BAB 1 HIMPUNAN Definisi Himpunan adalah kumpulan benda-benda dan unsur-unsur yang telah didefinisikan dengan jelas dan juga memiliki sifat keterikatan tertentu.
Mengenal lambang himpunan. Suatu himpunan dituliskan sebagai berikut : a. Nama himpunan ditulis dengan huruf kapital. b. Penulisan himpunan menggunakan tanda 2 kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma c. Himpunan yang anggotanya tak berhingga atau tak berlanjut dinyatakan dengan 3 titik Keanggotaan himpunan dinyatakan dengan lambang “n”
Bentuk himpunan a. Kata-kata Suatu himpunan dinyatakan dalam bentuk kalimat tidak menggunakan lambing atau menuliskan syarat-syarat keanggotaannya. Contoh: Himpunan bilangan asli kurang dari 7. b. Dengan mendaftar (metode tabulasi / roster) Dengan metode ini anggota himpunan yang dinyatakan dengan metode mendaftar disebutkan satu persatu. Contoh: A = {1, 3, 5, 7}
1
Menyatakan himpunan 4 bilangan ganjil pertama secara tabulasi. A = {2, 4, 6, …} Metode ini digunakan untuk menyatakan himpunan tak berhingga yang jumlah anggotanya sangat banyak. c. Notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat / rule) Cara ini mirip metode deskripsi namun pada himpunan dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Anggotanya dilambangkan dengan huruf (peubah) kemudian diikuti dengan sebuah garis syarat kanggotaan himpunan tersebut. Bentuk umum : { x | …, x є … } Contoh: A = { x | x < 10, x є A } Dibaca: A adalah himpunan x dengan x kurang dari sepuluhdan x anggota bilangan asli (A).
Macam-macam himpunan a. Himpunan berhingga Himpunan yang himpunan jumlah anggotanya bisa dihitung. Contoh : A = {bilangan prima kurang dari sepuluh} A = { 2, 3, 5, 7 } b. Himpunan tak berhingga Himpunan yang jumlah anggotanya tidak bisa dihitung atau tidak terbatas. B = { bilangan asli} B = { 1, 2, 3, 4, … } 2
c. Himpunan kosong Himpunan yang tidak memiliki anggota. Contoh : C = { bilangan asli negative } C={} d. Himpunan semesta Himpunan dari semua objek yang sedang dibicarakan, himpunan ini biasanya ditulis dengan symbol S. Contoh : D = { 1, 3, 5 } Maka himpunan semestanya bisa berupa : S = { bilangan asli }, S = {bilangan ganjil}, dsb. i. Diagram venn Menggunakan persegi panjang untuk menyatakan himpunan semesta S. ii. Himpunan bagian ( ) Contoh : Jika S = { P,A,B }, P = { A,B }, dan B = {A }. Kita dapat menuliskan A B P S. iii. Irisan (intersection) Ialah anggota himpunan yang menjadi anggota himpunan lain. Daerah irisan adalah daerah yang berpotongan di antara dua himpunan.
3
Operasi pada himpunan a. Komplemen Ac = A komplemen (Ac)c = A b. Irisan Contoh : A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 3, 5, 7, 9 } A ∩ B = { 2, 3, 5 } c. Gabungan Contoh : A = { 2, 4, 6 } B = { 4, 6, 8 } A ∪ B = { 2, 4, 6, 8 }
Sifat-sifat pada himpunan 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
A∩B =B∩A A∪B=B∪A (Ac)c = A A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B U C) = (A U B) U C A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A∩ B) 4
Diagram Venn Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam membuat Diagram Venn: Himpunan semesta biasanya digambarkan dengan bentuk persegi panjang. Setiap himpunan lain yang sedang dibicarakan digambarkan dengan lingkaran atau kurva tertutup sederhana. Setiap anggota masing-masing himpunan digambarkan dengan noktah atau titik. Jika banyak anggota himpunannya tak berhingga, maka masing-masing anggota himpunan tidak perlu digambarkan dengan suatu titik. Contoh: Jika diketahui himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f, g} dan A = {b, d, f, g}, maka diagram Venn himpunan S dan A adalah S .a
A . .c
.b .f .d .g
.e
5
BAB 2 BILANGAN Bilangan asli yaitu himpunan bilangan positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif.
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, 2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Jika a, b dan c adalah bilangan bulat, maka penjumlahan bilangan bulat memenuhi sifat : a. Tertutup : a+b adalah bilangan bulat b. Komutatif : a+b = b+a c. Asosiatif : (a+b)+c = a+(b+c) d. 0 adalah unsur identitas penjumlahan yang memenuhi a+0 = 0+a = a e. –a adalah unsur invers penjumlahan yang memenuhi a+(-a) = (-a)+a = 0
6
Jika a, b dan c adalah bilangan bulat, maka perkalian bilangan bulat memenuhi sifat : a. Tertutup : a× b adalah bilangan bulat b. Komutatif : a × b = b × a c. Asosiatif : (a×b)×c = a×(b×c) d. 1 adalah unsur identitas perkalian yang memenuhi a×0 = 0×a = 0 e. JIka a≠0, maka a-1=1/a adalah unsur invers perkalian yang memenuhi a×a-1 = a-1×a = 1 Operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi sifat distributif yaitu a×(b+c) = a×b+a×c
bilangan
bulat
Bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29. Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit.
Bilangan riil/Bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, dan bilangan irasional
7
Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a,b: adalah bilangan bulat dan b≠0. Contohnya 42 dan −23/129. Bilangan irasional adalah bilangan real selain rasional seperti π (2,34…) dan √2.
Bilangan imajiner menyatakan bilangan selain bilangan real, seperti √−1. √−1 sering disimbolkan menjadi “ ”. Misal, 3√−1 = 3 .
