Matematika Ekonomi
RELASI DAN FUNGSI Dalam matematika modern, Relasi dan Fungsi digunakan untuk menunjukkan hubungan setiap elemen Domain dengan setiap elemenRange yang membentuk pasangan bilangan berurut. Hubungan himpunan X = {x1, x2, x3, x4} dan Y = {y1, y2, y3, y4} akan merupakan Relasi dengan X sebagai Domain dan Y sebagai Range, yang ditulis sebagai R: X → Y. Jika setiap x X dapat dipetakan ke setiap y Y.
Hubungan himpunan X = {x1, x2, x3, x4} dan Y = {y1, y2, y3, y4} akan merupakan Fungsi dengan X sebagai Domain dan Y sebagai Range, yang ditulis sebagai F: X → Y. Jika dan hanya jika (jikka) satu x X dapat dipetakan ke satu y Y.
RELASI : y1 y2 y3 y4
x1 x2 x3 x4
XY R: X Y menghasilkan himpunan pasangan berurut : A = {(x1,y1), (x1,y3), (x2,y2), (x3,y1), (x3,y3), (x4,y2), (x4,y4)} FUNGSI :
x1 x2 x3 x4
X F: X Y menghasilkan himpunan pasangan berurut: A = {(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4)}
y1 y2 y3 y4
Y
Matematika Ekonomi
Dalam pembahasan matematika ekonomi, hubungan antara variabel-variabel ekonomi dinyatakan sebagai suatu fungsi, misalnya hubungan antara jumlah permintaan sejenis barang (Qd) dan harganya (P) → Qd = f(P), hubungan antara pengeluaran konsumsi (C) dan pendapatan (Y) → C = f(Y), hubungan total cost (TC) dan jumlah produksi (Q) → TC = f(Q).
FUNGSI LINEAR KONSTANTA DAN VARIABEL
Dalam matematika murni (pure mathematics) maupun matematika terapan (applied matematics) dikenal dua jenis besaran, yaitu konstanta dan variabel.
Konstanta adalah besaran yang nilainya tetap. Misalnya f(x) = 4 dengan grafiknya sebagai berikut : f(x)
4
f(x) = 4
0
x
Konstanta terdiri dari konstanta mutlak yang nilainya tidak bisa berubah sama sekali misalnya dalam f(x) = 4, dan konstanta parameter yang nilainya bisa berubah tergantung kondisi misalnya dalam f(x) = c
Variabel adalah besaran yang nilainya berubah-ubah, misalnya dalam f(x) = x + 4 dengan grafik sebagai berikut: f(x) f(x) = x + 4
4 0
x
Berdasarkan nilainya, variabel terdiri dari variabel diskrit dan varibel kontinu. Variabel diskrit (discrete variable) adalah variabel yang nilainya diperoleh dari hasil menghitung (counting) dan hanya dapat dinyatakan dengan bilangan bulat (integer). Variabel kontinu (continue variable) adalah variabel yang nilainya diperoleh dari hasil mengukur (measurement) dan dapat dinyatakan dengan bilangan bulat maupun bilangan desimal.
Matematika Ekonomi
Dalam persamaan garis lurus :(x/a) + (y/b) = 1 x dan y menunjukkan variabel, a dan b menunjukkan konstanta parameter, dan 1 menunjukkan konstanta mutlak.
Dalam persamaan luas suatu lingkaran : A = r2 menunjukkan konstanta mutlak, sedangkan A dan r menunjukkan variabel.
Dalam persamaan Total Revenue (TR) yang merupakan fungsi dari Quantity (Q) : TR = 150Q TR dan Q menunjukkan variabel, sedangkan 150 menunjukkan konstanta mutlak.
Dalam persamaan Total Cost (TC) yang merupakan fungsi dari biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variable cost) : TC = + Q TC dan Q menunjukkan variabel, sedangkan
dan
menunjukkan konstanta
parameter. GRAFIK FUNGSI LINEAR
Suatu fungsi linear dapat digambarkan grafiknya dalam kordinat kartesian yang memiliki sumbu horisontal sebagai sb-x dan sumbu vertikal sebagai sb-y.
Grafik fungsi linear akan berbentuk garis lurus yang memiliki kemiringan (slope) dan intersep. y
y = f(x)
0
x
Intersep menunjukkan titik potong grafik garis lurus dengan sumbu vertikal, sedangkan kemiringan (slope) garis lurus menunjukkan arah (direction) dari garis lurus tersebut.
