BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Himpunan Fuzzy
Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat keanggotaan dari tiap-tiap elemen yang dibatasi dengan interval [ 0, 1 ]. Oleh karena itu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy memetakan setiap elemen dari semesta dalam batas ruang yang diasumsikan sebagai unit interval.
Definisi 2.1.1 . Anggap X ruang titik-titik, dengan setiap elemen X secara umum dinyatakan dengan x , sehingga X = x . Himpunan Fuzzy A dalam X dinyatakan dengan fungsi keanggotaan µA˜(x) yang menghubungkan setiap titik bilangan real pada [ 0,1 ] , dengan nilai µA˜ (x) pada x menyatakan derajat keanggotaan dari x dalam A. Nilai terdekat dari µA˜ pada 1 adalah derajat keanggotaan terbesar x dalam A. Himpunan fuzzy dinyatakan sebagai berikut:
A˜ = { (x, µA˜) | x ∈ X }
2.2 Notasi fuzzy
Notasi yang berlaku untuk Himpunan Fuzzy ketika semesta pembicaraan X adalah diskrit dan terbatas, dinyatakan sebagai berikut : Universitas Sumatera Utara
6
A˜ =
{
µA˜(x1) µA˜(x2 ) + x1 x2
A˜ =
{
µA˜(x1) µA˜(x2 ) , x2 x1
+ ··· }
=
P
{
µA˜(xi ) } xi
, ··· }
Ketika semesta pembicaraan X adalah kontinu dan tidak terbatas, himpunan fuzzy dinyatakan dengan: A˜ =
R
µA˜(x) x
2.3 Normalisasi
Suatu normalisasi fuzzy adalah suatu fungsi keanggotaan yang memiliki setidaknya 1 elemen x pada semesta X, dengan nilai keanggotaannya adalah 1 dinyatakan dengan : µN ORM (x) = µA (x)/max(µA (x)) x ∈ X
2.4 Intensifikasi
Operasi ini membawa himpunan fuzzy yang ternormalisasi mendekati tegas dengan meningkatkan nilai keanggotaan diatas 0,5 dan mengurangi keanggotaan elemen yang mempunyai keanggotaan dibawah 0,5.
2.5 Operasi Himpunan Fuzzy
˜ B, ˜ C˜ pada semesta, untuk setiap elemen Dinyatakan tiga buah himpunan A, x dari semesta. Operasi fungsi untuk himpunan operasi gabungan, irisan, com˜ B, ˜ C˜ pada X yaitu: plement dinyatakan untuk A,
Universitas Sumatera Utara
7 Union µA∪ ˜ B ˜ (x) = µA˜ (x) ∨ µB ˜ (x) Intersection µA∩ ˜ B ˜ (x) = µA˜ (x) ∧ µB ˜ (x) Complement
µA˜ = 1- µA˜
Sebarang himpunan fuzzy µA˜ didefinisikan pada semesta X adalah subhimpunan dari semesta. Nilai keanggotaan dari sebarang element x pada himpunan null φ adalah 0 dan nilai keanggotaan dari sebarang elemen x pada himpunan X adalah 1, dinyatakan sebagai berikut:
A˜ ⊆ X ⇒ µA(x) ˜ ≤ µX(x) ˜ Untuk semua x ∈ X, µφ(x) ˜ = 0 =1 Untuk semua x ∈ X, µX(x) ˜
Hukum De Morgan untuk himpunan crisp juga berlaku untuk himpunan fuzzy:
˜ = A˜ ∪ B ˜ A˜ ∩ B ˜ = A˜ ∩ B ˜ A˜ ∪ B
Hukum Excluded middle (A ∪ A = X) dan hukum kebalikan (A ∩ A = φ) tidak berlaku untuk himpunan fuzzy maka:
6 X A˜ ∪ A˜ = 6 φ A˜ ∩ A˜ =
Universitas Sumatera Utara
8 2.6 Sifat-Sifat dari Himpunan Fuzzy
Himpunan fuzzy memiliki sifat yang sama seperti himpunan crisp (non fuzzy):
Komutatif ˜ =B ˜ ∪ A˜ A˜ ∪ B ˜ =B ˜ ∩ A˜ A˜ ∩ B Assosiatif ˜ ∪ C) ˜ = (A˜ ∪ B) ˜ ∪ C˜ A˜ ∪ (B ˜ ∩ (B ˜ ∩ C) ˜ =(A˜ ∩ B) ˜ ∩ C˜ A Distributif ˜ ∩ C) ˜ = (A ˜ ∪ B) ˜ ∩ (A ˜ ∪ C) ˜ A˜ ∪ (B ˜ ∩ (B ˜ ∩ C) ˜ =(A˜ ∩ B) ˜ ∪ (A ˜ ∩ C) ˜ A Idempotent ˜ ∪ A˜ = A˜ dan A˜ ∩ A˜ = A˜ A Identitas ˜ ∪ φ = A˜ dan A˜ ∩ X = A˜ A ˜ ∩ φ = φ dan A˜ ∪ X = X A
Transitif
Involution
˜ ⊆ C, ˜ maka A ˜ ⊆ C˜ Jika A˜ ⊆ B
A˜ = A˜
2.7 Relasi Fuzzy
˜ adalah suatu pemetaan ruang cartesian pada [ 0, 1 ], dengan Relasi fuzzy R hasil pemetaannya dinyatakan dengan µR˜ (x, y) Universitas Sumatera Utara
9 2.7.1 Operasi Pada Relasi fuzzy.
