DAFTAR PUSTAKA [1] [2] [3] [4] [5]
[6] [7] [8] [9] [10]
[11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21]
Apkarian, P., P. Gahinet, G Becker. (1995), Self-scheduled H ∞ Control of Linear Parameter-varying Systems : a Design Exemple, Automatica, 31, 1251-1261. Banjerdpongchai, D., (1997), Parametric Robust Controller Synthesis Using Linear Matrix Inequalities, Ph.D Dissertation, Stanford University. Boyd, S., L. El-Ghaoui, (1994), Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, SIAM Philadelphia. Boyd, S., J. Dattorro., (2003), Alternating Projections, Stanford University, Autumn. Combettes, P.L., H.J. Trussell., (1990), Method of Successive Projections for Finding a Common Point of Sets in Metric Spaces, Journal of Optimization Theory and Applications, 67, 487-507. Gahinet, P., (1994), A Linear Matrix Inequality Approach to H ∞ Control, International Juornal of Robust and Nonlinear Control, 4, 421-448. Gahinet, P., A. Nemirovski., A.J. Laub., M. Chilali., (1995), LMI Control Toolbox, The MathWork Inc. Goddard, P.J., (1995), Performance-Preserving Controller Approximation, Ph.D Dissertation, Trinity College Cambridge. Grigoriadis, K.M., R.E Skelton. (1995), Low-order Control Design for LMI Problems Using Alternating Projection Methods, Automatica, 32, 1117-1125. Grigoriadis, K.M., (1995), Optimal H ∞ Model Reduction via Linear Matrix Inequalities : Continous and Discrete-time Cases, Systems and Control Letters, 26, 321-333. Gubin., L.G, B.T. Polyak., E.V. Raik., (1966), The Method of Projections for Finding The Common Point of Convex Sets, Moscow. Packard, A., (1994), Gain Scheduling via Linear Fractional Transformations, Systems and Control Letters, 22, 79-92. Sanchez-Pena, R.S., M Sznaier, (1998), Robust Systems Theory and Application, John Wiley&Sons, Inc. Skelton, R.E., T. Iwasaki, K.M. Grigoriadis., (1998), A Unified Algebraic Approach to Linear Control Design, Taylor and Francis. Widowati, (2005), Reduksi Orde Model dan Pengendali untuk System Linear dengan Parameter Berubah-Ubah, Disertasi S3, Institut Teknologi Bandung. Wu, F. (1995), Control of Linear Parameter Varying Systems, Ph.D. Dissertation, Department of Mechanical Engineering, University of California at Berkeley, CA. Wu, F. (1996), Induced L2 -norm Model Reduction of Polytopic Uncertain Linear Systems, Automatica, 32, 1417-1426. Wu, F. (1997), Induced L2-Norm Control for LPV Systems with Bounded Parameter Variation Rates, International Journal of Nonlinear and Robust Control. Zaanen, A.C., (1953), Linear Analysis, North-Holland Publishing Co. Zhou, K., J.C. Doyle. (1998), Essentials of Robust Control, Prentice Hall International. Zhou, K., P. Khargonekar. (1988), An Algebraic Riccati Equation Approach to H ∞ Optimization, Systems and Control Letters, 11, 85-91.
Lampiran : Kekonvergenan Barisan Alternating Projection pada Himpunan yang tak Semuanya Konveks
1. Proyeksi dan Beberapa Sifat Himpunan Diberikan ruang Hilbert ( H ,
),
Q ⊂ H tak kosong. Proyeksi dari titik x ∈ H ke
himpunan Q diberikan oleh PQ ( x ) = inf { x − y y ∈ Q} .
Definisi 1. a. Himpunan Q dikatakan proximinal jika setiap titik di H mempunyai paling sedikit
satu proyeksi pada Q. b. Himpunan Q dikatakan himpunan Chebyshev jika setiap titik di H mempunyai
tepat satu proyeksi di Q. c.
Himpunan Q dikatakan kompak terbatas (boundedly compact) jika irisannya dengan sembarang bola tertutup adalah kompak.
d. Himpunan Q dikatakan approximately compact jika untuk setiap x ∈ H dan
setiap barisan
{y } n
n≥0
dari titik-titik di Q sedemikian sehingga
{ x− y } n
n≥0
konvergen ke PQ ( x ) , memiliki subbarisan yang konvergen ke sebuah titik di Q.
2. Pemetaan Set-Valued dan Pemetaan Proyeksi Siklik Definisi 2.
Diberikan H1 dan H 2 ruang Hilbert. Kelas dari sub himpunan tak kosong tutup dari H i dinotasikan dengan 2 Hi . Pemetaan set-valued dari H1 ke 2 H 2 adalah fungsi T yang mengawankan setiap titik x ∈ H1 dengan himpunan T ( x ) di 2 H 2 .
Definisi 3.
Pemetaan set-valued T dikatakan upper semicontinous pada titik x 0 di H1 jika untuk setiap lingkungan buka V dari T ( x 0 ) terdapat lingkungan buka U dari x 0 sedemikian sehingga T ( x ) ⊂ V untuk semua x ∈ U . Pemetaan set-valued T dikatakan upper semicontinous jika T upper semicontinous pada setiap x ∈ H1 .
Jika T upper semicontinous maka himpunan
{( x, y ) ∈ H × H 1
2
}
y ∈ T ( x ) adalah tutup
pada ruang hasil kali ruang Hilbert H1 × H 2 .