Secara implisit, fungsi linear dinyatakan dengan persamaan Ax + By + C = 0 Secara eksplisit, fungsi linear dinyatakan dengan persamaan y = mx + c dimana m adalah koefisien arah yang menunjukkan kemiringan grafik fungsi tersebut dan c adalah konstanta yang menunjukkan intersepnya. y y = mx + c y2 y1 c
B A
C
Matematika Ekonomi
0 x1
x2
x
Karena AC = x2 - x1 dan BC = y2 - y1, maka kemiringan garis lurus tersebut merupakan tangent sudut CAB, yaitu :
m
y 2 y1 x 2 x1
Jika m positif (m > 0), maka kemiringan garis lurus menunjukkan arah menaik. Sebaliknya jika m negatif (m < 0), maka kemiringan garis lurus menunjukkan arah menurun. MENENTUKAN PERSAMAAN FUNGSI LINEAR
Persamaan garis yang melalui dua titik, misalkan A (x1, y1) dan B(y1, y2) ada pada suatu garis lurus, maka persamaan garis yang melalui dua titik tersebut adalah :
y y1
y 2 y1 ( x x1) y = m(x - x1) + y1 x 2 x1
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 4) dan (-5, 2) : Jika (x1, y1) = (3, 4) dan (x2, y2)= (-5, 2) maka persamaan garis tersebut adalah :
y y1
y 2 y1 24 ( x x1) y 4 ( x 3) x 2 x1 53
4y - 16 = x - 3 → x - 4y + 13 = 0
atau y = (1/4)x + 13
Persamaan garis melalui titik (a, 0) dan (0, b) adalah : Jika (x1, y1) = (0, b) dan (x2, y2)= (a, 0) maka persamaan garis tersebut adalah :
y y1
y 2 y1 0b ( x x1) y b ( x 0) x 2 x1 a0
(y/b) - 1 = - x/a → x/a) + (y/b) = 1
Persamaan garis yang melalui (0, 6) dan (4, 0) adalah (x/4) + (y/6) = 1 atau 3x + 2y 12 = 0
Persamaan garis melalui (x1, y1) dan memiliki kemiringan sebesar m adalah: y - y1 = m(x - x1)
Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 2) dan memiliki kemiringan m = -4. y - 2 = -4(x + 1) → 4x + y + 2 = 0 atau
y = -4x – 2
SOAL-SOAL LATIHAN : 1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui (0, 5) dan memiliki kemiringan m = 3, kemudian gambarkan grafiknya. 2. Tentukan persamaan garis lurus melalui (-1, 3) dan memiliki kemiringan m = -1, kemudian gambarkan grafiknya.
Matematika Ekonomi
3. Jika diketahui A(1, 5) dan B(3, 4), maka tentukan kemiringan dan persamaan garis AB. 4. Suatu perusahaan angkutan besi beton menentukan biaya angkut berdasarkan persamaan linier
C = a + bQ dimana C adalah total biaya angkut (Rp) dan Q adalah
jumlah barang terangkut (ton). Jika untuk mengangkut 8 ton diperlukan biaya Rp 820.000, - Sedangkan untuk 16 ton besi beton diperlukan biaya Rp 1.620.000,- maka tentukanlah persamaan biaya angkut besi beton tersebut. 5. Perusahaan sepatu X menyewa sebuah toko Rp 750.000,- per bulan ditambah 3% dari hasil penjualan per bulan di toko tersebut. Jika penjualan bulan September lalu sebesar Rp 50.000.000,- maka tentukan persamaan biaya sewa dan jumlah sewa yang harus dibayar perusahaan kepada pemilik toko untuk bulan September. 6. Diketahui harga obral sejenis barang elektronik adalah 60% dari harga asal ditambah biaya pemeliharaan sebesar Rp 50.000,- . Jika harga obral diketahui sebesar Rp 950.000,- maka tentukanlah persamaan harga obral barang tersebut dan harga asalnya.
HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS LURUS
Diketahui dua persamaan linier y = m1 + c1 dan y = m2 + c2. Secara grafik, hubungan kedua persamaan tersebut akan menunjukkan : 1. Berpotongan tegak lurus, jika m1. m2 = -1 2. Berpotongan sembarang, jika m1 m2 dan c1 c2 3. Sejajar, jika m1 = m2 dan c1 c2 4. Berimpit, jika m1 = m2 dan c1 = c2 JARAK DUA TITIK PADA BIDANG
Jika dua titik A(x1, y1) dan B (x2, y2) membentuk garis AB sebagai berikut : y
B
A 0
x
Maka jarak garis AB adalah AB ( x 2 x1)2 ( y 2 y1)2
Tentukanlah jarak garis AB, jika A(8, 5) dan B(3, -7). AB ( x 2 x1)2 ( y 2 y1)2 → AB (3 8)2 ( 7 5)2 → AB = 13 SOAL-SOAL LATIHAN : 1. Tentukan bentuk hubungan dua garis lurus dari :
Matematika Ekonomi
(a) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan -3x + y - 4 = 0 (b) Persamaan 2x + y + 4 = 0 dan 2x + 6y - 4 = 0 (c) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan 4x + 12y - 8 = 0 (d) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan x + 3y - 9 = 0 2. Tentukan persamaan garis melalui titik potong garis 2x + y - 3 = 0 dengan sb-x dan tegak lurus terhadap garis 3x + 4y + 6 = 0. 3. Tentukanlah koordinat titik potong dua persamaan berikut : (a) y = -x + 3 dan y = 3x – 5 (b) 3x - 4y + 6 = 0 dan x - 2y - 3 = 0 (c) 2x - 3y + 3 = 0 dan 4x - 6y + 12 = 0 4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong 2x + y - 3 = 0 dengan x - y = 0 dan sejajar dengan 3x + 4y + 6 = 0. 5. Panitia pertandingan bola basket antar universitas menetapkan harga karcis per orang untuk mahasiswa dan umum masing-masing adalah Rp 1.000 dan Rp 2.500. Pada pertandingan babak final terjual 860 lembar karcis dengan jumlah uang masuk Rp 1.340.000. Tentukanlah jumlah mahasiswa dan umum yang menonton pertandingan final tersebut. 6. Tentukan nilai konstanta a dalam persamaan garis y = ax + 2 agar sejajar dengan garis yang melewati (2, 4) dan (3, 1). 7. Umur seorang ayah pada dua tahun yang lalu adalah 6 kali umur anaknya. Setelah 18 tahun kemudian, umur ayah menjadi dua kali umur anaknya. Berapakah umur anak dan ayah tersebut sekarang. 8. Hitunglah jarak antara titik asal dengan garis y + x = 2 9. Jika A(x, 4) dan B(5,7), maka tentukan nilai x sehingga jarak AB = 5.
Matematika Ekonomi
