HIMPUNAN A. Penulisan Himpunan 1. Pengertian himpunan Himpunan adalah kumpulan obyek yang dapat didefinisikan secara jelas. Himpunan dituliskan dengan huruf kapital. Misalnya A, B, dsb. Himpunan ditulis dengan menggunakan tanda kurung kurawal buka dan tutup, misalnnya { a, b}. Contoh Himpunan Contoh Bukan Himpunan Himpunan bilangan prima Kumpulan orang-orang kaya Kumpulan hewan berkaki empat Himpunan gadis-gadis berparas cantik Himpunan bilangan kuadrat kurang dari 80 Himpunan lukisan indah 2.
Lambang himpunan No. Lambang keterangan 1. S Himpunan semesta 2. ∅={ } Himpunan kosong ⊂ 3. Himpunan bangian ⊄ 4. Bukan himpunan bangian ∈ 5. Anggota/elemen/unsur
No. 6. 7. 8. 9. 10.
Lambang ∉ ∩ ∪ P’ n(P)
keterangan Bukan anggota/bukan elemen Irisan suatu himpunan Gabungan suatu himpunan Komplemen himpunan P Banyak anggota himpunan P
B. Keanggotaan Suatu Himpunan 1. Pengertian anggota himpunan Untuk menyatakan anggota setiap himpunan dinyatakan dalam " ∈ " (dibaca : elemen, unsur, anggota), sedangkan tanda ∉ dibaca bukan elemen, bukan anggota, atau bukan unsur dari suatu himpunan. 2. Menyatakan banyak anggota suatu himpunan Banyaknya anggota suatu himpunan, misalnya himpunan A dituliskan n(A). 3. Mengenal beberapa himpunan Nama Himpunan Contoh Nama Himpunan Contoh Himpunan bilangan asli A = { 1, 2, 3, ... } Himpunan bilangan prima P = {2, 3, 5, ... } Himpunan bilangan cacah C = { 0, 1, 2, ...} Himpunan bilangan kuadrat H = { 0, 1, 4, 9, ... } Himpunan bilangan ganjil B = { 1, 3, 5, ... } himpunan bilangan komposit K = { 4, 6, 8, ... } Himpunan bilangan genap D = {2, 4, 6, ... } Himpunan bilangan bulat B = { ... -1, 0, 1, 2, ... } Catatan : Himpunan berhingga adalah himpunan yang anggotanya berhingga/terbatas. Himpunan tak berhingga adalah himpunan yang anggotanya tak hingga / tak terbatas. Pendalaman materi 1. 1. Nyatakan BENAR atau SALAH pernyataan berikut. Bila himpunan P = { 2, 3, 5, 7, 11} a. 7 ∈ P b. (2, 3) ∈ P c. 4 ∉ P d. (3, 4, 5) ∈ P e. (7, 10, 11) ∈ P f. (1, 3, 5, 7) ∉ P g. {7, 11} ∉ P h. (2, 5, 11) ∈ P i. (3, 7, 11) ∈ P j. {5, 7, 11} ∉ P 2.
Nyatakan pernyataan berikut BENAR atau SALAH. a. (2, 3, 4) ∈ bilangan asli b. (-1, 0, 2, 3) ∈ bilangan cacah c. (-4, -1, 0, 1, 4) ∉ bilangan kuadrat d. (4, 6, 9, 12) ∉ bilangan komposit e. (kambing, kucing, kerbau, sapi) ∈ binatang carmivora
Matematika 7 - Himpunana
1
f. g. h. i. j.
(6, 12, 18 ) ∉ bilangan kelipatan 2 dan 3 (A, M, T) ∉ pembentuk kata ARITMATIKA (-27, -8, -1, -4) ∈ bilangan kubik (-4, -2) ) ∈ bilangan genap (4, 5) ) ∈ faktor dari 60
3.
