6.1.MENURUNKAN FUNGSI IMPLISIT Pandang y fungsi dari x yang disajikan dalam bentuk implisit f ( x, y ) = 0 .
Turunannya y ' didapat sebagai berikut: a. Jika mungkin y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x , lalu diturunkan terhadap x b. Setiap suku dalam f ( x, y ) = 0 diturunkan terhadap x . Karena y fungsi dari x , maka setiap kali menurunkan y harus dikalikan dengan y ' , kemudian hubungan yang didapat diselesaikan ke y '.
CONTOH:
1. Dapatkan y ' dari: xy − 1 = 0 Penyelesaian: xy − 1 = 0 → y =
1 1 → y' = − 2 . x x
2. Dapatkan y ' dari: y 3 − 4 xy + x 2 = 0 Penyelesaian: d 3 d d 2 y − (4 xy ) + x =0 dx dx dx
( )
( )
3 y 2 y '−4( y + xy ') + 2 x = 0
(3 y
2
)
− 4 x y '+2 x − 4 y = 0 → y ' =
4 y − 2x . 3 y 2 − 4x
3. Dapatkan y ' dari: y 2 sin x + y − acrtg x = 0 . Penyelesaian: y ' (2 y sin x + 1) + y 2 cos x −
y' =
1 =0 1+ x2
1 − (1 + x 2 )y 2 cos x (1 + x 2 )(2 y sin x + 1) 12
6.2.TURUNAN TINGKAT TINGGI
Dari y = f (x ) maka: y ' = f ' ( x ) = y ' ' = f ' ' (x ) =
dy = Dy menyatakan turunan pertama dx
d2y = D 2 y menyatakan turunan kedua 2 dx
……………………………….. y
(n )
= f
(n )
dny (x ) = n = D n y menyatakan turunan tingkat n. dx d n y d d n−1 y = dx n dx dx n−1
Rumus Leibnitz
Jika y = uv dimana u = f ( x ) dan v = g ( x) , maka turunan tingkat n, y (n ) = D n (UV ) dirumuskan sebagai berikut: D n (UV ) = UD nV + nDU .D n−1V +
1 n(n − 1)D 2U .D n− 2V + .... 2!
Bukti: y = uv → y ' = u ' v + uv ' = uv'+u ' v = uDv + (Du )v y ' ' = uv' '+2u ' v'+u ' ' v = uD 2 v + 2 Du.Dv + (D 2 u )v y ' ' ' = y (3) = uv (3) + 3u ' v (2 ) + 3u (2 )v'+u (3)v , dan seterusnya didapat: D n (uv) = uD n v + nDu.D n−1v +
1 n(n − 1)D 2 uD n −2 v + ... 2!
CONTOH: Dapatkan y (n ) dari y = x 2 e x Penyelesaian: 12
Misal: u = x 2 ; v = e x Du = 2 x, D 2 u = 2, D 3u = 0; Dv = e x , D 2 v = e x ; D n v = e x
(
)
D n x 2 e x = x 2 e x + n(2 x )e x +
1 n(n − 1)(2)e x + 0 = e x x 2 + 2nx + n 2 − n . 2
(
)
6.3.TURUNAN FUNGSI PARAMETRIK x = f (t ) Pandang fungsi parametrik : y = h(t )
Dari x = f (t ) dapat dinyatakan bahwa t = g ( x) , jadi juga y fungsi dari x , katakan y = h{g ( x )}. Dengan Aturan Berantai (AB) didapat bahwa: y' =
dy dy dt dy 1 dy ' dy ' dt dy ' 1 = . = . ; y' ' = = . = . . dx dt dx dt dx dx dt dx dt dx dt dt
dy dt Jadi: y ' = ; y ' ' = dx dt
dy ' dt ; y ( n ) = dx dt
dy (n−1) dt dx dt
CONTOH: x = 2t 1. Dapatkan y ' dari: 2 y = t Penyelesaian: dy dx dy 2t dt = 2, = 2t , y ' = = =t. dt dt dx 2 dt
x = a cos t 2. Dapatkan y ' dan y ' ' dari y = b sin t dx dy = − a sin t , = b sin t dt dt
12
dy b cos t b dt y' = = = − cot g t , a dx − a sin t dt
dy ' b b = − − cos ec 2 t = cos ec 2 t . dt a a
(
)
dy ' b cos ec 2 t b dt a y' ' = = = − 2 cos ec 3 t − a sin t a dx dt
6.4.TEOREMA TAYLOR DENGAN SUKU SISA LAGRANGE:
Jika f (x ) sedemikian hiingga: a.
f ( x) = f ' ( x) = f ' ' ( x ) = .... = f
b.
f
(n)
( n −1)
( x ) adalah kontinu dalam [a, a + h]
( x ) ada dalam [a, a + h] , maka:
f ( a + h) = f ( a ) + h f ' ( a) + Lagrange Rn =
hn f n!
