2. Denice vlastn limity Podle denice m funkce f, kter je denov na v prstencov m okol bodu a 2 R, v bod a vlastn limitu L zleva (zprava), pr v kdy ke k

INFORMATIKA U it Excelu pi znzorovn limit funkc V CLAV MATY Purky ovo gymnzium, Strnice

Pojem limity pat k zkladnm matematickm pojmm innitezimlnho potu a p irozen odsud plyne snaha znzornit studentm denici a p klady limit funkc 1]. Podle denice je limita funkce reln slo nebo +1 nebo ;1 a pro jej pochopen je velmi dleit sprvn p edstava o pojmu blit se. V p spvku se na podporu t to p edstavy pouv tabulkov procesor Excel, kter pat k zkladnmu programov mu vybaven, je bn vyuovn na kolch a jeho pouvn je tedy km blzk . Bude se jednat o vpoty hodnot funkc a kreslen prbhu funkc, p iem je nkdy t eba hodnoty promnnch mnit ve velk m rozsahu, take je v nkterch p padech vhodn vynet hodnoty na jedn nebo na obou osch grafu v logaritmick m m tku. Vyuit logaritmickch stupnic (mtek) se kdysi vyuovalo 2] a tak dnes je lze v praxi povaovat za iv .

1. Logaritmick mtko

Reln slo x znzornme na seln ose v logaritmick m m tku vynesenm d lky , kterou nazvme sou adnice bodu x a potme ji ze vztahu = log(x) (1) kde log je destkov logaritmus. Koecient se nazv modul logaritmick ho m tka je to vzdlenost mezi sou adnic zvolen ho bodu x0 a souadnic jeho desetinsobku. V logaritmick m m tku se sla ve velk m rozsahu hodnot zobrazuj se stejnou relativn p esnost 3]. 548

Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

2. Denice vlastn limity

Podle denice m funkce f , kter je denovna v prstencov m okol bodu a 2 R , v bod a vlastn limitu L zleva (zprava), prv kdy ke kad mu "{okol bodu L existuje lev (prav ) {okol bodu a tak, e pro vechna x 6= a z lev ho (prav ho) okol bodu a pat funkn hodnoty f (x) do "{okol bodu L. V p pad funkce f : y = tg x , kter je v uebnici pro gymnzia 4]

x

;; ;

uita pro vysvtlen pojmu limita, volme v tabulce na obr. 1 hodnoty x z prav ho okol bodu 0 a postupn stle bli tomuto bodu.

Obr. 1 Funkce tgxx , x ! 0+

Obr. 1 vytvo me v Excelu tak, e v tabulce vyzname vykreslovanou oblast, klepneme na ikonu Prvodce grafem a v nm zadme: Typ grafu XY, ve volb Podtyp grafu p mkov spojen bod grafu vykreslench podle tabulky a ve volb Nzvy zadme nzev grafu a popisy pro volby Osa x a Osa y. Jakmile zadme v prvodci grafem Dokonit, vykresl se nm graf s linernmi m tky na obou osch. Klepneme pravm tlatkem myi na osu x a ve volb Formt osy na zloce M tko zadme logaritmick m tko. Poznamenejme, e podobnm zpsobem je mono zadat logaritmick m tko na obou osch (viz nap . obr. 11), nebo jen na ose y. Bez ohledu na to, e v tabulce hodnoty argumentu x klesaj od prvnho k poslednmu dku, je obr. 1 automaticky vykreslen tak, e hodnoty na ose x rostou zleva doprava, jak je obvykl , kdy chceme znzornit p ibliovn k 0 zprava. Po klepnut na oblast obrzku si taenm za rohy, resp. strany obrzku tento rozmrov upravme a posuneme, jak pot ebujeme. Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

549

Jak z tabulky, tak z grafu obr. 1 vidme, e hodnoty funkce tgxx jsou pro x ! 0+ postupn stle bli hodnot 1. Podle obr. 1 me tak k zskat nzornou p edstavu o tom, jak lze mezi libovoln malou kladnou hodnotu x z prav ho okol bodu 0 a mezi tento bod 0 vloit libovoln mnoho dalch hodnot (nap . nsobenm posledn konen hodnoty nejbli nule slem 0,1).

