1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 15
Inleiding
15
1.1 Inleiding In de afgelopen decennia is de functie van financieel manager binnen het bedrijfsleven sterk veranderd. Deze functionaris is niet alleen verantwoordelijk voor de financiële administratie, doch ook voor het kasbeheer. Vanaf de jaren zeventig is het kasbeheer steeds belangrijker geworden. Als oorzaken van deze ontwikkeling kunnen enkele factoren worden genoemd. Allereerst is door het loslaten van de vaste wisselkoersen in 1973 het valutarisico aanmerkelijk groter geworden. Door de toenemende internationalisatie van ondernemingen is dit probleem bovendien steeds belangrijker geworden. Tevens is in de afgelopen decennia ook de rentestand aan behoorlijke schommelingen onderhevig geweest. Het renterisico en het valutarisico kunnen echter niet geheel los van elkaar worden gezien. Een van de redenen voor de toegenomen fluctuaties in de rentestand is gelegen in het overheidsingrijpen. Ter bescherming van de nationale valuta hanteert men nogal eens het rentewapen. Wanneer de koers van de nationale valuta onder druk staat, verhoogt men de rente om zodoende vermogen uit het buitenland aan te trekken. Een andere oorzaak voor de toegenomen belangrijkheid van het kasbeheer gedurende de laatste jaren is gelegen in de groeiende mogelijkheden voor het voeren van een goed kasbeheer. Hierbij valt niet alleen te denken aan de rol van de technologie, doch ook aan de verbeterde financiële positie van het bedrijfsleven. Het spreekt voor zich dat de relatie tussen bedrijfsleven en bankwezen hierdoor aanmerkelijk is gewijzigd. Ter vervulling van haar werkzaamheden dient de onderneming over productiemiddelen te beschikken. Deze productiemiddelen (activa), waaronder duurzame productiemiddelen, voorraden en debiteuren, staan vermeld aan de debetzijde van de balans. Aan de creditzijde van de balans wordt aangegeven hoe deze activa zijn gefinancierd. De debetzijde van de balans geeft de kapitaalstructuur (= investeringsstructuur) en de creditzijde van de balans de vermogensstructuur weer. De vermogensstructuur geeft aan in welke mate de onderneming bij haar financiering van de verschillende vermogenscomponenten, waaronder aandelenvermogen, hypotheekleningen, obligatieleningen en bankkrediet, gebruik heeft gemaakt. Bij het emitteren van aandelen of het plaatsen van een obligatielening heeft men te maken met aanzienlijke uitgaven per plaatsing. Derhalve geschiedt het in grote bedragen en in principe voor langere tijd. Aandelen en obligaties zijn voorbeelden van vermogenstitels. Een vermogenstitel is een al dan niet verhandelbaar recht, waarvan de houder aanspraak kan maken op bepaalde kasstromen van de uitgevende instelling. In het geval van obligaties staan deze kasstromen (rente en aflossing) in principe vast, terwijl het dividend, de vergoeding voor het ter beschikking stellen van aandelenvermogen, van jaar tot jaar kan verschillen en zelfs achterwege kan blijven (“het dividend wordt gepasseerd”).
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 16
16
Inleiding
In tegenstelling tot het emitteren van aandelen of obligaties zijn aan het bankkrediet, naast de vergoeding voor het beschikbaar stellen van vermogen (rente), weinig kosten verbonden. Het bankkrediet is een vorm van kortlopend vermogen (dat wil zeggen dat deze vermogenscomponent binnen een jaar opeisbaar is). Het staat de onderneming vrij om tot een bepaalde hoogte (kredietplafond) krediet op te nemen. Bij een groeiende behoefte aan liquide middelen zal een ondernemingsleiding eerst de toegestane kredietruimte benutten. Vervolgens kan met de bank worden afgesproken om het kredietplafond te verhogen. Uiteraard dient de bankier hiertoe wel bereid te zijn. Zo is het mogelijk dat de bankier slechts tijdelijk het kredietplafond wil verhogen onder de voorwaarde dat de leiding van de onderneming eigen vermogen (door het emitteren van aandelen) of lang vreemd vermogen (door het plaatsen van bijvoorbeeld een obligatielening) aantrekt. Bij het verschaffen van vermogen speelt de bankier derhalve een belangrijke rol. Echter, door de toegenomen financiële kracht van de bedrijven is men niet meer (uitsluitend) op het bankwezen aangewezen voor de financiering van de vermogensbehoefte. Het bankwezen heeft niet langer de overheersende machtspositie aan de aanbodzijde van de vermogensmarkt. Door de toegenomen financiële kracht van het bedrijfsleven zijn daar middelen aanwezig die eventueel elders kunnen worden aangewend. Dit kan derhalve resulteren in een direct contact tussen vermogensvrager en vermogensaanbieder zonder tussenkomst van de bank. De financieel manager kan bij een begroot kastekort de benodigde middelen niet alleen door het opnemen van bankkrediet verkrijgen, doch kan heden ten dage ook de vermogensverschaffers direct benaderen. Bij het leggen van het contact tussen