A. Pengertian dan Notasi Himpunan 1. Pengertian Himpunan Istilah
kelompok,
kumpulan,
kelas,
maupun
gugus
dalam
matematika dikenal sebagai istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jerman, yaitu George Cantor yang hidup antara tahun 1845–1918. Himpunan adalah kumpulan benda–benda yang didefinisikan dengan jelas. Yang dimaksud didefinisikan dengan jelas adalah dapat ditentukan dengan tegas benda apa saja yang termasuk dan tidak termasuk dalam suatu himpunan yang diketahui. Benda–benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota, elemen, atau unsur dari suatu himpunan. Untuk selanjutnya dipergunakan istilah anggota atau elemen. Berdasarkan definisi himpunan di atas, maka suatu kumpulan atau kelompok benda belum tentu merupakan suatu himpunan. a. Kelompok atau kumpulan yang merupakan suatu himpunan 1) Kelompok siswa di kelasmu yang berkacamata. Yang merupakan anggota adalah siswa di kelasmu yang berkacamata. Yang bukan anggota adalah siswa di kelasmu yang tidak berkacamata. 2) Kumpulan hewan berkaki empat. Yang merupakan anggota, misalnya: kerbau, kuda, sapi. Yang bukan anggota, misalnya: ayam, itik. 3) Kumpulan bilangan yang merupakan faktor dari 12. Yang merupakan anggota adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Yang bukan anggota, misalnya: 5, 7, 8, 9, 10, 11. Jadi, contoh 1, 2, dan 3 merupakan himpunan, sebab dapat disebutkan dengan tegas benda yang merupakan anggota dan yang bukan anggota kelompok tersebut.
1
b. Kelompok atau kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan 1) Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi. Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya. 2) Kumpulan lukisan indah. Pengertian indah tidak jelas batasannya harus seperti apa indahnya. Oleh karena batasan untuk contoh di atas tidak jelas, maka contoh 1 dan 2 diatas bukan merupakan himpunan. Jadi, dalam matematika kita tidak dapat menyebutkan dengan batasan yang tidak jelas, misalnya: 1) Himpunan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi. 2) Himpunan lukisan yang indah. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda kurung kurawal dan biasanya diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, misalnya A, B, C, D, dan seterusnya sampai Z. Jika ada dua atau lebih himpunan yang berbeda, maka nama himpunan–himpunan itu juga harus berbeda. 2. Menyatakan Suatu Himpunan a. Dengan kata–kata atau menyebutkan syarat-syarat keanggotaan Menyatakan himpunan dengan kata–kata sangat bermanfaat untuk himpunan yang memiliki anggota sangat banyak dan tak beraturan, sehingga kita akan mengalami kesulitan bila anggota–anggotanya ditulis satu demi satu. Contoh: 1) A adalah himpunan nama gunung di Pulau Jawa. A = {nama gunung di Pulau Jawa} 2) B adalah bilangan yang kurang dari 11. B = {bilangan ganjil kurang dari 11} b. Dengan menyebutkan atau mendaftar anggotanya Anggota himpunan dituliskan dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. Pada penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan penulisan boleh diabaikan. Contoh:
2
1) Untuk himpunan yang anggotanya terbatas dan sedikit. A = {jerapah, gajah, macan, zebra} B = {pensil, penggaris, jangka, busur} 2) Untuk himpunan yang anggotanya terbatas dan banyak. Anggota–anggota boleh tidak didaftar semua, hanya beberapa saja dilanjutkan dengan titik tiga (artinya: “dan seterusnya”), kemudian dituliskan batas akhir. C = {Surabaya, Jawa, Madura, Bali, Lombok,…, Papua} D = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…, 99} 3) Untuk himpunan yang anggotanya tak terbatas. Anggotanya didaftar beberapa saja (paling sedikit empat saja) dan dilanjutkan dengan titik tiga (artinya: “dan seterusnya”) E = {2, 3, 5, 7,…} F = {1, 10, 100, 1000,…} Himpunan E = {2, 3, 5, 7,…} dan F = {1, 10, 100, 1000,…} memiliki banyak anggota yang tak terbatas karena tidak diketahui berapa bilangan terakhir. Oleh karena itu, himpunan E dan F yang memiliki anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga. Himpunan seperti D = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…, 99} memiliki banyak anggota yang terbatas karena bilangan awal dan bilangan terakhir diketahui, yaitu 1 dan 99. Oleh karena itu, himpunan D yang memiliki banyak anggota terbatas disebut himpunan berhingga. Walaupun suatu himpunan lebih mudah atau lebih singkat bila dinyatakan dalam salah satu cara diatas, namun hampir semua himpunan pula dinyatakan dalam ketiga cara tersebut. c. Dengan notasi pembentuk himpunan Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan adalah menyatakan suatu himpunan hanya dengan syarat keanggotaan himpunan. 