De nice integrálu: Od Newtona k Bendové Jan MALÝ
UK v Praze a UJEP v Ústí nad Labem OSMA, VB-TU Ostrava, 3. listopadu 2015
Jan MALÝ
Od Newtona...
1 / 32
Toto není p°edná²ka o historii matematiky.
Jan MALÝ
Od Newtona...
2 / 32
Toto není p°edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p°ínosu starých ek· (Archimédes) a í¬an·.
Jan MALÝ
Od Newtona...
2 / 32
Toto není p°edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p°ínosu starých ek· (Archimédes) a í¬an·. Zaml£ím zásluhy B.F. Cavalieriho (15981647), P. de Fermata (16011665), J. Wallise (16161703) a dal²ích.
Jan MALÝ
Od Newtona...
2 / 32
Toto není p°edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p°ínosu starých ek· (Archimédes) a í¬an·. Zaml£ím zásluhy B.F. Cavalieriho (15981647), P. de Fermata (16011665), J. Wallise (16161703) a dal²ích. Nedozvíte se, jaké pouºívali zna£ení Sir I. Newton a G. W. von Leibniz, ani jak to vlastn¥ p°esn¥ mysleli.
Jan MALÝ
Od Newtona...
2 / 32
Toto není p°edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p°ínosu starých ek· (Archimédes) a í¬an·. Zaml£ím zásluhy B.F. Cavalieriho (15981647), P. de Fermata (16011665), J. Wallise (16161703) a dal²ích. Nedozvíte se, jaké pouºívali zna£ení Sir I. Newton a G. W. von Leibniz, ani jak to vlastn¥ p°esn¥ mysleli. Podle nich (priorita je nejasná a uº tenkrát byla p°edm¥tem spor·) integrál
Rb a f (x ) dx
(plochu pod grafem funkce) lze po£ítat tak, ºe najdeme
primitivní funkci k
f , tj.
takovou
a spo£ítáme p°ír·stek funkce
Jan MALÝ
F.
F
: (a, b) → R,
Od Newtona...
ºe
F 0 (x ) = f (x ) na (a, b),
2 / 32
Toto není p°edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p°ínosu starých ek· (Archimédes) a í¬an·. Zaml£ím zásluhy B.F. Cavalieriho (15981647), P. de Fermata (16011665), J. Wallise (16161703) a dal²ích. Nedozvíte se, jaké pouºívali zna£ení Sir I. Newton a G. W. von Leibniz, ani jak to vlastn¥ p°esn¥ mysleli. Podle nich (priorita je nejasná a uº tenkrát byla p°edm¥tem spor·) integrál
Rb a f (x ) dx
(plochu pod grafem funkce) lze po£ítat tak, ºe najdeme
primitivní funkci k
f , tj.
takovou
a spo£ítáme p°ír·stek funkce
(N )
Jan MALÝ
Z b
a
F.
F
: (a, b) → R,
ºe
F 0 (x ) = f (x ) na (a, b),
Tj.
f (x ) dx :=
lim
y →b−
F (y ) − x lim F (x ). →a
Od Newtona...
+
2 / 32
Toto není p°edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p°ínosu starých ek· (Archimédes) a í¬an·. Zaml£ím zásluhy B.F. Cavalieriho (15981647), P. de Fermata (16011665), J. Wallise (16161703) a dal²ích. Nedozvíte se, jaké pouºívali zna£ení Sir I. Newton a G. W. von Leibniz, ani jak to vlastn¥ p°esn¥ mysleli. Podle nich (priorita je nejasná a uº tenkrát byla p°edm¥tem spor·) integrál
Rb a f (x ) dx
(plochu pod grafem funkce) lze po£ítat tak, ºe najdeme
primitivní funkci k
f , tj.
takovou
a spo£ítáme p°ír·stek funkce
(N )
Z b
a
F.
F
: (a, b) → R,
ºe
F 0 (x ) = f (x ) na (a, b),
Tj.
f (x ) dx :=
lim
y →b−
F (y ) − x lim F (x ). →a +
Termín Newton·v integrál pro tento p°ír·stek pochází patrn¥ od Jarníka a v zahrani£ní literatu°e se tém¥° nevyskytuje.
Jan MALÝ
Od Newtona...
2 / 32
Toto není p°edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p°ínosu starých ek· (Archimédes) a í¬an·. Zaml£ím zásluhy B.F. Cavalieriho (15981647), P. de Fermata (16011665), J. Wallise (16161703) a dal²ích. Nedozvíte se, jaké pouºívali zna£ení Sir I. Newton a G. W. von Leibniz, ani jak to vlastn¥ p°esn¥ mysleli. Podle nich (priorita je nejasná a uº tenkrát byla p°edm¥tem spor·) integrál
Rb a f (x ) dx
(plochu pod grafem funkce) lze po£ítat tak, ºe najdeme
primitivní funkci k
f , tj.
takovou
a spo£ítáme p°ír·stek funkce
(N )
Z b
a
F.
F
: (a, b) → R,
ºe
F 0 (x ) = f (x ) na (a, b),
Tj.
f (x ) dx :=
lim
y →b−
F (y ) − x lim F (x ). →a +
Termín Newton·v integrál pro tento p°ír·stek pochází patrn¥ od Jarníka a v zahrani£ní literatu°e se tém¥° nevyskytuje. Newton se ur£it¥ nezabýval t°ídou takto integrovatelných funkcí.
Jan MALÝ
Od Newtona...
2 / 32
Toto není p°edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p°ínosu starých ek· (Archimédes) a í¬an·. Zaml£ím zásluhy B.F. Cavalieriho (15981647), P. de Fermata (16011665), J. Wallise (16161703) a dal²ích. Nedozvíte se, jaké pouºívali zna£ení Sir I. Newton a G. W. von Leibniz, ani jak to vlastn¥ p°esn¥ mysleli. Podle nich (priorita je nejasná a uº tenkrát byla p°edm¥tem spor·) integrál
Rb a f (x ) dx
(plochu pod grafem funkce) lze po£ítat tak, ºe najdeme
primitivní funkci k
f , tj.
takovou
a spo£ítáme p°ír·stek funkce
(N )
Z b
a
F.
