4. ZLOMKY Zlomek má následující tvar: čitatel jmenovatel Příkladem zlomku může být například zlomek
2 5, tedy dvě pětiny. Jmenovateli se říká jmenovatel proto, že pojmenovává zlomek. Pětina, třetina, šestina… to je hlavní název zlomku a je odvozené od čísla, které se nachází pod zlomkovou čárou. Čitatel naopak určuje počet, v předchozím příkladu to byly dvě pětiny.
V čitateli i jmenovateli může v podstatě být jakékoliv číslo nebo opět zlomek, nejčastěji se ale setkáváme se zlomkem, kde čitatel i jmenovatel je přirozeným číslem. Zlomek je jen jinak zapsané dělení, hodnotu zlomku vypočítáme tak, že vydělíme čitatel jmenovatelem. Takže obecně pokud máme zlomek
a
,
b pak hodnotou zlomku je číslo a/b. Předchozí zlomek (dvě pětiny) by pak měl hodnotu 2/5, což je 0,4. Převod na základní tvar Se zlomky můžeme různě pracovat a měnit jejich tvar – rozšiřovat je a krátit –, přičemž hodnota zlomku se nijak nezmění. Lze si to i snadno představit slovně, například jedna polovina má stejnou hodnotu jako dvě čtvrtiny nebo čtyři osminy. Vychází to z toho, že zlomek je jen převlečené dělení. A k číslu jedna polovina se můžeme dostat podělením několika různých čísel. Takže čtyři děleno osmi je jedna polovina. Deset děleno dvaceti je taky jedna polovina.
Proto zlomky 1 = 2 = 3 = 4 2
4
6
mají stejnou hodnotu.
8
Opačnou operací k rozšiřování je krácení zlomků, kdy čitatel i jmenovatel dělíme stejným číslem. Pokud bychom chtěli zlomek krátit, musíme najít číslo, kterým je beze zbytku dělitelný jak čitatel, tak i jmenovatel.
Krácení zlomků se v praxi velice často využívá, protože krácením se zlomek značně zjednodušuje a lépe se s ním pracuje. O zlomku, který již nelze dále krátit, říkáme, že je v základním tvaru.
Násobení zlomků Násobení a dělení je u zlomků jednodušší než sčítání a odčítání. Pokud máte vynásobit dva zlomky, vynásobíte prostě čitatel prvního zlomku s čitatelem druhého zlomku a jmenovatel s jmenovatelem. To je všechno. Příklad násobení zlomků:
Násobení zlomku celým číslem pak jednoduše převedete na násobení dvou zlomků tak, že celé číslo c zapíšete jako c/1. Pokud zlomek násobíte celým číslem, pak stačí tímto číslem vynásobit čitatele zlomku.
c x a = ac b
b
Dělení zlomků Dělení zlomků je prakticky stejné jako násobení. Pokud chcete jeden zlomek vydělit druhým, jeden ze zlomků obrátíte a zlomky normálně vynásobíte.
Sčítání zlomků Zlomky totiž můžeme sčítat pouze v případě, že ony zlomky mají stejný základ, tedy stejného jmenovatele. Pokud zlomky nemají stejného jmenovatele, musíme je na stejného jmenovatele převést. Poté postupujeme jednoduše jako v případě násobení, prostě sečteme čitatel prvního zlomku s čitatelem druhého zlomku.
Odečítání zlomků Odečítání zlomků probíhá úplně stejně jako sčítání zlomků, pouze výsledné čitatele nesčítáme, ale odečítáme.
Složené zlomky To jsou takové zlomky, které mají dvě a více zlomkových čar. Na začátku této kapitoly jsem říkal, že zlomková čára je vlastně jinak zapsané znaménko pro dělení.
Násobíme příslušné dvojice mezi sebou. U složených zlomků to vychází tak, že se spolu vynásobí vnější (na následujícím obrázku ta fialová a tučnější) čísla – jejich součin tvoří čitatele – a vnitřní (na následujícím obrázku ta zelená a opticky tenčí) čísla – jejich součin tvoří jmenovatele. Výsledek pak tedy je součin vnějších čísel dělený součinem vnitřních čísel.
