5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel

Aritmetika ‐ sekunda

1

Zlomky Celek a jeho část Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou. Zlomek pět třináctin (pět lomeno třinácti)

5 13

čitatel zlomková čára jmenovatel

Jmenovatel zlomku udává, na kolik stejných částí je celek rozdělen. Čitatel sděluje, kolik těchto částí zlomek obsahuje.

Zlomek nám vyjadřuje část celku. Jeho hodnota je rovna nule, pokud je čitatel zlomku roven nula, a jmenovatel je nenulový. 0 0 3 0 0 7 0 0 24

2

Aritmetika sekunda

Úloha 1: Zapiš zlomkem, jaká část celku je vybarvena a jaká část vybarvena není na obrázku.

Vybarveno Nevybarveno





V žádném zlomku nesmí být jmenovatel roven nule! Takovýto zlomek nemá smysl!!

8 0 Zlomek, který má stejného čitatele a jmenovatele, se rovná jedné. 1

1

1

1

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

3

4

Aritmetika sekunda

Celek a jeho část Varianta A Zapište jako zlomky: čtyři pětiny, šest sedmin, dvě devítiny, jedenáct třetin, osm patnáctin, čtrnáct dvacetitřetin. Výsledek řešení: čtyři pětiny šest sedmin dvě devítiny jedenáct třetin osm patnáctin čtrnáct dvaceti třetin

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapište jako zlomky: tři osminy, dvě devítiny, deset třetin, patnáct dvaceti osmin, dvanáct [ , ,

sedmnáctin, padesát osmdesáti třetin.

,

,

,

]

,

]

2) Zapište jako zlomky: dvě sedminy, pět polovin, jedenáct patnáctin, čtrnáct jedenáctin, sedmnáct dvaceti čtvrtin, třicet šest šedesáti pětin. 3) Zapište slovy zlomky: , ,

,

,

[ , ,

,

,

,

[ pět šestin, tři čtvrtiny, třináct pětin, sedmnáct dvaceti pětin, dvacet čtyři devatenáctin, devadesát osm stotřiceti osmin] 4) Zapište slovy zlomky: , ,

,

,

,

[ jedna sedmina, čtyři poloviny, osmnáct šestnáctin, deset dvaceti jednin, čtyřicet tři dvacetin, osmdesát sedm stočtyřicet dvoutin ]


Celek a jeho část Varianta B Vypočtěte: 1 8 4 5 42 6 4 90 6 11 60 12 Výsledek řešení: 1 8 4 Celek je 8, a jeho jedna čtvrtina je 2. 5 42 6 Celek je 42, a jeho jedna šestina je 7, a pět šestin je 35. 4 90 6 Celek je 90, a jeho jedna šestina je 15, čtyři šestiny je 60. 11 60 12 Celek je 60, a jeho jedna dvanáctina je 5, jedenáct dvanáctin je 55.


5

6

Aritmetika sekunda

Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte: a) 39

b) 63

c)

200

d)

175

[a) 13, b) 56, c) 110, d) 28 ]

2) Vypočtěte: a) 40

b) 51

c)

325

d)

336

[a) 16, b) 34, c) 100, d) 189]

3) Vypočtěte: a)

50

b) 154

c)

289

d)

408

[a) 35, b) 66, c) 85, d) 276]

4) Vypočtěte: a) 1 000

b)

300

c)

612

d)

840

[a) 625, b) 40, c) 48, d) 378]


Celek a jeho část Varianta C Zapište zlomkem, jakou částí stokoruny jsou a) 4 dvacetikoruny b) 3 desetikoruny c) 17 pětikorun d) 38 dvoukorun Výsledek řešení: Celek je 100, a jeho 4 dvacetikoruny jsou 4 5

100

Celek je 100, a jeho 3 desetikoruny jsou 3 10

100

Celek je 100, a jeho 17 pětikorun jsou 17 20

100

Celek je 100, a jeho 38 dvoukorun jsou 19 25

100


7

8

Aritmetika sekunda

Příklady k procvičení: 1) Vyjádřete zlomkem, jakou částí minuty je 20 sekund, 15 sekund, 35 sekund, 56 sekund. ,

[

,

,

]

2) Vyjádřete zlomkem, jakou částí metru je 120 mm, 25 cm, 7 dm. [

,

,

3) Vyjádřete zlomkem, jakou částí metru je 670 mm, 48 cm, 9 dm. [

4) Ve třídě je 38 žáků, z toho je

,

dívek. Kolik je ve třídě chlapců a kolik dívek? [20 dívek, 18 chlapců]

,

]

]


9

Zlomky Zlomky na číselné ose Zlomek je způsob zápisu čísla. Každé číslo můžeme znázornit na číselné ose, proto i zlomky znázorňujeme na číselné ose.

1 8 0


1 4

1 2

3 4

1

19 8

15 8

9 8 5 4

3 2

7 4

2

9 4

5 2

11 4

3

10

Aritmetika sekunda

Zlomky na číselné ose Varianta A Na číselné ose je pomocí bodů A až F znázorněno šest zlomků. Zapiš je.

0

A

Výsledek řešení:


B

1

C

D

2

E

F

3


11

Příklady k procvičení: 1) Na číselné ose je pomocí bodů A až F znázorněno šest zlomků. Zapiš je.

D

A B

0

E

C

1

F

2

3 ]

[

2) Na číselné ose je pomocí bodů A až F znázorněno šest zlomků. Zapiš je.

A

D B

0

1

E

C

F

2

3

[

]

3) Na číselné ose je pomocí bodů A až F znázorněno šest zlomků. Zapiš je.

A

1 2

C B

0

5 2

D E

1

F

2

3 ]

[

4) Na číselné ose je pomocí bodů A až F znázorněno šest zlomků. Zapiš je. 1 A 2 0

B

E

D

C

2

1 [

5 2

F 3 ]

12

Aritmetika sekunda

Zlomky na číselné ose Varianta B Překresli na číselnou osu tyto zlomky:

,

,

,

,

,

Výsledek řešení:

1 2 0

1 4

A

C B

1

E

2

F

D

3

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Překresli na číselnou osu tyto zlomky:

,

,

,

,

,

2) Překresli na číselnou osu tyto zlomky:

,

,

,

,

,


,

,

,


,

,

,

,

,

,

,


13

Zlomky na číselné ose Varianta C V noční směně pracuje 112 dělníků, to je všech zaměstnanců závodu. Kolik zaměstnanců má závod? Výsledek řešení: 112

…

všech dělníků …

x

112 dělníku je čtvrtina všech zaměstnanců. Celek tvoří 4 čtvrtiny. 112 · 4

448

Závod má 448 dělníků. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Na výlet ujeli žáci 230 km, z toho vlakem a zbytek autobusem. Kolik kilometrů jeli žáci vlakem a kolik autobusem?

[184 km vlakem, 46 km autobusem]

2) Když jsme ušli 3 km, vykonali jsme cesty. Kolik kilometrů máme ještě do cíle a kolik kilometrů musíme celkem ujít?

[12 km do cíle, 15 km]

3) Veronika napsala 6 příkladů, měla tři čtvrtiny domácího úkolu. Kolik příkladů měla celkem vypočítat?

[8 příkladů]

4) Pan učitel opravil již 14 sešitů a zbývá mu opravit ještě dvě třetiny všech sešitů. Kolik sešitů celkem opravuje?

[42 sešitů]

Aritmetika sekunda

14

Zlomky Rozšiřování zlomků Zlomky , , , 1 3

2 6

3 9

, 4 12

vyjadřují stejnou část celku.

5 15

Velikost těchto zlomků je stále stejná. Říkáme, že se zlomky

, , ,

,

sobě rovnají, nebo že mají stejnou hodnotu.

Rozšiřování zlomku Zlomek rozšíříme, když čitatele i jmenovatele zlomku vynásobíme stejným přirozeným číslem. Zlomek rozšiřujeme: Dvěma: · Třemi: · Čtyřmi: · Pěti: ·

Hodnota zlomku se při jeho rozšiřování nezmění. Převádění zlomků na společné jmenovatele: Převeďte zlomky a na společného jmenovatele, kterým bude číslo 28. 5 · 4 3 · 7

35 28 12 28



15

Rozšiřování zlomků Varianta A Rozšiřte zlomek číslem: a) 3

b) 8

c) 15

d) 120

e) 65

d) 100

e) 50

Výsledek řešení: a)

·

b)

·

c)

·

d)

·

e)

·

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Rozšiřte zlomek číslem: a) 5

b) 7

c) 14

[ ,

,

,

,

2) Rozšiřte zlomek číslem: a) 4

b) 9

c) 11

d) 150

e) 500 [ ,

3) Rozšiřte zlomky , ,

4) Rozšiřte zlomky ,

, , číslem 6.