˜ dan S˜ pada ruang cartesian X × Y. Maka operasi Anggap suatu relasi fuzzy R berikut berlaku untuk nilai keanggotaan pada operasi himpunan yang berbeda:
Union µR∪ ˜ S˜ (x, y) = max (µR ˜ (x, y), µS˜ (x, y)) Intersection µR∩ ˜ S˜ (x, y) = min (µR ˜ (x, y), µS˜ (x, y)) Complement µR˜ (x, y) = 1- µR˜ (x, y) Containment ˜ ⊂ S˜ ⇒ µ ˜ (x, y) ≤ µ ˜(x, y) R R S
2.7.2 Sifat-Sifat Relasi Fuzzy.
Pada relasi fuzzy memenuhi sifat komutatif, asosiatif, distributif, involusi, dan idempotent, demikian juga hukum De Morgan, relasi null 0 dan relasi kelengkapan E. Hukum yang tidak memenuhi pada relasi fuzzy adalah hukum excluded middle. Karena relasi fuzzy juga merupakan himpunan fuzzy, maka ada perbedaan antara relasi dan complementnya, yaitu:
˜= ˜∪R 6 E R ˜= ˜∩R 6 O R
Universitas Sumatera Utara
10 2.7.3 Fuzzy Cartesian Product dan Composisi.
Secara umum relasi fuzzy merupakan himpunan fuzzy, sehingga cartesian product merupakan relasi antara dua atau lebih himpunan fuzzy. Anggap A˜ suatu ˜ menjadi suatu himpunan fuzzy pada himpunan fuzzy pada semesta X dan B ˜ adalah relasi semesta Y, maka Cartesian Product antara himpunan A˜ dan B ˜ yang berada dalam ruang cartesian product, yaitu: fuzzy R
˜ =R ˜⊂X×Y A˜ × B
˜ yaitu: dengan fungsi keanggotaan dari relasi R,
µR˜ (x, y) = µA× ˜ B ˜ (x, y) = min(µA ˜ (x), µB ˜ (y))
˜ dapat dinyatakan dengan bentuk yang sama seperCartesian Product A˜ × B ti perkalian 2 vektor. Maka setiap himpunan fuzzy dapat dinyatakan sebagai suatu vektor yang terdiri dari nilai keanggotaan yang merupakan elemen dari himpunan tersebut.
˜ adalah relasi fuzzy pada ruang cartesian X × Y , S˜ adalah relasi Anggap R fuzzy pada Y × Z, dan T˜ adalah relasi fuzzy pada X × Z, maka komposisi max - min fuzzynya dinyatakan sebagai berikut:
˜ ◦ S˜ T˜ = R
dengan fungsi keanggotaanya dinyatakan sebagai berikut:
µT˜ (x, z) = max( min( µR˜ (x, y) , µS˜ (y, z) ) ) Universitas Sumatera Utara
11 2.8 Vektor Fuzzy
Suatu vektor ˜a = (a1 ,a2,· · · ,an ) dikatakan suatu vektor fuzzy jika untuk sebarang elemen 0 ≤ ai ≤ 1 ,untuk i = 1, 2, · · · , n. Dengan cara yang sama transpose vektor fuzzy ˜a yang dinotasikan dengan a ˜t adalah suatu vektor kolom jika a ˜ adalah suatu vektor baris, yaitu :
a 1 a 2 ˜ t = .. a . an
2.9 Model Peramalan
Terdapat dua jenis model peramalan yang utama, yaitu :
1. Model Time Series (Deret Berkala) Pada model ini pendugaan masa depan dilakukan berdasarkan nilai data masa lalu. Tujuan metode ini adalah menemukan pola dalam deret data historis dan memanfaatkan pola deret tersebut untuk peramalan masa depan, keuntungan dari model ini adalah dapat meramalkan dengan cara yang lebih singkat dibandingkan model regresi.
