30/06/2005
Theoretische Inleiding bij de Fresnelproef
I Zichtbaar maken van een Interferentiepatroon Licht kan beschreven worden als een elektromagnetische golf. Algemeen geldt voor een golf (dus b.v. ook voor een watergolf of een geluidsgolf) dat er voortplanting om obstakels heen kan plaatsvinden. Hierbij kunnen in het bijzonder interferentieverschijnselen waarneembaar worden. Dat wil zeggen: er zijn plaatsen met afwisselend lage en hoge intensiteit (kleine, resp. grote amplitude) op afstanden van elkaar die mede bepaald worden door de golflengte(n) van de betrokken golf. We moeten nu echter eerst begrijpen hoe een dergelijk patroon (van afwisselend lage en hoge intensiteit) tot stand komt. Pas als we dit begrijpen kunnen we een formule afleiden waarin de afstanden in een interferentiepatroon worden uitgedrukt in (onder meer) de relevante golflengte. In een eenvoudig model om interferentieverschijnselen te begrijpen kunnen we gebruikmaken van het principe van Huygens. Volgens Huygens kan elk punt van een golffront beschouwd worden als een puntbron dat zelf weer bolgolven (in het geval van een driedimensionale situatie) uitzendt.
optische as
b
s Fig. I.1
I.1
scherm
Schematische voorstelling van het Huygensprincipe
Interferentie van een lange rechte spleet
x lichtbron
w
optische as
b
d Fig. I.2
s
scherm
Schema van een opstelling met een berekende intensiteitverdeling. In de berekening is uitgegaan van een puntlichtbron met λ=600 nm, en spleetbreedte b = 0.1 mm waarbij d = 20 cm en s = 100 cm gekozen is.
Volgens het principe van Huygens beschouwen we elk punt in de spleet als een bron van golven. Echter de afstand van verschillende punten in de spleet tot het punt P op
1
het scherm is verschillend (zie fig.I.3). Golven afkomstig van verschillende punten in de spleet kunnen elkaar ter plekke P dus versterken (constructieve interferentie) of verzwakken (destructieve interferentie). In het bijzonder zal uitdoving van twee bijdragen optreden als het afstandsverschil van twee “Huygens bronnen” tot punt P een oneven aantal maal de halve golflengte bedraagt (dus 12 λ, 23 λ, 52 λ, ◊◊◊◊ waarbij λ de golflengte).
P r1
x
r2 b
θ optische as
s scherm Fig. I.3
Bijdragen van verschillende punten in de spleet tellen op ter plekke van een waarnemingspunt P.
Neem nu aan dat het scherm “ver” weg staat (dan geldt: s b ): we kunnen dan alle stralen die het punt P bereiken vanuit de spleet als vrijwel parallel beschouwen. Met deze veronderstelling valt nu snel af te leiden onder welke hoeken (van uit de spleet gezien) er minima in het interferentiepatroon zullen optreden.
1 2
θ
b
optische as
Uitdoving (eerste minimum) als:
θ 1 2
1 2
b
1 2
Fig. I.4
b sin θ = 12 λ.
b sin θ
Huygens' principe voor een enkele spleet.
Voor het vinden van het eerste minimum beschouwen we steeds paarsgewijs punten in de spleet die op een afstand 12 b van elkaar liggen (zie fig.I.4). Voor lichtstralen door zo’n puntenpaar uitgezonden onder een hoek θ bedraagt het weglengteverschil tot aan het scherm 12 b sin θ . Als dat weglengteverschil gelijk is aan 12 λ doven de bijdragen uitgezonden onder deze hoek θ voor al deze paren uit. Onder die
2
voorwaarde vinden we dus een eerste minimum (met, in deze benadering een intensiteit gelijk aan nul) in het interferentiepatroon op het scherm.
Fig. I.5
Relatie tussen sin θ , tan θ en θ (rad).
Als we voor het gemak aannemen dat de hoek θ klein is (d.w.z. θ (rad) 1 ) mogen we gebruiken dat sin θ ª tan θ ª θ (rad) (zie fig.I.5). Het eerste minimum vinden we dan op een afstand x1 (zie fig.I.2) van de optische as gegeven door λs (I.1) x1 ª , b onder een hoek θ1 waarvoor geldt λ (I.2) θ1 ª . b Analoog kunnen we ook de hoek θ2 waarvoor het tweede minimum optreedt vinden (zie fig.I.6).
1 4
θ
b
optische as
Uitdoving (tweede minimum) als:
θ 1 4
1 4
b
1 4
Fig. I.6
b sin θ = 12 λ.
b sin θ
Toepassing van het Huygensprincipe voor het vinden van het tweede minimum.
