pomocí termostatu, nebo elektricky.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


56



9. Termofyzikální vlastnosti látek Rozhodující složkou, ve výpočtech teplotního chování slitin, při počítačových simulacích jsou termofyzikální vlastnosti v celém sledovaném intervalu teplot. V této kapitole se zmíníme o definování těchto teplotních vlastností a metodách jejich určení. Chování látek při různých teplotách je dobře experimentálně a teoreticky zpracováno pro čisté látky. U slitin, které tvoří převážnou většinu používaných látek, jsou vlastnosti určovány jako komplexní vliv všech těchto prvků na slitinu. Odlévané součásti však nejsou chemicky homogenním materiálem a to ani při mikropohledu, natož při makropohledu. Výsledné termofyzikální vlastnosti součásti nejsou však jen prostým obrazem o jejich chemickém složení. Jedná se o komplexní charakteristiku, která v sobě zahrnuje další vlivy související s utvářením materiálů v těchto intervalech: 0. stádium - příprava vsázky, způsob tavení, očkování, modifikace 1. stádium - stádium lítí a plnění formy tekutým kovem 2. stádium - období mezi teplotou likvidu a solidu 3. stádium - pod teplotou solidu, chladnutí odlitku 4. stádium - změna vlastností pod eutektickou teplotou Ve všech těchto stádiích se uplatňují rozličné principy, které působí na utváření vlastností materiálu z hlediska jejich termofyzikálních vlastností. Přesné hranice mezi jednotlivými údobími, resp. mechanismy v nich obsažené nejsou jasně rozlišitelná a navzájem se prostupují. Jednotlivé mechanismy a vlivy jsou: • Velikosti zrn • U litin - množství, tvaru a rozložení grafitu • Struktura matrice • Vzniku intermediálních fází • Precipitace • Segregace • Difúze • Odmíšení • Mikroodmíšení • Nečistot • A dalších Všechny tyto vlastnosti utvářejí výsledné termofyzikální vlastnosti materiálu odlitku, přičemž pro potřeby technické praxe se berou hodnoty popisující vlastnosti na makro úrovni. Úroveň jednotlivých zrn, resp. pohyb prvků přes jejich hranice je uvažován jen pro potřeby simulace těchto dějů, ne však pro potřeby simulace celých součásti. Z toho vyplývá, že to co nazýváme termofyzikálnimi vlastnostmi je určitá komplexní charakteristika zahrnující v sobě všechny výše uvedené případy a podává nám obraz o průměrném vlivu všech těchto parametrů na součást. Při laboratorních měření (např. kalolimetricky – obr. 37) se vychází ze vzorků, které jsou buď separovány z většího celku a tudíž nám podávají charakteristiku jen o určité části, nebo jsou odlity za laboratorních podmínek, které se však liší od provozní praxe [82]. Obr. 37 Schéma kalolimetru (zde pro měření vzorku formovací směsi) [83].

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

57


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Například na obr. 38 je zobrazeno schéma zapojení aparatury na měření teplotních vlastností - přestupu tepla ve vzorku formovací směsi - v tomto případě pískového válečku.

Obr. 38 Schéma měření teplotní roztažnosti vzorku písku V tubě z hliníku je umístěn pískový vzorek, do něhož je zaveden termočlánek z Pt-PtRh [83] 9.1. Teplotní součinitel délkové roztažnosti Pro pochopení tepelné roztažnosti je možné vycházet z představy klasického oscilátoru popisující dvojici atomů při teplotě T a vliv anharmonických členů v potenciální energii na jejich střední vzdálenost. Potenciální energii atomů předpokládáme ve tvaru [82]:

U ( x ) = cx 2 − gx 3 − fx 4

,

(92)

kde x je výchylka z jejich rovnovážné vzdálenosti při teplotě absolutní nuly, c,g a f jsou kladné konstanty. Člen x3 vyjadřuje asymetrii vzájemného odpuzování atomů a člen obsahující x4 popisuje změkčení kmitů při velkých amplitudách. Minimum v bodě x = 0 sice není absolutní, avšak pro malé kmity je popis meziatomových potenciálu vztahem (92) přiměřený. Objemové změny těles způsobené zvýšením teploty při konstantním tlaku se vyjadřují tzv. pravou objemovou roztažností

β=

1  ∂V    V  ∂T  P

(93)

Výhodnější je zavést délkovou roztažnost, která se snadněji pokusně zjišťuje

1  ∂l   l  ∂T  p

α= 

(94)

a pro isotropní materiály platí α ≅ 1/3 β

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

58


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Celková změna rozměrů krystalů při ohřevu z teploty T0 na Ti je