; ; ; Obr. 2 Funkce tg x , x ! 0+, x ! 0; x

V tabulce a v grafu obr. 2 je ilustrovno p ibliovn hodnot funkce y = tgxx k 1 pro x ! 0;. Hodnoty funkce ve 3. sloupci tabulky jsou vypoteny pro argument z 1. sloupce. Vykreslen grafu podle 1. a 3. sloupce tabulky, chceme-li na ose x vykreslovat v logaritmick m m tku, Excel odmtne s tm, e logaritmus zporn ho argumentu nen denovn. Nm vak jde o ilustraci chovn funkce y = tgxx , pro x ! 0; a netrvme striktn na dodren denice logaritmick ho m tka osy x (tj. nevad, kdy na ose x nebude vyneno v logaritmick m m tku, ale v denovan transformovan m logaritmick m m tku). Ve druh m sloupci tabulky 2 jsou tedy vypoteny absolutn hodnoty jxj argumentu x a graf je zhotoven ve uvedenm zpsobem podle 2. a 3. sloupce tabulky. Aby bylo znzornno, e 0 je vt hodnotou, ne vechny vynen (zporn ) hodnoty, je v zadn Formt osy po volb Logaritmick m tko jet zadna volba Hodnoty v obrcenm po ad. Hodnoty (k!ty) vynesen na ose x meme 550


bu"to po vytitn run oznait znam nkem ;, nebo obrzek p en st ve schrnce z Excelu do Wordu, zvolit ve Wordu v nabdce Kreslen (dole na obrazovce) volbu Textov pole v nm napsat zporn k!ty pro osu x i jej popis a umstit je do grafu. Klikneme-li na rmeek textov ho pole vkldan ho do grafu pravm tlatkem myi, meme ve volb Formt textovho pole zadat barvu vpln (blou) a potlait kreslen rmeku (volba Bez ry v nabdce ra, Barva:). Funkce tgxx je sud, jej hodnoty se hodnot 1 bl v lev m i v prav m okol nuly shora a tabulky i obr. 1 a 2 ilustruj vtu o existenci limity 4] tg x tg x tg x pro n p klad, tj. xlim !0; x = xlim !0+ x = xlim !0 x =x 1. e Podobn lze ukzat, jak se hodnoty funkce y = ;1 pro x ! 0+

; ; x

i x ! 0; bl jedn 3], p iem hodnoty t to funkce se v lev m okol bodu 0 bl k 1 zdola (obr. 3) a v prav m okol shora (obr. 4).

Obr. 3 Funkce y = e

x

;1 , x ! 0;

x

3. Vzd lenost bod na grafu

P i zobrazen limitnho procesu se u vech obrzk p spvku jedn o kreslen graf funkc. Vynen bod tchto graf s konstantnm p rstkem na ose x je v Excelu snadn a grafy nkterch funkc, nap . y = sin x nebo y = cos x jsou takto dob e zobrazeny 5]. U jinch funkc je u takov vynen bod m n vhodn . Nap klad na grafu funkce y = ex se v intervalu vtho rstu funknch hodnot mohou body na k ivce vzdlit tak, Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

551

; ; ;; ; Obr. 4 Funkce y = e

x

;1 , x ! 0+

x

Obr. 5 Funkce ex , konstantn p rstek na ose x

e se tato jev jako lomen ra (obr. 5), nebo na grafu funkce y = tg x meme zanedbat jej prbh v blzk m okol bodu x = 2 (obr. 6). Jednou z monost je pokusit se vynet body grafu tak, aby vzdlenost ne jejich x-ovch sou adnic, ale vzdlenost tchto bod na k ivce byla stejn. V nkterch p padech vystame s jednoduchm p iblinm modelem. Na obr. 7 jsou xi , resp. xi+1 hodnoty nezvisle promnn (p iem prvn hodnotu x1 zadme), f (xi ), resp. f (xi+1 ) jsou pro graf funkce y = f (x) odpovdajc poadovan hodnoty y-ovch sou adnic bod A, C grafu funkce. Vzdlenost dAC , s n chceme postupovat po k ivce, zadme a provedeme odhad p slun ho p rstku x jako %x (tm se dostaneme do bodu C 0 ). P edpokldejme pro jednoduchost linern m tka na obou 552