Algemeen geldt in dit beeld dat het kde minimum wordt gevonden onder een hoek θk waarvoor geldt
3
λ (I.3) (k = 1, 2, ◊◊◊◊◊◊). b Aan de hand van deze uitdrukkingen kunnen we praktisch (aangenomen dat er een zichtbaar patroon valt te ontdekken!) een eerste bepaling van de golflengte λ doen. sin θk = ± k
N.B. Ook bij een ronde opening treden interferentieverschijnselen op. Het patroon bestaat daarbij uit concentrische cirkels, waarbij (in goede benadering) een iets gemodificeerde formule voor de hoek θk van het kde minimum geldt n.l. (D is hier de diameter van de ronde opening) λ (I.4) sin θk = 1.22 ¥ k (k = 1, 2, ◊◊◊◊◊◊). D
I.2
Een complicatie: voorwaarde van coherentie
Interferentie leidt niet noodzakelijk tot een zichtbaar en scherp patroon. Als voorbeeld: naarmate het licht van de gebruikte lichtbron een breder spectrum omvat zal er meer en meer een vervaging van het patroon optreden. Ook zal het patroon verdwijnen als de hoekafmeting θB van de bron (zoals gezien van uit de spleet) van dezelfde grootte orde is als, of groter is dan, de hoek θ1 waaronder het eerste minimum wordt gevonden (zie fig.I.7) .
x lichtbron
θ1
θB
w
optische as
b
d Fig. I.7
x1
s
scherm
Overlappende buigingspatronen als de bron openingshoek θB te groot is in vergelijking met de hoek θ1 waaronder het eerste minimum wordt gevonden.
Beschouw nu de lichtbron als een verzameling van puntbronnen verspreid over de hele openingshoek θB . Voor een puntbron die onder een hoek t.o.v. de optische as wordt gezien zal ook het buigingspatroon van deze puntbron op het scherm verschoven verschijnen. Het gevolg is dat de overlappende, verschoven patronen van alle bijdragende puntbronnen het resulterende buigingspatroon doen vervagen of zelfs doen verdwijnen. Om een herkenbaar buigingspatroon aan te treffen is het daarom nodig de bronhoek θB “voldoende klein te maken”. Voldoende klein betekent hier: klein in vergelijking tot een karakteristieke hoekmaat van het buigingspatroon van een puntbron. Hiervoor kunnen we b.v. de hoek θ1 nemen waaronder het eerste minimum wordt gevonden. Met de schattingen w λ (I.5) θB ª en θ1 ª , 2d b
4
moet dan worden geconstateerd dat in situaties waarbij θB aanzienlijk groter is dan θ1 er geen herkenbaar patroon zal worden gevonden. Bij het geleidelijk vergroten van θB verwachten we dat het buigingspatroon geleidelijk zal vervagen als θB ª θ1 tot het (bijna) niet meer als buigingspatroon te herkennen is. Er is natuurlijk geen uniek omslagpunt voor zichtbaarheid aan te geven maar wel waar ongeveer dat omslagpunt zal liggen. In de praktijk gebruiken we als criterium voor zichtbaarheid het begrip coherentievoorwaarde n.l., zichtbaarheid (of in ieder geval: enige mate van zichtbaarheid) wordt verwacht als maar w λ (I.6) d (een coherentievoorwaarde). d b Dit criterium correspondeert dus met θBd 12 θ1 (zie vgl.(I.5)). Als een verwacht buigingspatroon niet (goed) zichtbaar is kan aan de hand van dit criterium worden nagegaan of de eindige bronafmetingen hierbij een rol hebben.
I.3
Afbeelden met een dunne (sferische) lens
Bij optische experimenten is het vaak handig, en soms noodzakelijk, gebruik te maken van de afbeeldende eigenschappen van lenzen. We beschouwen de lenzen als ideaal; dat wil zeggen: afbeelden met een lens gaat zonder fouten (of wel: zonder aberraties). Voor een dunne lens is de bepalende grootheid de brandpuntsafstand f (en daarnaast natuurlijk de diameter van de lens). De beide brandpunten liggen hierbij symmetrisch rond het centrum van de lens op een afstand f van het centrum.
f
f
x
F2
optische as
F1
d
y
p
Fig. I.8
q
Afbeelden met een lens.
Beeldvorming kan nu worden begrepen met de volgende twee principes: • lichtstralen gericht door het centrum van de lens gaan zonder afbuiging rechtdoor; • lichtstralen gericht door een brandpunt worden door de lens afgebogen (‘gebroken’) parallel aan de as van de lens. In bijgaande figuur wordt schematisch de beeldvorming weergegeven. Met wat eenvoudige meetkunde kan daarmee de lenzenformule als volgt worden afgeleid. We gebruiken echter niet de hierbij gebruikelijke symbolen voor de voorwerpsafstand en 5
de beeldafstand. Voor deze grootheden gebruiken we respectievelijk de letter p en de letter q ter vermijding van verwarring met de al ingevoerde symbolen. Van een voorwerp ter grootte x op voorwerpsafstand p van de lens wordt een scherpe afbeelding gemaakt ter grootte y op afstand q van de lens. De stralengang voor een drietal stralen (door respectievelijk het centrum en door de beide brandpunten van de lens) is getekend in fig.I.8. Hieruit volgen de volgende relaties: y q V ∫ = (vergroting/verkleining). x p y f q- f = (= ) fi ( p - f )(q - f ) = f 2 . x p- f f (I.7) y q p p- f p = - 1 en dus Met = volgt = x p q f f
fi
1 1 1 + = . p q f
TIP: De kleinste afstand tussen voorwerp en beeld bedraagt 4 f, waarbij de vergroting –1 bedraagt.