vermogensverschaffer en vermogensvrager kan de bank behulpzaam zijn. Door deze ontwikkeling heeft de financieel manager bij het aantrekken van vermogen met steeds meer partijen te maken. Bovendien is de onderlinge concurrentie tussen de banken toegenomen, hetgeen bijvoorbeeld de door de bank in rekening gebrachte kosten “onderhandelbaar” maakt. De onderhandelingspositie van een onderneming ten opzichte van het bankwezen wordt vergroot wanneer één functionaris namens de onderneming met het bankwezen onderhandelt. Functionarissen binnen de onderneming, die zich vroeger zelf tot het bankwezen wendden, dienen zich bij het aantrekken van vermogen tot de financieel manager te richten. Deze functionaris vervult derhalve steeds meer de rol van “interne” bankier, die zich als volwaardige onderhandelingspartner naar de vermogensverschaffers manifesteert. Door deze ontwikkelingen is in de marktsector voor de financieel manager de taak van kasbeheerder niet langer meer ondergeschikt, doch eerder nevengeschikt aan de financieel-administratieve taak. Uiteraard kunnen deze twee taken niet los van elkaar worden gezien, zodat een goede onderlinge koppeling noodzakelijk blijft. Tot de aandachtsgebieden die voortvloeien uit de taak van kasbeheerder kunnen worden gerekend: 1 aantrekken van vermogen 2 alloceren (toewijzen) van vermogen 3 beheer van de kasstromen die door productie zijn ontstaan
1 Inleiding
27-06-2007
Inleiding
12:30
Pagina 17
17
4 terugbetalen van aangetrokken vermogen en het verstrekken van een vergoeding over het ter beschikking gestelde vermogen. Bij de financieel-administratieve taak staat daarentegen de financieel-administratieve beheersing van het productieproces en de financiële verslaggeving centraal. Bezien wij de aandachtsgebieden van de (financieel manager in zijn hoedanigheid van) kasbeheerder (treasurer), dan kan met betrekking tot het aantrekken van vermogen worden opgemerkt dat uitbreiding van het eigen vermogen door middel van het emitteren van aandelen een bestuursaangelegenheid is, waarbij voor de financieel manager slechts een adviserende rol is weggelegd. Het terugbetalen en belonen van aangetrokken vermogen liggen meer in het uitvoerende dan in het besturende vlak. Afgezien van de hoogte van het dividend ligt de omvang van deze geldstromen zo goed als vast. De financieel manager besteedt daar derhalve relatief weinig tijd aan. Meer tijd spendeert deze functionaris aan het alloceren van vermogen en het beheer van de kasstromen die door productie zijn ontstaan. Met name de valuta- en renteproblematiek vereist zijn aandacht. De handelingen van de financieel manager in zijn hoedanigheid van kasbeheerder worden beheerst door het denken in kasstromen. Daarbij speelt ook het risico een grote rol. In dit boek staat het denken in kasstromen centraal. Tevens zal de nadruk liggen op de regelmatig terugkerende aspecten van het kasbeheerbeleid. Dit impliceert dat vooral aandacht wordt besteed aan het tweede en derde aandachtsgebied van de kasbeheerder. De taak van de kasbeheerder moet in overeenstemming zijn met de doelstelling van de desbetreffende onderneming. Omtrent de doelstelling van een onderneming bestaan verschillende meningen. Sommigen beweren dat het continuïteitsstreven de drijfveer van een onderneming is of zou moeten zijn. Een meer exacte doelomschrijving treft men bij diegenen aan, die menen dat bestuurders van ondernemingen winstmaximalisatie nastreven. Probleem is echter: op welke termijn wil men de winst maximaliseren en wat is nu precies winst ? Ten aanzien van de termijn is de cruciale vraag of men streeft naar winstmaximalisatie op korte danwel op de lange termijn. In het eerste geval (de korte termijn) dient de afdeling onderzoek en ontwikkeling direct te worden gesloten. Op korte termijn kost deze afdeling immers meer geld dan zij opbrengt. Echter, de meeste ondernemingen bezitten een dergelijke afdeling. Wordt gesteld dat bestuurders van ondernemingen streven naar winstmaximalisatie op lange termijn, dan rijst de vraag wat de lengte van de termijn is waarover de winst gemaximaliseerd moet worden. Een vergelijking tussen deze doelstelling en de uiteindelijke realisatie kan dan pas na afloop van de gestelde termijn worden gemaakt. Dit is derhalve een weinig operationele doelstelling. Wij menen dat de doelstelling van het bestuur van een onderneming zou moeten worden omschreven als waardemaximalisatie. Onder waarde verstaan wij daarbij de marktwaarde. Met de invoering van nieuwe boekhoudkundige normen (IAS-IFRS) komt het marktwaarde-denken nog centraler te staan. De waarde van de onderne-
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 18
18
Inleiding
ming is in deze optiek de contante waarde van de (verwachte) vrije kasstromen. De wiskundige definitievergelijking van de waarde van een onderneming is: V = kas1/(1 + ko) + kas2/(1 + ko)2 + kas3/(1 + ko)3 + ...
