10 2:10 PM Page 1 M A T E M A T I K A

Matek_00_cimn_imp:Matek_00_cimn_imp_jav

1/12/10

2:10 PM

Page 1

MATEMATIKA


1/12/10

2:10 PM

Page 2

AKADÉMIAI KÉZIKÖNYVEK

FIZIKA Fôszerkesztô |Holics Lásló

SPORT, ÉLETMÓD, EGÉSZSÉG Fôszerkesztô |Szatmári Zoltán

FILOZÓFIA Fôszerkesztô |Boros Gábor

MAGYARORSZÁG TÖRTÉNETE Fôszerkesztô |Romsics Ignác

VILÁGTÖRTÉNET Fôszerkesztô |Salamon Konrád

MAGYAR NYELV Fôszerkesztô |Kiefer Ferenc

KÉMIA Fôszerkesztô |Náray-Szabó Gábor

VILÁGIRODALOM Fôszerkesztô |Pál József


1/12/10

2:10 PM

Page 3

MATEMATIKA Fôszerkesztô

|

Gerôcs László Vancsó Ödön

Akadémiai

A Kiadó


1/12/10

2:10 PM

Page 4

Megjelent a NEMZETI KULTURÁLIS ALAP támogatásával

Írták Bereczky Áron, Csányi Tibor, Gerőcs László, H. Temesvári Ágota, Katona Dániel, Kós Géza, Lerchner Szilvia, Máté László, Nagy Noémi, Németh László, Szakál Péter, Szűcs Zsolt, Vancsó Ödön Lektorálták Arató Miklós, Bátkay András, Gyenes Zoltán, Hortobágyi István, Katona Dániel, Sigray István

ISBN 978 963 05 8488 3 ISSN 1787-4750 Kiadja az Akadémiai Kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztôk Egyesülésének tagja 1117 Budapest, Prielle Kornélia u. 19. www.akademiaikiado.hu

Elsô magyar nyelvû kiadás: 2010 © Akadémiai Kiadó, 2010

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános elôadás, a rádió- és televízióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetôen is. Printed in Hungary


1/12/10

2:10 PM

Page 5

Tartalom

Elôszó ...................................................... A kötetben használt jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 15

1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Halmazok (Gerôcs László) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mûveletek halmazokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A természetes számok halmaza, oszthatóság, számelmélet . . . . További számhalmazok, halmazok számossága . . . . . . . . . . . . . .

25 25 28 31 41

2. 2.1. 2.2. 2.3.

Logikai alapok (Bereczky Áron) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Állítások logikai értéke, logikai mûveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . Predikátumok és kvantorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bizonyítási módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 49 51 54

3. 3.1.

Számtan, elemi algebra (Gerôcs László) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Elemi számtan (a számok írásának kialakulása, mûveletek különbözô számokkal, negatív számok, törtek, tizedes törtek), kerekítés, százalékszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Arányok (egyenes és fordított arányosság, az aranymetszés, a r), nevezetes közepek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Algebrai kifejezések és mûveletek, hatványozás, összevonás, szorzás, kiemelés, nevezetes azonosságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Gyökvonás, hatványozás, logaritmus és mûveleteik . . . . . . . . . . 98 Számrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Egyenletek, egyenletrendszerek (fogalom, mérlegelv, osztályozás fokszám és egyenletek száma szerint, elsô- és másodfokú egyenletek, exponenciális és logaritmikus egyenletek) . . . . . . . . 114 Harmad- és negyedfokú egyenletek (speciális magasabb fokú egyenletek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

3.7.

5


1/12/10

2:10 PM

Page 6

Tartalom

4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Polinomok és komplex számok algebrája (Bereczky Áron) . . . . . Mûveletek polinomokkal, oszthatóság, legnagyobb közös osztó Szorzatfelbontás, felbonthatatlan polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . Komplex számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomok zérushelyei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Többváltozós polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141 141 147 155 163 170

5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

173 173 174 178

5.8.

A sík elemi geometriája (Gerôcs László) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A geometria rövid története . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriai alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriai transzformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Háromszögek, nevezetes vonalak, pontok, körök, egyéb nevezetes objektumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Négyszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sokszögek, szabályos sokszögek, aranymetszés . . . . . . . . . . . . . . A kör és részei, kerületi és középponti szögek, húr- és érintõnégyszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriai szerkesztések, speciális szerkesztések . . . . . . . . . . . .

6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

A tér elemi geometriája (Gerôcs László) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poliéderek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Görbe felületû testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Henger és kúp síkmetszetei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

265 265 273 291 306

7. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.

Ábrázoló geometria (H. Temesvári Ágota–Szakál Péter–Németh László) . . . . . . . . . . . . Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ábrázolás két képsíkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axonometrikus ábrázolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Néhány görbékre és felületekre vonatkozó feladat . . . . . . . . . . . Kótás ábrázolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Néhány további ábrázolási módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311 311 322 345 351 373 388

8. 8.1. 8.2. 8.3.

Vektorok (Gerôcs László) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A vektor fogalma és jellemzõi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mûveletek vektorokkal, vektorok a koordináta-rendszerben . . . Vektorok skaláris szorzata, vektoriális szorzata, vegyes szorzat

399 399 400 412

5.5. 5.6. 5.7.

6

193 218 224 231 248


1/12/10

2:10 PM

Page 7

Tartalom

9. 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 10. 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7.

Szögfüggvények (Gerôcs László) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A hegyesszög szögfüggvényei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Szögfüggvények általánosítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Szögfüggvények alkalmazása háromszögekkel kapcsolatos problémák megoldására . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrikus egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrikus függvények és inverzeik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gömbháromszögek és tulajdonságaik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

429 429 442

Analitikus geometria (Gerôcs László) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A sík analitikus geometriája (alapfogalmak, szakaszosztópontjai, két pont távolsága, a háromszög területe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az egyenes egyenletei (két egyenes metszéspontja, hajlásszöge, pont és egyenes távolsága) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A kör egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinátatranszformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kúpszeletek egyenletei, másodrendû görbék . . . . . . . . . . . . . . . . Polárkoordináták . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tér analitikus geometriája (sík és egyenes, másodrendû felületek, térbeli polárkoordináták) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

495

456 470 475 482

495 505 517 531 533 559 560

11. 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6.

Lineáris algebra (Bereczky Áron) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mátrixok és determinánsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineáris egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineáris leképezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilineáris függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Euklideszi terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

587 588 599 607 618 629 637

12. 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7. 12.8.

Absztrakt algebra (Bereczky Áron) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az algebrai struktúrákról általában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gyûrûelmélet, alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kommutatív egységelemes gyûrûk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Csoportelmélet, alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . További témák a csoportelméletbõl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Testek és Galois-csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modulusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hálók és Boole-algebrák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

647 647 650 656 660 670 674 683 687 7


1/12/10

2:10 PM

Page 8

Tartalom

8

13. 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7.

Számelmélet (Bereczky Áron) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bevezetés, oszthatóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Számelméleti függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kongruenciák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A kongruenciaosztályok algebrája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratikus maradékok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prímszámok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diofantikus egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

691 691 694 698 704 708 711 719

14. 14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6.

Számsorozatok (Gerôcs László) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A számsorozat fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A számtani sorozat és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A mértani sorozat és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Korlátos, monoton, konvergens sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Fibonacci-sorozat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magasabb rendû lineáris rekurzív sorozatok, néhány speciális sor

725 725 727 729 733 743 747

15. 15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 15.6.

Elemi függvények és tulajdonságaik (Csányi Tibor) . . . . . . . . . . . Függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Racionális törtfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponenciális és logaritmusfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrikus függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hiperbolikus függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

749 749 762 766 768 772 781

16. 16.1. 16.2. 16.3. 16.4. 16.5.

A valós analízis elemei (Szûcs Zsolt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A valós számok alapfogalmai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Számsorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerikus sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyváltozós függvények folytonossága és határértéke . . . . . . . . Többváltozós analízis elemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

791 791 793 802 807 821

17. 17.1. 17.2. 17.3. 17.4. 17.5.

Differenciálszámítás és alkalmazásai (Nagy Noémi) . . . . . . . . . . Differenciálható függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nevezetes függvények deriváltja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Függvénymûveletek és a deriválás kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . Differenciálható függvények tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenciálszámítás alkalmazása függvények viselkedésének leírására . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

825 825 829 834 839 843


1/12/10

2:10 PM

Page 9

Tartalom

17.6. 17.7.

Többváltozós függvények differenciálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863 Fizikai alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874

18. 18.1. 18.2. 18.3. 18.4. 18.5.

Integrálszámítás és alkalmazásai (Nagy Noémi) . . . . . . . . . . . . . . Határozatlan integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riemann-integrál és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerikus integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrálszámítás alkalmazásai (terület, térfogat, ívhossz) . . . . . Többváltozós integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

879 879 887 906 913 920

19. 19.1. 19.2. 19.3. 19.4. 19.5. 19.6.

Közönséges differenciálegyenletek (Lerchner Szilvia) . . . . . . . . . Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elsõrendû egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenciálegyenlet-rendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magasabb rendû egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Laplace-transzformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Függvénysorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

929 929 932 945 956 961 966

20. 20.1. 20.2. 20.3. 20.4. 20.5.

Parciális differenciálegyenletek (Nagy Noémi) . . . . . . . . . . . . . . . Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elsõrendû egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Másodrendû egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektoranalízis és integrálátalakító tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . A hõvezetési egyenlet és a hullámegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . .

979 979 980 991 997 1008

21. 21.1. 21.2. 21.3. 21.4. 21.5. 21.6. 21.7.

Komplex függvénytan (Kós Géza) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bevezetõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reguláris függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integráltételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hatványsorba és Laurent-sorba fejtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A reziduumtétel és alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konform leképezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Harmonikus függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1013 1013 1015 1026 1042 1055 1063 1068

22. 22.1. 22.2. 22.3. 22.4.

Fraktálgeometria (Máté László) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bevezetõ példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mátrixok és geometriai transzformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hasonlósági és kontraktív leképezések, halmazfüggvények . . . . Az IFS-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1073 1073 1080 1083 1085 9


1/12/10

2:10 PM

Page 10

Tartalom

22.5. 22.6. 22.7. 22.8. 22.9. 22.10. 22.11. 22.12. 22.13. 22.14.

Olvasmány a halmazok távolságáról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az IFS-modell tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IFS-modell és önhasonlóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Önhasonló halmazok szerkezete és a „valóság” . . . . . . . . . . . . . . A fraktáldimenziók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A hatványszabály (power law) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A boxdimenzió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mit mér a boxdimenzió? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tetszõleges halmaz boxdimenziója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fraktáldimenzió a geodéziában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1088 1093 1094 1095 1099 1104 1107 1108 1109 1112

23. 23.1. 23.2.

1115 1115

23.4.

Kombinatorika (Vancsó Ödön) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyszerû sorba rendezési és kiválasztási problémák . . . . . . . . . . Egyszerû sorba rendezési és leszámolási feladatok ismétlõdõ elemekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A kombinatorika alkalmazásai, összetettebb leszámlálásos problémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A kombinatorikus geometria elemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1128 1141

24. 24.1. 24.2. 24.3. 24.4. 24.5. 24.6. 24.7. 24.8. 24.9.

Gráfok (Vancsó Ödön) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfok összefüggõsége, fák, erdõk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A gráfok bejárásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Speciális gráfok és tulajdonságaik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irányított gráfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Szállítási problémák modellezése gráfokkal (Katona Dániel) . . . Véletlen gráfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfok alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfok és mátrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1151 1151 1157 1169 1174 1186 1193 1202 1206 1217

25. 25.1. 25.2. 25.3. 25.4.

Kódelmélet (Bereczky Áron) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hibajavító kódok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineáris kódok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ciklikus kódok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1225 1225 1231 1237 1246

26. 26.1. 26.2.

Valószínûség-számítás (Vancsó Ödön) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251 Alapfogalmak, bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251 Valószínûségi mezô, események, eseményalgebra . . . . . . . . . . . . 1258

23.3.

10

1125


1/12/10

2:10 PM

Page 11

Tartalom

26.3. 26.4. 26.5. 26.6. 26.7. 26.8. 26.9. 26.10. 26.11.

Feltételes valószínûség, függetlenség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valószínûségi változók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nevezetes diszkrét eloszlások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nevezetes folytonos eloszlások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az eloszlások legfontosabb jellemzôi: a várható érték és a szórás A nagy számok törvényei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nevezetes határeloszlás-tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Korreláció, regresszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egyszerû véletlen folyamatok matematikai leírása . . . . . . . . . . .

1265 1276 1289 1298 1307 1324 1331 1333 1339

27. 27.1. 27.2. 27.3. 27.4. 27.5. 27.6. 27.7. 27.8.

Matematikai statisztika (Vancsó Ödön) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leíró statisztika, alapfogalmak, mintavétel, adatsokaság . . . . . . Adatok szemléltetése, ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Átlag és szórás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Idôsorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Összefüggések két ismérv között . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Összetett intenzitási viszonyszámok és indexálás . . . . . . . . . . . . A matematikai statisztika alapelvei, hipotézisvizsgálat . . . . . . . . A Bayes-statisztika elemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1347 1348 1354 1368 1377 1384 1396 1401 1422

Tárgymutató . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443

11


1/12/10

2:10 PM

Page 12


1/12/10

2:10 PM

Page 13

Elõszó

Az Akadémiai kézikönyvek sorozat Matematika címû kötetét tartja kezében az olvasó. Bár kétségtelen, hogy több, jól használható matematikai kézikönyv is található a könyvpiacon, a kiadó mégis úgy gondolta, hogy a sorozatból nem maradhat ki éppen a matematika. Egy olyan matematikai ismereteket tartalmazó kötet, amely a XXI. század kihívásainak megfelelôen a hagyományos alapismeretek mellett a kor néhány újabb matematikai területét is tárgyalja, és ezek alapvetô fogalmaival igyekszik megismertetni az érdeklôdôket. Ennek megfelelôen a kötetben a hagyományosan tanultak (a felsôoktatási intézmények BSc fokozatáig bezárólag): a legfontosabb fogalmak, tételek, eljárások és módszerek kapják a hangsúlyosabb szerepet, de mindezek mellett igyekeztünk olyan (már inkább az MSc fokozatba tartozó) ismereteket is érinteni, melyek nagyobb rálátást, mélyebb betekintést kínálnak a kötet olvasóinak. Fontosnak tartottuk azt is, hogy a kötetbe bekerüljenek középiskolai szinten is azok a témakörök, melyek az új típusú érettségi követelményrendszerben is megjelentek (például a statisztika vagy a gráfelmélet). Mindezek mellett – bár érintôlegesen – a matematikai kutatások néhány újabb területét (kódoláselmélet, fraktálelmélet stb.) is bemutatjuk. Könyvünk 27 fejezetbôl áll. Az elsô fejezetekben az elemi számolási fogalmak és szabályok szerepelnek, majd a továbbiak elsôsorban a középiskolai tananyagban elôforduló legfontosabb területeket tárgyalják. A kötet második felében találjuk a felsôoktatási tematikáknak megfelelô témákat tárgyaló fejezeteket. Ez alól kivétel a 23., 24., 26. és 27. fejezet, ahol a középiskolai és a felsôoktatási anyag egy egységben szerepel. Az egyes fejezetekben levô fogalmakat gyakran magyarázattal is elláttuk. Sok esetben a fontosnak tartott tételek bizonyítását is megadtuk, hol csak vázlatosan, hol teljes részletességgel. Mivel néhány felsôoktatási intézményben alapvetôen fontos témakör az ábrázoló geometria, és a jelenleg forgalomban levô matematikai kézikönyvek általában nem vagy csak nagyon érintôlegesen tárgyalják, ezt a témakört kicsit részletesebben kifejtjük. Ezzel elsôsorban a mûszaki jellegû felsôoktatási intézményekben tanulóknak szeretnénk segítséget nyújtani. 13