6
II Meetbaar maken van een Interferentiepatroon: Golflengtebepaling II.1
Dubbele spleet interferentie
We beschouwen nu interferentie van een dubbele spleet. In fig.II.1 is schematisch de opstelling getekend. De beide spleten staan hierbij onderling parallel en zijn zeer lang in vergelijking met hun onderlinge afstand a. Verder nemen we aan dat de breedte b van de beide spleten klein is in vergelijking met hun onderlinge afstand a.
b
x
θ1
θS
optische as
lichtbron w a d
Fig. II.1
s
scherm
Opstelling voor interferentie bij een dubbel spleetsysteem (schematisch). De intensiteitverdeling is berekend voor een puntlichtbron met λ=600 nm, spleetafstand a=1.0 mm/spleetbreedten b = 0.1 mm waarbij d = 500 cm en s = 100 cm gekozen is.
We gebruiken weer het principe van Huygens waarbij de twee spleten als bronnen worden beschouwd. Als het afstandsverschil van de twee spleten tot een punt P op een scherm een geheel aantal golflengten bedraagt zal er aldaar versterking (constructieve interferentie) optreden; als het afstandsverschil een oneven aantal maal de halve golflengte bedraagt treedt er uitdoving van de lichtintensiteit op. Constructieve interferentie als Δr = r2 - r1 = ± kλ met k = 0, 1, 2, ◊◊◊◊.
r1
x
r2 a
P
θ optische as
s scherm
Fig. II.2
Interferentie met twee spleten.
7
Als we aannemen dat de afstand s tot het scherm veel groter is dan de spleetafstand a kunnen we afleiden (vgl. fig.II.2 met fig.I.4) dat maxima in het interferentiepatroon optreden als λ (II.1) sin θk ª ± k (k = 0, 1, 2, ◊◊◊◊◊◊). a
Constructieve interferentie als a sin θ = ± kλ met k = 0, 1, 2, ◊◊◊◊.
r1 r2
a
θ optische as
θ a
a sin θ
Fig. II.3
Interferentie van twee spleten als scherm op grote afstand staat ( s
a ).
Met behulp van het Huygens principe kunnen we (bij benadering) ook de intensiteitverdeling afleiden. Voor een punt P op afstand x van de optische as (zie fig.II.2) is het afstandsverschil Δr tot de spleten (ongeveer) gelijk aan a sin θ . Als de hoek θ 1 dan mogen we weer gebruikmaken van de relatie sin θ ª tan θ . Het afstandsverschil Δr is daarmee te noteren als ax (II.2) Δr ª a sin θ ª a tan θ ( = ). s Het faseverschil Δφ van de twee golven die vanuit de beide spleten het punt P bereiken is gedefinieerd als Δr ax (II.3) Δφ ∫ 2π ( ª 2π ). λ λs Als de ene golf een bijdrage A cos(ωt ) geeft ter plekke P, dan is de bijdrage van de andere golf daarmee A cos(ωt + Δφ) . Hierbij is A de amplitude en ω de (cirkel)frequentie van de lichtgolf. Verder geldt, c (II.4) ω = 2π , λ met c de lichtsnelheid. Superpositie van deze beide golven bij P leidt tot interferentie met als resultaat voor de somgolf AP (t ) = A cos(ωt ) + A cos(ωt + Δφ) = 2 A cos( 12 Δφ) cos(ωt + 12 Δφ).