; ; ; ; Obr. 6 Funkce tg x, konstantn p rstek na ose x

Obr. 7 Odvozen kroku

osch. Podle (1) pak meme pst i = x xi , resp. i = y f (xi ) pro sou adnice xi , resp. yi a podobn pro sou adnice indexovan i +1 (x , resp. y udvaj d lku odpovdajc velikosti jedniky na ose x, resp. na ose y). P edpokldejme podobnost troj&helnk ABC a AB 0 C 0 , take plat

dAC dAC = x (xi+1 ; xi ) x %x xi+1 = xi + %x ddAC AC 0

0


(2) (3) 553

Vzdlenost dAC potme ze vztahu 0

q

dAC = (x %x)2 + y (f (xi + %x) ; f (xi ))]2 : 0

(4)

P edpoklad o podobnosti troj&helnk ABC , AB 0 C 0 je vce i m n dob e splnn v zvislosti na zobrazovan m intervalu konkr tn funkce y = = f (x) a na zvolen m p rstku %x p i zadan hodnot dAC .

; ; ; Obr. 8 Funkce ex , konstantn p rstek na grafu

Na obr. 8 jsou body exponencily vynesen pro sou adnice x vypoten podle vztah (3), (4) do tabulky pro x = 225 cm, y = 034 cm, dAC = = 1 cm, %x = 05 cm, x1 = ;2. V bu'ce D6 tabulky je zadna poten hodnota x1 , do bu'ky D7 je podle vzorc (3) a (4) pro konkr tn zadn f (x) = exp(x) v symbolice Excelu zapsno: =D6+$H$9*$H$8/ODMOCNINA(($H$6*$H$9)^2+($H$7*(EXP(D6+$H$9)-EXP(D6)))^2) a dal bu'ky D8 a D23 jsou vyplnny po vyznaen D6 a taenm za prav doln roh bu'ky stisknutou my. Body o sou adnicch ze sloupc D, E jsou vyneseny v obrzku 8, body o sou adnicch ze sloupc B, C v obrzku 5 (sou adnice x se ve sloupci B zvtuj s pravidelnm p rstkem 0,5). Tak u grafu funkce y = tg x bylo podle vzorc (3), (4) mono doshnout vykreslen bod v p iblin stejnch vzdlenostech na k ivce (a tm 554


i nrst hodnot tg x na t m svisl k ivce v lev m okol bodu =2, viz obr. 9), %x vak bylo nutno zvolit relativn tak mal (x = 31 cm, y = = 017 cm, dAC = 04 cm, %x = 004 cm, x1 = 1), e znzornn limitnho p ibliovn x!lim=2 tg x bylo lep eit jinak (obr. 10).

; ; Obr. 9 Funkce tg x, konstantn p rstek na grafu

Pro rozloen bod na obrzcch 1 a 4 nedal uveden model dobr vsledky. Ke zlepen sice dolo pot , co jsme p edpokldali p rstek %xi promnn bhem vpotu (tj. zadan x1 na zatku vpot a po kad m vpotu xi+1 jet vypotvan %xi+1 = xi+1 ; xi ). Takov postup by byl ale pro programovn vzorc v tabulkch Excelu hodn sloit. V p padech, kdy nejsou zobrazovny rozshl tabulky (a to je u uvedench p klad splnno vdy), vyplv jednodu postup z monosti ubrat, nebo p idvat, resp. posunovat body na k ivce grafu. Kurzor nastavme na poadovan dek tabulky (nap . tab. na obr. 1) a z roletov nabdky Excelu zadme volby Formt, dek, Skrt (pro ubrn bodu v grafu), nebo Vlo it, dek a v tabulce zadme sou adnice x f (x)] (p i p idvn bod grafu). Nastavme-li kurzor na urit vykreslen bod k ivky v obrzku, vype nm program, o kter dek se jedn, a malou zmnou argumentu x v odpovdajcm dku tabulky meme bodem grafu mrn posunovat po k ivce, co v obrzku okamit vidme. Na obr. 1 jsou vyneseny body Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

555

; ;;

Obr. 10 Funkce tg x, x !

2

;

tak, jak byly (zkusmo) zadny v tabulce. V tabulce obr. 2 jsou vytitny sou adnice bod upraven u pro podle prvotnho vzhledu obrzku ve uvedenm zpsobem.

