8.
évfolyam
Javítókulcs
Matematika
Országos kompetenciamérés
2010
Oktatási Hivatal
ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK Ön az 2010-es Országos kompetenciamérés matematikafeladatainak Javítókulcsát tartja a kezében. A Javítókulcs a teszt kérdéseire adott tanulói válaszok egységes és objektív értékeléséhez nyújt segítséget. Kérjük, olvassa el figyelmesen, és ha a leírtakkal kapcsolatban kérdés merül fel Önben, keressen meg bennünket az
[email protected] e-mail címen. Felhívjuk a figyelmét arra, hogy a kompetenciamérés tesztjeinek központi javítása után pontosításokkal, új próbaválaszokkal kiegészített javítókulcsot készítünk, amely előreláthatóan 2010 szeptemberében lesz elérhető a www.kompetenciameres.hu honlapon.
Feladattípusok A kompetenciamérés több feladattípust alkalmaz a tanulók matematikai eszköztudásának mérésére. Ezek egy része igényel javítást (kódolást), más része azonban nem.
Kódolást nem igénylő feladatok A füzetben szerepelnek feleletválasztós kérdések, ezek javítása nem kódolással történik, a tanulók válaszai közvetlenül összevethetők a javítókulcsban megadott jó megoldásokkal. Kétféle feleletválasztós feladat van. • Az egyik ilyen feladattípusban a tanulóknak négy vagy öt megadott lehetőség közül kell kiválasztaniuk az egyetlen jó választ. • A másik típusban a tanulóknak 3-5 állítás mindegyike mellett szereplő szó/kifejezés (pl. IGAZ / HAMIS) valamelyikét kell megjelölniük minden állítás esetében.
Kódolást igénylő feladatok A kódolandó feladatok esetében a tanulóknak a kérdés instrukcióinak megfelelő részletességgel kell leírniuk a válaszukat. • Van olyan kérdés, ahol a tanulóknak csupán egyetlen számot vagy kifejezést kell leírniuk. • Vannak olyan bonyolultabb feladatok, amelyek nemcsak a végeredmény közlését, nemcsak egy következtetés vagy döntés megfogalmazását várják el a tanulótól, hanem azt is kérik, hogy látszódjék, milyen számításokat végeztek a tanulók a feladatok megoldása során. Erre a feladat szövege külön felhívja a figyelmüket. (Pl.: Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!) • Vannak olyan feladatok, amelyek megoldása során a tanulóknak önállóan kell írásba foglalniuk, hogy milyen matematikai módszerrel oldanának meg egy adott problémát, milyen matematikai érvekkel cáfolnának meg vagy támasztanának alá egy állítást. Az ilyen kérdésekre többféle jó válasz adható. E válaszokat aszerint kell értékelnünk, hogy mennyiben tükrözik a probléma megértését, illetve hogy helyes-e a bennük megmutatkozó gondolatmenet. A Javítókulcs elsősorban a válaszok értékeléséhez nyújt segítséget azáltal, hogy definiálja azokat a kódokat, amelyek az egyes megoldások értékelésekor adhatók.
2
Javítókulcs
A Javítókulcs szerkezete A Javítókulcsban minden egyes feladat egy fejléccel kezdődik, amely tartalmazza a feladat A) illetve B) füzetbeli sorszámát, a feladat címét, valamint az azonosítóját. Ezután következik a kódleírás, amelyben megtaláljuk: • az adható kódokat; • az egyes kódok meghatározását; • végül a kódok meghatározása alatt pontokba szedve néhány lehetséges tanulói példaválasz olvasható. Esetenként mellette szögletes zárójelben a példaválaszra vonatkozó megjegyzés olvasható.
Kódok A helyes válaszok jelölése 1-es, 2-es és 3-as kód: A jó válaszokat 1-es, 2-es és 3-as kód jelölheti. Többpontos feladatok esetén ezek a kódok többnyire a megoldottság fokai közötti rangsort is jelölik, de az is elképzelhető, hogy az egyforma értékű különböző megoldási módokat különböztetjük meg ezekkel a kódokkal.
a Tipikus válaszok jelölése 7-es, 6-os és 5-ös kód: Ezekkel a kódokkal láttuk el azokat a tipikus (nem teljesértékű, általában rossz) válaszokat, amelyeket a teszt elemzése szempontjából fontosnak tartunk, és előfordulási arányuk információt nyújt számunkra.
a Rossz válaszok jelölése 0-s kód: A 0-val kódolt válaszokat rossz válasznak nevezzük a Javítókulcsban, és akkor alkalmazzuk, ha a válasz rossz (de nem tipikusan rossz), olvashatatlan vagy nem a kérdésre vonatkozik. 0-s kódot kapnak például az olyan válaszok is, mint a „nem tudom”, „ez túl nehéz”, kérdőjel (?), kihúzás (–), kiradírozott megoldás, illetve azok a válaszok, amelyekből az derül ki, hogy a tanuló nem vette komolyan a feladatot, és nem a kérdésre vonatkozó választ írt.
speciális jelölések 9-es kód: Ez a kód jelöli azt, ha egyáltalán nincs válasz, azaz a tanuló nem foglalkozott a feladattal. Olyan esetekben alkalmazzuk, amikor a válaszkísérletnek nem látható nyoma, a tanuló üresen hagyta a válasz helyét. (Ha radírozás nyoma látható, a válasz 0-s kódot kap.) X:
Minden mérés esetében elkerülhetetlen, hogy akadjon egy-két tesztfüzet, amely a fűzés, a nyomdai munkálatok vagy szállítás közben sérült. Az X a nyomdahiba következtében megoldhatatlan feladatokat jelöli.
