2012 I Onafhankelijk van a

2012 – I

Onafhankelijk van a

Voor a>0 is gegeven de functie: fa(x) = (1 – ax)·e – ax

B

1. Toon aan dat Fa(x) = x·e – ax een primitieve functie is van fa(x). De grafiek van fa snijdt de x-as in A(1/a, 0) en de y-as in B (0,1). O A De grafiek van fa verdeelt driehoek OAB in twee delen. 2. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2012 – I

Onafhankelijk van a


B

1. Toon aan dat Fa(x) = x·e – ax een primitieve functie is van fa(x). De grafiek van fa snijdt de x-as in A(1/a, 0) en de y-as in B (0,1). O A De grafiek van fa verdeelt driehoek OAB in twee delen. 2. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Fa ‘(x) =

2012 – I

Onafhankelijk van a


B

1. Toon aan dat Fa(x) = x·e – ax een primitieve functie is van fa(x). De grafiek van fa snijdt de x-as in A(1/a, 0) en de y-as in B (0,1). O A De grafiek van fa verdeelt driehoek OAB in twee delen. 2. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Fa ‘(x) = 1·e – ax + x·e – ax ·– a = (1 – ax)·e – ax = fa(x) productregel

kettingregel

2012 – I

Onafhankelijk van a


B

(0, 1)

1. Toon aan dat Fa(x) = x·e – ax een primitieve functie is van fa(x). De grafiek van fa snijdt de x-as in A(1/a, 0) en de y-as in B (0,1). O A (1/a, 0) De grafiek van fa verdeelt driehoek OAB in twee delen. 2. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Fa ‘(x) = 1·e – ax + x·e – ax ·– a = (1 – ax)·e – ax = fa(x) 2. Opp. OAB is:

2012 – I

Onafhankelijk van a


B

(0, 1)

1. Toon aan dat Fa(x) = x·e – ax een primitieve functie is van fa(x). De grafiek van fa snijdt de x-as in A(1/a, 0) en de y-as in B (0,1). O A (1/a, 0) De grafiek van fa verdeelt driehoek OAB in twee delen. 2. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Fa ‘(x) = 1·e – ax + x·e – ax ·– a = (1 – ax)·e – ax = fa(x) 2. Opp. OAB is: ½ basis × hoogte = Opp. onder grafiek fa is:

1 1 1  1  2 a 2a

2012 – I

Onafhankelijk van a


B

(0, 1)

1. Toon aan dat Fa(x) = x·e – ax een primitieve functie is van fa(x). De grafiek van fa snijdt de x-as in A(1/a, 0) en de y-as in B (0,1). O A (1/a, 0) De grafiek van fa verdeelt driehoek OAB in twee delen. 2. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Fa ‘(x) = 1·e – ax + x·e – ax ·– a = (1 – ax)·e – ax = fa(x) 2. Opp. OAB is: ½ basis × hoogte = 1

Opp. onder grafiek fa is:

0

a

1 1 1  1  2 a 2a 1

f a ( x) dx  Fa  0a 

2012 – I

Onafhankelijk van a

Voor a>0 is gegeven de functie: fa(x) = (1 – ax)·e – ax 1. Toon aan dat Fa(x) = x·e – ax een primitieve functie is van fa(x).

B 1 ae

De grafiek van fa snijdt de x-as in A(1/a, 0) en de y-as in B (0,1). O A De grafiek van fa verdeelt driehoek OAB in twee delen. 2. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Fa ‘(x) = 1·e – ax + x·e – ax ·– a = (1 – ax)·e – ax = fa(x) 2. Opp. OAB is: ½ basis × hoogte = 1


0

Opp. tussen de grafieken is:

a

1 1 1  1  2 a 2a 1

f a ( x) dx  Fa  0a 

1  a 1 a 1 1 1 1 e  0  e1    a a a e ae

2012 – I

Onafhankelijk van a


B 1 ae

1 1  2a ae



0


a

1 1 1  1  2 a 2a 1

f a ( x) dx  Fa  0a  1 1  2a ae

1  a 1 a 1 1 1 1 e  0  e1    a a a e ae

2012 – I

Onafhankelijk van a


B

1. Toon aan dat Fa(x) = x·e – ax een primitieve functie is van fa(x). De grafiek van fa snijdt de x-as in A(1/a, 0) en de y-as in B (0,1). O A De grafiek van fa verdeelt driehoek OAB in twee delen. 2. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Fa ‘(x) = 1·e – ax + x·e – ax ·– a = (1 – ax)·e – ax = fa(x) 2. Opp. OAB is: ½ basis × hoogte = 1


0


De verhouding is:

a

1 1 1  1  2 a 2a 1

f a ( x) dx  Fa  0a  1 1  2a ae

1 a 1a 1 1 1 1 e  0  e1    a a a e ae

2012 – I

Onafhankelijk van a


B

1. Toon aan dat Fa(x) = x·e – ax een primitieve functie is van fa(x). De grafiek van fa snijdt de x-as in A(1/a, 0) en de y-as in B (0,1). O A De grafiek van fa verdeelt driehoek OAB in twee delen. 2. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van deze twee delen onafhankelijk is van a. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Fa ‘(x) = 1·e – ax + x·e – ax ·– a = (1 – ax)·e – ax = fa(x) 2. Opp. OAB is: ½ basis × hoogte = 1