  Ti l = lo  ∫ α l ( T ) dT    T0

(95)

V případě, že αl = konstanta, se rovnice (95) zjednodušuje se rovnice ve tvaru

l = l0 exp(α l ( Ti − T0 ))

(96)

Pro malé hodnoty αl < 10-4 C-1, lze exponenciální rovnici rozložit do řady a omezit se pouze na první členy rozvoje

l ≅ l0 (α l ( Ti − T0 ))

(97)

Této formule se obvykle používá v technické praxi pro vyjádření teplotní roztažnosti v malém intervalu teplot. V simulačních programech, kde jsou hodnoty tabelovány vždy po určitém teplotním intervalu, se používá lineární aproximace pro zjištění hodnot roztažnosti pro výpočty. Pracujeme-li ve větším teplotním oboru, je nutné použít parabolického rozvoje

(

l ≅ l0 1 + α l 1 ( T1 − T0 ) + α l 2 (T1 − T0 )

2

)

(98)

Pro mnohé fyzikálně a technicky důležité látky jsou hodnoty αl1 a αl2 tabelovány. Známe-li závislost délky na teplotě, lze derivací snadno určit pravou teplotní roztažnost. Z praktických důvodů často zavádíme střední teplotní roztažnost.

αl =

l ∆l 1 l1 − l0 = l0 ∆T l0 T1 − To

(99)

Zvolíme-li za počáteční teplotu T0 = 273K = 00C, zjednodušuje se rovnice (98) do tvaru

(

l = l0 1 + α l t

)

(100)

Poznámka: Ve starší literatuře se namísto označení β používá α a pro lineární teplotní roztažnost místo α - αl. U slitin s úplnou vzájemnou rozpustností složek v tuhém stavu lze mít za to, že v závislosti na objemovém procentu má isotropní teplotní roztažnost lineární průběh. Pokud jde o slitinu se značně rozdílnými tepelnými roztažnostmi složek, nelze se vyhnout vnitřním mikropnutím při ohřevu, jež jsou tím větší, čím větší je rozdíl v roztažnostech. U tuhých roztoků není teplotní roztažnost lineární funkcí složení, nýbrž vždy je menší než odpovídá výpočtu ze směšovacího pravidla. Teplotní roztažnost čistých kovů i slitin ovlivňují fázové přeměny prvního a druhého řádu. Nejznámější příklad přeměny prvního řádu je objemová kontrakce při přeměně α → γ u čistého železa, která obnáší 0,5 %. Změna typu mřížky se projeví podstatně vyšší roztažnosti mřížky se směstnanějším uspořádáním. Z přeměn druhého řádu ovlivňují roztažnost změny magnetických vlastností, které mají teoreticky i prakticky velkou důležitost. Rovněž stupeň uspořádání mřížky má vliv na teplotní roztažnost. Existence uspořádání nadstruktury se projeví na isotermě roztažnosti jejím malým zvýšením [82].

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


59


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství 9.2. Měrná tepelná kapacita Přivádíme-li do jakéhokoliv látky teplo Q, zvýší se její teplota T. Při tom se na stejné zvýšení teploty musí dodat různým látkám různé množství tepla. Současně vidíme, že i u téže látky potřebujeme k ohřátí o stejný rozdíl teplot v různých teplotních a tlakových intervalech různé množství tepla. Proto zavádíme pojem měrná tepelná kapacita označované c s rozměrem [J / kgK], která je definována jako množství tepla potřebného k ohřátí jednoho kg nějaké látky o 1 K. Měřením se prokázalo, že měrné tepelné kapacity různých látek jsou různé a pro tutéž látku jsou obecně závislé na teplotě t a tlaku p, tj. c = f(p, t). U většiny látek se stoupající teplotou měrná tepelná kapacita roste. V technických výpočtech se proto užívá tzv. střední měrná tepelná kapacita v daném teplotním intervalu [84]. Přivedeme-li při nějakém ději m kilogramům látky množství tepla Q1,2 a jeho teplota vzroste z t1 na t2, pak množství tepla potřebného k ohřátí o 1 K - tudíž střední měrná tepelná kapacita v tomto intervalu bude:

[c]tt

2

1

=

1 Q1,2 m t 2 − t1

(101)

[ ]tt (t 2 − t1 )

Tedy Q1,2 = m c

2

1

Střední měrnou tepelnou kapacitu z rovnice (101): t2

Q1,2 = m∫ cdt = m[c]t2 (t 2 − t1 ) , t

1

t1

pak

[ c] t

t2 1

t

1 2 = cdt t 2 − t1 ∫t1

(102)

Obecně je závislost měrné tepelné kapacity na teplotě dána rovnicí

c = a + bt + dt 2 +...