PŘÍKLADY K PROCVIČOVÁNÍ
1. Rozšiř zlomky číslem 3:
6 = 9
7 = 10
2. Rozšiř zlomky na zlomek se jmenovatelem 36:
5 = 9
3 = 8
1 = 4
3 = 4
1 = 3
3. Rozšiř zlomky na zlomek se jmenovatelem 24:
4. Zkrať zlomky číslem 2:
6 = 8
1 = 3
5 = 6
3 = 8
4 = 6
12 = 16
20 = 30
5. Doplň, aby platila rovnost:
25 5 30 .
,
4 20 7 .
,
8 . 9 36
,
1 9 9 .
,
12 3 20 .
7 . 21 3
,
6. Převeď zlomky do základního tvaru:
25 30 48 60 3 15 72 56
35 45 16 28 8 12 14 42
36 45 14 28 8 10 14 56
7.Zlomky sečti a výsledky uveď v základním tvaru.
1 1 3 2
3 7 5 10
3 1 4 5
3 1 8 4
1 1 5 4
2 8 9 10
5 2 7 3
3 7 5 15
5 1 6 9
3 1 10 4
4 5 9 8
3 7 7 10
8.Zlomky odečti a výsledky uveď v základním tvaru.
1 1 8 12
7 3 8 4
17 2 10 3
4 3 5 10
1 5 2 12
5 1 7 2
2 7 3 12
9 4 10 5
3 1 10 4
9 5 8 6
1-
3 7
9. Vypočti a výsledky uveď v základním tvaru.
2 1 1 3 6 9
1 1 1 3 8 12
7 3 1 8 4 8
2 1 1 3 6 9
3 4 2 1 10 5 5 3
4 2 5 1 9 3 6 2
10. Převeď zlomek na smíšené číslo:
4 3 11 6 25 9
11. Převeď smíšené číslo na zlomek:
4 1 5 1 2 6 2 1 7
7 2 11 5 23 6
2 3 3 2 4 2 10 5 3
12. Vypočti a výsledek zapiš jako smíšené číslo:
2 5 3 6
13.Vynásob zlomky.
4 5 7 6
1 2 7 2 5 10
1 1 3 2
3 5 5 6
3 1 4 5
3 4 8 9
1 1 5 4
2 9 9 10
5 9 7 10
3 7 5 12
5 3 6 10
3 1 10 3
4 5 9 8
3 7 7 10
14.Vyděl zlomky.
5 4 : 3 7
1 1 : 8 12
7 21 : 8 32
17 2 : 10 5
5 3 : 6 10
1 5 : 2 12
5 5 : 7 2
2 7 : 3 12
9 3 : 10 5
3 1 : 10 4
9 5 : 8 6
1:
15. Vypočti.
2 6 1 3 7 4
2 1 1 7 2 5
7 5 4 8 14 5
2 1 6 : 3 9 4
3 7
1 2 3 2 3 5
2 4 3 : 3 9 8
7 9 5 3 10 7
4 2 5 1 9 3 6 2
1 1 27 3 9 100
2 1 4 3 : 5 2 5 4
2 5 1 : 3 9
5 1 3 9 3 4
Výsledky: 1. Rozšiř zlomky číslem 3:
6 18 = 9 27
7 21 = 10 30
3 9 = 8 24
1 3 = 4 12
2. Rozšiř zlomky na zlomek se jmenovatelem 36:
5 20 = 9 36
3 27 = 4 36
1 12 = 3 36
3. Rozšiř zlomky na zlomek se jmenovatelem 24:
3 9 = 8 24
5 20 = 6 24
1 8 = 3 24
4. Zkrať zlomky číslem 2:
4 2 = 6 3
6 3 = 8 4
20 10 = 30 15
5. Doplň, aby platila rovnost:
25 5 30 6
,
4 20 , 7 35
8 32 , 9 36
1 9 , 9 81
6. Převeď zlomky do základního tvaru:
12 3 , 20 5
7 1 21 3
12 6 = 16 8
25 30 48 60 3 15 72 56
5 6 4 5 1 5 9 7
35 45 16 28 8 12 14 42
7 9 4 7 2 3 1 3
36 45 14 28 8 10 14 56
4 5 1 2 4 5 1 4
7.Zlomky sečti a výsledky uveď v základním tvaru.