1) Benda atau objeknya dilambangkan dengan sebuah peubah. Contoh: a, b, c,…, z
3
2) Menuliskan syarat keanggotaannya dibelakang tanda”|”. Contoh: A = {x|x<5, x bilangan asli} Dibaca: himpunan setiap x sedemikian hingga x kurang dari 5 dan x bilangan asli. d. Dengan diagram venn Menyatakan himpunan dengan gambar atau diagram Contoh:
Gambar di atas adalah diagram venn dari himpunan: A = {1, 2, 3, 4, 5} 3. Anggota Himpunan Di atas piring terdapat buah–buahan, yaitu pisang, jeruk, dan rambutan. Dapat dikatakan bahwa: Pisang termasuk dalam kelompok buah–buahan dalam piring, Jeruk termasuk dalam kelompok buah–buahan dalam piring, Rambutan termasuk dalam kelompok buah–buahan dalam piring. Meskipun di atas piring itu terdapat 12 buah pisang, 3 buah jeruk, dan 5 buah rambutan, tapi penulisan tiap–tiap anggota kelompok itu dilakukan hanya satu kali saja. Misalkan B menyatakan himpunan buah– buahan di atas piring, maka B = {pisang, jeruk, rambutan} Dengan demikian, dapat diketahui sebagai berikut. Karena pisang termasuk dalam himpunan B, maka pisang anggota himpunan B. Karena jeruk termasuk dalam himpunan B, maka jeruk anggota himpunan B.
4
Karena rambutan termasuk dalam himpunan B, maka rambutan anggota himpunan B. Dalam suatu himpunan, masing–masing anggota berbeda dengan anggota lainnya. a. Menyatakan anggota suatu himpunan Untuk menyatakan suatu benda yang merupakan anggota suatu himpunan digunakan lambang . Sedangkan untuk menyatakan bahwa suatu benda bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang . Contoh: Bila A = {s, i, w, a}, maka: s anggota P, ditulis s P. w anggota P, ditulis w P. m bukan anggota P, ditulis m P. b. Menyatakan banyak anggota suatu himpunan Banyak anggota himpunan A dapat dinyatakan dengan notasi n(A). Jadi, notasi n(R) artinya banyak anggota pada himpunan R. Contoh: P = {s, i, w, a} Banyak anggota himpunan P adalah 4 buah. Ditulis: n(P)=4 4. Mengenal Beberapa Himpunan Bilangan Dalam himpunan bilangan, terdapat beberapa macam himpunan diantaranya: a. Himpunan bilangan asli Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf “A”. A = {1, 2, 3, 4,…} b. Himpunan bilangan bulat Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf “B”. B = {…., -2, -1, 0, 1, 2,…} c. Himpunan bilangan cacah Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan huruf “C”. C = {0, 1, 2, 3,…} 5
d. Himpunan bilangan cacah genap Himpunan bilangan cacah genap dilambangkan dengan huruf “G”. G = {0, 2, 4, 6, 8,…} e. Himpunan bilangan cacah kuadrat {0, 1, 4, 9, 16,…} f. Himpunan bilangan ganjil Himpunan bilangan ganjil dilambangkan dengan huruf “J”. J = {1, 3, 5, 7, 9,…} g. Himpunan bilangan komposit (tersusun) Himpunan bilangan komposit (tersusun) dilambangkan dengan huruf “T”. Bilangan komposit adalah bilangan cacah yang mempunyai lebih dari 2 faktor. T = {4, 6, 8, 9, 10,…} h. Himpunan bilangan prima Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan huruf “P”. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor, atau bilangan yang hanya habis dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri, kecuali 0 dan 1. P = {2, 3, 5, 7, …} A. Jenis-Jenis Himpunan Ditinjau dari jumlah anggotanya, ada tiga jenis himpunan 1. Himpunan tak berhingga Suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga apabila banyak anggotanya tak berhingga/tak dapat dihitung. Contoh: A = {1, 3, 5, 7,…}; n(A) tak berhingga, atau n(A) = . A disebut himpunan tak berhingga. 2. Himpunan berhingga Suatu himpunan disebut himpunan berhingga apabila jumlah anggotanya terbatas.
