Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
MATA KULIAH : MATEMATIKA KODE MATA KULIAH : UNM10.103 SKS : 2 (1(1-1)
PERSAMAAN KUADRAT Oleh Syawaludin A. Harahap, MSc
UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN JATINANGOR 2011
Menentukan
Akar-akar Persamaan
Kuadrat Menyusun Persamaan Kuadrat
Syawaludin A. Harahap
1
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
Suatu persamaan disebut persamaam kuadrat dalam variabel jika pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0, dengan a, b dan ∈ R dan a≠ 0. Nilai x yang memenuhi persamaan ax2 + bx + c = 0 disebut akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0 dan dinotasikan dengan x1 dan x2.
Menentukan akarakar-akar persamaan kuadrat: a. Memfaktorkan; b. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna; c. Rumus abc.
Syawaludin A. Harahap
2
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
a.Memfaktorkan x2 + 5x + 6 = 0 (x + 2)(x + 3) = 0 x + 2 = 0 atau x + 3 = 0 x1 = -2 atau x2 = -3 Jadi akar-akar persamaan x2 + 5x + 6 = 0 adalah x1 = -2 atau x2 = -3
b. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna Pindahkan konstanta 8 ke ruas kanan
x2 – 2x – 8 = 0 x2 – 2x =8 x2 – 2x + 1 = 8 + 1
Tambah kedua ruas dengan ½ koefisien x dikuadratkan atau ( ½ .(-2))2 = 1
( x – 1)2 = 9 Ubah menjadi bentuk x–1=±3 kuadrat dan selesaikan x – 1 = 3 atau x – 1 = -3 x=4 atau x = -2 Jadi akar-akar persamaan x2 – 2 x – 8 = 0 adalah: x = 4 atau x = -2
Syawaludin A. Harahap
3
Matematika: Persamaan Kuadrat
c.
11/22/2011
Menggunakan Rumus abc. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0 mempunyai akar-akar :
x2 – 2x – 8 = 0 ⇒ a=1, b=-2, c=-8
⇒ ⇒
Jadi akar-akar persamaan x2 – 2x – 8 = 0 adalah x1 = 4 atau x2 = -2
Menyusun Persamaan Kuadrat Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
(x – x1)(x – x2) = 0
Persamaan Kuadrat
ax2 + bx + c = 0
x1 + x2 =
−b a
x1.x2 =
c a
Akar-akar
x1, x2
(x – x1)(x – x2) = 0
x2 – (x1+ x2)x + (x1••x2)= 0 Menyusun Persamaan Kuadrat
Syawaludin A. Harahap
4
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
1. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya. Jika akar-akarnya x1 dan x2 , maka persamaan kuadratnya dapat disusun dengan cara : a. Memakai Perkalian Faktor ( x – x1).( x – x2) = 0 b. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar.
x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
Contoh :
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya : 2 a. 2 dan 5 b. ½ dan 3
Jawaban :
a. Akar-akarnya x1 = 2 dan x2 = 5. Dengan Perkalian Faktor. (x – 2)(x – 5) = 0 ⇒ x2 - 5x - 2x + 10 = 0 ⇒ x2 - 7x + 10 = 0
Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5 adalah x2 – 7x + 10 = 0
Syawaludin A. Harahap
5
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
Jawaban lanjutan a. Akar-akarnya x1 = 2 dan x2 = 5. Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
x2 - (x1+ x2)x + (x1.x2) = 0 x2 - (2 + 5)x + (2.5) = 0 x2 - 7+ 10 = 0 Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5 adalah x2 – 7x + 10 = 0
b. Akar-akarnya x1 = ½ dan x2 = Dengan perkalian faktor. (x – ½)(x –
2 3
)=0
⇒
2 1 4 3 + = + 3 2 6 6 7 = 6
2 1 x -½x + =0 3 3 1 1 2 x2 − 3 + 2 x + =0 3 1 7 x2 − 6 x + = 0 (dikali 3
⇒ x2 − ⇒
2 3
⇒ 6x2 - 7x + 2 = 0
6) 2
Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya ½ dan 3 adalah 6x2 – 7x + 2 = 0.
Syawaludin A. Harahap
6
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
Jawaban lanjutan
b. Akar-akarnya x1 = ½ dan x2 =
2 3
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akarakar. x2 - (x1+ x2)x + (x1•x2) = 0 ⇒ x2 − 3 + 2 x + 7 1 ⇒ x2 − x + 2
6
1
3
1 1 • = 3 2
0
= 0 (dikali 6)
⇒ 6x2 - 7x + 2 = 0
2
Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya ½ dan 3 adalah 6x2 – 7x + 2 = 0.
2. Menyusun persamaan kuadrat yang akarakarnya diketahui mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya, maka persamaan kuadratnya dapat disusun dengan cara a.Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar b. Penghapusan indeks, jika akar-akarnya simetri
Syawaludin A. Harahap
7
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
a.Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
Contoh :
Diketahui A dan B adalah akar-akar persa-maan kuadrat 2x2 – 6x – 5 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akarakarnya
1 dan A
1 B
Jawab : Persamaan kuadrat yang diketahui 2x2 – 6x – 5 = 0 mempunyai akar-akar A dan B, sehingga :
−b − (−6) = = 3 a 2 c −5 A•B = = a 2 A+B =
a= 2 b=−6 c=−5
Jawaban lanjutan Persamaan kuadrat barumempunyai akar-akar :
1 1 1 1 dan dan atau x1 = x2 = B A B A
A+ B = 3 −5 A• B = 2
sehingga :
x1 + x2 = x1•x2 =
Syawaludin A. Harahap
1 1 A+ B + = A B A•B
=
3
−5 2
= 3×
2 6 =− −5 5
1 1 1 2 2 1 • = = 1× =− = −5 A B A•B −5 5 2
8
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
−6 5 −2 x1 • x2 = 5
Persamaan kuadrat yang baru adalah x1 + x2 =
x2 - (x1+ x2)x + (x1•x2) = 0 −6
−2
⇒ x2 − 5 x + 5 = 0 (dikali 5)
⇒ 5x2 - (-6)x + (-2) = 0 ⇒ 5x2 + 6x - 2 = 0 Jadi persamaan kuadrat yang baru adalah 5x2 + 6x - 2 = 0.
b. Penghapusan indeks, jika akar-akarnya simetris Bentuk simetris adalah suatu bentuk aljabar yang harganya tidak berubah meskipun susunan varibelnya dipertukarkan tempatnya. Misalnya : a + b = b + a, a.b = b.a, a2 – 2ab + b2 = b2 – 2ab + a2, dll.
Contoh : Diketahui A dan B adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 6x – 5 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya : 1 dan 1 A B
Syawaludin A. Harahap
9
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
Persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar
1 dan 1 A B
1 1 dan x2 = A B 1 1 atau A = dan B = x1 x2 atau x1 =
A dan B adalah bentuk akar yang simetris, karena jika indeks 1 dan 2 pada x dihapus akan diperoleh bentuk yang sama yaitu A = B =
1 x
Karena A dan B adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 6x – 5 = 0, maka 2A2 – 6A – 5 = 0 dan 2B2 – 6B – 5 = 0 2 1 1 1 1 atau 2 - 6 - 5 = 0 ⇒ 2 2 - 6 - 5 = 0 (dikali x2) x x x x ⇒ 2 – 6x – 5x2 = 0 (dikali - 1) ⇒
5x2 + 6x – 2 = 0
(persamaan kuadrat baru yang diminta)
Syawaludin A. Harahap
10