8
BAB 3 ALJABAR Mengalikan bentuk aljabar, contoh : 3 x a = 3a a x a = a2 a2 x a3 = (a x a) x (a x a x a) = a5 2a3 x 4a2 = 2 x 4 x a3 x a2 = 8a5
Penjumlahan dan pengurangan (khusus pada suku sejenis = suku dengan variabel sama), contoh : a + a = 2a 2a – 3a = (2 – 3)a = -1a 2a + 2b + 4a = 6a + 2b 2a2 + 3a3 – 5a2 = -3a2 + 3a3
Perkalian pada bentuk aljabar dengan suku lebih dari satu, contoh : a x b = ab a x -b = -ab -a x b = -ab -a x –b = ab a x a = a2 a x ab = a2b b x ab = ab2 a2b x ab3 = a3b4 a(b + c) = ab + ac a(b – c) = ab – ac (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd 9
Pembagian pada bentuk aljabar, contoh : a5 : a2 = a3 8a4 : 4a2 = (8 : 4)(a4 : a2) = 2a2
Pengkuadratan bentuk aljabar, contoh : (3a)2 = (32)(a2) = 9a2 (2a4b3)2 = (22)(a4)2(b3)2 = 4a8b6 (a + b)2= (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) =a2 – ab - ab – b2 = a2 – 2ab – b2
10
BAB 4 ARITMATIKA SOSIAL Istilah-istilah dalam perdagangan 1. Harga pembelian Harga pembelian adalah harga barang dari pabrik atau grosir atau tempat lainnya. Harga pembelian sering kali disebut modal. Dalam situasi tertentu, modal adalah harga pembelian ditambah dengan ongkos atau biaya lainnya. 2. Harga penjualan Harga penjualan adalah harga barang yang ditetapkan oleh pedagang kepada pembeli. 3. Untung Untung adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan lebih tinggi dari harga pembelian. Untung = harga penjualan – harga pembelian 4. Rugi Rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembeklian jika harga penjualan lebih rendah dari harga pembelian. Rugi = harga pembelian – harga penjualan
Harga penjualan, harga pembelian, untung, dan rugi 1. Menghitung harga penjualan Harga penjualan dapat ditentukan dengan cara berikut: 11
a. Jika memperoleh untung, maka harga penjualan lebih tinggi dari harga pembelian, sehingga: Harga penjualan = harga pembelian + untung b. Jika mengalami rugi, maka penjualan lebih rendah dari harga pembelian, sehingga : Harga penjualan = harga pembelian – rugi 2. Menghitung harga pembelian Harga pembelian atau modal dapat ditentukan dengan cara berikut. a. Jika memperoleh untung, berarti harga pembelian lebih murah dari harga penjualan, sehingga : Harga pembelian = harga penjualan – untung b. Jika mengalami rugi, berarti harga pembelian lebih mahal dari harga penjualan, sehingga : Harga pembelian = harga penjualan + rugi 3. Presentase Untung dan Rugi Presentase untung atau rugi umumnya dibandingkan terhadap harga pembelian atau modal, kecuali jika ada keterangan lain. Presentase untung = × % Presentase rugi =
×
%
Untuk menentukan presentase untung atau rugi, terlebih dahulu kita tentukan untung atau rugi dalam rupiah.
12
Hasil perhitungan presentase untung/rugi dalam satuan akan sama dengan presentase untung/rugi seluruhnya.
Rabat (diskon), bruto, tara, dan neto a. Rabat artinya potongan harga, atau lebih dikenal dengan istilah diskon. Rabat umumnya dinyatakan dalam persen. Harga bersih = harga semula – rabat (diskon) b. Bruto artinya berat kotor, yaitu berat tempat suatu barang. Contoh: Berat susu beserta kalengnya disebut bruto. Berat beras beserta kalengnya disebut bruto. c. Tara artinya potongna berat, yaitu berat tempat dari suatu barang. Contoh: Pada kemasan susu dalam kaleng, berat kaleng disebut tara. Pada kemasan buah dalam dus, berat dus disebut tara. d. Neto adalah berat bersih, yaitu berat barangnya saja. Contoh: Pada kemasan susu dalam kaleng, berat susunya saja disebut neto.Pada kemasan buah dalam dus, berat dusnya saja disebut neto. Neto = bruto - tara Harga bersih = neto x harga per satuan berat
Penggunaan persen dalam tabungan dan koperasi 1. Bunga Tunggal 13
Besar bunga tabungan maupun pinjaman pada setiap bank dinyatakan dalam persen. Bunga bank 18% artinya 18% untuk jangka waktu 1 tahun. Bunga 1 tahun = persen bunga x modal Bunga b bulan = x persen bunga x modal 12
2. Bunga Harian Bunga harian dapat dihitung dengan rumus berikut: =
×
×
Satu bulan dihitung 30 hari, dan satu tahun dihitung 360 hari. Hari pada saat menabung, bunganya belum dihitung. Hari pada saat pengambilan tabungan, bunganya tidak dihitung.
14
BAB 5 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU PEUBAH Kalimat Matematika Kalimat benar dan salah Dalam matematika terdapat istilah pernyataan kalimat benar dan kalimat salah. Contoh: 1. Bilangan prima adalah bilangan ganjil, merupakan kalimat salah, karena angka 2 adalah bilangan prima yang genap. 2. Hasil kali 3 dan 4 sama dengan hasil kali 4 dan 3, merupakan kalimat yang benar. Kalimat terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya baik itu benar ataupun salah. Contoh: x + 7 = 15 adalah kalimat terbuka. Jika x diganti dengan 8, maka kalimat tersebut bernilai benar.
