MODUL 1 A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat keanggotaan tertentu.
2. Penyajian Himpunan Suatu himpunan dapat disajikan dengan dua cara yaitu : a. Menuliskan semua anggota himpunan tersebut. Contoh : A={1,2,3,4} B={0,2,4,6} b. Menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Contoh : A = { x : x bilangan bulat dan 0 < x < 5 } B = { x : x bilangan genap dari nol sampai 6} Terhadap suatu himpunan, suatu objek dapat menjadi anggota atau bukan anggota himpunan tersebut. Kita akan menggunakan notasi berikut : x A untuk menyatakan x anggota A dan
x A untuk menyatakan x bukan anggota A
pada contoh diatas tampak bahwa 1
A
9
A
Cara lain untuk menyajikan suatu himpunan adalah dengan Diagram Venn.
Contoh : 5 A
1
2
5
3 4
3. Himpunan sama Dua himpunan A dan B dikatakan sama bila semua anggota A menjadi anggota B dan semua anggota B menjadi anggota A. Contoh : A={0,1} B= { x : x( x– 1 )= 0 } Maka
A=B
Kardinal suatu himpunan adalah banyaknya anggota himpunan tersebut. Contoh : A = { semua bilangan prima yang lebih kecil 20 } N(A)=8
4. Himpunan ekivalen Dua himpunan A dan B dikatakan ekivalen bila kardinal kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B <==> n ( A ) = n ( B ) Contoh : A={a,b, c,d} B={1,2,3,4} Maka A ~ B
5 . Himpunan Bagian dan Superset Dari himpunan A dan B bila semua anggota A adalah anggota B maka dikatakan A adalah himpunan bagian dari B.
Notasi : A B
Dalam keadaan ini B dikatakan superset dari A. Notasi : A B Notasi :
A B Contoh : A = { (x,y) : x + y < 4 } B = { (x,y) : x 2 + y 2 = 1 } Maka B
A
Bila A subset B dan A tidak sama dengan B maka dikatakan A himpunan bagian sejati ( proper subset ) dari B.
Dari definisi ini dapat kita tunjukkan bahwa
1. A = B <==> A B dan B A Bukti : Karena A = B maka semua anggota A menjadi anggota B yaitu A B dan semua anggota B menjadi anggota A yaitu B A. Sebaliknya karena A B maka semua anggota A adalah anggota B, dan karena B A maka semua anggota B menjadi anggota A. Dengan menggabungkan kedua statemen ini dan mengingat definisi kesamaan dua himpunan maka terbukti A = B. 2. Setiap himpunan menjadi himpunan bagian dari diri sendiri. Ini dapat diturunkan dari definisi.
6. Himpunan Kosong Suatu himpunan dengan kardinal nol disebut himpunan kosong. Notasi : atau { }
Contoh : E = { x :x< x} P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan } Catatan : Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari semua himpunan. Bukti : Perhatikan statemen berikut :
Untuk setiap x maka x A Adalah implikasi dimana antesedentnya bernilai salah sebab tidak mempunyai anggota. Dari sebab itu maka statemen di atas selalu bernilai benar tanpa tergantung pada A. Jadi terbukti bahwa 0 A untuk setiap A.
7. Komplement Terhadap suatu himpunan S yang memuat A, dengan komplement A (notasi A`) dimaksud adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota S yang diluar A. A` = { x : x S dan x A } Bila S di atas himpunan bukan semesta maka komplemen terhadapnya dikatakan komplemen relatif. Contoh : 1. S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } B={1,3,5} Maka B` = { 2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 } 2. S = Himpunan semua bilangan bulat A = Himpunan semua bilangan genap Maka A` = Himpunan semua bilangan ganjil
8. Himpunan Saling Lepas (Disjoint) Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (mutually disjoin) bila setiap anggota A tidak menjadi anggota B dan setiap anggota B tidak menjadi anggota A.
Notasi : A // B Contoh : 1. X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } Y = {10 , 11 , 23 , 56 , 78 } Maka X / / Y
A = { (x , y) : x + y > 10 } B = { (x , y) : 2x – 3y = 1 dan x + 4y = 6 } Maka A // B
9. Multiset Himpunan dimana anggota-anggotanya boleh berulang disebut multiset. Multiplisitas suatu elemen multiset adalah banyaknya kali elemen tersebut muncul dalam himpunan tersebut.