4. Nevlastn limita

Vra,me se k ilustraci limity lim tg x = +1. Na osu x budeme v lox! =2; garitmick m m tku vynet vzdlenost x od hodnoty 2 pro promnnou x z lev ho okol 2 , tj. t = 2 ; x, a na osu y v logaritmick m m tku hodnoty tg x (obr. 10). Poznamenejme, v grafu h e tedy i nejsou vyneny body o sou adnicch x tg x] nebo 2 ; x tg 2 ; x , ale v logaritmickch klch na obou osch jsou vyneseny body t tg x], p iem velikost t zleva doprava kles k nule a hodnota argumentu funkce tg x se tm bl k 2 , tj. p ibliovn x ! 2 { odpovd t ! 0+ a namsto limitnho procesu lim tg x zobrazujeme t! lim0+ tg x. Meme gracky opt ukzat, e mezi x! =2; libovoln zvolenou konenou hodnotu blzkou =2 a hodnotu =2 lze vloit libovoln poet bod (tj. t = =2 ; x lze zvolit a v logaritmick kle zobrazit libovoln mal ) a tak meme zobrazit vcelku libovoln velkou hodnotu tg x, pokud nedojde k p eplnn potae. 556


; ; ;

5. Limity v nevlastnm bod

Obr. 11. Racionln lomen funkce

Na obrzku 11 jsou vykresleny grafy racionlnch lomench funkc 4+1 f : y = 50 000xx3 ; 2x2 + 1 3 2x2 + 1 a g : y = 50 000xx4 ; +1 3 1 h : y = x3 ;102xx2 ++50 000

p iem hodnoty argumentu x i funkn hodnoty jsou vykreslovny v logaritmick m m tku. Vidme, e prbh vech t funkc je pro dosti velik x v bilogaritmick m grafu linern. Pro dostaten velik x toti meme u polynom v itateli i ve jmenovateli racionln lomen funkce zanedbat vechny leny krom tch, kter uruj d polynomu (leny s nejvtm 3 x2 ; 1 exponentem). Pak nap klad pro funkci y = 5x5 +2xx4 + ; 2x + 50 000 m3 eme pst y 52xx5 a log y = ;2 log x + log 52 . Rozdl d polynom Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006 557

v itateli a ve jmenovateli tedy uruje smrnici p mky a pomr koecient u len s nejvymi exponenty uruje posunut t to p mky. Tomu, je-li smrnice p mky kladn, resp. zporn, resp. nulov, odpovd limita p slun racionln lomen funkce, kter je rovna +1, resp. ;1, resp. reln mu slu rovn mu pomru koecient u len s nejvymi exponenty polynomu v itateli a ve jmenovateli.

;

Obr. 12 Funkce f (x) = 1 + 1

x

x

x+1 a g(x) = 1 + x1

V tabulce v grafu obr. 12 vypsny a vykresleny hodnoty funkce a jsou x x+1 1 1 f : y = 1+ x a g : y = 1+ x pro x rostouc k +1. Z tabulky vidme, e ji pro x = 100 000 je hodnota funkce f i hodnota funkce g velmi blzk Eulerovu slu e = 271828 : : : a neli se od tabulkov hodnoty 2,7183 dle 6]. Vimnme si, e funkce f je rostouc a funkce g klesajc. Literatura 1] Votava, M.: Ilustrace denice limity funkce na grackm kalkultoru. MFI ro. 12 (2002/03), . 9, s. 560. 2] Venclek, F. { Navara, F. { Vicovsk, K.: Matematika pro III. Ron k stedn ch prmyslovch a stedn ch zemdlskch technickch kol. Praha, SPN 1965. 3] Rektorys K. a kol.: Pehled uit matematiky. Praha, Prometheus 2003. 4] Hrub, D. { Kubt, J.: Matematika pro gymnzia. Diferenciln a integrln poet. Praha, Prometheus 1997. 5] Hvoreck, J.: Tabulkov kalkultory a grafy. MFI ro.3 (1993/94), . 1, s. 41. 6] Mikulk J. a kol.: Matematick, fyzikln a chemick tabulky pro stedn koly. Praha, SPN 1988.

558


Logika HASHIM HABIBALLA { LIBUE PAVLISKOV { TIBOR KME P rodovdeck fakulta OU, Ostrava { Gymnzium Olgy Havlov, Ostrava-Poruba { Fakulta pr rodnch vied UKF, Nitra

(Dokonen)