(II.5)
De amplitude van het licht bij P bedraagt dus 2 A cos( 12 Δφ) . De lichtintensiteit I ( x ) op plaats x (kwadrateren van de amplitude) is dan evenredig met
8
ax (II.6) ). λs Ook hiermee kunnen we afleiden dat het kde maximum te vinden is op plaats xk waarvoor geldt λs (II.7) xk = ± k (k = 0, 1, 2, ◊◊◊◊◊◊). a De dubbele spleet opstelling in fig.II.1 biedt als voordeel in vergelijking met de enkele spleet opstelling (fig.I.2) een beter zichtbaar patroon dat bovendien op gelijke afstanden minima en maxima te zien geeft. Verder hebben we al met elementaire middelen een intensiteitverdeling voor een dubbelspleet systeem kunnen afleiden. Daarmee is een experimentele situatie gerealiseerd die nauwkeuriger te analyseren is en die daarmee (in principe) een nauwkeuriger bepaling van de golflengte λ mogelijk maakt. I ( x) ∼ cos 2 ( 12 Δφ) = cos 2 (π
II.2
De fraunhofer opstelling
Bij zowel de enkele spleet als de dubbele spleet configuratie is het zaak de grootte van de hoeken t.o.v. de optische as zo veel mogelijk te beperken. B.v. om een scherp patroon zichtbaar te maken moet de bronhoek (vanuit de spleet gezien) voldoende klein zijn (coherentievoorwaarde). Dit kan bereikt worden door de bronafstand d voldoende groot te maken. Ook is de benadering gemaakt dat het afstandsverschil tussen de beide spleten en het punt P onder een hoek θ gegeven wordt door a sin θ (vergelijk fig.II.2 met fig.II.3). Deze benadering is beter naarmate de schermafstand s (zie fig.II.2) groter is. Overigens is het om dubbelspleet interferentie te kunnen zien al zondermeer vereist dat zowel de bronafstand d als de schermafstand s voldoende groot zijn (zie fig.II.1).
L1
L2
x P
θ F2
F1 f1
a f2
scherm
brandvlak Fig. II.4
Fraunhofer opstelling voor dubbelspleet systeem. De lichtbron staat hierbij in het brandpunt van lens L1; het scherm staat in het brandpunt van lens L2.
Door de afbeeldende eigenschappen van lenzen te gebruiken kunnen we op een van zelfsprekende manier aan deze beide eisen voldoen. De afbeeldende eigenschappen van lenzen worden daarvoor gebruikt om zowel de bron als het scherm virtueel op oneindige afstand t.o.v. het spletensysteem te plaatsen. De aldus aangepaste opstelling wordt aangeduid als een fraunhofer opstelling (zie fig.II.4 voor een dubbelspleet
9
configuratie). De opstellingen die we tot dusverre hebben beschouwd (dus zonder gebruik van lenzen) worden aangeduid als fresnel opstellingen. Het werken met een fraunhofer opstelling biedt dus duidelijke voordelen, waarbij in principe een betere bepaling van de golflengte λ mogelijk wordt. Voor de dubbelspleet configuratie van fig.II.4 treden (net als bij de gemaakte benaderingen voor de dubbelspleet fresnel opstelling) maxima in het interferentiepatroon op onder hoeken θk waarvoor λ (II.8) sin θk = ± k (k = 0, ± 1, ± 2, ◊◊◊◊◊◊). a Bij de afleiding van deze formule zijn, uitgaand van het principe van Huygens voor voortplanting van elektromagnetische golven, nog maar heel weinig benaderingen gemaakt. Als we voor het gemak nog wel de benadering sin θ ª tan θ maken volgt daaruit een eenvoudige uitdrukking voor de plaats van de maxima in het interferentiepatroon (zie fig.II.4), λf (II.9) xk = k 2 (k = 0, ± 1, ± 2, ◊◊◊◊◊◊). a
II.3
Hulpmiddelen bij waarneming: het oculair
Bij optische experimenten wordt vaak gebruikgemaakt van oogwaarneming. Het oog is een bijzonder gevoelig waarnemingsinstrument, maar we moeten hierbij wel nadenken hoe de beeldvorming op het netvlies tot stand komt. Bij het kijken naar een scherm waarop een interferentiepatroon zichtbaar is dit geen probleem: de ooglens wordt bij waarneming (onbewust) zo aangepast dat het patroon scherp op het netvlies wordt afgebeeld. De beperking van deze manier van werken ligt in het grote verlies aan intensiteit: alleen licht dat via reflectie aan het scherm het oog bereikt wordt zo benut. Veel meer lichtintensiteit is beschikbaar door het oog in de lichtbundel te plaatsen: het oognetvlies neemt nu rechtstreeks de rol over van het scherm. De complicatie waar we echter mee te maken hebben ligt in de rol van de ooglens: afhankelijk van waarop het oog focusseert zullen verschillende beelden kunnen ontstaan. Dit kan zelfs tot onenigheid tussen waarnemers leiden over wat er te zien is! Een tweede probleem betreft de “meetbaarheid” van het patroon: ook al is er een duidelijk interferentiepatroon op het netvlies geprojecteerd dan ontbreken toch de middelen om op deze wijze afstandsbepalingen in het patroon uit te voeren. Om deze bezwaren zo veel mogelijk te ondervangen wordt gebruik gemaakt van een zgn. oculair (eyepiece). Een oculair is een hulpmiddel waarmee verder ook de voor het oog beschikbare lichtintensiteit nog kan worden verhoogd.
Fig. II.5
Schema van een Huygens' oculair.
