Lampirau 1. Definisi (himpunan konveks) Suatu himpunan K dikatakan himpunan konveksjika Vx, ,x, c K maka X E K , dengan X = ~ l + ( l - A ) x , , O s A s l . Defiuisi dan ilustrasi fungsi kuasikonkaf Suatu fungsi f merupakan fungsi kuasiionkafjika untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda pada daerah asal @ang mempakan himpunan konveks) darif , dan untuk OQ
XU) j dan f merupakan fungsi kuasikonkafsempumajika untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda pada daerah asal @ang merupakan himpunan konveks) darif , dan untuk OQflu) -t ffhu+(l-h)vl >xu).
4 6"'
Kuasikonkaf sempuma
Kuasikonkaf
Lampirau 2. Bukti syarat cukup untuk fungsi imbalan yang kuasikonkaf Teoremal : Misalkanf fungi yang terdehisi pada himpunan konveks Q. Jikaf fungi konkafmakaf fungsi kuasikonkaf. Bukti: Misalkanf merupakan fungsi konkaf. Maka krdasarkan definisi : (1) fihu+(l-h)vI> ;\Xu)+ (1-hxv), untuk setiap u, v 6 Q, dan 0SX1. diasumsikanflv) >Xu) maka (2) Mu) + (1-hxv) ~ 1 1 ) . Dari pertidaksamaan (1) dan (2) maka (3) nhw+(l-h)vl >Xu) denganflv) >Xu). Berdasarkan pertidaksamaan (3) makaf merupakan fungsi kuasikonkaf. qed. Akan dibuktikan : Jika f i g s i permintaan (D) konkaf maka fungsi imbalan ( P = p D ) kuasi konkal: Pertama kali akan dibuktikan bahwa Jika D fungsi konkafmaka P =pD merupakan fungsi konkaf. Bukti : Diketahui bahwa fungsi permintaan (D) konkcdmaka krdasarkan definisi : (4) m u ) + (1-h)D(v) < D[hu+(l-h)v], untuk setiap u, v E R, dan OshSl. Untuk suatu konstanta p 2 0 maka p m u ) +pfl-h)D(v)
= pD
Lampiran 3. Bukti persamaan (1) pl i t ( ? - s , ) = p2 +t(s2 - F ) '(F-st)-t(s, - s ) = ~ ,- p ,
Karena t merupakan fungsi naik maka
Karena t merupakan fungsi yang terturunkan dua kali maka
Lampiran 4. Gamhar penurunan fungsi permintaan perusahaan 1
seh'mgga :
Lampirau 5. Bukti Proposisi 1 I'roposisi 1 Misalkan f ( s , s 1 ) = 4 s - s ' l + d ( ~ - s ' ) ~ ,
A, jika c/d > 1 6 ~ ~ / ( 1 - 2 a maka ) ~ tidak ada harga kesetimbangan. 6 1 ii.Untuk - s a < A,jika cld > ~ a t ( l - 4 a ) maka tidak ada harga kesetimbangan. 6 4 i.Untuk 0 < a <
Bukti : Misalkan (p; ,p;)adalah harga kesetimbangan. Ada 3 kasus yang mungkin terjadi :
pmm& (P;,P;)cD1 ={(PI 3 P 2 ) i + a < 4 1.P2)S1} Dengan menggunakan persamaan p, +c(i-sl )+d(S-s, )Z = p, +c(i-s, )+d(S-s2)2 didapat solusi p, - p, + 2ad -2ac p2- pI +2ad -2ac ?(PI P2 = s e h m g g a ~ , ( P ~ , P , ) = P ~ - 4ad dan 4ad p, -p, +2ad+2ac ~ ~ ( P I ~ P ~ ) = P 4ad z 9
Dengan syarat turunan pertama :
3 =0dan 3=0 didapt fi,
dan
fi2
sedemikian sehmgga
8 ~ 2
@I'
1 F(j,, A ) < ? + a . Jadi (p;,p;)tidak k a d a di dalam Dl, dan karena itu haruslah memenuhi .!, ~ ( p ; ,p;)= 1, tetapi p; hukan respon terbaik dari perusahaan 2 karena P, (p; ,p;)= 0 . ~ a d tidak i ada harga kesetimbangan di Dl.
Dengan argumen yang sama seperti di atas, tetapi indeks 1 dan 2 d i n g dipxhbrkan, ditunjukkan bahwa 4 tidak memuat harga kesetimbangan.
.
