G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13
1a 1b
1
x
x
2
1
g (x ) = 5 ⋅ x − 8 ⇒ g '(x ) = 5 ⋅ 2⋅
1c
1
− f (x ) = 6x 4 + 6 ⋅ x − 64 = 6x 4 + 6 ⋅ x 2 − 6x −4 ⇒ f '(x ) = 24x 3 + 3 ⋅ x 2 + 24x −5 = 24x 3 + 3 + 245 .
x 2− 8
5x
⋅ 2x =
x 2− 8
.
Onthoud: y = x ⇒ y '(x ) =
x
x
x
7
6
6
k (x ) = 3(2x − 1) + 8x ⇒ k '(x ) = 21( 2x − 1 ) ⋅ 2 + 8 = 42(2x − 1) + 8.
2a
A = 3 + 3 ⋅ t − 3t = 3t −1 + 3 ⋅ t − 3t ⇒ dA = A '(t ) = −3t −2 + 3 ⋅
2b
P = 5q 2 + 6q + 15 ⇒ P '(q ) = 10q +
t
dt 1
6q + 15
2⋅
⋅ 6 = 10q +
1 − 3 = − 3 + 3 − 3. t2 2⋅ t 2⋅ t
3 . 6q + 15
6p 2 + 2 p + 3 = 3p + 1 + 3 = 3p + 1 + 3 p −1 ⇒ dR = R '( p ) = 3 − 1 ⋅ 3 p −2 = 3 − 3 2 . 2p 2p 2 dp 2 2p
2c
R =
3a
De gemiddelde snelheid op het interval [1,9;1,5] is
3b
f '(x ) = −2( x 2 − 3 )3 ⋅ 2x = −4x (x 2 − 3)3. Dus f '(3) = −4 ⋅ 3(32 − 3)3 = −2 592. De snelheid waarmee f (x ) afneemt voor x = 3 is 2 592.
4a
g (x ) = 2x − 4 + 1 = 2x − 4x −1 + 1 ⇒ g '(x ) = 2 + 4x −2 = 2 + 42 .
∆y f (1,9) − f (1,5) = ≈ 0,22. ∆x 1,9 − 1,5
x
g '(3) = 2 + 42 = 2 4 > 0, dus g (x ) neemt toe voor x = 3. 3
3c k : y = ax + b met a = f '(1) = −4 ⋅ ( −2)3 = 32. k : y = 32x + b ⇒ 0 = 32 ⋅ 1 + b ⇒ −32 = b . yA = f (1) = 0 ⇒ A(1, 0) Dus k : y = 32x − 32. 4c
x
4 =7 2
x
l : y = ax + b met a = g '(2) = 2 + 42 = 2 + 1 = 3.
7x 2 = 4
2
Dus l : y = 3x − 3.
5b
x2 = 4 7
2
x = 4 ∨ x = − 4. 7
y = 2x 3 − 9x 2 + 12x + 4 ⇒ De gemiddelde snelheid is
dy dy = 6x 2 − 18x + 12 en de snelheid is dx dx ∆y y (3,01) − y (3) = = 12, 0902. ∆x 3,01 − 3
5d
12,0902 − 12 Dit wijkt × 100% ≈ 0,8% af. 12
5c
6a
6b
7a
7b
= 6 ⋅ 32 − 18 ⋅ 3 + 12 = 12. x =3
k : y = ax + b , a = dx dy
dq = q '( p ) = 25 − 7 p 0,4 . dp 0,4
dq Snelheid is = 25 − 7 ⋅ 12,5 dp p =12,50
≈ 5, 78 (€/stuk).
dq = 25 − 7 p 0,4 = 0 (intersect of) ⇒ 25 = 7 p 0,4 ⇒ p 0,4 = 25 ⇒ dp 7 De maximale weekverkoop (zie een plot) is 252 stuks.
( )
p = 25 7
dy y = 4x + 1 + 2 = 4x + x −1 + 2 ⇒ = y '(x ) = 4 − x −2 = 4 − 12 .
x dx dy 1 1 = 0 ⇒ 4 − 2 = 0 ⇒ 4 = 2 ⇒ 4x 2 = 1 ⇒ dx x x y min (zie een plot) = y ( 1 ) = 6. 2
y = 2 ⋅ 6x − x 2 + 8 ⇒ dy =0⇒ dx
dy = dx
x
x2 = 1 ⇒ x = 1 ∨ x = − 1 . 4
1
y '(x ) = 2 ⋅ 2⋅
7
= 36. x =4
k : y = 36x + b ⇒ 36 = 36 ⋅ 4 + b ⇒ −108 = b . y P = 36 ⇒ P (4, 36) Dus k : y = 36x − 108.
dy = 6 ⋅ 22 − 18 ⋅ 2 + 12 = 0. dx x =2 Het extreem (maak een plot) is een minimum.
q = 80 + 25 p − 5 p 1,4 ⇒
g '(x ) = 9 2 + 42 = 9 x
9
l : y = 3x + b ⇒ 3 = 3 ⋅ 2 + b ⇒ −3 = b . y P = g (2) = 2 ⋅ 2 − 4 + 1 = 3 ⇒ P (2, 3)
5a
dy = 1 dx 2⋅ x
2 h (x ) = 3x − 2x + 1 = 3x − 2 + 1 = 3x − 2 + x −1 ⇒ h '(x ) = 3 − 1x −2 = 3 − 12 .
1d
4b
x
6x − x
2
2
2
⋅ (6 − 2x ) = 6 − 2x .
6 − 2x = 0 (teller = 0) ⇒ 6 − 2x = 0 ⇒ 6 = 2x ⇒ 6x − x 2 y max (x = 3 is de enige kandidaat of zie een plot) = y (3) = 14.
6x − x 2
x = 3.
1 0, 4
≈ 24,10 (€/stuk).
G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 2/13 8a
E (n ) = 0, 48n − 0, 006n 2 ⇒ E '(n ) = 0, 48 − 0, 012n . E '(40) = 0, 48 − 0, 012 ⋅ 40 = 0. E (n ) is maximaal (één kandidaat/zie een plot) voor x = 40.
8b
E (n ) = 0, 48n − an 2 ⇒ E '(n ) = 0, 48 − 2an . E '(16) = 0 ⇒ 0, 48 − 2a ⋅ 16 = 0 ⇒ 0, 48 = 32a ⇒ a = 0,48 = 0, 015.
8c
E '(n ) = 0 ⇒ 0, 48 = 2an ⇒ n = nmax = 0,48 = 0,24 . a 2a 0,24 Zie de grafiek van nmax = hiernaast (gebruik TABLE op de GR).
n max
32
a
9
K = 10 −6q 3 − 3 ⋅ 10 −3q 2 + 5q + 1 000 ⇒ dK = K '(q ) = 3 ⋅ 10 −6q 2 − 6 ⋅ 10 −3q + 5.
a
dq
dK = K '(q ) = 3 ⋅ 10 −6 q 2 − 6 ⋅ 10 −3q + 5 ⇒ d dK = K "(q ) = 6 ⋅ 10 −6 q − 6 ⋅ 10 −3. dq dq dq d dK = 0 ⇒ 6 ⋅ 10 −6 q − 6 ⋅ 10 −3 = 0 ⇒ q = 6 ⋅ 10 −3 = 1 000. dq dq 6 ⋅ 10 −6 dK is minimaal (er is maar één kandidaat/zie een plot van dK ) voor q = 1 000. dq dq dK = 2, dus de minimale snelheid waarmee K toeneemt is 2 (€/stuk). dq q =1000
10a
( )
N = −t 3 + 6t 2 + 15t ⇒ dN = N '(t ) = −3t 2 + 12t + 15 ⇒ d dN = N "(t ) = −6t + 12.
dt dt dt d dN = 0 ⇒ −6t + 12 = 0 ⇒ −6t = −12 ⇒ t = −12 = 2. −6 dt dt dN is maximaal (er is maar één kandidaat of zie een plot van dN ) voor t = 2. Dus na 2 uur is de snelheid maximaal. dt dt dN = −3 ⋅ 02 + 12 ⋅ 0 + 15 = 15. dt t =0 dN = 15 ⇒ −3t 2 + 12t + 15 = 15 ⇒ −3t 2 + 12t = 0 ⇒ −3t (t − 4) = 0 ⇒ t = 0 (zoeken we niet) ∨ t = 4. Dus na 4 uur. dt
( )
10b
11
Grafiek C hoort bij de grafiek van de marginale kosten. Er geldt MK = dK (de helling van de grafiek van K ). dq
De grafiek van K gaat van afnemend stijgend over in toenemend stijgend. De helling van de grafiek van de grafiek van K is overal positief, maar neemt eerst af en daarna weer toe ⇒ C. dy ligt onder de dx
x -as ( ⇒ de helling van y is negatief) ⇒ de grafiek van y is dalend.
12a
De grafiek van
12b
De grafiek van y gaat van toenemend stijgend over naar afnemend stijgend.
12c
De grafiek van y gaat van afnemend dalend over naar toenemend dalend.
12d
De grafiek van y gaat van afnemend stijgend over naar toenemend stijgend.
12e
De grafiek van y is afnemend stijgend.