Contoh : M = { 0 , 1 , 01 , 1 , 0 , 001 , 010 , 0 , 0 , 111 } Multiplisitas dari 0 = 4
10. Kuasa Himpunan Dengan kuasa suatu himpunan A dimaksud adalah himpunan semua himpunan bagian dari A. Bila A mempunyai kardinal n maka kardinal kuasa A sama dengan 2 n . Ditulis P(A) = 2 n(A) = { X X A } Bukti : Kita susun anggota-anggota A sebagai barisan ( a1 , a2 , …an). Bentuk himpunan bagian Ai dari A dan juga bentuk barisan-barisan binair Ei = (e1i , e2i , …..eni ) dengan eji = 1 atau 0. eji = 1 bila aj di ai dan lainnya 0. Banyaknya Ei yang mungkin adalah 2
n
– 1. Mengingat himpunan kosong
adalah dalam A maka terbukti bahwa banyknya himpunan bagian dari A sama dengan 2 n . Notasi : 2 A = { X X A } atau P(A) Contoh : 1. A = { 0 , 1 } 2 A = { { } , {0} , {1} , {0,1} } 2. A = maka n(A) = 0 sehinnga n (P()) = 2 0 = 1 yaitu P ( A ) = { }
11. Operasi Himpunan - Gabungan Definisi :
Dengan A U B dimaksud adalah himpunan yang memuat anggota yang paling tidak menjadi anggota salah satu dari A atau B. Atau dapat kita tuliskan sbb: A U B = {x : x A atau x B }
Gambar :
A
B
Contoh : 1. A = { x : x bilangan bulat positif ) B = { y : y bilangan genap positif ) AU B= A
2. X = { 0 , 1 , 2 , 3 } Y={0,1,4,5} XU B= {0,1,2,3,4,5} - Irisan Definisi A B = { x : x A dan x B }
Gambar :
Contoh : 1. A = Himpunan bilangan prima B = Himpunan bilangan genap A B={2}
2. C = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 } D={1,2,3,4,5,6,7,8} C D={2,4,6,8}
- Selisih Definisi A – B adalah himpunan yang terdiri dari unsur- unsur A yang tidak termuat dalam B. Atau A – B = { x : x A dan x B } Dengan mengingat definisi irisan dua himpunan di atas maka tampak bahwa A – B = A B`
Gambar :
Contoh : 1. A = himpunan fungsi continue dan terbatas di [ 0 , 1 ] B = himpunan fungsi defferentiable di [ 0 , 1 ] B – A = himpunan fungsi difernsiabel tak terbatas di [ 0 , 1 ] 2. A = { 1 , 2 , 3 , …} B = { 2 , 4 , 6 , 8 , …} A – B = { 1 , 3 , 5 , 7 , …}
- Symmetric difference Definisi A + B adalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A dan anggota B yang tidak sekaligus menjadi anggota keduanya. A + B = ( A U B ) – ( A B) Gambar :
Contoh : 1. A = himpunan mahasiswa yang merokok B = himpunan mahasiswwa pria A + B = himpunan mahasiswa pria yang tak merokok dan mahasiswa putri yang merokok 2. C = himpunan segitiga sama kaki D = himpunan segitiga siku-siku C + D = himpunan segitiga sama kaki yang tidak siku-siku dan segitiga sikusiku yang tidak sama kaki
- Hasil kali kartesian Definisi A X B = { ( a , b ) : a A dan b B ) Contoh : 1. A = B = Himpunan semua bilangan real A X B = Himpunan semua titik di bidang datar 2. C = { 1 , 2 , 3 } D={a,b} CXD= {(1,a), (2,a),(3, a),(1,b ),(2,b), (3,b)} Mudah ditunjukkan bahwa : a. n (A X B ) = n (A) . n (B) b. A X =
12. Sifat-sifat Operasi - AU B= BU A A B=BA A+B= B+ A
- AU(BUC)=( AUB)UC A( BC)= (A B) C A+( B+C)=( A+B)+C
- AU(BC)=( AU B) (A U B) A( BUC)= (A B)U (A B)
- ( A U B ) ` = A` B` (A B ) ` = A` U B `