Figyelem! A válaszokhoz rendelt kódszámok nem határozzák meg egyértelműen a válasz pontértékét. A jó válaszok esetében elképzelhető például, hogy egy 1-es és 2-es kód ugyanúgy 1 pontot ér, vagy az egyik 0-t, a másik 1-et.
Matematika – 8. évfolyam
3
lehetséges kódok Minden kódolandó kérdés mellett a bal oldalon láthatók a válaszokra adható kódok (lásd az alábbi példát).
Hét Hány percből áll egy hét? MX15001
0 1 7
Válasz: ............... percből
9
KÉRJÜK, HOGY A FÜZETEK KÓDJAIT HAGYJA SZABADON!
A kódolás általános szabályai Döntéshozatal
Bár a kódok leírásával és a példák felsorolásával igyekeztünk minimálisra csökkenteni a szubjektivitást, a javítást végzőknek mégis döntést kell hozniuk arról, hogy az egyes tanulói válaszok melyik kód meghatározásának felelnek meg leginkább. Ez bizonyos válaszoknál nagy körültekintést igényel. Ha olyan válasszal találkozik, amely nem szerepel a példaválaszok között, kérjük, a kódhoz tartozó meghatározások alapján értékelje azt. A döntés meghozatalának általános elve, hogy a válaszok értékelésekor legyünk jóhiszeműek! Ha a tanuló válasza nem tartalmazza explicit módon a meghatározásban leírtakat, de tartalma egyenértékű azzal, a válasz elfogadható. A helyesírási és nyelvtani hibákat ne vegyük figyelembe, kivéve azokat az eseteket, amikor ezek a hibák bizonytalanná teszik a válasz jelentését. Ez a teszt nem az írásbeli kifejezőkészséget méri! Ha a tanulói válasz tartalmaz olyan részt, amely kielégíti a Javítókulcs szerinti jó válasz feltételeit, de tartalmaz olyan elemeket is, amelyek helytelenek, akkor a helytelen részeket figyelmen kívül hagyhatjuk, hacsak nem mondanak ellent a helyes résznek.
Részlegesen jó válasz
Egyes esetekben a tanulóktól elvárt válasz több részből áll. Ha a tanuló válasza kielégíti a részlegesen jó válasz feltételeit, de a megoldás további része teljesen rossz, akkor adjuk meg a részlegesen jó válasz kódját, és a helytelen részt ne vegyük figyelembe, feltéve, hogy a helytelen rész nem mond ellent a helyes résznek.
Az elvárttól eltérő formában megadott válasz
Előfordulhat, hogy a tanuló a válaszát nem a megfelelő helyre írta, vagy nem az elvárt formában adta meg. Például, ha a tanuló egy grafikonról a helyesen leolvasott értéket nem a válasz számára kijelölt helyre, hanem a grafikont tartalmazó ábrába írja, azt jó válasznak kell tekintenünk.
Hiányzó megoldási menet
Azokban az esetekben, amikor a tanuló válasza jó, de a megoldás menete nem látható, bár a feladat szövegében konkrétan szerepelt ez a követelmény, a kódolás feladatonként más és más. Ilyen esetekben a Javítókulcs utasításai szerint járjunk el a válaszok kódolásakor.
4
Javítókulcs
„B” füzet Matematika 2. rész/ „A” füzet Matematika 1. rész/ Szökőévek
90/1
mg23001
Melyik év szökőév a következő évek közül? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes megoldás: C
Mauna Kea
91/2 mg22801
Az adatok alapján melyik ábra szemléltetheti a Mauna Kea hegyet? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! Helyes válasz:
B
Matematika – 8. évfolyam
5
Kempingezés
92/3
mg06001
Hány euróba került fejenként a kemping használata, ha a közösen felmerülő költségeket egyenlően osztották el? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: B
93/4
mg06002
6
Elegendő-e a pénz a szállás kifizetésére és az oda- és visszaútra, ha a visszaútra is körülbelül ugyanannyi benzinköltséggel számolnak? Válaszodat számítással indokold!
1-es kód:
A tanuló az „Elegendő” válaszlehetőséget jelölte meg (vagy válaszában egyértelműen erre utalt), ÉS ezt számítással helyesen indokolta. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló az a) kérdésre adott helytelen válasza alapján láthatóan jó gondolatmenettel számolt tovább és ez alapján döntése is helyes. Számítás: 14 · 4 · 4,75 + 2 · 250 = 766 < 800 VAGY (800 – 2 · 250) : 14 : 4 = 5,35 > 4,75 Tanulói példaválasz(ok): • 800 – (250 · 2) = 300 14 · 3 + 14 · 2 + 4 · 14 · 2,5 + 14 · 4 · 1 = 266, elég • fejenként 8,4 euró marad, tehát elég a pénz. • Út: 250 + 250 = 500 euró Szállás: 14 · 4 · 2,5 = 140 euró Parkolás: 14 · 2 = 28 euró Sátor: 14 · 3 = 42 euró Adó: 14 · 4 = 56 euró, összesen 766 euró. • Nem elegendő, mert 14 · 4 · 8,5 + 2 · 250 = 976 > 800 [Ha az a) részben A-t jelölte meg.] • Nem elegendő, mert 14 · 4 · 7,5 + 2 · 250 = 820 > 800 [Ha az a) részben C-t jelölte meg.] • Elegendő, mert 14 · 4 · 3,5 + 2 · 250 = 696 < 800 [Ha az a) részben D-t jelölte meg.] • Nem, mert 726 euró + 250 = 976 euró, tehát nem elegendő [Ha az A-t jelölte meg.] • Nem, mert 8,5 · 4 = 34 34 · 14 = 476 476 + 500 = 976 tehát nem elég. [Ha az A-t jelölte meg.]