(1.1)
waarbij: V = waarde van de onderneming; kast = (verwachte) vrije kasstroom (free cash flow) op tijdstip t; ko = de kostenvoet van de onderneming (vermogenskostenvoet). In deze definitievergelijking komen twee begrippen naar voren, te weten de vrije kasstroom en de vermogenskostenvoet. De vrije kasstroom is de kasstroom die door de ondernemingsactiviteiten wordt gegenereerd. Hieronder vallen derhalve niet de financieringskasstromen. In hoofdstuk 2 komen wij uitgebreid terug op de bepaling van de vrije kasstroom. De vermogenskostenvoet van de onderneming is de prijs van het aan de onderneming beschikbaar gestelde vermogen. Eenvoudigheidshalve wordt dit vermogen veelal verdeeld in eigen vermogen en vreemd vermogen. Aan het beschikbaar stellen van eigen vermogen kleven meer risico’s dan aan vreemd vermogen. Dit betekent dat de kostenvoet van het eigen vermogen hoger is dan de kostenvoet van het vreemd vermogen. Bovendien geldt voor ondernemingen dat de vergoeding over het ter beschikking gestelde vreemd vermogen fiscaal aftrekbaar is van de winst. Een dergelijke aftrek geldt niet voor de vergoeding van het ter beschikking gestelde eigen vermogen. Dit betekent dat voor de kostenvoet van de onderneming geldt: ko = (EV/TV) ke + (VV/TV) (1 – f) kv
(1.2)
waarbij: ko = kostenvoet van de onderneming; ke = kostenvoet van het eigen vermogen; kv = kostenvoet van het vreemd vermogen; EV = marktwaarde van het eigen vermogen; VV = marktwaarde van het vreemd vermogen; TV = marktwaarde van het totaal vermogen, TV = EV + VV; f = het belastingpercentage. Zoals uit de gegeven definitievergelijking blijkt, is de vermogenskostenvoet afhankelijk van de vermogensstructuur. Voor de duidelijkheid merken wij op dat de kostenvoeten op marktwaarde-gegevens zijn gebaseerd en niet op boekwaarde-gegevens. Ten slotte merken wij op dat de vrije kasstromen toevallen aan alle vermogensverschaffers tezamen. Afhankelijk van de onderlinge verdeling van deze kasstromen, wordt de waarde van het eigen vermogen en de waarde van het vreemd vermogen bepaald. Deze onderlinge verdeling heeft echter geen invloed op de waarde van de onderneming. Dit betekent dat de (markt)waarde van de onderneming per definitie
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 19
Inleiding
19
gelijk is aan de (markt)waarde van het eigen vermogen plus de (markt)waarde van het vreemd vermogen van de onderneming. Bezien wij de beslissing om de afdeling research & development te sluiten (zoals op grond van de doelstelling van winstmaximalisatie op korte termijn zou moeten geschieden), dan zou dit leiden tot een waardedaling van toekomstige verwachte vrije kasstromen en derhalve tot een daling van de waarde van de onderneming, hetgeen in strijd is met de doelstelling van waardemaximalisatie. Door uit te gaan van verwachte kasstromen omzeilen wij het probleem van de bepaling van de winst. In het geval van kasstromen is het onder andere niet nodig om de grootte van de afschrijvingen vast te stellen. De bepaling van de grootte van de afschrijvingen is een vrij arbitraire zaak. Bovendien hebben de afschrijvingen geen invloed op de (markt)waarde van een onderneming. In hoofdstuk 2 komen wij uitgebreid terug op de kasstromen. Relatie kapitaalstructuur versus vermogensstructuur Aan het economische reilen en zeilen van een onderneming zitten verschillende kanten. Zo dient men beslissingen te nemen aangaande de (gewenste) kapitaalstructuur (investeringsstructuur) als ook ten aanzien van de (gewenste) vermogensstructuur. Echter, de kapitaalstructuur beïnvloedt de vermogensstructuur en omgekeerd. Wanneer bijvoorbeeld de onderneming veel in duurzame productiemiddelen heeft geïnvesteerd, kan het wenselijk zijn dat de financiering voor een belangrijk deel door middel van eigen vermogen en/of lang vreemd vermogen geschiedt. Anderzijds geldt dat wanneer de onderneming met relatief veel kort vreemd vermogen – bijvoorbeeld bankkrediet – is gefinancierd, zij in haar investeringsbeslissingen wordt beperkt. Wil de ondernemingsleiding investeren in duurzame activa, dan zal zij in dat geval eerst de vermogensstructuur moeten reorganiseren. Bij de behandeling van de onderwerpen in dit boek zullen wij – tenzij anders vermeld – aannemen dat het verkrijgen van vermogen geen problemen oplevert en dat de vermogensverschaffers het extra benodigde vermogen tegen dezelfde condities beschikbaar stellen.