Himpunan penyelesaian kalimat terbuka Setiap kalimat terbuka memiliki peubah (variabel) yang jika diganti dengan salah satu atau beberapa bilangan menjadi bernilai benar. Kumpulan angka inilah yang disebut HIMPUNAN PENYELESAIAN. Namun terkadang
15
ada kalimat terbuka yang tidak memiliki himpunan penyelesaian dan biasa disebut HIMPUNAN KOSONG.
Persamaan linear dengan satu peubah Pengertian: kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan peubahnya berpangkat satu. Contoh dengan peubah x: x + 3 = 5; Penyelesaian: x = 2 Contoh dengan peubah m: 2m – 4 = 10; Penyelesaian: m = 7 Menyelesaikan Persamaan Linear dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu: a. Substitusi, adalah mengganti peubah suatu persamaan dengan bilangan anggota semestanya. b. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan sama. Dua persamaan dikatakan ekuivalen jika persamaan itu memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Notasi untuk ekuivalen adalah ↔. Suatu persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama. c. Menyelesaikan persamaan dengan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama. Suatu persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.
Pertidaksamaan linear dengan satu peubah Pengertian: dalam pertidaksamaan dikenal istilah “lebih dari” (>) atau “kurang dari” (<) sehingga untuk sembarang bilangan a dan b selalu berlaku hubungan: 16
a > b (a lebih dari b) a < b (a kurang dari b) a = b (a sama dengan b) bentuk bentuk seperti 2x < 6, x + 2 > 10 adalah merupakan pertidaksamaan linear. Peubah atau variabelnya yaitu x berpangkat 1. Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dapat dengan beberapa cara yaitu: d. Menambah atau mengurangi dengan bilangan yang sama di kedua ruas e. Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif atau negative f. Untuk pertidaksamaan berbentuk pecahan, diubah agar tidak memuat pecahan. Dapat dengan cara mengalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebutnya. g. Himpunan penyelesaian dapat ditunjukkan pada garis bilangan yang disebut grafik himpunan penyelesaian.
17
BAB 6 PERBANDINGAN Perbandingan senilai Perhatikan tabel di bawah ini! Permen (buah) 2 5 8
Harga (Rp) 400 1000 1600
Banyak permen dan harga merupakan contoh perbandingan senilai. Semakin banyak jumlah permen semakin besar harga yang harus dibayarkan. Contoh soal perbandingan: 1. Dalam sebuah kelas terdapat 40 siswa. jika banyak siswa laki-laki 15 orang maka perbandingan jumlah siswa wanita dengan seluruh siswa di kelas adalah… penyelesaian: jumlah siswa wanita = 40 – 15 = 25 siswa ∴ jumlah siswa wanita : jumlah seluruh siswa = 25 : 40 =5:8 2. Jika 5 dolar Amerika sama dengan Rp. 47.000,- maka Rp. 28.200 = …. US $ penyelesaian: misal x = Rp. 28.200 dalam US dolar
18
5
=
28200 ↔ 47000
=
5 ∙ 28200 =3 47000
∴ Rp. 28.200 = 3 US $
Perbandingan berbalik nilai Perhatikan tabel di bawah ini! Banyak Pekerja (orang) 12 15 50
Lama Waktu (hari) 25 20 6
Banyak pekerja dan lama waktu pengerjaannya merupakan contoh perbandingan berbalik nilai. Semakin banyak pekerja semakin pendek waktu pengerjaannya selesai. Contoh soal perbandingan: Dengan jumlah pekerja sebanyak 12 orang sebuah proyek dapat menyelesaikan selama 15 hari. Agar proyek dapat selesai selama 10 hari, maka banyak pekerja adalah… penyelesaian: misal x = banyak pekerja untuk 10 hari
12
=
15 ↔ 10
=
12 ∙ 15 = 18 10
∴ Banyak pekerja yang diperlukan untuk 10 hari = 18 orang
19
BAB 7 SUDUT DAN PETA MATA ANGIN Sudut Sudut adalah gabungan dua buah sinar yang titik pangkalnya sama. Sudut ABC (ditulis ∠ ) adalah gabungan ⃗ dan ⃗ ( ⃗ ∪ ⃗ ) seperti terlihat pada gambar.
⃗ dan ⃗ disebut pula kaki sudut, sedangkan titik B disebut titik sudut. ⃗ dan ⃗ masing-masing merupakan himpunan titik-titik. Gabungan keduanya yaitu ∠ merupakan himpunan titik-titik pula.
20
Ukuran sudut Salah satu satuan ukuran sudut menggunakan satuan derajat dimana satu derajat ditulis 1° sama dengan 1/360 dari satu putaran penuh. Ukuran sudut adalah anggota himpunan bilangan bukan himpunan titik. Oleh karena itu sudut dan ukuran sudut merupakan dua konsep yang berbeda tetapi saling berkaitan. Ukuran ∠ yang biasa digunakan adalah jarak putar yang terkecil.
