BAB I PEMBAHASAN
A. HIMPUNAN DAN SUB HIMPUNAN 1.
PENGERTIAN HIMPUNAN
Marilah kita perhatikan firman Allah swt dalam al qur’an surat al-nur ayat 45. Artinya : dan Allah telah menciptakan semua jenis hewan dari air, maka sebagian dari hewan itu ada yang berjalan di atas perutnya dan sebagian berjalan dengan dua kaki sedang sebagian (yang lain) berjalan dengan empat kaki. Allah menciptakan apa yang dekehendaki-Nya, sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas segala sesuatu. Himpunan adalah suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. 1 kumpulan dari objek-objek, yang disebut elemen atau anggota himpunan, dan terdefinisi dengan jelas (well defined). Maksud dari terdefinisi dengan jelas adalah bahwa anggota-anggota himpunan dapat ditentukan secara jelas. Sebagai contoh, kumpulan dari semua provinsi-provinsi di Indonesia per Oktober 2013 merupakan suatu himpunan karena kita dapat menentukan dengan jelas anggotaanggota dari himpunan tersebut. Seperti kita tahu, Jawa Timur dan 33 provinsi lainnya merupakan anggota dari himpunan tersebut. kata terbaik dari “kumpulan dari 5 film-film terbaik bukan suatu himpunan “ dapat diinterpretasikan secara berbeda oleh orang yang berbeda, maka kumpulan tersebut tidak terdefinisi dengan jelas. Akibatnya,. 2.
SIMBOL HIMPUNAN DAN KEANGGOTAAN SUATU HIMPUNAN.
Himpunan akan selalu di nyatakan dengan huruf-huruf besar contoh A,B,X,Y,…
1
Seymour lipshutz,Ph.D.,teori himpunan,Erlangga Jl.KramatIV No.11,hal.1 Page 1
Elemen–elemen dalam himpunan – himpunan ini akan selalu dinyatakan dalam huruf kecil contoh: a,b,x,y,….. Bila kita mendefinisikan suatu himpunan tertentu dengan menyatakan secara jelas anggota-anggotanya, misalnya, A terdiri atas bilangan-bilangan 1,3,,7,10 maka di tulis A=(1,3,7,10) yang disebut tabular form. Atau juga misalnya B adalah bilangan genap maka kita bisa menulisnya B={x|genap} yang berbunyi “ B adalah himpunan dari bilangan-bilangan x dimana x genap” apabila himpunan itu menyatakan sifat-sifat yang harus di penuhi oleh elemen-elemennya, Jika a adalah anggota himpunan A, maka ditulis a ϵ A , jika a bukan himpunan A maka di tulis a ϵ A. 3.
MENYATAKAN HIMPUNAN
Himpunan dapat dinyatakan dalam 2 bentuk penulisan, yaitu: Bentuk tabular (tabular form) adalah penulisan himpunan dengan mendaftar semua anggotannya di dalam tanda kurung kurawal{}. Contoh : A={2,4,6,8,10} menyatakan bahwa himpunan A memuat bilangan 2,4,6,8, dan 10. Bentuk perincian (set builder form) adalah penulisan himpunan dengan menyebutkan sifat atau syarat keanggotaan anggota himpunan tersebut, misalnya : B={x|x nama hari dalam seminggu}. 4. HIMPUNAN KOSONG Adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota (empty set). Contoh himpunan kosong adalah A={x|x bilangan prima antara 24 dan 28}. 5.
KARDINALITAS HIMPUNAN
Kardinalitas himpunan A, ditulis n(A), adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota himpunnan A. biyasanya di notasikan dengan |A|. jika n(A)=k, maka dapat di katakana “kardinalitas himpunan A adalah K”.
Page 2
A dikatakan berhingga jika n(A)<∞. Jika anggota himpunan A tak berhingga maka disebut A himpunan tak berhingga.