Lengkapi agar menjadi pernyataan yang BENAR dengan menggunakan tanda “ ∈ atau ∉ a. (1, 2, 3, 4, 6) ….. {faktor dari 18} b. (121, 64, 27, 8, 1) ….. {bilangan kubik} c. (12, 24, 36, 48) ….. {bilangan kelipatan 3 dan 4} d. (Januari, Juni, Juli) ….. {nama-nama bulan yang huruf depannya J} e. (singa, tikus, harimau, kucing) …. {Hewan pemakan daging} f. (air, alkohol, bensin, oli) …. {Benda cair} g. (merah, kuning, hitam, hijau) …. {Warna tanda lalu lintas} h. (bus, taxi, kereta api) ….. {kendaraan trasportasi} i. (matematika, biologi, basket) ….. {mata pelajaran di sekolah} j. (pensil, spidol, bolpoin) ... {alat tulis}
4.
Tuliskan anggota dari setiap himpunan berikut dan hitunglah banyak anggotanya. a. Himpunan bilangan prima antara 40 dan 61 b. Himpunan bilangan komposit 20 sampai 40 c. Faktor persekutuan 250 dan 200 d. K = {pembentuk kata SUSI SUKA MAKAN NASI } e. I = { pembentuk kata MERDEKAWATI TIDAK MATI MENDADAK } f. H = { x / x < 8, x ∈ faktor dari 96} g. Z = { a / -4 ≤ a < 8, a ∈ bilangan genap } h. Kumpulan faktor prima dari 720 i. Kumpulan bilangan ganjil antara 1 - 50 yang habis dibagi 5 j. Kumpulan faktor dari 120
C.
Menyatakan Suatu Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara : 1. Kata-kata (metode deskripsi) Suatu himpunan dapat dinyatkan dengan menggunakan kata-kata untuk menyebutkan syarat keanggotanya. Syarat keangggotaannya harus jelas agar objek yang tidak memenuhi syarat tidak dapat masuk dalam himpunan tersebut. Contoh : P adalah himpunan 7 bilangan asli yang pertama 2.
Notasi pembentuk himpunan (metode rule) Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Anggotanya dilambangkan dengan huruf, kemudian diikuti dengan sebuah garis syarat keanggotaan himpunan tersebut. Contoh : P = { x / x < 8, x ∈ A}
3.
Mendaftar anggota-anggotanya (metode tabulasi/roster) Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara mendaftar setiap anggota himpunan. Anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal dan antara anggota satu dengan yang lain dibatasi oleh tanda koma. Contoh : P = { 1, 2, ... , 7}
D. Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dituliskan { } atau ∅. Contoh himpunan kosong. Kumpulan bilangan asli kurang dari 1 H = {x / 17 < x < 18, x ∈ bilangan bulat} I = {x / x < 0, x ∈ bilangan genap}
Matematika 7 - Himpunana
2
Pendalaman materi 2. 1. Lengkapilah tabel di bawah ini ! Metode Deskripsi A = Himpunan bilangan asli kurang dari 4 B = Kumpulan faktor prima dari 72 C = Kelompok bilangan komposit kurang dari 12
Metode Rule
Metode Roster
M = {x / x < 15, x ∈ prima} N = {y / -3 ≤ y < 2, y ∈ Bulat} A = { a / a > 81, a ∈ bil kuadrat} B = {1, 2, 3, 4} C = {1, 8, 27, 64 } D = { ... , -1, 0, 1} 2.
Manakah dari himpuna berikut yang merupakan himpunan kosong. a. Himpunan bilangan genap antara -8 dan 2 g. Kumpulan siswa SMP berumur kurang dari 9 b. Himpunan bilangan prima yang habis dibagi 2 tahun c. Himpunan bilangan bulat negatif h. Faktor prima 60 yang lebih dari 20. d. Bilangan prima kurang dari 2 i. A = { c / 120 < c < 130, faktor dari 600 } e. Kumpulan bilangan asli kurang dari 1 j. B = { x / x < 100, x bilangan kuadrat dan kubik } f. Kumpulan bilangan prima dari 7 sampai 10
E.