3. Vcehodnotov logika

Pro modelovn situac v reln m svt je klasick logika pomrn chud. P es vechny jej p ednosti je zsadnm probl mem p edevm dvouhodnotov logick interpretace. Ji dlouhou dobu existuj formalismy zavdjc nap klad logiku trojhodnotovou, kde t et logick hodnota krom pravda/nepravda je nevm. Rzn pokusy o zobecnn nap klad pomoc pravdpodobnosti byly zastnny v edestch letech 20. stolet tzv. fuzzy matematikou. Fuzzy matematika vychz z principu fuzzy mnoiny, kter narozdl od klasick mnoiny, je bu" obsahuje nebo neobsahuje prvek, me prvek obsahovat na urit m stupni p slunosti. Prvky tedy mohou bt v mnoin bu" zcela nebo vbec, ale tak jen trochu. -ten ji ml monost zskat zkladn informace o fuzzy mnoinch v lnku 7]. Fuzzy logika pak tento princip vyuv tm, e rovn interpretace formule nemus bt jen pravda nebo nepravda, ale me to bt pravda v urit m stupni. I kdy mylenka fuzzy logiky je velmi prost, lehce pochopiteln a tud implementovateln do rznch automatizovanch syst m, je pot eba se p i jejm pouvn dret nkterch vlastnost. I v bn m ivot se mete setkat s aplikacemi fuzzy logiky. Nap klad elektrospot ebie { praky { maj dnes asto na sob npis Fuzzy-logic. Tm se me myslet nap klad schopnost dvkovat automaticky prac prost edky nikoliv v p esn vymezench mantinelech podle vhy prdla (nap . pro 1 kg prdla p idej p esn 10 g pracho prost edku), ale pouze vgnmi pravidly (nap . je-li prdla mlo, p idej pracho prost edku mlo). Termnem fuzzy logika se oznauje schopnost pracovat s neuritou (vgn) informac, ale samoz ejm pojem fuzzy logika ve smyslu matematicko-informatick m je mnohem sloitj. Zkladnm probl mem asto bv iveln pouvn mnoin stup' p slunosti bez ohledu na to, e mus existovat p m souvislost tak s pouvanmi logickmi spojkami. Proto je nezbytn , aby mnoina stup' p slunosti (pravdivosti) formule byla nkterou ze zavedench algeber. Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

559

Mnoinou bv v praktickch aplikacch vtinou interval 0, 1], i kdy teorie fuzzy mnoin a fuzzy logika m teoretick vsledky i pro mnohem sloitj struktury. Tyto algebry maj vdy sv vhody a nevhody podle toho, jak interpretace spojek na intervalu 0, 1] pouijeme. Tyto spojky mus bt jet navzjem v souvislosti tj. pouijeme-li uritou konjunkci p eduruje to ji pouit ostatnch spojek. Nevhodou algeber pak me bt nap klad nespojitost interpretanch funkc spojek, neplatnost nkterch zsadnch logickch pravidel (zkon) tak, jak je znme z klasick logiky. Pravdpodobn nejlepm kompromisem je tzv. L. ukasiewiczova algebra pojmenovan po vznamn m polsk m logikovi. Tato algebra je nsledujc struktura:

LL. = h 0 1] ^ _ ! 0 1i

kde 0, 1] je interval relnch sel mezi 0 a 1, co jsou nejmen a nejvt hodnota (nepravda, pravda). ^ a _ jsou operace inma a suprema (resp. na uveden mnoin je lze ztotonit s minimem a maximem). Denice standardnch a odvozench opertor je nsledujc:

a b = 0 _ (a + b ; 1) a ! b = 1 ^ (1 ; a + b) a b = 1 ^ (a + b) :a = 1 ; a

Na zklad t to algebry bychom pak mohli vytvo it p slunou fuzzy vrokovou nebo prediktovou logiku. Zav st bychom museli krom standardnch logickch spojek konjunkce a disjunkce ^, _ (jejich interpretan funkce by byly toton s operacemi inma a suprema) tak nov L. ukasiewiczovy spojky a to L. ukasiewiczova konjunkce (&) a disjunkce (r). Jejich interpretan funkce jsou operace a . Implikace a negace se p ipout interpretovat pouze na zklad opertor t to algebry.