Zoals gezegd bestaan er omtrent de doelstelling van de onderneming verschillende visies. Wanneer men de gemiddelde ondernemer in het midden- en kleinbedrijf vraagt naar de doelstelling van de onderneming, krijgt men veelal het streven naar continuïteit of het streven naar winstmaximalisatie als antwoord. Wordt doorgevraagd naar het beleid ten aanzien van het risicobeheer, dan blijkt dat men meer doet dan men op grond van de geformuleerde doelstelling zou verwachten. Jarenlang kon men deze afwijkingen ten aanzien van de doelstelling als minder belangrijk afdoen en min of meer negeren. Niet dat men de problemen ten aanzien van bijvoorbeeld valutarisico niet onderkende, maar men had niet de middelen om dit risico te reduceren. Vandaag de dag staan deze middelen de onderneming wel ter beschikking. Ook gezien de enorme bedragen die ermee gemoeid zijn, is het belang-
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 20
20
Inleiding
rijk aan het risico aandacht te besteden. In dit tijdsbeeld past dan ook een verschuiving van het één-dimensionale winstdenken naar het twee-dimensionale waardedenken. Zoals reeds aangegeven zijn daarbij de dimensies de verwachte (vrije) kasstromen en het risico. In de paragrafen 1.2 en 1.3 wordt vervolgens op de tijdvoorkeur en het risico ingegaan. Dit zijn de twee punten die bij het streven naar winstmaximalisatie in principe irrelevant zijn, maar bij het streven naar waardemaximalisatie een uiterst belangrijke rol spelen. Het hoofdstuk wordt afgesloten met paragraaf 1.4, waarin een samenvatting is opgenomen.
1.2 Tijdsvoorkeur – financiële rekenkunde Iemand die tijdelijk een bedrag op een spaarrekening zet, ziet er vanaf dit bedrag op dit moment voor consumptieve doeleinden te gebruiken. De spaarder krijgt van de financiële instelling (bijvoorbeeld een bank) een vergoeding over het spaarbedrag. De bank zal op haar beurt de spaartegoeden, die aan haar beschikbaar zijn gesteld, weer uitlenen. Degenen die lenen moeten aan de bank een vergoeding verstrekken. De vergoedingen die de spaarder ontvangt en de geldnemer moet betalen, noemen we rente. De vraag is nu: van welke factoren is de hoogte van de rentevergoeding afhankelijk en hoe berekenen we de rente? We zullen zien dat bij het berekenen van de rente de looptijd van de lening, de omvang van het (geleende of gespaarde) bedrag en het overeengekomen rentepercentage van belang zijn. Bovendien behandelen we verschillende soorten rente, zoals enkelvoudige, samengestelde en continue rente.
1.2.1 Renteberekeningen Het begrip rente speelt een belangrijke rol bij financieel-economische berekeningen. Rente is een vergoeding voor het gebruik van geld. Deze vergoeding drukken we uit in een percentage. Rente kunnen we berekenen op basis van enkelvoudige rente, op basis van samengestelde of op basis van continue rente. Bij enkelvoudige rente (ER) berekenen we alleen rente over de hoofdsom. Bij samengestelde rente (SR) berekenen we rente over de hoofdsom plus de aan het einde van iedere periode bijgeboekte rente. Bij continue rente (CR) gaan we ervan uit dat het bijboeken van de rente continu (na afloop van zeer korte tijdsintervallen) gebeurt.
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 21
Inleiding
21
Kader 1.1 Een spaarder heeft € 2 000 (= hoofdsom) op de bank gezet en krijgt hiervoor een vergoeding van 6% rente per jaar. Hoeveel bedraagt zijn tegoed aan het einde van het 3de jaar: a. bij enkelvoudige rente ? b. bij samengestelde rente ?