F
: (a, b) → R,
ºe
F 0 (x ) = f (x ) na (a, b),
Tj.
f (x ) dx :=
lim
y →b−
F (y ) − x lim F (x ). →a +
Termín Newton·v integrál pro tento p°ír·stek pochází patrn¥ od Jarníka a v zahrani£ní literatu°e se tém¥° nevyskytuje. Newton se ur£it¥ nezabýval t°ídou takto integrovatelných funkcí. Nás to samoz°ejm¥ zajímat bude. Jan MALÝ
Od Newtona...
2 / 32
Sir Isaac Newton (16431727) Portrét od Godfreye Knellera (1689)
Jan MALÝ
Od Newtona...
3 / 32
Gottfried Wilhelm von Leibniz (16461716) portrét od Bernharda Christopha Franckeho (cca 1700)
Jan MALÝ
Od Newtona...
4 / 32
P°íklad. Bu¤
F (x ) = |x | a f (x ) =
Potom
f
F 0 (x ), x 6= 0, 0, x = 0.
(
nemá Newton·v integrál p°es
[−1, 1],
protoºe nemá na tomto
intervalu primitivní funkci.
Jan MALÝ
Od Newtona...
5 / 32
P°íklad. Bu¤
F (x ) = |x | a f (x ) =
Potom
f
F 0 (x ), x 6= 0, 0, x = 0.
(
nemá Newton·v integrál p°es
[−1, 1],
protoºe nemá na tomto
intervalu primitivní funkci. Kdyby ji m¥la, bylo by to ur£it¥
x 6= 0, spojitost v nule), ale F
Jan MALÝ
F
(test pro
nemá derivaci v nule.
Od Newtona...
5 / 32
P°íklad. Bu¤
F (x ) = |x | a f (x ) =
Potom
f
F 0 (x ), x 6= 0, 0, x = 0.
(
nemá Newton·v integrál p°es
[−1, 1],
protoºe nemá na tomto
intervalu primitivní funkci. Kdyby ji m¥la, bylo by to ur£it¥
x 6= 0, spojitost v nule), ale F
F
(test pro
nemá derivaci v nule.
V n¥kterých u£ebnicích se zavádí zobecn¥ní, ºe se povoluje výjime£ná kone£ná mnoºina, kde se od
F
nevyºaduje derivace, ale jen spojitost.
Takové zobecn¥ní je ú£elové, um¥lé a ne°e²í podstatu problému.
Jan MALÝ
Od Newtona...
5 / 32
P°íklad. Bu¤
F (x ) = |x | a f (x ) =
Potom
f
F 0 (x ), x 6= 0, 0, x = 0.
(
nemá Newton·v integrál p°es
[−1, 1],
protoºe nemá na tomto
intervalu primitivní funkci. Kdyby ji m¥la, bylo by to ur£it¥
x 6= 0, spojitost v nule), ale F
F
(test pro
nemá derivaci v nule.
V n¥kterých u£ebnicích se zavádí zobecn¥ní, ºe se povoluje výjime£ná kone£ná mnoºina, kde se od
F
nevyºaduje derivace, ale jen spojitost.
Takové zobecn¥ní je ú£elové, um¥lé a ne°e²í podstatu problému. Ale p°ecijen výhoda: má-li
f
integrál p°es dva sousedící intervaly, má i p°es
jejich sjednocení.
Jan MALÝ
Od Newtona...
5 / 32
P°íklad. Nech´
k
je p°irozené £íslo. Bu¤
F (x ) = a
f
x 2 sin x1 , x 6= 0, 0, x = 0.
(
k
= F 0.
Jan MALÝ
Od Newtona...
6 / 32
P°íklad. Nech´
k
je p°irozené £íslo. Bu¤
F (x ) = a
f
= F 0.
Potom
k
je dob°e de novaná, nebo´
F
má derivaci v²ude.
I = [−1, 1]. Potom f je tedy newtonovsky I . Pro k = 1 je funkce f je nespojitá a pro k = 1 je omezená na I , pro k = 2, 3, . . . je neomezená na I .
Uvaºujme
f
f
x 2 sin x1 , x 6= 0, 0, x = 0.
(
na intervalu
integrovatelná p°es
Jan MALÝ
Od Newtona...
6 / 32
P°íklad. Nech´
k
je p°irozené £íslo. Bu¤
F (x ) = a
f
= F 0.
Potom
k
je dob°e de novaná, nebo´
F
má derivaci v²ude.
I = [−1, 1]. Potom f je tedy newtonovsky I . Pro k = 1 je funkce f je nespojitá a pro k = 1 je omezená na I , pro k = 2, 3, . . . je neomezená na I .
Uvaºujme
f
f
x 2 sin x1 , x 6= 0, 0, x = 0.
(
na intervalu
integrovatelná p°es
Nyní se bude zabývat Riemannovým p°ístupem k de nici integrálu.
Jan MALÝ
Od Newtona...
6 / 32
Nech´
[a, b]
je uzav°ený omezený interval. Mnoºinu
nazveme (oby£ejným) d¥lením intervalu
a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xm = b tak, ºe
[a , b ],
D
podinterval·
[a , b ]
jestliºe existují
D = {[xi −1 , xi ] : i = 1, . . . , m}.
Jan MALÝ
Od Newtona...
7 / 32
Nech´
[a, b]
je uzav°ený omezený interval. Mnoºinu
nazveme (oby£ejným) d¥lením intervalu
a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xm = b tak, ºe
[a , b ],
D
podinterval·
[a , b ]
jestliºe existují
D = {[xi −1 , xi ] : i = 1, . . . , m}. Mnoºinu
D
uspo°ádaných dvojic (interval, bod) nazveme riemannovským
d¥lením intervalu [a, b ], jestliºe existují a = x0 ≤ ξ1 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xm−1 ≤ ξm ≤ xm = b tak, ºe
D = {([xi −1 , xi ], ξi ) : i = 1, . . . , m}. Nech´
δ > 0. ekneme, ºe riemannovské i = 1, . . . , m je xi − xi −1 < δ.
d¥lení
D
je
δ -jemné,
(1) jestliºe pro
v²echna
Jan MALÝ
Od Newtona...
7 / 32
Nech´
[a, b]
je uzav°ený omezený interval. Mnoºinu
nazveme (oby£ejným) d¥lením intervalu
a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xm = b tak, ºe
[a , b ],
D
podinterval·
[a , b ]
jestliºe existují
D = {[xi −1 , xi ] : i = 1, . . . , m}. Mnoºinu
D
uspo°ádaných dvojic (interval, bod) nazveme riemannovským
d¥lením intervalu [a, b ], jestliºe existují a = x0 ≤ ξ1 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xm−1 ≤ ξm ≤ xm = b tak, ºe
D = {([xi −1 , xi ], ξi ) : i = 1, . . . , m}.
