1. Gegeven x · Y , waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? (a) X ? y˜ x?Y (b) 2π (c) 2π X ? y˜ (d) X ? y Vanwege x ←→ X ←→ 2π˜ x 1 f · g ←→ F ?G 2π Volgt er x · Y ←→ X ? y˜ Of dus antwoord (1a). 2. 4 personen lenen eenzelfde bedrag bij de bank. (a) Persoon A betaalt 10 jaar af aan een rente van 6% (b) Persoon B betaalt 15 jaar af aan een rente van 4% (c) Persoon C betaalt 20 jaar af aan een rente van 3% (d) Persoon D betaalt 25 jaar af aan een rente van 2.5% Wie heeft de voordeligste lening? Het totale bedrag dat persoon N betaalt aan de bank wordt gegeven door JRB 1 − (1 + R)−J Met J Het aantal jaar, R de rentevoet en B het ontleende bedrag. Dit uitrekenen voor elk van de 4 gevallen geeft dat (2c) de voordeligste lening heeft.
1
3. Gegeven a0 a1 x(n) = a 2 1
n ∈ 4N n ∈ 4N + 1 n ∈ 4N + 2 n ∈ 4N + 3
X(2) = 0 en X(3) = − 21 + 5i, waaraan is a2 gelijk? (a) a2 ≥ 4 (b) 0 < a2 < 4 (c) −4 < a2 < 0 (d) a2 ≤ −4 Uit de gegevens omtrent X(2) en X(3) volgt a0 − a1 + a2 − 1 = 0 1 a0 + i · a1 − a2 − i = 4 · − + 5i 2 Ervan uitgaande dat an re¨eel is stelt bovenstaande een 3x3 stelsel voor, waarvan de oplossing luidt a0 = 10 a1 = 21 a2 = 12 4. Bepaal de energie van sinc2 (t). Merk op dat H(1 − |t|) ←→ 2sinc(ω) Zodat vanwege dualiteit π H(1 − |t|) ? H(1 − |t|) 2
sinc2 (t) ←→ Waarbij via Parseval volgt dat Z∞
Z∞ 2 π H(1 − |t|) ? H(1 − |t|) 2
sinc2 (t) 2 = 1 2π
−∞
−∞
=
π 4
Z2
t2 dt
0
2π = 3 Waarbij de laatste stap volgt uit de observatie dat de convolutie van 2 gelijke blokgolven een driehoek teruggeeft, met als maximale hoogte de oppervlakte van het blok en als basis de dubbele breedte van het blok.
2
5. S : y → u. Gegeven is dat voor een vaste waarde t? element van R, y(t) = u(t? ) voor alle t die behoren tot R. Hoeveel uitspraken zijn waar? • S is causaal • S is niet-lineair • S is stationair Neem een t < t? , dan volgt uit y(t) = u(t? ), dat het systeem niet causaal is. Verder is y(t) een constante functie, dus lineair en stationair. Alles samen is dus enkel de laatste uitspraak waar. 6. Gegeven het systeem S : u → y waarbij de ingang u1 = H(t) de uitgang y1 = t · exp(−t) · H(t). Wat is de uitgang op het systeem voor ingang u2 (t) = H(t−1)·(t−1)−(t−2)·H(t−2)−H(t−2). Om deze oefening op te lossen kan je de hele boel overbrengen naar het frequentiedomein en van daaruit het impulsantwoord bepalen. Bij deze werkwijze zou je echter de fouriergetransformeerde van de heaviside moeten bepalen. Een makkelijkere werkwijze bestaat erin om alles laplace te transformeren en op het einde s → iω. Merk dus op dat in onderstaande redenering telkens nog de limiet moet worden genomen. Y1 (s) = H(s)U1 (s)
Zodat H(s) =
L{u1 (t)} =
1 s
L{y1 (t)} =
1 (1 + s)2
s 1 1 = − (s + 1)2 1 + s (1 + s)2
Invers transformeren levert h(t) = (1 − t)e−t H(t) Waarbij nu enkel nog maar h ? u2 moet worden berekend, dit geeft 0 t<1 1 − te1−t 1≤t<2 y2 (t) = 2−t e − te1−t t≥2
3
7. Gegeven de signalen x : R → R :
P
H(1 − |t − 3n|) en y : R → R met FR spectrum
n∈Z
Y (k) = 13 sin(kπ/3). Neem z = x + y met Z(k) het FR spectrum van z. Bepaal de waarde van Z(1) − Z(0).