13a
De grafiek van
dy ligt onder de dx
13b
De grafiek van
dy gaat van onder de dx
13c
De grafiek van
dy ligt boven de dx
13d
De grafiek van
dy heeft een laagste punt (als helling van y minimaal is) en ligt geheel boven de dx
14
12f
De grafiek van y (gaat over van dalen naar stijgen) heeft een minimum.
x -as (de grafiek van y is dalend) en is stijgend (de daling neemt af). x -as (de grafiek van y daalt) naar boven de x -as (de grafiek van y stijgt).
x -as (de grafiek van y is stijgend) en is dalend (de stijging neemt af). x -as (y is stijgt steeds).
dy 2,5 = y '(x ) = 5 ⋅ 1 = . dx x 2⋅ x dy Uit een plot van (zie hiernaast) volgt: dx dy • de grafiek van ligt geheel boven de x -as (de helling van y steeds is positief), dus de grafiek van y is stijgend dx dy • de grafiek van is bovendien dalend (helling wordt minder positief), dus de grafiek van y is afnemend stijgend. dx
y = 5⋅ x −3⇒
G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 3/13 15a
K = q 3 − 6q 2 + 13q + 15 ⇒ dK = K '(q ) = 3q 2 − 12q + 13. dq
Uit een plot van dK (zie hiernaast) volgt: dq
•
de grafiek van dK ligt geheel boven de q -as (de helling van K is steeds positief), dus de grafiek van K is stijgend
•
de grafiek van dK is bovendien eerst dalend en daarna stijgend,
dq
dq
dus de grafiek van K gaat van afnemend stijgend over in toenemend stijgend. 15b
MK = dK = 3q 2 − 12q + 13 ⇒ dMK = MK '(q ) = 6q − 12 (met als grafiek een stijgende lijn). dq
dq
Uit een plot van dMK (zie hiernaast) volgt: dq
•
de grafiek van dMK ligt eerst onder de q -as, dus de grafiek van MK begint dalend
•
de grafiek van dMK snijdt dan (voor q = 6) de q -as en komt dan boven de q -as,
dq dq
dus de grafiek van MK gaat van dalend over in stijgend en heeft dus een minimum (voor q = 6). 15c
q 3 − 6q 2 + 13q + 15 = q 2 − 6q + 13 + 15 = q 2 − 6q + 13 + 15q −1 ⇒ dGK = GK '(q ) = 2q − 6 − 15q −2 = 2q − 6 − 152 . dq q q q GK d Uit een plot van (zie hiernaast) volgt: dq d GK • de grafiek van ligt eerst onder de q -as, dus de grafiek van GK begint dalend dq • de grafiek van dGK snijdt dan de q -as en komt dan boven de q -as, dq
GK =
dus de grafiek van GK gaat van dalend over in stijgend en heeft dus een minimum. 16a
In 2004 is t = 63 ⇒ N ≈ 97, 63... (mannen op elke 100 vrouwen). Er waren toen
16b
97,63... ⋅ 290 ≈ 143,2 miljoen mannen. 97,63... + 100
N = 0, 000045t 3 − 0,2295t + 100,84 ⇒ dN = N '(t ) = 0, 000135t 2 − 0,2295. Uit een plot van dN (zie hiernaast) volgt:
dt
dt
•
de grafiek van dN ligt eerst onder de t -as, dus de grafiek van N is eerst dalend
•
de grafiek van dN snijdt dan de t -as en komt dan boven de t -as,
dt
dt
dus de grafiek van N gaat van dalend over in stijgend en heeft dus een minimum. 16c
dN = 0 ⇒ 0, 000135t 2 − 0,2295 = 0 ⇒ 0, 000135t 2 = 0,2295 ⇒ t 2 = 1 700 ⇒ t = 1 700 ≈ 41,2... dt 94,5... × 100% ≈ 48, 6%. t = 1 700 geeft Nmin ≈ 94,5... Het percentage mannen in 1981 is 94,5... + 100
17a
p (x ) = x 2 (2x + 1) = 2x 3 + x 2 ⇒ p '(x ) = 6x 2 + 2x .
17b
f (x ) = x 2 ⇒ f '(x ) = 2x ⇒ f '(x ) ⋅ g '(x ) = 2x ⋅ 2 = 4x . g (x ) = 2x + 1 ⇒ g '(x ) = 2
17c
p (x ) = f (x ) ⋅ g (x ) maar p '(x ) = 6x 2 + 2x ≠ f '(x ) ⋅ g '(x ) = 4x .
18a
f (x ) = x (2x + 1)3 ⇒ f '(x ) = 1 ⋅ (2x + 1)3 + x ⋅ 3( 2x + 1 )2 ⋅ 2 = (2x + 1)3 + 6x (2x + 1)2 .
18b
g (x ) = x ⋅ 1 − 3x ⇒ g '(x ) = 1 ⋅ 1 − 3x + x ⋅
18c
h (x ) = 5x + x 2 (x 2 + 1)1,8 ⇒ h '(x ) = 5 + 2x ⋅ (x 2 + 1)1,8 + x 2 ⋅ 1,8( x 2 + 1 ) 0,8 ⋅ 2x = 5 + 2x (x 2 + 1)1,8 + 3, 6x 3(x 2 + 1) 0,8 .
18d
k (x ) = 6(2x − 1) ⋅ 2x − 1 ⇒ k '(x ) = 6 ⋅ 2 ⋅ 2x − 1 + 6(2x − 1) ⋅
19a
y = (x + 3)(2x − 5)2 ⇒
19b
y = (x 2 − 1) ⋅ x 2 + 4 ⇒
1 2 ⋅ 1 − 3x
⋅ −3 = 1 − 3x −
3x . 2 ⋅ 1 − 3x
1 2 ⋅ 2x − 1
⋅ 2 = 12 ⋅ 2x − 1 +
6(2x − 1) 2x − 1
dy = 1 ⋅ (2x − 5)2 + (x + 3) ⋅ 2( 2x − 5 ) ⋅ 2 = (2x − 5)2 + 4(x + 3)(2x − 5). dx dy = 2x ⋅ dx
x 2 + 4 + (x 2 − 1) ⋅
1 2⋅
x 2 +4
⋅ 2x = 2x ⋅ x 2 + 4 +
x (x 2 − 1) x 2+ 4
.
.
G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 4/13 7q
19c
K = 7q ⋅ 100 − q ⇒ dK = 7 ⋅ 100 − q + 7q ⋅
19d
A = 5t 3 − t ⋅ 2 − 3t ⇒ dA = 15t 2 − 1 ⋅ 2 − 3t − t ⋅
20a
[5x 3]' = [5 ⋅ x 3]' = [5]'⋅ x 3 + 5 ⋅ [x 3]' = 0 ⋅ x 3 + 5 ⋅ [x 3]' = 5 ⋅ [x 3]'.
20b
[a ⋅ f ]' = [a ]'⋅ f + a ⋅ [f ]' = 0 ⋅ f + a ⋅ [f ]' = a ⋅ f '.
21a
8(x + 1)2 + 3(x + 1) = (x + 1) (8(x + 1) + 3) = (x + 1)(8x + 8 + 3) = (x + 1)(8x + 11).
21b
6(2x − 1)5 − 2(2x − 1) 4 = (2x − 1) 4 ( 6(2x − 1) − 2 ) = (2x − 1) 4 (12x − 6 − 2) = (2x − 1) 4 (12x − 8).
21c
(x + 3) ⋅ 5 − x − 2 ⋅ 5 − x = 5 − x ⋅ ( (x + 3) − 2 ) = 5 − x ⋅ (x + 3 − 2) = 5 − x ⋅ (x + 1).
21d
(2x − 3)(x − 7)5 − (x − 7)3 = (x − 7)3 (2x − 3)(x − 7)2 − 1 = (x − 7)3 (2x − 3)(x 2 − 14x + 49) − 1
1
dx
⋅ −1 = 7 ⋅ 100 − q −
2 ⋅ 100 − q
dx
1 2 ⋅ 2 − 3t
⋅ −3 = 15t 2 − 2 − 3t +
)
(
2 ⋅ 100 − q
.
3t . 2 ⋅ 2 − 3t
(
)
= (x − 7)3(2x 3 − 28x 2 + 98x − 3x 2 + 42x − 147 − 1) = (x − 7)3(2x 3 − 31x 2 + 140x − 148). 22a
( x )2 x + 3 = + 3 = x + 3 = x +3.
x
x
x
x
2
( 1 −x ) 3 = + 1 −x 1 −x
22b
1−x +
22c
x2 +3 +
5x 2
x +3
=
( x 2 + 3)2 2
x
x
3 = 1 −x + 1 −x 1 −x 5x
+
2
x +3
3 = 4 −x . 1−x 1 −x
2 = x +3 + 2
x +3
x +3
5x 2
x +3
2
2( 2x − 1) 2(2x − 1) 4 4 = − = − 2x − 1 2x − 1 2x − 1 2x − 1
2 = x + 5x + 3 .
x 2+3
4 = 4x − 2 − 4 = 4x − 6 . 2x − 1 2x − 1 2x − 1
22d
2 ⋅ 2x − 1 −
23a
f (x ) = 4x (3x − 1)5 ⇒ f '(x ) = 4 ⋅ (3x − 1)5 + 4x ⋅ 5( 3x − 1 ) 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ (3x − 1)5 + 60x ⋅ (3x − 1) 4 = (3x − 1) 4 ⋅ ( 4(3x − 1) + 60x ) = (3x − 1) 4 ⋅ (12x − 4 + 60x ) = (3x − 1) 4 ⋅ (72x − 4).