(1)
δ > 0. ekneme, ºe riemannovské d¥lení D je δ -jemné, jestliºe pro i = 1, . . . , m je xi − xi −1 < δ. Uvaºujme funkci f : [a, b ] → R a riemannovské d¥lení D intervalu [a, b ], viz
Nech´
v²echna
(1). Potom riemannovský sou£et
R (f , D ) = Jan MALÝ
f
p°es
m X i =1
D
je £íslo
f (ξi )(xi − xi −1 ).
Od Newtona...
7 / 32
I nazveme Riemannovým integrálem funkce f ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tak, ºe pro kaºdé δ -jemné d¥lení D íslo
[a, b], jestliºe intervalu [a, b ] je
p°es
|I − R (f , D )| < ε. Takové £íslo
I
je nejvý²e jedno. Zna£íme
(R )
Jan MALÝ
Z b
a
f (x ) dx .
Od Newtona...
8 / 32
I nazveme Riemannovým integrálem funkce f ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tak, ºe pro kaºdé δ -jemné d¥lení D íslo
[a, b], jestliºe intervalu [a, b ] je
p°es
|I − R (f , D )| < ε. Takové £íslo
I
je nejvý²e jedno. Zna£íme
(R )
Z b
a
f (x ) dx .
A.L. Cauchy dokázal, ºe kaºdá spojitá funkce
f
na uzav°eném omezeném
intervalu má Riemann·v integrál.
Jan MALÝ
Od Newtona...
8 / 32
I nazveme Riemannovým integrálem funkce f ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tak, ºe pro kaºdé δ -jemné d¥lení D íslo
[a, b], jestliºe intervalu [a, b ] je
p°es
|I − R (f , D )| < ε. Takové £íslo
I
je nejvý²e jedno. Zna£íme
(R )
Z b
a
f (x ) dx .
A.L. Cauchy dokázal, ºe kaºdá spojitá funkce
f
na uzav°eném omezeném
intervalu má Riemann·v integrál. Aº na to, ºe tehdy to je²t¥ nebyl Riemann·v integrál. B. Riemann p°i²el se svou de nicí pozd¥ji. Jeho zásluha je hlavn¥ v tom, ºe nep°edpokládal spojitost, ale zavedl t°ídu integrovatelných funkcí, pro které jeho de nice dává výsledek.
Jan MALÝ
Od Newtona...
8 / 32
Augustin Louis Cauchy (17891857)
Jan MALÝ
Od Newtona...
9 / 32
Georg Friedrich Bernhard Riemann (18261866)
Jan MALÝ
Od Newtona...
10 / 32
V u£ebnicích se obvykle zavádí horní a dolní Riemannovské sou£ty pro
oby£ejná d¥lení, horní a dolní Riemann·v integrál a Riemann·v integrál se de nuje pro funkce, na nichº horní a dolní integrál dává stejnou hodnotu. Tento p°ístup pochází ale od J.-G. Darbouxe. Pro£ se tomu °íká Riemann·v integrál?
Jan MALÝ
Od Newtona...
11 / 32
V u£ebnicích se obvykle zavádí horní a dolní Riemannovské sou£ty pro
oby£ejná d¥lení, horní a dolní Riemann·v integrál a Riemann·v integrál se de nuje pro funkce, na nichº horní a dolní integrál dává stejnou hodnotu. Tento p°ístup pochází ale od J.-G. Darbouxe. Pro£ se tomu °íká Riemann·v integrál? Riemann byl d°ív, a proto se mu p°ipisuje v¥t²í zásluha.
Jan MALÝ
Od Newtona...
11 / 32
V u£ebnicích se obvykle zavádí horní a dolní Riemannovské sou£ty pro
oby£ejná d¥lení, horní a dolní Riemann·v integrál a Riemann·v integrál se de nuje pro funkce, na nichº horní a dolní integrál dává stejnou hodnotu. Tento p°ístup pochází ale od J.-G. Darbouxe. Pro£ se tomu °íká Riemann·v integrál? Riemann byl d°ív, a proto se mu p°ipisuje v¥t²í zásluha. Oba p°ístupy dávají stejnou t°ídu integrovatelných funkcí.
Jan MALÝ
Od Newtona...
11 / 32
V u£ebnicích se obvykle zavádí horní a dolní Riemannovské sou£ty pro
oby£ejná d¥lení, horní a dolní Riemann·v integrál a Riemann·v integrál se de nuje pro funkce, na nichº horní a dolní integrál dává stejnou hodnotu. Tento p°ístup pochází ale od J.-G. Darbouxe. Pro£ se tomu °íká Riemann·v integrál? Riemann byl d°ív, a proto se mu p°ipisuje v¥t²í zásluha. Oba p°ístupy dávají stejnou t°ídu integrovatelných funkcí. Darbouxova de nice Riemannova integrálu se pokládá za lep²í z metodického hlediska.
Jan MALÝ
Od Newtona...
11 / 32
Jean-Gaston Darboux (18421917)
Jan MALÝ
Od Newtona...
12 / 32
Riemannovská de nice integruje i n¥které nespojité funkce, nap°. funkce po £ástech spojité. Existují ale jednoduché integrály, které Riemannova de nice nezvládne, nap°.
Z Z
1 1
0
Jan MALÝ
∞
x −2 dx =
x −1/2 dx =
h 1 i∞ = 1, −
x
1
√ 1 2
Od Newtona...
x
0
= 2.
13 / 32
Riemannovská de nice integruje i n¥které nespojité funkce, nap°. funkce po £ástech spojité. Existují ale jednoduché integrály, které Riemannova de nice nezvládne, nap°.
Z Z
∞
1 1
0
x −2 dx =
x −1/2 dx =
h 1 i∞ = 1, −
x
1
√ 1 2
x
0
= 2.
Tomu se n¥kte°í auto°i u£ebnic snaºí odpomoci um¥lými úpravami, nap°íklad zavád¥jí zobecn¥ný Riemann·v integrál jako limitu Riemannových integrál· p°es podintervaly.
Jan MALÝ
Od Newtona...