Definisi 4. a. Operator proyeksi pada himpunan Chebyshev
Q ⊂ H adalah fungsi π Q dari H
ke Q yang memetakan semua titik x ke hasil proyeksi tunggal di Q. b. Operator proyeksi pada himpunan proximinal
Q ⊂ H adalah pemetaan set-valued
Π Q yang didefinisikan sebagai
Π Q : X → 2Q x a
{ y ∈ Q y = P ( x )}
(1)
Q
Teorema 1.
Pemetaan Proyeksi Π pada sub himpunan approximately compact yang tak kosong
Q ⊂ H adalah upper semicontinous.
Definisi 5.
Diberikan Γ = {Q1 ,..., Qm } koleksi terurut dari himpunan proximinal di ruang Hilbert H. Untuk semua i ∈ {1,..., m} , didefinisikan Π i adalah pemetaan proyeksi pada Qi
yang didefinisikan sebagai pemetaan set-valued dari H ke 2 H . Maka, pemetaan komposisi Π = Π1 o ... o Π m disebut pemetaan proyeksi siklik dari Γ .
Teorema 2.
Pemetaan proyeksi siklik dari sembarang koleksi terurut yang berhingga dari himpunan approximately compact yang tak kosong dalam ruang Hilbert H adalah pemetaan yang upper semicontinous dari H ke 2 H .
3. Kekonvergenan Lokal Barisan Alternating Projection Definisi 6.
Diberikan pemetaan proyeksi siklik dari koleksi terurut himpunan proximately Γ = {Q1 ,..., Qm } di ruang Hilbert H. Maka, untuk setiap titik x 0 ∈ H barisan
alternating projection (relatif terhadap Γ dan x 0 ) adalah barisan x n +1 ∈ Π ( x n ) untuk semua n ∈
{x } n
n≥0
dengan
.
Dengan kata lain, untuk y m proyeksi dari x 0 pada Qm , maka y m −1 adalah proyeksi dari y m pada Qm −1 , dan seterusnya dan proyeksi dari y 2 pada Q1 adalah x1 .
Definisi 7.
Diberikan Γ = {Q1 ,..., Qm } koleksi terurut himpunan proximinal di ruang Hilbert H m
dengan Q = I Qi tak kosong. Misalkan Π adalah pemetaan proyeksi siklik dari Γ i =1
dan Y adalah himpunan titik-titik di Q1 − Q sedemikian sehingga langkah iterasi dimungkinkan gagal utuk mereduksi PQ ( x ) , yaitu
{
}
Y = x ∈ Q1 − Q ∃x ' ∈ Π ( x ) ∋ PQ ( x ' ) ≥ PQ ( x ) .
Radius atraksi dari Γ didefinisikan sebagai ⎧⎪inf { PQ ( x ) x ∈ Y }
jikaY ≠ ∅
+∞
untuk yang lain
ρ =⎨ ⎪⎩
(2)
Region atraksi dari Γ didefinisikan sebagai
{
}
R = Q ∪ x ∈ Q1 PQ ( x ) < ρ
(3)
Dari definisi diatas, diperoleh dua akibat berikut : a. PQ ( x ' ) < PQ ( x ) ,
b. Π ( x ) ⊂ R,
∀x ∈ R − Q,
∀x ' ∈ Π ( x )
(4)
∀x ∈ R
(5)
Definisi 8.
Diberikan Γ = {Q1 ,..., Qm } koleksi terurut dari himpunan proximinal di ruang Hilbert m
H dengan Q = I Qi tak kosong. Misalkan R adalah region atraksi dari Γ dan Π i =1
adalah pemetaan proyeksi siklik dari Γ . Titik x0 ∈ H disebut titik atraksi dari Γ jika untuk setiap barisan alternating projection
{x } n
n≥0
terdapat bilangan bulat
nonnegatif v sedemikian sehingga xv ∈ R . Bilangan bulat nonnegatif terkecil v yang memenuhi hal diatas disebut indeks atraksi dari barisan alternating projection yang berkaitan. Dari definisi 8, (4) dan (5) didapat jika x0 titik atraksi dan { x n }
barisan tak naik dan
{
( )} ⊂ R,
∀n ∈
adalah barisan
{PQ ( x )}n≥v
alternating projection dengan indeks atraksi v, maka barisan
x v + n ∈ x ∈ Q1 PQ ( x ) ≤ PQ x v
n≥0
.
adalah
Dengan kata lain, ekor dari setiap barisan alternating projection yang dimulai dari titik atraksi terletak pada region atraksi. Lebih lanjut, dari (4) berakibat bahwa semua titik tetap dari Π di R menjadi himpunan solusi. Jadi, jika semua himpunan adalah himpunan approximately compact dalam definisi 8, limit dari setiap barisan alternating projection yang konvergen yang dimulai dari titik atraksi adalah titik
solusi. Hal ini termuat dalam teorema berikut.
Teorema 3.
Diberikan Γ = {Q1 ,..., Qm } koleksi terurut dari himpunan approximately compact di m
ruang Hilbert H dengan Q = I Qi tak kosong dan terbatas dan Q1 kompak terbatas. i =1
Misalkan x0 adalah titik atraksi dari Γ , projection. Maka, { x n }
n≥0
{x } n
n≥0
sembarang barisan alternating
konvergen ke sebuah titik di Q.