23b
g (x ) = x (1 − x 2 ) 4 ⇒ g '(x ) = 1 ⋅ (1 − x 2 ) 4 + x ⋅ 4( 1 − x 2 )3 ⋅ −2x = (1 − x 2 ) 4 − 8x 2 ⋅ (1 − x 2 )3 = (1 − x 2 )3 ⋅ (1 − x 2 ) − 8x 2 = (1 − x 2 )3 ⋅ (1 − x 2 − 8x 2 ) = (1 − x 2 )3 ⋅ (1 − 9x 2 ).
)
(
1
23c
h (x ) = x 2 − 2x ⇒ h '(x ) = 1 ⋅ 2 − 2x + x ⋅
24a
f (x ) = x 3 + 2x ⇒ f '(x ) = 1 ⋅ 3 + 2x + x ⋅
24b
f '(x ) = 3x + 3 = 0 (teller = 0)
2 ⋅ 2 − 2x
1 2 ⋅ 3 + 2x
⋅ −2 = 2 − 2x −
⋅ 2 = 3 + 2x +
24c
3 + 2x
3x + 3 = 0 3x = −3 x = −1. Minimum (zie een plot) van f is f ( −1) = −1.
geen maximum maar minimum
x 2 − 2x
x 3 + 2x
=
=
( 2 − 2x )2 2 − 2x ( 3 + 2x )2 3 + 2x
−
+
x 2 − 2x
x 3 + 2x
= 2 − 2x − x = 2 − 3x . 2 − 2x
= 3 + 2x + x = 3x + 3 .
3 + 2⋅3
25b
g '(x ) = (2 − x )3(2 − 5x ) = 0 2 − x = 0 ∨ 2 − 5x = 0 2 = x ∨ 2 = 5x x = 2 ∨ x = 2 = 0, 4.
25c
5
26b
3
l : y = ax + b met a = g '(0) = 23 ⋅ 2 = 16. l : y = 16x + b ⇒ b = 2. y P = g (0) = 2 ⇒ P (0, 2) Dus l : y = 16x + 2.
Het maximum (zie een plot) van g is g (0, 4) = 4, 61244 en het minimum (zie een plot) is g (2) = 2. 3 = 3. 1
3 + 2x
k : y = 4x + b ⇒ 9 = 4 ⋅ 3 + b ⇒ −3 = b . yA = f (3) = 3 ⋅ 9 = 9 ⇒ A(3, 9) Dus k : y = 4x − 3.
g (x ) = x (2 − x ) 4 + 2 ⇒ g '(x ) = 1 ⋅ (2 − x ) 4 + x ⋅ 4( 2 − x )3 ⋅ −1 = (2 − x ) 4 − 4x (2 − x )3 = (2 − x )3 ( (2 − x ) − 4x ) = (2 − x )3(2 − x − 4x ) = (2 − x )3(2 − 5x ).
t (x ) = 3x + 2 ⇒ t '(x ) = 3 t '(x ) ⇒ = n '(x ) n (x ) = x + 2 ⇒ n '(x ) = 1
3 + 2x
k : y = ax + b met a = f '(3) = 3 ⋅ 3 + 3 = 12 = 4.
25a
26a
2 − 2x
t (x ) 3x + 2 = ⇒ q '(x ) ≈ nDeriv(... n (x ) x +2 t '(x ) TABLE laat zien dat q '(x ) ≠ = 3. n '(x )
q (x ) =
G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 5/13
dy (x − 4) ⋅ 1 − (x + 1) ⋅ 1 x − 4 − x − 1 27a y = x + 1 ⇒ = = = 2 2
x −4
dx
(x − 4)
(x − 4)
y =t ⇒
−5 . (x − 4)2
n
dy (x + 7) ⋅ −2 − ( −2x + 3) ⋅ 1 27b y = 7x + −2x + 3 ⇒ =7+ = 7 + −2x − 14 + 22x − 3 = 7 − 2
x +7
dx
(x + 7)
(x + 7)
dy ' = t = n ⋅ t ' −2t ⋅ n ' = n ⋅ at −2t ⋅ an dx n n n
17 . (x + 7)2
2 2 2 2 dy (6 − x ) ⋅ 6x − 3x 2 ⋅ −1 x + 12x 2. = + 12x 2 = 36x − 6x +2 3x + 12x 2 = −3x + 36 27c y = 3x + 4x 3 ⇒ 2 2
6 −x
dx
(6 − x )
2
(6 − x )
2
(6 − x )
3
3 2 4 2 2 4 4 dy (8x − 5) ⋅ (4 + 3x ) − (4x + x ) ⋅ 16x x 2 − 20 . 27d y = 4x 2+ x ⇒ = = 32x + 24x − 20 −2 15x 2 − 64x − 16x = 8x − 47 2 2 2 2
dx
8x − 5
(8x − 5)
(8x − 5)
(8x − 5)
(q + 8) ⋅ 0 − 1 ⋅ 1 ⇒ dK = 2 − =2+ 2
28a
(3 + 2t ) ⋅ 0 − −2 ⋅ 2 A = −2 + 5t ⇒ dA = +5 = 2
28c
(1 + q ) ⋅ 0 − 2 ⋅ 1 P = 2 ⇒ dP = 3 ⋅ 2 ⋅ = 3 ⋅ 2 ⋅ −2 2 = 3 ⋅ 4 2 ⋅ −2 2 = −24 4 . 2 dq 1 +q 1 + q (1 + q ) q (1 + ) (1 + q ) (1 + q ) (1 + q ) 1+q
28d
3 4 3 3 (t − 1) ⋅ 2 − 2t ⋅ 1 N = 2t ⇒ dN = 4 ⋅ 2t ⋅ = 4 ⋅ 2t ⋅ 2t − 2 −22t = 4 ⋅ 8t 3 ⋅ 2
29a
De procentuele toename is
29b
(1 + x ) ⋅ 0 − 50 ⋅ 1 P = 150 − 50 ⇒ dP = 0 − = − −50 2 = 2
50 . dx (1 + x ) (1 + x ) (1 + x )2 Uit een plot van dP (zie hiernaast) volgt: dx de grafiek van dP ligt boven de x -as, dus de grafiek van P is stijgend • dx de grafiek van dP is bovendien dalend, dus de grafiek van P is afnemend stijgend. • dx
29c
dP = 50 = 0,8 (intersect) ⇒ x ≈ 6, 9. dx (1 + x )2 dP < 0,8 (zie een plot) ⇒ 6, 9 < x ( ≤ 10). dx
30a
q = 20 ⇒ 20 =
3 + 2t
dt
(3 + 2t ) 2
3
(t ) −1
4 + 5. (3 + 2t )2
dq
28b K = 2q −
1
q +8
(q + 8)
1 . (q + 8)2
2
t −1
(t − 1)
(t ) −1
(t − 1)
(t − 1)
−2 = −64t 3 . (t − 1)2 (t − 1)5
P (6,5) − P (4,5) × 100% ≈ 1, 7%. P (4,5)
1+x
20 p + 1600 4p + 5
20(4 p + 5) = 20 p + 1 600 80 p + 100 = 20 p + 1 600 60 p = 1 500 p = 25 (€).
20 p + 1600 (4 p + 5) ⋅ 20 − (20 p + 1600) ⋅ 4 80 p + 100 − 80 p − 6400 dq ⇒ = = = −6300 2 . 4p + 5 dp (4 p + 5)2 (4 p + 5)2 (4 p + 5) dq − 6300 = < 0 voor elke p , dus de verkoop neemt af bij toenemende prijs. dp (4 p + 5)2
30b
q=
30c
dq Snelheid = −6300 ≈ −1, 06 ⇒ verkoop neemt af met 1,06 kist/euro. dp p =18 (4 ⋅ 18 + 5)2
31a
De snelheid is dP ≈ 5,19 %/week (of met nDeriv(... of met de afgeleide uit 31b). dt t =4 Dit is (ongeveer) 0,74 %/dag.
31b
P =
31c
dq
100(t 2 − t + 1) 2
dx
(t + 1) 3 2 t t 200 − 100 + 200t − 100 − 200t 3 + 200t 2 − 200t = 100t 2 − 100 . = (t 2 + 1)2 (t 2 + 1)2 2 dP = 100t − 100 = 0 (teller = 0) ⇒ 100t 2 − 100 = 0 ⇒ 100t 2 = 100 = 0 ⇒ t 2 = 1 ⇒ t = 1. dx (t 2 + 1)2 Uit een plot van P (zie bij 31a) volgt dat het zuurstofgehalte na 1 week minimaal is.
P =
t +1
(t 2 + 1) ⋅ 100(2t − 1) − 100(t 2 − t + 1) ⋅ 2t ⇒ dP = 2 2
100(t 2 − t + 1)
t 2+ 1
= 98 (intersect) ⇒ t ≈ 0, 02 (niet de juiste) ∨ t ≈ 49, 98 (weken weer op 98%).
Dit zijn (ongeveer) 350 dagen. 31d
dP dt t =8 = 1, 49.... %/week. Het zuurstofgehalte na 8 weken is P (8) = 87, 69... %. Het zuurstofgehalte moet na 8 weken nog 100 − P (8) = 12,3... % stijgen. Dit duurt dan nog
12,3... × 7 ≈ 58 dagen. 1,49...