,

, ,

číslem 4.

,

,

,

]

[ ,

,

,

, ]

[ ,

,

,

, ]

]

Aritmetika sekunda

16

Rozšiřování zlomků Varianta B Doplňte čitatele nebo jmenovatele zlomku tak, aby platila rovnost. 15 21 ? 44

5 ? 2 11

Výsledek řešení: · ·

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Doplňte čitatele nebo jmenovatele zlomku tak, aby platila rovnost. ?

?

[ , ]

2) Doplňte čitatele nebo jmenovatele zlomku tak, aby platila rovnost.

?

?

[ , ]


? ?

[ , ]


? ?

[ , ]


Rozšiřování zlomků Varianta C Převeďte zlomky na společné jmenovatele uvedeného v závorce. 3 2 , 35 7 5 Výsledek řešení:

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Převeďte zlomky na společné jmenovatele uvedeného v závorce. ,

36

[ , ]

2) Převeďte zlomky na společné jmenovatele uvedeného v závorce. ,

66

[

, ]


42

[ , ]


90

[ , ]

17

Aritmetika sekunda

18

Zlomky Krácení zlomků Zlomek krátíme, když čitatele i jmenovatele zlomku vydělíme stejným přirozeným číslem, které je společným dělitelem čitatele i jmenovatele. Zlomek

krátíme

Dvěma: Třemi: Čtyřmi:

Hodnota zlomku se při jeho krácení nezmění. Krácení zlomku je opačný proces k rozšiřování zlomku. Zlomek v ZÁKLADNÍM TVARU Je zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná čísla. (přirozená čísla, jejichž největší společný dělitel je 1) 2 1 7 11 17 , , , , 3 2 5 21 19 Každé přirozené číslo můžeme napsat jako zlomek se jmenovatelem 1. 1 2 5 23

1 1 2 1 5 1 23 1



Krácení zlomků Varianta A Krať čtyřmi tyto zlomky: a)

b)

c)

d)


b)

c)

d)


Příklady k procvičení: 1) Krať třemi tyto zlomky: a)

b)

c)

d) [ , ,

, ]

[ , ,

, ]

[ , ,

, ]

2) Krať pěti tyto zlomky: a)

b)

c)

d)

3) Krať devíti tyto zlomky: a)

b)

c)

d)

4) Krať sedmi tyto zlomky: a)

b)

c)

d) [ , , , ]

19

Aritmetika sekunda

20

Krácení zlomků Varianta B Kraťte zlomek na základní tvar. 840 630 Výsledek řešení: Nejprve rozložíme čitatele a jmenovatele na součin prvočísel. Tato prvočísla v čitateli a jmenovateli můžeme mezi sebou krátit. 840 630

5·3·2·7·2·2 5·3·2·7·3

4 3


Příklady k procvičení: 1) Kraťte zlomek na základní tvar. ,

[ , ]

2) Kraťte zlomek na základní tvar. ,

[ , ]

3) Kraťte zlomek na základní tvar.

,

[ , ]

4) Kraťte zlomek na základní tvar.

,

[ , ]


21

Krácení zlomků Varianta C Upravte zlomky tak, aby všechny tři měly společného jmenovatele: 1 3 11 , , 3 4 6 Výsledek řešení: Hledáme nejmenší společný násobek čísel ve jmenovateli 1 4 3 12 3 9 4 12 11 22 12 6 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Upravte zlomky tak, aby všechny tři měly společného jmenovatele: ,

,

[ ,

, ]

[ ,

, ]

[ ,

, ]

[ ,

, ]

2) Upravte zlomky tak, aby všechny tři měly společného jmenovatele: , ,



22

Aritmetika sekunda

Zlomky Porovnávání zlomků Porovnávání zlomků se stejnými jmenovateli: Ze dvou zlomků se stejnými jmenovateli je větší ten, který má většího čitatele. Například: 3 5 4 4 13 11 9 9 Menší zlomek je na číselné ose znázorněn vlevo od většího zlomku.

0

3 4

1

5 4

2

Porovnávání zlomků s různými jmenovateli: 1) převedeme zlomky na společného jmenovatele 2) porovnáme tyto rozšířené zlomky se stejným jmenovatelem (porovnáme čitatele zlomků) 3) stejná nerovnost platí mezi původními zlomky


Úloha 2: Porovnejte tyto dva zlomky: 20 12 ? 7 5 1) 100 , 35

84 5

2) 100 35

84 5

3) 20 7

12 5

Je-li čitatel zlomku větší než jeho jmenovatel, je zlomek větší než 1. 20 7 12 5

1 1

Je-li čitatel zlomku menší než jeho jmenovatel, je zlomek menší než 1. 7 20 5 12

1 1

Ze zlomků se stejnými čitateli je menší ten, který má většího jmenovatele. 20 7

20 10


23

24

Aritmetika sekunda

Porovnávání zlomků Varianta A Který ze zlomků je větší? 5 8 ? 3 3 56 56 ? 41 45 27 18 ? 18 12 Výsledek řešení: Pokud mají zlomky stejného jmenovatele, porovnáváme jejich čitatele, jestliže je čitatel větší, je výsledný zlomek větší. ?

5

8

Pokud mají zlomky stejného čitatele, pak porovnáváme jmenovatele, jestliže je jmenovatel větší, je výsledný zlomek menší. ?

41

45

Před porovnáváním zlomků je nejlepší zlomky zkrátit na základní tvar, velikost takových zlomků se nemění. ?


?


25

Příklady k procvičení: 1) Porovnejte zlomky: a)

?

b)

?

c)

? [a)

b)

c)

]

[a)

b)

c)

]

[a)

b)

c)

]

b)

c)

]

2) Porovnejte zlomky: a)

?

b)

?

c)

?


?

b)

?

c)

?

4) Porovnejte zlomky: a) ?

b)

?

c)

? [a)

Aritmetika sekunda

26

Porovnávání zlomků Varianta B Porovnejte zlomky: 5 11 ? 7 14 Výsledek řešení: Při porovnávání zlomků, které jsou v základním tvaru, s různým čitatelem i jmenovatelem, převádíme zlomky na společného jmenovatele a porovnáváme čitatele. ? 5 7

11 14

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Porovnejte zlomky: a)

?

b)

?

c)

? [a)

b)

c)

]


b) ?

c) ? [a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

b)

c)

]


b) ?

c) ?


?

b) ?

c) ? [a)

]


27

Porovnávání zlomků Varianta C Uspořádejte zlomky podle velikosti: 9 5 1 11 , , , 19 7 6 21 Výsledek řešení: 6, 7, 19, 21 9 19 5 7 1 6 11 21 1 6

378 798 570 798 133 798 418 798 9 11 19 21

798

5 7

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Uspořádejte zlomky podle velikosti: 7 5 1 3 , , , 8 6 12 4 [

[

]

2) Uspořádejte zlomky podle velikosti: 17 31 11 19 , , , 18 36 12 24

]

28

Aritmetika sekunda

3) Uspořádejte zlomky podle velikosti: 1 5 3 4 , , , 3 7 5 9 [

]

4) Uspořádejte zlomky podle velikosti: 5 16 15 7 , , , 2 9 7 12 [

]


29

Zlomky Zlomky, desetinná čísla a smíšená čísla DESETINNÉ ZLOMKY Jsou to zlomky se jmenovatelem 10, 100, 1 000, 10 000, … Například: 0,7

0,02

1,5

0,12

0,009 0,017

Jestliže chceme vyjádřit zlomek desetinným číslem, pak jej převedeme na desetinný zlomek a ten zapíšeme jako desetinné číslo. Nebo vydělíme čitatele jmenovatelem. Úloha 3: Převeď na desetinné číslo zlomek

.