6
Contoh: B = {1, 3, 5, 7, 9}; n(B) = 5. B disebut himpunan berhingga. 3. Himpunan kosong Suatu himpunan disebut himpunan kosong apabila himpunan itu tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan notasi {} atau . Contoh: C = {bilangan prima antara 7 dan 9} Tidak ada bilangan prima antara 7 dan 9, sehingga n(C) = 0. C disebut himpunan kosong. Jika A merupakan himpunan kosong, maka A tidak memiliki anggota, jadi n(A) = 0. Nol disini menunjukkan jumlah anggota A tidak ada. Hal ini berbeda dengan B = {0} yang menunjukkan bahwa B memiliki anggota, yaitu 0. Jadi, B bukan himpunan kosong karena n(B) = 1. Selanjutnya adalah jenis lain dari himpunan: 1. Himpunan bagian Untuk
memahami
pengertian
himpunan
bagian,
perhatikan
himpunan–himpunan berikut ini! A = {a, b, c} B = {a, b, c, d, e} Dari kedua himpunan tersebut, ternyata setiap anggota A, yaitu a, b, c menjadi anggota B. Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap anggota A menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A B. Setiap himpunan adalah bagian dari dirinya sendiri. A A, B B, …. {} adalah bagian dari setiap himpunan. {} {}, {} A, {} B, …. Menentukan banyak himpunan bagian Banyaknya himpunan bagian dari himpunan yang mempunyai n elemen adalah 2n. 7
Contoh: Dari himpunan P = {1, 2, 3}, kita dapat membentuk himpunan bagian– himpunan bagiannya, yaitu: {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} dan {1, 2, 3} Banyaknya himpunan bagian dari P adalah 8 = 23, dimana 3 adalah banyaknya himpunan anggota P. 2. Himpunan Semesta Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Lambang himpunan semesta adalah S. Contoh : Bila A = {8,12,16,20} maka beberapa semesta pembicaraan yang mungkin untuk A adalah : 1) S = {bilangan asli} 2) S = {bilangan cacah} 3) S = {bilangan kelipatan 2} 4) S = {bilangan kelipatan 4} B. Diagram Venn Untuk mempermudah dalam mempelajari himpunan, John Venn seorang ahli matematika dari Inggris (1834–1923), memperkenalkan cara menyatakan himpunan dengan diagram. Diagram tersebut dinamakan diagram venn. 1. Menyatakan Diagram Venn a. Semesta pembicaraan dari himpunan itu digambarkan dengan persegi panjang dan pada pojok kiri atas ditulis huruf U atau S. b. Setiap anggota digambarkan dengan noktah (titik) didalam kurva, dan nama anggotanya dituliskan berdekatan dengan noktahnya. Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
8
Diagram venn dari himpunan S ditunjukkan sebagai berikut:
c. Himpunan digambarkan dengan kurva tertutup sederhana. Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = {2, 4, 6, 8} Karena semua anggota himpunan A termuat didalam himpunan S, maka himpunan A terdapat didalam himpunan S. Diagram venn dari himpunan tersebut ditunjukkan sebagai berikut:
d. Dalam menggambar himpunan–himpunan yang mempunyai anggota sangat banyak, pada diagram venn-nya tidak menggunakan noktah. Misal: S = {siswa di sekolahmu} D = {siswa di kelasmu} Diagram venn dari himpunan tersebut ditunjukkan sebagai berikut:
9
2. Contoh a. Jika diketahui semesta pembicaraanya adalah S = {0, 1, 2, 3, …, 10} dan himpunan A = {0, 1, 4, 9}, maka diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.