(n )
h2 h n −1 f ' ' (a) + .... + f (n − 1)! 2!
( n −1)
( a ) + Rn ,
dengan
(a + θ h); 0 < θ < 1.
Deret Taylor dari f (x ) disekitar x = a : f ( x) =
2 ( x − a) f ( a) + ( x − a ) f ' ( a ) +
2!
n ( x − a) f ' ' (a) + .... +
n!
Deret Maclaurin dari f (x ) : f ( x) = f (0) + x f ' (0) +
x2 xn f ' ' (0) + .... + f 2! n!
Contoh Deret Maclaurin: x2 x3 xn 1. e = 1 + x + + + ... + + ... 2! 3! n! x
12
(n)
(0) + ...
f ( n) (a ) + ...
suku
sisa
x3 x5 x7 2. sin x = x − + − + ... ( x dalam radian) 3! 5! 7! 3. cos x = 1 −
x2 x4 x6 + − + ... ( x dalam radian) 2! 4! 6!
4.
1 = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ... + x n + ...; x < 1 1− x
5.
1 = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ... + x n + ...; x < 1 1− x m
6. Deret Binomial: (1 + x ) = 1 + mx +
m(m − 1) 2 m(m − 1)(m − 2 ) 3 x + x + ...; x < 1 2! 3!
(m= bilangan real) Rumus Euler: e iax = cos ax + i sin ax; i = − 1
6.5.NILAI EXTRIM
Max
y=f(x) Min
y=f(x)
f(a-h) f(a)
a-h
a
f(a+h)
a+h
f(a-h)
X
a-h
f(a)
a
f(a+h)
a+h
y=f(x) max di x = a:
y=f(x) min di x = a:
f ( a − h) < f ( a) f (a + h) < f (a)
f (a − h) > f (a ) f ( a + h) > f ( a )
Fungsi naik dan turun:
12
X
y=f(x) y=f(x)
θ
θ X
x1
x1
f naik di x1 jika f ' ( x1 ) > 0
f turun di x1 jika f ' ( x1 ) < 0
Max
Titik pada y=f(x) dimana garis singgungnya mendatar (// sb. X) disebut titik kritis.
y=f(x)
f ' (a − h ) > 0 f ' (a ) = 0 f (a) max & f ' ' (a) < 0 f ' (a + h) < 0
Min
a-h a
X
a+h
b
X
f ' (a − h ) < 0 f ' (a) = 0 f (b) min & f ' ' (b) > 0 . f ' (a + h) > 0
Cekung ke atas dan cekung ke bawah:
Y
y = f (x )
Y y = f (x ) 12
O
X
x1
O
Cekung ke atas x1, f ' ' ( x1 ) > 0
X
x1
Cekung ke bawah di x1, f ' ' ( x1 ) < 0
Titik Belok:
y = f (x )
B
y = f (x )
B
O
X
O
X
Titik belok B dari y = f (x ) adalah titik dimana terjadi perubahan dari cekung ke bawah ke cekung ke atas atau sebaliknya dan f ' ' ( x B ) = 0 . Pada umumnya jika: f ' ' (a ) = f ( 3) (a ) = .... = f
( n −1)
(a ) = 0 dan f
(n)
(a ) ≠ 0 dimana n gasal, maka y = f (x )
mempunyai titik belok pada x = a . Max dan Min dengan f n(x):
Jika f ' (a ) = f ' ' (a) = ... = f
( n −1)
(a ) = 0 dan f
(n )
(a ) ≠ 0 dimana n genap, dan jika:
1). f
(n )
(a) < 0 , maka y = f (x ) max di x = a dan Ymax = f (a )
2). f
(n )
(a ) > 0 , maka y = f (x) min di x = a dan Ymin = f (a )
Asymtote.
Y
y = f (x )
X 12
y = f (x )
h
y=h y = f (x )
x=k
O
k
X
O
Asymtote tegak x = k :
Asymtote datar y = h :
jika lim+ {y = f ( x)} = ± ∞
jika lim − {y = f ( x )} = h
X
x → ±∞
x →k k−
y = ax + b d → 0 jika x → ∞
y = f (x ) Asymtote miring y = ax + b : jika y = f ( x) = ax + b + g ( x) dengan lim g ( x) = 0 atau lim g ( x ) = 0 . x → +∞
x →− ∞
Tentang simetri:
Simetri terhadap:
Jika:
Persamaan tidak berubah
1. Sumbu X
y diganti –y
Persamaan tidak berubah
12
2. Sumbu Y
x diganti –x
Persamaan tidak berubah
3. Titik O
x diganti –x & y diganti –y
Persamaan tidak berubah
4. Garis y = x
x diganti y & y diganti x
Persamaan tidak berubah
5. Garis y = -x
x diganti -y & y diganti –x
Persamaan tidak berubah
Nilai Extrim (max dan min) dari f(x):
Dicari dulu f ' ( x ) dan f ' ' ( x) . Syarat titik kritis (titik stasioner): f ' ( x ) = 0 . Misal ketemu titik kritis: x = a . Jika f ' ' (a ) < 0 ⇒ Ymax = f (a ) Jika f ' ' (a ) > 0 ⇒ Ymin = f (a ) Titik belok dicari dari f ' ' (a ) = 0 . Contoh:
Dapatkan titik-titik maximum dan minimum, titik belok dan sket grafik dari: f ( x) = 2 x 3 − 24 x + 5 . Penyelesaian: f ( x) = 2 x 3 − 24 x + 5 f ' ( x ) = 6 x 2 − 24 f ' ' ( x) = 12 x f ' ' ' ( x) = 12 Syarat extrim: f ' ( x ) = 0 → 6 x 2 − 24 = 0 → x 2 − 4 = 0 → ( x + 2)( x − 2) = 0 → x1 = −2, x 2 = 2 .