12,5

1) 12,5

2)

SMÍŠENÁ ČÍSLA Jsou to čísla, která jsou zapsána pomocí přirozeného čísla a zlomku menšího než 1. 4 - čtyři a jedna třetina 6 - šest a dvě pětiny 21 - dvacet jedna a jedna osmina

Smíšená čísla jsou zkratky pro zápis: 1 3 2 6 5

4

21

1 3 2 5

4 6 1 8

21

1 8

30

Aritmetika sekunda

Zlomky, desetinná čísla a smíšená čísla Variant A Napište na místa písmen číslice: 0,4

10

100

1 000

10 000

100 000

400 1 000

4 000 10 000

40 000 100 000

Výsledek řešení: 0,4

4 10

40 100

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Napište na místa písmen číslice: 0,7

10

100

1 000

10 000

100 000

2) Napište na místa písmen číslice: 3,2

10

100

1 000

10 000

100 000

3) Převeďte desetinný zlomek na desetinné číslo: a)

b)

c)

d) [a) 0,3 b) 5,2 c) 0,07 d) 0,23]

4) Převeďte desetinný zlomek na desetinné číslo: a)

b)

c)

d) [a) 0,6 b) 4,1 c) 0,21 d) 2,13]


31

Zlomky, desetinná čísla a smíšená čísla Variant B Převeďte zlomek na desetinné číslo: 6 16 Výsledek řešení: Zlomek můžeme zkrátit na základní tvar a vydělit mezi sebou čitatele a jmenovatele. Nebo zlomek převedeme na desetinný zlomek, který převedeme na desetinné číslo. 6 16 3 6 16

3 8 8

0,375 3 8

37,5 100

0,375

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Převeďte zlomek na desetinné číslo: a)

[a) 2,25 b) 1,6]

b)

2) Převeďte zlomek na desetinné číslo: a)

[a) 0,625 b) 2,8]

b)

3) Převeďte zlomek na desetinné číslo: b)

a)

[a) 4,25 b) 7,6]

4) Převeďte zlomek na desetinné číslo: a)

b)

[a) 3,25 b) 5,5]

Aritmetika sekunda

32

Zlomky, desetinná čísla a smíšená čísla Variant C Vyjádřete smíšené číslo zlomkem. 4

2 7

Vyjádřete pomocí smíšeného čísla. 22 7 Výsledek řešení: 2 7

4

22 7

3

4

2 7

28 7

2 7

30 7

1 7

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vyjádřete smíšené číslo zlomkem. a) 6

b) 2

c) 1 [a)

b)

c)

]

[a)

b)

c)

]

b) 4

c) 4 ]

2) Vyjádřete smíšené číslo zlomkem. a) 5

b) 3

c) 2

3) Vyjádřete pomocí smíšeného čísla. a)

b)

c) [a) 2

4) Vyjádřete pomocí smíšeného čísla. a)

b)

c) [a) 13 b) 3

c) 5 ]


Počítáme se zlomky Sčítání zlomků Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli: Zlomky se stejnými jmenovateli sčítáme tak, že sečteme jejich čitatele a jmenovatele opíšeme. 4 7

2 7

4

2

6 7

7

+

=

Sčítání zlomků s různými jmenovateli: Zlomky s různými jmenovateli sčítáme takto: 1) převedeme je na společného jmenovatele 2) takto upravené zlomky se stejnými jmenovateli sečteme. 7 9

2 4

28 36

18 36

28

18 36

46 36

Pokud není součet zlomků v základním tvaru, pak zlomek krátíme!! 46 36

23 18

Při sčítání zlomků s různými jmenovateli, převádíme zlomky na společného jmenovatele, který může být jakýkoliv, nejlépe však, když je to NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK.

33


34

Sčítání zlomků Varianta A Sečti zlomky: a)

b)

c) 1

Výsledek řešení: Zlomky se stejným jmenovatelem sčítáme tak, že čitatele sečteme a jmenovatele opíšeme. a)

b)

c) 1

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sečti zlomky: a)

2

b)

c) [a)

b)

[a)

b)

3]

c)

2) Sečti zlomky: a)

b)

c)

2 1 c)

]

3) Sečti zlomky a výsledky převeď na smíšená čísla: a)

b)

c) [a) 3

3

b) 6 c) 6 ]

[a) 10

b) 14


b)

c) c) 4 ]


35

Sčítání zlomků Varianta B Sečti zlomky: a)

b)

c)

Výsledek řešení: Zlomky s různým jmenovatelem sčítáme tak, že zlomky převedeme na společného jmenovatele a čitatele sečteme. a)

b)

c)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sečti zlomky: a)

b)

c) b)

[a)

c)

]


b)

c) [a)

b)

c)

]


b)

c) [a) 2

b) 2

c)

]


b)

c) [a)

b) 4

c) 1 ]

36


Sčítání zlomků Varianta C Sečti zlomky: a) 3

2

b)

c)

Výsledek řešení: a) 3

2

3

b)

2

3

2

5

5

c)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sečti zlomky: a) 7

5

b) 6

1 [a) 12

b) 7 ]

2) Sečti zlomky: a) 4

2

b) 1

4 [a) 6

b) 5 ]


b) [a)

b)


b) [a)

1

b)

2 ]

]


37

Počítáme se zlomky Odčítání zlomků Odčítání zlomků se stejnými jmenovateli: Zlomky se stejnými jmenovateli odčítáme tak, že odečteme jejich čitatele a jmenovatele opíšeme. 4 7

2 7

4

2

2 7

7

=

Odčítání zlomků s různými jmenovateli: Zlomky s různými jmenovateli odčítáme takto: 1) převedeme je na společného jmenovatele 2) takto upravené zlomky se stejnými jmenovateli odečteme 7 9

2 4

28 36

18 36

28

18 36

10 36

Pokud není součet zlomků v základním tvaru, pak zlomek krátíme!! 10 36

5 18

Při odčítání zlomků s různými jmenovateli, převádíme zlomky na společného jmenovatele, který může být jakýkoliv, nejlépe však, když je to NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK.


38


Odčítání zlomků Varianta A Odečti zlomky: a)

b)

c) 1

Výsledek řešení: Zlomky se stejným jmenovatelem odečítáme tak, že čitatele odečteme a jmenovatele opíšeme. a)

b)

c) 1

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Odečti zlomky: a)

2

b)

c) [a) b)

c)

2) Odečti zlomky: a)

b)

c)

2 [a) b)

c) ]

3) Odečti zlomky a výsledky převeď na smíšená čísla: a)

b)

c) [a) 1

b) 1 c) 1]


b)

c) [a) 3 b) 7

c) 2 ]

1]


39

Odčítání zlomků Varianta B Odečti zlomky: a)

b)

c)

Výsledek řešení: Zlomky s různým jmenovatelem odčítáme tak, že zlomky převedeme na společného jmenovatele a čitatele odečteme. a)

b)

c)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Odečti zlomky: a)

b)

c) [a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]


b)

c) ]


b)

c) [a) 1

b) 3

c) 3 ]

[a) 1

b) 3

c)


b)

c) ]

40


Odčítání zlomků Varianta C Odečti zlomky: a) 5

2

b)

c)


2

a) 5

b)

2

3

3

3

c)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Odečti zlomky: a) 4

1

b) 6

1 [a) 3

b) 4 ]

[a) 1

b) 2 ]

2) Odečti zlomky: a) 4

2

b) 6

4


b) [a)

b)

[a)

b) ]


b)

]


Počítáme se zlomky Násobení zlomků NÁSOBENÍ zlomku přirozeným číslem: Zlomek vynásobíme přirozeným číslem tak, že tímto číslem vynásobíme čitatele a jmenovatele opíšeme. 4 ·5 7 2 ·3 9

4·5 7 2·3 9

20 7 6 9

NÁSOBENÍ zlomku zlomkem: Zlomek vynásobíme zlomkem tak, že vynásobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. 7 2 7 · 2 14 · 9 5 9 · 5 45 2 1 2·1 2 · 3 12 3 · 12 36 Při násobení zlomku smíme krátit. 4 15 · 3 8

4 · 15 3·8

1·5 1·2

5 2

Při násobení můžeme krátit zlomky už před násobením. 4 15 · 14 12

2 5 · 7 4

2·5 7·4

1·5 7·2

5 14

Násobit můžeme libovolné množství zlomků. 3 1 13 · · 5 2 11 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

3 · 1 · 13 5 · 2 · 11

39 110

41

42


Násobení zlomků Varianta A Určete: 18

3·

·

Výsledek řešení: 1 2 3 5

18

1 6 1 3· 4 2 15 · 5 8 2 15 · 5 8

1 18 · 18 9 2 2 3 1 3 1 · 5 6 30 10 3 4 30 3 40 4 1 3 3 · 1 4 4

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete: a) 91

b)

c) 45

d)

[a) 39 b) c) 18 d)

]

2) Určete: a) 120

b)

c) 49

d)

[a) 72 b) c) 21 d)

]


3) Vynásobte: a) 4 ·

b) 6 ·

c) ·

d) · [a) b)

c) d) ]

4) Vynásobte: a) 9 ·

b) 26 ·

c)

·

d)

· [a)

b) 4 c) d)

]

43


44

Násobení zlomků Varianta B Vypočítej: a) 1 ·

b)

·1

c) 2 ·

d)

·

Výsledek řešení: a) 1 · b)

·

·1

c) 2 · d)

· ·

·

2· ·

2· ·

1· ·

·

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a) 6 ·

b)

·2

c) 5 ·

d) · [a)

b) 2 c) d) ]

2) Vypočítej: a) 2

·

b)

·4

c) 7 ·

d)

· [a) b) c)

d) ]

3) Vypočítej: a) 2 · 3

b) 7 ·

c)

·

· 9

d) [a)

b) c)

d) 7]


b) 24 ·

c)

·

d)

1

· 4

[a) b) 1 c) d) 1]


45

Násobení zlomků Varianta C Anička měla 175 Kč. V prodejně potravin zaplatila z těchto peněz. V papírnictví utratila jednu třetinu ze zbytku. Kolik korun jí zůstalo? Výsledek řešení: 4 175 7

4 · 175 7

zbytek 175 1 75 3

100

1 · 75 3

zůstatek 75

25

100Kč 75Kč 25Kč 50Kč

Aničce zůstalo 50 korun. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Stroj byl v chodu po dobu

osmihodinové pracovní doby. Jak dlouho byl stroj v chodu? [7,2h. = 7h.12min.]