b. Diketahui S = {0, 1, 2, 3, …, 10}, A = {2, 3, 5, 7}, dan B = {1, 3, 5, 7, 9}. Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.
c. Diketahui S = {0, 1, 2, 3, …, 10}, A = {1, 2, 3}, dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Diagram
venn
yang
menunjukkan
ditunjukkan pada gambar berikut.
10
himpunan–himpunan tersebut
d. Jika diketahui S = {1, 2, 3, …, 100}, n(S) = 100, A = {11, 12, 13,…, 30}, maka n (A) = 20. Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.
e. Diketahui n(A) = 18 + 13 = 31, n(B) = 25 + 13 = 38, n(S) = 18 + 13 + 25 + 9 = 65. Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.
C. Operasi Himpunan Dalam himpunan dikenal beberapa operasi himpunan, antara lain irisan atau interseksi, gabungan atau union, selisih dua himpunan (difference), dan komplemen. 1. Irisan atau Interseksi Perhatikan gambar diagram Venn dibawah ini!
11
Tampak bahwa: A= {2,3,5,7} dan B={1,5,3,7,9} Daerah arsiran menunjukkan daerah anggota–anggota yang menjadi anggota A juga menjadi anggota B, sehingga dibentuk sebuah himpunan baru yang beranggotakan semua anggota yang terletak pada daerah arsiran, yaitu {3,5,7}. Himpunan baru ini disebut irisan A dan B, ditulis “A B“. Jadi, A B = {3,5,7}. A irisan B (A B) adalah himpunan semua anggota yang merupakan anggota A dan juga anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵}. Contoh: Jika A = {0, 1, 3, 6, 10} dan B = {0, 1, 4, 9} maka (A B) = {0, 1}. 2. Gabungan atau Union Perhatikan diagram venn di bawah ini!
Tampak bahwa A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dan B={2, 4, 6, 8, 10}. Daerah yang diarsis memuat semua anggota A atau semua anggota B ataupun semua anggota A dan B. Daerah arsiran menunjukkan gabungan A dan B, ditulis “A B”. Jadi, A B = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. A gabungan B (A B) adalah himpunan semua anggota yang merupakan anggota A atau anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}. Contoh : Jika A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 5, 7} maka A B = {1, 2, 3, 5, 7}.
12
3. Selisih Dua Himpunan (Difference) Dari himpunan A dan B kita dapat membentuk himpunan baru yang terdiri dari anggota–anggota A yang bukan anggota B. Himpunan A dikurang himpunan B ditulis A – B. Selisih A dan B (A – B) adalah himpunan semua anggota A tetapi bukan Anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan: 𝐴 – 𝐵 = {𝑥|𝑥 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝐵} Contoh: a. Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {1, 3, 5, 7, 9} maka, A – B = {2, 4} dan B – A = {7, 9}. Dalam diagram venn
akan menjadi lebih jelas.
Perhatikan gambar diagram berikut.
A – B ditunjukkan dengan daerah yang diarsir. b. P = {1, 2} dan Q = {1, 2, 3, 4}
P–Q=
Q – P = {3, 4}
(Tidak ada daerah yang diarsir)
(Ditunjukkan dengan daerah diarsir)
