Matematika: Aljabar (Persamaan Linear)
11/15/2011
MATA KULIAH : MATEMATIKA KODE MATA KULIAH : UNM10.103 SKS : 2 (1(1-1)
ALJABAR Oleh Syawaludin A. Harahap
UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN JATINANGOR 2011
SUB POKOK BAHASAN PENGANTAR PERSAMAAN LINEAR
Syawaludin A. Harahap
1
Matematika: Aljabar (Persamaan Linear)
11/15/2011
PENGANTAR ALJABAR Aljabar pertama kali dikembangkan oleh Mu Muḥ ḥammad bin Mūsā al al-Khawāārizm Khaw rizmīī (780780-850), 850), seorang ahli matematika,, astronomi matematika astronomi,, astrologi astrologi,, dan geografi yang berasal dari Persia Persia.. Al jabar merupakan bahasa simbol dan relasi.. relasi
Hukum--hukum Atau SifatHukum Sifat-sifat Aljabar 1. Sifat tertutup (Closure Closure): ):
2. 3.
Untuk setiap a, b ∈ R, jika a + b = c dan a x b = d, maka (i) c ∈ R dan (ii) d ∈ R. Sifat Pengelompokan (Asosiatif Asosiatif): ): Untuk setiap a, b, c ∈ R berlaku berlaku:: (i) a+( a+(b+c b+c)=( )=(a+b a+b)+c, )+c, (ii) a x (b x c) = (a x b) x c. Ada elemen Netral, Netral, yaitu 0 (nol (nol)) pada penjumlahan dan 1 (satu) satu) pada perkalian perkalian.. Sesuai namanya maka sifat elemen netral tersebut adalah: adalah: Untuk setiap a ∈ R maka maka:: (i ( i) a + 0 = a = 0 + a, dan (ii) 1 x a = a = a x 1
Syawaludin A. Harahap
2
Matematika: Aljabar (Persamaan Linear)
11/15/2011
4. Elemen Invers Invers..
5. 6.
Setiap bil bil.. Real a mempunyai invers penjumlahan (aditif aditif)) yaitu − a (negatif a) dan untuk setiap a ∈ R dan a ≠ 0 mempunyai sebuah invers perkalian 1/a (kebalikan a). a). Dalam hal ini: ini: (i) a + (-a) = 0 = (-a) + a, dan a x 1/a = 1 = 1/a x a asal a ≠ 0 Sifat Komutatif Untuk setiap a, b ∈ R berlaku berlaku:: (i) a + b = b + a dan a x b = b x a. Distributif.. Distributif Untuk setiap a, b, c ∈ R berlaku a x (b + c)= ab + ac. ac. Untuk setiap a ∈ R, berlaku a x 0 = 0. Untuk setiap a, b, c, d ∈ R berlaku (a + b) x (c + d)=ac + ad + bc + bd bd.. Untuk setiap a, b ∈ R, berlaku berlaku:: (i) (-a) x b = -(a x b), (ii) (a) x -b = -(a x b), dan (-a) x (-b) = a x b.
PERSAMAAN LINEAR
Syawaludin A. Harahap
3
Matematika: Aljabar (Persamaan Linear)
11/15/2011
Persamaan adalah suatu pernyataan matematis matematis.. Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial eksponensial,, trigonometri (seperti sin, cos cos,, dll. dll.), perkalian,, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri perkalian sendiri.. Suatu persamaan disebut persamaan linear dalam suatu variabel jika pangkat tertinggi dari variabel dalam persamaan tersebut adalah 1. Contoh : Jika seorang petani ikan membeli 1 pasang induk ikan lele (x) dan 2 pasang induk ikan nila (y) maka ia harus membayar Rp. Rp. 5000 5000,, sedangkan jika membeli 3 pasang induk ikan lele dan 1 pasang induk ikan nila maka ia harus membayar Rp 10000 10000.. Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL adalah adalah:: x + 2y = 5000 3x + y = 10000
Garis lurus pada bidang x1 dan x2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a1x1 + a2x2 + b = 0 Bentuk umum persamaan linear: a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a12 x2 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 . . . . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2 + … +a +amn xn = bm
Syawaludin A. Harahap
4
Matematika: Aljabar (Persamaan Linear)
11/15/2011
Penyelesaian Persamaan linear: 1. Eliminasi dengan cara substitusi Contoh: Contoh: Sistem persamaan persamaan:: 3x – 6y = 10……………(1) 10……………(1) 9x +15y = -14…………… 14……………(2) (2) Selesaikan (1) untuk mencari x: x = 10/3 + 2y Substitusikan kedalam (2): 9(10/3+2y)+15y = -14 30 + 18y + 15y = -14 33y = -44 y= - 4/3 Substitusikan nilai y ke dalam (2): (2): x = 10/3+ 2(2(-4/3) x = 2/3
2.