0

a


De verhouding is:

1 1  2 a ae  1 ae

1 1 1  1  2 a 2a 1

f a ( x) dx  Fa  0a  1 1  2a ae

1 a 1a 1 1 1 1 e  0  e1    a a a e ae

2012 – I

Onafhankelijk van a B




0

a

1 1 1  1  2 a 2a 1

f a ( x) dx  Fa  0a 

1 a 1a 1 1 1 1 e  0  e1    a a a e ae

1 1  2a ae 1 1 1 1 e   1 2a ae  2a ae  ae  2 is onafhankelijk van a. 1 1 ae 1 1 2 ae ae  is ook goed


De verhouding is:

e 1 2

e2

2012 – I

Het wijnglas

De eenheid van lengte in deze opgave is mm. Beschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme AB is de grafiek van f (x) = 4,5 + 28·e– 0,452x op het domein [0, 55.3]. 3. Bereken het volume in cm3 van het lichaam dat ontstaat als kromme AB om de x-as wentelt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Het volume is:

2012 – I

Het wijnglas

De eenheid van lengte in deze opgave is mm. Beschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme AB is de grafiek van f (x) = 4,5 + 28·e– 0,452x op het domein [0, 55.3]. 3. Bereken het volume in cm3 van het lichaam dat ontstaat als kromme AB om de x-as wentelt. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Het volume is: π  

55.3

0

Bijvoorbeeld via

( f ( x))2 dx en mag berekend worden met de GR.

2012 – I

Het wijnglas


55.3

0


Bijvoorbeeld via fnInt((4.5+28e^(-.425X))2, X, 0, 55.3) = 7994 (mm3) = 8 cm3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 32.5) en gaat door D(155, 23). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a·x2. Stel een vergelijking op voor kromme CD.

2012 – I

Het wijnglas


55.3

0


Bijvoorbeeld via fnInt((4.5+28e^(-.425X))2, X, 0, 55.3) = 7994 (mm3) = 8 cm3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 32.5) en gaat door D(155, 23). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a·x2. Stel een vergelijking op voor kromme CD. naar rechts: …. omhoog: ….

2012 – I

Het wijnglas


55.3

0


Bijvoorbeeld via fnInt((4.5+28e^(-.425X))2, X, 0, 55.3) = 7994 (mm3) = 8 cm3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 32.5) en gaat door D(155, 23). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a·x2. Stel een vergelijking op voor kromme CD. naar rechts: 87,5 omhoog: 32,5

2012 – I

Het wijnglas


55.3

0


Bijvoorbeeld via fnInt((4.5+28e^(-.425X))2, X, 0, 55.3) = 7994 (mm3) = 8 cm3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 32.5) en gaat door D(155, 23). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a·x2. Stel een vergelijking op voor kromme CD. Die vergelijking heeft de vorm:

2012 – I

Het wijnglas


55.3

0


Bijvoorbeeld via fnInt((4.5+28e^(-.425X))2, X, 0, 55.3) = 7994 (mm3) = 8 cm3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 32.5) en gaat door D(155, 23). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a·x2. Stel een vergelijking op voor kromme CD. Die vergelijking heeft de vorm: y = a·(x – 87,5)2 + 32,5 Gaat door D(155, 23) dus: Naar rechts

Omhoog

2012 – I

Het wijnglas


55.3

0


Bijvoorbeeld via fnInt((4.5+28e^(-.425X))2, X, 0, 55.3) = 7994 (mm3) = 8 cm3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 32.5) en gaat door D(155, 23). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a·x2. Stel een vergelijking op voor kromme CD. Die vergelijking heeft de vorm: y = a·(x – 87,5)2 + 32,5 Gaat door D(155, 23) dus: 23 = a·(155 – 87,5)2 + 32,5 dus a = 67,5

2012 – I

Het wijnglas


55.3

0


Bijvoorbeeld via fnInt((4.5+28e^(-.425X))2, X, 0, 55.3) = 7994 (mm3) = 8 cm3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 32.5) en gaat door D(155, 23). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a·x2. Stel een vergelijking op voor kromme CD. Die vergelijking heeft de vorm: y = a·(x – 87,5)2 + 32,5 Gaat door D(155, 23) dus: 23 = a·(155 – 87,5)2 + 32,5 dus a = –9,5 / (67,5)2 ≈ – 0,002

De vergelijking van CD is dus:

2012 – I

Het wijnglas


55.3

0


Bijvoorbeeld via fnInt((4.5+28e^(-.425X))2, X, 0, 55.3) = 7994 (mm3) = 8 cm3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Een bergparabool heeft als top C(87.5, 32.5) en gaat door D(155, 23). Kromme CD is ontstaan na verschuiving van y = a·x2. Stel een vergelijking op voor kromme CD. Die vergelijking heeft de vorm: y = a·(x – 87,5)2 + 32,5 Gaat door D(155, 23) dus: 23 = a·(155 – 87,5)2 + 32,5 dus a = –9,5 / (67,5)2 ≈ – 0,002

De vergelijking van CD is dus: y = –0,002·(x – 87,5)2 + 32,5

2012 – I

Het wijnglas

P

De eenheid van lengte in deze opgave is mm. Domein [55,3; 87,5] Beschreven wordt de vorm van een wijnglas. Kromme BP is deel van de grafiek van g ( x)   x2  175x  6600. Het gearceerde gebied, tussen x = 55,3 en x = p, wordt gewenteld om de x-as zodat de inhoud daarvan 50 ml is.

5. Bereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. ----------------------------------------------------------------------------

B(55,3, 0)

(p, 0)

2012 – I

Het wijnglas

P


5. Bereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. De inhoud is:

B(55,3, 0)

(p, 0)

2012 – I

Het wijnglas

P


5. Bereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. 2

B(55,3, 0)

(p, 0)

p De inhoud is: π   ( g ( x)) dx  π     x 2  175 x  6600)  dx  π   ( x2  175 x  6600) dx 55,3 55,3  55,3  p

Primitiveren:

2

p

2012 – I

Het wijnglas

P


5. Bereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P. 2

B(55,3, 0)

(p, 0)

p De inhoud is: π   ( g ( x)) dx  π     x2  175 x  6600)  dx  π   ( x2  175 x  6600) dx 55,3 55,3  55,3  p

2

p

p

Primitiveren: π    13 x3  87,5 x 2  6600 x   55,3



2012 – I

Het wijnglas

P


5. Bereken met behulp van primitiveren de x-coördinaat van P.

B(55,3, 0)

2

(p, 0)


2

p

p

Primitiveren: π    13 x3  87,5x 2  6600 x   55,3

 50000 (mm3 ) en gebruik hierna de GR:

1 ml = 1 cm3 = 1000 mm3

2012 – I

Het wijnglas

P



B(55,3, 0)

2

(p, 0)


2

p

p


 50000 (ml ) en gebruik hierna de GR:

Doe Y1 = π((1/3)X^3+87.5X2-6600X) en Y2 = Y1(X)-Y1(55.3) en Y3 = 50000. Daarna bijv. grafiek Y2 en Y3 plus intersect met window 50≤X≤100 en 0≤Y≤100000. Geeft oplossing:

2012 – I

Het wijnglas

P



B(55,3, 0)

2

(p, 0)


2

p

p



Doe Y1 = π((1/3)X^3+87.5X2-6600X) en Y2 = Y1(X)-Y1(55.3) en Y3 = 50000. Daarna bijv. grafiek Y2 en Y3 plus intersect met window 50≤X≤100 en 0≤Y≤100000. Geeft oplossing: X≈80.8 dus afgerond: xP = p = 81 (mm).

2012 – I

Het wijnglas

P



B(55,3, 0)

2

(p, 0)


2

p

p



Doe Y1 = π((1/3)X^3+87.5X2-6600X) en Y2 = Y1(X)-Y1(55.3) en Y3 = 50000. ondergrens: -483076

X=80.8

De stelling van de constante omtrekshoek

raaklijn

2012 – I

Parallellogram C

D

Gegeven is parallellogram ABCD. De bissectrice van hoek ADB snijdt het verlengde van CB in E. 6. Bewijs dat driehoek BDE gelijkbenig is. ---------------------------------------------------

B

A

E

2012 – I

Parallellogram C

D

Gegeven is parallellogram ABCD. De bissectrice van hoek ADB snijdt het verlengde van CB in E. 6. Bewijs dat driehoek BDE gelijkbenig is. --------------------------------------------------Bewijs:

12

B

A

D1 = D2 (bissectrice) .

E

2012 – I

Parallellogram C

D


12

B

A

D1 = D2 (bissectrice) AD // BC (parallellogram)

E

2012 – I

Parallellogram C

D


1 B

A

D1 = D2 (bissectrice) AD // BC (parallellogram) D1 = E1 (Z-hoeken)

1 E

2012 – I

Parallellogram C

D


12

B

A

D1 = D2 (bissectrice) AD // BC (parallellogram) D1 = E1 (Z-hoeken) Dus D2 = E1

1 E

2012 – I

Parallellogram C

D


12

B

A

D1 = D2 (bissectrice) AD // BC (palallellogram) D1 = E1 (Z-hoeken) Dus D2 = E1 Dus BDE is gelijkbenig.

1 E

2012 – I

Parallellogram C

D

Gegeven is parallellogram ABCD. De bissectrice van hoek ADB snijdt het verlengde van CB in E. Ook nog gegeven is, dat EC aan de omgeschreven cirkel van ABC raakt. Verder is nog steeds gegeven dat BDE gelijkbenig is. DE snijdt de cirkel in F. 7. Bewijs dat BFD = 2· BEF. ----------------------------------------

B

A

? F

raaklijn

E

2012 – I

Parallellogram C

D


B

A

? F

raaklijn

• Volgens de raaklijn-koorde stelling is: E

2012 – I

Parallellogram C

D


2

B

A 1

? F

raaklijn

• Volgens de raaklijn-koorde stelling is: B1 = D2 E

2012 – I

Parallellogram C

D


2

B

A 1

? raaklijn

F

• Volgens de raaklijn-koorde stelling is: B1 = D2 • Volgens de vorige opgave is

1 E

2012 – I

Parallellogram C

D


2

B

A 1

? raaklijn

F

• Volgens de raaklijn-koorde stelling is: B1 = D2 • Volgens de vorige opgave is D2 = E1 • Dus B1 = E1