10
Standaard wordt in een oculair gebruikgemaakt van twee lenzen, aangeduid als veldlens en als ooglens. Afhankelijk van de wijze van beeldvorming worden oculairen onderverdeeld in een aantal verschillende typen. Een eenvoudig type is het Huygens’ oculair, waarbij een tussenbeeld (tussen de beide lenzen) wordt gemaakt. Dit tussenbeeld bevindt zich (vrijwel) in het brandvlak van de tweede lens, zodat waarneming met vrijwel ongeaccommodeerd oog gebeurt. Verder is in dit brandvlak een wijzerpin (reticle) geplaatst die dus overlapt met het tussenbeeld van het interferentiepatroon. Door het oculair op een translatietafel met micrometerverstelling te plaatsen kunnen we hiermee de wijzerpin nauwkeurig (meetbaar en reproduceerbaar) door het interferentiepatroon bewegen. Met dit hulpmiddel zal in veel gevallen een veel betere bepaling van een patroonafstand kunnen gebeuren dan bij waarnemen vanaf een scherm. Een schema van een Huygens’ oculair is in fig.II.5 weergegeven.
11
12
III Interferentie bij beeldvorming III.1 Interferentie bij afbeelding Een manier om de afmeting(en) van een lichtgevend object te bepalen is via een afbeelding op een scherm. In onderstaande fig.III.1 wordt de meetsituatie weergegeven, waarbij de afbeelding door middel van een lens gebeurt. Men zou nu nietsvermoedend kunnen denken dat met deze techniek steeds kleinere afmetingen kunnen worden bepaald naarmate maar de kwaliteit van de afbeeldende optica en de mogelijkheden om kleinere beeldafmetingen te bepalen verbeterd worden. Na enig nadenken zal deze conclusie echter moeten worden bijgesteld: het feit dat licht een golfverschijnsel is impliceert automatisch dat hierbij fundamentele beperkingen zijn te verwachten afhankelijk van de golflengte(n) λ van het uitgezonden licht. Deze beperkingen zijn gekoppeld aan de eindige afmetingen van de gebruikte optische elementen. Anders gezegd: een optisch element gedraagt zich voor het licht als een (begrensde) opening waarbij er dus altijd sprake zal zijn van buigingsverschijnselen die de beeldvorming beïnvloeden. Een sferische lens moet in dit verband worden beschouwd als een rond gat. Bij afbeelding van een puntvormige lichtbron zal op het afbeeldingscherm dus een buigingspatroon verschijnen. Het hoofdmaximum van dit patroon zal daarbij een hoekmaat van de orde van λ / D beslaan (waarbij D de diameter van de lens).
f
f
P
x 1 2
b
F1
F2
optische as
s p
q
Fig. III.1 Buigingsverschijnsel bij een lens. Om de rol van de eindige diameter van de lens te verduidelijken is hier (gescheiden van de lens) een spleet geplaatst. Door de spleet op de gebruikelijke wijze op te delen kan hiermee de plaats van het eerste minimum in het buigingspatroon worden berekend.
Voor een spleetdiafragma kan aan de hand van fig.III.1 worden nagegaan dat de plaats van het eerste minimum in het buigingspatroon ligt bij (zie vgl.(I.1)): λs (III.1) x=± . b Als een rond gat (diameter D) als diafragma wordt gebruikt (b.v. de sferische lens zelf!) moet weer de extra factor 1.22 worden toegevoegd. Bij scherpe afbeelding van
13
een monochromatische puntbron verschijnt dan op het scherm een buigingspatroon waarbij de eerste donkere ring een straal r heeft van λs (III.2) r = 1.22 ¥ . D Als er nu twee dicht bij elkaar gelegen puntbronnen tegelijk worden afgebeeld (b.v. bij een telescoop: twee sterren; of bij een microscoop: twee cellen) zullen de beide buigingspatronen op het scherm overlappen. De vraag is dan of de beide buigingspatronen bij afbeelding van deze puntbronnen van elkaar zijn te onderscheiden. Hiervoor wordt vaak het zogenaamde Rayleigh criterium gehanteerd: als de buigingspatronen op een afstand groter dan r (straal van de eerste donkere ring) van elkaar liggen zijn de beide beelden van elkaar te onderscheiden. Ga zelf na op welke hoekafstand de puntbronnen dan echt (dus aan de voorwerpszijde) van elkaar staan.