Pklad 5:

Pomoc fuzzy logik meme lehce vy eit paradoxy, se ktermi si klasick logika neum poradit. Mete se setkat s rznmi formulacemi, ale v zsad jsou vechny toton . Znm je tzv. paradox hromady. Jde o to, e bychom v klasick dvouhodnotov logice chtli namodelovat situaci hromady, ke kter p idvme kameny. Vme, e hromada bez kamen je rozhodn mal. Dle je rozumn p edpoklad, pokud mme malou hromadu kamen, pak hromada s p idanm jednm kamenem bude stle mal. V klasick logice, kde jsou formule pravdiv nebo nepravdiv , by pak kad 560


hromada byla paradoxn mal. Meme toti potenciln nekonenou sekvenc implikac vdy dokzat, e hromada s potem kamen o x vtm je stle mal. Ve fuzzy logice meme dky pravdivosti s uritm stupnm p slunosti namodelovat tuto situaci dvma formulemi (pouijeme predikt malahromada(t), kde t je poet kamen v hromad): 1. malahromada(x) ! malahromada(x +1) { pravdiv ve stupni 0.999 2. malahromada(0) { pravdiv ve stupni 1 Formule 1. nen narozdl od klasick logiky pravdiv zcela a dky tomu nedojde k paradoxn dedukci. Dky omezen pravdivosti bude p i dedukci s kadou aplikac formule 1. p i navyen potu kamen o 1 klesat pravdivost vyvozen ho prediktu malahromada o 0,001. Chtli bychom nap klad ov it stupe' pravdivosti dsledku malahromada(1) z p edpoklad 1. a 2. Plat-li formule 1. na 0,999 a formule 2. na 1, pak meme na zklad denice opertoru ! interpretace (I) implikace a platn ho vztahu: I (malahromada(0)) = 1 sestavit rovnici: 0:999 = 1 ^ (1 ; 1 + I (malahromada(1))) ) I (malahromada(1)) = 0:999 Pro malahromada(2): 0:999 = 1^(1;0:999+I (malahromada(2))) = 0:001+I (malahromada(2)) ) I (malahromada(2)) = 0:998 A tak dle pro zvtujc se poet kamen, a pro malahromada(1000) bychom doli ke stupni pravdivosti 0. Fuzzy logika umo'uje pracovat s neuritou informac a je zobecnnm klasick logiky. Klasick logika je vlastn speciln p pad fuzzy logiky. Stejn jako mnoho jinch zobecnn, p in i fuzzy logika adu probl m, kter klasick logika nem. Nap klad pouvn rezolunho pravidla je zde velmi omezeno, protoe neexistuje univerzln postup p evodu do formy klauzul. Jde o probl m aktuln een nap klad i na Ostravsk Univerzit (viz 1]). -ten s hlubm zjmem se me na poten vzkumy v t to oblasti informovat v elektronicky dostupn m lnku (doporuujeme zejm na p klady). Zajmav jsou tak aplikace teorie fuzzy mnoin a fuzzy logiky, nap klad existuje p stup s vyuitm tzv. lingvistickch promnnch (viz 5]). Tyto promnn mohou msto klasickch selnch hodnot nabvat hodnot blzkch p irozen mu jazyku jako jsou nap klad lingvistick vrazy typu: velmi mal, zhruba st edn atd. Pomoc tchto promnnch pak lze Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

561

modelovat velmi srozumiteln a podobn jako lovk reln situace. Nap klad lze popisovat zen auta, kde dv z pravidel by mohla znt: KDY0 na semaforu svt jen lut svtlo A Z1ROVE2 vzdlenost od k iovatky je mal A Z1ROVE2 rychlost auta je mal PAK selpni brzdu stedn silou KDY0 na semaforu svt jen lut svtlo A Z1ROVE2 vzdlenost od k iovatky je velmi mal A Z1ROVE2 rychlost auta je stedn PAK selpni plyn velkou silou Tato pravidla jsou pak interpretovna pomoc fuzzy logiky a meme dky nim velmi lehce modelovat a zejm na automatizovat postupy z mnoha oblast ivota. Existuj syst my, kter se v praxi skuten pouvaly a pouvaj jako je syst m LFLC (Linguistic Fuzzy Logic Controller) vyvinut rovn na Ostravsk Univerzit. Pomoc nj se modelovaly nap klad technologick procesy v hutch a oproti klasickch prost edkm jsou velkm vylepenm. Lze toti na rozdl od klasickch regulanch technik, kter vyaduj sloitou matematiku jako jsou diferenciln rovnice a se ktermi me pracovat jen velmi &zk skupina odbornk, tyto syst my sv it i pouen mu laikovi. Ten dob e zn nap klad svj technologick proces, kter run obsluhoval dlouhou dobu a je schopen formulovat slovn sv akn zsahy. Ty pak sta naformulovat a odzkouet a mme ve velmi krtk m ase funkn automatizaci dan ho procesu, zaloenou na fuzzy logice.