1 E

2012 – I

Parallellogram C

D

Gegeven is parallellogram ABCD. De bissectrice van hoek ADB snijdt het verlengde van CB in E. Ook nog gegeven is, dat EC aan de omgeschreven cirkel van ABC raakt. Verder is nog steeds gegeven dat BDE gelijkbenig is. DE snijdt de cirkel in F. 7. Bewijs dat BFD = 2· BEF. ---------------------------------------• Volgens de raaklijn-koorde stelling is: B1 = D2 • Volgens de vorige opgave is D2 = E1 • Dus B1 = E1 ( = α )

B

A

α

?

raaklijn

F

α E

2012 – I

Parallellogram C

D

Gegeven is parallellogram ABCD. De bissectrice van hoek ADB snijdt het verlengde van CB in E. Ook nog gegeven is, dat EC aan de omgeschreven cirkel van ABC raakt. Verder is nog steeds gegeven dat BDE gelijkbenig is. DE snijdt de cirkel in F. 7. Bewijs dat BFD = 2· BEF. ---------------------------------------• Volgens de raaklijn-koorde stelling is: B1 = D2 • Volgens de vorige opgave is D2 = E1 • Dus B1 = E1 ( = α ) • F1

=

B

A

α 1 F

raaklijn

2

α E

2012 – I

Parallellogram C

D

Gegeven is parallellogram ABCD. De bissectrice van hoek ADB snijdt het verlengde van CB in E. Ook nog gegeven is, dat EC aan de omgeschreven cirkel van ABC raakt. Verder is nog steeds gegeven dat BDE gelijkbenig is. DE snijdt de cirkel in F. 7. Bewijs dat BFD = 2· BEF. ---------------------------------------• Volgens de raaklijn-koorde stelling is: B1 = D2 • Volgens de vorige opgave is D2 = E1 • Dus B1 = E1 ( = α ) (gelijkbenige driehoek) • F1 = B1 + E1 = α + α = 2·α (buitenhoek) BFD = 2· BEF.

α α

B

A

α

2α

raaklijn

F

α E

2012 – I

Sinussen

Op [0, 2π] zijn gegeven: f ( x)  sin x en g ( x)  sin( x  1 π) 3

1

x A  13 π en

xB  43 π

Vraag 8. Bereken met primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel dat tussen A en B wordt ingesloten tussen f en g. ----------------------------------------------------------------------Opp.  

4π 3 1π 3

g π

De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten A en B met

A

{sin x  sin( x  13 π)} dx 

f

-1

B

2012 – I

Sinussen


1

x A  13 π en

xB  43 π

f


4π 3 1π 3

g π


A

{sin x  sin( x 

1 π)} dx 3

4π

   cos x  cos( x  13 π)  13    π 3

-1

B

2012 – I

Sinussen


1

A π


x A  13 π en

xB  43 π

f


4π 3 1π 3

g


1 π)} dx 3

4π

-1

   cos x  cos( x  13 π)  13   12  12  12  12  2   π 3

B

2012 – I

Sinussen


1

A π


x A  13 π en

xB  43 π

f


4π 3 1π 3

g


1 π)} dx 3

-1

4π

   cos x  cos( x  13 π)  13   12  12  12  12  2   π 3

Vraag 9. Bereken exacte waarden van a en b zo dat ½ (f (x) + g(x)) = a·sin(x + b). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Gebruik een van de volgende somformules: sin(t  u )  sin t cos u  cos t sin u

sin t  sin u  2sin t 2u cos t 2u

sin(t  u )  sin t cos u  cos t sin u

sin t  sin u  2sin t 2u cos t 2u

B

2012 – I

Sinussen


1

A π


x A  13 π en

xB  43 π

f


4π 3 1π 3


1 π)} dx 3

-1

4π

   cos x  cos( x  13 π)  13   12  12  12  12  2   π 3

Vraag 9. Bereken exacte waarden van a en b zo dat ½ (f (x) + g(x)) = a·sin(x + b). ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Gebruik:

g


B

2012 – I

Sinussen


1

A π


x A  13 π en

xB  43 π

f


4π 3 1π 3


1 π)} dx 3

-1

4π

   cos x  cos( x  13 π)  13   12  12  12  12  2   π 3


g


Er komt: sin x  sin( x  13 π) 

B

2012 – I

Sinussen


1

A π


x A  13 π en

xB  43 π

f


4π 3 1π 3


1 π)} dx 3

-1

4π

   cos x  cos( x  13 π)  13   12  12  12  12  2   π 3


g


Er komt: sin x  sin( x  13 π)  2sin

2 x  13 π 0 13 π cos 2 2



B

2012 – I

Sinussen


1

A π


x A  13 π en

xB  43 π

f


4π 3 1π 3

g


1 π)} dx 3

-1

4π

   cos x  cos( x  13 π)  13   12  12  12  12  2   π 3




2 x  13 π 0 13 π cos 2 2

 2sin( x  16 π)  12 3  3 sin( x  16 π)

B

2012 – I

Sinussen


1

A π


x A  13 π en

xB  43 π

f


4π 3 1π 3

g


1 π)} dx 3

-1

4π

   cos x  cos( x  13 π)  13   12  12  12  12  2   π 3




2 x  13 π 0 13 π cos 2 2

 2sin( x  16 π)  12 3  3 sin( x  16 π)

Dus: 1 2 {sin x  sin( x  13 π)}  1 2 3 sin( x  16 π) met a  1 2 3 en b  16 π

B

2012 – I Vierkanten C

D

Binnen een rechthoek van 20 bij 30 liggen de vierkanten A, B en C, met de zijden tegen elkaar aan (zie figuur).