Vanaf het begin van de vervuiling duur het 8 ⋅ 7 + 58 = 114 dagen tot het oorspronkelijke (100%) niveau bereikt wordt.
G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 6/13 dy = 4 ⋅ 3( 3x − 2 )2 ⋅ 3 = 36(3x − 2)2 . dx
32a
y = 4(3x − 2)3 ⇒
32b
2 2 2 dy x 2 ⋅ 1 − (x + 8) ⋅ 2x = = x − 2x 4 − 16x = −x −416x . y = x +28 ⇒ 2 2
32c 32d 32e
dx
x
y
(x )
dy = 4⋅ x2 −3 ⇒ = 4⋅ dx
y = 6x ⋅ 5 − 4x ⇒
1
x 2− 3
2⋅
x
4x . x 2− 3
⋅ 2x =
dy = 6 ⋅ 5 − 4x + 6x ⋅ dx 2⋅
1
⋅ −4 = 6 ⋅ 5 − 4x −
5 − 4x
dy (2x − 7) 4 ⋅ 0 − 3 ⋅ 4( 2x − 7 )3 ⋅ 2 −24(2x − 7)3 3 ⇒ = = = −24 5 . dx (2x − 7) 4 ((2x − 7) 4 )2 (2x − 7)8 (2x − 7) dy −4 3 Alternatieve uitwerking: y = = 3(2x − 7) ⇒ = 3 ⋅ −4( 2x − 7 ) −5 ⋅ 2 = −24(2x − 7) −5 = −24 5 . dx (2x − 7) 4 (2x − 7)
11 11 dy = 4 ⋅ 2 1 x 2 = 10x 2 = 10x ⋅ x . dx 2 dy = 4x 2 ⋅ x ⇒ = 8x ⋅ x + 4x 2 ⋅ 1 = 8x ⋅ dx 2⋅ x
y = 4x 2 ⋅ x = 4x 2 ⋅ x 2 = 4x Alternatieve uitwerking: y
2 21
⇒
y = 5x + 1 − x ⇒
32h
dy y = 32 + 2 = 3 ⋅ x −2 + 2 ⋅ x −1 ⇒ = −6x −3 − 2 ⋅ x −2 = − 63 − 2 2 . 3x
x
3
Alternatieve uitwerking: y
1 21
y = 5x ⋅ 5x = 5x ⋅ (5x ) 2 = (5x )
Alternatieve uitwerking: y = 5x
( = 8x ⋅ x + 2x ⋅ x = 10x ⋅ x ).
1 dy = 1 1 ⋅ ( 5x ) 2 ⋅ 5 = 7 1 ⋅ 5x . dx 2 2 dy 1 ⋅ 5x ⇒ = 5 ⋅ 5x + 5x ⋅ ⋅ 5 = 5 ⋅ 5x + 25x . dx 2 ⋅ 5x 2 ⋅ 5x
⇒
f (x ) = x 2 ⋅ (1 − x )6 ⇒ f '(x ) = 2x ⋅ (1 − x )6 + x 2 ⋅ 6( 1 − x )5 ⋅ −1 = 2x ⋅ (1 − x )6 − 6x 2 ⋅ (1 − x )5 = (1 − x )5 ⋅ 2x ⋅ (1 − x ) − 6x 2 = (1 − x )5 ⋅ (2x − 2x 2 − 6x 2 ) = (1 − x )5 ⋅ (2x − 8x 2 ).
)
(
33b
2
x
dx 3 x 3x 2 dy x 3 2 = 2+ ⇒ = ⋅ 0 −2 32⋅ 2x + 3x ⋅ 0 −22 ⋅ 3 = −64x − 6 2 = − 63 − 2 2 . 3x dx x x x (x ) (3x ) 9x 3x
1
33a
x + 2x
dy 1 1 =5+ ⋅ −1 = 5 − . dx 2⋅ 1 −x 2⋅ 1 −x
32g
32i
12x . 5 − 4x
y =
1
32f
x
g (x ) = 2x 2 ⋅ 1 − x 2 ⇒ g '(x ) = 4x ⋅ 1 − x 2 + 2x 2 ⋅ = 4x ⋅ x
⇒
( 1 − x 2 )2 1 −x
2
1 2⋅ 1 −x 2
3 − 2x
1 −x
2
=
3 ⋅ −2x = 4x ⋅ 1 − x 2 − 2x
1 −x 2
4x (1 − x 2 ) − 2x 3 1 −x
2
3 3 3 = 4x − 4x − 2x = 4x − 6x .
1 −x2
1 −x2
(2x − 1)2 ⋅ ((2x − 1) − 6x ) 2x − 1 − 6x dy (2x − 1)3 ⋅ 1 − x ⋅ 3( 2x − 1 )2 ⋅ 2 (2x − 1)3 − 6x (2x − 1)2 = = = = = −4x − 14 . 3 2 6 dx ((2x − 1) ) (2x − 1) (2x − 1)6 (2x − 1) 4 (2x − 1)
33c
y =
34a
(x + 2) ⋅ 1 − (x − 1) ⋅ 1 x + 2 − x + 1 f (x ) = x − 1 ⇒ f '(x ) = = = 2 2
34b
3 > 0 voor elke (x + 2)2
34c
Bij extremen van f geldt: f '(x ) = 0. Omdat f '(x ) = 0 voor elke x uit het domein, heeft f dus geen extremen.
35a
2 2 dy (x − 2) ⋅ 2x − x 2 ⋅ 1 2x 2 − 4x − x 2 y = x ⇒ = = = x − 4x2 . 2 2
35b
3
(2x − 1)
x +2
(x + 2)
(x + 2)
3 . (x + 2)2
x ≠ −2 (zowel de teller als de noemer zijn dan positief). Dus f '(x ) > 0 voor elke x uit het domein.
x −2
dx (x − 2) (x − 2) (x − 2) 2 dy 2 x x − 4 Extremen: = = 0 ( ⇒ teller = 0) ⇒ x − 4x = 0 ⇒ x (x − 4) = 0 ⇒ x = 0 ∨ dx (x − 2)2 2 x = 0 geeft maximum (zie de plot hiernaast) y (0) = 0 = 0 = 0 en 0 − 2 −2 2 x = 4 geeft minimum (zie de plot hiernaast) y (4) = 4 = 16 = 8. 4 −2 2
y = ax + b met a = dx dy
x =3
2 = 3 − 4 ⋅23 = 9 −212 = −3 = −3.
(3 − 2)
1
1
y = −3x + b 2 ⇒ 9 = −3 ⋅ 3 + b ⇒ 9 + 9 = 18 = b . 9 3 yA = = = 9 ⇒ A(3, 9) 3−2 1 Dus y = −3x + 18.
x = 4.
G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 7/13
36a
36b
2 2 2 dy (x 2 + 1) ⋅ 4 − 4x ⋅ 2x y = 42x ⇒ = = 4x +24 − 82 x = −4x2 + 4 . 2 2 2
dx (x + 1) (x + 1) (x + 1) x +1 2 dy 2 4 4 − + x = 2 2 = 0 ( ⇒ teller = 0) ⇒ −4x + 4 = 0 ⇒ −4x 2 = −4 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = −1 ∨ dx (x + 1) x = −1 geeft minimum (zie de plot hiernaast) y ( −1) = 4 ⋅2−1 = −4 = −2 en 2 ( −1) + 1 x = 1 geeft maximum (zie de plot hiernaast) y (1) = 42 ⋅ 1 = 4 = 2. 1 +1 2
x = 1.
dy y = 2x + 8 = 2x + 8x −1 ⇒ = 2 − 8x −2 = 2 − 82 .
x dx x dy = 2 − 82 = 0 ⇒ 2 = 82 ⇒ 2x 2 = 8 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = −2 ∨ dx x x
x = 2.