2) Pan Novák jede na služební cestu, když ujede z cesty 244 km dlouhé. Jak velký úsek služební cesty v km má pan Novák za sebou?

3) V mateřské škole je 45 dětí. Každé dítě vypije denně

[183 km]

mléka dopoledne a

odpoledne. Kolik mléka spotřebují denně v mateřské škole?

mléka

[14 l a 625 ml]

4) Vypočítejte, o kolik čtverečných centimetrů je větší obsah čtverce se stranou délky cm než obsah obdélníku s rozměry cm a cm.

[o 1

cm]

46


Počítáme se zlomky Dělení zlomků PŘEVRÁCENÝ ZLOMEK: Převrácený zlomek ke zlomku dostaneme tak, že zaměníme ve zlomku čitatele a jmenovatele. Zlomek:

,

,5

Převrácený zlomek: ,

,

DĚLENÍ zlomku: Zlomek dělíme přirozeným číslem tak, že jej násobíme převráceným číslem. Zlomek dělíme zlomkem tak, že jej násobíme převráceným zlomkem. 8 8 4 8 1 8·1 2·1 4 · 5 5 1 5 4 5·4 5·1 8 2 8 5 8·5 4·1 4 · 15 5 15 2 15 · 2 3 · 1 3

2 5

Nulou dělit nelze!! Zlomkem, který má čitatele 0, dělit nemůžeme.

8 15


0 5


Dělení zlomků Varianta A Dělte: a) 1

b) 3

3

c)

d)

6

d)

4

Výsledek řešení: a) 1 c)

1· 3

b) 3

·

d)

3· 6

·

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Dělte: a) 2

b) 5

c)

2

[a)

b)

c)

d) ]

[a) 18 b)

c)

d) ]

[a)

b)

c)

d) ]

[a)

b)

c)

d)

2) Dělte: a) 4

b) 7

c)

5

d)

7

3) Dělte: a) 5

b) 6

c)

4

d)

8

4) Dělte: a) 12

b) 9

c)

3

d)

4 ]

47


48

Dělení zlomků Varianta B Dělte: c) 2

b)

a)

d)

0,24

Výsledek řešení: ·

a) c) 2

·

b) ·

8

d)

6

0,24

·

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Dělte: a)

b)

c)

d) [a)

b)

c)

d) ]

[a)

b)

c) 4

d) ]

[a)

b) 4

c)

d)

]

[a)

b)

c) 8

d)

]

2) Dělte: a)

b)

c)

d)

3) Dělte: a) 0,24

b) 3

c) 2,64

d) 1

4) Dělte: a)

5

b) 1

c) 1,2

d) 5


49

Dělení zlomků Varianta C Vypočítejte: 4

5

4

5

Výsledek řešení: 4

5

4

· 5

·

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte: 2

1

[1]

2) Vypočítejte: 4

2

[

3) Vypočítejte: 1

[ ]

4) Vypočítejte: [ ]

]

50


Celá čísla Celá čísla a jejich znázornění Celá čísla jsou čísla …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … Znázorňujeme je na číselné ose.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Záporná celá čísla

2

3

4

5

Kladná celá čísla

Celá čísla Číselná osa je rozdělena na Kladná celá čísla, Záporná celá čísla a číslo nula 0. Kladná celá čísla jsou PŘIROZENÁ čísla. Nula není ani kladné celé číslo, ani záporné celé číslo. Nula je celé číslo. Záporná celá čísla, jsou čísla, u kterých nesmíme NIKDY vynechat znaménko minus. , - 6, (minus šest) U kladných celých čísel můžeme přidat znaménko plus, většinou ho nepíšeme.

5=-5

5=+5


51

Celá čísla a jejich znázornění Varianta A Narýsuj vodorovnou číselnou osu, vyznač na ni obraz čísla 0, jednotku zvol 1 cm. Na číselné ose zobraz: a) malými kolečky čísla pět, minus tři, dva, minus jedna b) malými čtverečky čísla 3, -2, 4, -5 Výsledek řešení:

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5


Příklady k procvičení: 1) Narýsuj vodorovnou číselnou osu, vyznač na ni obraz čísla 0, jednotku zvol 1 cm. Na číselné ose zobraz: a) malými kolečky čísla šest, minus čtyři, jedna, minus dva b) malými čtverečky čísla 4, -5, 8, -3 2) Narýsuj vodorovnou číselnou osu, vyznač na ni obraz čísla 0, jednotku zvol 1 cm. Na číselné ose zobraz: a) malými kolečky čísla sedm, minus tři, dva, minus šest b) malými čtverečky čísla 5, -2, 1, -4

52


3) Narýsuj vodorovnou číselnou osu, vyznač na ni obraz čísla 0, jednotku zvol 0,5 cm. Na číselné ose zobraz: a) malými kolečky čísla šestnáct, minus čtrnáct, jedenáct, minus devět b) malými čtverečky čísla 12, -15, 19, -13 4) Narýsuj vodorovnou číselnou osu, vyznač na ni obraz čísla 0, jednotku zvol 0,5 cm. Na číselné ose zobraz: a) malými kolečky čísla třináct, minus osm, deset, minus pět b) malými čtverečky čísla 14, -17, 7, -12


53

Celá čísla a jejich znázornění Varianta B Vypište všechna čísla, která jsou: a) kladná celá čísla b) záporná celá čísla 3

65

- 43

83

- 239

54

90

- 108

387

- 542

23

59

- 2 900

1

Výsledek řešení: a) 3, 65, 83, 54, 90, 387, 23, 59,1 b) - 43, - 239, -108, - 542, - 2 900

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypište všechna čísla, která jsou: a) kladná celá čísla b) záporná celá čísla 13

24

- 67

-8

297

- 98

- 891

[a) 13, 24, 297, 397, 5 023, 91

- 88

397

5 023

- 44

91

- 900

0

b) – 67, -8, - 98, - 891, - 88, - 44, - 900]

2) Vypište všechna čísla, která jsou: a) kladná celá čísla b) záporná celá čísla 11

- 22

- 84

- 18

27

- 198

- 391

[a) 11, 27, 1 397, 1 004, 9, 290, 239

0

1 397

- 23

1 004

9

290

b) – 22, - 84, - 18, - 198, - 291, - 23]

239

54


3) Vypište všechna čísla, která nejsou: a) kladná celá čísla b) záporná celá čísla 103

- 232

- 584

918

257

- 19

- 291

[a) - 232, - 584, - 19, - 291, 0, - 397, - 20

0

- 397

253

184

39

- 20

b) 103, 918, 257, 0, 253, 184, 39, 2]

4) Vypište všechna čísla, která nejsou: a) kladná celá čísla b) záporná celá čísla 122

262

51

- 75

- 27

- 10

0

150

97

[a) - 75, - 27, - 10, 0, - 16, - 29, - 120, - 3

- 16

- 29

48

- 120

-3

b) 122, 262, 51, 0, 150, 97, 48]

2


55

Celá čísla a jejich znázornění Varianta C Najděte a znázorněte na číselné ose, nejbližší sousedy čísla – 6. Výsledek řešení:

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Nejbližšími sousedy čísla -6 je -7 a -5.