20

Het overblijvende deel noemen we D. De zijde van vierkant A noemen we x.

Vraag 10. Bereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. -----------------------------------------------

x

B

A

x 30


D


20


Vraag 10. Bereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------Druk eerst de zijden van B en C uit in x:

x

B

A

x 30


D


20


x

Vraag 10. Bereken de exacte waarde van x waarvoor de oppervlakte van D maximaal is. ----------------------------------------------Druk eerst de zijden van B en C uit in x. de zijde van B is: de zijde van C is:

B

A

x 30

2012 – I Vierkanten x-10

D


20



C

x

B

A

30-x x

Druk eerst de zijden van B en C uit in x. de zijde van B is: 30 – x de zijde van C is: 20 – (30 – x) = x – 10

30


D


20



x

B

A

30-x x

Druk eerst de zijden van B en C uit in x. de zijde van B is: 30 – x de zijde van C is: 20 – (30 – x) = x – 10 De oppervlakte van D is dus: D(x) =

C

30


D


20



C

x

B

A

30-x x 30

Druk eerst de zijden van B en C uit in x. de zijde van B is: 30 – x de zijde van C is: 20 – (30 – x) = x – 10 De oppervlakte van D is dus: D(x) = 20·30 – x2 – (30 – x)2 – (x – 10)2 =


D


20



x

B

A

x 30

Druk eerst de zijden van B en C uit in x. de zijde van B is: 30 – x de zijde van C is: 20 – (30 – x) = x – 10 De oppervlakte van D is dus: D(x) = 20·30 – x2 – (30 – x)2 – (x – 10)2 = 600 – x2 – (900 – 60x + x2 ) – (x2 – 20x + 100) =


D


20



x

B

A

x 30

Druk eerst de zijden van B en C uit in x. de zijde van B is: 30 – x de zijde van C is: 20 – (30 – x) = x – 10 De oppervlakte van D is dus: D(x) = 20·30 – x2 – (30 – x)2 – (x – 10)2 = 600 – x2 – (900 – 60x + x2 ) – (x2 – 20x + 100) = 600 – x2 – 900 + 60x – x2 – x2 + 20x – 100 =


D


20



x

B

A

x 30

Druk eerst de zijden van B en C uit in x. de zijde van B is: 30 – x de zijde van C is: 20 – (30 – x) = x – 10 De oppervlakte van D is dus: D(x) = 20·30 – x2 – (30 – x)2 – (x – 10)2 = 600 – x2 – (900 – 60x + x2 ) – (x2 – 20x + 100) = 600 – x2 – 900 + 60x – x2 – x2 + 20x – 100 = – 3x2 + 80x – 400 = D(x). Deze oppervlakte is maximaal als:


D


20



x

B

A

x 30

Druk eerst de zijden van B en C uit in x. de zijde van B is: 30 – x de zijde van C is: 20 – (30 – x) = x – 10 De oppervlakte van D is dus: D(x) = 20·30 – x2 – (30 – x)2 – (x – 10)2 = 600 – x2 – (900 – 60x + x2 ) – (x2 – 20x + 100) = 600 – x2 – 900 + 60x – x2 – x2 + 20x – 100 = – 3x2 + 80x – 400 = D(x). Deze oppervlakte is maximaal als: D’(x) = 0 Differentiëren geeft:


D


20



x

B

A

x 30

Druk eerst de zijden van B en C uit in x. de zijde van B is: 30 – x de zijde van C is: 20 – (30 – x) = x – 10 De oppervlakte van D is dus: D(x) = 20·30 – x2 – (30 – x)2 – (x – 10)2 = 600 – x2 – (900 – 60x + x2 ) – (x2 – 20x + 100) = 600 – x2 – 900 + 60x – x2 – x2 + 20x – 100 = – 3x2 + 80x – 400 = D(x). Deze oppervlakte is maximaal als: D’(x) = 0 Differentiëren geeft: – 6x + 80 = 0 met de exacte oplossing:

x

80 40 1   13 6 3 3

Intermezzo De standaard vergelijkingen voor sinus en cosinus zijn: A = B + k·2π sin A = sin B A = (π – B) + k·2π

A = B + k·2π cos A = cos B A = – B + k·2π

2012 – I

Goniometrie

B

A

Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: π  t) 15 4π y (t )  cos(  t ) 15 x(t )  cos(

O

Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t ≥0. Op t = 0 start P in A(1, 1) en op t =15 is P in B(-1, 1). In de figuur is ook nog de lijn y = x getekend.