,

(103)

kde součinitelé a, b, d atd. jsou zjištěny experimentálně. Dosadíme-li tento vztah do rovnice pro střední měrnou tepelnou kapacit, obdržíme:

[ c] t

t2 1

1 = t 2 − t1

t2

∫ (a + bt + dt )dt 2

(104)

t1

a po integraci

[ c] t 2 = t

1

1 t 2 − t1

[ c] t 2 = a + b t

1

 t 22 − t12 t 22 − t12  a t − t + b + d ( )  2 1  z čehož plyne 2 3  

t 2 + t1 t2 + t t + t2 +d 2 1 2 1 2 3

(105)

V technických příručkách jsou uváděny rovnice pro výpočet středních měrných tepelných kapacit v rozmezích teplot 00C až t0C.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

60


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Střední měrná tepelná kapacita v teplotním intervalu od t1 do t2 se pak určí se vztahu:

[ c] t

t2 1

t t c] 0 t 2 − [ c] 0 t 1 [ = 2

1

(106)

t 2 − t1

Tepelná kapacita slitin a sloučenin je aditivní vlastnosti. Jestliže jde o binární slitinu, jejíž složky mají tepelné kapacity CPX a CPY, a jestliže atomové podíly složek ve slitině jsou x a y, je tepelná kapacita slitiny CP = xCPX + yCPY, U slitin eutektického typu je toto pravidlo splněno, jak již bylo několikrát přezkoušeno. U tuhých roztoků a intermetalických fází studovaných při vysokých a nízkých teplotách byly nalezeny odchylky, které jen ve zvláštních případech dosahovaly 6 - 8 % a byly buď kladné, nebo záporné. Odchylky lze očekávat tím menší, čím bližší jsou tepelné kapacity složek při dané teplotě, a pokud jde o slitiny u kterých se vyskytují fázové přeměna, bude její vliv tím menší, čím je teplota, při které se tepelná kapacita určuje, vzdálenější od teplot oblasti fázové přeměny. Protože přes všechny pokroky kalolimetrie je zjišťování tepelných kapacit za vysokých teplot obtížné, mají význam metody, které dovolují vypočítat tepelné kapacity při konstantním tlaku s co největším přiblížením ke skutečnosti. Ivanova /85/ ukázala, že tepelné kapacity kovů a polokovů mají velmi blízkou hodnotu při poměrné teplotě T/TPRV , kde TPRV je teplota první fázové přeměny při stoupající teplotě. Na základě četných experimentálních dat dochází k závěru, že tepelnou kapacitu v rozmezí T = 0,3 TPRV až TPRV lze dobře vyjádřit vztahem

CP = a + b

T

(107)

TPRV

Konstanty „a“ a „b“ vyčísluje Ivanova z třiceti prvků a dochází k průměrnému vztahu

C P = 5,283 + 1,987

T

(108)

TPRV

Střední odchylky uvedeného vztahu od hodnot pokusně určených leží v rozmezí +/- 2,2%. I u uhlíku je vypočtený průběh jen o 1,3 % vyšší než naměřený. Avšak u některých technicky důležitých prvků, jako je Cr, Fe, Mn, Mo, Ni a V, lze této metody použít jen do teploty TODK , při které se průběh tepelné kapacity odklání vzhůru vlivem fázové přeměny. TODK je pro železo nízko, a to při teplotě ≈ 3300C. Tento způsob dovoluje velmi jednoduchý výpočet tepelných kapacit sloučenin a pro kovy platí

C P = 5,283 + 1,987

Disertační práce

T TPRV ( ODK )

(109)

Pavel BOUCNÍK

61



9.3. Druhy sdílení tepla Sdílení tepla, resp. přenos tepelné energie probíhá v různých podmínkách. V pevných látkách se teplo sdílí mezi částicemi tělesa. Je-li přitom zachována tepelná rovnováha, charakterizována teplotou, nazývá se tento druh sdílení tepla vedením. Množství tepla procházející pevnou látkou je přímo úměrné teplotnímu rozdílu ve směru toku energie, dále je přímo úměrné ploše kolmé na směr toku a nepřímo úměrné vzdálenosti teplotních rovin. Tuto závislost poprvé formuloval Fourier. Fourierův zákon pro vedení tepla má tvar (obr. 39):