Příklady k procvičení: 1)Najděte a znázorněte na číselné ose, nejbližší sousedy čísla – 21. [-22 a -20] 2) Najděte a znázorněte na číselné ose, nejbližší sousedy čísla – 32. [-33 a -31] 3) Najděte a znázorněte na číselné ose číslo, které leží přesně mezi čísly – 53 a – 49. [-51] 4) Najděte a znázorněte na číselné ose číslo, které leží přesně mezi čísly – 37 a – 31. [-34]


56

Celá čísla Absolutní hodnota celého čísla Na číselné ose jsou čísla zobrazena jako body. Vzdálenost obrazu čísla 1 od obrazu čísla 0 je jedna délková jednotka (značíme ji d. j.) ABSOLUTNÍ HODNOTA čísla Udává vzdálenost obrazu tohoto čísla od obrazu čísla 0 na číselné ose. Absolutní hodnota čísla 4 se rovná 4, zapíšeme |4|

4

Absolutní hodnota čísla -2 se rovná 2, zapíšeme | 2| Absolutní hodnota čísla 0 se rovná 0, zapíšeme |0| |4|

2 0

4

4 d. j. 1 d. j. -5

-4

-3

-2

0

-1 | 2|

1

2

3

4

5

2

2 d. j. Absolutní hodnota každého čísla je kladné číslo nebo 0. OPAČNÉ ČÍSLO k číslu různému od nuly je číslo, které se mu nerovná, ale má stejnou absolutní hodnotu. Opačné číslo k 7 je -7

|7|

Opačné číslo k číslu -3 je 3

| 3|

| 7|

Opačné číslo k číslu 0 je 0 Čísla 7 a -7, -3 a 3, … jsou čísla navzájem opačná. Opačné číslo k zápornému číslu je kladné číslo. Opačné číslo ke kladnému číslu je záporné číslo. Opačné číslo k nule je nula.

|3|

7

7 3

3


57

Absolutní hodnota celého čísla Varianta A Vypočítej: a) 8

|3|

b) 8

|3|

e) 8

| 3|

f) | 8|

| 3|

c) 8 | 3|

d) |8|

g) | 8|

| 3|

|3|

3

|3|

h) | 8|

3


|3|

c) 8

| 3|

8

3

11

d) |8|

e) 8

| 3|

8

3

5

f) | 8|

| 3|

h) | 8|

3

g) | 8|

8

3

| 3|

11

8

3

b) 8

5

8

|3|

8

5 3

8 8

5 3

3

11 5

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a) 4

| 13|

| 13|

b) 4

c) | 34|

| 13| [

d) | 34| 17,

9,

21,

|13| 47]


| 9|

b)

5

|13|

c) |23|

| 11| [

4,

d) | 23|

| 11|

18,

34]

12,

3) Zapiš opačné číslo k číslu: a) 3

b) 33

c) 731

[a) 3, b) – 33, c) 731]

3) Zapiš opačné číslo k číslu: a) 6

b)

67

c) 0

[a) – 6, b) 67, c) není]

58


Absolutní hodnota celého čísla Varianta B Vypočítej: a) 9 · |3|

b) 9 · | 3|

c) 9

e) 9 · | 3|

f) | 9|

g) | 9| · | 3|

| 3|

| 3|

d) |9|

|3|

h) | 9|

3

Výsledek řešení: a) 9 · |3| c) 9

9·3

| 3|

e) 9 · | 3|

9

3

9·3

g) | 9| · | 3|

b) 9 · | 3|

27

d) |9|

3 27

9·3

27

9·3

|3|

9

f) | 9|

| 3|

h) | 9|

3

27 3

9 9

3 3

3

3 3


Příklady k procvičení: 1) Vypočti: a) | 81|

|27|

b) |81|

| 27|

c) |81|

|27|

d)

|81|

|27|

[a) 3, b) 3, c) 3, d) – 3] 2) Vypočti: a) |64|

| 16|

b| 64|

| 16|)

c) |64|

| 16|

d) |64|

|16|

[a) 4, b) 4, c) – 4, d) 4] 3) Vypočti: a) |64| · | 4|

b| 64| · | 4|)

c) |64| · | 4|

d) |64| · |4|

[a) 256, b) 256, c) – 256, d) 256] 4) Vypočti: a) | 81| · |2|

b) |81| · | 2|

c) |81| · |2|

d)

|81| · |2|

[a) 162, b) 162, c) 162, d) – 162]


59

Absolutní hodnota celého čísla Varianta C Zapiš všechna celá čísla, jejichž absolutní hodnota je a) menší než 3

b) menší nebo rovna 3

Výsledek řešení: a) | |

b) | |

3

3

2, 1, 0, 1, 2

3, 2, 1, 0, 1, 2, 3


Příklady k procvičení: 1) Zapiš všechna celá čísla, jejichž absolutní hodnota je a) | |

b) | |

10

2

[a) – 10, 10, b) – 2, -1, 0, 1, 2]

2) Zapiš všechna celá čísla, jejichž absolutní hodnota je a) | |

b) | |

5

4

[a) - 4, - 3, – 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 b) – 4, 4]

3) Zapiš všechna celá čísla x, pro která platí: a) | |

2

5

b) 4

| |

3

[a) - 3, 3 b) - 1, 1]

4) Zapiš všechna celá čísla x, pro která platí: a) 3

| |

5

b) | |

2

6

[a) - 2, 2 b) - 8, 8]


60

Celá čísla Porovnávání celých čísel Na číselné ose jsou čísla uspořádána podle velikosti. Číslo VLEVO je vždy menší než číslo VPRAVO.

-5

-4

5

2

-3

-2

-1 2

0

0

1

2 1

3 3

4 3

5 5

Každé kladné číslo je větší než nula. Každé záporné číslo je menší než nula. Každé kladné číslo je větší než kterékoli záporné číslo.

POROVNÁVÁNÍ záporných celých čísel podle velikosti. Větší je to záporné číslo, které má menší absolutní hodnotu. Větší je to záporné číslo, jehož obraz je na číselné ose blíže k nule. | 3|

| 7|

3

7



61

Porovnávání celých čísel Varianta A Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu. a) 16 5

b) 6

3

c) 23 2

d) | 23 | 2

6

3

c) 23

d) | 23 |


5

b)

2

2


Příklady k procvičení: 1) Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu. a) 12

50

b) 26

23

c) 3

19

d) |20 | |22| [a) , b)

, c) , d)

]

, c) , d)

]

, c) , d)

]

, c) , d)

]

2) Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu. a) 24 40

b) 8 1

c) 7

9

d) | 12 | |10| [a) , b)

3) Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu. a) 14

89

b) 87 91

c) 76 | 90 |

d) 61 0 [a) , b)

4) Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu. a) 4 9

b) 102 98

c) 37 | 31 |

d) 0 45 [a) , b)

62


Porovnávání celých čísel Varianta B Vypiš ze seznamu čísel, všechna čísla, která jsou: -3

-8

5

2

0

-6

8

-5

-2

3

a) větší než 4 b) menší nebo rovna – 2 c) větší než – 2 a zároveň menší než 5 d) menší než – 3 Výsledek řešení: 5, 8

a) větší než 4

8, 6, 5, 3, 2

b) menší nebo rovna – 2

0, 3

c) větší než – 2 a zároveň menší než 5

8, 6

d) menší než – 5 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Příklady k procvičení: 1) Vypiš ze seznamu čísel, všechna čísla, která jsou: 2

-7

5

1

0

-1

7

-5

-2

3

a) větší než 5

[7]


[ -7, -5, - 2]


[ - 1, 0, 1, 2, 3]

d) větší nebo rovno 5

[ 5, 7]


63

2) Vypiš ze seznamu čísel, všechna čísla, která jsou: -3

-6

5

1

0

-1

6

-5

-2

3

a) větší než 3

[5, 6]


[ - 6, - 5,- 2]


[0, 1, 2]


[6]

3) Vypiš ze seznamu čísel, všechna čísla, která jsou: 23

- 16

35

14

10

- 18

16

- 35

- 23

32

a) větší než 23

[32, 35]

b) menší nebo rovna 16

[ - 35, - 23, - 18, - 16, 10, 14, 16]


[10, 14, 16]


[16, 23, 32, 35]

4) Vypiš ze seznamu čísel, všechna čísla, která jsou: 21

- 14

31

11

8

- 17

14

a) větší než 14 b) menší nebo rovna 11

- 31

- 21

32

[21, 31, 32] [ - 31, - 21, - 17, - 14, 8, 11]


[8, 11, 14, 21]


[31, 32]

64


Porovnávání celých čísel Varianta C Zapiš všechna celá čísla x, pro která platí: 5

2

Využijte číselnou osu. Výsledek řešení:

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapiš všechna celá čísla x, pro která platí: 4

6

Využijte číselnou osu.

[- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

2) Zapiš všechna celá čísla x, pro která platí: 3

4


[- 2, - 1, 0, 1, 2, 3]


2


[- 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, -2]


5


[-9, - 8, - 7, - 6]


Počítáme s celými čísly Sčítání celých čísel Součet dvou kladných čísel je vždy kladné číslo. Součet dvou záporných čísel je vždy záporné číslo. Součet kladného a záporného čísla může být kladné číslo, záporné číslo i nula. SČÍTÁNÍ celých čísel se stejnými znaménky: Obě čísla jsou kladná, nebo obě čísla jsou záporná. Obě čísla jsou kladná: 7

4

11

Obě čísla jsou záporná: 7

4

| 7|

| 4|

11 7

4

11

Sečteme jejich absolutní hodnoty a připíšeme znaménko minus. SČÍTÁNÍ celého čísla a nuly Aspoň jeden ze sčítanců je nula. 7

0

7

Součet se rovná druhému sčítanci. 0

0

0

65


66

SČÍTÁNÍ celých čísel s různými znaménky. Jedno číslo je kladné a druhé je záporné. 7

4

7

4

Zjistíme, které z čísel má větší absolutní hodnotu: 7

a) | 7|

4 |4|

7,

4

Je to záporné číslo 7, součet bude záporné číslo. b) 7

4

|7|

| 4|

7,

4

Je to kladné číslo 7, součet bude kladné číslo. Odečteme od větší absolutní hodnoty menší absolutní hodnotu: 7

4

3

To je absolutní hodnota součtu. a) Součet je záporné číslo, připíšeme znaménko minus: 7

4

3

b) Součet je kladné číslo: 7

4

3

Když je jedno číslo kladné, druhé záporné a jejich absolutní hodnoty se rovnají, odečteme jejich absolutní hodnoty a výsledek je nula. |7| 7 7

| 7| 7

0 7

0


Pro libovolná celá čísla a, b platí:

6

9

9

6

Když změníme pořadí sčítanců, součet se nezmění. Sčítání celých čísel je komutativní.

Pro libovolná celá čísla a, b, c platí:

6

9

2

6

9

2

Sčítance můžeme sdružovat do skupin, součet se nezmění. Sčítání celých čísel je asociativní.


67


68

Sčítání celých čísel Varianta A Vypočítej: a) 5

9

b)

3

6

c) 23

68

d)235

45


9

c) 23

14 68

3

6

9

d) 235

45

190

b) 45


Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a)

13

26

103

b)

29 [a) – 39, b) – 74]

2) Vypočítej: a)

76

51

b) 32

129 [a) – 127, b) – 97]


7

15

b)

34

3

19 [a) 46, b) – 50]


8

12

b)

47

9

21 [a) 67, b) – 59]


69

Sčítání celých čísel Varianta B Urči, který ze znaků +, - patří na místo otazníku. a) 12

9

?3

b)

24

16

? 40

b)

24

16

40


9

3

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Urči, který ze znaků +, - patří na místo otazníku. a)

4

76

? 80

b)

19

29

? 10 [a) - b) +]

2) Urči, který ze znaků +, - patří na místo otazníku. a)

21

43

? 22

b)

8

83

? 91 [a) + b) -]


21

43

74

? 52

b)

18

3

45

? 24 [a) - b) +]

4) Urči, který ze znaků +, - patří na místo otazníku. a) 73

32

14

? 27

b)

48

75

7

? 20 [a) + b) +]


70

Sčítání celých čísel Varianta C Urči číslo x, pro které platí: a) 7

3

b)

4

2


b)

7 7

3 4

3

2

4

4

2

4

2

2


Příklady k procvičení: 1) Urči číslo x, pro které platí: a) 6

16

b)

9

4 [a) 10 b) 5]

2) Urči číslo x, pro které platí: a) 5

18

b)

7

3 [a) 13 b) 4]

3) Urči číslo x, pro které platí: a)

13

8

b)

12

4 [a) 21 b) 8]

4) Urči číslo x, pro které platí: a)

11

7

b)

14

2 [a) 18 b) 12]


Počítáme s celými čísly Odčítání celých čísel Odečíst číslo znamená přičíst číslo k němu opačné. 4

7 4

4

4 7

7 4

7 4

7 7

4 7

4 4

3 7

11

7

4

7

7

4

11

3

Je-li záporné číslo na začátku, nemusí být v závorce. 4

7

41

4 17

7 41

17

Znaménková pravidla: Pro všechna celá čísla a, b platí: 5

8

1

7 2


5 7 3

8 1 2

3

71


72

Odčítání celých čísel Varianta A Vypočítej: a) 4

9

b)

5

2

c) 23

18

d) 25

45


9

c) 23

5

5

b)

18

41

d) 25

2

5

45

25

2 45

3 70



15

16

119

b)

29 [a) 1, b) – 148]

2) Vypočítej: a)

36

31

b) 12

109 [a) – 5, b) 121]


7

25

b)

44

8

29 [a) 70, b) – 23]


5

12

b)

37

9

51 [a) 84, b) 5]


73

Odčítání celých čísel Varianta B Urči, který ze znaků +, - patří na místo otazníku. | 5|

a) 12

?7

b)

14

16

?2

Výsledek řešení: | 5|

a) 12

12

5

7 b)

14

16

14

16

2

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Urči, který ze znaků +, - patří na místo otazníku. a)

3

36

? 33

b)

9

23

? 32 [a) + b) -]


5

28

? 33

b)

18

13

?5 [a) - b) -]


11

43

24

? 30

b) |23

45|

? 22 [a) - b) +]

4) Urči, který ze znaků +, - patří na místo otazníku. a) 43

22

7

? 72

b) |13

25|

? 12 [a) + b) +]


74

Odčítání celých čísel Varianta C Urči číslo x, pro které platí: a) 4

3

b)

10

2


b)

4 4

1

3

10

2

3

10

2

1

12


Příklady k procvičení: 1) Urči číslo x, pro které platí: a) 6

14

b)

5

9 [a) - 8 b) 4]


11

b)

3

6 [a) - 6 b) - 9]


8

b)

10

4 [a) 5 b) - 14]


7

b)

12

2 [a) 4 b) - 14]


75

Počítáme s celými čísly Násobení celých čísel 4·7

4·

7

4 ·7

4 ·

7

Vynásobíme absolutní hodnoty obou čísel: 4·7

28

Jsou-li obě čísla kladná nebo obě záporná, je tento součin výsledkem. 4·7

28

4 ·

7

28

Součin je kladné číslo. Je-li jedno číslo kladné a druhé záporné, připíšeme k součinu absolutních hodnot znaménko minus. 4·

7

28

4·

7

28

Součin je záporné číslo. Je-li aspoň jedno z obou čísel nula, je součin také nula: 0·7

0

0·

7

0

0·0

0

Součin dvou kladných čísel je kladné číslo.

·

Součin dvou záporných čísel je kladné číslo.

·

Součin kladného a záporného čísla je záporné číslo.

·

Násobíš-li celé číslo číslem – 1, získáš číslo k němu opačné. 9·

1

9

9 ·

1

9

·


76

Pro všechna celá čísla a, b platí: ·

·

3 ·

7

7 ·

3

Když změníme pořadí činitelů, součin se nezmění. Násobení celých čísel je komutativní. Pro všechna celá čísla a, b, c platí: ·

·

·

·

3 ·2 ·

7

3 · 2·

7

Činitele můžeme libovolně sdružovat, součin se nezmění. Násobení celých čísel je asociativní. Pro všechna celá čísla a, b, c platí: ·

·

·

3 ·2

3 ·

7

3 · 2

Stejné činitele můžeme vytknout před závorku, výsledek se nezmění. Násobení je distributivní vzhledem k sčítání. Je-li v součinu lichý počet záporných činitelů, je tento součin záporné číslo. Je-li v součinu sudý počet záporných činitelů, je tento součin kladné číslo.