Tabel 1.1
a) enkelvoudige rente (ER) Tegoed begin jaar 1 Rente jaar 1 (0,06 x 2 000) Tegoed begin jaar 2 Rente jaar 2 (0,06 x 2 000) Tegoed begin jaar 3 Rente jaar 3 (0,06 x 2 000)
Tegoed einde jaar 3
b) samengestelde rente (SR) 2 000 120 ———— 2 120 120 ———— 2 240 120
€ 2 360
Tegoed begin jaar 1 Rente jaar 1 (0,06 x 2 000)
2 000 120 ————— Tegoed begin jaar 2 2.120 rente jaar 2 (0,06 x 2 120) 127,20 ————— Tegoed begin jaar 3 2 247,20 rente jaar 3 (0,06 x 2 247,2) 134,83
Tegoed einde jaar 3
€ 2 382,03
Uit de berekeningen blijkt dat de waarde aan het einde van het 3de jaar bij SR hoger is dan bij ER. Dit komt doordat bij ER alleen rente wordt vergoed over de hoofdsom (begin kapitaal) en bij SR ook over de aan het einde van iedere periode bijgeschreven rente. In de praktijk komt samengestelde rente het meest voor. Dit is ook logisch omdat de bank de rente (zolang die niet door de spaarder is opgenomen) kan gebruiken. Ook bij financieel-economische berekeningen werken we in de meeste gevallen met samengestelde rente. Berekening van de eindwaarde van één bedrag De eindwaarde (Kn) van één bedrag blijkt afhankelijk te zijn van 3 variabelen: – de hoofdsom (K0): gespaarde of geleende bedrag; – de rentevergoeding (i); – de looptijd (n). In symbolen:
Kn = K0 + n * i K0 = K0 (1 + n*i)
(1.3)
In symbolen:
Kn = K0 (1 + i)n
(1.4)
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 22
22
Inleiding
Kader 1.1 (vervolg)
Voor de eindwaarde (Kn) van het bedrag uit voorbeeld 1.1 geldt bij: Enkelvoudige rente Waarde einde 1ste jaar = K1 = 2 000 + 1 * 0,06 * 2 000 = € 2 120 Waarde einde 2de jaar = K2 = 2 000 + 2 * 0,06 * 2 000 = € 2 240 Waarde einde 3de jaar = K3 = 2 000 + 3 * 0,06 * 2 000 = € 2 360
Samengestelde rente Waarde einde 1ste jaar = K1 = 2 000 + 0,06 * 2 000 = 2 000 (1 + 0,06) = € 2 120 Waarde einde 2de jaar = K2 = 2 000 (1 + 0,06) + 0,06 * 2 000 (1 + 0,06) = 2 000 (1 + 0,06) (1 + 0,06) = 2 000 (1 + 0,06)2 = € 2 247,2 Waarde einde 3de jaar = K3 = 2 000 (1 + 0,06)2 + 0,06 * 2 000 (1 + 0,06)2 = 2 000 (1 + 0,06)2 (1 + 0,06) = 2 000 (1 + 0,06)3 = € 2 382,03
De looptijd (n) meten we in tijdseenheden waarover het rentepercentage geldt. Als iemand bijvoorbeeld een bedrag van € 2.000 op een spaarrekening zet tegen 3 % per halfjaar, dan is de eindwaarde aan het einde van het 3de jaar: K6 = K0 (1 + i)6 = 2 000 (1 + 0,03)6 = € 2 388,10 Uit dit voorbeeld blijkt dat 3% SR per halfjaar een hogere eindwaarde (€ 2 388,10) oplevert dan 6 % SR per jaar (€ 2 382,03). Bij 3 % SR per halfjaar gaat het ‘rente over rente’-effect eerder in dan bij 6 % SR per jaar. Bij toepassing van continue rente wordt de rente ‘iedere seconde’ (continu) bijgeschreven, zodat het ‘rente over rente’-effect nog sterker werkt dan bij samengestelde rente. Continue rente komt in de praktijk niet voor en laten we verder buiten beschouwing.
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 23
Inleiding
23
Berekening van de contante waarde van één bedrag Kader 1.2
Een 50-jarige wil over 10 jaar vervroegd met pensioen. Hij denkt dat hij over 10 jaar een eindbedrag van € 500 000 nodig heeft om zonder geldzorgen op zijn 60ste met werken te kunnen stoppen. Welk bedrag zal hij op dit moment op een spaarrekening moeten storten, om over 10 jaar over € 500 000 te kunnen beschikken ? Bij de berekening van het te storten bedrag gaan we uit dat over de spaarrekening 7 % SR per jaar wordt vergoed. Uitwerking Het bedrag dat op dit moment moet gestort worden, noemen we de contante waarde. De eindwaarde (over 10 jaar) is in dit voorbeeld € 500 000. De contante waarde geven we weer door het symbool K0. Er moet gelden dat K0 (1 + 0,07)10 = € 500 000 500 000 De contante waarde: K0 = —————— = € 254 174,64 (1 + 0,07)10
In symbolen:
Kn K0 = ᎏ ᎏ (1 + i)n
(1.5)
Waarbij: K0 = contante waarde; Kn = eindwaarde; i = rentepercentage; n = looptijd. Gelijkwaardige procenten Voor enkelvoudige rente èn bij continue rente geldt dat bijvoorbeeld 6 % per jaar tot eenzelfde rentevergoeding leidt als 3 % per halfjaar of 1,5 % per kwartaal. Het rentepercentage kan bij ER en CR rechtevenredig met de duur van de periode aangepast worden. Voor samengestelde rente geldt dat het rentepercentage niet-rechtevenredig met de duur van de periode verandert.