13 / 32
Riemannovská de nice integruje i n¥které nespojité funkce, nap°. funkce po £ástech spojité. Existují ale jednoduché integrály, které Riemannova de nice nezvládne, nap°.
Z Z
∞
1 1
0
x −2 dx =
x −1/2 dx =
h 1 i∞ = 1, −
x
1
√ 1 2
x
0
= 2.
Tomu se n¥kte°í auto°i u£ebnic snaºí odpomoci um¥lými úpravami, nap°íklad zavád¥jí zobecn¥ný Riemann·v integrál jako limitu Riemannových integrál· p°es podintervaly. Takové de nice jsou ale um¥lé a neodstraní
princip pro£ riemannovská de nice selhává.
Jan MALÝ
Od Newtona...
13 / 32
Riemannovská de nice integruje i n¥které nespojité funkce, nap°. funkce po £ástech spojité. Existují ale jednoduché integrály, které Riemannova de nice nezvládne, nap°.
Z Z
∞
1 1
0
x −2 dx =
x −1/2 dx =
h 1 i∞ = 1, −
x
1
√ 1 2
x
0
= 2.
Tomu se n¥kte°í auto°i u£ebnic snaºí odpomoci um¥lými úpravami, nap°íklad zavád¥jí zobecn¥ný Riemann·v integrál jako limitu Riemannových integrál· p°es podintervaly. Takové de nice jsou ale um¥lé a neodstraní
princip pro£ riemannovská de nice selhává.
zobecn¥ný Riemann·v integrál p°es
[−1, 0]
Funkce
|x |−1/2
má
a p°es [0, 1], ale uº ne p°es
[−1, 1].
Jan MALÝ
Od Newtona...
13 / 32
Ale co h·°. Riemannova de nice selhává i na omezených funkcích na omezeném intervalu.
Jan MALÝ
Od Newtona...
14 / 32
Ale co h·°. Riemannova de nice selhává i na omezených funkcích na omezeném intervalu. Uvaºujme Dirichletovu funkci
x) =
dir(
(
1, 0,
x x
racionální, iracionální,
Potom funkce dir není Riemannovsky integrovatelná p°es [0, 1].
Jan MALÝ
Od Newtona...
14 / 32
Ale co h·°. Riemannova de nice selhává i na omezených funkcích na omezeném intervalu. Uvaºujme Dirichletovu funkci
x) =
(
1,
dir(
0,
x x
racionální, iracionální,
Potom funkce dir není Riemannovsky integrovatelná p°es [0, 1]. Uspo°ádejme v²echna racionální £ísla do posloupnosti
fn (x ) = Potom funkce
(
1, 0,
{qn }n
a poloºme
x ∈ {q1 , . . . , qn }, jinak.
fn jsou riemannovsky integrovatelné a lim f = dir, n→∞ n
takºe limita riemannovsky integrovatelných funkcí není riemannovsky integrovatelná (p°es [0, 1]), a£koli má horní i dolní integrál kone£ný. Jan MALÝ
Od Newtona...
14 / 32
Ale co h·°. Existuje derivace, která není Riemannovsky integrovatelná. (takºe newtonovsky ano, riemannovsky ne). Víme, ºe existuje derivace na
[−1, 1],
která je neomezená u nuly, ta nem·ºe být Riemannovsky
integrovatelná p°es
Jan MALÝ
[−1, 1].
Od Newtona...
15 / 32
Ale co h·°. Existuje omezená derivace, která není Riemannovsky integrovatelná. Konstrukce takové funkce je t¥ºká. Ukaºme si nejprve stavební kámen. Uvaºujeme interval
(a , b )
Fa,b (x ) = (x − a)2 (b − x )2 sin Potom
F a ,b
má omezenou derivaci na
jednostranné limity v
a+ ani v b− .
a funkci 1
(x − a)(b − x )(b − a)
(a , b ),
.
ale tato derivace nemá
Nyní uvaºujeme posloupnost
navzájem disjunktních interval· tak, ºe jsou husté v
(0, 1),
{(aj , bj )}j
ale jejich sou£et
délek je men²í neº 1. Poloºme
F (x ) = Potom
F
Fa ,b (x ), x ∈ (aj , bj ),
(
j
j
0,
jinak.
má v²ude derivaci ale ta není Riemannovsky integrovatelná.
Jan MALÝ
Od Newtona...
16 / 32
Shrnutí (a dal²í moudra). Riemannova i Newtonova de nice se hodí k integrování spojitých funkcí na omezeném uzav°eném intervalu, dále kaºdá k integrování n¥kterých nespojitých funkcí.
Jan MALÝ
Od Newtona...
17 / 32
Shrnutí (a dal²í moudra). Riemannova i Newtonova de nice se hodí k integrování spojitých funkcí na omezeném uzav°eném intervalu, dále kaºdá k integrování n¥kterých nespojitých funkcí. Na svou dobu geniální. Ale jejich výkon co se tý£e integrování nespojitých funkcí je velmi neuspokojivý, nap°. Dirichletovu funkci nezintegruje ºádná z nich.
Jan MALÝ
Od Newtona...
17 / 32
Shrnutí (a dal²í moudra). Riemannova i Newtonova de nice se hodí k integrování spojitých funkcí na omezeném uzav°eném intervalu, dále kaºdá k integrování n¥kterých nespojitých funkcí. Na svou dobu geniální. Ale jejich výkon co se tý£e integrování nespojitých funkcí je velmi neuspokojivý, nap°. Dirichletovu funkci nezintegruje ºádná z nich. Výhodou Riemannova p°ístupu je, ºe v p°esných termínech popisuje jak intuitivn¥ vnímáme zadání: obsah plochy pod grafem funkce. Je pouºitelná pro
numerickou integraci.
Jan MALÝ
Od Newtona...
17 / 32
Shrnutí (a dal²í moudra). Riemannova i Newtonova de nice se hodí k integrování spojitých funkcí na omezeném uzav°eném intervalu, dále kaºdá k integrování n¥kterých nespojitých funkcí. Na svou dobu geniální. Ale jejich výkon co se tý£e integrování nespojitých funkcí je velmi neuspokojivý, nap°. Dirichletovu funkci nezintegruje ºádná z nich. Výhodou Riemannova p°ístupu je, ºe v p°esných termínech popisuje jak intuitivn¥ vnímáme zadání: obsah plochy pod grafem funkce. Je pouºitelná pro
numerickou integraci.