x(t)
1
0.5
0 −4
−2
0 t
2
4
Figuur 1: Signaal x De fourierco¨effici¨enten X(k) worden gegeven door 1 X(k) = 3
Z1
e−ik
2π t 3
dt
−1
=
sin
2πk 3
πk
2 Met X(0) = . Bijgevolg is 3 Z(1) − Z(0) = X(1) + Y (1) − X(0) − Y (0) √ 3 2 1 = + √ − 2π 2 3 3
4
8. Gegeven 3 systemen die als volgt geschakeld worden: u
T Sa
v
Bk
w
Bγ
y
Zodat v = u(at) w = v(kn) y = w(γn) we leggen nu een ingangssignaal u(t) = cos aan, voor hoeveel van de volgende gegeven waarden voor k, γ en a is de uitgang periodiek en niet constant? • k = 5, γ=5, a = π/2 • k = 2, γ=10, a = π/2 • k = 5, γ=5, a = 5 Het uitgangssignaal, nadat het door het systeem is gelopen, wordt gegeven door y(n) = cos(akγn) In het eerste geval verkrijgen we de reeks 1 → 0 → −1 → 0 → . . . Voor het tweede geval wordt de constante 1 bekomen, en de derde is periodiek als 125n = mπ met m, n ∈ Z, maar π is irrationaal, dus geen oplossing, of dus aperiodiek. Enkel de eerste voldoet dus.
5
9. Gegeven onderstaand (A, B, C, D) toestandsmodel voor een systeem in discrete tijd 1 0 0 2 A = 0 2 1 B = 0 0 0 2 2 C = 1 1 −1
D= 0
Bepaal het impulsantwoord. De matrix A staat reeds in zijn Jordan vorm. Hierin kan een nilpotente matrix herkent worden, zodat A niet gediagonaliseerd kan worden. We kunnen An wel bepalen via n 2 1 2 = 0 2 0 2 = 0 n 2 = 0
n−1 1 2 1 · 2 0 2 n−1 1 2 p(n − 1) · 2 0 2n−1 2n−1 + 2p(n − 1) 2n
Waaruit p(n) = 2n−1 + 2p(n − 1) Deze vergelijking oplossen geeft (evt. via Z-transformatie) p(n) = n2n−1 Waarmee het impulsantwoord kan bepaald worden h(n) = CAn−1 B 2 1 0 0 = 1 1 −1 0 2n−1 (n − 1)2n−2 0 2 0 0 2n−1 n−1 n−1 = 2 + n2 −3·2 H(n)
Het is natuurlijk een meerkeuze-examen, waardoor bovenstaande werkwijze vrij veel werk is. Een andere methode is gewoon enkele waarden uitrekenen voor h(n), dus enkele machten van A berekenen, om daarna via eliminatie het juiste antwoord aan te duiden. 10. cos(6πt) samplen (met H = ωs /2π), ωs > 0 en ωc = π. Voor hoeveel mogelijke ωs (dit aantal=N ) verkrijg je de uitgang y = α cos(πt/2) met α 6= 0. 6π − π/2 6π + π/2 De waarden die voldoen zijn: ωs = n = 1, . . . , 3 ∪ n = 1, . . . , 4 . n n Of dus 7 mogelijke waarden.
6
11. Hoeveel van deze stellingen zijn juist • Er bestaan periodieke, niet constante signalen die na sampling perfect gereconstrueerd kunnen worden d.m.v. zowel first en zero order hold. • Het is niet noodzakelijk dat ω bandbegrensd is om een perfecte reconstructie te verkrijgen via zero order hold of lineaire interpolatie • Er bestaan continue-tijd, niet constante signalen die na sampling perfect gereconstrueerd kunnen worden d.m.v. zowel first order hold als de ideale interpolatie. De eerste uitspraak is vals. zero order hold zal discontinu¨ıteiten vertonen die je via lineaire interpolatie enkel kan verkrijgen als de sampling punten oneindig dicht tegen elkaar liggen. De tweede uitspraak is waar, neem bv. een zaagtand die perfect gereconstrueerd kan worden via first order hold, of een blokgolf via zero order hold. De derde uitspraak is ook vals. Lineaire interpolatie zal altijd hoeken introduceren waardoor het resulterend signaal niet meer bandbegrensd is. Via ideale interpolatie zal je echter altijd een bandbegrensd signaal terugkrijgen. 12. Gegeven onderstaand continue tijd (A,B,C,D) toestandsmodel 0 2 −1/2 B= A= 1 16 −2 C = 4 −2
D= 0
Het impulsantwoord heeft dan een (a) dalend exponentieel verloop (b) ongedempt sinuso¨ıdaal verloop (c) uitdovend sinuso¨ıdaal verloop (d) versterkend sinuso¨ıdaal verloop Het impulsantwoord wordt gegeven door h(t) = CeAt B + Dδ(t) De matrix A heeft hierbij eigenwaarden op ±2i, zodat er een lineaire combinatie wordt gemaakt van e2it en e−2it , wat overeenkomt met een ongedempt sinuso¨ıdaal verloop.