Gedurende het tijdsinterval [0, 15] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag 11. Bereken dit aantal seconden -----------------------------------------------

2012 – I

Goniometrie

B

A


O


Gedurende het tijdsinterval [0, 15] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag 11. Bereken dit aantal seconden

Stel x (t) = y (t)

2012 – I

Goniometrie

B

A


O


Gedurende het tijdsinterval [0, 15] bevindt P zich een aantal seconden onder de lijn y = x. Vraag 11. Bereken dit aantal seconden ----------------------------------------------cos(

π 4π  t )  cos(  t ) 15 15

2012 – I

Goniometrie

B

A


O



π 4π  t )  cos(  t ) 15 15

πt 4πt   k  2π  15 15

2012 – I

Goniometrie

B

A


O



π 4π  t )  cos(  t ) 15 15

πt 4πt   k  2π  15 15 πt 4πt   k  2π  15 15



15 π

2012 – I

Goniometrie

B

A


O



π 4π  t )  cos(  t ) 15 15



15 π

πt 4πt   k  2π  t  4t  k  30  t  10k 15 15 πt 4πt   k  2π  15 15

2012 – I

Goniometrie

B

A


O



π 4π  t )  cos(  t ) 15 15

πt 4πt   k  2π  t  4t  k  30  t  10k 15 15 πt 4πt   k  2π  t  -4t  k  30  t  6k 15 15

2012 – I

Goniometrie

B

A


O



π 4π  t )  cos(  t ) 15 15


Uit de bovenste regel volgen de oplossingen: Uit de onderste regel volgen de oplossingen:

2012 – I

Goniometrie

B

t=0

Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: π x(t )  cos(  t ) 15 4π y (t )  cos(  t ) 15

6 10


O

12


π 4π  t )  cos(  t ) 15 15


Uit de bovenste regel volgen de oplossingen: t = 0, 10, 20, . . . Uit de onderste regel volgen de oplossingen: t = 0, 6, 12, 18, . . . P bevindt zich dus

seconden onder de lijn y = x.

2012 – I

Goniometrie

B

t=0

Punt P beweegt volgens de vergelijkingen: π x(t )  cos(  t ) 15 4π y (t )  cos(  t ) 15

6 10


O

12 2 sec

6 sec


π 4π  t )  cos(  t ) 15 15


Uit de bovenste regel volgen de oplossingen: t = 0, 10, 20, . . . Uit de onderste regel volgen de oplossingen: t = 0, 6, 12, 18, . . . P bevindt zich dus 6 + 2 = 8 seconden onder de lijn y = x.

2012 – I

Goniometrie

π x(t )  cos(  t ) 15 4π y (t )  cos(  t ) 15

Op zeker moment passeert P de y-as. daarbij neemt de x-coördinaat van P af.

Vraag 12. Bereken exact de snelheid van de x-coördinaat op dit moment. -----------------------------------------------------------------------------------------

P

O

2012 – I

Goniometrie

π x(t )  cos(  t ) 15 4π y (t )  cos(  t ) 15


Vraag 12. Bereken exact de snelheid van de x-coördinaat op dit moment. ----------------------------------------------------------------------------------------• Op de y-as is xP = 0 dus:

π t )  0 dus cos(15

P

O

2012 – I

Goniometrie

P

π x(t )  cos(  t ) 15 4π y (t )  cos(  t ) 15

O


Vraag 12. Bereken exact de snelheid van de x-coördinaat op dit moment. ----------------------------------------------------------------------------------------π t )  0 dus • Op de y-as is xP = 0 dus: cos(15

• De snelheid in de x-richting is dan:

π t 15

 12 π dus t  7 12

2012 – I

Goniometrie

P

π x(t )  cos(  t ) 15 4π y (t )  cos(  t ) 15

O



π t 15

 12 π dus t  7 12

π t ))  π • De snelheid in de x-richting is dan: x(t )  (sin( 15 15

• Na 7,5 seconden is de snelheid: kettingregel

2012 – I

Goniometrie

P

π x(t )  cos(  t ) 15 4π y (t )  cos(  t ) 15

O



π t 15

 12 π dus t  7 12


• Na 7,5 seconden is de snelheid:

71 π

π  (sin( 1 π))  π   π 2 x(7 12 )  (sin( 15 ))  15 2 15 15

• Dus de gevraagde snelheid is exact:

2012 – I

Goniometrie

P

π x(t )  cos(  t ) 15 4π y (t )  cos(  t ) 15

O



π t 15

 12 π dus t  7 12


• Na 7,5 seconden is de snelheid:

71 π

π  (sin( 1 π))  π   π 2 x(7 12 )  (sin( 15 ))  15 2 15 15

1 π (m/s) • Dus de gevraagde snelheid is exact: () 15

2012 – I

Verschoven plank

y

Q

Samengevatte context: Een plank met lengte 280 cm wordt over een muurtje gelegd van 35 cm hoogte. Zie de figuur: p en q zijn de horizontale afstanden van het muurtje tot de uiteinden van de plank. De vraag is, hoe ver de plank maximaal uitsteekt (q).