Výhodou Newtonova p°ístupu je, ºe popisuje, jak se integrál opravdu po£ítá v kalkulu.
Jan MALÝ
Od Newtona...
17 / 32
Shrnutí (a dal²í moudra). Riemannova i Newtonova de nice se hodí k integrování spojitých funkcí na omezeném uzav°eném intervalu, dále kaºdá k integrování n¥kterých nespojitých funkcí. Na svou dobu geniální. Ale jejich výkon co se tý£e integrování nespojitých funkcí je velmi neuspokojivý, nap°. Dirichletovu funkci nezintegruje ºádná z nich. Výhodou Riemannova p°ístupu je, ºe v p°esných termínech popisuje jak intuitivn¥ vnímáme zadání: obsah plochy pod grafem funkce. Je pouºitelná pro
numerickou integraci.
Výhodou Newtonova p°ístupu je, ºe popisuje, jak se integrál opravdu po£ítá v kalkulu.. . . tedy pokud umíme najít primitivní funkci.
Jan MALÝ
Od Newtona...
17 / 32
Shrnutí (a dal²í moudra). Riemannova i Newtonova de nice se hodí k integrování spojitých funkcí na omezeném uzav°eném intervalu, dále kaºdá k integrování n¥kterých nespojitých funkcí. Na svou dobu geniální. Ale jejich výkon co se tý£e integrování nespojitých funkcí je velmi neuspokojivý, nap°. Dirichletovu funkci nezintegruje ºádná z nich. Výhodou Riemannova p°ístupu je, ºe v p°esných termínech popisuje jak intuitivn¥ vnímáme zadání: obsah plochy pod grafem funkce. Je pouºitelná pro
numerickou integraci.
Výhodou Newtonova p°ístupu je, ºe popisuje, jak se integrál opravdu po£ítá v kalkulu.. . . tedy pokud umíme najít primitivní funkci. Pokud n¥která funkce má integrál podle obou de nic, pak vyjde podle obou stejn¥. Tzv. Základní v¥ta kalkulu: Je-li integrovatelná na
[a, b],
Riemannovsky
pak
(R )
Jan MALÝ
F0 = f , f
Z b
a
f (x ) dx = F (b) − F (a). Od Newtona...
17 / 32
Riemannova de nice integrálu po£ítá s délkou intervalu. H. Lebesgue vymyslel metodu jak m¥°it obecné podmnoºiny p°ímky (dokonce i vícerozm¥rného prostoru). Máme tedy k dispozici systém podmnoºin
R
a na n¥m Lebesgueovu míru
Jan MALÝ
Od Newtona...
M
m¥°itelných
λ.
18 / 32
Riemannova de nice integrálu po£ítá s délkou intervalu. H. Lebesgue vymyslel metodu jak m¥°it obecné podmnoºiny p°ímky (dokonce i vícerozm¥rného prostoru). Máme tedy k dispozici systém podmnoºin
R
a na n¥m Lebesgueovu míru
pro v²echna
Jan MALÝ
λ.
M
m¥°itelných
Zmi¬me d·leºité vlastnosti:
a < b ∈ R, [a, b] ∈ M a λ([a, b]) = b − a,
Od Newtona...
18 / 32
Riemannova de nice integrálu po£ítá s délkou intervalu. H. Lebesgue vymyslel metodu jak m¥°it obecné podmnoºiny p°ímky (dokonce i vícerozm¥rného prostoru). Máme tedy k dispozici systém podmnoºin
R
a na n¥m Lebesgueovu míru
λ.
M
m¥°itelných
Zmi¬me d·leºité vlastnosti:
a < b ∈ R, [a, b] ∈ M a λ([a, b]) = b − a, S Aj ∈ M, Aj po dvou disjunktní =⇒ ∞ j =1 Aj ∈ M a
pro v²echna
∞ ∞ [ X λ Aj = λ(Aj ). j =1 j =1
Jan MALÝ
Od Newtona...
18 / 32
Riemannova de nice integrálu po£ítá s délkou intervalu. H. Lebesgue vymyslel metodu jak m¥°it obecné podmnoºiny p°ímky (dokonce i vícerozm¥rného prostoru). Máme tedy k dispozici systém podmnoºin
R
a na n¥m Lebesgueovu míru
λ.
M
m¥°itelných
Zmi¬me d·leºité vlastnosti:
a < b ∈ R, [a, b] ∈ M a λ([a, b]) = b − a, S Aj ∈ M, Aj po dvou disjunktní =⇒ ∞ j =1 Aj ∈ M a
pro v²echna
∞ ∞ [ X λ Aj = λ(Aj ). j =1 j =1 Nech´
M ∈ M. ekneme, ºe funkce f : M → R je m¥°itelná, jestliºe pro c ∈ R je {x : f (x ) > c } ∈ M.
v²echna
Jan MALÝ
Od Newtona...
18 / 32
Riemannova de nice integrálu po£ítá s délkou intervalu. H. Lebesgue vymyslel metodu jak m¥°it obecné podmnoºiny p°ímky (dokonce i vícerozm¥rného prostoru). Máme tedy k dispozici systém podmnoºin
R
a na n¥m Lebesgueovu míru
λ.
M
m¥°itelných
Zmi¬me d·leºité vlastnosti:
a < b ∈ R, [a, b] ∈ M a λ([a, b]) = b − a, S Aj ∈ M, Aj po dvou disjunktní =⇒ ∞ j =1 Aj ∈ M a
pro v²echna
∞ ∞ [ X λ Aj = λ(Aj ). j =1 j =1
M ∈ M. ekneme, ºe funkce f : M → R je m¥°itelná, jestliºe pro c ∈ R je {x : f (x ) > c } ∈ M. Lebesgueovské d¥lení D m¥°itelné mnoºiny M je kone£ný systém {Aj }j navzájem disjunktních m¥°itelných podmnoºin M . Oproti riemannovskému d¥lení, Aj nemusí být intervaly. Nech´
v²echna
Jan MALÝ
Od Newtona...
18 / 32
Nech´
M ⊂ R je m¥°itelná mnoºina a f : M → R je nezáporná m¥°itelná D = {A1 , . . . , Am } je Lebesgueovské d¥lení M , p°i°a¤me
funkce. Nech´ dolní sou£et
L(f , D ) =
Jan MALÝ
m X j =1
λ(Aj ) inf f . Aj
Od Newtona...
