15
BAB III FUNGSI 1.
Definisi Fungsi Definisi 1 Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B, maka f:A→B artinya, f memetakan A ke B Nama lain dari fungsi adalah pemetaan. Himpunan A disebut daerah asal (domain) sedangkan himpunan B disebut daerah hasil (codomain). Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan dari a dan a dinamakan pra – bayangan dari b. A
a
B
f
b
Contoh: a. A = *1,2,3+ dan B = *u,v,w+ dan f = *(1,u),(2,v),(3,w)+. Apakah f : A → B? Ya, karena semua elemen A dipetakan ke B b. A = *1,2,3+ dan B = *u,v,w+ dan f = *(1,u),(2,u),(3,v)+. Apakah f : A → B? Ya, karena semua elemen A dipetakan ke B meskipun u merupakan bayangan dari 1 dan 2 c. A = *1,2,3,4+ dan B = *u,v,w+ dan f = *(1,u),(2,v),(3,w)+. Apakah f : A → B? Tidak, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B Definisi 2 Fungsi f dikatakan satu – ke – satu ( one – to – one) atau injektif jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama A B
a b c d
Matematika Diskrit
1 2 3 4 5
Liduina Asih Primandari
16
Definisi 3 Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. A B
a b c d
1 2 3
Definisi 4 Fungsi f dikatakan berkorespondensi satu – satu atau bijektif jika ia fungsi satu – ke – satu dan juga fungsi pada. Contoh: a. Apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi satu – ke – satu? ( )= i. 1 pada f : Z → Z Bukan fungsi satu – ke – satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama. Misalkan untuk x = 2, maka f (2) = 5 sedangkan untuk f (-2) = 5, jadi f (2) = f (-2) padahal -2 ≠ 2. ( )= ii. 1 pada f : Z → Z Fungsi satu – ke – satu, karena untuk a ≠ b, a – 1 ≠ b – 1. Misalkan untuk x = 2, maka f (2) = 1 sedangkan untuk f (-2) = -3 b. Apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi pada? ( )= i. 1 pada f : Z → Z Bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. Misalnya tidak ada nilai x yang membuat nilai fungsi sama dengan 0, yaitu 1 = tidak dipenuhi untuk nilai x berapapun. ( ) ii. = 1 pada f : Z → Z Fungsi pada, karena untuk untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu = 1 akan dipenuhi untuk = 1. c. Apakah fungsi di bawah ini merupakan fungsi berkorespondensi satu – satu? ( )= i. 1 pada f : Z → Z Bukan fungsi berkorespondensi satu – satu karena bukan fungsi satu – ke – satu dan bukan fungsi pada. ( )= ii. 1 pada f : Z → Z Fungsi berkorespondensi satu – satu karena merupakan fungsi satu – ke – satu dan fungsi pada.
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
2.
17
Fungsi Invers Jika f adalah fungsi berkorespondensi satu – satu dari A ke B, maka ada inversi / invers dari f ( ). Misal a adalah anggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan B, maka ( ) = ( )= dan A B ( ) a
b ( )
Contoh: a. A = {1,2,3} dan B = {u,v,w} dan f = {(1,u),(2,v),(3,w)} adalah fungsi berkorespondensi satu – satu. Tentukan invers dari fungsi f. = *(u, 1), (v, 2), (w, 3)+ b. Tentukan fungsi invers dari ( ) = 1 ( )= 1 = 1 = 1 ( )= 1 c. Tentukan fungsi invers dari ( ) = 1 ( )= 1 bukan merupakan fungsi berkorespondensi satu – satu, sehingga tidak mempunyai invers. NOTE: Fungsi yang berkorespondensi satu – satu disebut fungsi invertible (dapat dibalikkan), karena dapat didefinisikan fungsi inversnya. Fungsi non invertible (tidak dapat dibalikkan) jika fungsi bukan merupakan fungsi yang berkorespondensi satu – satu dan tidak mempunyai fungsi invers. 3.
Komposisi Fungsi Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke B dan f adalah fungsi dari himpunan B ke A. )( ) = ( ( )). Komposisi f dan g adalah ( Contoh: Diberikan fungsi ( ) = 1 dan ( ) = 1. Tentukan dan . ( )( ) = ( ( )) ( )( ) = ( ( )) ( )( ) = ( ( )( ) = ( 1) 1) ( )( ) = ( ( )( ) = ( 1) 1 1) 1 ( )( ) ( ( )( ) = = 2 1) 1 1 1 ( )( ) = ( )( ) = 2 1 1 ( )( ) = 2 2
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
4.
Beberapa Fungsi Khusus a. Fungsi floor and ceiling Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsi floor dinotasikan dengan ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x Dapat pula dikatakan bahwa fungsi floor membulatkan ke bawah Fungsi ceiling dinotasikan dengan ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x Dapat pula dikatakan bahwa fungsi ceiling membulatkan ke atas Contoh: ⌊3.5⌋ = 3 ⌊ .5⌋ = ⌊ 3.5⌋ = 4 ⌊ .5⌋ = 1
18
⌈3.5⌉ = 4 ⌈ .5⌉ = 1 ⌈ 3.5⌉ = 3 ⌈ .5⌉ =
b. Fungsi modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif. a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m. a mod m = r sedemikian sehingga a = mq r dengan ≤ r ≤ m. Contoh: 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = 3 -25 mod 7 = 3 (karena -25 = 7 (-4) + 3) c. Fungsi faktorial Untuk sembarang bilangan bulat tak negatif n, faktorial n dilambangkan dengan n! 1, = ={ ( 1 2 3 1) , Contoh: 0!=1 3!=1x2x3=6 d. Fungsi eksponensial ={
1,
=
,
Contoh: 43 = 4 x 4 x 4 = 64 33 = 3 x 3 x 3 = 27 Kasus pangkat negatif = Matematika Diskrit
1
Liduina Asih Primandari
Contoh: 1 1 4 = = 4 64 1 1 3 = = 3 27
19
e. Fungsi logaritmik = og maka = Contoh: og 64 = 3 karena 4 = 64
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