6-os kód:
Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló nem vette figyelembe, hogy a sátor és/vagy az autó parkolási díja nem fő/éj van megadva, de egyéb hibát nem követett el. Tanuló példaválasz(ok): • Nem elegendő, mert 14 · (3 + 2 + 2,5 + 1) + 250 + 250 = 619 < 800 • 3 + 2 + 2,5 + 1 = 8,5 és 8,5 · 14 = 119 + 250 = 369 800 – 369 = 431 – 250 = 181, elég
0-s kód:
Rossz válasz. Idetartoznak az indoklás nélküli és a nem megfelelő indoklást tartalmazó válaszok is. Tanuló példaválasz(ok): • Nem elegendő, mert 16 euróval haladja meg, így csak 13 napot tudnak maradni. • Oda-vissza 500 euró 14 · 3 = 42 (sátor) 2,5 · 4 · 14 = 140 1 · 4 · 14 = 56, összesen: 738, elég.
Lásd még:
X és 9-es kód.
Javítókulcs
Kockák
94/5
mg24201
95/6
mg24202
Minimálisan hány kockát használtak fel az építéshez? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: C
Melyik nézeti képet rajzolta le biztoSan hibáSan Kata? Satírozd be a válasz betűjelét! Helyes válasz: B
Papírméret mg24203
96/7
1-es kód: mg38601
Egyetértesz-e Péter állításával? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat rajzzal indokold is!
Hány darab papírraválaszlehetőséget lehet feldarabolni jelölte egy A0-s be aegyértelműen helyes válasz A tanuló az A5-ös „Egyetértek” megpapírt? (vagy Satírozd válaszában betűjelét! erre utal), ÉS indoklásában két különböző helyes felülnézeti ábrát rajzolt. Két felülnézeti ábrát különbözőnek tekintünk, ha azok síkbeli egybevágósági transzformációval nem Helyes válasz: D hozhatók fedésbe. Bármilyen, az alaplapra merőleges tengely körüli elforgatással kapott helyes ábra elfogadható. Ha a tanuló kettőnél több (különböző) ábrát is rajzol, akkor az első két ábra alapján döntünk a válasz helyességéről. tanulói példaválasz(ok):
•
Felülnézet
•
Felülnézet
Felülnézet
Felülnézet
6-os kód:
Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a „Nem értek egyet” válaszlehetőséget jelölte meg, és csak 1 felülnézeti ábrát rajzolt le.
5-ös kód:
Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló az „Egyetértek” válaszlehetőséget jelölte meg, de felülnézeti ábrái egymás elforgatottjai.
0-s kód:
Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló döntését nem indokolta ábrával, illetve azok a válaszok is, amikor a tanuló döntése és indoklása egymásnak ellentmond. tanulói példaválasz(ok): • Egyetértek, mert nem lehet tudni, hogy mennyi van mögötte. [Nem rajzolt semmit.]
Lásd még:
X és 9-es kód.
Matematika – 8. évfolyam
7
Dobogó
97/8
mg07702
Hány négyzetméternyi területet kell beborítani? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!
1-es kód:
4,8 m2. Mértékegység megadása nem szükséges. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Számítás: A lépcsőfok magassága: 1,2 : 4 = 0,3 méter, a szélessége: 2 : 4 = 0,5 méter. Faborítás: 4 ∙ 1,5 ∙ 0,5 + 4 ∙ 1,5 ∙ 0,3 = 4,8 m2 Tanulói példaválasz(ok): • A lépcsőlapok területe: 4 ∙ 1,5 ∙ 0,5 = 3 m2 A lépcsőlapok függőleges elemeinek területe: 4 ∙ 1,5 ∙ 0,3 = 1,8 m2 Összesen: 3 + 1,8 = 4,8 m2
6-os kód:
Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló egyenlő hosszúságúnak tekinti egy lépcsőfok magasságát és szélességét, ezért válasza 3,6 vagy 6. Megjegyzés: A 3,6 úgy is kijöhet, hogy a tanuló láthatóan az ábrán megadott számokat szorozza össze, azaz 2 · 1,2 · 1,5 = 3,6, ez a válasz azonban 0-s kódot ér. Tanulói példaválasz(ok): • 1,2 : 4 = 0,3 méter, 4 ∙ 1,5 ∙ 0,3 + 4 ∙ 1,5 ∙ 0,3 = 3,6 • 2 : 4 = 0,5 méter, 4 ∙ 1,5 ∙ 0,5 + 4 ∙ 1,5 ∙ 0,5 = 6 • 3,6
0-s kód:
Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a dobogó oldalának borításához szükséges mennyiséget számolta ki. Tanulói példaválasz(ok): • 2 m · 1,5 = 3 m2 [A dobogó alapterületét határozta meg.] • 2 · 1,2 · 1,5 = 3,6 [A tanuló az ábrán megadott számokat összeszorozta.] • 0,5 · 1,5 · 2 = 1,5 m2 • 1,5 · 8 = 12 m2 • 48 m2 • 36 m2
Lásd még:
X és 9-es kód.
Legó
98/9
mg03701
8
A fenti 4 alakzat közül melyik kettőből állítható össze a legfelső ábrán látható alakzat?
1-es kód:
1. és 4. A felsorolásban megadott számok sorrendje nem számít.
0-s kód:
Rossz válasz.
Lásd még:
X és 9-es kód.
Javítókulcs
Belépő
99/10
mg24501
Mi a megvásárolt tömbben található utolsó jegy sorszáma, ha a kísérő tanároknak nem kell belépőjegyet venniük, és a csoporthoz más nem csatlakozott? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: B
Garázsépítés I.
100/11 mg02201
Helyes módszert alkalmazott-e az idős kőműves a szomszédos oldalak merőlegességének vizsgálatára! Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat matematikai érvekkel indokold is!