1 Ketiga, ( P ; , P ; ) E ~ ~={(PI.P2ki-aSi(Pl.P2)5
Dengan m e n p a k a n persamaan p, +c(S-s, )+d(F-s,
1 ila}
)2 = p,
+c(s, -i)+d(s2 -5), didapat solusi
p, -p, + 2 a d + c P ~ ( P , , P ~ ) = P ~ 4ad+2c ~ n g a syarat n turunan pertama diperoleh p;
= p; = 2ad + c dan
P,(P;,
p;)=f', (P;, P;
Misalkan diberikan p; ,akan diselidiki tanggapan terbaik dari perusahaan 1 (&)pada
dan pada
Akan diselidiki dallulu tanggapan terbaik dari perusahaan 1 pada A,
.
)= ad +c/:
Nilai maksimum dari p , ~ ( p l p;)pada ,
Fl = 2ad+ac+c/2.
[O,m)dicapai pada harga
Lalu didapat
>--a, jadi tidak ada tanggapan terbaik terhadap p; pada A , . 4ad 2 Sedangkan pada A,, dengan cara yang sama didapat nilai maksimum dari p,Sb,,p;)pada
[0, m) dicapai pada harga pi = 2ad +c/2 -ac
,
Untuk c/d 5 4a/(l - ~ a ) , ~ ( p ;pi)< , 1sehingga ii, = p; Untuk c/d > 4a/(l-2a),S(p;, p;)> 1yang berimplikasi pi bukan tanggapan terbaik perusahaan 1 terhadap
pi.
Pada kasus ini jika 1- S(p, ,pi)=0 maka Fl = c(1- 2a). Jadi F, = 2ad + c/2 - ac untuk c/d 5 4a/(l- 2a)dan . jj,=c(l-2a) untnk c/d >4ai(l-2a). 1. Pertama, misalkan c/d r 4a/(l-2a)maka p,b,,p;)> P,(p;,P;)
jika c/d >16a2/(l-2a)Z dan 16a2/(1-20)'
<4a/(l-2a)jika a<1/6.
c 4a <-5maka tidak ada harga kesetimbangan di D 3 . ( 1 - ~ a ) ~ d (1-2a) 2. Kedua, misalkan c/d > 4a/(l- 2a)maka
Sehingga jika a
16a2
P, b , , p;)> 4 (p;,
p;) jika c/d > 2a/(l-4a), asumsikan a < 114 lalu 4a 2a 1 > (<)jika a < (2)(1-2a) (1-4a) 6 Jadi tidak ada harga kesetimbangan di D,
1 16a2 c <- atau Jika a < - dan 6 ( l - ~ a ) ~d 1 1 2a c Jika - < a < - d a n -<-. 6 4 (1-4a) d Syarat diatas juga berlaku untuk perusahaan 2, dengan mengasumsikan perusahaan 1 menetapkan harga
P; .
qed
Lampiran 6. Bukti Proposisi 2 Proposisi 2 Untnk a + h = !,titik kesetimbangan yang unik diberikan oleh p1* -Pz titik.kcsetimbanganjika dan hanya jika
dan jika add titik kesetimbangan ditentukan secara tun&
Bukti :
oleh :
*
=O.Untuka+b
.
( +)
Untuk a c b = e berarti kedua prcdusen berada pada suatu titik lokasi yang sama sehingga biaya transportasi yang dibebankan oleh kedua produsen kepada setiap konsumen sama bsamya. Karena itu setiap konsumen &pat membeli barang yang memiliki harga terendah tanpa memperhatikan biaya transportasi. Setiap prcdusen betusaha mendapatkan konsumen yang paling banyak sehingga yang memiliki harga lebih tinggi akan menurunkan harga sehiigga menjadi lebih rendah dari yang lain, ha1
.
ini terjadi terus menerus sampai akhimya harga kesetimbangan akan tercapai pada p,' = p,' = 0. Untuk a + b < t ,akan dibuktikan : Jika ada satu titik kesetimbangan (p,., p,') maka
d e a n ' pI =
.(! + y)
(4) d m p2.
akan ditunjukkan
Pertamq
=c(!-y)
bahwa
(5).
setiap
kesetimbangan
hams
memenuhi
kondisi
Ip,' - p,*l < c(t - a - b) . Akan dibuktikan dengan metode kontradiksi.
merupakan harga kesetimbangan tetapi p,' -p,.l >c(e-a-b), artinya sdah
MisaUtan
satu prcdusen yang harganya lebih besar mendapat l a b = 0 dan karena itu ia akan mengubah harganya hingga sama dengan yang lain agar mendapatkan l a b Hal ini kontradiksi dengan (p,., p,')adalah harga
kesetimbangan.