Q = − λSgradt

(110)

Tepelný tok Q je vektor a má rozměr [W], S [m2] značí plochu, kterou teplo prochází a gradt je symbolické označení gradientu teplotního pole.

gradt = lim

∆t ∂t = ∆n ∂n

(111)

Teplotní gradient je vektor, jehož směr je opačný než směr tepelného toku Q, což je respektováno záporným znaménkem na pravé straně vztahu (110). Součinitel tepelné vodivosti λ [W/mK] je jednou z termofyzikálních vlastností materiálu a její hodnota je pro různé materiály uváděna v technických a fyzikálních tabulkách.

Obr. 39 Gradient teploty V tekutých látkách (kapaliny a plyny) je přenos energie mezi částicemi doprovázen přemisťováním hmotnosti látky v prostoru. Přenos tepla, doprovázený prouděním hmotnosti se nazývá přestup tepla prouděním - tepelná konvekce. Druhým druhem sdílení tepla je sdílení tepla sáláním - tepelná radiace. Při tomto způsobu přenosu tepelné energie jsou nositeli tepelné energie elementární částice hmoty (fotony), šířící se rychlosti světla v plynném prostředí nebo vakuu. Třetím případem je sdílení tepla vedením – tepelná kondukce. kdy se teplo přenáší seskupením atomů a molekul v pevných látkách dvěma rozdílnými přístupy tepelné energie. Prvním způsobem je vibracemi přenášejícími se strukturou látky a druhý je způsoben volnými elektrony, které procházejí látkou. Pro kovy je typický druhý způsob, jehož vliv je o dva řády větší než-li vliv vibrací. Slitiny, na rozdíl od čistých kovů, obsahují omezený počet volných elektronů, takže oba způsoby přenosu energie mají přibližně stejnou hodnotu. Obecně je tepelná vodivost pevných látek daná součtem obou vodivostí.

λ = λ f +λE

[Wm-1 K-1 ]

(112)

kde λf je vodivost způsobené vibracemi (fonony) a λE je vodivost způsobená volnými elektrony.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


62



Obr. 40 Porovnání tepelné vodivosti několika slitin V technické praxi se obvykle vyskytují všechny tři druhy sdílení tepla současně. Hovoříme-li tedy např. o čisté tepelné kondukci předpokládáme, že tepelné toky sáláním a konvekcí jsou tak malé, že je lze v daném případě zanedbat. Přenos v kapalných látkách se více podobá přenosu tepla v pevných látkách, než-li v plynných. Molekuly však již nezaujímají pevná místa prostoru, jak tomu je u krystalických pevných látek. Přesto mají molekuly kapaliny sklon k tvorbě molekulárních seskupení. Při porovnání s pevnými látkami lze konstatovat, že kapaliny mají také krystalickou strukturu, avšak uspořádání krystalů se každým okamžikem mění. Stejně jako u pevných látek můžeme tepelnou vodivost kapalin rozdělit na dvě složky. První zachycuje vliv fononů λf a druhá vliv translační složky λt. U kapalin kromě volných elektronů je ve složce λt zachycen i vliv transportu tepla ionty. Tento model kapaliny však nevystihuje zcela přesně fyzikální podstatu přenosu tepelné energie, proto se teoreticky zjištěná vodivost od empiricky zjištěné liší. V technické praxi se využívá tepelná vodivost zjištěna empiricky (fyzikální tabulky). Tekuté kovy vedou fonony a navíc volnými elektrony a ionty. Složka λE je obvykle větší než λf. Výsledná tepelná vodivost tekutých kovů bývá až 100 krát větší než u ostatních kapalin. Tepelná vodivost plynů (včetně par vody) se od vodivostí pevných látek a kapalin podstatně liší, neboť každá molekula plynu se na rozdíl od předcházejících dvou případů chová samostatně a vykonává nahodilý pohyb. Vzdálenost mezi molekulami plynu je 100 až 1 000 větší než je průměr molekuly. Podle klasické kinetické teorie závisí vodivost plynů na součinu dynamické viskozity a měrného tepla λ=ηcv. Dosažené hodnoty vodivosti vycházejí poloviční, než-li ukazují experimenty. Proto teoretická bádání v tomto oboru i nadále pokračují. Pro pochopení procesu tepelného odporu mřížky kovu vycházíme z následujícího: Střední volná dráha fononu l je určena dvěma procesy, totiž geometrickým rozptylem (tj. rozptylem na geometrických nedokonalostech mřížky) a srážkami s jinými fonony. Pokud by síly působící mezi atomy byly čistě harmonické, nebyly by srážky různých fononů možné a střední volná dráha by byla omezena pouze rozptylem fononu na povrchu krystalu a na mřížkových poruchách. Pokud v mřížce působí i anaharmoické interakce, dochází k vazbě různých fononů, jež dále omezuje hodnotu střední volné dráhy. Pro vysvětlení teorie interakcí fononu, U a Nprocesy, které s nimi související odkazuji na příslušnou literaturu např. [84] - strana. 155-158. Nyní se budeme zabýval druhým mechanismem a to interakcemi na nedokonalostech krystalu. K omezení střední volné dráhy mohou významně přispět i geometrické efekty. Je třeba uvažovat s rozptylem účinkem hranic krystalu, přítomnosti různě hmotných izotopů v přírodních chemických prvcích, chemickými nečistotami a poruchami mřížky, a konečně i amorfními strukturami.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