1-es kód:
A tanuló az „Igen” válaszlehetőséget jelölte meg, és az alaprajz, mint speciális négyszög tulajdonságaira hivatkozva megfelelően indokolja azt. Tanulói példaválasz(ok): • Igen, mert ha a szemközti oldalak egyenlők (a tervrajz szerint), akkor az paralelogramma, de ha már átlói is egyeznek, akkor már téglalap. • Igen, mert ha a paralelogramma átlói egyenlő hosszúak, akkor az téglalap. • Igen, mert ha az átlók egyenlőek, akkor az téglalap lesz. • Igen, azért mert ha az egyik átló, hosszabb mint a másik, akkor nem egyenlő a két oldal és nem téglalap.
0-s kód:
Rossz válasz. • Igen, azért mert a téglalap átlói felezik egymást. • Nem, mert mert a téglalap átlóinak metszése nem derékszöget zárnak be egymással. • A derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele szerint a befogók négyzetösszege megegyezik az átfogók négyzetével és mivel a szemközti oldalak egyenlő hosszúak, ezért az átlónak is annak kell lennie.
Lásd még:
X és 9-es kód.
Matematika – 8. évfolyam
9
Karát
101/12 mg45701
1-es kód:
75%-a. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. 18 3 Számítás: = = 0,75, tehát a gyűrű tömegének 75%-a színarany. 24 4 Tanulói példaválasz(ok): • 75
6-os kód:
Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a karáttartalom definíciója alapján 18 tört alakban adja meg válaszát, ezért válasza vagy 0,75. 24 Tanulói példaválasz(ok): • 0,75% 3 • 4 • 0,75 g • 0,75-ad része
0-s kód:
Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): • 18% [A tanuló a karáttartalom értékét adta meg.]
Lásd még:
X és 9-es kód.
102/13 mg45702
1-es kód:
10
Hány karátos ez a nyaklánc? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 8. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható.
0-s kód:
33,3 7,99 Számítás: A nyaklánc tömegének 33,3%-a arany, és 0,333 = = 24 , tehát 8 karátos. 100 Tanulói példaválasz(ok): • 7,9 1 8 • 100% – 66,6% = 33,3%, ami 0,33 = = , tehát 8 karátos a nyaklánc. 3 24 Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a 66% meghatározásáig jut el, és ez alapján állapítja meg a karátot, ezért válasza 16 karát. Tanulói példaválasz(ok): 66,6 15,85 • 66,6% → 0,666 = = 24 → 15,85 ≈ 16 karátos 100 Más rossz válasz.
Lásd még:
X és 9-es kód.
6-os kód:
Egy 18 karátos aranygyűrű tömegének hány százaléka színarany? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!
Javítókulcs
103/14 mg45703
Hány karátos ez a karkötő? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: A
Kísérlet
104/15 mg04101
Legnagyobb valószínűséggel melyik lehet Máté korongja a táblázat adatai alapján? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! Helyes válasz: C
Sorozat
105/16 mg13501
Figyeld meg, hogyan keletkezett az 1. elemből a 2. elem, majd ennek alapján rajzold le a sorozat 3. elemét!
1-es kód:
A tanuló az alábbi ábrának megfelelően készítette el rajzát. A vonalaknak az ábrán látható módon kell elhelyezkedniük, és nem tekintjük hibának, ha a vonalak hosszúsága nem megfelelő, ha azok arányaiban megközelítőleg helyesek.
0-s kód:
Rossz válasz.
Lásd még:
X és 9-es kód.
Internetes vásárlás
106/17 mg30801
Összesen mennyit fizetett Pali, ha 1 euró árfolyama a vásárlás napján 250 Ft volt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: B
Matematika – 8. évfolyam
11
Kosárlabda II.
107/18 mg10601
Hány hárompontos találatot ért el a csapat? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!
1-es kód:
6. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Számítás: x a hárompontos dobások és (25 – x) a kétpontos dobások száma 3 · x + 2 · (25 – x) = 56 x=6 Tanulói példaválasz(ok): • 6 · 3 = 18, 19 · 2 = 38 • 6 · 3 = 18, 56 – 18 = 38 38 : 2 = 19 6 + 19 = 25
6-os kód:
Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a kétpontos dobások számát határozza meg, ezért válasza 19. Tanulói példaválasz(ok): • x a kétpontos dobások száma, ezért 2x + 3 · (25–x) = 56, amiből x = 19 • 19
0-s kód:
Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló helyes egyenletet/ egyenletrendszert írt fel, de annak megoldása rossz vagy hiányzik. Tanulói példaválasz(ok): • 2x + 3y = 65 x + y = 25 • 3x + 2 · (25 – x) = 65 3x + 50 – 2x = 65 x = 115 [Az egyenlet felírása helyes, de a megoldása rossz.]
Lásd még:
X és 9-es kód.
Repülő
108/19 mg32001
109/20 mg32002
Mennyi időt töltött a repülőgép a leszállással? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: A
Az indulási időpontot alapul véve melyik időintervallumban volt a legnagyobb a repülőgép emelkedési sebessége? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: D
12
Javítókulcs
Matekverseny
110/21 mg18701
Melyik kördiagram ábrázolja helyesen a versenyen indulók arányát az elért százalékos teljesítMény függvényében? satírozd be a helyes ábra betűjelét! Helyes válasz: D
Bűvös kocka
111/22 mg32501
Az alábbiak közül melyik ábra mutatja a kocka „elölnézeti” oldallapjának forgatás utáni állapotát? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! Helyes válasz: B
Buszjegy
112/23 mg36801
Mennyibe kerül Sándor kedvezményes buszjegye Esztergomból Budapestre? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: B
Síugrás
113/24 mg38801
Hány méter volt S. Amman ugrásának a hossza, ha a 120 méter magas sáncról történő ugrásáért 96,9 távolsági pontot kapott?