Peta mata angin Mata Angin adalah petunjuk arah yang terdiri dari delapan penjuru yaitu : 1. Utara : terletak diantara barat laut dan timur laut 2. Timur Laut : terletak diantara utara dan timur 3. Timur : terletak antara timur laut dan tenggara 4. Tenggara : terletak antara timur dan selatan 5. Selatan : terletak antara tenggara dan barat daya 6. Barat Daya : terletak antara selatan dan barat 7. Barat : terletak antara barat daya dan barat laut 8. Barat Laut : terletak antara barat dan utara Besar sudut terkecil antara dua mata angin yang berdekatan adalah: 1. Jika peta mata angin dibagi menjadi 8 arah mata angin maka besar sudut terkecil yang dibentuknya adalah 450 2. Jika peta mata angin dibagi menjadi 16 arah peta mata angin maka besar sudut terkecil yang dibentuk adalah 22,50
21
Jurusan tiga angka Sebagai pedoman untuk jurusan tiga angka adalah arah Utara yang dinyatakan dengan 0000 . Untuk menyatakan besar sudut jurusan tiga angka menggunakan aturan sebagai berikut: 1. Besar sudut dihitung dimulai dari arah Utara, kemudian berputar searah dengan perputaran jarum jam. 2. Besar sudutnya dinyatakan dengan tiga angka, misalnya besar suatu sudut 800 maka jurusan tiga angkanya adalah 0800 3. Besar sudutnya harus kurang dari 3600, sebab 3600 sama dengan arah Utara yang jurusan tiga angkanya 0000 Jika jurusan tiga angka letak kota P dari Q diketahui a0, maka jurusan tiga angka letak kota Q dari kota P, dapat 22
ditentukan tanpa membuat gambar atau sketsa, yaitu dengan cara: 1) Jika a < 1800 , maka jurusan tiga angka letak kota Q dari P adalah (a + 180)0 2) Jika a > 1800, maka jurusan tiga angka letak kota Q dari P adalah (a - 180)0 Contoh soal: 1) Tentukan Jurusan tiga angka untuk arah Timur Laut! Penyelesaian: Jurusan tiga angka untuk arah Timur Laut adalah 0450
2) jurusan tiga angka kota A dari kota B adalah 0850, tentukan jurusan tiga angka kota B dari kota A! Penyelesaian: Jika jurusan tiga angka kota A dari B = 0850 maka Jurusan tiga angka kota B dari kota A = 0850 + 1800 = 2650
23
3) Jurusan tiga angka kota P dari kota Q adalah 2000, tentukan Jurusan tiga angka kota Q dari kota P! Penyelesaian: Jika Jurusan tiga angka kota P dari kota Q = 2000 maka jurusan tiga angka kota Q dari P = 2000 - 1800 = 0200
24
BAB 8 RELASI DAN FUNGSI Pengertian Relasi Contoh : Pak Teguh mempunyai tiga orang anak, yaitu Doni, Pipit, Dimas. Masing-masing anak mempunyai kegemaran berolahraga yang berbeda-beda. Doni gemar berolah raga voly dan renang. Pipit gemar berolah raga voly, Dimas gemar berolah raga basket dan sepak bola. Doni dan Pipit mempunyai kegemaran berolah raga yang sama yaitu voly. Jika anak-anak Pak Teguh dikelompokkan menjadi satu dalam himpunan A, maka anggota dari himpunan A adalah Doni, Pipit, Dimas. Himpunan A tersebut kita tuliskan sebagai A = {Doni, Pipit, Dimas}. Sedangkan jenis olah raga yang digemari anak-anak Pak Teguh dapat dikelompokan dalam himpunan B. Himpunan B dituliskan B = {Voly, Renang, Basket, Sepak bola}. Terdapat hubungan antara himpunan A dan himpunan B. Hubungan tersebut berkait dengan gemar berolah raga dari anak-anak pak Teguh yang disebut “relasi”. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
25
Cara menyatakan suatu relasi Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Misal: P = {Dini, Arif, Alyn, Rizky}, Q = {Matematika, IPS, Kesenian, IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan P ke himpunan Q a.
Dengan Diagram Panah P Q
b. Dengan Diagram Cartesius
26
c.
Dengan Himpunan Pasangan Berurutan Relasi "pelajaran yang disukai" yang menghubungkan himpunan P ke himpunan Q dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut: {(Dini, Matematika); (Dini, IPA); (Arif, Matematika); (Arif, Inggris); (Alyn, Matematika); (Alyn, IPA); (Alyn, Inggris); (Rizky, IPS); (Rizky, Seni)}
Fungsi atau Pemetaan Contoh Perhatikan diagram panah dibawah ini!
:
Setiap anggota A di pasangkan dengan tepat satu (hanya satu) anggota B. Relasi seperti itu dinamakan fungsi atau pemetaan
27
Fungsi (pemetaan) dari A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. A disebut dengan Domain (daerah asal) A = {1, 3, 5, 7} B disebut Kodomain (daerah kawan) B = {0, 2, 4, 6}, sedangkan Daerah hasil (range) = {0, 2, 6} Banyak Fungsi (Pemetaan) Jika banyak anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyak anggota himpunan B adalah n(B) = b, maka: i. Banyak fungsi yang mungkin dari A ke B = ba Contoh: Banyak fungsi dari himpunan A={1, 2} ke B={a, b, c} adalah 32 = 9 ii. Banyak fungsi yang mungkin dari B ke A = ab Contoh: Banyak fungsi dari himpunan B={a, b, c} ke A={1, 2} adalah 23 = 8
Korespondensi satu-satu Contoh : Perhatikan diagram panah di samping! Himpunan P dikatakan berkoresponsi satu-satu dengan himpunan Q jika 28
setiap anggota P dipasangkan dengan satu anggota himpunan Q, dan setiap anggota Q dipasangkan dengan satu anggota himpunan P Dengan demikian, pada korespondensi satu-satu dari himpunan P ke himpunan Q, banyak anggota himpunan P dan himpunan Q haruslah "sama". Banyak Korespondensi Satu-satu Jika n(P) = n(Q) = n, maka banyak semua korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan P dan himpunan Q adalah: n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1 atau 1 × 2 × 3 × … × (n – 2) × (n – 1) × n Contoh: n(P) = n(Q) = 4 maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin 4 × 3 × 2 × 1 = 244
29
BAB 9 TEOREMA PHYTAGORAS Teorema Phytagoras menyatakan bahwa pada suatu segitiga siku-siku luas persegi pada sisi miring sama dengan jumlah luas persegi pada sisi lainnya. Pada setiap segitiga siku-siku sisi-sisinya terdiri atas sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Sisi a terletak dihadapan sudut A. Sisi b terletak di hadapan sudut B. Sisi b terletak di hadapan sudut B. C b
A
a
= = =
+ − −
B
c
Menentukan jenis segitiga 1. Jika di A. 2. Jika di A. 3. Jika di B.