x = −2 geeft maximum (zie de plot hiernaast) y (−2) = 2 ⋅ −2 + 8 = −4 − 4 = −8 en −2
x = 2 geeft minimum (zie de plot hiernaast) y (2) = 2 ⋅ 2 + 8 = 4 + 4 = 8. 2
36c
y = 1,5x
2
dy + 242 = 1,5x 2 + 24x −2 ⇒ = 3x − 48x −3 = 3x − 483 . dx x x 4 4 48 48
dy = 3x − 3 = 0 ⇒ 3x = 3 ⇒ 3x = 48 ⇒ x = 16 ⇒ x = −2 ∨ x = 2. dx x x x = −2 geeft minimum (zie de plot hiernaast) y ( −2) = 1,5 ⋅ ( −2)2 + 24 2 = 1,5 ⋅ 4 + 24 = 6 + 6 = 12 en 4 ( −2) 2 24 24 = 6 + 6 = 12. x = 2 geeft minimum (zie de plot hiernaast) y (2) = 1,5 ⋅ 2 + 2 = 1,5 ⋅ 4 + 4 2
37a
C =
0,16t 2
t + 4t + 4
(t 2 + 4t + 4) ⋅ 0,16 − 0,16t ⋅ (2t + 4) 0,16t 2 + 0,64t + 0,64 − 0,32t 2 − 0,64t −0,16t 2 + 0,64 . ⇒ dC = = = 2 2 2 2 2 2 dt
(t + 4t + 4)
2
(t + 4t + 4)
(t + 4t + 4)
−0,16 ⋅ 0 + 0,64 0,64 0,64 dC = = 2 = = 0, 04 > 0. Dus de concentratie neemt direct na toediening toe. 16 dt t =0 (02 + 4 ⋅ 0 + 4)2 4
37b
37c
2 dC = −0,16t + 0,64 = 0 ( ⇒ teller = 0) ⇒ −0,16t 2 + 0, 64 = 0 ⇒ −0,16t 2 = −0, 64 ⇒ t 2 = 4 ⇒ t = −2 (vervalt) ∨ 2 dt (t + 4t + 4)2 t = 2 geeft maximum (maak een plot van C voor t > 0) C (2) = 2 0,16 ⋅ 2 = 0,32 = 0,32 = 0, 02. 16 2 + 4 ⋅2 + 4 4 + 8 + 4
−0,16 ⋅ 52 + 0,64 −0,16 ⋅ 102 + 0,64 dC = ≈ −0, 0014 en dC = ≈ −0, 00074. dt t =5 (52 + 4 ⋅ 5 + 4)2 dt t =10 (102 + 4 ⋅ 10 + 4)2 −0,0014 ≈ 1, 9 ⇒ dus de snelheid op t = 5 is ongeveer 2 keer zo groot als de snelheid op t = 10. −0,00074
37d
C (24) =
0,16 ⋅ 24 242 + 4 ⋅ 24 + 4
≈ 0, 0057 > 0, 005.
Dus na 24 uur is de aanwezigheid van het medicijn nog aantoonbaar. 38a
⋅ 0 + 3000 + 8 = 3000 + 8 ≈ 54, 9. Dus de verkoop was (ongeveer) 55 stuks per maand. V (0) = 1000 2
38b
2 t + 3000 + 8 ⇒ dV = (t + 16t + 64) ⋅ 1000 − (1000t + 3000) ⋅ (2t + 16) + 0 V = 1000 2 2 2
64
0 + 16 ⋅ 0 + 64
t + 16t + 64
dt
(t + 16t + 64)
2 2 t − 6000t − 48000 = −1000t 2 − 6000t + 16000 . = 1000t + 16000t + 640002− 2000t − 16000 2 2 2
(t + 16t + 64)
( t + 16t + 64)
2 dV = −1000 ⋅ 02 − 6000 ⋅ 0 +216000 = 16000 ≈ 3, 9 > 0. Dus op t = 0 stijgt de verkoop nog. dt t =0 ( 0 + 16 ⋅ 0 + 64) 642
38c
38d
dV = −1000t 2 − 6000t + 16000 = 0 ( ⇒ teller = 0) ⇒ t 2 + 6t − 16 = 0 ⇒ (t + 8)(t − 2) = 0 (met t > 0) ⇒ t = 2. dt ( t 2 + 16t + 64)2 t = 2 geeft maximum (maak een plot van V voor t > 0). Dus na 2 maanden gaat de omzet dalen.
t + 3000 + 8 gaat voor (hele) grote t naar de waarde 8. V = 1000 2 t + 16t + 64
Dus op den duur is de verkoop 8 camera's per maand. 39a
Het vierde uur loopt van t = 3 tot t = 4. De temperatuur neemt toe met T (4) −T (3) ≈ 0,38 °C.
39b
T = 37 + 245t
t + 70
2 2 2 (t 2 + 70) ⋅ 45 − 45t ⋅ 2t + 8 ⇒ dT = 0 + = 45t + 23150 −290t = −452t + 3150 . 2 2 2
dt
Bij 2 mei om 17:30 hoort t
(t + 70) (t + 70) (t + 70) −45 ⋅ 29,52 + 3150 V 1 d = 24 + 5 ⇒ = ≈ −0, 04. 2 dt t =29,5 (29,52 + 70)2
Dus de snelheid waarmee de temperatuur afneemt op 2 mei om 17:30 is 0,04 °C per uur.
t = 2.
G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 8/13 39c
2 T = −452t + 3150 = 0 (teller = 0) ⇒ 2
(t + 70)
−45t 2 + 3150 = 0 ⇒ −45t 2 = −3150 ⇒ t 2 = 70 (met 0 ≤ t ≤ 100) ⇒ t = 70 ≈ 8,37. De maximale (zie een plot) temperatuur van Frank is T ( 70) ≈ 39, 7 °C. 39d
2 (zie hiernaast) volgt: Uit een plot van dT = −452t + 3150 2
dt
(t + 70)
•
de grafiek van dT ligt voor t > 70 onder de t -as,
•
dus de grafiek van T daalt voor t > 70. voor t > 70 zie je bovendien dat de grafiek van dT eerst daalt en dan weer stijgt,
dt
dt
dus voor t > 70 is de lichaamstemperatuur eerst toenemend dalend en daarna afnemend dalend. 40a
K bodem = x ⋅ x ⋅ 24 = 24x 2 (€).
40b
K zijkanten = x ⋅ y ⋅ 18 ⋅ 4 = 72xy
40c
K bodem + K zijkanten = 288
2 I = x ⋅ x ⋅ y = x ⋅ x ⋅ 12 − x = 1 x ⋅ (12 − x 2 ) = 4x − 1 x 3.
40d (€).
3x 3 3 3 2 d I 1 I = 4x − x ⇒ = 4−x . 3 dx dI = 4 − x 2 = 0 ⇒ 4 = x 2 (met x > 0) ⇒ x = 2. dx I maximaal (zie de plot hiernaast) bij x = 2. 2 x = 2 geeft y = 12 − 2 = 12 − 4 = 8 = 4 = 1 1 . 3⋅2 6 6 3 3 De afmetingen van de kist zijn dan 2 × 2 × 1 1 meter 3 Imax = 4 ⋅ 2 − 1 ⋅ 23 = 8 − 8 = 8 − 2 2 = 5 1 m3. 3 3 3 3
40e
24x 2 + 72xy = 288 x 2 + 3xy = 12 3xy = 12 − x 2
y = 12 − x
2
3x
41a
Bij te hard rijden ontstaan ongelukken. (en bij grotere snelheden moet ook meer afstand worden gehouden)
41b
Afstand = 12,5 + 4 = 16,5 (meter) en t =
41c
Afstand = 18 + 4 = 22 (meter); t = 22 = 11 (seconden) en het aantal auto's per uur is 6011⋅ 60 ≈ 1964.
41d
12
Q
= 60 ⋅ 60 = 3600 én t
t
t
16,5 = 1, 65 (seconden). 10
6
6
= 4 + r ⇒ Q = 3600 = 3600 ⋅ v = 3600v ⋅ 4 +r 4 +r v v 4 +r v
v
2
41e
v = 16 ⇒ r = 0,125 ⋅ 16 = 32 en Q = 3600 ⋅ 16 = 1 600 ⋅
41f
54 km/uur = 15 m/s. v = 15 ⇒ r = 0,125 ⋅ 152 = 28,125 en Q = 3600 ⋅ 15 ≈ 1 681 (auto's/uur) ⋅
41g
4 + 32
4 + 28,125
Q Q
41h
42a
2
= 3600v én 4 +r
r = 0,125v ⇒ Q = 3600v 2 ⋅ 4 + 0,125v 2 dQ (4 + 0,125v 2 ) ⋅ 3600 − 3600v ⋅ 0,250v v 2 = −450v 2 + 14400 . 3600 v = ⇒ = = 14400 + 450v −2 900 dv 4 + 0,125v 2 (4 + 0,125v 2 )2 (4 + 0,125v )2 (4 + 0,125v 2 )2
2 dQ = −450v + 14400 = 0 ( ⇒ teller = 0) ⇒ −450v 2 = −14400 ⇒ v 2 = 32 (met v > 0) ⇒ v = 32. dv (4 + 0,125v 2 )2 Q is maximaal (één kandidaat/zie een plot) bij een snelheid van (ongeveer) 5,66 m/s ofwel 20,4 km/uur. Er passeren dan (ongeveer) 2546 auto's per uur.
2
Wi = 7,5 ⋅ 10 −4 ⋅ M2 met M = 4 ⋅ 106 ⇒Wi = 7,5 ⋅ 10 −4 ⋅ v
10
W = W1 +Wi = 3v 2 + 1,2 ⋅ 10 2 42b
v
2
=
1,2 ⋅ 1010
v2
.
4 2,4 ⋅ 1010 6v 4 − 2,4 ⋅ 1010 = 3v 2 + 1,2 ⋅ 1010 ⋅v −2 ⇒ dW = 6v − 2, 4 ⋅ 1010 ⋅v −3 = 6v3 − = ⋅ 3 3
dv
v
4
(4 ⋅ 106 )2
v
v
v
10
dW = 6v − 2,4 ⋅ 10 = 0 ( ⇒ teller = 0) ⇒ 6v 4 = 2, 4 ⋅ 1010 ⇒ v 4 = 0, 4 ⋅ 1010 (met v > 0) ⇒ v = 4 0, 4 ⋅ 1010 ≈ 251,5 (m/s) ⋅ dv v3 W is minimaal (één kandidaat/zie een plot) bij een snelheid van (ongeveer) 251,5 m/s ofwel 905 km/uur. 10
42c
W1 = Wi ⇒ 3v 2 = 1,2 ⋅ 10 ⇒ 3v 4 = 1,2 ⋅ 1010 ⇒ v 4 = 0, 4 ⋅ 1010 ⇒ v = 4 0, 4 ⋅ 1010 . (zie ook 42b) 2
43a
In figuur 16.8a zie je dat er boven zee een neerwaartse luchtstroom is en dat kost een vogel meer energie.