B. Relasi Himpunan 1. Definisi Himpunan Bagian Misalkan A dan B himpunan. Himpunan B dikatakan himpunan bagian (subset)dari A ,ditulis B A, jika setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A. Tulisan B⊆A ,dapat dibaca bahwa B himpunan bagian dari A, B subset A, B termuat di A, A memuat B, atau A superset B. Secara simbolik, B⊆A
.
Berdasarkan definisi tersebut,jika A adalah sebarang himpunan tak kosong, maka diperoleh bahwa A
Himpunan A selalu memuat dirinya sebagai subset.
Selain itu, himpunan selalu memuat himpunan kosong sebagai subset. Jika B subset A, B bukan himpunan kosong, dan ada anggota di A yang tidak termuat di B,maka B disebut himpunan bagian sejati (proper subset)dari A, dan ditulis B
. Seperti pada uraian sebelumnya , jika A adalah himpunan hewan dan B adalah
himpunan hewan berkaki dua, maka diperoleh bahwa semua anggota himpunan B adalah anggota hipunan A . Dengan demikian, himpunan B adalah himpunan bagian dari A. Karena sapi adalah anggota himpunan A tetapi bukan anggota himpunan B, maka B adalah himpunan bagian sejati dari A. Misalkan A dan B himpunan. Himpunan B dikatakan bukan himpunan bagian dari A, ditulis B Misalkan :
, jika ada anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A. A = {1,2,3,4} dan B= {2,4,6}
Page 3
Maka B bukan himpunan bagian dari A karena ada anggota B yang bukan merupakan anggota A, yaitu 6. Jadi dapat kita tulis B
.
Secara umum , notasi B digunakan untuk menyatakan bahwa B memuat semua unsur syarat
di A yang memenuhi
Dengan notasi tersebut, jelas bahwa setiap anggota B haruslah merupakan
anggota A atau B
. Berikut ini merupakan sifat-sifat yang berkaitan dengan
himpunan bagian .
2. Himpunan Kuasa Misalkan A adalah suatu himpunan . Himpunan semua subset dari himpunan A disebut himpunan kuasa (power set) dari A , dan dinotasikan dengan P(A). Sebagai contoh, jika
A{a,b,c} maka P(A)={
Selanjutnya, marilah kita mencari hubungan antara kardinalitas himpunan dengan kardinalitas himpunan Misalkan
.Maka himpunan bagian dari A adalah
sendiri.Jadi, jika
maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2. Misalkan
Jadi, jika
, maka himpunan bagian dari A adalah
maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 4.
Page 4
Misalkan
Jadi, jika
maka himpunan bagian dari A adalah
maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 8.
3. Himpunan Sama Misalkan A dan B himpunan . Himpunan A dikatakan sama (equal atau identical) dengan himpunan B, ditulis A=B, jika A dan B memuat anggota yang sama. Sebagai contoh, jika A adalah himpunan huruf-huruf pembentuk kata “malaikat” dan B adalah himpunan huruf – huruf pembentuk kata “kalimat”, maka diperoleh bahwa himpunan A sama dengan himpunan B.
Perlu diingat kembali bahwa anggota dalam himpunan harus berbeda dan urutannya tidak diperhatikan . Perhatikan contoh berikut ini. Misalkan
Maka kita peroleh bahwa C = D. Bilangan prima yang kurang dari 7 adalah 2,3,dan5. Berdasarkan contoh himpunan C dan D, terlihat bahwa Berdasarkan fakta ini,maka secara umum dapat dikatakan bahwa A = B dan hanya jika Secara simbolik dapat dinyatakan Page 5
Dengan demikian, untuk menunjukkan bahwa A = B maka perlu ditunjukkan bahwa
4. Diagram Venn Cara yang sederhana dan instruktif untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan adalah dengan menggunakan diagram Venn-Euler, atau diagram Venn. Di sini kita nyatakan sebuah himpunan dengan suatu daerah bidang,biasanya dibatasi oleh lingkaran. Cotoh 1.1 Misalkan
; maka kita menggambarkan
diagram ini dengan suatu diagram Venn yang berbentuk
C. Operasi Himpunan 1. Operasi Gabungan Bila A dan B suatu himpunan, maka gabungan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang memuat semua unsur A atau B. Gabungan himpunan dilambangkan dengan notasi “ ” Kata atau berarti bahwa
termuat di A saja, B saja, atau di A sekaligus di B. Secara
simbolik dinyatakan: A
B={
|
V
B} Page 6
Dari definisi tersebut, dapat diperoleh bahwa: A
B=B
A. Contohnya, Jika
{Anggur, Apel } ∪ {Jeruk, Jambu biji } = {Anggur, Apel, Jeruk, Jambu biji} Misalkan X = {2,4,6,8} dan Y = {3,6,9} Maka diperoleh, X ∪ Y = {2,3,4,6,8,9} Dalam bentuk Diagram Venn, sebagai berikut: X
U
Y 2 6
8 4
9
sifat dasar gabungan:
A ∪ B = B ∪ A. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B.