<
+
maka ABC adalah segitga lancip
>
+
maka ABC adalah segitga tumpul
=
+
maka ABC adalah segitga siku-siku
30
Triple Phytagoras Ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku sering dinyatakan dalam tiga bilangan asli. Tiga itu disebut triple phytagoras. contoh: Panjang sisi suatu segitiga siku-siku adalah 3,4 dan 5 satuan. bilangan tersebut disebut Triple phytagoras sebab 5 =3 +4
31
BAB 10 PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus adalah persamaan matematika yang jika digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Dalam koordinat Cartesius, setiap titik dinyatakan dengan pasangan terurut (x, y) di mana koordinat x disebut absis dan koordinat y disebut ordinat. Gradien adalah tingkat kemiringan garis. (perbandingan antara komponen-y (ordinat dan komponen-x (absis) antara 2 titik pada dua garis tsb. Gradien dilambangkan dengan m. Gradien garis yang melalui dua titik dicari dengan rumus: − = − Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah nol. Garis yang sejajar dengan sumbu-y tidak mempunyai gradien. Dua garis yang saling sejajar memiliki gradien yang sama. Hasil kali gradien garis yang saling tegak lurus adalah (–1).
32
Bentuk persamaan garis lurus Bentuk umum +
+
=
Bentuk lainnya = =
+
Rumus untuk menentukan persamaan garis dari gradien dan titik koordinat, yaitu: − = ( − ) Rumus untuk menentukan persamaan garis dari dua titik koordinat, yaitu: − − = − −
33
BAB 11 PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH Sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear atau lebih, yang masing-masing persamaan mempunyai dua peubah. Contoh: Dua persamaan linear dengan dua peubah x dan y = +2 = 2 +1 Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua peubah dapat dilakukan dengan: Metode grafik, Metode substitusi, dan Metode eliminasi.
Metode grafik Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode grafik, kita harus mencari titik potong kedua persamaan linear tersebut. Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan dengan dua peubah merupakan titik potong grafik sistem persamaan tersebut.
Metode Substitusi Substitusi berarti memasukkan atau menggantikan pada tempatnya. Untuk menentukan penyelesaian sistem 34
persamaan dengan dua peubah dengan menggunakan metode substitusi kita harus memasukkan atau menggantikan x dan y pada kedua persamaan linear tersebut. Contoh: Penyelesaian sistem persamaan: = +2 =2 +1 dapat diselesaikan dengan metode substitusi sebagai berikut: +2 = 2 +1 = +2 −2 = 1−2 =2 +1 − = −1 =1 = +2 =1 = 1+2 = 3. Jadi, harga x dan y yang memenuhi persamaan di atas adalah = 1 dan = 3 atau himpunan penyelesaiannya adalah {1,3}.
Metode Eliminasi Eliminasi berarti menghilangkan salah satu peubah. Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan dengan dua peubah, dengan menggunakan metode eliminasi, adalah dengan mengurang atau menambah persamaan yang satu dengan yang lainnya sehingga salah satu peubah hilang. Contoh: Penyelesaian sistem persamaan: = +2 =2 +1 35
dapat diselesaikan dnegan metode eliminasi sebagai berikut: Agar salah satu peubah hilang maka dilakukan pengurangan: = +2 =2 +1 0 = − + 1 → peubah yang hilang adalah y. =1 = + 2 dengan = 1 maka = 1 + 2 atau = 3 = 2 + 1 dengan = 1 maka = (2 × 1) + 1 atau = 3. Jadi, harga x dan y yang memenuhi sistem persamaan di atas adalah = 1 dan = 3 atau himpunan penyelesaiannya adalah {1,3}.
36
BAB 12 SUDUT GARIS SEJAJAR Gambar
Istilah tolak belakang
Sifat Besar sudutnya sama
dalam bersebrangan
Besar sudutnya sama
dalam sepihak
jika kedua sudut dijumlahkan hasilnya sama dengan 180° Besar sudutnya sama
luar bersebrangan luar sepihak
jika kedua sudut dijumlahkan hasilnya sama dengan 180°
37
BAB 13 PELUANG Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Misalnya matahari yang masih terbit di timur sampai sekarang. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi. Adapun materi peluang yang akan dibahas di antaranya: 1. Percobaan, ruang sampel, dan kejadian 2. Peluang suatu kejadian 3. Peluang percobaan kompleks 4. Peluang Kejadian Majemuk
Percobaan, ruang sampel, dan kejadian Percobaan adalah: suatu kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk menghasilkan sesuatu. Ruang Sampel adalah : Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu kejadian (percobaan) Titik Sampel adalah : Anggota-anggota dari ruang sampel 38
Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Contoh soal: Misalkan sebuah dadu bermata enam dilemparkan satu kali maka tentukan: hasil yang mungkin muncul, ruang sampel, titik sampel, banyaknya kejadian mata dadu ganjil, banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3? Jawab: Hasil yang mungkin muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 Ruang sampel atau S = {1,2,3,4,5,6} Titik sampel sama dengan hasil yang mungkin yaitu mata dadu 1,2,3,4,5 dan 6 Misalkan A adalah kejadian mata dadu ganjil Kejadian A={1,3,5} Banyaknya kejadian mata dadu ganjil adalah n(A) =3 Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3 Kejadian B={1,2} Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3 adalah n(B)=2
39
BAB 14 LINGKARAN
Unsur-unsur lingkaran: Titik pusat lingkaran (O) adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Jari-jari (AO) adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. Diameter (AOB) adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui titik pusat. Busur (BC) adalah garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik pada lingkaran tersebut. Tali busur (DGF) adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Tembereng (DEF) adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur.