63


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství 9.4. Vodivost slitin Vliv přísadových prvků se projevuje různě podle typu slitiny. Začněme nejprve nejjednodušším případem a to binární slitinou se složkami vzájemně nerozpustnými v tuhém stavu. Zde lze použít dvou modelů a to, že obě složky jsou uspořádány jak destičky za sebou nebo jako destičky vedle sebe. Kdyby obě složky byly uspořádány jako destičky za sebou, mohli bychom vyjádřit měrnou tepelnou vodivost jako funkci složení v objemových dílech p a (1-p), celková tepelná vodivost slitiny by byla

1

λ

=

p

λ1

+

(1 − p)

(113)

λ2

a měrný tepelný odpor by byl w = pw1 + (1 - p) w2

(114)

Kdyby byly destičky uspořádány vedle sebe, byla by měrná vodivost

λ = pλ 1 + (1 − p)λ 2

(115)

a měrný tepelný odpor

p (1 − p) 1 = + w w1 w2

(116)

Jestliže vyneseme tepelnou vodivost takové slitiny v závislosti na objemovém procentu, nemůžeme očekávat zcela lineární průběh, nýbrž vodivost poněkud nižší vlivem částečného uspořádání. Měření tento fakt potvrzují [86]. Tepelná vodivost neuspořádaných tuhých roztoků s neomezenou rozpustností Experimentální údaje o tepelné vodivosti tuhých roztoků s neomezenou rozpustností je mnohem méně než o jejich vodivosti elektrické. Jak však lze očekávat z celkové analogie obou vodivostí, musí být teplená vodivost tuhých roztoků podstatně nižší než jejich složek. Nutno také očekávat, že na rozdíl od nepatrné závislosti teplené vodivosti čistých látek kovů na teplotě bude se nízká tepelná vodivost tuhých roztoků s teplotou zvyšovat, což souvisí s tím, že se na celkové tepelné vodivosti tuhých roztoků významněji podílí i tepelná vodivost mřížky. Analogie s elektrickou vodivostí pro zředěné tuhé roztoky: Při nízkých koncentracích platí vždy Matthiessenovo - Flemingovo pravidlo, takže celkový měrný elektrický odpor lze zapsat jako: ρ = ρ0 + ap + bp2 je měrný odpor čistého kovu kde ρ0 p atomová procenta % přísady a, b konstanty, které nezávisí na teplotě Do asi 1 % je b bezvýznamné, takže konstanta a se rovná přímo zvýšení odporu přísadou.

(117)

Analogie s elektrickou vodivostí pro neuspořádané tuhé roztoky: U tuhých roztoků s neomezenou rozpustností a náhodným rozložením atomů se používá vztah: ρ = ρ0 + ρT , (118) kde ρ0 definujeme jako měrný elektrický odpor při teplotě 0K, označujeme jej také jako zbytkový odpor. Tento člen je na teplotě nezávislý. ρT je teplotně závislý člen Hlubší matematicko - fyzikální rozbor je uveden v [86] strana 388 až 395.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