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 24
24
Inleiding
Kader 1.3 Iemand heeft € 1 000 gespaard en wil dit op een spaarrekening bij de bank zetten. De Ventura-bank geeft een rentevergoeding 6 % SR per jaar en de Histora-bank 3 % per halfjaar. Gevraagd: a Bereken de waarde van € 1 000 aan het einde van het eerste jaar 1. bij de Ventura-bank 2. bij de Histora-bank b Bereken welk percentage SR per halfjaar gelijkwaardig is aan 6 % SR per jaar. Uitwerking a1 Voor SR = 0,06 per jaar geldt een eindwaarde = 1,06 * 1 000 = € 1 060 a2 Voor SR = 0,03 per halfjaar geldt een eindwaarde = 1,032 * 1 000 = € 1 060,90 b Stel het gevraagde percentage SR per halfjaar gelijk aan i. Dan moet gelden: 1 000 * (1 + i)2 = 1 000 * 1,06 (1 + i)2 = 1,06 → (1 + i) = 兹1 苶,0 苶6 苶 = 1,029563014 → i = 2,9563014%
1.2.2 Annuïteiten Bij financieel-economische transacties kan het voorkomen dat iemand of een organisatie een reeks van bedragen met vaste tussentijden ontvangt of moet betalen. Deze reeks bedragen, die periodiek betaalbaar zijn, noemen we een annuïteit. De bedragen noemen we de termijnen van de annuïteit.
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 25
Inleiding
25
Berekening van de eindwaarde van een reeks bedragen Kader 1.4
Iemand (de verzekerde) heeft met een verzekeringsmaatschappij een lijfrente-overeenkomst gesloten. Op grond van deze overeenkomst heeft de verzekerde recht op een bedrag van € 1 000 per jaar ingaande op 1 januari 2001 en eindigend op 1 januari 2010. De rentevergoeding is 7 % SR per jaar. Gevraagd Bereken de waarde van deze rente per:
a 1 januari 2011 b 1 januari 2010
Uitwerking ad a: Tijdlijn
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1.1.2001
1 000
1.1.2010 ↑ 1.1.2011
De eindwaarde van deze rente bedraagt op 1 januari 2011: 1 000 * 1,07 + 1 000 * 1,072 + 1 000 * 1,073 + 1 000 * 1,074 + 1 000 * 1,075 + 1 000 * 1,076 + 1 000 * 1,077 + 1 000 * 1,078 +1 000 * 1,079 +1 000 * 1,0710 = 1 000 (1,07 + 1,072 + 1,073 + 1,074 + 1,075 + 1,076 + 1,077 + 1,078 + 1,079 + 1,0710)
De termen tussen de haakjes vormen een meetkundige rij, waarvan we de som kunnen berekenen met behulp van de somformule voor de meetkundige rij: 1 – rn S = a * ᎏᎏ 1–r
(1.6)
Waarbij: S = som van de meetkundige rij = som van de getallen tussen haakjes a = de aanvangsterm = de eerste term (bv. a = 1,07) r = reden = het getal waarmee we het voorafgaande getal van de rij moeten vermenigvuldigen om het volgende getal te krijgen (bv. r = 1,07) n = aantal termen in de meetkundige rij (bv. n = 10)
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 26
26
Inleiding
Vervolg kader 1.4
Voor deze meetkundig rij geldt: 1 – 1,0710 1,07 – 1,0711 1,07 – 2,104851952 –1,034851952 S = 1,07 * ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏᎏ = ᎏᎏ = 14,78359932 –0,07 1 – 1,07 –0,07 –0,07 De eindwaarde van de rente per 1 januari 2011 = 1 000 * 14,78359932 = € 14 783,60 Uitwerking ad b: Tijdlijn 1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1 000
1.1.2001
1 000
↑ 1.1.2010
De eindwaarde van deze rente bedraagt op 1 januari 2010: 1 000 + 1.000 * 1,07 + 1 000 * 1,072 + 1 000 * 1,073 + 1 000 * 1,074 + 1 000 * 1,075 + 1 000 * 1,076 + 1 000 * 1,077 + 1 000 * 1,078 + 1 000 * 1,079 = 1 000 (1 + 1,07 + 1,072 + 1,073 + 1,074 + 1,075 + 1,076 + 1,077 + 1,078 + 1,079) 1 – 1,0710 1 – 1,0710 1 – 1,967151357 –0,967151357 S = 1 * ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ = 13,81644796 1 – 1,07 –0,07 –0,07 –0,07 De eindwaarde van de rente is per 1 januari 2010 = 1 000 * 13,81644796 = € 13 816,45 De eindwaarde per 1 januari 2010 kunnen we ook afleiden uit de eindwaarde per 1 januari 2011: Eindwaarde per 1 januari 2010: Eindwaarde per 1 januari 2011 14 783,60 ᎏᎏᎏᎏ = ᎏ ᎏ = € 13 816,45 1,07 1,07
Berekening van de contante waarde van een reeks bedragen De berekening van de contante waarde van een reeks bedragen gaat in principe op dezelfde wijze als de berekening van de eindwaarde. Met een voorbeeld lichten we dat toe.