III.2 Hoekoplossendvermogen bij afbeelding Oogwaarneming: maak een schatting aan de hand van standaard pupilafmetingen welke kleinste hoekmaat door het oog onderscheiden kan worden. In onderstaande figuur is schematisch een afbeeldend systeem weergegeven waarmee een puntbron wordt afgebeeld. Dit systeem mag meerdere lenzen omvatten die we echter vervangen denken door een enkele lens op de aangegeven plaats. We nemen verder aan dat op die plaats zich ook het begrenzende diafragma met spleetbreedte b bevindt. Ga na dat de hoekafstand α die aan de voorwerpszijde nog kan worden opgelost gegeven wordt door λ λ (III.3) α = ( = 1.22 bij een rond diafragma met diameter D ) b D
Fig. III.2 Schematische weergave van het beperkte hoekoplossende vermogen van een afbeeldend systeem, aangegeven met de hoek α . Deze hoek wordt direct bepaald door het eerste minimum in het buigingspatroon in het beeldvlak bij scherpe afbeelding van een puntbron. De intensiteitverdeling van een dergelijk buigingspatroon is rechts van het scherm weergegeven.
14
IV Toepassing van Interferentie bij Tralies IV.1 Opstelling met tralie Bij interferentie aan een dubbele spleet in een fraunhofer opstelling hebben we in principe een goede aansluiting tussen theorie en experimentele realisatie. Beperkingen in de golflengte bepaling zullen voornamelijk te wijten zijn aan onnauwkeurigheid in het meetproces. Eén belangrijk aspect is hierbij de relatieve breedte (t.o.v. hun onderlinge afstand) van interferentiestrepen. We spreken in dit verband van (spectrale) resolutie, hier verbonden met de nauwkeurigheid waarmee de maxima in het interferentiepatroon praktisch kunnen worden bepaald. Voor dubbelspleet interferentie is al de intensiteitverdeling afgeleid (zie vgl.(II.6)), n.l. I ( x) ∼ cos 2 ( β ), waarbij hier β = π
L1
ax . λf 2
(IV.1)
L2
x P
θ F1
F2 f1
a
f2
scherm
brandvlak
Fig. IV.1 Fraunhofer-opstelling voor een vier-spletensysteem.
Een nauwkeuriger bepaling van de golflengte zou bereikbaar zijn als we een “nauwere” intensiteitverdeling konden realiseren. Een configuratie waarmee dit bereikt kan worden bestaat niet uit twee maar een groot aantal evenwijdige spleten (op steeds gelijke afstanden) in een fraunhofer opstelling. Ook voor een dergelijke opstelling kan er al met eenvoudige middelen een nauwkeurige beschrijving worden ontwikkeld. Een veel-spletensysteem met spleten op gelijke afstand van elkaar duiden we kort aan als tralie. Een tralie wordt gekarakteriseerd door de spleetafstand a en door het totaal aantal spleten N. De opstelling is voor een vier-spletensysteem schematisch gegeven in fig.IV.1. Maximum intensiteit vinden we in P als de afstand, van twee direct naast elkaar liggende spleten tot P, een geheel aantal malen λ bedraagt. De formule voor het dubbele spleetsysteem λf (IV.2) xk = k 2 (k = 0, ± 1, ± 2, ◊◊◊◊◊◊). a
15
is dus in principe ook hier geldig (in deze formule is weer aangenomen dat de benadering sin θ ª tan θ toegestaan is). Elk van de bijdragen van de afzonderlijke spleten werkt hier versterkend. Het belangrijke punt is nu echter, dat tussen twee (hoofd) maxima meerdere punten zijn waar totale uitdoving plaatsvindt (in plaats van maar één locatie bij de dubbele spleet). B.v. in een vier-spletensysteem vindt totale uitdoving plaats als de afstand van punt P tot direct naburige spleten een oneven aantal malen de halve golflengte verschilt. Maar er treedt ook totale uitdoving op als de afstand tot de eerste en derde (en daarmee ook de afstand tot de tweede en vierde spleet) een oneven aantal malen de halve golflengte verschilt. Enig nadenken leert dan dat voor een vier-spletensysteem tussen twee hoofdmaxima op drie plaatsen totale uitdoving plaatsvindt. Analoog treden er voor een N-spletensysteem steeds N-1 minima op tussen twee naburige hoofdmaxima. Als N parallelle spleten op onderlinge afstand a gebruikt worden (dat is: uniform belicht worden) kunnen we een uitdrukking voor de intensiteitverdeling afleiden. De afleiding verloopt analoog aan de afleiding voor de intensiteitverdeling van de dubbele spleet. Voor licht uitgezonden onder een hoek θ bedraagt het fase verschil Δφ voor golven van direct naburige spleten ook hier a sin θ , λ en de som van alle spleetbijdragen bij P bedraagt dan Δφ = 2π
(IV.3)
AP (t ) = A cos(ωt ) + A cos(ωt + Δφ) + A cos(ωt + 2 Δφ) + ◊◊◊◊ + A cos(ωt + ( N - 1) Δφ). (IV.4)
Deze sommatie kan met wat algebra worden uitgerekend en resulteert in
AP (t ) = A
sin( 12 NΔφ) cos(ωt + 12 ( N - 1) Δφ). sin( 12 Δφ)
(IV.5)
Voor de intensiteitverdeling volgt (uitgedrukt in x, waarbij weer aangenomen dat geldt sin θ ª tan θ ), I ( x) ∼
sin 2 ( Nβ ) ax , waarbij hier β =π . 2 sin ( β ) λf 2
(IV.6)
Voor N = 2, 4, 10 zijn bijgaand in fig.IV.2 grafische voorstellingen van deze (genormaliseerde) intensiteitverdelingen gegeven. N.B. De afstand tussen de interferentielijnen verandert dus niet bij toename van het aantal belichte spleten (steeds op afstand a van elkaar). Wat wel verandert, is de scherpte (of: spectrale resolutie) waarmee het patroon zichtbaar wordt: dit hangt af van het aantal spleten N dat in het experiment bijdraagt aan het interferentiepatroon. De breedte van de maxima neemt daarbij omgekeerd evenredig met het aantal gebruikte spleten N af. Experimenteel zal echter naarmate gewerkt wordt met een groter aantal spleten de breedte van de maxima meer en meer door andere factoren worden bepaald (b.v. door lensfouten).