64


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Elektrický odpor u tuhých roztoků feromagnetických kovů Zde jsou poměry na rozdíl od čistých kovů složitější, neboť se zde projevuje vliv Curierova bodu. Podle [86] (studium slitiny Fe a Ni) lze tuto anomálii vysvětlit nehomogenitou materiálu, která se nutně projevuje na jeho magnetických vlastnostech, takže různé oblasti materiálu budou mít i různé Curierovy body. Zde jde o nehomogenitu, při které přechod z feromagnetického do paramagnetického stavu (či naopak) neprobíhá při jediné teplotě, nýbrž v teplotním intervalu. Elektrická vodivost uspořádaných tuhých roztoků Vliv uspořádání na vodivost je značný a to i pro slitiny s omezenou rozpustnosti v tuhém stavu. Ve fázích se silným uspořádáním vodivost stoupá a má výrazné maximum způsobené tím, že fáze stechiometrického složení mají maximální stupeň uspořádání. V heterogenních oblastech se řídí elektrický odpor pravidlem vyloženým u heterogenních slitin. Rovněž teplotní součinitel elektrické vodivost v oblastech maximálního uspořádání dosahuje prudkého maxima. Vodivost technicky důležitých slitin Velký technický význam slitin železa vedl k tomu, že na základě měření byly hledány empirické vztahy pro vliv složení na tepelnou resp. elektrickou vodivost. Například je tento vztah pro uhlíkaté oceli [86]: w = 1 / λ = 4,4 + 8,7 Σ C kde

[mK/W]

(119)

ΣC = C + 12/28 Si + 12/55 Mn [váhová %]

Tyto vztahy však platí jen pro jednu oblast materiálu a to ještě přibližně. Podobně jako Benediks i další autoři hledali vztahy, které by na základě chemického složení popisovali tepelnou vodivost materiálu. Vždy však byl jejich popis omezen jen na určitou třídu materiálu a nepřihlížel např. k tepelnému zpracování. Yensen /87/ v [86] zjistil, že první přísady uhlíku zvyšují měrný odpor více, než by odpovídalo vztahu (119). Na tepelnou vodivost má chemická odlišnost prvků menší vliv než-li na elektrickou. Vliv množství přísad na elektrický odpor a teplenou vodivost je vyjádřen v práci [88] součtem všech cizích atomů na 100 g železa. V této disertační práci navazujeme na první práce vykonané již v této oblasti, kdy předmětem zkoumání byly jednotlivé termofyzikální parametrů a jejich vliv na počítačovou simulaci. Například autoři [89] zkoumali pořadí vlivu termofyzikálních parametrů na čas tuhnutí odlitků při použití různých formovacích materiálů. Analýza vedení tepla byla prováděna s respektováním koeficientu teplotního přenosu na plochách styku odlitku a formy. Autoři ve svém příspěvku konstatují, že řešení teplotního přenosu a stanovení okrajových podmínek na rozhraní odlitek - forma je velmi obtížné. 9.5. Hustota Hustota, nebo-li měrná hmotnost, je definována jako hmotnost objemové jednotky homogenní látky při určité teplotě. Touto definici jsou dány všechny známé metody k určení měrné hmotnosti vážením. U krystalických látek, u kterých známe typ krystalické mřížky a její rozměry, můžeme vypočítat měrnou hmotnost i z těchto údajů, neboť kromě toho známe hmotnost jednotlivých atomů jako podíl atomové hmotnosti a Avogardovy konstanty. Lze tedy na základě mikrorentgenových metod určit ideální hustotu dokonalého krystalu, ve kterém jsou všechny uzlové body obsazeny atomy. Tak tomu ovšem ve skutečnosti není. I když se přesnost přímého určování měrné hmotnosti a přesnost měření základního mřížkového parametru stále zvyšují, nelze ani do budoucna počítat s tím, že z rozdílu ideální a skutečné hmotnosti by bylo možno soudit na nedokonalosti ve výstavbě mřížky. Technická krystalická látka obsahuje vždy mikropóry, popřípadě i makropóry, submikroskopické a mikroskopické vměstky nečistot lehčích než vlastní kov, které se především podílejí na rozdílu mezi ideální a skutečnou hustotou.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


65


Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství Měrná hmotnost podvojných slitin z kovů, které nejsou mezi sebou v tuhém stavu dokonale rozpustné se řídí jednoduchou závislostí. Jestliže x0 jsou objemové jednotky v % zaujímá kov B a (100 - %) kov A, je měrná hmotnost slitiny:

ρx =

ρ B xo 100

+

ρ A (100 − x o ) 100

=

100ρ A + x 0 ( ρ B − ρ A ) 100

(120)

Měrná hmotnost je tedy lineární funkcí složení pouze tehdy, je-li složení vyjádřeno v objemových procentech. Je-li složení ve váhových procentech, lze snadno dokázat, že jde o závislost hyperbolickou