2. Operasi Irisan Bila A dan B himpunan. Irisan A dan B adalah himpunan yang semua anggotanya menjadi anggota himpunan A dan anggota himpunan B. Irisan himpunan dilambangkan dengan notasi “ ” Secara simbolik:
A
B={
|
V
B}
Dari definisi tersebut, dapat diperoleh bahwa: A
B=A
B
Contoh: {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2} Page 7
{Bari, Dina} ∩ {Teri, Dina} = {Dina}. Contoh lain: A = {1,2,3,4,5} dan B = {2,3,5,7} Maka diperoleh, A∩B = {2,3,5} Dalam bentuk Diagram Venn, sebagai berikut:
U
B
A 2
4
3 5
Beberapa sifat dasar irisan:
A ∩ B = B ∩ A.
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. (sifat asosiatif pada ∩ )
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.
3. Komplemen Suatu Himpunan Komplemen himpunan A didefiniiskan sebagai suatu himpunan yang anggotaanggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A. Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut. Misalkan diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7}
adalah himpunan semesta dan A = {3, 4,5}. Komplemen himpunan A adalah AC = {1, 2, 6, 7}. Komplemen A dinotasikan dengan AC atau A’ (AC atau A’ dibaca: komplemen A). Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang komplemen suatu himpunan silahkan simak contoh soal tentang komplemen suatu himpunan di bawah ini. Page 8
Contoh Soal 2 Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10} adalah himpunan semesta. Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7}, tentukan a. anggota AC b. anggota BC c. anggota (A
B)C.
Penyelesaian: Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10} A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 3, 5, 7} a. AC = {5, 6, 7, 8, 9, 10} b. BC = {1, 4, 6, 8, 9, 10} c. Untuk menentukan anggota (A
B)C, tentukan terlebih dahulu anggota dari A
B. A (A
B = {2, 3} B)C= {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
4. Perkalian Kartesius Ada juga yang disebut perkalian kartesius. Perkalian Kartesius dari A dan B adalah memasangkan satu per satu setiap anggota A kepada setiap anggota B. A × B = {(apel, mangga), (apel, jambu), (apel, jeruk), (apel, rambutan), (mangga, mangga), (mangga, jambu), (mangga, jeruk), (mangga, rambutan), (jeruk, mangga), (jeruk, jambu), (jeruk, jeruk), (jeruk, rambutan)} Yang banyaknya adalah 3×4 = 12. A×B
mangga
jambu
jeruk
apel
apel, mangga
apel, jambu
apel, jeruk
mangga
mangga, mangga
mangga, jambu
mangga, jeruk
rambutan apel, rambutan mangga, rambutan Page 9
A×B jeruk
mangga jeruk, mangga
jambu jeruk, jambu
jeruk jeruk, jeruk
rambutan jeruk, rambutan
Perkalian Kartesius A × B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B } D. APLIKASI HIMPUNAN Misalkan
dan
. Maka
kita peroleh dan
.