1/12/10

2:10 PM

Page 14

Elôszó

Az egyes fejezeteken belül részletesen kidolgozott mintapéldák vannak a tárgyalt elméleti anyag alkalmazására, melyek áttanulmányozása nagyban hozzájárulhat az elméleti problémák mélyebb megértéséhez. Kötetünknek több szerzôje van. Ennek megfelelôen a stílus, a szövegformálás (ami nyilván szubjektív elemeket is hordoz) az egyes fejezeteket illetôen eltérô lehet. Mindez azonban, reményeink szerint, nem megy az élvezhetôség és a megértés rovására. Reméljük, hogy egy olyan könyv kerül az olvasó kezébe – legyen általános vagy középiskolás diák, egyetemi hallgató vagy az idôsebb generációhoz tartozó, de a tárgyat valaha komolyabban tanuló és értô felnôtt –, mely kellô eligazodást nyújt számára, akár egy számonkérésre való felkészüléshez, akár régen tanult, de valamelyest elfelejtett ismeretek felelevenítéséhez. Így akár érettségire készüléshez, akár egyetemi vizsgához is hasznos segédeszköz lehet. Az áttekintést segíti, hogy minden definíciót szürke tónusú kiemeléssel jeleztünk, minden tétel keretbe került, a példákat pedig más betûméret jelzi. A legfontosabb jelölések jegyzéke és egy tárgymutató is könnyíti a keresést és eligazodást ebben az egyébként igen vaskosra sikerült kötetben. A könyv a szokásos kézikönyveknél kissé részletesebben fejti ki az egyes témák matematikai tartalmát, és fôleg a sok példával az alkalmazásokat támogatja, ami a mai matematikaoktatás egyik fontos, korábban kissé elhanyagolt területe. Budapest, 2009 októbere A szerkesztôk

14

Matek_07fej_imp:Matek_07fej_imp

12/16/09

11:07 AM

Page 311

7. Ábrázoló geometria

7.1. Bevezetés

Az ábrázoló geometria története pár ezer éves. Az építészet, a térképészet alakították ki elsõ, talán ma már kezdetlegesnek tûnõ eljárásait. Az alap- és homlokrajz eljárását a középkor építészete bonyolultabb feladatok megoldására is felhasználta. Késõbb a technika fejlõdése is hozzájárult az ábrázolás tudományának kialakulásához. Gaspard Monge (1746–1818) foglalta tudományos rendszerbe az addigi módszereket, eljárásokat. Munkássága nyomán megszületett az alkalmazott matematika új ága, amelyet ma ábrázoló geometria néven ismernek. A geometria részterületeként tartják számon, a geometriai leképezések elméletének egy alkalmazása. Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok elsõsorban síkon való ábrázolása. Valamely síkbeli vagy térbeli alakzat ábrázolásán olyan geometriai alapokra épülõ módszereket, eljárásokat értünk, melyek lehetõvé teszik a térbeli alakzat méreteinek, helyzetének, alakjának grafikus szemléltetését, valamint az alakzattal kapcsolatos geometriai feladatok szerkesztéssel történõ megoldását. Módszere a vetítés, az ábrázolás eredménye az alakzat képe, vetülete (projekció). Az ábrázolási módszerekkel szemben támasztott legfontosabb követelmények: – az ábrázolt alakzat geometriai viszonyai a vetületek alapján egyértelmûen megállapíthatóak legyenek, – az ábrázolás eredményeképpen nyert képek lehetõleg szemléletesek legyenek, azaz a vetületek alapján könnyen el tudjuk képzelni az alakzatot. A vetítés egyik módja a párhuzamos vetítés. Ennek során adott a K sík és a v egyenes (7.1. ábra), ahol v-nek és K-nak egyetlen közös pontja van. A tér pontjait v irányú egyenesekkel, a vetítõsugarakkal képezzük le a K síkra, a képsíkra. A 7.1. ábrán a v adott egyenes adja a vetítõsugarak irányát. A tér tetszõleges P pontján át fektetett v állású egyenes K-val alkotott P a döféspontja a P pont párhuzamos vetülete, a P pont képe. Ha v⊥K, akkor merõleges (ortogonális) vetítésrõl beszélünk, ha pedig v nem merõleges K-ra, akkor ferde (klinogonális) vetítésrõl. A centrális vetítés esetén adott az O pont és a rá nem illeszkedõ K sík (7.2. ábra). A tér pontjait az O pontból, a centrumból vagy vetítési középpontból vetítjük le a K síkra, melyet képsíknak nevezünk. A tér valamely P pontjának Pc centrális vetülete

311


12/16/09

11:08 AM

Page 312


(centrális képe) az OP egyenes (vetítõsugár) és a K képsík közös pontja. A centrális vetítést alkalmazó ábrázolási módszerrel a 7.5. fejezetben ismerkedünk meg részletesebben. Valamely alakzat pontjainak vetületei (képei) az alakzat vetületét (képét) alkotják. O v

P

P

Pa Pc

K

K

7.1. ábra

7.2. ábra

Az ábrázolással szemben támasztott követelmény a rekonstrukció (visszaállítás), vagyis az ábrázolt alakzat térbeli helyzetére, alakjára, geometriai viszonyaira való visszakövetkeztetés a vetületek ismeretében. A fenti két vetítés nyilván nem létesít egy-egyértelmû megfeleltetést a tér és a K képsík pontjai között. A különbözõ ábrázolási módszerek különféle módon igyekeznek kiküszöbölni ezt a problémát és más-más módon biztosítani az egyértelmû visszaállítást. A mérnöki munkában, a mûvészetekben szükségesek olyan képességek is, melyek lehetõvé teszik valamely alkotás elképzelését, rajzban való megfelelõ rögzítését még annak megvalósítása elõtt. Ehhez egyrészt megfelelõ térszemlélet és geometriai, térgeometriai ismeretanyag szükséges. Ezenkívül el kell sajátítani azokat az alapvetõ ábrázoló geometriai, mûszaki rajzban használatos módszereket, melyek lehetõvé teszik az ábrázolást, szemléltetést. A geometriai, ábrázoló geometriai ismeretek segítik a számítógéppel való tervezést is. Az alábbiakban csak a leggyakrabban használt ábrázolási módszerekkel foglalkozhatunk, helyszûke miatt. A megadott irodalomjegyzék további ismeretek elsajátítására nyújt lehetõséget.

Jelölések, szerkesztések

312

A háromdimenziós euklideszi tér legegyszerûbb geometriai alakzatai, a térelemek: a pont, az egyenes és a sík. A térelemek jelölése: – pontok: A, B, C, … (dõlt nagybetûk), – egyenesek: a, b, c, … (dõlt kisbetûk), – síkok: A, B, C, … (álló nagybetûk).


12/16/09

11:08 AM

Page 313

7.1. Bevezetés

A különbözõ ábrázolási módszerek foglalkoznak a térelemek és azok kölcsönös helyzetének ábrázolásával. Ennek megfelelõen tárgyalják az illeszkedõ, a párhuzamos, a metszõ térelemek megadásával kapcsolatos kérdéseket, valamint azt, hogy a vetületekbõl milyen módon következtethetünk térbeli viszonyaikra. A szokásos jelöléseket használjuk. A teljesség igénye nélkül néhány példa. A P∈e jelölés szerint a P pont illeszkedik az e egyenesre. Ellenkezõ esetben P∉e. Egyenes és sík illeszkedésének jelölése: e⊂S. Az a és b párhuzamos egyeneseket a ; b jelöli. Ha az e egyenes metszi az S síkot, akkor a metszéspont D=e∩S. A D pontot az e egyenes S síkkal való döféspontjának nevezzük. Az A és B pontok által meghatározott egyenest AB-vel, az A, B, C nem egy egyenesre illeszkedõ pontok által meghatározott síkot ABC-vel jelöljük. A P pont és a rá nem illeszkedõ e egyenes síkja: Pe. Hasonlóan az a és b egyenesek által meghatározott síkot ab jelöli. A helyzetgeometriai feladatok megoldásánál nehezebb probléma az ábrázolt alakzatok méreteinek meghatározásával kapcsolatos szerkesztési feladatok megoldása, illetve adott metrikus tulajdonságokkal rendelkezõ alakzatok ábrázolása. (Ez az igény mûszaki vonatkozású ábrázolások esetén, a méretezésekkel kapcsolatban fokozottan fellép.) A geometriai alapot a térelemek távolságainak és szögeinek meghatározásával kapcsolatos definíciók és a vetítés tulajdonságainak ismerete jelenti. Bizonyos ábrázolási módok esetén fontos szerepet játszik a merõlegesség is, különösen a következõ esetben. Az S síkot metszõ n egyenes merõleges a síkra, ha a T=S∩n ponton átmenõ, minden S síkbeli egyenesre merõleges. Az S síkra merõleges n egyenest a sík egy normálisának nevezzük, a T döféspontot pedig n talppontjának. A fenti feladatok megoldásánál térbeli szerkesztési feladatok lépnek fel, melyeket az adott ábrázolási módszer síkbeli szerkesztésekre vezet vissza. Ez oly módon történik, hogy a szerkesztés eredménye visszavihetõ a térbeli alakzatra. A síkgeometriában a szerkesztések nagy részében úgynevezett euklideszi szerkesztéseket alkalmazzunk. Euklideszi szerkesztéseket használunk például adott szakasz felezõ merõlegesének, adott szög szögfelezõ egyenesének megszerkesztésénél stb. Feladat. Adott az e egyenes és a P∉e pont. Szerkesszünk P-n át e-vel párhuzamos f egyenest! Megoldás. Rajzoljunk P középpontú, e-t két pontban (G és F) metszõ kört (7.3. ábra)! Írjunk P körül GF sugarú, F körül GP sugarú kört! Az FGP szögtartományba esõ metszéspontjuk legyen N! A PN egyenes a keresett f párhuzamos egyenes. Másképpen is szerkeszthetünk. Szerkesszünk P-bõl e-re merõleges m egyenest, majd ezután m-re merõleges egyenest P-ben! Ez utóbbi az f egyenes. 313


12/16/09

11:08 AM

Page 314


Megjegyezzük, hogy szokás a szerkesztés során úgy eljárni, hogy az egyik háromszögvonalzó átfogójának élét az e egyenesre illesztjük (7.4. ábra), a másik vonalzó egyik élét az elsõ befogójával összeillesztjük. A második rögzített helyzete esetén az elsõt eltolva párhuzamos egyenest rajzolhatunk P-n át. Ez a szerkesztés nyilván már nem euklideszi, hiszen az eltolás során végtelen sok helyzetet érintünk. P P

N

f

f

e

e G

F

7.3. ábra

7.4. ábra

Még az elvileg pontos szerkesztések is a gyakorlati végrehajtás során pontatlanná válnak. Megfelelõnek tekintjük a szerkesztést, ha a pontatlanság nem számottevõ. Sokszor alkalmazunk ún. közelítõ szerkesztéseket, amikor a szerkesztés elvileg sem pontos, viszont ez a pontatlanság elhanyagolhatóan kicsi. Körív közelítõ hosszának szerkesztésénél alkalmazhatjuk a következõ Snellius-féle szerkesztést. Az O középpontú r sugarú kör a középponti szögéhez tartozó PL ívét tekintjük (7.5. ábra). Az OL szakasz O-n túli meghosszabbítására felmérjük az r sugár kétszeresét. Az így kapott M pontot összekötjük P-vel. Legyen Q az MP egyenes és a körhöz az L pontban vont érintõ metszéspontja! Ekkor QL = r

3 sin α . Ebbõl 2 + cos α

adódik, hogy a < 30° esetén a QL szakasz és a PL ív eltérése nem nagyobb, mint r két tizedrésze. A 30°-nál nagyobb szögeket 30°-nál kisebbekre bontva alkalmazhatjuk az elõzõ szerkesztést. P Q a M

r

r

O

r

L

7.5. ábra

314

Egy másik megoldás, ha a körívet a körbe beírt, elég nagy oldalszámú sokszög kerületével közelítjük (rektifikáljuk), melyet már könnyen meghatározhatunk. Ezt a módszert alkalmazhatjuk síkbeli görbeívek esetén, ha az íveknek van ívhosszuk.


12/16/09

11:08 AM

Page 315

7.1. Bevezetés

A térgeometriai szerkesztések során a síkgeometriai szerkesztési eszközeink, ha nem síkbeli a feladat, nem alkalmazhatók. Értelmeznünk kell, mit jelent egy térbeli szerkesztést elvégezni. A térben akkor tekintünk megszerkesztettnek egy alakzatot, ha a kiindulási adatokból a következõ, ún. alapszerkesztések véges sokszori alkalmazásával eljutunk a keresett alakzathoz: – Egy síkot megszerkesztettnek tekintünk, ha ismerjük a síkot egyértelmûen meghatározó adatokat. – Ha adott két sík, akkor feltételezzük, hogy a metszésvonalukat is meg tudjuk határozni. – Ha adott a térben egy tetszõleges sík, akkor ebben a síkban minden, a síkgeometriában szokásos szerkesztést végre tudunk hajtani. Nézzünk egy példát térbeli szerkesztési feladatra! Feladat. Adottak az e és f kitérõ egyenesek, valamint a rájuk nem illeszkedõ P pont. Szerkesszünk P-n át olyan g egyenest, mely mindkét adott egyenest metszi. Megoldás. A szerkesztendõ g egyenes átmegy P-n, és metszi e-t, tehát benne van a Pe síkban (7.6. ábra). Hasonlóan benne van a Pf síkban is. Tehát g a két sík metszésvonala. Ha a két sík metszésvonala párhuzamos e-vel vagy f-fel, akkor nincs megoldás, különben pedig egyetlen megoldás van. Megjegyezzük, hogy az ábrázoló geometria eszközeivel a fent leírt szerkesztés konkrétan végrehajtható. f

Pf

g P Pe

e

7.6. ábra

Néhány geometriai transzformáció, leképezés A következõkben azokat a geometriai transzformációkat említjük meg, melyek egyrészt a különbözõ felületek konstrukciói szempontjából fontosak, másrészt a legalapvetõbb ábrázolási módoknál fellépnek.