2. Model Regresi (Kausal) Model ini merupakan suatu model yang mengasumsikan faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dalam satu atau lebih variabel bebas dan menggunakannya untuk meramalkan nilai mendatang dari suatu variabel tak bebas. Keuntungan dari model ini adalah memiliki keberhasilan yang lebih besar untuk pengambilan keputusan yang bijaksana.
Universitas Sumatera Utara
12 2.10 Fuzzy Time Series
Definisi 2.1.2 Diasumsikan Y(t) ⊂ < (garis real), t = · · · , 0, 1, 2, · · · menjadi semesta pembicaraan yang dinyatakan oleh himpunan fuzzy fi(t). F(t) terdiri dari fi(t), t = · · · , 0, 1, 2,· · · didefinisikan sebagai fuzzy time series pada Y(t). Pada saat itu F(t) dapat dimengerti sebagai variabel linguistik, untuk fi(t), i = 1, 2, · · · adalah nilai linguistik dari F(t).
2.11 Variabel Linguistik
Variabel linguistik diartikan sebagai variabel yang nilainya dalam bentuk kata atau kalimat, dalam bahasa sebenarnya atau dalam bahasa yang dibuat-buat, sebagai contoh: Age adalah variabel linguistik jika nilainya adalah linguistik daripada numerik, misalnya: young, not young, very young, quite young, old, not very old, and not very young daripada 20,21,...,yang merupakan nilai umur sebenarnya.
2.12 Relasi Fuzzy Logic
Definisi 2.1.3 Jika ada relasi fuzzy R(t,t-1) sehingga F(t) = F(t-1) × R(t, t-1) dengan simbol × adalah suatu operator maka F (t) disebabkan oleh F (t−1). Relasi yang ada antara F (t) dan F (t − 1) dinotasikan dengan F (t − 1) → F (t).
Universitas Sumatera Utara
13 2.13 Grup Relasi Fuzzy Logic
Definisi 2.1.4 Relasi fuzzy logic dengan sisi kanan yang sama, menjadi suatu grup yang sama yaitu relasi grup fuzzy logic. Contoh: Untuk sisi kanan Ai yang sama, grupnya dinyatakan sbb: Ai → Aj1 Ai → Aj2 ··· ··· ···
)
⇒ Ai → Aj1 , Aj2
2.14 Operator Komposisi Pada Time Invariant Fuzzy Time Series
Definisi 2.1.5 Jika F (t) disebabkan oleh F (t − 1) dinotasikan dengan F (t − 1) → F (t) maka relasinya dinyatakan dengan F (t) = F (t − 1) ◦ R(t, t − 1) simbol ”◦” merupakan Max-Min operator komposisi, R(t, t − 1) disebut sebagai model orde pertama dari F (t) .
2.15 Time Invariant Fuzzy Time Series
Time Invariant Fuzzy Time Series merupakan suatu metode peramalan yang relasinya tidak bergantung pada waktu t, dengan memanfaatkan himpunan data fuzzy yang berbentuk diskrit sebagai data historisnya.
Definisi 2.1.6 Anggap F (t) merupakan suatu fuzzy time series dan anggap R(t, t − 1) menjadi model pertama dari F (t). Jika R(t, t−1) = R(t−1, t−2) untuk sebarang waktu t maka F (t) dinyatakan sebagai Time Invariant Fuzzy Time Series. Universitas Sumatera Utara
14 2.16 Defuzzifikasi
Defuzzifikasi adalah cara untuk memperoleh nilai tegas (crisp) dari himpunan fuzzy, adapun prosesnya yaitu:
1. Jika nilai keanggotaan outputnya adalah 0, maka z = 0 2. Jika nilai keanggotaan outputnya memiliki 1 maximum, maka titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah z. 3. Jika nilai keanggotaan dari outputnya memiliki lebih dari 2 maximum yang berurutan, maka titik tengah interval dimana nilai ini dicapai adalah z.
Contoh: Jika u1 = [ 0, 20 ], u2 = [ 20, 40 ], u3 = [ 40, 60 ] dan misalkan outputnya adalah [ 1 1 0,5 ]. Penyelesaian: Karena nilai maximumnya adalah 1 dan berada pada interval u1 = [ 0, 20 ] dan u2 = [ 20, 40 ] ,maka:
= 20 y = 40−0 2 sehingga z = 0 + y = 20
4. Jika outputnya selain dari hal diatas maka digunakan Metode Centroid, yaitu :
z=
P ˆA Px A
,
dengan A = suatu luasan yang memiliki titik berat x ˆ
Universitas Sumatera Utara