7


77

Násobení celých čísel Varianta A Vypočítej: a) 7 · 6

b)

4 ·

8

b)

4 ·

8

b)

3 ·

11

c) 5 ·

9

c) 5 ·

9

c) 7 ·

15

Výsledek řešení: a) 7 · 6

42

32

45


Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a) 7 · 8

[a) 56 b) 33 c) - 105] 2) Vypočítej: a) 5 · 11

b)

6 ·

9

c) 4 ·

21 [a) 55 b) 54 c) - 84]

3) Vypočítej: a) 2 · 11 ·

6

b)

5 ·2·

9

c)

4 ·

8 ·

15

[a) - 132 b) 90 c) - 480] 4) Vypočítej: a) 3 · 7 ·

5

b)

4 ·9·

5

c)

4 ·

5 ·

11

[a) - 105 b) 180 c) - 220]

78


Násobení celých čísel Varianta B Vypočítej: a) 3 · | 6|

b) | 2| ·

4

c) | 3| · | 9|

14

c) | 13| · | 5|

Výsledek řešení: a) 3 · | 6| b) | 2| ·

3·6 4

c) | 3| · | 9|

18

2· 3·9

4

8

27

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a) 4 · | 9|

b) | 5| ·

[a) 36 b) - 70 c) 65] 2) Vypočítej: a) | 8| · 5

b) | 20| ·

c) | 4| · | 15|

6

[a) 40 b) - 120 c) 60] 3) Vypočítej: a) |2| · | 7| ·

6

b)

15 · | 2| ·

4

c)

2 · | 8| ·

20

[a) - 84 b) 120 c) 320] 4) Vypočítej: a)

4 · | 5| ·

6

b)

12 ·

4 · |5|

c) 3 · | 7| ·

5

[a) 120 b) 240 c) – 105


79

Násobení celých čísel Varianta C Vypočítej co nejvýhodněji: a) 12 ·

11

8·

11

11

b) 13 ·

3

13 · 5

Výsledek řešení: a) 12 ·

11

8·

b) 13 ·

3

13 · 5

13 ·

11 · 12 3

5

8

11 · 20

13 · 2

26

b) 32 ·

6

220


Příklady k procvičení: 1) Vypočítej co nejvýhodněji: a) 14 ·

21

6·

21

2 · 32 [a) - 420 b) - 128]

2) Vypočítej co nejvýhodněji: a)

17 ·

5

17 · 7

11 ·

b)

15

15 ·

4 [a) - 34 b) 225]


5

7 ·2

b) 12

8 ·

5

2·

4 [a) - 8 b) - 12]


7 ·

5

3·7

b) 3 · 11

15

5·

2 [a) - 36 b) - 22]


80

Počítáme s celými čísly Dělení celých čísel 14

7

14

7

14

7

14

7

Vydělíme absolutní hodnoty obou čísel: 14

7

2

Jsou-li obě čísla kladná nebo obě záporná, je tento podíl výsledkem. 14

7

2

14

7

2

Podíl je kladné číslo. Je-li jedno číslo kladné a druhé záporné, připíšeme k podílu absolutních hodnot znaménko minus. 14

7

2

14

7

Podíl je záporné číslo.

Podíl dvou kladných čísel je kladné číslo. Podíl dvou záporných čísel je kladné číslo. Podíl kladného a záporného čísla je záporné číslo.


2


Dělení celých čísel Varianta A Vypočítej: a) 18

6

b)

16

8

b)

16

8

b)

64

8

c) 27

9

c) 27

9

c) 72

9


6

3

2

3


Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a) 15

3

[a) 5 b) 8 c) - 8] 2) Vypočítej: a) 45

5

b)

63

7

c)

24

4 [a) - 9 b) - 9 c) 6]


11 ·

6

b)

5 · 27

3 [a) - 12 b) 45]


9 ·

5

b) 7 · 56

8 [a) - 30 b) - 49]

81


82

Dělení celých čísel Varianta B Vypočítej: a) | 6|

3

4

b)

| 2|

c) | 9|

| 3|

Výsledek řešení: a) | 6|

3

6

4

| 2|

c) | 9|

| 3|

b)

3

2 4

9

2

3

2

3

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a) | 16|

4

b)

24

| 6|

c) | 81|

| 3| [a) 4 b) - 4 c) 27]

2) Vypočítej: a) | 36|

3

b)

64

| 16|

c) | 75|

| 15| [a) 12 b) - 4 c) 5]


11 · 8

6

b) 15

5

36

6

[a) 8 b) 16] 4) Vypočítej: a) 44

4

18

6

b) 25

5 · 42

6

[a) 8 b) - 140]


83

Dělení celých čísel Varianta C Vypočítej: 77

11

72

6

2 · 25

7

72

6

2 · 25

7


11

7

12

64

19

64

45


Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: 81

9

12 · 5

2 · 22

7

[39]

3· 3

7

[21]

2) Vypočítej: 64

4

35

5

3) Vypočítej: 8·9

16

4

2 · 21

7

[0]

4) Vypočítej: 18

9

60

5 ·

2 · 24

8

[- 84]


84

Racionální čísla Záporná desetinná čísla a záporné zlomky Desetinná čísla a zlomky zobrazujeme na číselné ose.

záporná desetinná čísla 0,2 -2

- 1,468

- 1 - 0,65

0

2,352

0,85 1

2

kladná desetinná čísla desetinná čísla

Opačná desetinná čísla 0,6 … - 0,6

2,765 … - 2,765

987,54 … - 987, 54


85

Zlomky znázorňujeme na číselné ose.

záporné zlomky

-2

7 5

-1

7 9

1 5

6 7

0

22 9 2

1 kladné zlomky

zlomky Zlomky 1 3

a 1 3

jsou zápisy navzájem opačných čísel. 1 3

Smíšená čísla: 225 100 3 3 5

2,25 3

3 5

9 4

2

1 4

18 5

RACIONÁLNÍ ČÍSLA Jsou čísla, která můžeme zapsat ve tvaru zlomku, jehož čitatel i jmenovatel jsou celá čísla (a jmenovatel je různý od nuly).

záporná racionální čísla - 2,47 -2

1 5

- 1,73

7 5

-1

7 9

0

22 9

- 1,372 1

2

kladná racionální čísla racionálna čísla

Některé zlomky nejde převést na desetinné číslo. 1 1 3 , , 3 7 11

6 7

- 2,743

86


Záporná desetinná čísla a záporné zlomky Varianta A Vypište, která z desetinných čísel: 4,78; 2,5; 3,81; 25,1; 0; 7,1; 0,45 a) nejsou záporná b) nejsou kladná c) nejsou ani záporná, ani kladná Výsledek řešení: a) nejsou záporná

4,78; 25,1; 0; 7,1;

b) nejsou kladná

2,5; 3,81; 0; 0,45

c) nejsou ani záporná, ani kladná

0


Příklady k procvičení: 1) Vypište, která z desetinných čísel: 2,54; 8,5; 1,82; 2,001; 5,015; 0,5 a) nejsou záporná

[ 8,5; 2,001; 5,015]

b) nejsou kladná

[ 2,54; 1,82; 0,5]

a znázorněte je na číselné ose. 2) Vypište, která z desetinných čísel: 0,48; 1,35; 1,25; 2,101; 4,17; 0,15 a) nejsou záporná

[1,35; 4,17; 0,15]

b) nejsou kladná

[ 0,48; 1,25; 2,101]

a znázorněte je na číselné ose.


3) Vypište, které ze zlomků: , ,

, ,

, , ,

a) nejsou záporné

[ , , , , , ]

b) nejsou kladné

[

, ,

,

]

a znázorněte je na číselné ose.

4) Vypište, které ze zlomků:

, , , , ,

,

,

a) nejsou záporné

[ , , , , ]

b) nejsou kladné

[

,

,

,

, ]

87


88

Záporná desetinná čísla a záporné zlomky Varianta B Převeď zlomky na desetinné číslo: a)

b)

c)


a)

10

0,7

5

50

b) 3

c)

8

0,1

0,375

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Převeď zlomky na desetinné číslo: b)

a)

c)

[a) 0,15 b) 0,25 c) 0,625]

2) Převeď zlomky na desetinné číslo: a)

b)

c)

[a)

0,12 b) 0,2 c) 0,28]


b)

c)

[a) 0,000 2 b) 10,8 c) 2,25]


b)

c)

[a) 0,212 b) 5,25 c) 4,75]


89

Záporná desetinná čísla a záporné zlomky Varianta C Vyjádřete desetinné číslo jako zlomek: a) 0,26

b) 2,55

c) 0,45

Výsledek řešení: a) 0,26 b) 2,55 c) 0,45


Příklady k procvičení: 1) Vyjádřete desetinné číslo jako zlomek: a) 0,15

b) 4,52

c) 0,05

b)

[a)

c)

]

2) Vyjádřete desetinné číslo jako zlomek: a) 1,35

b) 0,62

c) 0,003

[a)

b)

c)

]


b) 0,125

c) 0,12

[a)

b)

c)

]


b) 0,315

c) 0,24

[a)

b)

c)

]