Midan
(p,', p,')
merupakan harga kesetimbangan tetapi
l p l * -p2'l
= c(e -a -b) . Misalkan
p2*-PI* =c(e-u-b) :
Jika p,' = 0 maka perusahaan 1 mendapat lab=O sebingga ia akan mengubah harganya menjadi lebii kecil d a i p,' + c ( t - a - b ) agar mendapatkan laba. Hal ini kontradiksi dengan (p,.,p,') adalah harga kesetimbangan.
+
Jika p,' > 0 maka akan muncul dua kemungkinan :
.
Perusahaan 1 mendapatkan semua konsumen sehingga perusahaan 2 menurunkan harganya supaya mendapatkan l a b . Kontradiksi dengan
(p,.,
p,')adatah harga kesetimbangan.
Perusahaan 1 h a n y mendapat sebagian konsumen, misalkan q, < e kemudian ia perlu menurunkan harga untuk mendapatkan seluruh konsumen dan meningkatkan labanya. Jadi untuk
dengan (p,', p,') adalah harga kesetimbangan .
Jadi telah ditunjukkan bahwa setiap kesetimbangan Jadi
untuk
setiap harga
6,.,p,')
kesetimbangan
harts memenuhi
( p l , p ) , p,.
1 upI +-(e -a -b)p, + ( 1 / 2 c ) ~ -(1/2c)p,~ ~*~, pada interval harga 2
dan p,'
1 harus memaksiiunkan bp, +--(e-a-b)P2
Dengan s w a t turunan pertama maka : 1 P,* %=a+-(e-a-b)+---=O 7 2c PI
PI.
-
1 &=a+-(f-a-b)+C 2
c
PZ*
2c
1 p,' =ac+-c(j-a-b)+2
~ 2 '
2
1 PI' aPz -b+-(e-a-b)+---=O --
ap2
2
............... (#I) PZ'
2c
c
1 PI* k=b+-(P-a-b)+C 2 2c
1 p,' =be+-c(e-a-b)+2
PI'
2
.............. (#2)
kemudian substitusi (#2)ke (#I) : 1 1 1 1 p,' =ac+-c(C-a-b)+-bc+-c(t-a-b)+-p1 2 2 4 4 3 * 1 3 - p , =ac+-bc+-c(l-a-b) 4 2 4 . 4 2 p, =-nc+-bc+c((-0-6) 3 3 . 4 7 p, = c -u+--b+E-a-b (3 3
I
= C ( r +?I
(4)
.
IP '
-P2'l < e(e -a-b).
haus
memaksimumkan
6,' -c(t -a -b), p,'
+ c(e- a- b)),
+ ( 1 / 2 c ) ~ ,-(1/2c)p,~ '~~ pada interval harga
dengan cara y n g sama substitusikan (#I) ke (#2) : 1 1 1 p,' =bc+-c(!-a-b)+-ac+-c(e-a-b)+-p2 2 2 4
1 4
.
Sekarang akan dihuktikan bahwa (4) dan (5) benar-benar suatu kesetimbangan. Ingat bahw untuk menjadi kesetimbangan, strategi p,'harus memaksimumkan
(p,,p,.) tidak hanya pada interval di atas. tetapi
pada seluruh daerah asal S, , dan begitu pula dengan p,'
.
Mari dilihat bahwa hal ini h a r hanya pada suatu himpunan terbatas dari lokasi y n g mungkin. Diberikan a dan b , agar p,*menjadi suatu strategi kesetimbangan terhadap p,'maka untuk setiap E > O ,
a-b
2
ze[p2' -c(t-a-a)-a]
(*) ~ , ( ~ , * , ~ ~ * ) = f
Bagian kanan dari pertidaksamaan di atas adalah laba perusaham 1jika ia memberikan harga pembelian
yang sedikit lebih kecil dari p,'
.
Tetapi kondisi (*) dapat dituliskan kembali sebagai (2) :
Dengan cara xrupa dapat dituliskan pula bagi perusaham 2 sebagai krikut : a-b P2(p,.,p2*)=i[(-j]
2
re(pl*-c(e-a-b))
( t )Untuk a +b < e akan dib&ikan
jika : ( f + ~ )r:t(a+'2b) '
p; =.it+?)