4. Z vr

Logika, probl m dedukce a jej automatizace se vyskytuje v mnoha oblastech ivota. Je nedlnou soust matematiky a informatiky a proto by se vuka logiky mla odrazit nejen ve vuce matematiky na st ednch kolch, ale prv dky probl mu automatizace dedukce by mla bt alespo' v omezen m rozsahu i soust informatick vuky. Vrokov logika a syst my dedukce pro ni nejsou pro st edokolsk studenty nedostupn , jak jsme se snaili ukzat na teorii i p kladech. S pomoc potaovch program si student navc me mnohem rychleji osvojit principy dokazovn dsledk a to na populrnch p kladech. Logika, a to nejen vcehodnotov, ale i klasick, nen v dn m p pad ustrnul disciplna. Prav opak je pravdou a i jejich teorie se dynamicky vyvj prv v t to dob. Aplikace zaloen na vcehodnotov logice se dostvaj ji do civilnho ivota. V souasn dob je velmi aktuln probl m, jak l pe reprezentovat znalosti na Internetu. V souasnosti zaveden monosti reprezentace a vyhledvn informac jsou spe syntaktick ho cha562


rakteru a postrdaj tedy svj smysl. Takzvan projekt s mantick ho webu m za cl dt jazyk a metody pro dedukci, kter dok dt webovskm strnkm i smysl { logiku. Jeden z nadjnch pokus je zaloen prv na tzv. Deskripn logice, kter je v principu odlehenou verz prediktov logiky. I proto tuto aktulnost a perspektivitu si logika a dedukce zaslou sv msto ve vuce. Literatura 1] Habiballa, H.: Non-clausal resolution theorem proving for fuzzy predicate logic. vzkumn zprva !stavu pro vzkum a aplikace fuzzy modelovn OU . 70, 2005, dostupn na: http://ac030.osu.cz/irafm/ps/rep70.ps.gz 2] Habiballa, H.: Prolog. studijn text, Ostravsk Univerzita, 2004, dostupn na: http://www.volny.cz/habiballa (odkaz Vuka ! PROLOG). 3] Habiballa, H. { Kme , T.: Vy slitelnost a sloitost. MFI 15 (2005 { 06), . 2 a 3. 4] Lukasov, A.: Formln logika v uml inteligenci. Computer Press, Brno, 2003. 5] Novk, V.: Zklady fuzzy modelovn . BEN-technick literatura, Praha, 2000. 6] Pavliskov, L.: Principy dedukce ve vrokov logice { vukov program. diplomov prce, Ostravsk Univerzita, 2003. 7] Talaov, J.: Fuzzy mnoiny { nstroj matematickho modelovn vgnosti. MFI 7 (1997 { 98), . 9 a 10. 8] Voln, E.: Uml inteligence ve vuce informatiky. Sborn k konference ICTE 2001, Ronov pod Radhotm, 2001.

(Dokonen ze s. 576) Profesor Poggendor# v asopise $Poggendor's Analen% komentoval Ohmv omyl poznmkou: $Bylo by douc , aby si autor nalezl volnou chv li a podnikl sv vyeten pomoc termoelektrickho lnku, jeho psoben je mnohem stlej ...% Ohm v roce 1826 tto rady uposlechl a provedl adu men proud ve vodi ch rznch dlek a z rznch kov, pipojench na termolnek m& { vizmut. Teprve po deseti letech jako jeden z prvn ch ocenil p nos Ohmova objevu, vedle E. Lenze v Rusku a J. Henryho

v Americe, prv vlivn berl nsk uenec, len Berl nsk AV a len-korespondent Petrohradsk AV, J. Ch. Poggendor#. On sm se zabval pedev m otzkami elektrickch men (vnitn ho odporu lnk, elektromotorickch sil aj.) a pro tyto 'ely zkonstruoval a zdokonalil rzn elektromagnetick mic p stroje, jejich princip je vyu vn dodnes: kolem roku 1821 to byl jehlov galvanomr (mi proudu) a v roce 1841 vynalezl prvn pouiteln ohmmetr, ale tak sinusovou a tangentovou buzolu, multipliktor aj.


Bohumil Tesa k

563

2. Denice vlastn limity Podle denice m funkce f, kter je denov na v prstencov m okol bodu a 2 R, v bod a vlastn limitu L zleva (zprava), pr v kdy ke k

Recommend Documents