1 1 23 5 3 2 6 6
3 7 13 5 10 10
3 1 19 4 5 20
3 1 5 8 4 8
1 1 9 5 4 20
2 8 46 9 10 45
5 2 29 7 3 21
3 7 16 5 15 15
5 1 17 6 9 18
3 1 11 10 4 20
4 5 77 9 8 72
3 7 79 7 10 70
8. Zlomky odečti a výsledky uveď v základním tvaru.
5 4 35 12 23 3 7 21 21
1 1 1 8 12 24
7 3 1 8 4 8
17 2 31 10 3 30
4 3 5 1 5 10 10 2
1 5 1 2 12 12
5 1 3 7 2 14
2 7 1 3 12 12
9 4 1 10 5 10
9 5 7 8 6 24
3 1 1 10 4 20
1-
3 4 7 7
9.Vypočti a výsledky uveď v základním tvaru.
2 1 1 17 3 6 9 18
1 1 1 1 1 7 3 8 12 3 24 24
7 3 1 0 0 8 4 8 8
2 1 1 2 5 7 3 6 9 3 18 18
3 4 2 1 11 11 11 10 5 5 3 10 15 30
4 9
10.Převeď zlomek na smíšené číslo:
4 1 1 3 3 11 5 1 6 6 25 7 2 9 9
2 5 1 10 2 7 3 6 2 9 6 9
11. Převeď smíšené číslo na zlomek:
4 9 1 5 5 1 13 2 6 6 2 9 1 7 7
7 1 3 2 2 11 1 2 5 5 23 5 3 6 6
2 11 3 3 3 11 2 4 4 2 52 10 5 5 3
12. Vypočti a výsledek zapiš jako smíšené číslo:
2 5 9 3 1 1 1 3 6 6 6 2
4 5 59 17 1 7 6 42 42
1 2 7 16 8 3 1 2 5 10 10 5 5
13.Vynásob zlomky.
1 1 1 3 2 6
3 5 1 5 6 2
3 1 3 4 5 20
3 4 1 8 9 6
1 1 1 5 4 20
2 9 1 9 10 5
5 9 9 7 10 14
3 7 7 5 12 20
5 3 1 6 10 4
4 5 5 9 8 18
3 7 3 7 10 10
5 4 35 : 3 7 12
1 1 3 : 8 12 2
7 21 4 : 8 32 3
17 2 17 : 10 5 4
5 3 25 : 6 10 9
1 5 6 : 2 12 5
5 5 2 : 7 2 7
2 7 8 : 3 12 7
9 3 3 : 10 5 2
3 1 6 : 10 4 5
9 5 27 : 8 6 20
1:
3 1 1 10 3 10
14.Vyděl zlomky.
3 7 7 3
15.Vypočti.
2 6 1 1 3 7 4 7
2 1 1 2 7 1 7 2 5 7 10 5
7 5 4 1 8 14 5 4
2 1 6 2 6 : 4 3 9 4 3 1
1 2 3 1 2 3 5 5
2 4 3 3 3 9 : 3 9 8 2 8 8
7 9 5 3 3 10 7 2
4 9
1 1 27 1 3 9 100 100
2 1 4 3 9 20 18 : 5 2 5 4 10 1
2 5 1 10 2 10 3 6 2 9 6 27
2 5 5 5 3 1 : : 3 3 9 3 9 1
5 1 3 2 3 1 9 3 4 9 4 6