13
c. M = {1, 3, 5} dan N = {2, 4, 6}
M–N=M
N–M=N
Ditunjukkan dengan daerah
Ditunjukkan dengan daerah
yang diarsir
yang diarsir
4. Komplemen Perhatikan diagram venn di bawah ini!
Bagian yang diarsir pada gambar menunjukkan daerah komplemen dari himpunan A. Komplemen dapat dituliskan dengan notasi 𝐴′ atau 𝐴𝑐 . Dalam makalah ini disepakati notasi komplemen yang digunakan adalah 𝐴′ . Komplemen A(A`) adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota semesta pembicaraan tetapi bukan merupakan anggota himpunan A. Dengan notasi pembentuk himpunan: 𝐴′ = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐴} Contoh: a. Jika S = {1, 2, 3, …, 10} dan A = {2, 4, 6, 8} maka: A` = {1, 3, 5, 7, 9, 10}
14
b. Jika S = {1, 2, 3, …, 10}, A = {8, 9, 10, 11}, B = {10, 11, …, 15}, dan (A B)` = {1, 2, 3, …, 7} maka: A` = {1, 2, …, 7, 12, 13, 14, 15}, B` = {1, 2, 3, …, 9}, A B = {8, 9, 10, …, 15}, A B = {10, 11}, dan (A B)` = {1, 2, 3, …, 9, 12, 13, 14, 15} c. Perhatikan gambar!
Dari gambar diagram venn di atas didapat: 1) A B = {1, 2, 3, …, 7} (A B)` = {8} 2) A B = {4, 5} (A B)` = {1,2, 3, 6, 7, 8} D. Sifat–Sifat Operasi Himpunan 1. Sifat Komutatif 𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴 𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴 2. Sifat Asosiatif (𝐴 ∩ 𝐵 ) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶 ) (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) 3. Sifat distributif 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶 ) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
15
E. Penerapan Himpunan Dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menemukan pengertian irisan atau gabungan dua himpunan atau lebih. Soal-soal yang berkaitan dengan irisan atau gabungan dua himpunan ini dapat diselesaikan dengan pertolongan diagram venn. Contoh: 1. SMP Nusa Bangsa mengadakan ekstrakurikuler basket dan voli. Kedua kegiatan diselenggarakan pada hari yang berbeda. Dari murid-murid kelas VIIA yang mengikuti kegiatan tersebut, tercatat data sebagai berikut. 25 anak mengikuti basket, 23 anak mengikuti voli, 15 anak mengikuti keduanya, dan 7 anak tidak mengikuti kedua kegiatan tersebut. Dari data–data di atas, dapat digambarkan diagram venn seperti pada gambar di bawah ini, dimana B = basket dan V = Voli.
Pada gambar, tampak bahwa: a. Yang mengikuti 2 kegiatan sebanyak 15 anak; b. Yang mengikuti basket sebanyak, (10 + 15) anak = 25 anak; c. Yang mengikuti voli sebanyak, (8 + 15) anak = 23 anak; d. Yang tidak mengikuti kegiatan sebanyak 7 anak; e. Jumlah siswa kelas VIIA dapat dihitung, yaitu; (10 + 15 + 8 + 7) anak = 40 anak.
16
2. Dari 50 anak tercatat 35 anak gemar musik, 30 anak gemar olahraga, dan 21 anak gemar keduanya. Jika M adalah himpunan anak yang gemar M dan O adalah himpunan anak yang gemar olahraga, tentukan: a. n(M), n(O), dan n(M O); b. gambarlah diagram venn; c. banyak anak yang gemar musik tetapi tidak gemar olahraga; d. banyak anak yang gemar olahraga tetapi tidak gemar musik; e. banyak anak yang gemar musik maupun olahraga! Jawab: a. n(M) = 35, n(O) = 30, dan n(M O) = 21 b. diagram venn:
c. n(M O`) = 14 d. n(M` O) = 9 e. n(M O)` = x = 50 – (14 + 21 + 9) = 50 – 44 =6
17
DAFTAR PUSTAKA A. Wagiyo, F. Surati, dan Irene Supradiarini. 2008. Pegangan Belajar Matematika. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Adinawan, M. Cholik dan Sugijono. 2005. Matematika Untuk SMP/MTs. Jakarta: Erlangga. Alamsyah, Yoes. 2011. Smart Math Pintar Matematika dengan Rumus Cepat. Jakarta: PT. Putra Pratama.
18