7
π 13. De functie u(t) : t → 3 sin + 1) wordt door een systeem geperst met overdrachtsfunctie 3 (t 2 2π H(ω) : ω → |ω| · exp i (2π) . Waaraan is de uitgangsfasor Y gelijk? Hint: de functie ω A cos(ωt + φ) wordt geschreven als A exp(iφ). (a) 18 exp(iπ/3) (b) 18 exp(−iπ/6) (c) 3 exp(iπ/3) (d) 18 exp(iπ/6) Het ingangssignaal kan herschreven worden als π
π
ei 3 (t+1) − e−i 3 (t+1) u(t) = 3 2i Het uitgangssignaal wordt dan π
y(t) = 3
ei 3 (t+1) H
= 18 sin
π 3
π 3
π
− e−i 3 (t+1) H − π3 2i
(t + 1)
Of met behulp van de hint in fasornotatie π
π
π
Y = 18ei 3 e−i 2 = 18e−i 6
8
14. Gegeven u(0) = 2 u(1) = 1 u(2) = 1 u(3) = 1 u(4) = 2 Waarbij y(2) = 66 en h(n) = 3n+1 H(n). Gevraagd: y(3). (a) 130 (b) 197 (c) 201 (d) Je hebt te weinig gegevens om dit te berekenen Uit y(2) = 66 volgt y(2) =
∞ X
h(2 − n)u(n)
n=−∞
=
2 X
33−n u(n)
n=−∞
= u(0) · 33 + u(1) · 32 + u(2) · 3 +
−1 X n=−∞
= 66 Zodat
−1 X
33−n u(n) = 0
n=−∞
Hieruit volgt voor y(3) y(3) =
∞ X
h(3 − n)u(n)
n=−∞
=
3 X n=0
= 201
9
h(3 − n)u(n)
33−n u(n)
15. Welke uitspraak is NIET correct • D1 ◦ T S2 (H(−1/3)) = T S2 ◦ D1 (H(−2/3)) • D1 ◦ T S2 (H(−2/3)) = T S2 ◦ D1 (H(−1/3)) • D1 ◦ T S2 (H(1/3)) = T S2 ◦ D1 (H(2/3)) • D1 ◦ T S2 (H(2/3)) = T S2 ◦ D1 (H(1/3)) Merk op dat Da ◦ T Sb u(t) = u(b(t − a)) T Sb ◦ Da u(t) = u(bt − a) Waardoor enkel de derde uitspraak verkeerd is. 16. Beschouw het continue-tijd systeem S 0 gedefinieerd door onderstaand blokdiagram. Het systeem S heeft als toestandsmodel (a, b, c, d) ∈ R4 . S we weten dat |a| < 3/4, d = 0 en dat het systeem S niet BIBO-stabiel is. Hoeveel van de volgende beweringen zijn waar? • Als b > 0 dan bestaan er c ≥ 0 zodat systeem S 0 BIBO-stabiel is • Als c > 0 dan bestaan er b ≥ 0 zodat systeem S 0 BIBO-stabiel is • Het systeem S 0 is BIBO-stabiel als b = c = −a De transferfunctie van S 0 wordt gegeven door S0 =
1 s−a = 1+S s − a + bc
Deze heeft een pool op s = a − bc. S is niet BIBO stabiel, maar wel causaal (het is een toestandsmodel, deze zijn altijd causaal) en heeft dus een pool in het rechterhalfvlak. Hierbij kan de pool in de eerste 2 gevallen telkens naar links verschoven worden tot het GAC de imaginaire as omvat om BIBO-stabiliteit te garanderen. In het laatste geval komt de pool op s = a − a2 te liggen. Doordat 0 < a < 3/4 ligt deze pool altijd in het rechterhalfvlak zodat het systeem niet BIBO stabiel is.
10
x2 + 2 waarbij + 2x + 2 x staat voor z in discrete tijd en voor s in continue tijd. Hoeveel uitspraken zijn niet juist?
17. 1−2i is een element van het GAC. De transferfunctie wordt gegeven door
x2
• In discrete tijd is het systeem niet BIBO stabiel en niet causaal • In continue tijd is het systeem causaal en niet BIBO stabiel • In discrete tijd is het systeem BIBO stabiel en niet causaal De transferfunctie heeft polen op −1 ± i. In discrete tijd ligt het GAC dus buiten een schijf √ met straal 2 of het systeem is dus niet BIBO (eenheidsschijf ligt er niet in) maar wel causaal (convergent buiten de schijf). In continue tijd ligt het GAC rechts van s = −1 of dus convergent in het rechterhalfvlak (= causaal) en de imaginaire as ligt in het GAC (= BIBO). Bijgevolg is geen enkele uitspraak correct.
11