315


12/16/09

11:08 AM

Page 316


Néhány térbeli egybevágósági transzformáció A távolságtartó transzformációkat neveztük egybevágósági transzformációknak. A síkbeli egybevágósági transzformációk közül középiskolában is szerepeltek a következõk: eltolás, pont körüli forgatás (ezen belül a pontra vonatkozó tükrözés), tengelyes tükrözés. A tér OB irányított szakaszával való eltolását a síkbeli esethez hasonlóan értelmezhetjük (sík helyett mindenütt teret kell gondolni) (7.7. ábra). A tér t egyenes körüli { irányított szögû elforgatása során (7.8. ábra) a t egyenes pontjai helyben maradnak. Állítsunk merõlegest a tér P (P∉t) pontjából t-re, a merõleges talppontja legyen T! A transzformáció a tér P pontjához azt a P! pontot rendeli, melyre TP=TP!, TP!⊥t és (PTP!)∠={ teljesülnek. A t egyenest forgástengelynek nevezzük. A csavarmozgás egy tengely körüli forgatás és egy, a tengellyel párhuzamos eltolás egymásutánja (7.9. ábra). t

t

P! P O

T P

P! {

T P

{

P! B

7.7. ábra

316

7.8. ábra

7.9. ábra

Tekintsünk egy S síkot! Az S síkra vonatkozó tükrözésnél (7.10. ábra) a sík pontjai helyben maradnak, fixpontok. Az S által határolt egyik féltér P pontjához oly módon rendeljük hozzá a másik féltér P! pontját, hogy PP!⊥S, és ha PP! talppontja S-en T, akkor PT=TP!. Az S síkot szimmetriasíknak nevezzük. A tér O pontjára vonatkozó tükrözésnél O-hoz önmagát rendeljük (7.11. ábra), a tér egy további P pontjához az OP egyenesnek azt a P! pontját rendeljük, mely az O kezdõpontú P-t nem tartalmazó félegyenesen van, és amelyre OP=OP! teljesül. A térbeli transzformációknál is vizsgáljuk, hogy az orientációt megtartják-e, vagy sem. Ehhez szükség van a jobbrendszer, illetve balrendszer fogalmára. Legyen O a nem egysíkú e, f, g félegyenesek közös kezdõpontja (7.12. ábra). Ha g irányával szembe nézve az e félegyenest az f félegyenesbe az O körüli, az ef síkban levõ, 180°-nál kisebb, pozitív irányú (azaz megállapodás szerint az óramutató járásával ellentétes) elforgatás viszi, akkor az e, f, g félegyenesek jobbrendszert alkotnak. El-


12/16/09

11:08 AM

Page 317

7.1. Bevezetés

lenkezõ esetben az e, f, g félegyenesek balrendszert alkotnak. Az elnevezés onnan származik, hogy jobb kezünk hüvelyk-, mutató- és középsõ ujja jobbrendszert, a bal kezünk hüvelyk-, mutató- és középsõ ujja balrendszert alkot. P P g S

T

O

O P!

e

f +

P!

7.10. ábra

7.11. ábra

7.12. ábra

Ha egy térbeli transzformáció az O, A, B, C pontokhoz az O!, A!, B!, C! pontokat rendeli, és az OA, OB, OC és az O!A!, O!B!, O!C! hármasok mindketten jobbrendszert vagy mindketten balrendszert alkotnak, azt mondjuk, hogy a transzformáció az orientációt megtartja, ellenkezõ esetben megváltoztatja azt. A térmozgások (eltolás, tengely körüli forgatás, csavarmozgás) megtartják az orientációt, a síkra, illetve a pontra vonatkozó tükrözés viszont nem. Az egybevágósági transzformációk egymás utáni alkalmazásával nyert transzformáció is egybevágósági transzformáció. Két alakzatot egybevágónak neveztünk, ha van olyan egybevágósági transzformáció, mely egyiket a másikba viszi át. Ha egy alakzatot egy síkra vagy pontra vonatkozó tükrözés önmagába visz át, akkor síkszimmetrikusnak, illetve centrálszimmetrikusnak nevezzük. A téglatest testközéppontjára nézve centrálszimmetrikus alakzat. Több szimmetriasíkja is van (pl. a párhuzamos lapok középpárhuzamos síkjai). Forgásszimmetrikus alakzathoz létezik olyan tengely körüli elforgatás, mely az alakzathoz önmagát rendeli (de nem minden ponthoz rendeli önmagát). A kocka például a testátló egyenesei körüli 120°-os elforgatásra nézve forgásszimmetrikus. A gömb bármely, a középpontján átmenõ egyenesre mint tengelyre nézve forgásszimmetrikus. (Más egyéb szimmetriái is vannak.)

Síknak síkra való affin transzformációi Ebben a szakaszban olyan geometriai transzformációkat vizsgálunk, melyek a következõ fejezetek ábrázolási módjainál fellépnek. Az itt szereplõ tényanyag segéd-

317


12/16/09

11:08 AM

Page 318


eszköz a párhuzamos vetítést alkalmazó ábrázolásoknál. Elõször síknak síkra való affin transzformációival foglalkozunk. Legyen S és S! két nem feltétlenül különbözõ sík. Ha az S sík minden egyes pontjához hozzárendeljük S! egy pontját, továbbá S! minden pontja elõáll képpontként, akkor ezt a pontonkénti hozzárendelést az S sík S! síkra való leképezésének nevezzük. A leképezés egy-egyértelmû vagy bijektív, ha az S két különbözõ pontjához különbözõ S!-beli pontokat rendel, és S! két különbözõ képpontja két nem azonos S-beli pont képe. Ha S bármely e egyenese pontjainak képei az S! sík egy e! egyenesét alkotják, akkor a leképezés egyenestartó. Legyenek A és B az e egyenes rögzített pontjai! Az egyenes P pontjának az A és B pontokra vonatkozó (ABP) osztóviszonyán (7.13. ábra) az AP és PB irányított szakaszok elõjeles hosszainak arányát értjük, azaz ( ABP ) =

AP . Nyilván P≠B. PB

Ez a hányados az e egyenes irányításától független. Ha P az AB szakasz pontja (P≠B), akkor az osztóviszony nem negatív. Amennyiben P az e egyenes B kezdõpontú, A-t nem tartalmazó félegyenesének pontja, akkor az osztóviszony negatív és abszolút értékben 1-nél nagyobb. Az e egyenes A kezdõpontú, B-t nem tartalmazó félegyenesének pontjaira az osztóviszony negatív és abszolút értékben kisebb 1-nél. e

P A

+

B

7.13. ábra

A leképezés osztóviszonytartó, ha az S sík bármely e egyenesének tetszõleges A, B, P pontjaihoz a leképezés olyan A!, B!, P!∈e! pontokat rendel, melyekre (ABP)=(A!B!P!). Az S→S! leképezést affin transzformációnak nevezzük, ha bijektív, egyenestartó és osztóviszonytartó. Megjegyezzük, hogy az affinitás definíciójában kevesebbet is elegendõ lenne megkövetelni, s a fenti tulajdonságok egy része bizonyítható lenne. Affin transzformációk alkalmazásai során metszõ egyenesek képei a metszéspont képén áthaladó egyenesek, párhuzamos egyenesek affin képei párhuzamos egyenesek. Ha két vagy több affinitást egymás után alkalmazunk, a kapott transzformáció szintén affinitás.

318


12/16/09

11:08 AM

Page 319

7.1. Bevezetés

Tengelyes affinitások Az S→S! affin transzformációnak F fixpontja, ha F képe F!=F. Az affinitásnak az f egyenes fixegyenese, ha az S→S! leképezés az f egyenest önmagára képezi le. Pl. az S síkban az O pontra vonatkozó tükrözés affinitás, melynél az O ponton áthaladó egyenesek fixegyenesek. Az egyenesek O-tól különbözõ pontjai nem fixpontok. Ha azonban a t fixegyenes minden pontja fixpont, akkor a t egyenest tengelynek nevezzük. Ha egy affinitás rendelkezik tengellyel, tengelyes affinitásnak nevezzük. Speciális tengelyes affinitás a t egyenesre vonatkozó tükrözés S síkjában. Tekintsük azt az affinitást, melynek tengelye t, P→P! és Q→Q! két megfelelõ pontpár (7.14. ábra). Az affinitás tulajdonságaiból adódik, hogy a PQ és a P!Q! egyenesek L metszéspontja a tengelyen van. Ha PQ ; t, akkor P!Q!; t is teljesül. Az osztóviszonytartásból következik, hogy (PQL)=(P!Q!L!), amibõl PP! ; QQ! adódik. S

P Q e L=L! t e!

S!

P!

Q!

7.14. ábra

Legyen S=S!! Ekkor a fent leírt affinitásnál a PP! egyenes által megadott irányt a tengelyes affinitás irányának nevezzük. Bebizonyítható, hogy egy tengelyes affinitás egyértelmûen megadható a tengellyel és egy megfelelõ pontpárral (t, P→P!). A 7.14. ábráról leolvasható tetszõleges további pont képének megszerkesztése. Ha PP!; t, akkor elációról beszélünk. Tekintsük a q =

P!Q! hányadost! A párhuzamos szelõk tételének egy követPQ

kezménye alapján belátható, hogy a PQ-val egyállású egyenesek esetén q mindig ugyanaz, függetlenül a PQ szakasz megválasztásától. A PQ szakasz állásának változásával azonban q is változik. A fenti módon a sík ugyanolyan állású egyeneseit a q értékkel jellemezhetjük. Ez az adott álláshoz tartozó dilatáció. Az S=S! esetben nyilván teljesül, hogy a λ =

P'T hányados is független a P (P∉t, T=PP'∩t) PT 319


12/16/09

11:08 AM

Page 320


pont megválasztásától. Ezt a m számot a tengelyes affinitás arányának (karakterisztikus osztóviszonynak) nevezzük.

Általános affin transzformációk Az S→S! affinitás az A, B, C nem egy egyenesen fekvõ pontokhoz rendre az A!, B!, C! nem egy egyenesen fekvõ pontokat (7.15. ábra) rendeli. Ezt az affinitást elõállíthatjuk két affin transzformáció egymás utáni alkalmazásaként. Az elsõ az S→S! hasonlósági transzformáció, mely az A, B, C pontokhoz rendre az A1=A!, B1=B!, C1 pontokat rendeli. A másik leképezés az S!→S! tengelyes affinitás, melynek tengelye A!B! egyenese, és egy megfelelõ pontpárja C1→C!. Az is adódik, hogy az S→S! affinitást egy megfelelõ ABC, A!B!C! háromszögpár egyértelmûen meghatározza. C1

S

C

S! A B

B1

A1

B!

A! C!

7.15. ábra

Megjegyezzük, hogy az egybevágósági és hasonlósági transzformációk is affinitások. A fentiek alapján általános affinitás esetén is lehet adott egyenesálláshoz tartozó dilatációról beszélni.

A párhuzamos vetítés és tulajdonságai

320

A párhuzamos vetítést már értelmeztük a bevezetésben. Most a legfontosabb tulajdonságait adjuk meg, nagyon röviden. A P pont K képsíkra esõ, v irányú párhuzamos vetületét P a-val jelöltük (7.16. ábra). A v irányú egyenesek, a vetítõegyenesek vetületei pontok. Az ábrán a w vetítõegyenes vetülete a w a pont. A nem vetítõegyenes helyzetû egyenesek vetületei egyenesek (az ábrán az e egyenes ilyen). A párhuzamos vetítés további fontos tulajdonsága az osztóviszonytartás. Ha az A, B, P ponthármast – melynek tartóegyenese nem merõleges K-ra – a K képsíkra


12/16/09

11:08 AM

Page 321

7.1. Bevezetés

vetítjük, akkor az eredeti és a vetítéssel nyert A a, B a, P a ponthármasra (ABP)= =(A a B a P a) teljesül (7.17. ábra). (Ez a párhuzamos szelõk tételébõl következik.) A v-t tartalmazó és a v-vel párhuzamos síkok vetületei egyenesek, ezek a síkok vetítõsíkok. Például a V=ee a sík (7.16. ábra) vetítõsík.

V

v

P

v

e

B

w

P

A e ea

a

w

Pa

K

a

e

K

7.16. ábra

a Aa B

Pa

7.17. ábra

Ha az S sík nem vetítõsík, akkor párhuzamos vetülete a K képsík (7.18. ábra). A párhuzamos vetítés S és K pontjai között egy-egyértelmû leképezést létesít, mely egyenestartó és osztóviszonytartó, azaz affinitás. Ha S ; K, akkor speciálisan egybevágóság (eltolás) ez az affinitás. Ha S és K egymást metszõ síkok, és m=S∩K, akkor m tetszõleges pontjának képe önmaga, az m egyenes pontonként fixegyenes, vagyis tengely. Két, egymással párhuzamos vetítõegyenes képe egy-egy pont. Ha a párhuzamos egyenesek nem vetítõegyenesek, de síkjuk vetítõsík, akkor az egyenesek vetületei egybeesnek. Amennyiben az e és f párhuzamos egyenesek nincsenek egy vetítõsíkban, akkor ea és f a vetületeik is párhuzamosak egymással (7.19. ábra). Ugyanis az egyenesek E és F vetítõsíkjai párhuzamos síkok és e síkok és a képsík metszésvonalai, azaz ea és f a is párhuzamosak egymással. Csupán a vetületek párhuzamosságából azonban nem következik az ábrázolt egyenesek párhuzamossága. Például az e-t metszõ g egyenesre ga ; f a, de g és f kitérõ egyenesek. P f

v S

v

e

m

F

E

g fa

a

P

g

K

K

7.18. ábra

a

ea

7.19. ábra

321


12/16/09

11:08 AM

Page 322


Szakasz párhuzamos vetülete lehet nagyobb, egyenlõ vagy kisebb az eredeti szakasznál, a vetítés irányától függõen. Ha az AB szakasz K-val párhuzamos, vagy K-ra illeszkedik, akkor biztosan egyenlõ vele a képszakasz (de nem csak ekkor). Hasonlóan a szög vetülete is általában nem egyenlõ a kiindulási szöggel. Ha mindkét szögszár K-ban van, vagy K-val párhuzamos (7.20. ábra), akkor viszont teljesül a szögek egyenlõsége (de nem csak ekkor). C s S

A

a C!

K

A!

a!

e! B!

S

e

B

M

k

S!

K

7.20. ábra

7.21. ábra

Ha v⊥K, akkor merõleges vetítésrõl beszélünk. Ez a gyakran használt vetítési mód rendelkezik néhány speciális tulajdonsággal. Szakasz merõleges vetülete kisebb egyenlõ, mint a merõlegesen vetített szakasz. Ha egy derékszög egyik szára párhuzamos a képsíkkal, vagy a képsíkban van (7.21. ábra), akkor a derékszög merõleges vetülete is derékszög (feltéve, hogy egyik szár egyenese sem vetítõegyenes). A késõbbiekben sokszor felhasználjuk ezt a megállapítást.