Menggunakan konsep kardinalitas, maka kita dapatkan dan Ternyata terdapat hubungan bahkan . Secara umum, jika A dan B adalah himpunan berhingga dan
, maka
. Pada kasus yang lain, misalkan
dan
. Maka kita
peroleh : dan
.
Menggunakan konsep kardinalitas, maka kita dapatkan dan
.
Ternyata terdapat hubungan bahwa . Page 10
Secara umum, jika A dan B adalah himpunan berhingga dan diperoleh aturan operasi gabungan
maka
berikut
Atau dengan notasi lain
Aturan untuk tiga himpunan atau lebih, dapat kita cari . Sebagai contoh, untuk tiga himpunan berhingga kita dapatkan bahwa
Dengan notasi lain, kita peroleh
Aturan operasi gabungan dan perluasannya pada tiga himpunan atau lebih dikenal dengan nama prinsip inklusi dan eksklusi. Berikut ini akan disajikan contoh aplikasi himpunan dalam kehidupan sehari-hari. Aplikasi 1 Dari suatu kelas diketahui 17 siswa gemar olahraga, 23 gemar kesenian, dan 8 siswa gemar keduanya. Berapa banyaknya siswa yang gemar olahraga saja atau kesenian saja?
Penyelesaian Misalkan siswa yang gemar olahraga dilambangkan dengan himpunan A, dan siswa yang gemar kesenian dilambangkan dengan himpunan B. maka diperoleh
dan Page 11
. Maka, banyaknya siswa yang gemar olahraga saja atau kesenian saja adalah
=17+23-8
=32
Aplikasi 2 Dari 44 siswa diketahui bahwa 21 siswa gemar matematika dan 18 siswa gemar sains. Jika diketahui bahwa 10 siswa gemar keduanya, maka tentukan siswa yang tidak gemar matematika dan sains? Penyelesaian Misalkan seluruh siswa dilambangkan dengan himpunan U, siswa yang gemar matematika dilambangkan A, dan siswa yang gemar saibs dilambangkan dengan himpunan B. maka diperoleh
. Dengan demikian, maka banyaknya sswa yang gemar matematika dan sains adalah
27+25-10 =42 Diketahui bahwa Karena banyak siswa keseluruhan adalah keduanya sebanyak
siswa, maka yang tidak gemar siswa.
Page 12
Keadaan di atas dapat digambarkan dengan diagram venn pada gambar 1.7 berikut U
A
B
10 2
Gambar 1.7 Ilustrasi Permasalahan Aplikasi 2 Berdasarkan gambar, maka diperoleh
Yang gemar matematika saja sebanyak 17 siswa. Yang gemar sains saja sebanyak 15 siswa. Yang gemar keuanya sebanyak 10 siswa. Yang tidak gemar matematika dan sains sebanyak 2 siswa.
Aplikasi 3 Dalam suatu proyek pengerjaan bangunan terdapat tiga set peralatan yang diperlukan tiga tukang. Misalkan A,B, dan C tiga set peralatan tersebut. Untuk mempermudah sebut saja tukang itu dengan tukang A, tukang B, dan tukang C. Tukang A menggunakan 8 alat, tukang B menggunakan 10 alat, dan tukang C menggunakan 5 alat. Tukang A dan tukang B saling berbagi 3 alat, A dan C saling berbagi 2 alat, B dan C saling berbagi 2 alat, serta tukang A,B, dan C saling berbagi 2 alat. Berapa banyaknya alat berbeda yang digunakan ketiga tukang untuk mengerjakan bangunan tersebut? Penyelesaian Permasalahan tersebut sebenarnya ingin menentukan Sesuai rumus maka diperoleh
=8+10+5-3-2-2+2 =18 Jadi, alat berbeda yang digunakan ketiga tukang sebanyak 18 alat.
Page 13
DAFTAR PUSTAKA 1. Abdussakir, M.Pd.,Matematika 1 Kajian Integratif Matematika & Al-Qur’an, UINMalang Press, Malang, 2009. 2. lipshutz Seymour,Ph.D.,teori himpunan,Erlangga, Jl.KramatIV No.11. 1998
Page 14