19 / 32
Nech´
M ⊂ R je m¥°itelná mnoºina a f : M → R je nezáporná m¥°itelná D = {A1 , . . . , Am } je Lebesgueovské d¥lení M , p°i°a¤me
funkce. Nech´ dolní sou£et
L(f , D ) = Lebesgue·v integrál funkce
f
m X j =1
λ(Aj ) inf f . Aj
de nujeme jako supremum v²ech
(lebesgueovských) dolních sou£t·. M·ºe vyjít i
Jan MALÝ
Od Newtona...
+∞.
19 / 32
Nech´
M ⊂ R je m¥°itelná mnoºina a f : M → R je nezáporná m¥°itelná D = {A1 , . . . , Am } je Lebesgueovské d¥lení M , p°i°a¤me
funkce. Nech´ dolní sou£et
L(f , D ) = Lebesgue·v integrál funkce
f
m X j =1
λ(Aj ) inf f . Aj
de nujeme jako supremum v²ech
(lebesgueovských) dolních sou£t·. M·ºe vyjít i
+∞.
Pro funkce st°ídající znaménko de nujeme Lebesgue·v integrál tak, aby integrál rozdílu byl rozdíl integrál·, pomocí rozkladu funkce na kladnou a zápornou £ást. Pokud to vede k neur£itému výrazu
∞ − ∞,
z·stává
Lebesgue·v integrál nede nován.
Jan MALÝ
Od Newtona...
19 / 32
Henri Léon Lebesgue (18751941) Jan MALÝ
Od Newtona...
20 / 32
Výhody Lebesgueova integrálu:
Jan MALÝ
Od Newtona...
21 / 32
Výhody Lebesgueova integrálu: iroká t°ída integrovatelných funkcí. Zahrnuje Riemann·v integrál. Integruje v²echny rozumné nezáporné funkce.
Jan MALÝ
Od Newtona...
21 / 32
Výhody Lebesgueova integrálu: iroká t°ída integrovatelných funkcí. Zahrnuje Riemann·v integrál. Integruje v²echny rozumné nezáporné funkce. Za p°ijatelných podmínek je limita posloupnosti integrovatelných funkcí integrovatelná a integrál limity je limita integrál·.
Jan MALÝ
Od Newtona...
21 / 32
Výhody Lebesgueova integrálu: iroká t°ída integrovatelných funkcí. Zahrnuje Riemann·v integrál. Integruje v²echny rozumné nezáporné funkce. Za p°ijatelných podmínek je limita posloupnosti integrovatelných funkcí integrovatelná a integrál limity je limita integrál·. My²lenku lze pouºít na obecn¥j²í neº jednorozm¥rné integrace (vícerozm¥rné, k°ivkové, plo²né, pravd¥podobnostní,. . . ).
Jan MALÝ
Od Newtona...
21 / 32
Výhody Lebesgueova integrálu: iroká t°ída integrovatelných funkcí. Zahrnuje Riemann·v integrál. Integruje v²echny rozumné nezáporné funkce. Za p°ijatelných podmínek je limita posloupnosti integrovatelných funkcí integrovatelná a integrál limity je limita integrál·. My²lenku lze pouºít na obecn¥j²í neº jednorozm¥rné integrace (vícerozm¥rné, k°ivkové, plo²né, pravd¥podobnostní,. . . ). Je naprosto profesionální. V odborné matematické literatu°e, pokud není výslovn¥ °e£eno jinak, integrál=Lebesgue·v integrál.
Jan MALÝ
Od Newtona...
21 / 32
Výhody Lebesgueova integrálu: iroká t°ída integrovatelných funkcí. Zahrnuje Riemann·v integrál. Integruje v²echny rozumné nezáporné funkce. Za p°ijatelných podmínek je limita posloupnosti integrovatelných funkcí integrovatelná a integrál limity je limita integrál·. My²lenku lze pouºít na obecn¥j²í neº jednorozm¥rné integrace (vícerozm¥rné, k°ivkové, plo²né, pravd¥podobnostní,. . . ). Je naprosto profesionální. V odborné matematické literatu°e, pokud není výslovn¥ °e£eno jinak, integrál=Lebesgue·v integrál.
Jan MALÝ
Od Newtona...
21 / 32
Nevýhody Lebesgueova integrálu:
Jan MALÝ
Od Newtona...
22 / 32
Nevýhody Lebesgueova integrálu: Pokládá se za nepochopitelný pro studenty. Nedává se do u£ebních plán· kalkulu. Démonizuje se.
Jan MALÝ
Od Newtona...
22 / 32
Nevýhody Lebesgueova integrálu: Pokládá se za nepochopitelný pro studenty. Nedává se do u£ebních plán· kalkulu. Démonizuje se. Nezahrnuje tzv. neabsolutn¥ konvergentní integrály. Neintegruje v²echny derivace.
Jan MALÝ
Od Newtona...
22 / 32
Nevýhody Lebesgueova integrálu: Pokládá se za nepochopitelný pro studenty. Nedává se do u£ebních plán· kalkulu. Démonizuje se. Nezahrnuje tzv. neabsolutn¥ konvergentní integrály. Neintegruje v²echny derivace. P°íklady. Integrály
Z
1
1
1
dx , x2 ∞ sin x dx x 0
0 x Z
sin
mají smysl jako Newtonovy, ale ne jako Lebesgueovy.
Jan MALÝ
Od Newtona...
22 / 32
Problém. Nedal by se vymyslet integrál, který by zahrnul Lebesgue·v i Newton·v? Ve st°edu zájmu p°ed sto lety.
Jan MALÝ
Od Newtona...
23 / 32
Problém. Nedal by se vymyslet integrál, který by zahrnul Lebesgue·v i Newton·v? Ve st°edu zájmu p°ed sto lety. e²ení. A. Denjoy (18841974) [2]. De nice velmi sloºitá. Jiné (téº sloºité) de nice, dávající stejnou t°ídu integrovatelných funkcí: N. N. Luzin (18831950) [6], O. Perron (18801975) [7] ... viz pojednání v Jarníkov¥ knize.
Jan MALÝ
Od Newtona...
