Pengertian Himpunan Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Contoh 1. Kumpulan yang bukan merupakan himpunan a. kumpulan makanan lezat b. kumpulan batu-batu besar c. kumpulan lukisan indah
2. Kumpulan yang merupakan himpunan a. kumpulan negara-negara ASEAN b. kumpulan sungai-sungai di Indonesia c. kumpulan bilangan asli genap. NOTASI Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{....}“. Sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y dan sebagainya. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “” (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang “ “ (baca: bukan anggota).
PENDEFINISIAN HIMPUNAN Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu: 1. Mendaftarkan semua anggotanya A = {a,e,i,o,u}. B = {2,3,5,7,l1,13,17,19}. 2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya A = Himpunan vokal dalam abjad latin. B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. 3. Menyatakan sifat dengan pola P= {0,2,4,6,8,10,...,48}. Q= {1,3,5,7,9,11,13,15,...}. 4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15 }. (Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14}) Q = { t | t bilangan asli}. (Maksudnya Q = {1,2,3.4,5,6,7,8,9,10,...}
Latihan 1. a. Berilah tiga contoh kumpulan yang bukan merupakan himpunan. b. Berilah tiga contoh kumpulan yang merupakan himpunan. 2. Diketahui B = {p, q, r}. Katakanlah apakah keempat pernyataan berikut benar, kemudian beri alasannya! a. p B c. r B b. {q} B d. s B 3. Tulislah himpunan berikut dengan tabulasi. a. A = {x |x2 = 25} b. B = {x | x + 3 = 3}
4.
Tulislah dengan menyebutkan syarat-syarat anggotaanggotanya! a. E = {a,i,u,e,o} b. F = {2,3,5,7,11} 5. Tulislah dengan notasi pembentuk himpunan, untuk himpunan bilangan asli yang, a. Lebih dari satu kurang dari atau sama dengan 3 b. Kelipatan 5 kurang dari 50
Operasi Pada Himpunan Dalam ilmu-ilmu berhitung kita belajar menjumlahkan dan mengalikan yaitu kita menetapkan untuk setiap pasang bilangan-bilangan x dan y, suatu bilangan x + y yang disebut jumlah x dan y, xy yang disebut perkalian x dan y. Penetapanpenetapan ini disebut operasi-operasi penjumlahan dan perkalian. Penjumlahan dan perkalian termasuk operasi biner. Disamping operasi biner ada jenis operasi yang lain yaitu operasi uner. Pada bab ini akan dibahas operasi-operasi pada himpunan, yaitu:
1. Irisan Dua Himpunan Dinotasikan dengan ‘‘ ”
Diberikan himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B. Jadi A B = {x l x A dan x B}.
Contoh : A = {a,b,c,1,2} dan B {c,d,e,f}. Maka AB = {c} P= {a,b,c,1,2} dan Q= {d,e,j}. Maka PQ= Artinya P // Q (saling lepas) Himpunan Saling Lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak meiniliki elemen yang sama. Notasi : A // B Contoh : JikaA = {x | x P, x < 8} dan B = { 10,20,30,...}, maka A//B.
Diagram Venn U
A
B
Contoh : a. Diketahui K = {a,b,c,d,e}, L = {b,d,f,g}, maka K L = {b,d} b. Diketahui A = { x | x bilangan asli ganjil}. B { x | x bilangan asli genap} maka AB = Ø c. Diketahui C = {2,4,6,8, ...}, D = {4,8,12, ...} maka CD = {4,8,12, ...} = D
Dari contoh diatas dapat disimpulkan secara umum 1. Jika A, B himpunan maka (A B) A dan (A B) B 2. Jika A B maka AB = A 2. Gabungan Dua Himpunan Diberikan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan A B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B. Jadi A B = {x | xA atau xB}. U
A
B
Contoh : 1. A = {a,b,c,l,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka A B = {a,b,c,d,e,f,l,2} 2. Jika A = {2, 5,8 } dan B = { 7,5,22 }, maka AB = { 2,5,7,8,22 } 3. A = A 4. Diketahui A = { x | x bilangan asli ganjil}, B = { x | x bilangan asli genap} maka A B = { x | x bilangan asli } 5. Diketahui C = {2,4,6,8, . . . }, D = {4,8,12, . . . } maka C D = {2,4,6,8, . . .} = C
Dari contoh diatas dapat disimpulkan secara umum 1. JikaA, B himpunan maka A (A B) dan B (A B) 2. JikaA B maka AB = B Selisih Dua Himpunan (Djfference) Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Selisih himpunan A dan B ditulis A – B adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota B. Dapat ditulis A – B = {x | x A dan x B} = A B1, B1 juga bisa ditulis B’. U
A
B
Contoh : 1. Jika A = {1,2,3,...,10} dan B = {2.4,6,8,10}, maka A – B = {1,3,5,7,9}dan B - A = 2. {1, 3, 5} - {1,2, 3} = {5}.tetapi {1,2,3} - {1, 3, 5} = {2} 3. Diketahui A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6,7,8,9} maka 1) A – B = {1,2,3}, B – A = {6,7,8,9} 2) A B = {4,5} 4. Diketahui E = { 1,3,5,7,9, . . . }, F = {2,4,6,8, . . . } maka l) E – F = {1, 3, 5, 7, 9, ...} = E 2) F – E = {2, 4, 6, 8, ...} = F
Dari contoh diatas dapat disimpulkan secara umum sebagai berikut. 1. Jika A B himpunan maka A – B = ø 2. Jika A B maka A (B - A) = B 3. Jika A, B himpunan maka (A - B) A 4. Jika A, B himpunan maka A - B, AB dan B - A saling asing/saling lepas 4. Komplemen Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan ”AC atau A’“ adalah himpunan yang anggotanya berada dalam himpunan semesta tetapi bukan berada di A. Jadi AC = {x | xU, x A}.