90


Racionální čísla Porovnávání racionálních čísel Na číselné ose jsou čísla uspořádána podle velikosti. Číslo VLEVO je vždy menší než číslo VPRAVO. Každé kladné číslo je větší než nula. Každé záporné číslo je menší než nula. Každé kladné číslo je větší než kterékoli záporné číslo. Větší je to záporné číslo, které má menší absolutní hodnotu. 16

12

| 16|

16

| 12|

12

| 16|

| 12|



91

Porovnávání racionálních čísel Varianta A Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu. a) 16,36 15,89

b) 6,023

6,1

b) 6,023

6,1

c)

d)

1

Výsledek řešení: a) 16,36 c)

d)

15,89

1

1


Příklady k procvičení: 1) Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu. a) 4,06 5,29

b) 2,13

2,51

c)

d)

2

[a) , b)

, c) , d)

]

, c) , d)

]

, c) , d)

]

, c) , d)

]

2) Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu. a) 2,89

2,56

b) 6,047 6,47

c)

d)

3

[a) , b) 3) Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu. a) 5,74

5,64

b) 0,071 0,047

c)

d)

2

[a) , b) 4) Porovnávejte čísla podle velikosti, představ si číselnou osu. a) 1,93 1,95

b) 0,501

0,504

c)

d)

2 [a) , b)

92


Porovnávání racionálních čísel Varianta B Vypiš ze seznamu čísel, všechna čísla, která jsou: - 1,3

- 2,8

5,02

5 8

0

- 6,4

8,06

1 5

2 7

3,5

a) větší než 4 b) menší nebo rovna – 2,8 c) větší než – 2,8 a zároveň menší než 5,02 d) menší než – 3 Výsledek řešení: 5,02; 8,06

a) větší než 4 b) menší nebo rovna – 2,8

6,4; 2,8


1,3;

d) menší než – 5

6,4

;

, 0, ; 3,5


Příklady k procvičení: 1) Vypiš ze seznamu čísel, všechna čísla, která jsou: - 4,13 - 1,74

2,02

7 8

0

- 5,4

a) větší než 4

6,06

15 7 4 2

4,8

4,8; 6,06

b) menší nebo rovna – 3,5

5,4; 4,13;


1,74;

; 0; 2,02;


2) Vypiš ze seznamu čísel, všechna čísla, která jsou: 4,36

- 2,4

3,02

15 8

0

- 5,2

6,6

19 5 4 2

3,8

4,36; 6,6

a) větší než 4 5,2;


; 2,4

; 0; ; 3,02; 3,8



- 3,4

1,07

19 8

0

- 4,2

6,61

11 9 4 2

3,08

a) větší než 4

; 6,61


4,2; 3,4 ;

c) větší než – 2,4 a zároveň menší než 3

; 0; 1,07


- 3,14

1,7

9 8

0

- 4,2

a) větší než 4 b) menší nebo rovna – 3,14 c) větší než – 2 a zároveň menší než 3

7,1

17 11 0,08 4 2

; 7,1 ; 4,2; 3,14 ; 0; 0,08; 107; 2,6

93


94

Porovnávání racionálních čísel Varianta C Zapište všechna celá čísla, která můžete dosadit za x, aby platilo: 5 4

24

13 8

Výsledek řešení: 5 13 4 24 8 30 39 24 24 24 30

39 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zapište všechna celá čísla, která můžete dosadit za x, aby platilo: 2 3

12

7 6 [9, 10, 11, 12, 13]

2) Zapište všechna celá čísla, která můžete dosadit za x, aby platilo: 4 3

18

11 6 [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32]


7

10 14 [4, 5]


12

21 24 [9, 10]


Racionální čísla Sčítání a odčítání racionálních čísel Desetinná čísla sčítáme a odčítáme podle stejných pravidel jako celá čísla. Úprava znaménka u zlomku protože

5

7

5

7

SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ zlomků:

Převedeme na zlomky se společným jmenovatelem:

U záporných zlomků přepíšeme znaménko minus k čitateli:

Jmenovatele opíšeme a čitatele sečteme, nebo odečteme:

Pro libovolná racionální čísla a, b platí:

3,67 Když změníme pořadí sčítanců, součet se nezmění. Sčítání racionálních čísel je komutativní.

0,45

0,45

3,67

95

96


Pro libovolná racionální čísla a, b, c platí:

3,67

0,45

2,3

3,67

0,45

2,3

Sčítance můžeme sdružovat do skupin, součet se nezmění. Sčítání racionálních čísel je asociativní.



Sčítání a odčítání racionálních čísel Varianta A Vypočítej: a) 4,58

2,35

b)

4,9

2,8

c) 1,32— 7,65

Výsledek řešení: a) 4,58 b)

4,9

2,35 2,8

c) 1,32— 7,65

4,58 4,9

2,35 2,8

2,23 7,7

6,33



0,25

2,75

b)

3,6

2,1 [a) 2,5 b) – 1,5]

2) Vypočítej: a)

1,1

9,5

b) 5,45— 1,09 [a) 8,4 b) 4,36]

3) Vypočítej: a) 3,8

0,7

2,5

b)

4,4

0,8

2,9 [a) 7 b) – 2,3]

4) Vypočítej: a) 6,7

0,5

1,2

b)

3,7

1,9

5,1 [a) 6 b) - 0,5]

97

98


Sčítání a odčítání racionálních čísel Varianta B Vypočítej: a)

c) —

b)

Výsledek řešení: a) b) c) —



b)

[a)

b)

]

b)

[a)

b)

]

b)

[a)

b)

]

b)

[a)

b)

]

2) Vypočítej: a)

3) Vypočítej: a)

4) Vypočítej: a)


Sčítání a odčítání racionálních čísel Varianta C Vypočítej: a) 3

5

b)

2

0,25

c) 6


5

3 b)

5 2

8 3

5

3

5

8

0,25

8 2

c) 6

5

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a) 2

1

b)

2

0,6

[a)

b)

2

2

[a)

0,1

b)

2

1,5

[a)

b)

]

0,5

b)

3

[a)

b)

]

b)

]


0,4

b)

]



0,75

99


100

Racionální čísla Násobení a dělení racionálních čísel U racionálních čísel platí stejná pravidla pro násobení a dělení, jako u celých čísel a kladných zlomků. Pro všechna racionální čísla a, b platí: ·

·

·

·

Když změníme pořadí činitelů, součin se nezmění. Násobení racionálních čísel je komutativní. Pro všechna racionální čísla a, b, c platí: ·

·

·

·

·

·

·

·

Činitele můžeme libovolně sdružovat, součin se nezmění. Násobení racionálních čísel je asociativní. Pro všechna racionální čísla a, b, c platí: ·

·

·

·

·

Stejné činitele můžeme vytknout před závorku, výsledek se nezmění. Násobení racionálních čísel je distributivní vzhledem k sčítání.

Součin a podíl dvou kladných čísel je kladné číslo. Součin a podíl dvou záporných čísel je kladné číslo. Součin a podíl kladného a záporného čísla je záporné číslo.


·


101

Násobení a dělení racionálních čísel Varianta A Vypočítej: a) 1,2 ·

0,6

b)

4,5

0,9

Výsledek řešení: a) 1,2 ·

0,6

0,72

b)

4,5

0,9

5


Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a) 1,5 ·

0,4

b)

7,2

0,8

[a) - 0,6 b) 9]

b)

6,4

0,8

[a) – 1,2 b) 8]

2) Vypočítej: a) 1,5 ·

0,8

3) Vypočítej: a) 2,5 · 1,4 ·

0,5

b)

5,4

0,9 · 2,5

[a) – 1,75 b) 15]

1,5

b)

2,4

0,8 · 4,5

[a) – 3,12 b) 13,5]

4) Vypočítej: a) 5,2 · 0,4 ·


102

Násobení a dělení racionálních čísel Varianta B Vypočítej: a) ·

b)

Výsledek řešení: ·

a) ·

·

·

b)

·

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a) ·

b)

[a)

b)

]

b)

[a)

b)

]

[a)

b) 1]

[a)

b)

2) Vypočítej: a) · 3) Vypočítej: a)

·

·

b)

·

b)

·

4) Vypočítej: a)

·

·

]


103

Násobení a dělení racionálních čísel Varianta C Vypočítej: a) 2 ·

1

b)

1

0,3

Výsledek řešení: a) 2 · b)

1

1

· 0,3

·

4

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Vypočítej: a) 2 ·

1

b)

4

0,8

[a)

b)

]

b)

3

0,75

[a)

b)

]

[a)

b)

]

2) Vypočítej: a) 2 ·

1


1

·

b) 2

·

b) 1

·


·

[a)

9 b)

]

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel

Recommend Documents