HIMPUNAN SEMESTA Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta di nyatakan dengan huruf “ S “ Contoh : Semesteta dari {1, 2, 3} : S = { tiga bilangan asli pertama) atau s = { bilangan cacah kurang dari 4}
Pendalaman materi 6.3. Tentukan semesta untuk himpunan berikut : 1. U = { 2, 3, 5, 7 } 2. J = {100, 121, 144} 3. T = { Januari, Juni, Juli } 4. R = { hijau, merah, kuning} 5. V = {S, T, U} 6. W = { T, A, M} 7. K = {I, T, N, S} 8. X = { 2, 3, 4 } F.
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
Y = { penyu, kepiting, kura-kura} E = { kelinci, domba, unta } G = {Senin, Sabtu} Q = {bolpoin, spidol} A = { Simpati, Im3, Mentari} B = { Bus, Kereta api, kapal laut} C = {Zat cair, zat gas, zat padat}
Diagram Venn S
A
•4
•2 •3 •1
Ketentuan membuat diagram Venn 1. Himpunan semesta (S) dituliskan disebelah pojok kiri atas, 2. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan tanda noktah diikuti nama bilangan, 3. Setiap himpunan yang termuat didalam semester ditunjukkan dengan kurva tertutup sederhana. 4. Jika anggota suatu himpunan banyak sekali , pada diagram Venn tidak menggunakan noktah.
G. Himpunan Bagian S
A B
Matematika 7 - Himpunana
1.
Pengertian himpunan bagian Himpunan B merupakan himpunan bagian dari A, jika setiap anggota himpunan B menjadi anggota himpunan A, ditulis dengan notasi B ⊂ A atau A ⊃ B. B ⊂ A dibaca himpunan B himpunan bagian dari himpunan A A ⊃ B dibaca himpunan A memuat himpunan B
3
2.
Menentukan banyaknya himpunan bagian p Misalnkan n(A) = p, maka banyak himpunan bagian dari himpunan A adalah 2 . Cara lain dapat menggunakan pola bilangan segitiga Pascal.
Contoh : Diketahui himpunan Y = {a, b, c}, maka : 3 Banyak himpunan bagian Y adalah 2 = 8 Himpunan bagian dari himpunan Y adalah ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, dan {a, b, c} Segitiga Pascal. 1 1
1 2
1 Banyak anggota
1
1
3
3
0
1
2
H. Hubungan Antar Himpunan Hubungan Antar Himpunan Himpunan saling lepas/saling asing Tidak memunyai anggota persekutuan. Notasi // atau ⊃⊂ Himpunan tidak saling lepas/saling bergantungan Memunyai anggota persekutuan. Notasi ≬
Diagram Venn
A
B
A
B
1 1
Hubungan Antar Himpunan Himpunan ekuivalen Banyaknya anggota kedua himpunan sama Notasi ∼
Himpunan yang sama Memunyai anggota yang sama Notasi =
Diagram Venn A
B
a•
•b •d •f
c• e• A=B
Pendalaman materi 6.4. 1. Perhatikan diagram berikut ! S A
•1
•2 •6 • 3 •• 74 •8
•0 2.
B
Perhatikan diagram Venn berikut ! S P
•h
•b •g •e •d •i •c •a
3.
Tentukan : a. anggota dari himpunan A dan n(A) b. anggota dari himpunan B dan n(B) c. Anggota dari himpunan A atau B.
Tentukan banyak himpunan bagian dari : a. Bukan himpunan P b. Bukan himpunan Q
Q
•f
Diketahui himpunan S = { 1, 2, 3, ... , 12}, K = { 1, 2, 3, 4, 5, 8}, L = {3, 6, 7, 8, 9}, dan M = {4, 5, 7, 8, 10}. a. Gambarkan diagram Vennya b. Tentukan anggota K dan L c. Tentukan anggota K dan M d. Tentukan anggota K, L, dan M
Matematika 7 - Himpunana
4
4.