43b
EB 2 = AB 2 + AE 2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 ⇒ EB = 169 = 13 (km). Rechtstreeks over zee is 13 ⋅ 50 = 650 kJ nodig.
44a
AC = x ⇒ CB = 12 − x
v
(km over land) en 2
EC 2 = AC 2 + AE 2 = x 2 + 52 = x 2 + 25 ⇒ EC = x 2 + 25
Voor deze vlucht is 50 ⋅ x + 25 + 32 ⋅ (12 − x ) kJ nodig.
(km over zee).
G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 9/13 44b
50 ⋅ x 2 + 25 + 32 ⋅ (12 − x ) = 640 (intersect) ⇒ x = AC ≈ 11,28 (km).
44c
E = 50 ⋅ x 2 + 25 + 32 ⋅ (12 − x ) (optie minimium) ⇒ x = AC ≈ 4,16 (km). Dus op 4,16 km van A bereikt de de scholekster de kust. Het minimale totale energieverbruik is 576 kJ.
45a
y = 6 ⋅ x 2 + 288 + 10 − 2x ⇒ dy = 6⋅ dx
=
1
2 ⋅ x 2 + 288 6x − 2. x 2 + 288
dy = dx
45b
⋅ 2x + 0 − 2
6x 6x −2 = 0 ⇒ =2 1 x 2 + 288 x 2 + 288
6x = 2 ⋅ x 2 + 288 ⇒ 3x = x 2 + 288 (kwadrateren) 9x 2 = x 2 + 288 8x 2 = 288
x 2 = 36 x = −6 (voldoet niet) ∨ x = 6 (voldoet). y min (zie plot/TABLE) = y (6) = 106. 46a
EB 2 = AB 2 + AE 2 = 102 + 52 = 100 + 25 = 125 ⇒ EB = 125 (km). De kosten via BE zijn 125 ⋅ 1 000 ⋅ 140 ≈ 1 565200 euro.
46b
De kosten van B via A naar E zijn 10 ⋅ 1 000 ⋅ 100 + 5 ⋅ 1 000 ⋅ 140 ≈ 1 700 000 euro.
46c
EC 2 = AC 2 + AE 2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29 ⇒ EC = 29 (km). De kosten van B via C naar E zijn 8 ⋅ 1 000 ⋅ 100 + 29 ⋅ 1 000 ⋅ 140 ≈ 1553 900 euro.
46d
BP = 10 − x (km) en de kosten van het tracé BP zijn (10 − x ) ⋅ 1 000 ⋅ 100 = 1 000 000 − 100 000x euro.
46e
EP 2 = AP 2 + AE 2 = x 2 + 52 = x 2 + 25 ⇒ EP = x 2 + 25 (km). De kosten van het tracé PE zijn x 2 + 25 ⋅ 1 000 ⋅ 140 = 140 000 ⋅ x 2 + 25 euro.
46f TK = 1 000 000 − 100 000x + 140 000 ⋅ x 2 + 25. 46g TK = 1 000 000 − 100 000x + 140 000 ⋅ x 2 + 25 ⇒ dTK = 100 000 + 140 000 ⋅ dx
1 2⋅
2
⋅ 2x = −100 000 + 140000x . x 2 + 25
x + 25
dTK = −100 000 + 140000x = 0 ⇒ 140000x = 100 000 ⇒ 14x = 10 ⇒ 14x = 10 ⋅ x 2 + 25 (kwadr.) 2 2 2 dx 1 x + 25 x + 25 x + 25 2 2 2 2 2 196x = 100(x + 25) ⇒ 196x = 100x + 2 500 ⇒ 96x = 2 500 ⇒ x 2 = 2500 ⇒ x = 2500 ≈ 5,103. 96 96
47a
FP = 2 000 − x en AP = AP 2 + AE 2 = x 2 + 2002 = x 2 + 40 000. K = 65 ⋅ x 2 + 40 000 + (2 000 − x ) ⋅ 50 = 65 ⋅ x 2 + 40 000 − 50x + 100 000.
47b
K = 65 ⋅ x 2 + 40 000 − 50x + 100 000 ⇒ dK = 65 ⋅ dx
dK = dx
1 2⋅
x 2 + 40000
⋅ 2x − 50 =
65x − 50. x 2 + 40000
65x 65x 13x − 50 = 0 ⇒ = 50 ⇒ = 10 ⇒ 13x = 10 ⋅ x 2 + 40 000 (kwadr.) 1 x 2 + 40000 x 2 + 40000 x 2 + 40000
169x 2 = 100(x 2 + 40 000) ⇒ 169x 2 = 100x 2 + 4 000 000 ⇒ 69x 2 = 4 000 000 ⇒ x 2 = 4000000 ⇒ x = 69
48a
4000000 ≈ 241. 69
R = p ⋅ q = (1560 − a ⋅ q ) ⋅ q = 1 560q − a ⋅ q ⋅ q = 1560q − a ⋅ q ⋅ q 0,5 = 1560q − a ⋅ q 1,5 . R = 1 560q − a ⋅ q 1,5 ⇒ dR = 1560 − 1,5a ⋅ q 0,5 = 1 560 − 1,5a ⋅ q . dq
dR = 0 ⇒ 1 560 − 1,5a ⋅ 169 = 0 ⇒ 1 560 − 1,5a ⋅ 13 = 0 ⇒ 1 560 = 1,5a ⋅ 13 ⇒ a = 1560 = 80. dq 1,5 ⋅ 13 q =169 48b
a = 92 ⇒ R = 1 560q − 92 ⋅ q 1,5 en W = R − K = 1 560q − 92 ⋅ q 1,5 − (250 + bq ) = 1560q − 92 ⋅ q 1,5 − 250 − bq . W = 1560q − 92 ⋅ q 1,5 − 250 − bq ⇒ dW = 1560 − 1,5 ⋅ 92 ⋅ q 0,5 − b = 1 560 − 138 ⋅ q − b . dq
p = 548 ⇒ 548 = 1560 − 92 ⋅ q ⇒ 92 ⋅ q = 1 012 ⇒ q = 11 ⇒ q = 112 = 121. dW = 0 ⇒ 1560 − 138 ⋅ 121 − b = 0 ⇒ 1560 − 138 ⋅ 11 = b ⇒ b = 42. dq q =121
G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 10/13 Diagnostische toets ∆y f (5) − f (1) = ≈ −0,3. ∆x 5 −1 1 1 '(x ) = −4 ⋅ x −2 + ⋅ 2 = − 42 + . x 2 ⋅ 2x − 1 2x − 1
D1a
De gemiddelde snelheid op het interval [1,5] is
D1b
f (x ) = 4 + 2x − 1 = 4 ⋅ x −1 + 2x − 1 ⇒ f x
f '(3) = − 42 + 3
D1c
1 ≈ 0, 03 > 0, dus 2⋅3 − 1
f (x ) neemt toe voor x = 3.
k : y = ax + b met a = f '(2 1 ) = − 41 2 + 2
1
(2 )
2 ⋅ 2 21 − 1
2
= −0,14.
k : y = −0,14x + b ⇒ 3, 6 = −0,14 ⋅ 2 1 + b ⇒ b = 3, 95. Dus k : y = −0,14x + 3, 95. yA = f (2 1 ) = 3, 6 ⇒ A(2 1 ; 3, 6) 2 2
D2a
2
R (q ) = 1 q 3 − 10q 2 + 84q ⇒ R '(q ) = q 2 − 20q + 84. 3
De snelheid waarmee R verandert voor x = 4 is R '(4) = 42 − 20 ⋅ 4 + 84 = 20. D2b R '(q ) = q 2 − 20q + 84 = 0 ⇒ (q − 6)(q − 14) = 0 ⇒ q = 6 ∨ q = 14. R is maximaal (zie een plot van R ) voor x = 6 en Rmax = 216. D3
K = 0, 01q 3 − 2, 4q 2 + 500q + 10 000 ⇒ dK = K '(q ) = 0, 03q 2 − 4, 8q + 500 ⇒ d dK = K "(q ) = 0, 06q − 4,8. dq dq dq d dK = 0 ⇒ 0, 06q − 4,8 = 0 ⇒ 0, 06q = 4,8 ⇒ q = 4,8 = 80. dq dq 0,06 dK is minimaal (er is maar één kandidaat voor de vraagstelling/zie een plot van dK ) voor dq dq dK = 308, dus de minimale snelheid waarmee K toeneemt is 308 (€/kg). dq q =80
D4
q = 80.
dy = y '(x ) = 1 + 10 ⋅ 1 = 1 + 5 (is steeds positief en wordt voor toenemende x steeds kleiner). dx 2⋅ x x dy (zie hiernaast) volgt: Uit een plot van dx dy • de grafiek van ligt geheel boven de x -as, dus de grafiek van y is stijgend dx dy de grafiek van is bovendien dalend, dus de grafiek van y is afnemend stijgend. • dx
y = x + 10 ⋅ x ⇒
D5a f (x ) = 5x ⋅ (3x + 2)2,4 ⇒ f '(x ) = 5 ⋅ (3x + 2)2,4 + 5x ⋅ 2, 4( 3x + 2 )1,4 ⋅ 3 = 5(3x + 2)2,4 + 36x (3x + 2)1,4 . D5b
g (x ) = 6x ⋅ x 2 + 4 ⇒ g '(x ) = 6 ⋅ x 2 + 4 + 6x ⋅
2 ⋅ 2x = 6 ⋅ x 2 + 4 + 6x .