........(2)
.........- (5)
Bukti : 2
(I+?)
4
t - e ( ~ + 2 b )........(2) 3
[ ( ";"
re c e---
-c(t-a-b)
1;
misalkan c
[e--
=A
Untuk
E
z0 yang sangat kecil, maka dapat dituliskan :
f->_&(B-c(e-a-b)-E)................. p2) 2 Perhatikan pertidaksamaan (*I) dan (*2) juga h g s i imbalan (profit) yang telab diberikan, maka kedua pertidaksamaan tersebut bagian kanannya adalah laba perusaham jika mendapat seluruh konsumen/pasar ( C ) , sehingga &pat dituliskan :
=(
-
Jika kedua persamaan pl dan p2 di atas disubstitusikan ke dalam fungi prolit Liap perusahaan diperoleh : 2
a-b P ~ ( P ~ , P ~ ) = $ ~3+ - ) d-
a-b P ~ ( P ~ . P ~-) = + ( ( 3- - )
2
Sehingga &pat dituliskan kembali sebagai : 2
r e [ p 2- c ( e - a - b ) - E ]
.............. (#I)
Pertidahamam di atas menunjukkan suatu keadaan kesetimbangan sehingga p, dan p2 merupakan harga kesetimbangan atau :
Karena prdan p; m e ~ p a k a nharga kesetimbangan, maka dengan cara yang sama seperti pembuktian ke arah sebaliknya, dapat dibuktikan bahwa p; dan p; memenuhi kondisi lp; -p;l< c(e-a-b) Lampiran 7. Harga kesetimbangan kuadratik P,(P~,P~)=P~.D,
Untuk mendapatkan laba yang maksimum maka digunakan syarat turunan penama :
a4 --a+
PI
~ 2 ' PI' zc(e-a-b)-c(e-a-b)
'1
C(C-a-b)
=a+
P2 +2c(e-a-b)
+- e-a-b
=0
2 e-a-b 2
Untuk mendapatkan laba yang maksimum maka digunakan syarat turunan pertama : ap2 -=b+
a,,,
PI 2c(e-a-b)-c(!-a-b)
+ e-a-b =
Lalu substitusikan ('2) kc dalam (*I) :
2
o
.
qed
Untuk mendapatkan p 2 * ,substiwikan (*l) ke dalam ('2) :
Lampiran 8. Kceendernngan pernsahaan menjauhi pesaingnya
kemudian substitusikan nilai-nil2 p1' dan p2*yang ada pada persamaan (8) dan (9) pada prrsanaan di atas :
Jadi P,(p,.,p2*)=~(!-a-b@+-]
a-b
2
3
kemudian substitusikan nilai-nilai p,'dan p2'yang ada pada persamaan (8) dan (9) pada persamaan di atas :
ap2 --f ab
b-a
2
2
Lampiran 9. Harga kesetimbangan untuk persaingan harga dan lokasi
Bukti :
. - .. Untuk mendapatkan laba maksimum maka digunakan syarat tunman pertama :
Lalu substitusikan persamaan (2) ke persamaan ( I ) : p; +d(s2 -s,)(2-s1 -s2)+2d(s: - s f ) P; = 4
Kemudian substitusikan persamaan (10) ke persamaan (2) : d(s2 -sIX2+s1 +s2)+3d(s2-slX2-s, - s 2 ) P; = 6
Lampiran 10. Fungsi laba perusahaan untuk pcrsaingan harga dan lokasi
Akan dibuktikan &((s, , p ; ) ( s 2 , p ; ) ) = d ( s 2-s1X2+sI +s2)2 18
Substitusikan persamaan (10) dan (11 ) ke persamaan ( 1 ) dan (2) :
(1 1)
Fungsi laba kedua perusahaan adalah sebagai berikut :
.......... (5) 4((S1.~)(S2.P;))=$(slrsZ)4 .......... (6) P ~ ( ( ~ , P ; ) ( S Z . P ; )P;(SI.S~)Q )= Kemudian substitusikan persamaan (10) dan (3) ke persamaan (5) : 4(k1,P;)(s27~))=$(S2
-sl&+sl + S 2 ) 2
............ (I2)
Substitusikanjuga persamaan (1 1) dan (4) ke persamaan (6) : P ~ ( ( S ~ , $ ) . ~ ~ , ~ ; ) ) = $ (- Ss~ ~
x ~ -s$ - s ~...........(13)
qed