Lengkapilah agar menjadi pernyataan yang benar dengan memberi tanda ⊂ atau Ȼ ! Diketahui himpunan A = { a, b, c, d} a. {a, b} ... A b. {d, e} ... A c. (b, d) ... {a, b, c, d} d. {a, b, c} ... {a, b, c, d}
5.
Berilah tanda ⊂ atau Ȼ agar menjadi pernyataan yang benar ! a. { } ... {1, 2, 3} b. {1} ... {1} c. {1, 2} ... {1, 2} d. {1, 2 } ... {1, 2, 3, 4}
6.
Diketahui : himpunan A = {x / x ∈ faktor dari 12}, B adalah kumpulan bilangan asli kurang dari 3, himpunan C = { pembentukan kata “ IKAN”}, himpunan D merupakan kumpulan bilangan prima kurang dari 13, kumpulan daru huruf pembentuk kata “KANI” dan himpunan F = { 3, 4, 5}. Tentukan hubungan antar himpunan berikut : a. Himpunan A dan D b. Himpunan C dan E c. Himpunan B dan D d. Himpunan B dan A e. Himpunan B dan F
7.
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan berikut : a. A = {x / 2 < x < 10, x ∈ Prima} b. B = {x / x < 50, x ∈ bilangan kelipatan 2 dan 3} c. C = { huruf hidup dari pembentuk kata “ Indah Sekali”} d. D adalah kumpulan bilangan kuadrat kurang dari 100
8.
Diketahui himpunan P = {pembentuk kata “Ikan Ikat Kain} Tentukan : a. n(P) b. banyak himpunan bagian dari himpunan P, c. tuliskan semua himpunan bagian dari P.
9.
Diketahui himpunan L = {o, p, r, s, t}. Tentukan banyak himpunan bagian dari K yang memunyai : a. 2 anggota b. 3 anggota c. 4 anggota d. 5 anggota
10. Diketahui banyak himpunan bagian dari himpunan P adalah 128. Tentukan : a. n(P) b. Banyak himpunan bagian dari P yang terdiri dari 3 anggota.
Matematika 7 - Himpunana
5
I.
Operasi Himpunan 1. Jenis-jenis operasi himpunan Operasi Himpunan Pengertian Irisan dua himpunan Irisan himpunan M dan N adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota M dan N. Notasi pembentuk himpunan : M ∩ N = x/∈ M dan x ∈ N
2.
Diagram Venn M
N
Gabungan dua himpunan
Gabungan himpunan M dan N adalah semua anggotanya terrdapat pada M atau N. Notasi pembentuk himpunan : 𝑀 ∪ 𝑁 = 𝑥/∈ 𝑀𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝑁
M
N
Selisih dua himpunan
Selisih himpunan M dan N adalah anggotanya terdapat pada M tetapi tidak ada pada N. Notasi pembentuk himpunan : 𝑀 − 𝑁 = 𝑥/𝑥 ∈ 𝑀 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝑁
M
N
Jumlah dua himpunan
Jumlah himpunan M atau N adalah anggotanya pada M saja atau pada N saja, tetapi tidak ada anggota irisan M dan N. Notasi pembentuk himpunan : 𝑀 + 𝑁 = 𝑥/𝑥 ∈ 𝑀 ∪ 𝑥 ∈ 𝑁, 𝑥 ∉ 𝑀 ∩ 𝑁
Komplemen himpunan
Komplemen himpunan M adalah anggotanya terdapat pada S tetapi bukan anggota M. Notasi pembentuk himpunan : M’ = 𝑥/𝑥 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝑀
Sifat-sifat operasi himpunan No. Nama Sifat 1. Sifat idempoten 2. Sifat asosiatif 3. Sifat komutatif 4. Sifat distributif 5. Sifat identitas 6. Sifat komplemen 7. Sifat selisih 8. Hukum Morgan
3.