7.2. Ábrázolás két képsíkon Térelemek ábrázolása Képsíkrendszer, pont ábrázolása

322

Egyértelmûen jellemezhetjük egy P pont térbeli helyzetét, ha két egymásra merõleges képsíkot, képsíkrendszert alkalmazunk (7.22. ábra). Tekintsünk egy „vízszintesnek” képzelt K1 síkot és egy rá merõleges „függõlegesnek” képzelt K2 síkot! Legyen e két sík a Monge-féle kétképsíkos ábrázolás elsõ, illetve második képsíkja. A képsíkok metszésvonalát, a képsíktengelyt jelöljük x12-vel. Egy tetszõleges térbeli P pontot vetítsünk merõlegesen mindkét képsíkra! Jelöljük a merõleges vetületeket rendre P!-vel és P"-vel! Az elsõ vetületet nevezhetjük felülnézetnek, míg a másodikat elölnézetnek. A P, P!, P" pontok egy olyan V síkot határoznak meg, mely mindkét képsíkra merõleges. Könnyen belátható, hogy x12 merõleges V-re. A V és a


12/16/09

11:08 AM

Page 323

7.2. Ábrázolás két képsíkon

K1 síkok metszetén felvett tetszõleges P! (P!∈V, P!∈K1) és a V és K2 metszetén felvett tetszõleges P" (P"∈V, P"∈K2) képpontok a P pont térbeli helyzetét egyértelmûen meghatározzák. Ugyanis a P! pontban a K1 képsíkra, míg P"-ben a K2 képsíkra állított merõleges egyenesek metszete a térbeli P pont. Így a P ponthoz a (P!, P") pontpárt kölcsönösen egyértelmûen hozzárendeltük. K2

K2

P"

P"

P

V

P

K1 P!

P!

K1

x12

x12

7.22. ábra

A P, P!, P" pontok által meghatározott síknak az x12 képsíktengellyel való metszéspontja legyen a Px pont. Ekkor a P, P!, P", Px pontok egy vetítõ téglalapot határoznak meg (7.23. ábra). A merõleges vetítés tulajdonságaiból következik, hogy a P pont K1 képsíktól való távolságát („magasságát”) P"Px=PP! adja, míg a K2 képsíktól való távolsága P!Px=PP"-vel egyenlõ. A képsíktengely által határolt fél képsíkokat elõjellel látjuk el. Jelöljük a K1 képsík „hozzánk közelebbi” felét + jellel, a másikat – jellel, továbbá a K2 képsík „felsõ” felét + jellel, az „alsót” – jellel, majd a két képsíkot egyesítsük, forgassuk egymásba az x12 képsíktengely körül úgy, hogy − + − a K+ 1 és a K 2 , illetve a K 2 és a K 1 félsíkok fedésbe kerüljenek! K2 P"

+

P! x12

Px +

K1− = K 2+

P " K2

P

r2

K1

Px

x12 Px +

P"

x12

r1

P ! K1 K1+ = K 2−

P!

7.23. ábra

A két képsíkot egymásba forgatással egyesítettük, a kapott síkot a rajz síkjának tekinthetjük. A P!P" szakasz egyenesét rendezõegyenesnek, az r1=P!Px szakaszt elsõ

323


12/16/09

11:08 AM

Page 324


rendezõnek, az r2=P"Px szakaszt második rendezõnek nevezzük. Mivel a P, P!, P", Px pontok síkja merõleges mindkét síkra, így az x12 tengelyre is, ezért a rendezõk is mindig merõlegesek az x12 tengelyre. (Az elsõ rendezõ a térbeli P pont K2 képsíktól való távolságát, a második rendezõ a P pont K1 képsíktól való távolságát adja.) K2

S"

U"

U

V"

V

R

S

R"

V!

U" R"

R!

V"

K1

x12

U! x12

S"

R!

S! S!

U! V!

7.24. ábra

Ha két különbözõ térbeli pont elsõ vetületei megegyeznek, azaz közös az elsõ vetítõegyenesük, akkor azokat elsõ fedõpontoknak, ha a második képeik egyeznek meg, akkor második fedõpontoknak nevezzük. A 7.24. ábrán az U és V pontok elsõ fedõpontok, az R és S pontok pedig második fedõpontok.

Egyenes ábrázolása A tér egy általános helyzetû e egyenesének e! elsõ vetülete az e egyenes elsõ vetítõsíkjának az elsõ képsíkkal való metszete. Az e egyenes e" második vetülete az e egyenes második vetítõsíkjának a második képsíkkal való metszete (7.25. ábra). A merõleges vetítés tulajdonságaiból következik, hogy egy általános helyzetû e egyenes vetületei egyenesek. (Speciális esetben lehet pont az egyik vetület.) Az egyenes vetületeibõl az egyenes rekonstruálható. Ugyanis, ha az elsõ képsíkra illeszkedõ tetszõleges e! egyeneshez tartozó elsõ vetítõsíknak és a második képsíkra illeszkedõ tetszõleges e" egyeneshez tartozó második vetítõsíknak a metszete egyenes, akkor a metszet a térbeli e egyenes. Ha a két vetítõsík egybeesik, akkor nem egyértelmû a vetületekbõl történõ rekonstrukció. Bármely ebben a közös vetítõsíkban fekvõ egyenes megfelel. Ha a két vetítõsík párhuzamos, akkor e! és e" nem lehetnek egy egyenes vetületei. 324


12/16/09

11:08 AM

Page 325


K2

e e"

e" K1

x12

e! e!

x12

7.25. ábra

Az egyenest két pontja egyértelmûen meghatározza. Legyen adott a g egyenes P és Q pontjaival (7.26. ábra). Elõször ábrázoljuk a pontok vetületeit, majd a kapott vetületek alapján megrajzolhatjuk a g!=P!R! és a g"=P"R" egyeneseket, melyek a g egyenes vetületei. Az általános helyzetû g egyenesnek az elsõ képsíkkal való G1 metszéspontját (ha létezik) elsõ nyompontnak, míg a második képsíkkal való G2 metszéspontját (ha létezik) második nyompontnak nevezzük. A 7.26. ábráról a nyompontok szerkesztése leolvasható. K2

G2=G "2 P"

g

G2 P"

g" P

x12

g" Q"

P!

g!

Q"

Q Q!

G "1

K1 G1

G !2 P!

g! Q!

x12

G 1=G !1

7.26. ábra

325


12/16/09

11:08 AM

Page 326


Speciális egyenesek Az elsõ képsíkra merõleges v1 egyenest elsõ vetítõegyenesnek, a második képsíkra merõleges v2 egyenest második vetítõegyenesnek nevezzük. Ábrázoló geometriai szerkesztések során nagyon sokszor használjuk a képsíkokkal párhuzamos úgynevezett fõvonalakat (fõegyeneseket). Az elsõ képsíkkal párhuzamos f1 egyenest elsõ fõvonalnak, a másodikkal párhuzamos f2 egyenest második fõvonalnak nevezzük. Az x12 képsíktengelyre merõleges p egyenest, amely nem vetítõegyenes, profilegyenesnek nevezzük. A v1 elsõ vetítõegyenes elsõ képe pont, második vetülete az x12 képsíktengelyre merõleges egyenes (7.27. ábra). A v2 második vetítõegyenesnél fordított a helyzet. A p profilegyenes mindkét vetülete merõleges x12-re (és a vetületek egybeesnek).

K2 p" v "1

v "1

P "1

P2

v "2 v1

p v2

x12

p" v "2

P1

p!

P "2 K1 P!1

v!2

v!2

v!1

v!1

p!

x12

P!2

7.27. ábra

Az f1 elsõ fõvonal második, az f2 második fõvonalnak pedig az elsõ vetülete párhuzamos a képsíktengellyel (7.28. ábra). K2 f "2 x12

f "1

f "1

f2 f !2 K1

f1

x12

f !1

326

f "2

f !1

7.28. ábra

f !2


12/16/09

11:08 AM

Page 327


Két nem egybeesõ egyenes kölcsönös helyzete háromféle lehet, metszõ, párhuzamos vagy kitérõ. A merõleges vetítés tulajdonságaiból következik, hogy az általános helyzetû metszõ egyenesek mindkét vetülete metszõ egyenespár, és a képegyenesek metszéspontjai egy rendezõegyenesre esnek (7.29. ábra). Teljesül továbbá az is, hogy ha két egyenes mindkét vetületén a metszéspontok egy rendezõn vannak (kivéve, ha az egyik vagy mindkettõ profilegyenes), akkor az egyenesek a térben is metszik egymást. Általános helyzetû párhuzamos egyenesek mindkét vetülete párhuzamos egyenespár. Megfordítva, ha két egyenes mindkét vetülete párhuzamos egyenespár (kivéve a profilegyenesek), akkor a térbeli egyenesek is párhuzamosak. A 7.30. ábrán a c és a d egyenesek párhuzamosak. Ha a nem egysíkú, azaz kitérõ egyenesek mindkét vetületének van metszéspontja, akkor a metszéspontok nincsenek egy rendezõn. Speciális helyzetben a kitérõ egyenesek valamelyike lehet vetítõegyenes is. A 7.31. ábrán a p és a q egyenesek kitérõ helyzetûek. A fedõpontok vizsgálatával a vetületekbõl is meg tudjuk állapítani a két kitérõ egyenes egymáshoz viszonyított térbeli elhelyezkedését, és azt a vetületeken szemléltetni is tudjuk. A 7.31. ábrán a P∈p és a Q∈q elsõ fedõpontok megkeresésével szemléltetni tudjuk a felülnézeten a két egyenes láthatósági viszonyát. q"

Q" a" b"

X"

P"

d"

p"

c" x12

x12

x12 P!=Q!

X!

p!

a! d!

b!

q!

c!

7.29. ábra

7.30. ábra

7.31. ábra

Sík ábrázolása Egy sík ábrázolásánál a síkot meghatározó alakzatokat ábrázoljuk. Így két metszõ egyenessel, egy párhuzamos egyenespárral, egy egyenessel és egy rá nem illeszkedõ ponttal, három, nem egy egyenesre illeszkedõ ponttal (háromszöggel) (7.32. ábra) adhatjuk meg a síkot.

327


12/16/09

11:08 AM

Page 328


B"

K2 B"

B

C"

C "C A" K1

C!

A A"

C!

x12

B! A!

x12

A! B!

7.32. ábra

Speciális síkok A képsíkrendszerhez képest speciálisan elhelyezkedõ síkok közé tartoznak a már említett vetítõsíkok. Ha egy sík az elsõ képsíkra merõleges, akkor elsõ, ha a másodikra, akkor második vetítõsík. A 7.33. és a 7.34. ábrán metszõ és párhuzamos egyenesekkel megadott elsõ vetítõsíkok láthatók. Az egyenesek elsõ vetületei egybeesnek, ezért elsõ fedõegyeneseknek nevezzük õket. Hasonlóan lehet értelmezni második fedõegyeneseket is.

K2 a"

b"

X"

K2

X

’’ b

a!

K1

X!

7.33. ábra

328

c

c"

d!

b! x12

d

d"

a

c! x12

7.34. ábra

K1


12/16/09

11:08 AM

Page 329


Síkra illeszkedõ egyenesek és pontok Ha egy egyenes két pontja illeszkedik a síkot meghatározó alapelemekre, akkor az egyenes is illeszkedik a síkra. A 7.35. ábrán az a és b párhuzamos egyenesekkel megadott síkra illesztettük az e egyenest. A sík speciális egyenesei a sík elsõ és második fõvonalai. A 7.36. ábrán egy f1 elsõ fõvonalat illesztettünk a c és d metszõ egyenespárral megadott síkra. Elõször f1 második képét vesszük fel, mely az x12 képsíktengellyel párhuzamos, majd meghatározzuk a fõvonal elsõ vetületét is. (A metszéspontok képei egy rendezõn vannak.) Síkra egy általános helyzetû pontot a síkra illeszkedõ segédegyenes segítségével tudunk felvenni. Elõször egy egyenest illesztünk a síkra, majd egy erre az egyenesre illeszkedõ pontot. A 7.37. ábrán az A, B és C pontokkal megadott síkon egy általános helyzetû P pontot vettünk fel. B"

e"

c"

d"

b"

f "1

a"

C" x12 C!

d! b!

A"

x12

x12 e!

e"

P"

A! f !1

c!

a!

e!

P! B!

7.35. ábra

7.36. ábra

7.37. ábra

Helyzetgeometriai feladatok Sík és egyenes, síkok párhuzamossága Egy egyenes akkor és csakis akkor párhuzamos egy síkkal, ha az egyenes párhuzamos a sík egy egyenesével, és nem illeszkedik a síkra. A 7.38. ábrán a g egyenes párhuzamos az ABC síkkal (a síkra illeszkedõ e egyenessel párhuzamos). Két sík akkor párhuzamos egymással, ha nincs közös pontjuk. A 7.39. ábrán a párhuzamos síkokat két háromszöggel (melyek megfelelõ oldalai párhuzamosak) adtuk meg.

329


12/16/09

11:08 AM

Page 330


B"

B"

g"

B "1

e"

C"

C" A"

A" C!

A!

e!

g!

A "1

x12

C!

A!

C "1

x12 C !1

A !1

B!

B!

7.38. ábra

B !1

7.39. ábra

Metszõ térelemek Metszõ egyenesek ábrázolásával már foglalkoztunk. A következõkben egyenes és sík, valamint két sík metszetének szerkesztését tárgyaljuk. Sík és egyenes közös pontjának, döféspontjának (metszéspontjának) szerkesztése egyszerû, ha vagy a sík, vagy az egyenes speciális helyzetû. Legyen a V sík elsõ vetítõsík. A sík elsõ vetülete, a V! egyenes tartalmazza a sík minden pontjának elsõ képét (7.40. ábra). Így az e egyenes e! elsõ képének és V!nek közös pontja a D=V∩e metszéspont elsõ képe. A döféspont második képét rendezõegyenessel jelöljük ki az e" képegyenesen. Ha az e egyenes vetítõegyenes, akkor a szerkesztés a következõ. A 7.41. ábrán a síkot az ABC háromszöggel adtuk meg, az e egyenes pedig második vetítõegyenes. Ennek második képe az e" pont. Ez egyben minden pontjának második képe, tehát a döfésponté (D") is. A D pontot az s segédegyenessel illesztettük az ABC síkra. Az általános helyzetû S sík e egyenessel való D döféspontjának szerkesztésénél úgy járunk el, hogy az e egyenesre illesztünk egy tetszõleges U segédsíkot (7.42. ábra). Megszerkesztjük S és U metszésvonalát, az m egyenest (m=S∩U). Az e és az m egyenesek metszéspontja eleme az S síknak is és az e egyenesnek is, tehát D=m∩e. Példa. A szerkesztés konkrét kivitelezésénél az egyszerûség kedvéért az U segédsíkot speciálisan vesszük fel, általában vetítõsíkot célszerû választani. A 7.43. ábrán az S síkot az ABC háromszöglemezzel adtuk meg. Az e egyenesre az U elsõ vetítõsíkot illesztettük, 330


12/16/09

11:08 AM

Page 331


V e"

B"

D" A"

s"

e" D" C" x12

B!

x12 V!

e! D!

D!

C!

s! e!

A!

7.40. ábra

7.41. ábra

C" A" D" m" e" B"

U

B!

e

e!

x12

m

S

D m!

U!

D!

C!

A!