Eliminasi dengan cara penambahan Contoh:: Contoh sistem persamaan persamaan:: 2x – 3y =10…………………..(1) =10…………………..(1) 3x – 4y = 8…………………...(2) 8…………………...(2) Kalikan (1) dengan -3 dan kalikan (2) dengan 2: -6x + 9y = -30 6x – 8y = 16 + Tambahkan:: Tambahkan y = -14 Substitusikan nilai y ke dalam (1): (1): 2x + 42 = 10 x = -16
Syawaludin A. Harahap
5
Matematika: Aljabar (Persamaan Linear)
11/15/2011
y = ax + b
?
LATIHAN -1 Tentukan nilai x dari persamaan berikut:
A. 2
4 C. 6 D. 8 E. 10 B.
Syawaludin A. Harahap
6
Matematika: Aljabar (Persamaan Linear)
11/15/2011
Pembahasan Kalikan dengan 10:
6x – 4 = 40 – 5x 11x = 44 X=4 Jadi jawabannya adalah B
LATIHAN -2 Jika suatu sistem persamaan linear: ax + by = 6…………………..(1) 2ax + 3by = 2………………..(2) Mempunyai penyelesaian x = 2 dan y = -1, maka a2 + b2 = ………… A.200 B.174 C.265 D.164 E.110
Syawaludin A. Harahap
7
Matematika: Aljabar (Persamaan Linear)
11/15/2011
Pembahasan Substitusikan nilai x=2 dan y=-1 ke dalam persamaan (1) dan (2): a. 2 - b.1 = 6 2. a. 2 - 3.b.1 = 2 eliminasi a 2. a - b = 6 |x 4| 8.a - 4. b = 24 4. a - 3b = 2 |x 2| 8.a - 6.b = 4 2b = 20 b = 10 substitusikan nilai b = 10 2.a - b = 6 2a – 10 = 6 2a = 16 a=8 Sehingga a2 + b2 = 82 + 102 = 164 Jawabannya adalah D
LATIHAN -3 Tujuh tahun lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah… A.39 tahun B.43 tahun C.49 tahun D.54 tahun E.78 tahun
Syawaludin A. Harahap
8
Matematika: Aljabar (Persamaan Linear)
11/15/2011
Pembahasan misal umur ayah = x umur Budi = y x – 7 = 6 (y-7) ⇒ x – 7 = 6y - 42 2( x+ 4) = 5 (y+4)+9 ⇒ 2x +8 = 5y+20 +9
kondisi 7 tahun yang lalu antara umur ayah dan Budi (masing-masing umur dikurang 7 tahun)
x – 7 = 6y - 42 ⇒ x – 6y = -35 ……….(1) 2x +8 = 5y+20 +9 ⇒ 2x – 5y = 21…...(2) pers (1) dan (2) eliminasi x x – 6y = -35 x2 ⇒ 2x – 12y = -70 2x – 5y = 21 x1 ⇒ 2x – 5y = 21 - 7y = -91
kondisi 4 tahun yang akan datang, umur ayah dan Budi masing-masing ditambah 4 tahun
y = 13 masukkan nilai y ke (1) x – 6y = -35 ⇒ x – 78 = -35 x = 78 -35 = 43 Jawabannya adalah B
Syawaludin A. Harahap
9