1-es kód:
140,5 méter. Mértékegység megadása nem szükséges. A helyes végeredménynek látszódnia kell, az összefüggésbe történő behelyettesítés önmagában nem elegendő. Elfogadható a 140 és 141 méter is. Számítás: 96,9 = 60 + (s – 120) . 1,8 → s = (96,9 – 60) : 1,8 + 120 = 140,5 m Tanulói példaválasz(ok): • 140 • 141
0-s kód:
Rossz válasz. • 96,9 = 60 + (s – 120) . 1,8 [A tanuló csak behelyettesített a képletbe.] • 60 + (120 – 96,9) · 1,8 = 101,58
Lásd még:
X és 9-es kód.
Matematika – 8. évfolyam
13
Panelház
114/25 mg33001
Merre kell néznie Annának az ablakból, hogy a szintén ablakban lévő Bettit láthassa? Satírozd be a helyes válasz betűjelét!
Pulzusszám Helyes válasz: B
mg41301
1-es kód:
115/26 mg42201
0-s kód: Lásd még:
116/27 mg41302 mg41301
1-es 1-es kód: kód:
0-s kód: 0-s kód: Lásd még: Lásd még: mg41302
1-es kód:
0-s kód:
Lásd még:
14
Javítókulcs
Vízállás Mennyi Ivett ébredési pulzusa, ha három egymást követő reggelen mért pulzusértékei: 73, 69, és 71? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!
71. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Tanulói példaválasz(ok): A táblázat adatai alapján a következő diagramok közül melyik ábrázolja helyesen a Duna • (73 +Dunaföldvárnál? 69 + 71) : 3 vízállását Satírozd be a helyes ábra betűjelét! • 71 Helyes • 73válasz: + 69 +C71 = 214 214 : 3 = 71,3 [Számolási hiba.] Rossz válasz.
Pulzusszám X és 9-es kód. Ennek hány éves lehet azhaa három férfi, akinek a maximális pulzusamért 192?pulzusértékei: Úgy dolgozz, Mennyialapján Ivett ébredési pulzusa, egymást követő reggelen hogy nyomon hogy követhetők legyenek! 73, 69,számításaid és 71? Úgy dolgozz, számításaid nyomon követhetők legyenek! 26 A helyes látható számítások nélkül is elfogadható. A helyes végeredmény71.éves. A helyes értékérték látható számítások nélkül is elfogadható. nek látszódnia kell, az összefüggésbe történő behelyettesítés önmagában nem elegendő. Tanulói példaválasz(ok): • (73 + 69A+205 71)–: 3x = 192 összefüggésből x = (205 – 192) ∙ 2 = 26 Számítás: 2 • 71 Rossz • 73válasz. + 69 + 71 = 214 214 : 3 = 71,3 [Számolási hiba.] • 192 = 205 – x, amiből x = 13 Rossz válasz. • 192 : 2 = 96 x X • és 9-es 205 –kód.= 192 2 X és 9-es kód. Ennek alapján hány éves lehet az a férfi, akinek a maximális pulzusa 192? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 26 éves. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. A helyes végeredménynek látszódnia kell, az összefüggésbe történő behelyettesítés önmagában nem elegendő. x Számítás: A 205 – = 192 összefüggésből x = (205 – 192) ∙ 2 = 26 2 Rossz válasz. • 192 = 205 – x, amiből x = 13 • 192 : 2 = 96 x • 205 – = 192 2 X és 9-es kód.
„B” füzet Matematika 1. rész/ „A” füzet Matematika 2. rész/ Emeletes busz
62/28 mg03001
Melyik útvonalon juthat el a busz A pontból B pontba, hogy ne sértse meg a magassági korlátozást? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: C
mg03002
63/29 mg13601
1-es kód:
Magasság Mekkora az esélye annak, hogy a várost nem ismerő turistabusz elsőre jó útvonalat választ
A-ból B-be, azaz olyan útvonalat, ahol nem ütközik magassági akadályba? Válaszodat indokold is!
Az ábra alapján határozd meg, milyen magas Tibor, ha Kata magassága 160 cm! Satírozd 1 be a helyes válasz betűjelét! A megoldáshoz vonalzót! is megadhatja (16–17%). A tanuló válaszát valószínűségértékkel ( 6 ),használj illetve százalékban A helyes értékCindoklás nélkül is elfogadható. Helyes válasz: Számítás: 1 útvonal jó a 6 lehetséges útvonal közül, ezért 1 : 6 az esély. Tanulói példaválasz(ok): 1 • 6 • 0,1667 • 16,67% • 1 a 6-hoz. • 17
5-ös kód:
Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló nem veszi figyelembe, hogy az A-ból 1 B-be induló utak mindegyike kétfelé válik, és ezért válaszként -ot vagy ezzel ekviva3 lens százalékos mennyiséget (33%–34%) adott meg. Tanulói példaválasz(ok): 1 • A-ból B-be 3 út indul, ezek közül csak 1 a jó, ezért = 0,33 3 Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló azt vizsgálta, hogy a 12 útszakaszból hány útszakaszon tud közlekedni a busz, ezért válasza 6 vagy ezzel ekvivalens (száza12 lékos) mennyiség. Tanulói példaválasz(ok): • 6 a jó a 12-ből. • 50% • 0,5
0-s kód:
Más rossz válasz.
Lásd még:
X és 9-es kód.
6-os kód:
Matematika – 8. évfolyam
15
Repülők
64/30 mg04501
65/31
mg04502
1-es kód:
Melyek a vezérgép (V) pozíciójának koordinátái? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: A
Jelöld meg X-szel a lopakodó helyét a következő ábrán, és nevezd el L-betűvel! A tanuló helyesen rajzolta be a lopakodó helyét a következő ábrának megfelelően. Természetesen nem tekintjük hibának, ha a tanuló nem nevezte el L-betűvel az általa egyértelműen megjelölt helyet. (–80; 80)
Észak
V
Nyugat
K1
(–80; 0)
16
(0; 80)
Dél
K2
Kelet
L
(0; 0)
6-os kód:
Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló által berajzolt pont csak két géptől van egyenlő távolságra.