7.42. ábra

7.43. ábra

ennek U! elsõ képe azonos e!-vel. Az m=S∩U egyenes elsõ vetülete egybeesik az U! elsõ képpel (m eleme U-nak). Ugyanakkor m benne van az S=ABC síkban is, ezért második képe megszerkeszthetõ. Az m" és e" képegyenesek közös pontja D", a sík és egyenes döféspontjának második képe. Ebbõl a D! elsõ képpontrendezéssel adódik. A lemezt átlátszatlannak tekintve szemléltethetjük a síklemez és egyenes térbeli helyzetét (az elölés a felülnézetet is láthatóság szerint kihúztuk). A láthatósági viszonyokat fedõpontok segítségével állapítottuk meg. 331


12/16/09

11:08 AM

Page 332


Ha ismerjük két sík két közös pontját, akkor ismerjük metszésvonalukat is, ugyanis a két pontot összekötõ egyenes a metszésvonal. Ezért arra törekszünk, hogy megszerkesszük a két sík két közös pontját. Ezt elérhetjük úgy is, hogy elõállítjuk az egyik sík tetszõleges két egyenesének a másikkal alkotott döféspontjait. Egyszerû a metszésvonal szerkesztése, ha a két egymást metszõ sík valamelyike vetítõsík. Ekkor a vetítõsík egyik képe azonos az m metszésvonal ugyanazon képével. A másik kép síkra illesztéssel szerkeszthetõ. Példa. A 7.44. ábrán a síkokat az A, B és C nem egy egyenesre esõ pontokkal, illetve a g és h párhuzamos egyenesekkel adtuk meg. A két sík metszésvonalát megkapjuk, ha megszerkesztjük az elõzõ feladat alapján a g és h egyeneseknek az ABC síkkal alkotott G és H döféspontjait. B"

B"

U"

m" H"

N"

h" X"

Z"

g" A"

C"

A"

x12 C! G!

A!

C"

M"

G"

Y" U! C!

x12

X! A!

N!

M!

g! Z! H! m!

h!

B!

7.44. ábra

B!

Y!

7.45. ábra

Két síkidom metszete a két sík metszésvonalának az a része, melyet mindkét síkidom tartalmaz. Példa. A 7.45. ábrán az ABC háromszöglemez és az XYZU paralelogrammalemez közös részét, metszetét szerkesztettük meg. Meghatározása céljából elõször az XY paralelogrammaoldal egyenesének ABC síkkal való M döféspontját szerkesztettük meg, majd az UZ oldalegyenes ABC síkkal alkotott N döféspontját (a síkkal, nem a háromszöglemezzel!). Az MN metszésvonal mindkét síkidomhoz tartozó szakasza a két lemez metszete. A láthatóságot úgy tüntettük fel, hogy mindkét lemezt átlátszatlannak tekintettük. 332


12/16/09

11:08 AM

Page 333


Új képsíkok bevezetése, nézetek + Az alakzatot, melyet ábrázolni akarunk, helyezzük el a K+ 1 és a K 2 által határolt térrészben, az úgynevezett elsõ térnegyedben. Mint már említettük, az elsõ vetület a felülnézet, a második vetület az elölnézet. Vegyünk fel egy K1-re és K2-re merõleges K3 új képsíkot (7.46. ábra)! A K2 és a K3 képsíkok metszete az x23 képsíktengely. Vetítsük a P pontot K3-ra merõlegesen, a kapott P# pont a P pont harmadik vetülete. A P, P", P# pontok által meghatározott síknak az x23 képsíktengellyel való metszete legyen a Py pont. Az r3=P#Py szakaszt a P pont harmadik rendezõjének nevezzük. A három képsíkot egyesítjük a képsíktengelyek körül való forgatással. A K3 képsíkot az x23 képsíktengely körül a K2 képsíkba forgatjuk be az ábra szerint, majd a K1 és a K2 képsíkokat a szokásos módon egyesítjük. A beforgatás után a P"P# szakasz merõleges x23-ra, és r1=r3. A fentiek alapján bevezetett harmadik vetületet balnézetnek hívjuk.

K3

x23 r3

Py K2

x23

P#

P"

P

P"

Py

P! Px

r1

K1

x12

P#

x12

Px

r1

r3

P!

7.46. ábra

A 7.47. ábrán egy alakzat három vetülete, elölnézete, felülnézete és balnézete látható. K3

x23

x23 K2

x12

x12

K1

7.47. ábra

333


12/16/09

11:08 AM

Page 334


A mûszaki ábrázolásban további képsíkokat is bevezetnek. Az alakzat „bal oldalára”, a K1 és a K2 képsíkokra merõleges, K3-mal párhuzamos K4 negyedik képsíkot a jobbnézet számára. A K1, K2, K3 és K4 képsíkok úgy helyezkednek el, mintha egy kocka lapjainak síkjai lennének. Ezért szemléletesen az ábrázolni kívánt alakzat, mûszaki alkatrész köré egy kockát képzeljünk el, és ennek lapjaira vetítjük az alakzatot merõlegesen (7.48. ábra). Majd a kocka lapjait (képsíkokat) a kocka élei (képsíktengelyek) körül egymásba, legvégén az elölnézet síkjába forgatjuk a 7.48. ábrának megfelelõen.

7.48. ábra

Már az eddigiekben is találkoztunk olyan szerkesztésekkel (pl. 7.45. ábra), melyeknek megoldása során a képsíktengelynek semmilyen szerepe nem volt. Ha a képsíktengelyt „lejjebb” vagy „feljebb” vesszük fel, annak következménye csupán annyi, hogy a képsíkrendszer az ábrázolt alakzathoz képest eltolódik. Mivel számos feladat szempontjából az alakzatoknak a képsíkrendszerhez viszonyított helyzete egy eltolás erejéig közömbös, ezért bizonyos esetekben a képsíktengely megrajzolását mellõzhetjük. A továbbiakban, ha nem szükséges, a képsíktengelyeket nem rajzoljuk meg. Az egyes vetületek között levõ képsíktengelyeket a mûszaki ábrázolásban nem rajzolják meg. Az alakzatot használatának megfelelõen helyezzük el. Törekedjünk továbbá arra is, hogy az alakzatról az elöl-, felül- és valamely oldalnézete (lehetõleg a balnézete) a legtöbbet mutasson meg az alakzatból. Ha szükséges, akkor további nézeteket is alkalmazunk.

Képsík-transzformáció általában

334

A képsík-transzformáció lényege az, hogy a képsíkrendszer (K1 és K2) valamelyik képsíkjához egy újabb, célszerûen választott (K5) képsíkot veszünk fel, amely az egyik képsíkra merõleges, de nem feltétlenül merõleges mindkettõre. A 7.49. ábrán a K1-re merõleges K5 képsíkot vettünk fel, metszetük az x15 képsíktengely. A P pont K5-re való merõleges vetülete a PV pont. (Több vesszõ helyett római számokat használunk „felsõ” indexben.) A K2 képsíkot a szokásos módon, a K5 képsíkot pedig az


12/16/09

11:08 AM

Page 335


x15 képsíktengely körül forgassuk be a K1 képsíkba az ábrának megfelelõen! A P" ponthoz tartozó r2 és a PV ponthoz tartozó r5 rendezõ is a P pont K1 képsíktól való távolságával egyenlõ, ezért a képsíkok egyesítése után is igaz, hogy r2=r5. P" r2

K2

K5 PV

P"

x12

P K1 x15 P!

x15

x12

P! r5

PV

7.49. ábra Példa. A 7.50. ábrán a már bemutatott alakzatról készítsünk egy ferde, elsõ képsíkkal párhuzamos nyíl irányú nézetet! Az alakzat csúcspontjait a 7.49. ábra szerint szerkesztettük meg.

A" AV K5

A "A

x12

K2

A! x15 x15 x12

AV

K1

7.50. ábra

A képsík-transzformációt nem csupán az elsõ képsíkra merõlegesen felvett új képsík segítségével alkalmazhatjuk, hanem a második képsíkra merõlegesen is vehetünk fel új képsíkot. A következõkben erre látunk egy példát.

335


12/16/09

11:08 AM

Page 336


Példa. Néhány alkatrész esetén az egyes részletek jobb bemutatása, méretezhetõsége miatt is szükséges úgynevezett ferde vetületet, segédnézetet készíteni. A 7.51. ábrán látható alakzatról készítettünk egy olyan új nézetet, melyen a „ferde rész" is valódi nagyságban látszódik. A szerkesztés az ábráról leolvasható. (Az AV pont szerkesztését részleteztük, r1=r5.) A" x25 r5

AV

x12 r1

A!

7.51. ábra

Metrikus feladatok Az alábbiakban három módszert ismertetünk, melyek alkalmazásával poliéderek metrikus adatait szerkeszthetjük meg.

Metrikus adatok szerkesztése képsík-transzformációval A módszer lényege az, hogy alkalmasan választott képsíkra vetítve, a metrikus adat a vetületi ábrán leolvasható. Példa. Szerkesszük meg egy ABC alapú, M csúcsú gúla BCM oldallapjának, illetve BM oldalélének az alaplappal bezárt szögét! A 7.52. ábrán mindkét szöget egy-egy alkalmas transzformációval határoztuk meg. Az alaplap és a BCM oldallap közös egyenesének irányával, azaz a BC alapéllel párhuzamosan transzformáljuk a gúlát. (A vetítés irányát az elsõ képsíkkal párhuzamos 1-es jelû nyíl mutatja.) Az ötödik képen a BC él vetülete egy pont, a keresett két sík szöge 336


12/16/09

11:08 AM

Page 337


a=AVBVMV. A BM oldalél alaplappal bezárt szögének meghatározásához a BM él vetítõsíkjára merõleges irányban transzformáltunk (a 2-es nyíl B!M!-re merõleges és az elsõ képsíkkal párhuzamos). Az így kapott hatodik vetületen a keresett szög b=AVIBVIMVI. A képsíktengelyeket nem jelöltük, azok egybeesnek (egybeeshetnek) a gúla alapjának második, ötödik és hatodik vetületével. MV

M" V

A

M

a BV V C M VI

AVI C A

a b

K1

A" A!

B

B" C" C! M!

CVI

b BVI

2.

B!

1.

7.52. ábra

Sík képsíkba forgatása Ha egy síkbeli alakzat a képsíkban vagy a képsíkkal párhuzamos síkban helyezkedik el, akkor a szóban forgó képsíkra esõ merõleges vetülete az alakzattal egybevágó. Ezt a helyzetet úgy érjük el, hogy a sík egy képsíkban fekvõ vagy azzal párhuzamos egyenese körül forgatjuk el a síkot a fenti helyzetbe. A módszert a következõ példán keresztül mutatjuk be. Példa. A 7.53a–b ábrán az ABC alaplapú, M csúcspontú, elsõ képsíkon álló gúla BCM lapjának valódi alakját szerkesztettük meg. A BC él az elsõ képsíkban van, ezért a BCM oldallapot a BC szakasz egyenese, a forgatás tengelye körül az elsõ képsíkba tudjuk forgatni. Az így leforgatott képen az oldallap valódi adatait olvashatjuk le. A képsíkba forgatott pontokat és egyeneseket zárójellel jelöljük. A forgatás során minden pont egy körív mentén mozog, melynek síkja a forgatás tengelyére merõleges. A 7.53a ábrán az M ponthoz tartozó körívet rajzoltuk le. Legyen az MY szakasz a BCM lap magassága, azaz MY⊥BC, ekkor az (M)(Y) szakasz a (B)(C)(M) lefor-

337


12/16/09

11:08 AM

Page 338


gatott lap magassága, azaz (M)(Y)⊥BC. Teljesül továbbá, hogy MY=(M)(Y), ez az M ponthoz tartozó körív sugara. A fentiek alapján szerkesztettük meg a BCM oldallap leforgatott képét a 7.53b ábrán. A felülnézeten az M! pontból a B!C! egyenesre merõleges egyenest állítva kapjuk az Y! pontot. A BCM lap második vetítõsík, ezért a lap magassága a második képen valódi méretében látszódik. Így az Y"M" szakaszt az Y! ponttól fölmérve az M!Y! egyenesre kapjuk (M)-et. A BCM lapra illeszkedõ, általános helyzetû X pontot egy rajta áthaladó egyenes segítségével forgattuk le az ábra alapján. Megjegyezzük, hogy a B!C!M! oldallap és a (B)(C)(M) leforgatottja között egy merõleges affinitás van, melynek tengelye a B!C! egyenes és megfelelõ pontpárja M! és (M). M

X K1

C!=(C)

A!

Y=(Y)

M!

(M)

(X)

B!=(B) a) M"

X"

Y" B "C " C!=(C)

A"

A!

M!

X!

(X) Y !=(Y)

b) 338

B!=(B)

7.53. ábra

(M)


12/16/09

11:08 AM

Page 339


Különbségi háromszög A metrikus feladatok megoldásának alapvetô eleme két pont távolságának, azaz egy szakasz hosszának meghatározása. Két pont távolságának meghatározásánál gyakran alkalmazzák a különbségi háromszög módszerét. Példa. A 7.54. ábrán e módszerrel szerkesztettük meg a PQ szakasz valódi hosszát. Ha a P!Q! vetületet eltoljuk a Q pontba, akkor térben a PQX derékszögû háromszöget kapjuk, ahol a QX=P!Q! és a PX=P"X"=PP! – QQ!, azaz az egyik befogó hossza a PQ szakasz felülnézetének hossza, a másik befogó a P és a Q pontok második rendezõinek különbsége. A PQX derékszögû háromszöget különbségi háromszögnek nevezzük. A 7.54. ábrán a különbségi háromszöget kétféleképpen is megszerkesztettük. P" K2 P"

PQ P X"

Q" X" Q"

P !Q !

X

Q

x12

K1 P! X!

Q!

X!

P!

Q! PQ (P)

7.54. ábra

Poliéderfelület síkba fejtése A poliéderfelületet megfelelõ számú él mentén felvágva és a poliéderlapokat a fel nem vágott élek körül elforgatva egy, a poliéderlapokból álló összefüggõ síkbeli alakzatot, a kiterített poliéderfelület hálózatát (síkba fejtését, kiterítését) kapjuk. A poliéder hálózatának megszerkesztéséhez, a poliéder lapjainak valódi alakját, éleinek valódi hosszát kell meghatároznunk. A lapokat háromszögekre bontva talán legegyszerûbben a különbségi háromszög módszerét alkalmazhatjuk. Példa. A 7.55. ábrán egy ABCD négyszög alapú M csúcspontú gúla palástjának síkba fejtését szerkesztjük meg. A gúla oldaléleinek hosszát különbségi háromszögek segítségével adjuk meg. Az alapélek az elsõ képsíkra illeszkednek, ezért felülnézetük hossza a valódi hosszukkal egyenlõ. A gúla palástját az AM oldalél mentén vágjuk fel, és az oldallapokat az ábrának megfelelõen egymáshoz illesztve a gúla palástjának síkba fejtett

339


12/16/09

11:08 AM

Page 340


képéhez, az AkBkCkDkAkMk hatszöghöz jutunk. A hajtáséleket kétpontvonallal jelöljük. Az ABM lapra illeszkedõ X pont kiterített képen való megszerkesztéséhez az X pontra illeszkedõ két szakaszra van szükségünk. Az egyik az M ponton átmenõ, a másik az AB alapéllel párhuzamos szakasz. Az ábrán jelölt Yk pont szerkesztésénél vegyük figyelembe, hogy A!Y!=AkYk. Az X pontra illeszkedõ AB-vel párhuzamos egyenes és az AM alkotó metszete legyen a Z pont. Az MZ szakasz valódi hosszának megszerkesztéséhez tartozó különbségi háromszöget megkapjuk, ha a Z" pontot az ábrának megfelelõen (a Z"X" szakasz meghosszabbításával) átvetítjük az AM jelû élre. Az Xk pont az MkYk szakasz és a Zk ponton áthaladó, az AkBk-val párhuzamos szakasz metszeteként adódik. M"

M

Ak Dk

Z"

Z

X"

A"

D"

Y"

B"

Z!