40
Juring (OBC) adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari tersebut. Apotema (OG) adalah garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Keliling lingkaran =
=
Luas lingkaran = = 3,14 atau 22/7 = = − Sudut Pusat dan Sudut Keliling Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari dan menghadap suatu busur lingkaran Sudut keliling adalah sudut pada lingkaran yang dibentuk oleh dua buah tali busur. Semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar sudut yang sama. Jumlah sudut keliling yang saling berhadapan sama dengan 180°. Jika sudut pusat dan sudut keliling lingkaran menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat adalah dua kali dari besar sudut keliling. 41
Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.
360°
=
=
Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran adalah setengah kali dari jumlah sudutsudut pusat yang berada di depan dan di belakangnya.
∠
T
=
1 × (∠ 2
+∠
)
Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan diluar lingkaran adalah setengah kali dari selisih sudut pusat yang terletak di antara kedua kakinya.
∠
=
1 × (∠ 2
−∠
)
T 42
Sudut-sudut segi-n beraturan Besar setiap sudut pusat segi − n beraturan =
360°
Besar setiap sudut segi − n beraturan 360° ( − 2) × 180° 180° − = Garis Singgung Lingkaran Sifat-sifat garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik yang disebut titik singgung lingkaran. Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Dari satu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung. Dari satu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung lingkaran. Garis singgung persekutuan adalah garis yang tepat menyinggung dua lingkaran. Dari dua lingkaran yang saling lepas dapat dibuat dua garis singgung persekutuan luar dan dua garis singgung persekutuan dalam. Panjang garis singgung persekutuan luar (l) dan garis singgung persekutuan dalam (d) dapat dicari dengan: 43
= =
−( − ) −( + )
di mana: l = panjang garis singgung persekutuan luar d = panjang garis singgung persekutuan dalam k = jarak kedua titik pusat lingkaran R = jari-jari lingkaran pertama r = jari-jari lingkaran kedua Hubungan antara lingkaran dan segitiga Rumus luas segitiga yang lain ( − )( − )( − ) = Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah = Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga adalah = Dengan L = Luas s = ½ keliling segitiga; a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga
44
BAB 15 LOGARITMA Definisi Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b. a log b = c ↔ ac = b ~ “mencari pangkat” dengan a = bilangan pokok (a > 0 dan a ≠ 1) b = numerus (b > 0) c = hasil logaritma Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa : a log a = 1 ; alog 1 = 0 ; alog an = n
Sifat-sifat logaritma a
log bc = alogb + alogc log bc = c alog b a log b/c = alog b -alog c Hubungan alog b/c = - a log b/c a log b = (clog b)/(clog a) Hubungan alog b = 1 / blog a a log b. blog c = a log c a log b = b a log b = c aplog bp = c Hubungan : aqlog bp = alog bp/q = p/q alog b Keterangan: 1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10. [ log 7 maksudnya 10log 7 ] 2. lognx adalah cara penulisan untuk (logx)n Bedakan dengan log xn = n log x a
45
BAB 16 TRIGONOMETRI Pengertian Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cotangen (cot), secan (sec) dan cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga sikusiku.
Sinus Sinus dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga sikusiku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah
sin A =
C b
A
a
c
B
sin B =
Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.
Kosinus Kosinus atau cosinus (simbol: ) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu
46
adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90°). Berdasarkan definisi kosinus di atas maka nilai kosinus adalah
cos A =
cos B =
Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.
Tangen Tangen (bahasa Belanda: tangens; lambang tg, tan) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi tangen di atas maka nilai tangen adalah
tan A =
tan B =
Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV. Hubungan Nilai Tangen dengan Nilai Sinus dan Cosinus
tan A = Sekan Sekan (lambang: sec) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak pada sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). 47
Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sekan di atas maka nilai sekan adalah
sec A =
sec B =
Hubungan sekan dengan kosinus:
sec A = Kosekan Kosekan (disimbolkan dengan cosec atau csc) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kosekan di atas maka nilai kosekan adalah
csc A =
csc B =
Hubungan kosekan dengan sinus:
csc A = Kotangen Kotangen (lambang: cot, cotg, atau cotan) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak pada sudut dengan sisi segitiga yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kotangen di atas maka nilai kotangen adalah 48
