2011 HIMPUNAN. Syawaludin A. Harahap 1

Matematika: Himpunan

10/18/2011

HIMPUNAN

Syawaludin A. Harahap

1


10/18/2011

Dikembangkan oleh matematikawan Jerman bernama George Cantor (1845-1918), dan dikenal sebagai bapak dari teori himpunan. Himpunan didefinisikan sebagai suatu kumpulan/koleksi dari objekobjek sebarang. Cara pengumpulan objek-objek itu biasanya berdasarkan sifat/keadaan mereka yang sama, ataupun berdasarkan aturan tertentu/yang ditentukan. Contoh 1.1: Himpunan yang terdiri dari mahasiswa-mahasiswa perikanan dan ilmu kelautan. Himpunan dari semua bilangan asli yang lebih besar dari 6. Himpunan yang terdiri dari ikan, bivalva dan crustacea.

Nama himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya A, B, C,…,P, Q,…, atau yang lainnya. Setiap objek dalam suatu himpunan disebut elemen (unsur anggota) himpunan dan biasanya diyatakan dengan huruf kecil, misalnya a, b, p, x,…, dan sebagainya. Jika a merupakan elemen dari himpunan A, maka kita dapat menuliskannya sebagai a ∈ A. Jika b bukan elemen dari himpunan A, maka dapat dituliskan sebagai b ∉ A. Ada 2 bentuk penulisan suatu himpunan, yaitu: 1) Bentuk pendaftaran (tabular-form), yaitu dengan menuliskan semua elemen himpunan tersebut di dalam kurung kurawal. Contoh 1.2: Himpunan A={lele, patin, baung} Himpunan B={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}


2


10/18/2011

2) Bentuk pencirian (set-builder form), yaitu dengan menuliskan sifat/ketentuan mengenai elemen himpunan tersebut. Contoh 1.3: Himpunan A={x|x adalah ikan cat fish}. Himpunan B={x|x adalah bilangan bulat}. Banyaknya elemen suatu himpunan dilambangkan dengan suatu huruf n. Untuk menghitung banyak elemen suatu himpunan, harus ditulis terlebih dahulu dengan cara pendaftaran. Contoh 1.4: Himpunan A, bila ditulis dengan menyatakan sifatnya A={x|x adalah bilangan Asli, x ≤9} atau bila dituliskan dengan cara pendaftaran A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} , maka n(A) = 9. Himpunan C, bila dituliskan dengan cara mendaftar C={0,1,2,3,4} atau bila ditulis dengan menyatakan sifatnya C={x|x bilangan Bulat, 0≤x≤4 }, maka n(C)=5.

Jika suatu himpunan banyak anggotanya tak berhingga disebut himpunan tak berhingga. Contoh1.5: Himpunan B, bila dituliskan dengan cara pendaftaran B={..., -3,2,-1,1,2} atau bila ditulis dengan menyatakan sifatnya B={x|x bilangan Bulat, x < 3}, maka n(B)=∞ Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut dengan himpunan hampa (kosong), dinyatakan dengan: ∅ atau { }. Contoh 1.6: Himpunan ∅: A={x|x2=9, x genap}. Himpunan A dan B dikatakan sama (A A=B B), jika kedua himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang sama. Contoh 1.7: A={2, 1, 4}, B={4, 1, 2}, maka A=B P={x|x2-3x=-2}, Q={2, 1}, R={1, 2, 2, 1}, maka P=Q=R


3


10/18/2011

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B, apabila setiap anggota dari A juga merupakan anggota dari B. Ditulis A ⊂ B (atau B merupakan himpunan super/superset dari A, B ⊃ A. Contoh 1.8: P={1, 2, 4}, Q={1, 4, 5, 2}, maka P ⊂ Q G={x|x bilangan genap}, H={x|x bilangan bulat, maka G ⊂ H.

Cara lain untuk mengenali himpunan adalah dengan cara menggambarkan. Dikenal dengan sebutan diagram Venn. Venn Diagram Venn diperkenalkan oleh John Venn [1834 – 1923], seorang ahli logikawan berkebangsaan Inggris. Venn membuat himpunan semesta sebagai persegi panjang. Himpunan-himpunan sebagai lingkaran. Pada diagram Venn akan digambarkan komplemen dari suatu himpunan. Dan hubungan antara 2 himpunan atau lebih. Contoh 1.9: A⊂B dan A≠∅ dapat kita gambarkan sebagai berikut: U B b.


A a.

A⊂B a ∈ A, b ∉ A b∈B

4


10/18/2011

1. Gabunagan (Union), dinotasikan dengan ∪. A ∪ B={x | x ∈ A atau x ∈ B. Dalam diagram Venn: U A

A={a, b} B={p, r} Maka A ∪ B={a, b, p, r}

B a. b.

p. r.

Sifat-sifat operasi gabungan: i. A ∪ B= B ∪ A ii. A ⊂ (A ∪ B); B ⊂ (A ∪ B) iii.Bila A ⊂ B, maka A ∪ B=B iv.A ∪ U=U

2. Irisan (Intersection), dinotasikan dengan ∩. A ∩ B={x | x ∈ A dan x ∈ A}

A∩ B U A a. p. r.

B p. r. q.

A={ a, p, r} B={p, r, q} Maka A ∩ B={p, r}

Sifat-sifat operasi irisan:

i. A ∩ B= B ∩ A ii. (A ∩ B) ⊂ A; (A ∩ B) ⊂ B iii.Bila A ⊂ B, maka A ∩ B=A iv.A ∩ ∅= ∅, A ∩ U= A


5


10/18/2011

3. Selisih (Difference), dinotasikan dengan − A −B={x | x ∈ A dan x∉ B U A

B

A={a, b, c, d} B={f, b, d, g} Maka A − B={a,c}, dan B − A={f, g}

Sifat-sifat selisih antar himpunan: i.(A − B)⊂ A ii.A − B ≠ B − A, bila A ≠ B iii.Jika A ⊂ B, maka A − B=∅ dan (B −A) ⊂ B

∀

4. Komplemen dari A, dinotasikan A′ atau

atau Ac

A′={x|x∉A, x∈ U}= U−A U A

Misal U={x| huruf latin} dan T={x | x konsonan} makaT={x | x vokal}= {a, i, u, e, o}

Sifat-sifat komplemen: i.A ∩ A′=∅ ii.A∪ A′=U

iii.U′= ∅, ∅′= U iv.(A′)′=A v.A−B=A ∩ B′


6


10/18/2011

5. Operasi Selisih simetri, dinotasikan dengan “∆”

A ∆ B= (A ∪ B)− (A ∩ B)=(A − B) ∪ (B − A) U A


B

Jika A={2, 3, 4, 6}, B={1, 3, 4, 5, 6}, maka A ∆ B={1, 2, 5}

7

2011 HIMPUNAN. Syawaludin A. Harahap 1

Recommend Documents