M!

C"

C

BD A

Mk

Ck

D! C! A!

Xk Zk Bk

X! Yk Y! B!

Ak

7.55. ábra

Néhány alkalmazás Poliéderek síkmetszete A síkmetszet egy vagy több töröttvonalból (metszetsokszög(ek)) áll. Megszerkesztésükre általában az alábbi két módszert alkalmazzuk. Lapmódszer. Ebben az esetben a síkmetszet éleit szerkesztjük meg. A síkmetszet élei ugyanis a poliéderfelület lapjainak metszetei a metszõsíkkal. A szerkesztést két sík metszésvonalának megszerkesztésére vezetjük vissza. 340


12/16/09

11:08 AM

Page 341


Élmódszer. Ilyenkor a síkmetszet csúcsait szerkesztjük meg. A síkmetszet csúcsai a poliéder éleinek a metszõsíkkal való döféspontjai. Azokat a döféspontokat köthetjük össze, melyek a poliéderfelület ugyanazon lapján vannak. Így nyerjük a síkmetszet éleit. Itt a szerkesztést sík és egyenes döféspontjának szerkesztésére vezetjük vissza. Ha metszõsík elsõ vagy második vetítõsík, akkor a fenti metszéspontok szerkesztése egyszerû. Példa. A 7.56. ábrán az EFGHEFGH négyoldalú ferde hasáb metszetét szerkesztettük meg a V második vetítõsíkkal az élmódszer alkalmazásával. A szerkesztést az ábrán nyomon követhetjük. – – E" H "

E1v

H1v

– – F " G"

2"

3

3"

4"

E "1

V"

H "1

F "1

1! G!

G1V

2

4!

– Hk 3

k

– Ek

4k

1k E1k

1k F1k

G1k

H1k

E1k

– 2! F! – E!

3!

Fk

– G! Ek

H!

– Gk

2k E1 H1 F1 G1

G "1

F " G" F!

E" H" E!

F1v

– Ek 4 1

1"

S"

– Fk

Gk Hk

Ek

– H!

7.56. ábra A síkba fejtést is elvégezzük, a kiterítésen megjelöljük a síkmetszetet is. Az oldalparalelogrammák valódi alakját a korábban ismertetett módon szerkesztjük. (Például az EFFE lap esetén az EFE háromszög valódi alakját szerkesztjük, majd paralelogrammává egészítjük ki.) Az alap és a fedõlap kiterítése könnyen elvégezhetõ, mert a négyszögek valódi alakja a felvétel miatt az elsõ vetületrõl leolvasható. A metszet csúcsait segédábra felhasználásával adtuk meg a kiterítésen. A hasáb oldalélekre merõleges síkkal való metszete a normálmetszet. Az 7.56. ábrán az S síkkal való metszet normálmetszet. Az S síkot most könnyen felvehettük, hiszen az ábrán a hasáb oldalélei a második képsíkkal párhuzamosak, így S második vetítõsík, azaz S" egyenes. A normálmetszet a síkba fejtésen szakasz, mely a hasáb oldaléleire merõleges. A 7.56. ábrán megadtuk a normálmetszet valódi alakját is képsík-transzformáció alkalmazásával. 341


12/16/09

11:08 AM

Page 342


Ha a metszõsík általános helyzetû, akkor az általános helyzetû síkot célszerû vetítõsíkká transzformálni. Az új képsíkot a metszõsík valamelyik fõvonalára merõlegesen vesszük fel. Ezután a fentiek szerint járunk el. Ha egy poliédert véges síklemezzel metszünk el, akkor itt is célszerû a lemez síkjával való metszetét megszerkeszteni, és csak ezután figyelembe venni a metszetlemez által tartalmazott részét. 4" M"

L" 4

1"

ıv

D ıv

K ıv

M ıv

E

Lıv J

ıv

3

F " A" E " G " B " 4! E!

ıv

P ıv

f "1

H"

Q"

ıv

3"

K" J"

P"

2"

C ıv

D"

C"

D!

F ıv

G ıv Aıv

L!

F!

H ıv B ıv

1!

P!

Q ıv

K!

M! J!

2 ıv Q! A!

3!

C! f !1

H! G!

B! 2!

7.57. ábra

342

Példa. Szerkesszük meg az ABCDEFM szabályos hatoldalú gúlának az 1234 paralelogrammalemezzel való metszetét! A 7.57. ábrán képsík-transzformációt alkalmazunk, a negyedik képsík a paralelogramma síkjának f1 elsõ fõvonalára merõleges. A paralelogramma 2 és 3 jelû csúcsait transzformáltuk, így szerkesztettük meg az U=1234 sík negyedik képét. Az U síkkal való metszet az elõbbi résznél leírt módon szerkeszthetõ. Ez a GHJKLPQ sokszög, melynek oldalait vékony vonallal jelöltük az ábrán. Ezután vettük a paralelogrammalemez és a GHJKLPQ sokszög metszetét. Ez lesz a gúlafelület metszete az 1234 lemezzel. Az ábra láthatóság szerinti kihúzásánál a gúlát és a lemezt átlátszatlannak tekintettük.


12/16/09

11:08 AM

Page 343


Poliéderek áthatása Két poliéder közös része síkidomok metszésvonalaiból, tehát szakaszokból áll, amely rendszerint térbeli töröttvonal (esetleg több különálló részbõl álló töröttvonal rendszerébõl áll). Neve áthatási töröttvonal, melyet a következõképpen szerkeszthetünk meg. Lapmódszer. Az áthatási töröttvonal éleit szerkesztjük, melyek egy-egy poliéderlap metszeteként keletkeznek. A szerkesztést két síklemez metszetének szerkesztésére vezethetjük vissza. Élmódszer. Az áthatási töröttvonal(ak) csúcspontjait adjuk meg oly módon, hogy az egyik poliéder éleinek a másik poliéder lapjaival való közös pontjait szerkesztjük, majd fordítva. Az áthatási töröttvonal éleit ezen csúcsok megfelelõ öszszekötésével nyerjük. Két csúcsot akkor kötünk össze, ha azok az egyik és a másik poliédernek is ugyanazon lapján vannak. Az alábbiakban tárgyalt két példában az élmódszert alkalmazzuk. Példa. A 7.58. ábrán az elsõ képsíkon álló ABCM háromoldalú gúla és egy háromoldalú hasáb áthatását szerkesztettük meg, az EFGEFG hasáb e, f, g oldalélei a második képsíkra merõlegesek, az oldallapok második vetítõsíkokban vannak. Az élmódszerrel járunk el. Az áthatási töröttvonal (poligon) második vetülete rajta van az EFG háromszög második képén. A gúla élei közül csak az MC él metsz bele a hasábba, mégpedig az 1 és 2 pontokban. Az 1 és 2 pontok második képei közvetlenül adódnak, az elsõ képeket rendezéssel nyerjük. A hasáb oldalélei közül csak az e jelû metszi a gúlát. Ez a második vetületrõl közvetlenül leolvasható. A 3 és 4 döféspontok szerkesztésénél a hasáb e élére az elsõ képsíkkal párhuzamos V segédsíkot illesztünk. Ennek a gúlafelülettel való metszetét szerkesztjük. A metszet elsõ képének az e! éllel való metszéspontjai adják a 3 és a 4 pont elsõ vetületét. Megszerkesztettük tehát az áthatási töröttvonal csúcsait. A 2 és a 3 pontok a gúla ACM lapján, a hasáb eg lapján vannak, így összeköthetõk. Hasonlóan az 1 és a 3 pontok egyrészt a gúla AMC lapján, másrészt a hasáb ef lapján vannak, tehát az áthatási töröttvonal élét határozzák meg. Könnyen adódik, hogy az áthatási töröttvonal az 1, 3, 2, 4 csúcsokkal rendelkezõ négyszög lesz. A láthatóságot úgy tüntettük fel, mintha a hasábot eltávolítottuk, „kitoltuk" volna. Példa. A 7.59. ábrán az ABCABC és az EFGEFG háromszög alapú hasábok áthatását szerkesztettük meg. Az áthatási töröttvonal elsõ vetülete könnyen megadható, hiszen az elsõ vetítõ helyzetû hasáb oldallapjai elsõ vetítõsíkokban vannak. A felülnézetrõl közvetlenül leolvasható, hogy csak az EE, FF élek metszenek bele a vetítõ helyzetû, a K1-en „álló" hasábba, a metszéspontok 1, 3, 2, 4. Az is leolvasható az elsõ vetületrõl, hogy az „álló" hasábnak csak a BB éle metsz bele a másik hasábba. Ennek 5 és 6 döféspontjait szerkesztjük meg a BB élre illesztett BBCC elsõ vetítõsík alkalmazásával. Ez az EFGEFG hasábból az 1, 2, N csúcsokkal rendelkezõ háromszöget metszi ki. Ahol a háromszög második képét – B"B" metszi, ott van 5" és 6". Végül az azonos lapon levõ pontokat összekötve megadjuk az áthatási töröttvonalat. A láthatóságot is feltüntettük, mégpedig oly módon, mintha a két felületet egyesítettük volna.

343


12/16/09

11:08 AM

Page 344


M"

– A"

– F "F" 1"

A"

6"

N" G"

– E!

B"

– F!

1"

A!

3"

E" A" 3!

C!

E!

2!

1!

M!

A!

B"

C"

– A!

– C! C!

4! e!

f!

E!

F!

– F!

2! 6! – 5 ! B !B !

g! G!

G!

7.58. ábra

– G!

N!

7.59. ábra

B"

AVI

A"

x12

1

x56 x15 BVI

A! B! AV 2 344

BV

7.60. ábra

– E!

1!

3! F!

4!

B!

– E"

5"

C"

– G!

– G"

F"

V"

E" 4"

– F"

4"

G"

3"

– C"

2"

– G" 2"

– E"

– B"

Matek_28fej_targymut_1tord:matek_fej_1tord

1/13/10

11:15 AM

Page 1443

Tárgymutató

A, Á Abel tétele 803, 971 abszcisszatengely (x tengely) 496 abszolút érték komplex szám ~-e 157 valós szám ~-e 66 vektor ~-e 399, 409, 412 adat 1348 adatok átlaga 1369 ~ átlagos abszolút eltérése 1374 ~ empirikus (tapasztalati) szórása 1374 ~ mediánja 1368 ~ módusza 1368 ~ relatív szórása 1376 ~ számtani közepe 1369 ~ terjedelme 1374 addíciós tételek 449 affin transzformáció 318 alakzat vetülete 312 alapfüggvény 961 alapsík 391 algebra alaptétele 160 v-~ 1259, 1264 algebrai alak, komplex számé 156 algebrai tört 91 állapotidôsor 1377 állítás 49

altér 609 generált ~ 610 alternatív hipotézis 1402 aranymetszés 77, 227 argumentumelv 1058 arkhimédészi axióma 791 aszimptota 554, 855 átmenetmátrix 1340 átviteli elv határértékekre 812 automorfizmus 654 axonometria ferdeszögû (klinogonális) ~ 346 merôleges (ortogonális) ~ 346, 350 speciális ~ 349 axonometrikus ~ ábrázolás 345 ~ képsík 346 ~ vetület 346

B balnézet 333 balrendszer 316 Bayes-statisztika 1422 Bayes-tétel 1273 bázis 612 kanonikus ~ 612 ortogonális ~ 631 1443


1/13/10

11:15 AM

Page 1444

Tárgymutató

bázisviszonyszám 1379 BCH-kódok 1245 becslés hatásosabb ~ 1420 maximum-likelihood ~ 1421 torzítatlan ~ 1419 befogótétel 204 beírt töröttvonal 917 Bell-féle szám 1137 belsô szorzat 637 Bernoulli-egyenlet 941 bicentrális ábrázolás 394 binomiális ~ együttható 1117 ~ tétel 1120 bizonyítás 54 direkt ~ 54 indirekt ~ 55 Bolzano–Weierstrass-tétel 793 Boole-algebra 689 Boudan–Fourier-tétel 169

C

1444

C[x] (komplex együtthatós polinomok) 160 Cantor-axióma 791 Caratheodory tétele 1067 Cardano-képlet 134 Casorati–Weierstrass-tétel 1054 Catalan-számok 1139 Cauchy, Augustin Louis 1013 Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarzegyenlôtlenség 639 Cauchy-feladatok 989 Cauchy-féle gyökkritérium 805 Cauchy-féle középértéktétel 841 Cauchy-formula deriváltakra vonatkozó ~ 1042

~ Jordan tartományon 1040 ~ több határú tartományon 1041 Cauchy–Hadamard-tétel 1020 Cauchy–Riemann-féle parciális egyenletek 1017 Cauchy-tétel 1033 Cayley tétele 1165 Cayley–Hamilton-tétel 628 centrális ábrázolás 388 centrális határeloszlás-tétel 1331 centralizátor 663 Ceva-tétel 197 Cramer-szabály 606

Cs csavarfelület, egyenes vonalú 364 csavarmozgás 316 csavarvonal, közönséges 355 Csebisev-típusú kvadratúraformulák 913 csendôrelv 798 csoport 649, 660 Abel-~ 661 additív ~ 661 alternáló ~ 671 ~ centruma 663 ciklikus ~ 666 faktor ~ 665 kommutatív ~ 649, 661 multiplikatív ~ 661 ~ rendje 663 szimmetrikus ~ 670 csoportok direkt szorzata 672

D D’Alembert-féle hányadoskritérium 805 Dandelin-gömbök 369


1/13/10

11:15 AM

Page 1445

Tárgymutató

Darboux tétele 820, 841 Darboux-tulajdonság 820, 842 De Morgan-szabályok 29, 51 deltoid 222 derivált bal oldali ~ 826 féloldali ~ 826 jobb oldali ~ 826 magasabb rendû parciális ~ 979 ~ mátrix 867 Descartes tétele 169 determinánskifejtés 595 diagram kör~ 1356 oszlop~ 1355 radar~ 1361 sáv~ 1357 sodrófa~ 1372 vonal~ 1357 differenciálegyenlet 929 általános megoldása ~ 931 autonóm ~ 944 egzakt ~ 943 explicit közönséges ~ 930 homogén ~ 939 inhomogén ~ 939 ~ klasszikus megoldása 980 lineáris ~ 939 másodrendû ~ 958 ~ megoldása 932 n-edrendû közönséges ~ 930 parciális ~ 979 ~ partikuláris megoldása 932 ~ rendje 930 szétválasztható változójú ~ 933 Diffie–Hellman-eljárás 716 Dirichlet tétele 804 distancia 390 diszjunkció 49 dodekaéder 275