23 / 32
Problém. Nedal by se vymyslet integrál, který by zahrnul Lebesgue·v i Newton·v? Ve st°edu zájmu p°ed sto lety. e²ení. A. Denjoy (18841974) [2]. De nice velmi sloºitá. Jiné (téº sloºité) de nice, dávající stejnou t°ídu integrovatelných funkcí: N. N. Luzin (18831950) [6], O. Perron (18801975) [7] ... viz pojednání v Jarníkov¥ knize. Ve skute£nosti n¥které z t¥chto de nic fungují na je²t¥ ²ir²í t°idu integrovatelných funkcí, neº máme na mysli . . .
Jan MALÝ
Od Newtona...
23 / 32
Arnaud Denjoy (18841974)
Jan MALÝ
Od Newtona...
24 / 32
Objev padesátých let: k DenjoyPerronov¥ integrálu lze dojít malou modi kací p·vodní Riemannovy de nice! Nezávisle J. Kurzweil, [4] a R. Henstock, [3].
Jan MALÝ
Od Newtona...
25 / 32
Objev padesátých let: k DenjoyPerronov¥ integrálu lze dojít malou modi kací p·vodní Riemannovy de nice! Nezávisle J. Kurzweil, [4] a R. Henstock, [3]. Nech´
δ : [a, b] → (0, ∞) je funkce (tzv. m¥rka). ekneme, ºe D : a = x0 ≤ ξ1 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xm−1 ≤ ξm ≤ xm = b
Riemannovské d¥lení je
δ -jemné,
jestliºe
xi − xi −1 ≤ δ(ξi ),
Jan MALÝ
Od Newtona...
i = 1, . . . , m .
25 / 32
Objev padesátých let: k DenjoyPerronov¥ integrálu lze dojít malou modi kací p·vodní Riemannovy de nice! Nezávisle J. Kurzweil, [4] a R. Henstock, [3]. Nech´
δ : [a, b] → (0, ∞) je funkce (tzv. m¥rka). ekneme, ºe D : a = x0 ≤ ξ1 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xm−1 ≤ ξm ≤ xm = b
Riemannovské d¥lení je
δ -jemné,
jestliºe
xi − xi −1 ≤ δ(ξi ), íslo
I
i = 1, . . . , m .
f p°es [a, b], m¥rka δ tak, ºe pro kaºdé δ-jemné d¥lení D
nazveme (Henstock-)Kurzweilovým integrálem funkce
∀ ε > 0 existuje intervalu [a, b ] je jestliºe
Jan MALÝ
|I − R (f , D )| < ε.
Od Newtona...
25 / 32
Objev padesátých let: k DenjoyPerronov¥ integrálu lze dojít malou modi kací p·vodní Riemannovy de nice! Nezávisle J. Kurzweil, [4] a R. Henstock, [3]. Nech´
δ : [a, b] → (0, ∞) je funkce (tzv. m¥rka). ekneme, ºe D : a = x0 ≤ ξ1 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xm−1 ≤ ξm ≤ xm = b
Riemannovské d¥lení je
δ -jemné,
jestliºe
xi − xi −1 ≤ δ(ξi ), íslo
I
i = 1, . . . , m .
f p°es [a, b], m¥rka δ tak, ºe pro kaºdé δ-jemné d¥lení D
nazveme (Henstock-)Kurzweilovým integrálem funkce
∀ ε > 0 existuje intervalu [a, b ] je jestliºe
Takové £íslo
I
|I − R (f , D )| < ε.
je nejvý²e jedno. Zna£íme
(HK )
Jan MALÝ
Z b
a
f (x ) dx .
Od Newtona...
25 / 32
Objev padesátých let: k DenjoyPerronov¥ integrálu lze dojít malou modi kací p·vodní Riemannovy de nice! Nezávisle J. Kurzweil, [4] a R. Henstock, [3]. Nech´
δ : [a, b] → (0, ∞) je funkce (tzv. m¥rka). ekneme, ºe D : a = x0 ≤ ξ1 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xm−1 ≤ ξm ≤ xm = b
Riemannovské d¥lení je
δ -jemné,
jestliºe
xi − xi −1 ≤ δ(ξi ), íslo
I
i = 1, . . . , m .
f p°es [a, b], m¥rka δ tak, ºe pro kaºdé δ-jemné d¥lení D
nazveme (Henstock-)Kurzweilovým integrálem funkce
∀ ε > 0 existuje intervalu [a, b ] je jestliºe
Takové £íslo
I
|I − R (f , D )| < ε.
je nejvý²e jedno. Zna£íme
(HK )
Z b
a
f (x ) dx .
Jediný rozdíl proti Riemannov¥ de nici: Jan MALÝ
δ
není konstanta.
Od Newtona...
25 / 32
Ralph Henstock (19232007)
Jan MALÝ
Od Newtona...
26 / 32
Jaroslav Kurzweil (*1926)
Jan MALÝ
Od Newtona...
27 / 32
Kurzweil·v integrál je
P∞ n1 n=1 (−1) n
neabsolutn¥ konvergentní, podobn¥ jako °ada
je neabsolutn¥ konvergentní.
Jan MALÝ
Od Newtona...
28 / 32
Kurzweil·v integrál je
P∞ n1 n=1 (−1) n
neabsolutn¥ konvergentní, podobn¥ jako °ada
je neabsolutn¥ konvergentní.
Nevýhody neabsolutn¥ konvergentní integrace: pot°ebuje bohatou strukturu (nap°. bere v úvahu uspo°ádání reálných £ísel, podobn¥ jako neabsolutn¥ konvergentní °ady berou v úvahu uspo°ádání p°irozených £ísel).
Jan MALÝ
Od Newtona...
28 / 32
Kurzweil·v integrál je
P∞ n1 n=1 (−1) n
neabsolutn¥ konvergentní, podobn¥ jako °ada
je neabsolutn¥ konvergentní.
Nevýhody neabsolutn¥ konvergentní integrace: pot°ebuje bohatou strukturu (nap°. bere v úvahu uspo°ádání reálných £ísel, podobn¥ jako neabsolutn¥ konvergentní °ady berou v úvahu uspo°ádání p°irozených £ísel). lo by nahradit Riemann·v integrál Kurzweilovým ve výuce kalkulu?
Jan MALÝ
Od Newtona...
28 / 32
Kurzweil·v integrál je
P∞ n1 n=1 (−1) n
neabsolutn¥ konvergentní, podobn¥ jako °ada
je neabsolutn¥ konvergentní.