cot A =
cot B =
Hubungan kotangen dengan tangen:
cot A = Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa Α
0°
Sin α
0
Cos α
1
Tan α
0
30°
√ √
45°
60°
√
√
1 0
√ 1
90°
√
∞
49
BAB 17 BARISAN DAN DERET Pola barisan bilangan Barisan adalah urutan bilangan dengan pola tertentu 1. Barisan bilangan genap: 0,2,4,6,8,… 2. Barisan bilangan ganjil : 1,3,5,7,9,… 3. Barisan bilangan segitiga : 1,3,6,10,… 4. Barisan bilangan persegi : 1,4,9,16,… 5. Barisan bilangan segitiga Pascal: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1…dst . Jumlah bilangan baris ke-n segitiga Pascal = 2(
)
Menentukan rumus dari suatu barisan aritmatika Contoh: Suatu barisan 3,7,11,15,… Barisan tersebut mempunyai suku pertama = a = 3 Barisan tersebut memiliki beda = b = 4 Suku ke-n = = +( − ) Jumlah suku ke-n = =
(
+ ( − )) 50
=
( +
)
Menentukan rumus dari suatu barisan geometri Rumus suku ke-n = . ( ) Suku Pertama = a Rasio antara dua suku berurutan = r Banyaknya suku = n Jumlah n suku = =
(
)
(
)
, untuk r ≥ , untuk r ≤
51
BAB 18 BILANGAN BASIS Basis Bilangan dengan Metode Napier Metode Napier yang dimaksud dalam bagian ini adalah suatu cara dari John Napier yang dilakukan untuk menyelesaikan soal-soal basis. Dalam metode ini kita dapat menempatkan semua angka pada tempat yang sudah tersediakan sehingga siswa tidak perlu mengingat perkalian angka yan sudah lewat, karena angka akan tercantum. Penggunaan metode ini menurut penulis dapat membantu dalam menyelesaikan soal-soal basis yaitu dalam operasi basis. Jika sudah dipahami penggunaan metode ini maka akan lebih mudah dan lebih teliti. Metode Napier akan kita simak dalam penjelasan-penjelasan di bawah ini: 1) Penjumlahan Contoh: (3184)10 + (1582)10 = …
Dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian memakai metode Napier, kita harus neyediakan sabaris kotak yang banyaknya sesuai dengan banyaknya salah satu angka terbanyak dari angka yang dijumlahkan, 52
dikurangkan, maupun dikalikan, kemudian angka terebut ditaruh di atas dan di bawah kotak. Masing-masing kotak dibagi menjadi dua dari sudut kanan atas se sudut kiri bawah. Bagian atas untuk menempatkan jumlah bilangan dasar dan bagian bawah untuk menempatkan sisa. Adapun untuk mengetahui hasilnya diperoleh dengan cara menjumlahkan bilangan-bilangan pada jalur-jalur yang miring ke kiri. Dengan penjelasan di atas kita akan dapatkan hasil penjumlahan sebagai berikut:
Langkah-langkah dari penjumlahan di atas adalah: a. 4 + 2 = 0 puluhan, sisa 6 b. 8 + 8 = 1 puluhan, sisa 6 c. 1 + 5 = 0 puluhan, sisa 6 d. 3 + 1 = 0 puluhan, sisa 4 Melihat penjumlahan pada jalur-jalur miring diperoleh: (4766)10 Jadi, (3184)10 + (1582)10 = (4766)10 Untuk melihat kebenarannya kita dapat melakukan sebagai berikut:
53
Pada pengurangan dan perkalian dengan metode Napier juga sama halnya dengan penjumlahan, hanya tandanya saja yang berbeda. 2) Pengurangan Contoh: (3322)5-(442)5 =…
Langkah-langkah dari pengurangan di atas adalah: a. 2-2 = 0 limaan, sisa 0 b. 2-4, agar dapat dilakukan pengurangan dipinjamkan 1 limaan dari angka depannya, sehingga menjadi 7 . 4, pinjaman 1 ditulis (-1) 54
c. 3-4 menjadi 2-4 (telah dipinjam 1 limaan) 2-4, agar dapat dilakukan pengurangan dipinjamkan 1 limaan dari angka depannya, sehingga menjadi 7 . 4, pinjaman 1 ditulis (-1) d. 3-0 menjadi 2-0 (telah dipinjam 1 limaan) 2 -0 = 2 Dengan melihat penjumlahan pada jalur-jalur miring diperoleh (1230)5 Jadi, (3322)5 . (442)5 = (1230)5 3) Perkalian Contoh: (331)5 x (04)5 =…
Langkah-langkah dari perkalian di atas adalah: a. 1 x 0 = 0 limaan, sisa 0 d. 1 x 4 = 0 limaan, sisa 4 b. 3 x 0 = 0 limaan, sisa 0 e. 3 x 4 = 2 limaan, sisa 2 c. 3 x 0 = 0 limaan, sisa 0 f. 3 x 4 = 2 limaan, sisa 2 Dengan melihat penjumlahan pada jalur-jalur miring diperoleh (2424)5 55
Jadi, (331)5 x (04)5 = (2424)5
Basis Bilangan dengan Metode Biasa Operasi pada basis tidak lain sama dengan operasi hitung pada pelajaran matematika lainnya , yaitu meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada operasi basis mempunyai syarat tertentu yaitu apabila kedua basis akan dioperasikan maka kedua basis tersebut harus dalam satu basis (basis yang sama). 1) Penjumlahan Penjumlahan basis bilangan dapat dilakukan dengan cara penjumlahan bentuk panjang atau penjumlahan bersusun. Tetapi dalam hak ini yang kita bahas adalah penjumlahan bersusun. Perhatikan contoh: Contoh: Jumlahkan 3425 dan 2335
Keterangan: 2 + 3 = 5 dikelompokkan menjadi (1 x 5) 8 x 5 dikelompokkan menjadi (1 x 52) + (3 x 5) (3 x 52) + (2 x 5) ditambah (1 x 52) = (6 x 52), dikelompokkan menjadi (1 x 53) + (1 x 52) 2) Pengurangan Contoh: Kurangkan 425 dengan 235 56