0-s kód:
Más rossz válasz.
Lásd még:
X és 9-es kód.
Javítókulcs
66/32
mg04503
2-es kód:
Melyik TERÜLETEN helyezkedhet el a V vezérgép K1-es kísérője, amikor a vezérgép a célterület fölött van? Satírozd be azt a területet, amely felett a K1-es kísérő tartózkodhat! A tanuló a következő ábrán megjelölt területet satírozta be. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló a másik kisérőgép által elfoglalt területet is megjelölte az ábrán. (–80; 80)
Észak
(0; 80)
Célterület
K1
V
Nyugat
K2
Kelet
K1
(–80; 0)
Dél
(0; 0)
1-es kód:
Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló nem területet jelölt meg, hanem a 2-es kódnál megadott K1 területen belül adott meg egy pontot vagy csúcspontot.
0-s kód:
Rossz válasz.
Lásd még:
X és 9-es kód.
Kamatos kamat
67/33
mg30401
Mennyi lesz Szilárd megtakarított pénze a hároméves futamidő végén, ha az éves kamat 12%? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: A
Matematika – 8. évfolyam
17
Üzemanyagárak
68/34 mg01502
Melyik hónapban volt a legnagyobb eltérés a benzin és a gázolaj ára között? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: C
69/35
mg01501
A grafikon alapján döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld (Igaz/Hamis)! Helyes válasz: HAMIS, IGAZ, HAMIS – ebben a sorrendben.
Kilométeróra I.
70/36
mg25001
Melyik KERÜLETÉRTÉKET kell megadnia a kilométerórán? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: C
71/37
mg25002
18
Mekkora kerületet kellene megadnia Bélának, hogy a kilométeróra a pontos értéket mutassa? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!
1-es kód:
2314–2315. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Számítás: 2500 mm → 1,08 km x mm → 1 km. x = 2500 = 2314,81 mm ≈ 2315 mm 1,08 Tanulói példaválasz(ok): • 2314 • 2500 : 1,08
0-s kód:
Rossz válasz. • 2499,92 mm [A tanuló 0,08-ot kivont a megadott kerületértékből.] • 1,08 – 1 = 0,08 0,08 · 2500 = 200 2500 – 200 = 2300 mm • K = 2rπ = 2500 mm (2500 : 2) · 3,14 = 398 mm 398 – 8 = 390 mm • 2500 = 2rπ, r = 398
Lásd még:
X és 9-es kód.
Javítókulcs
Hálózaton fájlküldés
72/38 mg20401
Hány másodperc alatt tömöríthető egy 5,6 MB méretű fájl az ESK pogrammal?
1-es kód:
21,2 másodperc VAGY 21 másodperc. Mértékegység megadása nem szükséges. A képletbe történő behelyettesítés önmagában nem elegendő, a helyesen kiszámított értéknek látszódnia kell. Számítás: ttömörítés = 10 + 2 · 5,6 = 21,2 Tanulói példaválasz(ok): • t = 10 + 2 · 5,6 = 21,2 • 21
6-os kód:
Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló nem a fájl tömörítéséhez szükséges időt, hanem a fájl továbbításához szükséges időt határozta meg, ezért válasza 28 másodperc. Tanulói példaválasz(ok): • 5 · 5,6 = 28 • 28 nap [A tanuló elírta a mértékegységet.]
0-s kód:
Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): • 12 · 5,6 = 67,2 [A tanuló rosszul értelmezte a képletben szereplő műveletek sorrendjét.] • t = 5,6 + 2 · 5 = 15,6 • ttömörítés = 10 + 2 · 5,6 [A tanuló csak behelyettesített a képletbe, a kiszámítás hiányzik.]
Lásd még:
X és 9-es kód.
Matematika – 8. évfolyam
19
73/39 mg20402
Melyik módszerrel tudja a rövidebb idő alatt elküldeni a fájlt: ha tömörítés nélkül küldi el, vagy ha először tömöríti a fájlt, és ezt a tizedére tömörített változatot küldi el a hálózaton? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat számítással indokold is!
1-es kód:
A tanuló a „Tömöríti, majd ezután küldi el a fájlt” válaszlehetőséget jelölte meg, ÉS döntését számítással helyesen indokolta. A válasz elfogadásához MindkÉT számításnak/ végeredménynek vagy a két érték különbségének látszódnia kell. Számítás: Tömörítés után: 10 + 2 · 16 + 5 · 0,1 · 16 = 42 + 8 = 50 mp. Tömörítés nélkül: 16 · 5 = 80 mp Tanulói példaválasz(ok): • Tömörítés után, 30 mp-cel gyorsabb. • Tömörítés után, mert tömítés nélkül 80 mp, tömítéssel t = ttömörítés + ttovábbítás ttömörítés = 10 + 2 · 16 = 42, a tömörített fájl mérete: 0,1 · 16 = 1,6 MB, ttovábbítás = 5 · 1,6 = 8, összesen 42 + 8 = 50 mp
6-os kód:
Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a „Tömöríti, majd ezután küldi el a fájlt” válaszlehetőséget jelölte meg, és a tömörítés után küldött esetben nem számolt a továbbításhoz szükséges idővel. Tanulói példaválasz(ok): • Tömörítés után, mert tömörítés nélkül 1 MB 5 mp, 16 MB 5 · 16 = 80 mp Tömörítés után: t = 10 + 2 · 16 = 42 mp
0-s kód:
Más rossz válasz. idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a „Tömöríti, majd ezután küldi el a fájlt” válaszlehetőséget jelölte meg, és indoklása túl általános, nem hivatkozik számított értékekre. Azokat a válaszokat is 0-s kóddal kell értékelni, amikor a tanuló indoklásában csak az egyik időérték látszódik, és nem látható, hogy ezt milyen értékkel hasonlította össze, azaz nem látható, hogy mi alapján hozta meg döntését. Tanulói példaválasz(ok): • Tömörítés után, mert úgy gyorsabb. • Tömörítés után, mert úgy mindig jobb. • Tömörítés után, mert a kisebb fájlokat hamarabb átküldi. • Tömörítés nélkül, mert a tömörítés is időt vesz igénybe. • Tömörítés nélkül, mert tömörítés nélkül 16 · 5 = 80 sec, tömörítéssel 12 · 6 = 192 • Tömörítés után, mert az csak 50 mp. [Nem látszódik, hogy a tanuló ezt milyen értékkel hasonlította össze.]