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 27
Inleiding
27
Kader 1.5
De heer Vreman is 3 jaar geleden van zijn vrouw gescheiden. Tijdens de echtscheidingsprocedure is overeengekomen dat de heer Vreman gedurende 10 jaar aan het einde van ieder jaar € 40 000 uitbetaalt aan zijn ex. De ex-echtgenote van de heer Vreman wil de gemaakte afspraak wijzigen en een bedrag ineens ontvangen. Beide partijen komen het volgende overeen: – direct nadat de 3de termijn betaald is, worden de resterende 7 termijnen ineens betaald – de rentevergoeding bedraagt 5% SR per jaar Gevraagd: Bereken het bedrag dat aan het einde van het 3de jaar (exclusief de 3de termijn die al betaald is) in totaal door de heer Vreman betaald moet worden. Uitwerking 40 000
40 000
40 000
40 000
40 000
40 000
40 000
4
5
6
7
8
9
10
3 ↑
Het in totaal te betalen bedrag = 40 000 40 000 40 000 40 000 40 000 40 000 40 000 ᎏ ᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ 1,05 1,052 1,053 1,054 1,055 1,056 1,057
冤
1 1 1 1 1 1 1 40 000 ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏ ᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏ ᎏ 1,05 1,052 1,053 1,054 1,055 1,056 1,057
冥
De termen tussen de haakjes vormen een meetkundige rij, waarvan we de som kunnen berekenen met behulp van de somformule voor de meetkundige rij: 1 – rn S = a* ᎏᎏ 1–r waarbij: 1 a = ᎏᎏ 1,05
1 r =ᎏᎏ 1,05
冢
冣
n=7
1 7 1 7 1 – ᎏᎏ 1 – ᎏᎏ 1,05 1,05 1 – 0,71068133 1 S = ᎏᎏ * ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ = € 5,786373397 1 1,05 –1 1,05 0,05 1 – ᎏᎏ 1,05
冢
冣
som = 40 000 ⫻ 5,786373397 = € 231 454,94
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 28
28
Inleiding
Eeuwigdurende rente met gelijkblijvende bedragen Een voorbeeld van een eeuwigdurende rente met gelijkblijvende bedragen is de afspraak dat iemand of een organisatie met ingang van een bepaalde datum en daarna eeuwigdurend (met steeds dezelfde intervallen) een bepaald bedrag moet betalen of ontvangt. Kader 1.6
De aandeelhouders van onderneming “Eeuwige Lente nv” verwachten dat het jaarlijkse dividend van deze onderneming eeuwigdurend € 5 per aandeel zal bedragen. De houders van aandelen “Eeuwige Lente nv” eisen een vergoeding van 10% SR per jaar. Gevraagd: Bereken de waarde van één aandeel “Eeuwige Lente nv” precies 1 jaar voordat de eerstvolgende dividenduitkering zal plaatsvinden.