ρV =

100ρ A ρ B xV ρ B + (100 − xV ) ρ A

(121)

kde xV jsou váhová procenta. Tyto vztahy však platí přesně pouze tehdy, pokud nejsou ve slitinách pórovitá místa nebo deformační pnutí. U tuhých roztoků ukazovala starší měření závislost měrného objemu na váhové konfiguraci nejčastěji odchylku od přímkového průběhu směrem k menšímu měrnému objemu [87]. U slitin s úplnou vzájemnou nerozpustností složek v tuhém stavu lze mít zato, že v závislosti na objemovém procentu má izoterma teplotní roztažnosti lineární průběh. Pokud jde o slitiny se značně rozdílnými tepelnými roztažnostmi složek, nelze se vyhnout vnitřním mikropnutím při ohřevu, jež jsou tím větší, čím větší je rozdíl v roztažnostech.

9.6. Fyzikálně teplotní vlastnosti litin Fyzikálně teplotními vlastnosti litin v tuhém stavu jsou ovlivněny přítomnosti grafitu ve struktuře, jeho tvarem a druhem základní kovové hmoty. Hustota - snižuje se s rostoucím množstvím vyloučeného grafitu. Je přibližně o 10% nižší, než hustota oceli, za normální teploty je obvykle v rozmezí 7100 - 7300 kg m-3. Součinitel tepelné vodivosti - souvisí s tvarem a množstvím vyloučeného grafitu a je podstatně vyšší, než součinitel tepelné vodivosti oceli. Čím více je ve struktuře grafitu, tím větší je tepelná vodivost. Vodivost litin s lupínkovým grafitem s hrubým grafitem je vyšší, než litiny s grafitem jemným, tepelná vodivost litiny s lupínkovým grafitem je obecně vyšší, než litiny s kuličkovým grafitem. Tepelná vodivost LLG je v rozmezí 45 - 52 W m-1 K-1 , u LKG přibližně 32 - 38 W m-1 K-1. Měrná tepelná kapacita je v rozmezí teplot 20 - 1000C je 460 - 540 J kg-1 K-1. Součinitel tepelné roztažnosti - je u grafitických litin menší, než u ocelí a běžně se pohybuje v rozmezí 10 - 13x106 K-1. S rostoucí teplotou roztažnost vzrůstá. Tepelná roztažnost austenitu v nelegovaných litinách je asi 18x106 K-1. Dobrá tepelná vodivost a menší tepelná roztažnost vedou ve srovnání s ocelí ke vzniku relativně malých teplotních pnutí, malému tepelnému borcení odlitků a k dobré odolnosti proti tepelným šokům.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK


66



9.7. Tepelné poměry ve formě Všechny jevy vznikající ve formovací směsi jsou podmíněny tepelnými změnami, které nastávají od prvého okamžiku styku roztavené slitiny s formou nebo jádrem. Ohřev formy a jader je z hlediska nauky o sdílení tepla případ nestacionárního prostorového (třírozměrného) sdílení tepla a hmoty. Nestacionární vedení tepla v odlitku a ve formě je popsáno parciální diferenciální rovnicí Fouriera. Přestup tepla ve formě po odlití, t.j. rozdělení teploty ve formě v různých vzdálenostech od odlitku je důležitý, sledujeme-li chemické a fyzikální změny formovací směsi. Intenzita výměny tepla mezi odlitkem a formou je určena především tepelně-fyzikálními vlastnostmi formy, pro kterou zavádíme: teplotní vodivost

a=

λ C.ρ

[m2.s-1]

(122)

a koeficientem tepelné akumulace bf=

λ.C.ρ

[W.s0,5.m-2.K-1]

(123)