E, É egybevágósági transzformáció 179 egyenes ~ elsô vetülete 324 ~ iránypontja 390 ~ iránytangense 508 ~ irányvektora 505 ~ irányvektoros egyenlete 505 ~ lejtiránya 377 ~ második vetülete 324 ~ meredeksége 508 ~ normálvektora 507 ~ nyompontja 390 egyenlet 114 diofantikus ~ 719 elsôfokú ~ 116 exponenciális ~ 129 Fermat-~ 720 harmadfokú ~ 132 logaritmikus ~ 129 másodfokú ~ 123 negyedfokú ~ 134 Pell-~ 721 reciprok ~ 136 szimmetrikus ~ 136 egyenletrendszer ~ általános megoldása 600 ~ együtthatómátrixa 600 ~ homogén 604 ~ kibôvített együtthatómátrixa 600 ~ megoldása 600 egyenlôtlenségek 127 egyértelmû felbontási tartomány 659 egymásba skatulyázott intervallumsorozat 791 egységelem (neutrális elem) 648 egységpont 345 egységvektor 403 1445


1/13/10

11:15 AM

Page 1446

Tárgymutató

egységgyök 159 primitív n-edik ~ 159 egyszeresen összefüggô tartomány 1032 együttes eloszlásfüggvény 1280 együttes sûrûségfüggvény 1280 együttható 141 együtthatóbecslés 1051 ekvidisztáns alappontrendszer 909 ekvivalencia 49 elem algebrai ~ 677 asszociált ~ek 657 idempotens ~ 651 irreducibilis (felbonthatatlan) ~ 658 konjugált ~ek 669 nilpotens ~ 651 ~ rendje 665 szeparábilis ~ 679 transzcendens ~ 677 elemi átalakítás 595, 600 elemi bázistranszformáció 616 elemi események 1259 elhelyezési probléma 1134 ellipszis 543 élmódszer 341, 343 elnyelô állapot 1344 elnyelô lánc 1344 eloszlás a posteriori ~ 1427 a priori ~ 1427 binomiális ~ 1291 Cauchy-~ 1302 egyenletes ~ 1290, 1298 elsôrendû |2-~ 1303 exponenciális ~ 1298 F-~ 1305 geometriai ~ 1295 1446

hipergeometriai ~ 1293 lognormális ~ 1303 multinomiális ~ 1297 n szabadsági fokú |2-~ 1304 normális ~ 1301 Poisson-~ 1296 standard normális ~ 1301 t-~ 1304 -~ 1306 Γ-~ 1300 eloszlásfüggvény empirikus ~ 1332 feltételes ~ 1283 elôjeles aldetermináns 596 elölnézet 322 elsô nyompont 325 elsôfajú Stirling-számok 1135 eltolás 185 elvágó pont 1159 endomorfizmus 654 entrópia 1227 eratoszthenészi szita 713 erdô, gráfban 1162 Erdôs–Szekeres-sejtés 1147 érintô 231 ~ egyenlete 844 érintôformula 910 érintônégyszög 239 érintôsík 871 események 1259 esésvonalak 381 euklideszi algoritmus 36, 146, 692 ~ szerkesztés 248, 313 ~ tér 637 Euler poliédertétele 274 Euler-egyenes 213 Euler–Fermat-tétel 704 Euler-formula 1212 Euler-tétel 1170


1/13/10

11:15 AM

Page 1447

Tárgymutató

F faktoriális 1116 faktorstruktúra 649 faváz 1163 fedôegyenesek 328 fedôpont 324 fejlôdés átlagos mértéke 1381 ~~ üteme 1382 félcsoport 649 félháló 649 felosztás, intervallumé 887 felület képhatára 356 ~ paralel körei 362 ~ tengelye 362 felülnézet 322 ferdeség 1373 ferdetest 650 Fermat-számok 714 feszítôfa 1163 Feuerbach-kör 214 Fibonacci-számok 746, 1130 fixpont 179 fókuszpont, hiperboláé 550 ~, paraboláé 534 forgásellipszoid 580 forgáshiperboloid 582 Fourier-együttható 975 Fourier-sor 975 fôegyüttható 141 fôpont 389 fôszintsíkok 374 fôvonal 326 sík elsô és második ~a 329 frontális perspektíva 392 Fubini-tétel 921 független események 1267 páronként ~ 1268 teljesen (totálisan) ~ 1268 függetlenségvizsgálat 1416

függvény 749 additív ~ 697 ~ abszolút maximumhelye (minimumhelye) 848 ~ bal (jobb) oldali határértéke 813 bijektív ~ 755 bilineáris ~ 629 ~ derivált függvénye 828 ~ differenciahányados függvénye 825 differenciálható (deriválható) ~ 826 egész~1018 egyenletesen folytonos ~ 821 ~egyenlet 929 ~egyenlôség 755 ~érték 750 Euler-féle ~ 694 ferdén szimmetrikus bilineáris ~ 631 folytonos ~ x pontban 823 folytonos ~ x halmazon 823 folytonosan differenciálható ~ 829 ~ folytonosságra vonatkozó átviteli elv 808 ~ grafikonja 750 harmonikus ~ 1069 ~ határozatlan integrálja 879 ~ helyettesítési értéke 750 holomorf ~ 1018 ~ infimuma 760 injektív ~ 754 integrál~ 902 intervallumon differenciálható ~ 828 ~ inverz függvénye 757 ~ kiterjesztés 756 komplex ~ 1013

1447


1/13/10

11:15 AM

Page 1448

Tárgymutató

1448

~ kompozíció 756 konkáv ~ 761, 852 konvex ~ 761, 852 ~ konvolúciója (Dirichletszorzata) 697 korlátos ~ 759 különbségi hányados ~ 825 ~ leszûkítés 756 ~ lokális maximumhelye (minimumhelye) 762, 848 Möbius-~ 695 multiplikatív ~ 696 összegzési ~ 695 páratlan ~ 759 parciálisan differenciálható ~ 864 páros ~ 759 periodikus ~ 759 polinom~ 763 ~ pontbeli deriváltja 826 ~ pontbeli differenciálhányadosa 826 ~ primitív függvénye 879, 1031 reguláris ~ 1018 számelméleti ~ 694 szigorúan konvex (konkáv) ~ 852 szimmetrikus bilineáris ~ 631 szinguláris ~ 632 ~ szuprémuma 760 szürjektív ~ 754 valós ~ 750 ~ véges határértéke 810, 811 ~ zérushelye 758 függvénysor 966 abszolút konvergens ~ 968 egyenletesen konvergens ~ 967 ~ k-adik részletösszege 966 ~ konvergenciatartománya 967 ~ n-edik maradékösszege 966 ~ összegfüggvénye 967 ~ tagjai 966

G Galois-bôvítés 679 Gauss-kritérium 806 Gauss-lemma 154 Gauss–Osztrogradszkij-tétel 1003 Gauss-típusú kvadratúraformulák 913 generált résztest 678 generátormátrix 1238 generátorrendszer 611 Gilbert–Varshamov-korlát 1236 Gini-együttható 1363 Glivenko tétele 1332 Golay-kód 1243 Goldbach-sejtés 718 Goursat-lemma 1033 gömb 300 ~cikk 303 ~ fôköre 300 ~gerezd 302 ~háromszög 482 ~öv (gömbréteg) 302 ~süveg 301 gömbi koszinusztétel 486 ~ szinusztétel 485 görbe folytonos paraméterezett ~ 875 ~ hossz-szelvénye 379 ~ kezdôpontja 824 ~ lejtése 378 nullhomotóp ~ 1032 önmagában eltolható ~ 355 paraméterezett ~ 824 retifikálható ~ 1027 ~ rézsûje 378 végpontja 824 graduálás 377 gráf 1151 ~ átmérôje 1205


1/13/10

11:15 AM

Page 1449

Tárgymutató

~ csúcsmátrixa 1217 ~ csúcspontjai 1151 ~ duálisa 1214 egyszerû ~ 1153 ~ élei 1186 Euler-féle ~ 1169 ~ Euler-vonala 1169 extrém ~ 1182 fa~ 1162 Hamilton-féle ~ 1171 ~ illeszkedési mátrixa 1223 irányított ~ 1186 izomorf ~ 1156 ~ karakterisztikus polinomja 1220 ~ komplementere 1154 ~ komponense 1159 összefüggô ~ 1158 páros ~ 1174 ~ pontjainak fokszáma 1153 ~ részgráfja 1155 reguláris ~ 1155 síkba rajzolható ~ 1179 számozott fa~ 1206 teljes ~ 1153 véletlen ~ 1202 Gram–Schmidt-ortogonalizáció 640 Green-formula 1007 gúla 282 szabályos ~ 282 csonka~ 285

Gy gyakoriság 1351 osztályközös ~ 1352 relatív ~ 1353 gyakoriságeloszlás ferdesége 1377 gyakorisági táblázat 1351 gyorsulás 876

gyökvonás 98 gyûrû 649–650 Boole-~ 690 ~ egységeleme 657 egységelemes ~ 650 egyszerû ~ 653 euklideszi ~ 658 faktor~ 653 fôideál~ 657 hányados~ 675 kommutatív ~ 650 Noether-~ 657 nullosztómentes ~ 652 polinom~ 656 rész~ 652 gyûrûk direkt szorzata 652

H halmaz 25 algebrai független ~ 678 ~ alsó korlátja 792 alulról korlátos ~ 791 ~ bal oldali torlódási pontja 792 ~ belsô pontja 792, 822 ~ boxdimenziója 1108, 1110 ~ felsô korlátja 791 felülrôl korlátos ~ 791 ~ határpontja 822 ~ hatványhalmaza 27 ~ izolált pontja 792, 822 ~ jobb oldali torlódási pontja 792 kompakt ~ 1085 ~ komplementere 27 korlátos ~ 791, 821 nyílt ~ 822 önaffin ~ 1096 önhasonló ~ 1094 ~ permutációja 593

1449


1/13/10

11:15 AM

Page 1450

Tárgymutató

1450

~ számossága 44 topológiailag összefüggô ~ 1015 ~ torlódási pontja 792, 822 üres ~ 26 véges ~ 26 végtelen ~ 26 zárt ~ 822 halmazfüggvény 1084 halmazok direkt szorzata 30 ~ különbsége 29 ~ metszete 28 ~ uniója 28 háló 649, 687 disztributív ~ 688 egységelemes ~ 689 komplementumos ~ 689 moduláris ~ 688 rész~ 688 zéruselemes ~ 689 hálóhomomorfizmus 688 Hamilton-kör 1171 Hamilton-rendszer 983 Hamming-kód 1241 Hamming-korlát 1235 Hamming-távolság 1231 hasáb 277 négyzetes ~ 278 ~ alkotói 278 hasonlósági leképezés 1083 hatványpont 525 hatványsor 970, 1018 ~ együtthatói 1018 ~ konvergenciasugara 1019 hatványsorba fejtés 1042 hatványsorokra vonatkozó együtthatóformula 1042 hatványvonal 525 Hausdorff-távolság 1090 Heine tétele 821 helyettesítéses integrálás Riemannintegrálra 901

Helly tétele 1144 helyvektor 408 henger 291 Hensel-lemma 703 Héron-képlet 204 Hesse-mátrix 870 hexaéder (kocka) 274 hídél 1159 hiperbola 550 hisztogram 1355 Hoffmann–Singleton-tétel 1223 homogenitásvizsgálat 1418 homomorfizmus 654, 667 horizontvonal 391 Horner-elrendezés 144, 764 hôvezetési egyenlet 1008 Huffman-algoritmus 1228 Huffman-kódok 1229 hullámegyenlet 1011 húr 231 húrnégyszög 243 hurokél 1152

I ideál 653, 688 generált ~ 657 maximális ~ 654 primer ~ 657 prím~ 657 ideális térelemek 390 identitásleképezés 762 IFS attraktora 1094 IFS invariáns halmaza 1085 IFS-modell 1085 ikerprímek 34, 718 ikozaéder 275 implikáció 49 index (diszkrét logaritmus) 707


1/13/10

11:15 AM

Page 1451

Tárgymutató

inflexiós érintô 854 ~ pont 854 inhomogén lineáris helyettesítés 935 integrál Dabroux-féle alsó ~ 888 ~ Dabroux-féle definíciója 889 Dabroux-féle felsô ~ 888 felületi ~ 1001 improprius ~ 904 ívhossz szerinti ~ 1028 Riemann-~ 889, 921 integrálás helyettesítéses ~ elve 883 parciális ~ 882 integrálszámítás középértéktétele 897 integráltranszformáció 926 integritási tartomány 657 interpolációs alappontok 907 inverz elem 648 inverzió 192 inverziós formula 695 inverziószám, permutációé 593 iránysugár 390 ismérv 1348 folytonos ~ 1349 méréses ~ 1349 minôsítéses ~ 1349 rendezhetô minôsítéses ~ 1349 iterált logaritmus 1330 ívmérték 177 izolált pont gráfban 1159 izomorfizmus 619, 654

J Jacobi-mátrix 869 Jacobi-szimbólum 710 járadékszámítás 732 jobbnézet 334 jobbrendszer 316

K kamatoskamat-számítás 731 karakterisztikus görbék 981 karakterisztikus rendszer 981 ~ elsô integrálja 981 kartogram 1359 képkontúr 357 képsík 311, 389 ~rendszer 322 ~-transzformáció 334 kerekítés 74 kerületi szög 240 érintôszárú ~ 240 két egyenes láthatósági viszonya 327 két pont távolsága gráfban 1205 kettôsviszony 1065 kétváltozós regresszió 1337 kezdeti feltétel 932 kicserélési tétel 614 kiemelés 88 kínai maradéktétel 700 kis Fermat-tétel 705 Koch-görbe 1075 kód állandó hosszúságú ~ 1226 bináris ~ 1226 ciklikus ~ 1247 duális ~ 1240 felbontható ~ 1226 lineáris ~ 1237 perfekt ~ 1244 kombináció 1117 ismétléses ~ 1126 komplex logaritmus 1026 komplex szám 155 ~ abszolút értéke 157 ~ argumentuma 157 ~ exponenciális alakja 1025 ~ irányszöge 157

1451


1/13/10

11:15 AM

Page 1452

Tárgymutató

~ képzetes része 156 ~ konjugáltja 156 ~ trigonometrikus alakja 158 ~ valós része 156 komplex vonalintegrál 1028 kondenzációs kritérium 806 konform automorfizmus 1069 konform ekvivalens tartományok 1063 konform leképezés 1063 ~ alaptétele 1064 kongruencia 698 kongruenciaosztály (maradékosztály) 698 kongruenciareláció 649 konjugáltsági osztály 669 konjunkció 49 konstans tag 141 kontingenciaegyüttható 1386 Cramer-féle ~ 1387 korrigált ~ 1386 kontraktív leképezés 1083 kontrapozíció 51 kontúrgörbe 357 konvergenciaintervallum 971 konvergenciakritérium Cauchy-féle ~ 968 Weierstrass-féle ~ 968 konvergenciasugár 971 konvolúció 963 koordináta-rendszer derékszögû ~ 496 jobbsodrású derékszögû ~ 345 térbeli ~ 560 koordináta-transzformáció 531 korrelációs mátrix 1336 koszinusztétel 461 kóta 374 kótás ábrázolás 373 kovariancia 1333 1452

kovariancia-mátrix 1336 kör 231 ~ gráfban 1161 körcikk 231 körlemez 231 körosztási polinom – Φn(x) 162 körszelet 231 közelítô összeg, alsó 887 közelítô összeg, felsô 887 közép geometriai ~ 1369 harmonikus ~ 1369 négyzetes ~ 1369 számtani ~ 1369 középérték-tulajdonság 1040, 1070 középponti szög 241 középpontos hasonlóság 188 középvonal 210 közrefogási elv 798 Kraft-egyenlôtlenség 1228 kronologikus átlag 1382 kúp 294 csonka~ 295 Kuratowski-tétel 1180 különbségi háromszög 339 kvadratikus alak 633 indefinit ~ 634 negatív definit ~ 634 negatív szemidefinit ~ 634 pozitív definit ~ 633 pozitív szemidefinit ~ 634 kvadratikus maradék 708 kvadratikus reciprocitás 710 kvadratúra 908 kvantifikáció 52 kvantor 52 kvartilis alsó ~ 1372 felsô ~ 1372