Untuk x1 = −2 ⇒ f ' ' (−2) = 12(−2) = −24 < 0 ⇒ Ymax 12
Ymax = f (−2) = 2(−2) 3 − 24(−2) + 5 = 37
Koordinat titik maximum di A(-2, 37). Untuk x 2 = 2 ⇒ f ' ' (2) = 12(2) = 24 > 0 ⇒ Ymin Ymin = f (2) = 2(2) 3 − 24(2) + 5 = −27 Koordinat titik minimum di B(2, -27). Koordinat titik belok didapat dari f ' ' ( x) = 0 ⇒ 12 x = 0 → x = 0 . y = f (0) = 2(0) − 24(0) + 5 = 5 Koordinat titik belok di C(0, 5). Grafik: 50
A
Y
40 30 20 10
C
0 -6
-4
-2
-10 0
X 2
4
6
-20 -30
B
-40
SOAL LATIHAN
1. Dapatkan y ' dari: a). x 2 − y + ln y = 0
b). e y + e 2 x − x 2 y 3 = 0
12
2e 2 x − 2 xy 3 b). y ' = 3x 2 y 2 − e y
2 xy Jawab: a). y ' = y −1 2. Dapatkan y ' dari: a). 3 x 3 − 2 y 2 + x + y = 0
b). 3 xy 2 + x 3 − 2 xy 4 = 0 d). ln (x 2 + y 2 ) − 2 x + 3 y = 0
c). sin ( x + y ) − y = 1
x = 1+ t 2 b). t y = t + e
x = 2t 3. Dapatkan y ' dari: a). 2 y = (t + 1) Jawab: a). y ' = t + 1
b). y ' =
1 + et 2t
x = 1+ t 2 b). t y = t + e
x = 2t 4. Dapatkan y ' dari: a). 2 y = (t + 1) 5. Dapatkan deret Taylor dari fungsi: a). f ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 5 x − 2 disekitar titik x = −4 2
3
Jawab: − 78 + 59( x + 4 ) − 14( x + 4 ) + ( x + 4 ) b). f ( x ) =
1 disekitar titik x = 1 x 2
3
Jawab: 1 − ( x − 1) + (x − 1) − ( x − 1) + .......... 6. Dapatkan deret Maclaurin dari: a). f ( x ) = e x cos x
b). f ( x ) = e sin x
c). f ( x) = sec x
7. Dengan aturan L’Hospital dapatkan nilai: a). lim
x→0
cos x − 1 cos 2 x − 1
Jawab: a).
1 4
b). lim
x→ 0
b). −
ln (cos x ) x2
1 2
1 4 − c). lim 2 x→2 x − 4 x−2 c). −
8. Dengan aturan L’Hospital dapatkan nilai: 12
1 4
d). lim (1 − x ) tg x →1
d).
2
π
πx 2
cos 2 x − cos x a). lim x→0 sin 2 x
5 x 2 + 3x − 6 b). lim 2 x →∞ 2 x − 5 x + 1
c). lim x
1 x
x →∞
5 d). lim 1 + x →∞ x
x
e). lim (cos x ) x→0
9. Dapatkan titik-titik maximum, minimum dan titik belok (kalau ada) dari: a). f ( x) =
1 3 x − 2 x 2 + 3x + 1 3
b). f ( x) = x 2 − 4 x + 8
c). y = − x 3 + 3x 2 + 9 x + 5
x2 − 3 b). y = x−2
1 10. Gambarkan kurva: a). y = 1 + x2
11. Dapatkan persamaan garis lurus melalui (3,4) yang dengan sumbu OX+ dan sumbu OY+ membentuk sebuah segetiga dengan luas minimum. Jawab: 4x +3y =24 12. Dapatkan ukuran sisi-sisi dari sebuah empat persegi panjang dengan luas maksimum yang dapat dibuat didalam sebuah lingkaran dengan jari-jari 25 cm.
12
1
x2
12