Lásd még:
X és 9-es kód.
Kosárlabda
74/40 mg42601
Az oszlopdiagram adatai alapján ki dobja be a legnagyobb biztonsággal a büntetődobásokat? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: C
20
Javítókulcs
Rádió
75/41 mg37201
A meglévőkön kívül legfeljebb hány további rádióadót indíthat a város? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: A
76/42
mg37202
2-es kód:
Jelöld be a következő ábrán, hogy melyik szabad frekvencián indítsa el ez a város az új rádióadót, és add meg a frekvencia értékét is! A tanuló az alábbi ábrának megfelelő helyen jelöli meg az új adó helyét a 91,4 Mhz-es értéknél.
89 MHz
90 MHz
91 MHz
92 MHz 91,4 MHz
1-es kód:
Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló helyes értéket jelölt meg az ábrán, de a frekvenciát nem vagy rosszul írta rá, VAGY ha a tanuló jó frekvenciaértéket adott meg, de azt nem vagy rosszul jelölte az ábrán. Tanulói példaválasz(ok):
•
•
89 MHz
90 MHz
91 MHz
92 MHz
[A tanuló nem adta meg a frekvencia értéket, de helyesen bejelölte.] 91,4 89 MHz
90 MHz
91 MHz
92 MHz
[A tanuló helyesen adta meg a frekvencia értékét, de az ábrán ezt rosszul jelölte.]
0-s kód:
Rossz válasz.
Lásd még:
X és 9-es kód.
Kocka II.
77/43 mg43901
Az alábbi ábrán látható testhálók közül melyik NEM lehet a fenti ábrán látható kockáé? Satírozd be a válasz betűjelét! Helyes válasz: C
Matematika – 8. évfolyam
21
Aerobik
78/44 mg45202
Az aerobikóra kezdete után háromnegyed órával milyen tempójú zene szól az órán? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: A
Vízgyűjtő terület
79/45
mg03801
A tanuló mind a három hiányzó oszlopot helyesen rajzolta meg a következő ábrának megfelelően. Nem tekintjük hibának, ha a függőleges tengely skálabeosztását a tanuló nem adta meg, de arányaiban megfelelő magasságúak az oszlopok. (Az előre megadott oszlop feléig, kétszereséig, négyszereséig érnek.)
Vízgyűjtő területe (millió km2)
2-es kód:
A táblázat adatai alapján egészítsd ki az alábbi oszlopdiagramot! A függőleges tengely skálabeosztását is add meg! A Jangce folyóhoz tartozó oszlopdiagramot már előre megrajzoltuk.
1,8
Yukon
22
Jangce
Kongó
Amazonas
1-es kód:
Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló csak KÉT folyó esetében rajzolta be helyesen az oszlopdiagramot.
0-s kód:
Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló csak egy folyó esetében adta meg helyesen az oszlopdiagram magasságát.
Lásd még:
X és 9-es kód.
Javítókulcs
Hasáb hurkapálcából
80/46 mg15403
2-es kód:
1-es kód:
Hány 3 cm-es és hány 8 cm-es hurkapálcika-darabra van szüksége Marcinak, ha n szintes tornyot szeretne készíteni? A tanuló helyesen tölti ki a táblázat mindkét sorát az alábbiak szerint. A hurkapálca-darabok hossza A szükséges darabszám (cm) (db) 3 cm
6n + 6 VAGY 6 · (n + 1)
8 cm
6n
Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló csak az egyik kifejezést adta meg helyesen, a másik kifejezés rossz vagy hiányzik. Tanulói példaválasz(ok): A hurkapálca-darabok hossza (cm)
A szükséges darabszám (db)
3 cm
6n + 6
8 cm
n·6+n
A hurkapálca-darabok hossza (cm)
A szükséges darabszám (db)
3 cm
6(n – 1)
8 cm
6n
•
•
0-s kód:
Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): • 6n, illetve 6n + 6 [A tanuló felcserélte a kifejezéseket.] • 12, 18 • n – 1, n + 6
Lásd még:
X és 9-es kód.
Időeltolódás
81/47 mG09501
Az ábrán látható órák segítségével határozd meg, melyik időpontban csörög Kata rokonának telefonja a sydneyi helyi idő szerint! Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: C
Matematika – 8. évfolyam
23
Monitor
82/48 mg12401
Hány colos ez a monitor, ha tudjuk, hogy 1 col 2,54 centiméternek felel meg? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!