Součinitel tepelné vodivost v pórovitém disperzním materiálu je především realizována přes místa kontaktů jednotlivých zrn ostřiva. Teoreticky u ideálního ostřiva jde o bodový styk koulí, avšak u reálných směsí vzhledem ke hranatosti zrn, přítomností pojivových mostů, vody a přísad, se jedná o plochy styku, které celkovou vodivost zvyšují. Vzduch a plyn v mezizrnových prostorách se rovněž podílejí na přenosu tepla, avšak mají přibližně o řád nižší λ než písek, proto není s nimi při přenosu tepla vedením nutno počítat. Ovšem přenos tepla neprobíhá pouze vedením (kondukcí), ale současně prouděním (konvekcí) i sáláním (radiací) mezi jednotlivými póry a tudíž s mnohem větší intenzitou [90]. U pískových směsí je zjišťování součinitele tepelné vodivosti obtížné, neboť jde o heterogenní pórovitou hmotu. Závisí nejen na součiniteli tepelné vodivosti vlastního ostřiva, ale i na vlhkosti vzduchu a plynu v dutinách mezi zrny. Bylo zjištěno, že u pískových forem ovlivňují součinitel tepelné vodivosti rovněž intenzita zhuštění formovací směsi (se zvyšující se intenzitou pěchování vzrůstá součinitel λ např. bentonitové směsi) a množství použitého pojiva (se zvyšující se přísadou bentonitu vzrůstá součinitel λ). Měrná tepelná kapacita c směsi závisí nejen na jejím druhu, ale i na její teplotě. Se zvyšující se teplotou směsi se měrná tepelná kapacita zvyšuje. U formovacích směsí má na ni značný vliv obsah vlhkosti. U suché směsi je „c“ nižší než u směsi vlhké. Další důležitou termofyzikální hodnotou je součinitel tepelné akumulace formy bf. Tento součinitel určuje rychlost pohlcování tepla formou a tím rychlost tuhnutí odlitku. Jak konstatuje nejen autor [91], který studovala u formovacích materiálů teplotní vodivost a měrné teplo a to pro suché pískové formy (křemíkové písky, olivinové písky, zirkonové a chromité písky), a jejichž vlastnosti měřil z pokojové teploty až na 1000 0C, teplotní vodivost formovacích materiálů (křemíkové písky, zirkonové písky a chromité písky) postupně vzrůstají z pokojové teploty až na 500 0C a potom zřetelně klesají až k 1000 0C.

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

67



9.8. Přehled fyzikálních veličin Fyzikální veličina je pojem používaný ke kvantitativnímu popisu fyzikálních jevů nebo vlastností hmotných objektů. Veličiny se označují písmenem latinské nebo řecké abecedy (značka veličiny). Veličina je součinem číselné jednotky a veličiny. Názvy a značky veličin stanoví normy souboru ČSN 01 13 xx. V naší vlasti jsou stanoveny měřící jednotky podle zákona č. 35, 1962 Sb. o měrové službě se změnami a doplňky podle zákona č. 57, 1975 Sb. [92, 93, 94] Vzhledem k tomu, že veškeré výpočty teplotního pole, mikrostruktury, popřípadě simulování dalších parametrů, bylo děláno ve výpočetním prostředí programového balíku SIMTEC od výrobce RWP Aachen, uvádíme zde - v tab. 3, přehled všech termofyzikálních parametrů, které jsou v databance tohoto programu v jeho verzi z roku 98, kterou jsme používali. Označení těchto vlastností v programu, ba ani jejich fyzikální významy nejsou vždy shodné s obecně zavedenou terminologii, uvádíme zde jak označení v balíku SIMTEC, tak i název, rozměr a tam kde je to potřeba, i jejich krátký popis či vysvětlující poznámku [95]. Tab. 3 Termofyzikální veličiny zadávané do programu SIMTEC Označení AL AP EM GE

LA

Název Plošná vodivost

Jednotka Poznámka tepelná W / cm2K Množství tepla přenášené přes rozhraní je závislé na vlastnostech obou látek. V programu je počítáno s nižší hodnotou z obou látek Teplotní součinitel K-1 délkové roztažnosti Tangentový modul MPa Nejedná se o klasický modul pružnosti E, ale o tzv. „Tangentový modul“, který je závislý na teplotě Latentní teplo % Parametr vyjadřuje množství uvolněného tepla při fázové přeměně a jeho nelineární rozdělování. Pokud neznáme rozdělovací funkci vývinu tepla, lze zadat jen teploty TL a TS a celkové množství latentního tepla. Software SIMTEC spočítá tzv. standardní rozdělovací funkci. Součinitel tepelné W/cmK Vyjadřuje množství tepla projitého přes plochu A vodivosti za čas τ deskou o tloušťce d

Q= NY QP

Poissonova konstanta 1 Vnitřní teplo W/cm3

RH

Hustota

G/cm3

ZTU

Mikrostrukturni data

%

A ∆T d

Látka může v určitém intervalu teplot vyvíjet vnitřní teplo. Vzhledem k tomu, že extrapolace není možná, používá se lineární interpolace V programu SIMTEC je samotná hustota ρ použita ve spojení se směrem gravitace Data pro popis mikrostruktury

Problematika měření termofyzikáních vlastností a měřící technika je rozebrána například v lit. [96].

Disertační práce

Pavel BOUCNÍK

5. Matematický popis dějů v litinách

Recommend Documents