1 2⋅
x2+ 4
x2+ 4
D6a f (x ) = 2x ⋅ (x 2 + 3) 4 ⇒ f '(x ) = 2 ⋅ (x 2 + 3) 4 + 2x ⋅ 4( x 2 + 3 )3 ⋅ 2x = 2 ⋅ (x 2 + 3) 4 + 16x 2 ⋅ (x 2 + 3)3
)
(
= (x 2 + 3)3 2 ⋅ (x 2 + 3) + 16x 2 = (x 2 + 3)3 ⋅ (2x 2 + 6 + 16x 2 ) 2
= (x + 3) ⋅ (18x + 6) = (18x + 6) ⋅ (x 2 + 3)3 = 6 ⋅ (3x 2 + 1) ⋅ (x 2 + 3)3. D6b
2
2
g (x ) = 4x 2 ⋅ 5x + 2 ⇒ g '(x ) = 8x ⋅ 5x + 2 + 4x 2 ⋅ =
D7a
3
8x ⋅ (5x + 2) + 10x
2
5x + 2
1 2 ⋅ 5x + 2
dx
(x + 3)
(x + 3)
2
5x + 2
7 . (x + 3)2
dy (5x − 1) ⋅ 1 − (x + 2) ⋅ 5 5x − 1 − 5x − 10 D7b y = x + 2 ⇒ = = = 2 2 5x − 1
D7c
dx
(5x − 1)
(5x − 1)
5x + 2
2
−11 . (5x − 1)2
2 dy (4x − 2) ⋅ 6x − 3x 2 ⋅ 4 24x 2 − 12x − 12x 2 12x 2 − 12x y = 3x ⇒ = = = . 2 2 2
D7d y
4x − 2
dx
(4x − 2)
(4x − 2)
2
= 40x + 16x + 10x = 50x + 16x .
dy (x + 3) ⋅ 2 − (2x − 1) ⋅ 1 2x + 6 − 2x + 1 y = 2x − 1 ⇒ = = = 2 2
x +3
2 2 ( 5x + 2)2 ⋅ 5 = 8x ⋅ 5x + 2 + 10x = 8x ⋅ + 10x
(4x − 2)
2 2 2 dy 3x 2 ⋅ 4 − (4x − 2) ⋅ 6x = 4x −2 2 ⇒ = = 12x − 24x4 + 12x = −12x +4 12x . dx 3x (3x 2 )2 9x 9x
5x + 2
5x + 2
5x + 2
G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 11/13
D8a
2 dy (2x − 4) ⋅ (2x − 3) − (x 2 − 3x + 18) ⋅ 2 4x 2 − 6x − 8x + 12 − 2x 2 + 6x − 36 2x 2 − 8x − 24 y = x − 3x + 18 ⇒ = = = . 2 2 2
2x − 4 dx (2x − 4) 2 dy 2 − 8 − 24 x x = = 0 ( ⇒ teller = 0) dx (2x − 4)2 2
(2x − 4)
(2x − 4)
2x − 8x − 24 = 0
x 2 − 4x − 12 = 0 (x − 6)(x + 2) = 0 x = 6 ∨ x = −2. x = 6 geeft minimum (zie een plot/TABLE) y (6) = 4,5 en x = −2 geeft maximum (zie een plot/TABLE) y (−2) = −3,5. 2 dy D8b k : y = ax + b met a = = 2 ⋅ 0 − 8 ⋅ 0 −2 24 = −242 = − 24 = −1 1 . d 16 2 x (2 ⋅ 0 − 4) ( −4) x =0 1 k : y = −1 x + b 1 1 1 2 ⇒ b = −4 2 . Dus k : y = −1 2 x − 4 2 . 2 yA = 0 − 3 ⋅ 0 + 18 = 18 = −4 1 ⇒ A(0, − 4 1 ) 2⋅0 − 4 −4 2 2
D9a
3000t = 360 (intersect) ⇒ t = 3 ∨ t = 5 1 . 3 t 2 + 16 3000t > 360 (zie een plot) ⇒ 3 < t < 5 1 . Dus tussen 12:00 en 14:20. 3 t 2 + 16
2 t ⇒ dN = (t + 16) ⋅ 3000 − 3000t ⋅ 2t = 3000t 2 + 48000 − 6000t 2 = −3000t 2 + 48000 . D9b N = 3000 2 2 2 2 2 2 2
dt (t + 16) (t + 16) (t + 16) t + 16 dN = −3000t 2 + 48000 = 0 ( ⇒ teller = 0) ⇒ −3 000t 2 = −48 000 ⇒ t 2 = 16 (met t > 0) ⇒ t = 4. dt (t 2 + 16)2 t = 4 geeft Nmax (zie de plot bij D9a) = 375. Dus om 13:00 zijn er 375 pinbetalingen per minuut.
D9c
≈ 66, 9 en Om 11:22 is t = 2 22 met dN 60 dt t =2 22 60
≈ 33, 6. om 12:00 is t = 3 met dN dt t =3 De snelheid is dus ongeveer gehalveerd. D10a y = 16 ⋅ x 2 + 75 − 8x + 4 ⇒ dy = 16 ⋅ dx
=
2⋅ 16x 2
1
x 2 + 75
x + 75
D10b
⋅ 2x − 8
dy = dx
16x − 8 = 0 ⇒ 16x = 8 1 x 2 + 75 x 2 + 75
16x = 8 ⋅ x 2 + 75 ⇒ 2x = x 2 + 75 (kwadrateren) 4x 2 = x 2 + 75
− 8.
3x 2 = 75
x 2 = 25 x = −5 (voldoet niet) ∨ x = 5 (voldoet). y min (zie plot/TABLE) = y (5) = 124. D11a Opp .poster = x ⋅ y = 3200 ⇒ y = 3200 én Opp .afbeelding = A = (x − 4 − 4) ⋅ (y − 6 − 6) = (x − 8) ⋅ (y − 12). x Dus A = (x − 8) ⋅ ( 3200 − 12) = 3200 − 12x − 8 ⋅ 3200 + 96 = 3296 − 12x − 25600 . x
x
x
−1 −2 = −12 + 25 600 . D11b A = 3296 − 12x − 25600 = 3296 − 12x − 25 600x ⇒ dA = −12 + 25 600x 2
x dx x dA = −12 + 25600 = 0 ⇒ 25600 = 12 ⇒ 12x 2 = 25 600 ⇒ x 2 = 25600 ⇒ x = 25600 . 1 dx 12 12 x2 x2 Uit een plot (en zelfs al de vraagstelling) blijkt dat A maximaal is x = 25600 ≈ 46,2 (cm) en 12
De afmetingen van de afbeelding zijn 46,2 bij 69,3 cm.
y ≈ 69,3 (cm).