Perhatikan: 2-3 tidak mungkin, ambil (1 x 5) dari (4 x 5) Menjadi (1 x 5) + 2 = 7 satuan, 7-4 = 3 Karena dari (4 x 5) telah diambil (1 x 5), maka yang dikurangkan menjadi: (3 x 5)-(2 x 5) = (1 x 5) Hasilnya: (1 x 5) + 4 atau 145 3) Perkalian Untuk perkalian pada basis dua (biner) perlu kita mengingat tabel (daftar) yang cukup sederhana sebagai berikut:
57
Keterangan: 4x0=0 1x0=0 4 x 3 = 12 ( 2 basis basis limaan dan 2 satuan), jadi yang ditulis 2 satuannya dan 2 basis limaannya ditambahkan ke angka depannya 3 x 1 = 3 (ditambah 2 dari angka depannya, 3 + 2 = 5)
58
BAB 19 BANGUN DATAR Persegi
Definisi Bangun datar yang memiliki empat buah sisi sama panjang Keliling = 4xs Luas = s x s s = panjang sisi
Persegi Panjang
Definisi Bangun datar mirip bujur sangkar namun dua sisi yang berhadapan lebih pendek atau lebih panjang dari dua sisi yang lain. Dua sisi yang panjang disebut panjang, sedangkan yang pendek disebut lebar. Keliling = 2 ( Luas =
) 59
p = panjang l = lebar
Segitiga
Definisi Suatu bangun yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut Keliling = a + b + c Luas = 1/2 (a x t) a, b, dan c adalah panjang ketiga sisi segitiga
Lingkaran
Definisi himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat Keliling = 2π x r Luas = π x r x r π = 3,14 atau 22/7 60
r = jari – jari lingkaran (½ diameter)
Trapesium
Definisi Trapesium ialah suatu segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi yang sejajar Keliling = a + b + c + d Luas = ½ x jumlah sisi sejajar x t a, b, c, dan d adalah sisi – sisi trapesium t = tinggi trapesium
6.Layang - Layang
Definisi Layang-layang adalah bangun datar yang mirip dengan belah ketupat, namun sisinya berbeda Keliling = 2 x (a + b) a dan b adalah sisi- sisi pada layang - layang Luas = ½ x d1 x d2 61
d = panjang diagonal layang - layang
Jajar Genjang
Definisi Jajar genjang memiliki masing-masing 2 sisi yang sama besar Keliling = 2 x (a + b) a dan b adalah sisi- sisi pada jajar genjang Luas = a x t t = tinggi jajar genjang
Belah Ketupat
Definisi Jajar genjang yang dua sisinya yang sama panjang Keliling = 4 x a a = panjang sisi belah ketupat Luas = ½ x d1 x d2 d = panjang diagonal belah ketupat
62
BAB 20 BANGUN RUANG Kubus
Ciri-ciri Kubus : 1. Jumlah bidang sisi ada 6 buah yang berbentuk bujur sangkar (ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE,) 2. Mempunyai 8 titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H) 3. Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang (AB, CD, EF, GH, AE, BF, CG, DH, AD, BC, EH, FG) 4. Semua sudutnya siku-siku 5. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang (4 diagonal ruang = garis AG, BH, CE, DF ) dan 12 diagonal bidang = garis AC, BD, EG, FH, AH, DE, BG, CF, AF, BE, CH, DG) Volume (V) = s x s x s = s3 Luas (L) = 6 x s x s = 6 s2 63
Keliling = 12 x s Panjang diagonal bidang = s2 + s2 = 2s2 = s2 Panjang diagonal ruang = s2 + s2 + s2 = 3s2 = s3
BALOK
Ciri-ciri Balok : 1. Alasnya berbentuk segi empat 2. Terdiri dari 12 rusuk 3. Mempunyai 6 bidang sisi 4. Memiliki 8 titik sudut 5. Seluruh sudutnya siku-siku 6. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal
bidang
Volume = p x l x t Luas = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt) } Keliling = 4 x (p+ l + t) Diagonal Ruang = p2 + l 2 + t 2
64
Prisma Tegak segitiga siku-siku b
a
t
p Ciri-ciri : 1. Terdiri dari 6 titik sudut 2. Mempunyai 9 buah rusuk 3 Mempunyai 5 bidang sisi Volume = Luas alas x tinggi Luas alas = 1/2 x alas x tinggi Luas = 2 x 1/2 (a x b) + (a x t) + (b x t) + (p x t)
Kerucut Ciri-ciri : 1. Mempunyai 2 bidang sisi (1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut) 2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut Luas selimut = π x r x s Luas alas = π x r 2 65
Luas Permukaan kerucut
= Luas alas + Luas Selimut =πxr2+πxrxs = π r (r + s)
Volume =1/3 x Luas alas x tinggi = 1/3 x x r x r x t
Tabung
Ciri-ciri: 1. Mempunyai 2 rusuk 2. Alas dan atapnya berupa lingkaran 3. Mempunyai 3 bidang sisi ( 2 bidang sisi lingkaran atas dan bawah, 1 bidang selimut) Volume tabung = luas alas x tinggi = π x r 2 x t Luas Selimut= 2 π x r x t Luas Permukaan Tabung = 2 x luas alas + Luas selimut tabung =2xπxr2+2πxrxt =2πr(r+t)
66
Limas a. Limas Segitiga
Ciri-ciri : 1. Alasnya berbentuk segitiga 2. Mempunyai 4 bidang sisi (alas dan 3 sisi tegak) 3. Mempunyai 6 rusuk 4. Mempunyai 4 titik sudut Luas alas =1/2 alas x tinggi Volume =1/3 Luas alas x tinggi Luas = Luas alas + (3 x luas tegak segitiga) A b. Limas Segiempat
t
E
D 67
Ciri-ciri : 1. Alasnya berbentuk segiempat (BCDE) 2. Mempunyai 5 bidang sisi (BCDE, ABC, ACD,ABE, ADE) 3. Mempunyai 5 titik sudut ( A, B,C,D,E) 4. Mempunyai 8 rusuk (AB, AC,AD,AE,BC,CD,DE,BE) Volume = 1/3Luas alas x tinggi Luas alas = p x l Luas = Luas Alas + (4 x Luas tegak segitiga)
Bola
Ciri-ciri : 1. Hanya mempunyai 1 bidang sisi 2. Tidak mempunyai sudut dan tidak mempunyai rusuk Volume = 4/3 π r 3 Luas = 4 π r 2
68