Gabungan M∪M=M (L∪M)∪N=L ∪(M∪N) M∪N=N∪M L ∪ (M ∪ N ) = (L ∪ M ) ∪ ( L ∪ N ) M ∪ ∅ = M, M ∪ S = S M ∪ 𝑀′ = S, ( M’ )’ = M M – N = M ∩ N’ ( M ∪ N)’ = M’ ∩ N’
M
N
A
Irisan M∩M=M (L ∩ M) ∩ N = L ∩ (M ∩ 𝑁) M∩N=N∩M L ∩ (M ∩ N) = (L ∩ M) ∩ (L ∩ N) M ∩ ∅ = ∅, M ∩ S = M M ∩ M’ = ∅, S’ = ∅, ∅’ = S M’ = S – M = S ∩ M’ (M ∩ N)’ = M’ ∪ N’
Operasi himpunan a. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) b. n(S) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)’ c. n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – [n(A∩B + n(A∩C) + n(B∩C)] + n(A∩B∩C) d. n(S) = n(A∪B∪C) + n(A∪B∪C)’
Pendalaman materi 6.5. 1. Perhatikan diagram venn berikut : S P
•h
•b •g •e •d •i •c •a
Matematika 7 - Himpunana
Q
•f
Tentukan : a. Anggota dari P ∪ Q b. Anggota dari Q ∩ P c. Anggota dari Q – P d. Anggota dari P + Q e. Anggota dari (P’ ∪ Q’)
6
2.
Perhatikan diagram Venn S
D
C
•3 •4
•1 •5 •2 •7 •9 • 10
•6
Tentukan : a. anggota C – D b. anggota D – C c. anggota (C ∩ D)’ d. anggota S – (C ∪ D)’ e. anggota (C ∪ D) ∩ (C ∩ D)’
3.
Diketahui tiga himpunan dengan hubungan A ⊂ B dan B ⊂ C. Tentukan hasil dari hubungan antar himpunan berikut : a. A ∪ B b. B ∪ C c. A ∪ C d. B ∩ A e. A ∩ C f. A ∩ (B ∪ C) g. A ∪ (B ∩ C)
4.
Dari 80 siswa yang disurvei tentang kegemaran menonton acara olahraga di TV, diperoleh 48 orang gemar menonton volley, 42 gemar menonton basket, dan 10 orang tidak kemar kedua acara tersebut. Banyak siswa yang hanya gemar menonton basket adalah …..
5.
Dalam sekelompok anak diketahui: 20 anak gemar fisika, 18 gemar biologi, 25 gemar sejarah, 12 gemar fisika dan biologi, 10 gemar biologi dan sejarah, 13 gemar fisika dan sejarah, 8 anak gemar ketiga pelajaran, dan 9 anak tidak menyukai ketigannya. Banyak anak dalam kelompok tersebut adalah ….
6.
Dari sekelompok anak yang terdiri 36 anak, 6 anak diantaranya menyukai handphone Nokia dan Samsung. Perbandingan anak menyukai handphone Nokia dan Samsung adalah 4 : 3. Banyak anak yang hanya menyukai handphone Nokia saja adalah … … Perhetikan diagram Venn berikut.
7.
A 20
B 25 7
Jika banyaknya semesta himpunan adalah 40, maka banyaknya anggota himpunan daerah yang diarsir adalah …. 8.
Dalam suatu organisasi diketahui, 16 orang menyukai warna hitam, 12 orang menyukai warna kuning, 20 orang menyukai warna coklat, 5 orang menyukai warna hitam dan kuning, 6 orang menyukai warna hitam dan coklat, 8 orang menyukai warna kuning dan coklat, dan 2 orang menyukai ketiga warna tersebut serta 5 orang tidak menyukai ketiga warna itu. a. Gambarkan diagram Venn, b. Berapa orang yang menyukai warna coklat saja, c. Berapa perbandingan orang yang menyukai warna kuning saja dan hitam saja d. Berapa persen orang yang menyukai warna hitam dan coklat saja.
Matematika 7 - Himpunana
7