280 A P

Vraag 13. Toon aan, met behulp van gelijkvormige driehoeken:

p q

35

O 280 p p  1225 2

q p

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Q’

x

2012 – I

Verschoven plank

y

Q


280 A p  35 2

P


2

p q

35

O 280 p p  1225 2

q p

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Bekijk de cosinus van de hellingshoek cos APO in twee driehoeken:

Q’

x

2012 – I

Verschoven plank

y

Q


280 A p  35 2

P


2

p q

35

O 280 p p  1225 2

q p

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Bekijk de cosinus van de hellingshoek cos APO in twee driehoeken: cos APO 

p p 2  352



pq 280

Q’

x

2012 – I

Verschoven plank

y

Q


280 A P


p q

35

O 280 p p  1225 2

q p


Uitwerken tot:

p



p 2  352 280 p p  35 2

2

pq 280 

pq

Q’

x

2012 – I

Verschoven plank

y

Q


280 A P


p q

35

O 280 p p  1225 2

q p


Uitwerken tot:

p



p 2  352 280 p p  35 2

2

pq 280 

p  q dus q 

280 p p  1225 2

p

Q’

x

2012 – I

Verschoven plank

Vraag 14. Toon aan, dat uit q 

280 p p  1225 2

 p volgt:

q( p) 

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Gebruik de quotiëntregel en de kettingregel, als volgt:

2012 – I

Verschoven plank


280 p p  1225 2

q( p) 

 p volgt:

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Gebruik de quotiëntregel en de kettingregel, als volgt: 280  p  1225  280 p 

1 2 p

2

q( p) 

( p  1225) 2

2 p  1225 2

2

280  p  1225  2

1 

p 2  1225

280 p 2 p 2  1225

1

2012 – I

Verschoven plank


280 p p  1225 2

q( p) 

 p volgt:

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1


1 2 p

2

q( p) 

( p  1225) 2

2 p  1225 2

2

Vermenigvuldig de teller en noemer met

280  p  1225  2

1 

p2  1225 :

p 2  1225

280 p 2 p 2  1225

1

2012 – I

Verschoven plank 280 p


p  1225 2

q( p) 

 p volgt:

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1


1 2 p

2

q( p) 

( p  1225) 2

2 p  1225 2

2

Vermenigvuldig de teller en noemer met 280  p  1225  2

p 2  1225

280 p 2

280  p  1225  2

1 

p 2  1225

p 2  1225

1

p2  1225 :

280 p 2 p 2  1225



p 2  1225 p  1225 2

1 

280  p 2  1225  p 2  1225  280 p 2 ( p  1225)  p  1225 2

2

1

2012 – I



p  1225 2

q( p) 

 p volgt:

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1


1 2 p

2

q( p) 

( p  1225) 2

2 p  1225 2

2

Vermenigvuldig de teller en noemer met 280  p  1225 

p 2  1225

p 2  1225

280  ( p 2  1225)  280 p 2 ( p  1225)  p  1225 2

280  p  1225  1 

p 2  1225

p 2  1225

1

p2  1225 :

280 p 2

2



280 p 2

2

2



1 

p 2  1225 p  1225 2

1 

280  p 2  1225  p 2  1225  280 p 2 ( p  1225)  p  1225 2

2

1

2012 – I



p  1225 2

q( p) 

 p volgt:

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1


1 2 p

2

q( p) 

( p  1225) 2

2 p  1225 2

2

Vermenigvuldig de teller en noemer met 280  p  1225 

p 2  1225

p 2  1225

280  ( p 2  1225)  280 p 2 ( p  1225)  p  1225 2

280  p  1225  1 

p 2  1225

p 2  1225

1

p2  1225 :

280 p 2

2



280 p 2

2

2



1 

p 2  1225 p  1225 2

1 

280  p 2  1225  p 2  1225  280 p 2 ( p  1225)  p  1225 2

280  p 2  343000  280 p 2 ( p  1225)  p  1225 2

2

2

1 

1

343000 ( p  1225)  p  1225 2

2

1

2012 – I

Verschoven plank


280 p p  1225 2

 p volgt:

q( p) 

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1

Vraag 15. Bereken exact het maximum van q. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

De afgeleide nul stellen geeft:

2012 – I

Verschoven plank


280 p p  1225 2

 p volgt:

q( p) 

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1



Uitwerken tot: 343000 

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1

2012 – I

Verschoven plank


280 p p  1225 2

q( p) 

 p volgt:

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1



343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

Uitwerken tot: 343000  ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1

112

 ( p  1225) 2

1

( p2  1225)1  ( p2  1225) 2

112

 ( p2  1225)

2012 – I

Verschoven plank


280 p p  1225 2

q( p) 

 p volgt:

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1



343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

Uitwerken tot: 343000  ( p  1225)  ( p  1225) 2

112

Dus ( p2  1225)

2

1

112

 ( p  1225) 2

 343000 1

( p2  1225)1  ( p2  1225) 2

112

 ( p2  1225)

2012 – I

Verschoven plank


280 p p  1225 2

q( p) 

 p volgt:

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1

Vraag 15. Bereken exact het maximum van q. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------343000


( p  1225)  ( p  1225) 2

2

Uitwerken tot: 343000  ( p  1225)  ( p  1225) 2

112

Dus ( p2  1225)

3

2

 343000 2

1

112

 ( p  1225) 2

links en rechts tot de omgekeerde macht verheffen 2

En {( p2  1225) 2 }3  343000 3  4900

2012 – I



p  1225 2

q( p) 

 p volgt:

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1



( p  1225)  ( p  1225) 2

2

Uitwerken tot: 343000  ( p  1225)  ( p  1225) 2

112

Dus ( p2  1225)