Nevýhody neabsolutn¥ konvergentní integrace: pot°ebuje bohatou strukturu (nap°. bere v úvahu uspo°ádání reálných £ísel, podobn¥ jako neabsolutn¥ konvergentní °ady berou v úvahu uspo°ádání p°irozených £ísel). lo by nahradit Riemann·v integrál Kurzweilovým ve výuce kalkulu? Pokusy byly, nap°. [5], ale zatím se moc neujalo.
Jan MALÝ
Od Newtona...
28 / 32
Kurzweil·v integrál vznikl drobnou úpravou Riemannovy konstruktivní de nice. Velmi nový objev: Stejn¥ mocný integrál (co se tý£e t°ídy integrovatelných funkcí) lze zavést drobnou úpravou Newtonovy deskriptivní de nice, [1].
Jan MALÝ
Od Newtona...
29 / 32
Kurzweil·v integrál vznikl drobnou úpravou Riemannovy konstruktivní de nice. Velmi nový objev: Stejn¥ mocný integrál (co se tý£e t°ídy integrovatelných funkcí) lze zavést drobnou úpravou Newtonovy deskriptivní de nice, [1].
F , f : (a, b) → R jsou funkce. ekneme, ºe F je neur£itý integrál f je derivace Bendové funkce F , jestliºe existuje rostoucí funkce γ : (a, b ) → R (tzv. kontrolní funkce ) tak, ºe pro v²echna x ∈ (a, b )
Nech´
Bendové, £i ºe je
lim
y →x
Jan MALÝ
F (y ) − F (x ) − f (x )(y − x ) = 0. γ(y ) − γ(x )
Od Newtona...
29 / 32
Kurzweil·v integrál vznikl drobnou úpravou Riemannovy konstruktivní de nice. Velmi nový objev: Stejn¥ mocný integrál (co se tý£e t°ídy integrovatelných funkcí) lze zavést drobnou úpravou Newtonovy deskriptivní de nice, [1].
F , f : (a, b) → R jsou funkce. ekneme, ºe F je neur£itý integrál f je derivace Bendové funkce F , jestliºe existuje rostoucí funkce γ : (a, b ) → R (tzv. kontrolní funkce ) tak, ºe pro v²echna x ∈ (a, b )
Nech´
Bendové, £i ºe je
lim
y →x
F (y ) − F (x ) − f (x )(y − x ) = 0. γ(y ) − γ(x )
Ur£itý integrál se pak de nuje jako p°ír·stek neur£itého.
Jan MALÝ
Od Newtona...
29 / 32
Hana Kruli²ová roz. Bendová (*1988)
Jan MALÝ
Od Newtona...
30 / 32
Výhody integrálu Bendové:
Jan MALÝ
Od Newtona...
31 / 32
Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární de nice
Jan MALÝ
Od Newtona...
31 / 32
Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární de nice Snadná manipulace p°i d·kazech vzorc·, jako per partes a substituce (derivace sou£inu a sloºené funkce)
Jan MALÝ
Od Newtona...
31 / 32
Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární de nice Snadná manipulace p°i d·kazech vzorc·, jako per partes a substituce (derivace sou£inu a sloºené funkce) Snadný d·kaz v¥ty o monotonní konvergenci
Jan MALÝ
Od Newtona...
31 / 32
Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární de nice Snadná manipulace p°i d·kazech vzorc·, jako per partes a substituce (derivace sou£inu a sloºené funkce) Snadný d·kaz v¥ty o monotonní konvergenci Lze vybudovat míru jako integrál z charakteristické funkce
Jan MALÝ
Od Newtona...
31 / 32
Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární de nice Snadná manipulace p°i d·kazech vzorc·, jako per partes a substituce (derivace sou£inu a sloºené funkce) Snadný d·kaz v¥ty o monotonní konvergenci Lze vybudovat míru jako integrál z charakteristické funkce Zákon zachování obtíºnosti:
Jan MALÝ
Od Newtona...
31 / 32
Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární de nice Snadná manipulace p°i d·kazech vzorc·, jako per partes a substituce (derivace sou£inu a sloºené funkce) Snadný d·kaz v¥ty o monotonní konvergenci Lze vybudovat míru jako integrál z charakteristické funkce Zákon zachování obtíºnosti: Pr·nik dvou m¥°itelných mnoºin je m¥°itelný d·kaz uº není tak k°i²´álov¥ jednoduchý
Jan MALÝ
Od Newtona...
31 / 32
Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární de nice Snadná manipulace p°i d·kazech vzorc·, jako per partes a substituce (derivace sou£inu a sloºené funkce) Snadný d·kaz v¥ty o monotonní konvergenci Lze vybudovat míru jako integrál z charakteristické funkce Zákon zachování obtíºnosti: Pr·nik dvou m¥°itelných mnoºin je m¥°itelný d·kaz uº není tak k°i²´álov¥ jednoduchý Nevýhoda:
Jan MALÝ
Od Newtona...
31 / 32
Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární de nice Snadná manipulace p°i d·kazech vzorc·, jako per partes a substituce (derivace sou£inu a sloºené funkce) Snadný d·kaz v¥ty o monotonní konvergenci Lze vybudovat míru jako integrál z charakteristické funkce Zákon zachování obtíºnosti: Pr·nik dvou m¥°itelných mnoºin je m¥°itelný d·kaz uº není tak k°i²´álov¥ jednoduchý Nevýhoda: Zobecn¥ní do vy²²í dimenze ztrácí eleganci a názornost
Jan MALÝ
Od Newtona...
31 / 32
H. Bendová and J. Malý. An elementary way to introduce a Perron-like integral. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 36(1):153164, 2011. A. Denjoy. Une extension de l'intégrale de M. Lebesgue. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 154:859862, 1912. R. Henstock. De nitions of Riemann type of the variational integrals. Proc. London Math. Soc. (3), 11:402418, 1961. J. Kurzweil. Generalized ordinary dierential equations and continuous dependence on a parameter. Czechoslovak Math. J., 7 (82):418449, 1957. P. Y. Lee and R. Výborný.
Integral: an easy approach after Kurzweil and Henstock, Lecture Series.
volume 14 of
Australian Mathematical Society
Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
N. Lusin. Sur les propriétés de l'intégrale de M. Denjoy. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 155:14751478, 1912. O. Perron. Über den Integralbegri.
Sitzungsber. Heidelberg Akad. Wiss.,
Jan MALÝ
A16:116, 1914.
Od Newtona...
32 / 32