16
Fig. IV.2 Theoretisch interferentie patroon voor 2-, 4- en 10 spleten volgens vgl.(IV.6). De intensiteitverdelingen zijn op hun respectieve maxima genormaliseerd. Op deze schaal zijn de verdelingen voor N=2 en N=4 in verticale richting verschoven over respectievelijk 0.2 en 0.1 schaaldelen.
17
V Samenvatting van een aantal resultaten V.1
Enkele spleet: buiging bij eindige bronbreedte en eindige spleetbreedte
In het eerste hoofdstuk is al vastgesteld dat het hoekinterval waaronder een spleet wordt belicht (eindige bronafmetingen) directe gevolgen kan hebben voor de zichtbaarheid van een interferentiepatroon. Een criterium is daartoe ingevoerd, de zgn. coherentievoorwaarde, w λ (V.1) d . d b waaronder het bestreken hoekinterval voldoende is beperkt om een interferentiepatroon te kunnen waarnemen. De vraag die we nu willen beschouwen luidt: “In welk opzicht en in welke mate moet de eenvoudige theorie die voor buiging is beschouwd worden gewijzigd bij belichting onder een hoek?” In de eenvoudige theorie voor buiging aan een spleet wordt aangenomen dat er een vlakke golf wordt aangeboden aan de spleet zodanig dat de Huygens’ bronnen in de spleet allen een zelfde fase hebben. Vanwege de eindige afmetingen van zowel de lichtbron als de spleet is dit alleen bij benadering correct. In het volgende gaan we onderzoeken hoeveel faseverschil er ontstaat bij belichting onder verschillende hoeken. We zullen daarbij het λ/2 criterium hanteren (maximum faseverschil van 180o over de spleet) als criterium voor zichtbaarheid.
r1 ro 1 2
1 2
θ
b
optische as
r2
w
d
Fig. V.1
Verschillen in fase bij belichting van een spleet met eindige breedte b door een bron met breedte w.
r0 = d 2 + ( 12 w) 2 ª d (1 + 18
w2 ); d2
( w - b) 2 ); d2 ( w + b) 2 ). r2 = d 2 + ( 12 w + 12 b) 2 ª d (1 + 18 d2 bw Æ r2 - r1 ª 12 . d r1 = d 2 + ( 12 w - 12 b) 2 ª d (1 + 18
19
(V.2)
x lichtbron
θ1
θB
w
optische as
x1
b
d
s
scherm
"Coherentievoorwaarde": w λ d (θB d θ1 ) d b
Fig. V.2 Schematische weergave van het effect van de eindige bronhoek θB op het buigingspatroon van een enkele spleet. B
Voer in criterium voor zichtbaarheid: |r2 - r1 | £ 12 λ. Æ coherentievoorwaarde: w λ d . d b
Fig. V.3 Berekende intensiteitverdeling: parameters λ = 600 nm, b = 0.1 mm, d = 20 cm en s = 100 cm. Breedte lichtbron, linker figuur 0.5 mm, rechter figuur 1 mm, onderste figuur, 1.5 mm.
20
(V.3)
(V.4)
V.1.1.
Het effect van de eindige spleetbreedte
Ook als we met een puntbron werken (op de as!) wordt een spleet niet bestraald met een vlakke golf. Het is echter snel in te zien dat aan het λ/2 criterium voldaan is als maar b λ (V.5) d . 4d b Afleiding: b2 r1 = r2 = d 2 + ( 12 b) 2 ª d (1 + 81 2 ); d (V.6) 2 b Æ r1,2 - r0 ª . 8d Criterium voor zichtbaarheid hier: |r1,2 - r0 | £ 12 λ . Æ voorwaarde:
r1 ro
1 2
b λ d . 4d b
(V.7)
θ
b
optische as r2
d
Fig. V.4 Effect van eindige spleetbreedte b op het vormen van een buigingspatroon.