U
Contoh : - Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Jika A = A {0,2,4,6,. . .} maka AC = {1, 3, 5, ...} - Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, jika A={1,3,7,9},maka AC ={2,4,6, 8}
Misalkan : A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dan Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu (i) “Mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” → (E A) (E B) atau E(AB) (ii) “Semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” → A C D (iii) “Semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” → CCDC B
5. Beda Setangkup (Symmetric Djfference) Notasi : A B = (A B) - (AB) = (A - B) (B - A) Contoh 23 a. Jika A = {2,4,6} dan B ={2,3,5}, maka A B = {3,4,5,6} b. Misalkan, U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian dibawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Q (ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Q (iii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U - (P Q) 6. Perkalian Dua Himpunan (Product Cartesian) Suatu perangkat yang diperlukan untuk membangun perkalian silang dua himpunan adalah pasangan berurutan. Pasangan berurutan yang memuat dua unsur a dan b dengan a sebagai unsur pertama dan b sebagai unsur kedua. ditulis dengan (a,b) dan (c,d) dikatakan sama jika dan hanya jika a = c dan b = d. Misalkan A dan B suatu himpunan. Perkalian silang dari A dan B ditulis A x B adalah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a A dan bB.
Dapat ditulis A x B = {(a, b) | a A dan b B }. Contoh : (i) Misalkan C = { 1,2,3 }, dan D = {a, b }, maka C x D= { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A x B = himpunan semua titik di bidang datar Catatan: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: |A x B | = | A | . | B |. 2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh di atas, D x C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ≠ C x D. 4. Jika A = Ø atau B = Ø, maka A x B = B x A= Ø Contoh : 1. Misalkan A himpunan makanan { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus } B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet } Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab: |A x B| = |A| . |B| = 4 . 3 = 12 kombinasi makanan dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.
7. Perampatan Operasi Himpunan n
A1 A2 An A1 i 1
n
A1 A2 An A1 i 1
n
A1 xA2 x xAn x A1 i 1
n
A1 A2 An A1 i 1
Contoh : (i) A (B1 B2 ... Bn) = (AB1) (A B2) ... (A Bn) n n A ( B1) = i1(A B) i 1 (ii) Misalkan A = {1, 2}, B {a, b}, dan C= {α, β }, maka A x B x C = {(1, a, α), (1, a, β ), (1, b, α), (1, b, β), (2, a, α), (2, a, β),(2, b, α).(2, b, β) }
Sifat-sifat Operasi pada Himpunan 1. Idempoten - A A A - A A A 3. Komutatif - A B B A - A B B A 5. Identitas - A A - A U A - A U A - A
7. De Morgan 1 - A B A1 B 1 1
- A B A1 B 1
2. Asosiatif - A B C A B C - A B C A B C 4. Distributif - A B C A B A C - A B C A B A C 6. Komplemen - A A1 U - A A1
1 1
- A
A - U1 - 1 U 8. Absorpsi - A A B A - A A B A
Contoh : Buktikan jika A B dan B C maka A C Penyelesaian: A B maka A B = A ........ (1) B C maka B C = B ........ (2) A B = A A (B C) = A substitusi 2) ke 1) (A B) C = A asosiatif A C = A Substitusi 1) A C = A
Buktikan bahwa (D - E) dan (D E) saling asing. D dan E suatu himpunan Penyelesaian: (D - E) (D E) = (D E1) (D E) = (D D) (E1 E) kom, asos = (D ) idempoten, komp = identitas Ternyata (D - E) dan (D E) = Jadi (D - E) dan (D E) saling asing.
Latihan Dalam suatu kelas yang terdiri dari 20 siswa, 15 siswa memilih matematika, 12 siswa memilih IPA dan 10 siswa memilih matematika dan IPA . Tunjukkan keterangan ini dalam diagram venn. Berapakah siswa yang tidak memilih matematika maupun IPA?
