PERTEMUAN 5 Teori Himpunan
Teori Himpunan Definisi 7: Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdfinisi dengan jelas
Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Enumerasi artinya menuliskan semua elemen (anggota) himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Contoh: Himpunan A yang berisi empat buah anggota 1, 2, 3, dan 4 dapat ditulis sebagai A = {1, 2, 3, 4} Himpunan B yang berisikan nama-nama hari dapat ditulis sebagai B ={senin, selasa, rabu, kamis, jum’at, sabtu, minggu} 2. Simbol-Simbol Baku Beberapa himpunan yang khusus dituliskan dengan symbol-simbol yang sudah baku. Terdapat sejumlah symbol baku yang berbentuk huruf tebal yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan, antara lain: P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, 4, …} N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, 4, …} Z = himpunan bilangan bulat = { …, -2, -1, 0, 1, 2, … } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks
3. Notasi Pembentuk Himpunan Notasi pembentuk himpunan, yakni himpunan dinyatakan dengan menulis syarat-syarat keanggotaan yang harus dipenuhi oleh anggotanya Notasi : { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x } Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan: a. Bagian di kiri tanda “ | “ melambangkan elemen himpunan b. Tanda “ | “ dibaca dimana atau sedemikian sehingga c. Bagian di kanan tanda “ | “ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan d. Setiap tanda “ , “ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan Contoh: 1. A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, dinyatakan sebagai A = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5 } atau 𝐴 = 𝑥|𝑥 ∈ 𝑷, 𝑥 < 5 yang sama dengan A = { 1, 2, 3, 4 } 2. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebagai B = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 8 } atau 𝐵 = 𝑥 | 𝑥 2 ∈ 𝑷, 2 ≤ 𝑥 ≤ 8 yang sama dengan B ={ 2, 4, 6, 8 }
2. B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebagai B = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 8 } atau 𝐵 = 𝑥 | 𝑥 2 ∈ 𝑷, 2 ≤ 𝑥 ≤ 8 yang sama dengan B ={ 2, 4, 6, 8 }
4. Diagram Venn Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis Contoh: Misalkan S = {1, 2, … , 7, 8} , A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 2, 5, 6, 8 }. Ketiga himpunan tersebut digambarkan dengan diagram venn sebagai berikut A
S
1 3 4
B 2 5
8 6
7
Kardinalitas Definisi 7: Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen berbeda yang dalam hal ini n adalah bilangan bu;at tak negative. Sebaliknya, himpunan tersebut dinamakan tak berhingga (infinite set) Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A Notasi: n(A) atau |A| Contoh: A = { kucing, a, Amir, 10, paku } maka |A| = 5 B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, maka |B| = 8 C = { x | x adalah bilangan bulat positif kurang dari 1 }, maka |C| = 0
Macam-Macam Himpunan Himpunan Kosong Definisi 8: Himpunan yang tidak memiliki satupun anggota atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong Notasi : ∅ atau { } Contoh: A = { orang Indonesia yang pernah pergi ke bulan }, maka |A| = 0 P = { x| x adalah akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 + 5𝑥 + 10 = 0, |P| =0
Himpunan Bagian Definisi: Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. dalam hal ini B adalah superset dari A Notasi: 𝐴 ⊆ 𝐵 Dengan diagram venn berikut S
B A
Contoh: i) 1,2,3 ⊆ 1,2,3,4,5 ii) 1,2,3 ⊆ 1,2,3
Himpunan yang Sama Definisi 9: Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adlah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A tidak sama dengan B. Notasi: 𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊆ 𝐴 Contoh: i) Jika A = {0,1} dan B = { x | x (x-1) = 0 }, maka A = B ii) Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A =B iii) Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka 𝐴 ≠ 𝐵 Tiga hal yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan: 1. Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting 2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan 3. Untuk tiga buah himpunan A, B dan C berlaku aksioma berikut: a. A =A, B = B dan C =C b. Jika A = B maka B = A c. Jika A =B dan B = C maka A = C
Himpunan yang Sama Definisi 9: Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adlah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A tidak sama dengan B. Notasi: 𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊆ 𝐴 Contoh: i) Jika A = {0,1} dan B = { x | x (x-1) = 0 }, maka A = B ii) Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A =B iii) Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka 𝐴 ≠ 𝐵 Tiga hal yang perlu diingat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan: 1. Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting 2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan 3. Untuk tiga buah himpunan A, B dan C berlaku aksioma berikut: a. A =A, B = B dan C =C b. Jika A = B maka B = A c. Jika A =B dan B = C maka A = C
Himpunan yang Ekuivalen Definisi 10: Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi: 𝐴 ∼ 𝐵 ↔ 𝐴 = |𝐵| Contoh: Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}, maka 𝐴 ∼ 𝐵 sebab 𝐴 = 𝐵 = 4
Himpunan yang Saling Lepas Definisi 11: Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama Notasi: 𝐴 // 𝐵 Berikut diagram venn dua himpunan saling lepas S B A
Contoh: Jika 𝐴 = 𝑥|𝑥 ∈ 𝑷, 𝑥 < 8 dan 𝐵 = 10,20,30, … , maka 𝐴 // 𝐵
Himpunan Kuasa Definisi 12: Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri. Notasi: 𝑃 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 2𝐴 Contoh: Jika 𝐴 = 1,2 maka 𝑃 𝐴 = ∅, 1 , 2 , {1,2}