3

2

1

 343000 2

2

En {( p2  1225) 2 }3  343000 3  4900 Conclusie: ( p2  1225)  4900 dus

p2  3675 en

112

 ( p  1225) 2

p  3675

2012 – I



p  1225 2

q( p) 

 p volgt:

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1



( p  1225)  ( p  1225) 2

2

Uitwerken tot: 343000  ( p  1225)  ( p  1225) 2

112

Dus ( p2  1225)

3

2

1

112

 ( p  1225) 2

 343000 2

2


p2  3675 en

p  3675 invullen in q geeft maximale q is:

p  3675

280 3675 3675  1225

 3675 

2012 – I



p  1225 2

q( p) 

 p volgt:

343000 ( p  1225)  ( p  1225) 2

2

1



( p  1225)  ( p  1225) 2

2

Uitwerken tot: 343000  ( p  1225)  ( p  1225) 2

112

Dus ( p2  1225)

3

2

1

112

 ( p  1225) 2

 343000 2

2


4  3675

p2  3675 en

p  3675 invullen in q geeft maximale q is:

1 3675

p  3675

280 3675 3675  1225

 3675 

280 3675  3675  3 3675 70

De stelling van Thales Een omtrekshoek is de helft van de bijbehorende middelpuntshoek Links: A12 = ½ M23 Thales: Een omtrekshoek die op een halve cirkelboog (middellijn) staat is dus de helft van 180o. Rechts: De omtrekshoeken bij D, E, enz. zijn 90o. E

D B

F 1

A

1

1 2

M

2

D

3

C

A

C

M

G

B

2012 – I

Rechthoek

Op een cirkel met middelpunt M liggen A, B, C en D zo dat AC een middellijn is en AB // CD.

D

C

Vraag 16. Bewijs dat ABCD een rechthoek is. -------------------------------------------------------M

Bewijs:

A

B

2012 – I

Rechthoek


D

C


Bewijs: • B = D = 90o (Thales) A

B

2012 – I

Rechthoek


D

C 1


Bewijs: • B = D = 90o (Thales) • A2 = C1 (Z-hoeken)

2 A

B

2012 – I

Rechthoek


D

C 1


Bewijs: • B = D = 90o (Thales) • A2 = C1 (Z-hoeken) • AC=AC • Dus ABC  CDA (ZHH)

2 A

B

2012 – I

Rechthoek


D

C 2


Bewijs: • B = D = 90o (Thales) • A2 = C1 (Z-hoeken) • AC=AC • Dus ABC  CDA (ZHH) • Dus is ook A1 = C2 • En dus is ABCD een parallellogram vanwege AD // BC (Z-hoeken)

1 A

B

2012 – I

Rechthoek


D

C


Bewijs: • B = D = 90o (Thales) • A2 = C1 (Z-hoeken) • AC=AC • Dus ABC  CDA (ZHH) • Dus is ook A1 = C2 • En dus is ABCD een parallellogram vanwege AD // BC (Z-hoeken) (*) zie volgende scherm • ABCD is een parallellogram met rechte hoeken dus een rechthoek.

A

B

Voor het bewijs dat ABCD een rechthoek is, is de stelling van Thales nodig, maar niet voldoende. In onderstaande figuur is een aantal rechthoekige driehoeken getekend die niet met driehoek ACD samen een rechthoek vormen maar wel aan de stelling van Thales voldoen. Een van die driehoeken is zelfs ook nog congruent met driehoek ACD (driehoek AEC). Je hebt dus de evenwijdigheid nog nodig van het andere paar rechthoekszijden.

D

A

C

E

2012 – I

Rechthoek E

Door D trekken we een lijn l evenwijdig aan AC. Lijn l snijdt de cirkel behalve in D ook in E. Het snijpunt van ME en CD is S.

D

S

C

Vraag 17. Bewijs dat CSE = 3·CDE . -------------------------------------------------------M

Bewijs:

A

B

2012 – I

Rechthoek E


D

α

S

C

Vraag 17. Bewijs dat CSE = 3·CDE . --------------------------------------------------------

Bewijs:

• Noem EDC = α

M

A

B

2012 – I

Rechthoek E


D

α

S

C


Bewijs:


M

• EDC staat op boog EC • Middelpuntshoek EMC staat ook op boog EC A

B

2012 – I

Rechthoek E


D


Bewijs:

α

S

C

2α


M

• EDC staat op boog EC • Middelpuntshoek EMC staat ook op boog EC

• Dus EMC = 2α

A

B

2012 – I

Rechthoek E


D


Bewijs:

α

2α S

C

2α


M


• Dus EMC = 2α • DEM is ook 2α (Z-hoeken)

A

B

2012 – I

Rechthoek E


D


Bewijs:

α

2α S

C

2α


M


• Dus EMC = 2α • DEM is ook 2α (Z-hoeken) • CSE = CDE + DEM (buitenhoek)

A

B

2012 – I

Rechthoek E


D

α

2α S

3α

C


Bewijs:


M


• Dus EMC = 2α • DEM is ook 2α (Z-hoeken) • CSE = CDE + DEM (buitenhoek) • Dus CSE = α + 2α = 3α Dus CSE = 3·CDE .

A

B

2012 I Onafhankelijk van a

Recommend Documents