Fig. V.5 Berekende intensiteitverdeling (punt lichtbron) parameters: λ= 600 nm, b = 0.1 mm, d = 1 cm en s = 100 cm. V.1.2.
Het effect van de eindige schermafstand
Om voor een enkele spleet een herkenbaar buigingspatroon te kunnen zien moet de uitgebreidheid van de geometrische schaduw van de spleet op het scherm voldoende klein zijn in vergelijking met de uitgebreidheid van het buigingspatroon. (We gaan er voor het gemak van uit dat de belichting gebeurt met een puntbron die in het
21
oneindige staat en op de optische as ligt; naar de praktijk vertaald: de belichting van de spleet moet voldoende coherent zijn om deze beschouwing te kunnen houden.)
x lichtbron
θ1 w
b d
x1 b 0
optische as
s
scherm
Fig. V.6 Schematische weergave van de opstelling.
We kunnen dit ook anders formuleren: in de afleiding van de plaats van het eerste minimum is aangenomen dat het scherm zo ver weg staat dat de lichtstralen vanuit de breedte van de spleet vrijwel parallel naar het minimum lopen. Hiermee volgt een criterium voor de schermafstand s, n.l. b λ (V.8) d . s b λ (Vergelijk de uitgebreidheid van het buigingspatroon: s, met spleetbreedte b). b
Fig. V.7 Berekende intensiteitverdeling (punt lichtbron): parameters: λ= 600 nm, b = 1 mm, d = 20 cm en s = 10 cm.
V.2
Dubbelspleet interferentie
Ook bij belichting van een dubbele spleet moet aan het λ/2 criterium worden voldaan. De coherentievoorwaarde neemt dan de onderstaande vorm aan, w λ (V.9) r2 - r1 d 12 λ, waaruit d . d a In vergelijking met de enkele spleet is er nu echter wel een verschil. Bij belichting met een puntbron, geplaatst op de optische as van de dubbele spleet, blijft de belichting van de beide spleten t.o.v. elkaar coherent, ook als a groot wordt gemaakt. Er is dan wel aangenomen dat de spleetbreedten b verwaarloosbaar klein zijn.
22
N.B. Een grote spleetafstand a heeft wel consequenties aan de schermzijde: Bij een te grote a (in vergelijking met de bronafstand d) kan er geen dubbelspleet interferentiepatroon zichtbaar worden.
a
r1
θ
ro 1 2
optische as
r2
w
d
Fig. V.8 Effect van eindige bronafmeting bij dubbelspleet interferentie.
V.2.1.
Het effect van de eindige schermafstand
b
θS
x
θ1 optische as
lichtbron w a d
s
scherm
Fig. V.9 Zichtbaar maken van dubbelspleet interferentie.
Om dubbelspleet interferentie te kunnen waarnemen moet elk van de beide spleten, afzonderlijk beschouwt, een redelijke intensiteit op de as hebben. Als weer θ1 de hoek waaronder het eerste minimum te vinden is dan moeten we dus eisen dat a λ (V.10) θ1 - θS > 0, waaruit < . d b Daarmee wordt bereikt dat bij voldoende grote schermafstand s een minimum van het buigingspatroon aan de “andere kant” van de optische as ligt. Dat betekent dus dat ook bij gebruik van een puntbron de bronafstand d niet te klein mag zijn. Maar er moet dus ook een eis worden gesteld aan de afstand s, n.l. a λ (V.11) sθ1 t a waaruit volgt d . s b 23
Fig. V.10 Links: dubbelspleet interferentiepatroon, rechts: afzonderlijk patroon enkele spleten. Parameters: puntlichtbron λ = 600 nm; a = 1.0 mm, b = 0.1 mm d = 100 cm, s = 100 cm
Fig. V.11 Links: dubbelspleet interferentiepatroon, rechts: afzonderlijk patroon enkele spleten. Parameters: puntlichtbron λ = 600 nm; a = 1.0 mm, b = 0.1 mm d = 20 cm, s = 100 cm
V.3
Simulaties bij meerspleten systemen (vgl Fraunhofer vs Fresnel)
Fig. V.1
Bovenste patroon: dubbelspleet patroon met puntlichtbron λ= 600 nm; a = 1.0 mm, b = 0.1 mm; d = 10000 cm, s = 10000 cm. Onderste patroon: vierspleet patroon met puntlichtbron λ= 600 nm; a = 1.0 mm, b = 0.1 mm; d = 10000 cm, s = 10000 cm.
24
Fig. V.12 Vierspleten patronen voor: puntlichtbron λ = 600 nm; a = 1.0 mm, b = 0.1 mm; Bovenste patroon: d = 1000 cm, s = 1000 cm; onderste patroon: d = 10000 cm, s = 10000 cm
25