Uitwerking X 5
5
5
5
5
5
5
↑
5
5
⬃ (oneindig)
De waarde van één aandeel = 5 5 5 5 5 5 5 5 ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ............. + ᎏᎏ 1,10 1,102 1,103 1,104 1,105 1,106 1,107 1,10⬃ De termen rechts van het gelijkteken vormen een meetkundige rij, waarvan we de som kunnen berekenen met behulp van de somformule voor de meetkundige rij: 1 – rn S = a * ᎏᎏ 1–r waarbij: 1 a = ᎏᎏ 1,10
1 r = ᎏᎏ 1,10
n=⬃
1 ⬃ 1 ⬃ 1 – ᎏᎏ 1 – ᎏᎏ 1,10 1,10 1–0 1 1 = ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ S = ᎏᎏ * ᎏᎏ 1 1,10 –1 1,10 0,10 0,10 1 – ᎏᎏ 1,10
冢
冣
冢
冣
1 5 De waarde van één aandeel “Eeuwige Lente nv” = 5 * ᎏᎏ = ᎏᎏ = € 50 0,10 0,10
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 29
Inleiding
29
Deze vergelijking ontstaat steeds als de 1ste termijn na 1 periode vervalt en daarna ononderbroken eeuwigdurend voortgaat met dezelfde bedragen en dezelfde intervallen. Dan en slechts dan mogen we de volgende (verkorte) berekening maken: T Contante waarde = ᎏᎏ i
(1.7)
waarbij: T = periodiek gelijk bedrag, waarvan de 1ste vervalt na 1 periode en de volgende met vaste Intervallen eeuwigdurend vervallen; i = vereiste vergoeding of vereiste rentepercentage.
1.3 Risico Er werd reeds aangegeven dat bestuurders van ondernemingen streven naar waardemaximalisatie. Bij het begrip waarde dient niet alleen aan de verwachte kasstroom en aan de tijdvoorkeur te worden gedacht, ook het risico speelt daarbij een rol. (Eenvoudigheidshalve zullen wij hier bij de bespreking van het risico de verwijzing naar de tijdvoorkeur weglaten.) Bij de keuze tussen twee alternatieven, waarbij men slechts één van de alternatieven kan uitvoeren (dat wil zeggen de alternatieven sluiten elkaar uit), dient men op zowel de verwachte kasstroom als op het risico van elk alternatief te letten. Zoals al gesteld, wordt ervan uitgegaan dat beleggers en ondernemers risico-avers zijn. Ter verduidelijking dient het volgende voorbeeld. Stel dat de ondernemingsleiding de keuze heeft uit drie elkaar uitsluitende projecten I, II en III met de volgende kasstromen: Conjunctuur Hoog Normaal Laag
Kans
I
II
III
0,2 0,6 0,2
500 500 500
1 000 500 0
650 450 250
De verwachte kasstroom wordt gedefinieerd als de som van de mogelijke uitkomsten, vermenigvuldigd met de daarbij behorende kans. De verwachte kasstroom is: voor project I : 0,2 x 500 + 0,6 x 500 + 0,2 x 500 = 500 voor project II : 0,2 x 1 000 + 0,6 x 500 + 0,2 x 0 = 500 voor project III : 0,2 x 650 + 0,6 x 450 + 0,2 x 250 = 450 Indien wij als maatstaf voor het risico de variatiebreedte – dit is het verschil tussen de maximale en de minimale uitkomst – nemen, worden voor de drie projecten de volgende risico’s gemeten:
1 Inleiding
27-06-2007
12:30
Pagina 30
30
Inleiding voor project I : 0 voor project II : 1 000 voor project III : 400
Bezien wij eerst de projecten I en II. In dit voorbeeld is de verwachte kasstroom voor project I gelijk aan de verwachte kasstroom voor project II. De risico-averse ondernemingsleiding zal kiezen voor project I. Immers, onafhankelijk van de stand van de conjunctuur levert project I een kasstroom van 500 op, terwijl de hoogte van de kasstroom voor project II afhankelijk is van de stand van de conjunctuur. Dit risico in de uitkomst bij project II wordt door de ondernemingsleiding negatief beoordeeld, zodat de voorkeur uitgaat naar project I. Vergelijken wij project I en project III, dan is voor project I de verwachte kasstroom hoger én het risico lager dan voor project III. Onafhankelijk van de mate van risicoafkeer van de beslisser valt de keuze op project I. Dit impliceert dat bij de keuze uit de drie elkaar uitsluitende projecten de voorkeur naar project I uitgaat. Indien de ondernemingsleiding alleen kan kiezen tussen de projecten II en III (en niet project I), blijkt uit voorgaande gegevens dat voor project II de verwachte kasstroom weliswaar hoger is dan voor project III, doch dat eveneens het risico voor project II het hoogste is. Afhankelijk van de mate van risico-afkeer van de ondernemingsleiding wordt een keuze gemaakt tussen deze twee projecten. Indien het verschil in verwachte kasstroom van 50 (= 500 – 450) het verschil in risico van 600 (= 1000 – 400) meer dan compenseert, gaat de voorkeur uit naar project II. Is daarentegen het verschil in verwachte kasstroom onvoldoende als vergoeding voor het verschil in risico, dan valt de keuze op project III. In figuur 1.1 wordt de relatie tussen verwachte kasstroom en het risico van deze drie projecten, gemeten door middel van de variatiebreedte, weergegeven. Figuur 1.1 De relatie verwachte kasstroom versus risico
Verwachte kasstroom
II
I
500
III
450
0
400
1000
Risico (variatiebreedte)