1-es kód:
17. A kerekítésekből adódó pontatlanság miatt elfogadhatók a 17–18 col közötti értékek is. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Számítás: 342 + 272 = 1885 ≈ 43,4 cm, ami 43,4 : 2,54 = 17,1 col, tehát 17 colos. Tanulói példaválasz(ok): • 34 cm = 34 : 2,54 = 13,4 col, és 27 cm = 10,6 col, amiből 13,42 + 10,62 = 291,92 = 17,1 col • 17,1 colos • 34 : 2,5 = 13,6 col ≈ 14 col. a másik oldal 27 cm : 2,5 = 10,8 col ≈ 11 col 142 + 112 = 17,8 [A tanuló a kerekítések miatt 17-18 col közötti értéket adott meg.] • a2 + b2 = c2 272 + 342 = 1885 c = 43 cm a képernyőátló hossza. 43 : 2,54 ≈ 16 col [Kerekítése hiba, mert 16,9 lett volna a helyes érték, ami kerekítve inkább 17 col].
0-s kód:
Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): • 34 · 2,54 + 27 · 2,54 272 + 342 = 43,4 colos •
Lásd még:
X és 9-es kód.
Forgalomszámlálás
83/49 mg17301
Melyik módszer adhatja a legpontosabb képet a NAPI forgalom nagyságáról? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: C
24
Javítókulcs
Toronyugrás
84/50
mg33901
Számítsd ki, hány pontot kapott a sportoló az ugrására! Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!
2-es kód:
25,92 vagy 25,9 Számítás: (5,3 + 5,3 + 5,6) · 1,6 = 25,92 Tanulói példaválasz(ok): • (5,3 + 5,3 + 5,6) · 1,6 • (5,3 + 5,3 + 5,6) · 1,6 = 25,92 ≈ 26 [A tanuló válaszában látható a 25,92 is.]
1-es kód:
Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló valószínűsíthetően jó gondolatmenettel számolt, de az eredményt egész számra kerekítette (a 25,92 vagy 25,9 nem látszik). Tanulói példaválasz(ok): • 26 [Számítás nem látható.]
6-os kód:
Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a táblázatban szereplő három középső értékkel számolt, ezért válasza 26,88, vagy ezt az értéket kerekítette 27-re. Tanulói példaválasz(ok): • (5,3 + 6,4 + 5,1) · 1,6 = 16,8 · 1,6 = 26,88 • 5,3 · 1,6, 6,4 · 1,6, 5,1 · 1.6 • (5,3 + 6,4 + 5,1) · 1,6 = 16,8 · 1,6 ≈ 27
0-s kód:
Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a táblázatban szereplő értékeket adta össze, ezért válasza 27,7 pont, vagy ennek az értéknek a kerekítése 28. Tanulói példaválasz(ok): • 5,3 + 5,3 + 6,4 + 5,1 + 5,6 = 27,7 ≈ 28 • 28
Lásd még:
X és 9-es kód.
Matematika – 8. évfolyam
25
A burgonya
85/51
mg20502
Körülbelül hány gramm november elején betakarított burgonya tartalmazza ezt a menynyiséget? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz: C
86/52 mg20503
A grafikon segítségével számítsd ki, hogy hány milligramm C-vitamint tartalmaz 250 gramm főtt burgonya november végén! Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!
2-es kód:
15,75 mg vagy ennek az értéknek a kerekítései. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: November végén 100 mg burgonya C-vitamin tartalma 9 mg-nak csak a 70%-a, azaz 9 · 0,7 = 6,3 mg. 250 g burgonya ennek 2,5-szeresét, 2,5 ∙ 6,3 =15,75 mg C-vitamint tartalmaz. Tanulói példaválasz(ok): • 9 · 0,7 · 2,5 • 16 • 9 mg/100 g 9 · 2,5 = 22,5 22,5 mg/250 g 22,5 · 0,7 = 15,75 15,75 mg/250 g
1-es kód:
Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló a százalékszámítás vagy az arányosságra vonatkozó részszámítások közül csak az egyiket hajtotta helyesen végre, ezért válasza 6,3 mg vagy 22,5 milligramm, vagy ezeknek az értékeknek a kerekítései egész számra. A százalékszámítás lépését helyesnek tekintjük, ha a tanuló válaszát 100 grammra vonatkoztatva adta meg, azaz helyesen határozta meg a november végén mért értéket (9 mg) és ennek helyesen számította ki a 70%-át (6,3 mg). Az arányossággal kapcsolatos lépést helyesnek tekintjük, ha a tanuló helyesen olvasta le a november végén mért értéket (9 mg) a grafikonról, majd ez alapján helyesen határozta meg a 250 grammban található mennyiséget (22,5 mg), de ezt követően nem vette figyelembe a százalékos veszteséget. Tanulói példaválasz(ok): • 9 · 0,3 = 2,7 mg-t veszít el, tehát 9 – 2,7 = 6,3 mg milligramm vitamint tartalmaz. • 9 – 2,7 = 6,3 ≈ 6 mg • 9 · 2,5 = 22,5 milligramm. [A százalékszámítás lépés hiányzik.] • 9 · 2,5 = 22,5 ≈ 23 [A százalékszámítás lépés hiányzik.]
26
0-s kód:
Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): • 9 · 250 = 2250 mg [A tanuló nem vette figyelembe, sem azt, hogy a grafikon értékei 100 mg-ra vonatkoztak, sem a százalékos veszteséget.] • 250 · 0,7 = 175 • 250 · 0,3 = 75
Lásd még:
X és 9-es kód.
Javítókulcs
Autókölcsönzés
87/53 mg36401
Összesen mennyit kell fizetnie Gábornak az autó kölcsönzéséért? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Helyes válasz:
C
Kosárlabdacsapat
88/54 mg26701
A kördiagramok közül melyik ábrázolja helyesen a három játékos pontátlagainak EGYMÁSHOZ VISZONYÍTOTT arányát? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! Helyes válasz: A
Osztályok kémiaeredménye
89/55 mg16401
A diagramok alapján döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld (Igaz/Hamis)! Helyes válasz:
IGAZ, IGAZ, HAMIS, HAMIS – ebben a sorrendben.
Matematika – 8. évfolyam
27