G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 12/13 Gemengde opgaven 16. Toepassingen van de differentiaalrekening G31a f (x ) = 6x (2x − 5)3,6 + 20x 3,6 ⇒ f '(x ) = 6 ⋅ (2x − 5)3,6 + 6x ⋅ 3, 6( 2x − 5 )2,6 ⋅ 2 + 20 ⋅ 3, 6x 2,6
= 6 ⋅ (2x − 5)3,6 + 43,2(2x − 5)2,6 + 72x 2,6. 2 3 3 (x 2 + 2) ⋅ 6x − (3x 2 − 1) ⋅ 2x G31b g (x ) = 3x2 − 1 + 8x ⇒ g '(x ) = + 8 = 6x + 12x2 − 6x2 + 2x + 8 = 2 2
x +2
(x + 2)
(x + 2)
G31c h (x ) = 8x ⋅ x 2 + 5 − 2x − 5 ⇒ h '(x ) = 8 ⋅ x 2 + 5 + 8x ⋅
1
⋅ 2x −
2
2⋅ x + 5
14x + 8. (x 2 + 2)2
1 2 ⋅ 2x − 5
2 ⋅ 2 = 8 ⋅ x 2 + 5 + 8x
x2+ 5
−
1 2x − 5
2 (2x + 1)2 ⋅ 6x − (3x 2 − 1) ⋅ 2( 2x + 1 )1 ⋅ 2 (2x + 1) ⋅ 6x − (3x 2 − 1) ⋅ 4 12x 2 + 6x − 12x 2 + 4 = = = 6x − 43 . G31d k (x ) = 3x − 12 ⇒ k '(x ) = 2 2 3 3
(2x + 1)
((2x + 1) )
(2x + 1)
(2x + 1)
(2x + 1)
G32a f (x ) = 2x 3 ⋅ (5x − 3)2 ⇒ f '(x ) = 6x 2 ⋅ (5x − 3)2 + 2x 3 ⋅ 2( 5x − 3 )1 ⋅ 5 = 6x 2 ⋅ (5x − 3)2 + 20x 3 ⋅ (5x − 3)
= 2x 2 ⋅ (5x − 3) (3 ⋅ (5x − 3) + 10x ) = 2x 2 ⋅ (5x − 3)(15x − 9 + 10x ) = 2x 2 (5x − 3)(25x − 9). G32b g (x ) = 16x ⋅ x 2 + 4 ⇒ g '(x ) = 16 ⋅ x 2 + 4 + 16x ⋅ 2⋅ 2
2
= 16 ⋅ x + 4 ⋅ x + 4 + 16x 2
x +4
x2+ 4
x +4
2
1
2 ⋅ 2x = 16 ⋅ x 2 + 4 + 16x
1 2
2
2
=
16(x + 4) + 16x
x +4
2
x +4
2
2 2 32(x 2 + 2) = 16x + 64 + 16x = 32x + 64 = . 2
x2+ 4
x 2+ 4
x 2+ 4
2 G32c h (x ) = x ⋅ 2x + 1 −
1 1 = x 2 ⋅ 2x + 1 − = x 2 ⋅ 2x + 1 − (2x + 1) −0,5 ⇒ (2x + 1) 0,5 2x + 1 2 1 1 h '(x ) = 2x ⋅ 2x + 1 + x 2 ⋅ ⋅ 2 + 0,5( 2x + 1 ) −1,5 ⋅ 2 = 2x ⋅ 2x + 1 + x + 2 + 1 (2x + 1)1,5 x 2 ⋅ 2x + 1 2 2x ⋅ (2x + 1) ⋅ (2x + 1) + x 2 ⋅ (2x + 1) + 1 (2x + 1) ⋅ 2x + 1 1 = 2x ⋅ 2x + 1 ⋅ + x ⋅ 2x + 1 + = 1 (2x + 1) ⋅ 2x + 1 2x + 1 2x + 1 (2x + 1) ⋅ 2x + 1 (2x + 1) ⋅ 2x + 1 2x ⋅ (4x 2 + 2x + 2x + 1) + 2x 3 + x 2 + 1 8x 3 + 4x 2 + 4x 2 + 2x + 2x 3 + x 2 + 1 10x 3 + 9x 2 + 2x + 1
=
=
(2x + 1) ⋅ 2x + 1
(2x + 1) ⋅ 2x + 1
=
(2x + 1) ⋅ 2x + 1
.
2 2 2 (50 + t 2 ) ⋅ 45000 − 45000t ⋅ 2t . = 2250000 + 450002t 2 − 90000t = −45000t + 2250000 G33a N = 45000t2 ⇒ dN = 2 2 2 2
dt 50 + t (50 + t ) (50 + t ) (50 + t ) dN = −45000t 2 + 2250000 = 0 ( ⇒ teller = 0) ⇒ −45 000t 2 = −2250 000 ⇒ t 2 = 50 (met t > 0) ⇒ t = dt (50 + t 2 )2
50.
Nmax (volgt uit de vraagstelling) = N ( 50) ≈ 3182. G33b De tiende week loopt van t = 9 tot t = 10.
De procentuele toename in de tiende week is
N (10) − N (9) × 100% ≈ −3, 0%, dus de procentuele afname is 3, 0%. N (9)
2 = −45000 ⋅ 10 + 22250000 = −100 (bacteriën/week). G33c dN dt t =10 (50 + 10 )2 Dus het aantal bacteriën neemt op t = 10 af met 100 bacteriën per week.
G33d N = 45000t2 = 3 000 (intersect) ⇒ t = 5 ∨ t = 10. 50 + t
N = 450002t > 3 000 (zie een plot) ⇒ 5 < t < 10. Dat is gedurende 5 weken, dus 35 dagen. 50 + t
G34a Bij 50% hoort f = 0,5 ⇒ f
1 −f
Aflezen in de grafiek: bij G34b d
( )= f
df 1 − f
G34c
f hout 1 − f hout
(1 − f ) ⋅ 1 − f ⋅ −1 (1 − f )2
=
f
1 −f
0,5 0,5 = = 1 = 100. 1 − 0,5 0,5 0
= 10 hoort het jaar 1877 (eventueel 1875 of 1876 of 1878 of 1879).
= 1 − f + f2 = (1 − f )
1 > 0 (als 0 ≤ f < 1) ⇒ f neemt toe als 1 −f (1 − f )2
f toeneemt.
= 3, 03 ⋅ 0, 96t ⇒ f hout = (1 − f hout ) ⋅ 3, 03 ⋅ 0, 96t ⇒ f hout = 3, 03 ⋅ 0, 96t − 3, 03 ⋅ 0, 96t ⋅ f hout .
Dus f hout + 3, 03 ⋅ 0, 96t ⋅ f hout = 3, 03 ⋅ 0, 96t ⇒ f hout ⋅ (1 + 3, 03 ⋅ 0, 96t ) = 3, 03 ⋅ 0, 96t . 3,03 ⋅ 0,96t Hieruit volgt: f hout = . 1 + 3,03 ⋅ 0,96t G34d f olie + f gas = 0,25 (intersect) ⇒ t ≈ 93,34. Dit is in 1943. G35a 2,3 ⋅ C ⋅ log(C ) = 495 378 (intersect) ⇒ C ≈ 46 000.
G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 13/13 G35b Bij r = 100 is het verschil (ongeveer) 1 800 − 880 = 920 (eventueel 1800 − 800 = 1000). Bij r = 500 is het verschil (ongeveer) 350 − 176 = 174 (eventueel 350 − 150 = 200). Conclusie: het verschil bij r = 100 is groter dan bij r = 500. G35c Minder dan 2 200 woorden komen hoger uit dan Zipf voorspelt. Het aantal gebruikte woorden is 20 000, dus uitspraak 1 is niet waar. De grafiek van Zipf loopt verder naar rechts door, dus uitspraak 2 is waar.
. G35d fr = 88000 = 88 000 ⋅ r −1 ⇒ fr ' = −88 000 ⋅ r −2 = − 88 000 r r2 • de grafiek van fr ' ligt onder de x -as (de waarde is negatief) ⇒ fr is dalend. • de grafiek van fr ' neemt toe (de waarde wordt steeds minder negatief) ⇒ fr is afnemend dalend.
G36a MO = dTO , dus MO is de helling van de grafiek van TO . dq
Grafiek 4 hoort bij model A, want de helling van de grafiek van TO is constant. Grafiek 1 hoort bij model B, want de helling van de grafiek van TO neemt voortdurend af (en wordt uiteindelijk negatief). Grafiek 3 hoort bij model C, want de helling neemt eerst toe en neemt dan af, maar blijft positief. Grafiek 2 hoort bij model D, want de helling neemt eerst toe en neemt dan af en wordt uiteindelijk negatief. G36b TO = −0, 01q 3 + b ⋅ q 2 ⇒ dTO = −0, 03 ⋅ q 2 + 2b ⋅ q .
dq dTO = −0, 03 ⋅ q 2 + 2b ⋅ q = 0 ⇒ q ⋅ ( −0, 03q + 2b ) = 0 ⇒ q = 0 ∨ − 0, 03q + 2b = 0 ⇒ q = 0 ∨ q = 2b . dq 0,03 q max = 2b (of q max = 66, 7 ⋅ b ) met als grafiek een rechte lijn door de oorsprong en het punt (3,200). 0,03
G37a 880,2 = 111960 − 1 433,5 (intersect) ⇒ t ≈ 48,39 (seconden). t
G37b 190,2 ⋅ r − 711,3 = 10,14 ⋅ (r − 7)1,08 (intersect) ⇒ r ≈ 23,27 ∨ r ≈ 67,38.
190,2 ⋅ r − 711,3 = 10,14 ⋅ (r − 7)1,08 (zie een plot) ⇒ 23,27 < r < 67,38. 1
1
− G37c P = a r − b = a ⋅ r 2 − b (met r > 0) ⇒ dP = 1 ⋅ a ⋅ r 2 = a . dr
2
Als r stijgt, dan neem de noemer 2 r toe en neemt Omdat a > 0 is dP = a > 0 en neemt dP = a dr
2 r
dr
2 r
2 r 1 af. 2 r
dus af.
De stijging van de grafiek van P verloopt steeds minder snel. G38a 4:44.79 is 284,79 seconden, dus de gemiddelde snelheid is 2000 ≈ 7,023 m/s ofwel 25,28 km/uur. 284,79
G38b v =
G38c v = G38d v =
200a 44a 2 + 1
200a 44a 2 + 1 200a
− 0, 07a + 23 = 30 (intersect) ⇒ a ≈ 0, 6 (km of 600 meter).
− 0, 07a + 23 (optie maximum) ⇒ a ≈ 0,151 (km of 151 meter). − 0, 07a + 23 ⇒
dv (44a 2 + 1) ⋅ 200 − 200a ⋅ 88a = − 0, 07. da (44a 2 + 1)2
44a 2 + 1 dv ≈ −2, 03 < 0 ⇒ v neemt af bij een afstand van 1500 meter. da a =1,5
G38e a = 42,195 ⇒ v = 20,154.
De benodigde tijd is
42,195 ≈ 2, 094 uur. 20,154
Dit komt overeen met 2 uur, 5 minuten en 38 (of 37) seconden. Het verschil is 43 (of 42) seconden.