13. Prinsip Inklusi dan Ekslusi Kita akan menulis n ( A ) untuk menyatakan banyaknya anggota himpunan A. Mudah ditunjukkan bahwa : n( AU B) = n(A )+ n( B)– n( A B) Rumus di atas dapat kita perluas untuk gabungan 3 himpunan : n( AU B UC )= n( A)+ n( B)+ n (C )– n( A B)– n( AC ) – n( B C )+ n (A B C ) dan seterusnya. Contoh : Akan ditentukan banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 250 yang dapat dibagi oleh salah satu dari 2 , 3 dan 5. Misalkan A himpunan bilangan bulat antara 1 dan 250 yang habis dibagi 2. B adalah himpunan bilangan bulat antara 1 dan 250 yang habis dibagi 3 dan C adalah himpunan bilangan bulat antara 1 dan 250 yang habis dibagi 5. Maka : Gambar :
n ( A ) = [ 250 / 2 ] = 125 n ( B ) = [ 250 / 3 ] = 83 n ( C ) = [ 250 / 5 ] = 50 n ( A B ) = [ 250 / (2 X 3) ] = 41 n ( A C ) = [ 250 / (2 X 5) ] = 25 n ( B C ) = [ 250 / (3 X 5) ] = 16 n ( A B C ) = [ 250 / (2 X 3 X 5) ] = 8 Jadi n ( A B C ) = 125 + 83 + 50 – 41 – 25 – 16 + 8 = 186
SIFAT LAIN
AU =A A =
AUS=S AS=A
(X) A X A
B` = S – B A – B = A B` A U A` = S A+B= (A– B) U( B–A )
A B dan B C ==> A C
A B dan C D ==> A C B D A = B <==> A + B =
13. Himpunan terhingga dan tak terhingga - Korrespondensi l - 1 - Definisi Untuk suatu A maka sucesor A (notasi A) adalah A U {A} sekarang kita definisikan
0= 1 = { } = 0+ 2 = 1+={ { } , } secara umum n = ( n – 1 ) + Selanjutnya kita definisikan N sehingga : 1. 0 N 2. ( n – 1 ) N ===> n = ( n – 1 ) + N 3. N tidak memuat anggota yang lain Himpunan terhingga : Adalah himpunan yang berkorespondensi l - 1 dengan suatu N Himpunan yang tidak demikian tersebut tak hingga. Sifat : - Superset dari suatu himpunan tak hingga adalah tak hingga. - A tak hingga dan B sembarang himpunan maka : a. P ( A ) tak hingga. b. A U B tak hingga. c. B maka A X B tak hingga. Himpunan countably infinite : Adaah himpunan yang berkorespondensi l – 1 dengan N - Eksistensi himpunan tak hingga yang tak countably infinite. Pandang himpunan bilangan real antara 0 dengan 1 Himpunan tersebut diatas adalah tak hingga dan tidak countably infinite. Andaikan countably infinite maka enumerasi berikut akan menghabiskan ( 0 , 1 ).
a1 = 0 . al1 al2 al3 .…….. a2 = 0 . a2l a22 a23 …….. ..
…………………………
..
…………………………
sekarang pandang x = 0 .p11 p12 p13 …….. dengan pij = 10 – ajj jika ajj > 0 jelas x anggota (0,1). Tampak bahwa x a1 sebab digit desimal pertama tidak sama. Jugax a2 sebab digit desimal kedua tidak sama. Dan seterusnya x pi untuk setiap i. Ini berarti ada anggota ( 0 , 1 ) yang tidak dalam enumerasi di atas. Kontradiksi dengan pengandaian bahwa ( 0 , 1 ) countably infinite.
14. Partisi Suatu Himpunan Diberikan Ai adalah himpunan bagian dari A untuk I = 1 , 2 , …. { Ai} dikatakan partisi dari A bila Ai Aj = i j dan Ui Ai = A Contoh : A = { 1 , 2 , 3 , ……..} Pandang Ai = {I } untuk I = 1 , 2 , ………. Maka Ai Aj = untuk i j Dan Ui Ai = A Contoh Latihan : 1. Buktikan A + B = ( A U B ) ( A` U B `) Bukti : ( A U B ) ( A` U B `) = ( A U B ) ( A B )` = ( A U B ) - ( A B ) =A+B 2. Buktikan bahwa bila X A = Y A dan X A` = Y A` maka X = Y. Bukti X A = Y A dan X A` = Y A` maka
(X A) U (X A`) = (Y A) U (Y A`) X (A U A`) = Y (A U A’) XS=YS X=Y