1/13/10

11:15 AM

Page 1453

Tárgymutató

L Lagrange-féle alappolinom 907 Lagrange-féle interpolációs polinom 907 Lagrange-féle maradéktag 973 Lagrange-középértéktétel 841 láncviszonyszám 1379 Laplace-egyenlet 1069 Laplace-operátor 999, 1069 Laplace-transzformált 962 ~ inverze 964 lapmódszer 340, 343 Laurent-sor 1043 Laurent-sorba fejtés 1045 lefogó ponthalmaz 1177 Legendre-szimbólum 709 legkisebb közös többszörös 36, 658, 691 legnagyobb közös osztó 35, 146, 658, 691 lejtés ezrelékes ~ 378 százalékos ~ 378 lejtô 377 lejtszög 377 lejtvonalak 381 leképezés 749 identikus ~ 757 l’Hospital-szabály 842 likelihood-függvény 1421 lineáris egyenletrendszer közelítô megoldása 643–644 lineáris excentricitás 544 lineáris leképezés 618 lineáris transzformáció 618 ~ adjungáltja 642 ~ karakterisztikus polinomja 624 ~ minimálpolinomja 628 szimmetrikus ~ 641

Liouville-tétel 1052 logaritmus 104 logikai formula 50 logikai szitaformula 1132 Lorenz-görbe 1363 Lucas–Lehmar-teszt 715

M MacLaurin-sor 1023 Mac-Millan-egyenlôtlenség 1228 magasságpont, háromszögé 211 magasságtétel 204 magasságvonal, háromszögé 211 maradékos osztás 692 maradékrendszer edukált ~ 704 teljes ~ 704 Markov-lánc 1342 másodfajú Stirling-féle szám 1135 második nyompont 325 másodrendû felületek 572 mátrix alsó-háromszög~ 594 ~ determinánsa 593 ~ determinánsrangja 598 diagonális ~ 594 duplán sztochasztikus ~ 1342 egység~ 591 felsô-háromszög~ 594 ferdén szimmetrikus ~ 599 invertálható ~ 597 ~ karakterisztikus polinomja 623 ~ lépcsôs alakja 601 ~ minimálpolinomja 627 normális ~ 599 null~ 591 ortogonális ~ 599 ~ oszloprangja 598

1453


1/13/10

11:15 AM

Page 1454

Tárgymutató

~ rangja 598 ~ redukált lépcsôs alakja 601 ~ sorrangja 598 szimmetrikus ~ 599 ~ transzponáltja 589 valós ~ 588 maximumelv 1050 MDS-kódok 1236 mellékosztály 663 Mercator-térkép 396 méretarány 374 meridiángörbék 362 meridiánsíkok 362 mérlegelv 114 merôleges affinitás 191 ~ térben 577 mértani sor 742 Mertens tétele 804 Minkovski-dimenzió 1111 minta 1350 egyszerû véletlen ~ 1350 rétegzett ~ 1351 szisztematikus ~ 1350 ~ terjedelme 1350 modulus 683 ciklikus ~ 685 mohó algoritmus 1167–1168 Moivre képlete 158 Moivre–Laplace-tétel 1332 Monge, Gaspard 311 Monge-féle kétképsíkos ábrázolás 322 ~ elsô képsíkja 322 ~ második képsíkja 322 multiindex 979 mûvelet 647 asszociatív ~ 648 disztributív ~ 648 kommutatív ~ 648 1454

N nabla 998 nagy számok (gyenge) törvénye I. 1325 nagy számok (gyenge) törvénye II. 1327 nagy számok erôs törvénye 1329 Napóleon-háromszög 217 négyzet 221 nevezetes közepek 80 nevezetes szorzatok 88 Newton–Girard-formulák 172 Newton–Leibniz-formula 1030 Newton–Leibniz-tétel 898 normáltartomány 924 normáltranszverzális 269 nullhipotézis 1402 nullosztó 651 nullvektor 399 numerikus excentricitás 544

Ny nyílt leképezés tétele 1072 nyílt Newton-Cotes-formula 909 nyomháromszög 350

O oktaéder 274 oldalfelezô merôleges 207 ordinátatengely (y tengely) 496 oszcillációs összeg 890 osztó, a|b 691 n szám pozitív ~inak összege – vk(n) 695


1/13/10

11:15 AM

Page 1455

Tárgymutató

osztóköz 377 osztópont koordinátái 498 osztópontok 377 osztópontvektor 891 osztóviszony 318

Ö összehasonlító kritérium 805, 906 összetett számok 33 összetett trapézszabály 912

P parabola 534 paraboloid elliptikus ~ 579 forgás~ 578 hiperbolikus ~ 580 paralelepipedon 278 paralelogramma 220 paraméterezett felület 1001 paramétertér 1402 parciális differenciálegyenlet homogén lineáris ~ 980 inhomogén/kvázi lineáris ~ 987 másodrendû lineáris ~ 991–992 ~ rendje 980 parciális integrálás Riemannintegrálra 899 Pascal 1252 ~ háromszög 746, 1119–1120 Pearson-féle lineáris korrelációs együttható 1391 p-edik kvantilis 1372 Pepin-teszt 714 peremeloszlás-függvény 1281 peremsûrûség-függvény1281

permutáció 1116 ismétléses ~ 1125 perspektívaszerkesztés 391 Picard-tétel 1054 piktogram 1359 pitagoraszi számhármasok 720 Pitagorasz-tétel 201 planáris kód 1166 Plotkin-korlát 1236 Pohlke tétele 348 Poisson-formula 1071 polárkoordináták 560 polártranszformáció, síkbeli 926 ~térbeli ~ 927 poliéder 273 konkáv ~ 273 konvex ~ 273 ~ élszögei 273 szabályos ~ 273 poliéderek áthatása 343 ~ síkmetszete 340 poliéderfelület síkba fejtése 339 poliédertétel 1150 polinom 141, 655 ciklusmutató ~ 1140 ~ deriváltja 166 ~ diszkriminánsa – D[f(x)] 168 elemi szimmetrikus ~ 171 felbonthatatlan ~ 148 ~ foka 141 ~ gyöktényezôs alakja 161 homogén ~ 170 interpolációs ~ 907 minimál~ 677 normált ~ 141 ~ normáltja 142 primitív ~ 148 ~ rezultánsa – R[f(x), g(x)] 166 reciprok ~ 142 szeparábilis ~ 679

1455


1/13/10

11:15 AM

Page 1456

Tárgymutató

szimmetrikus ~ 171 többváltozós ~ 170 polinomiális-tétel 1124 polinomok jellemzése 1052 Pólya-féle leszámolási módszer 1140 pont körre vonatkozó hatványa 232 pont körüli elforgatás 184 ponthalmazok távolsága 175 predikátum 51 prím(szám) 33, 658 Fermat-~ 715 Mersenne-~ 715 primitív gyök 705 prímszámtétel 713 prímteszt 713 próba egymintás t-~ (Student) 1407 egymintás u-~ 1405 egyoldali ~ 1403 F-~ 1410 kétmintás t-~ 1408 kétmintás u-~ 1406 kétoldali ~ 1403 paraméteres ~ 1405 statisztikai ~ 1405 ~ terjedelme 1403 profilegyenes 326 Prüfer-kód 1207 Ptolemaiosz 429

R r (n) 694 Ramsey-számok 1182 Ramsey-tétel 1182 Reed–Solomon-kódok 1246 Regiomontanus 429 1456

regresszió exponenciális ~ 1394 logaritmikus ~ 1394 másodfokú ~ 1394 regressziós egyenes elsô ~ 1389 második ~ 1389 rekonstrukció 312 rektifikálható görbe 917 relatív prím 36, 692 rendezô – elsô ~ 323-324 – harmadik ~ 333 – második ~ 324 rendezôegyenes 323 részcsoport 662 generált ~ 663 normális ~ (normálosztó) 669 részhalmaz 26 valódi ~ 26 részmodulusok 684 részsorozat 799 részstruktúra 649 reziduum 1055 ~ kiszámítása 1056 reziduumtétel 1056 rézsû 377 ~felület 380 ~kúp 383 Riemann-alaptétel 1064 Riemann-féle átrendezési tétel 807 Riemann-gömb 1014 Riemann-összeg 891 Rolle racionális gyöktesztje 763 Rolle tétele 840 római számok 59 rombusz 221 Rouché tétele 1059 RSA-séma 717


1/13/10

11:15 AM

Page 1457

Tárgymutató

S sajátérték 623 sajátvektor 623 Scheffé módszere 1408 Schönemann–Eisenstein-kritérium 152 Schwarz–Christoffel-formula 1068 Schwarz-lemma 1051 Scott-probléma 1147, 1148 sebesség 874 séta, gráfban 1157 Shannon tétele 1228 Sierpinski-háromszög 1073 sík ~ irányvonala 390 ~ lejtôszöge 380 eltûnési ~ 391 ~ képsíkba forgatása 337 ~ nyomvonala 390 ~ osztóköze 380 ~ rézsûje 380 síkbeli alakzat egyenlete 495 Simpson-formula 912 Simpson-paradoxon 1397 Simson-egyenes 215 Singleton-korlát 1236 skaláris mennyiség 399 skaláris szorzat 413 skalármezô 997 ~ gradiense 997 sokaság 1348 sor abszolút konvergens ~ 803 divergens ~ 802 feltételesen konvergens ~ 807 konvergens ~ 802 Leibniz-típusú ~ 806 n-edik szelet 802 ~ összege 802

pozitív tagú ~ 804 végtelen ~ 802 sorok összege 803 sorozat alulról korlátos ~ 734 ~ átrendezése 800 Cauchy-~ 801 felülrôl korlátos ~ 734 Fibonacci-~ 744 ~ határértéke 735 konvergens ~ 735, 794, 822 ~ limesz inferior 800 ~ limesz szuperior 800 korlátos ~ 734 mértani ~ 729 pont~ 822 számtani ~ 727 valós számok kibôvített ~-a 796 vektor~ 822 sorozatok összefésülése 800 Spearman-féle rangkorrelációs együttható 1393 stacionárius hôvezetés 1009 stacionárius pontok 872 standardizálás módszere 1397 Stokes-tétel 1006 Sturm-módszer 169 súlypont, háromszögé 212 súlyvonal, háromszögé 212 ~, tetraéderé 284 Sylow p-részcsoport 673 Sylvester-féle tehetetlenségi törvény 632

Sz szabályos sokszög 226 szabályos tetraéder 274 számelmélet alaptétele 34, 694

1457


1/13/10

11:15 AM

Page 1458

Tárgymutató

számok barátságos ~ 39 irracionális ~ 42 racionális ~ 42 természetes ~ 31 tökéletes ~ 39, 715 valós ~ 43 számpartíciók 1139 számrendszerek 110 számsorozat 725, 793 ~ határértéke, limesze 793, 822 divergens ~ 794 konstans ~ 795 monoton csökkenô ~ 733 monoton növekvô ~ 733 szigorúan monoton csökkenô ~ 733 szigorúan monoton növekvô ~ 733 valós ~ 793 százalékérték 74 százalékláb 74 szelô 231 szelvény 383 szemmagasság 391 szignifikáns eredmény 1403 szimedián-egyenes 216 szimmetriatengely 180 szindróma vektora 1241 szingularitás izolált ~ 1053 lényeges ~ 1053 megszüntethetô ~ 1053 szintetikus osztás 144 szintpontok 377 szintvonalas térkép 380 szinusztétel 456 szórásmátrix 1336 szóródási együttható 1337 szög 176 1458

csúcs~ 177 derék~ 176 egyállású ~ 177 egyenes ~ 176 külsô~ 195 mellék~ 177 sok~ 224 teljes~ 176 váltó~ 177 szögfelezô 209 szögfüggvények 430, 443 szögmásodperc 177 szögperc 177 sztereografikus projekció 394, 1014 sztochasztikus konvergencia 1326 sztochasztikus mátrix 1342

T talpponti háromszög 215 talpvonal 391 tartamidôsor 1377 Taylor-polinom 973 Taylor-formula 973 Taylor-sor 973, 1023 téglalap 221 téglatest 278 teljes derivált módszer 983 teljes eseményrendszer 1271 teljes indukció 40, 55 teljes valószínûség tétele 1271 tengelyes affinitás 319 tengelykereszt 345 terepfelület 380 test 650 felbontási ~ 679 hányados~ 675 ~ karakterisztikája 675


1/13/10

11:15 AM

Page 1459

Tárgymutató

testbôvítés algebrai ~ 678 egyszerû ~ 678 ~ foka 676 normális ~ 679 szeparábilis ~ 679 tiszta transzcendens ~ 678 transzcendens ~ 678 Thalész-tétel 200 tiszta illeszkedés vizsgálat 1414 tizedes törtek 72 Torricelli-pont 217 tóruszfelület 364 többszörös 691 többszörös él 1152 többszörös gyök 145 többszörös zérushely 145 törlesztôrészlet-számítás 732 töröttvonal 175 trapéz 219 trapézformula 910 tükrözés középpontos ~ 182 tengelyes ~ 179 tükrözési elv 1067

U unicitástétel 1047 út gráfban 1158

V valószínûség ~-algebra 1259 állapot-~ 1425 a posteriori ~ 1426

a priori ~ 1425 esemény-~ 1424 feltételes ~ 1265 geometriai ~ 1256 valószínûségi változó 1276 ~ eloszlása 1280 ~ eloszlásfüggvénye 1278 ~ feltételes várható értéke 1309 ~ generátorfüggvénye 1314 ~ karakterisztikus függvénye 1319 ~ sûrûségfüggvénye 1279 ~ szórása 1310 ~ várható értéke 1307 valószínûségi változók konvolúciója 1285 ~ ~ korrelációja 1334 variáció 1122 ismétléses ~ 1126 véges geometriák 1141 vegyes szorzat, vektoroké 423 vektor 185, 607 ~ divergenciája 997 egység~ 638 ~mennyiség 399 ~ normája (hossza) 638 ~ rotációja 997 vektoriális szorzat 418 vektormezô 997 vektorok lineárisan független ~ 592, 611 ~ lineáris kombinációi 592, 610 lineárisan összefüggô ~ 611 ortogonális ~ 631, 639 vektortér valós ~ 607 ~ dimenziója 614 vetítés centrális ~ 311 1459

10 2:10 PM Page 1 M A T E M A T I K A

Recommend Documents