ZLATÝ ŘEZ MATEMATIKA A UMĚNÍ OD PYTHAGORA PO DA VINCIHO. Střední škola KNIH, o.p.s., Bzenecká 23 Brno

ZLATÝ ŘEZ „MATEMATIKA A UMĚNÍ OD PYTHAGORA PO DA VINCIHO“

Střední škola KNIH, o.p.s., Bzenecká 23 Brno

autor – Jan Hanuš vedoucí práce – Mgr. Ivan Hostaša rok – 2011/2012

„Potvrzuji, že jsem tuto maturitní práci zpracoval samostatně a že jsem v ní použil pouze tu literaturu a informační zdroje, které jsem uvedl v seznamu použitých informačních zdrojů. Beru na vědomí, že porušení této zásady povede k hodnocení mé maturitní práce stupněm 5-NEDOSTATEČNÝ.“

2011-12 Maturitní práce

Obsah ÚVOD .........................................................................................................................................2 KAPITOLA I. – ZLATÝ ŘEZ ...................................................................................................3 KAPITOLA II. - ANTIKA .........................................................................................................4 II.I. Zlaté číslo v době předantické..........................................................................................4 II.II. Řecká matematika ...........................................................................................................4 II.II.a Život Pythagory ze Samu ..........................................................................................4 II.II.b Pythagoras, pythagorejci a zlaté číslo .....................................................................5 II.II.c Život Platónův ..........................................................................................................7 II.II.d Platón a zlatý řez – platónská tělesa .........................................................................7 II.II.e Eukleidés....................................................................................................................8 II.II.f Marcus Vitruvius Pollio ............................................................................................9 II.II.g Nikomachos z Gerasy ................................................................................................9 KAPITOLA III. GOTIKA ........................................................................................................10 III.I. Leonardo Pisano Fibonacci ......................................................................................10 KAPITOLA IV. ZNOVUZROZENÍ ........................................................................................11 IV.I. Luca Bartolomeo de Pacioli ......................................................................................12 KAPITOLA V. LEONARDO DA VINCI ................................................................................12 V.I. Leonardo da Vinci ......................................................................................................12 V.II. Vitruviovský muž ........................................................................................................13 ZÁVĚR .....................................................................................................................................13 ANOTACE ...............................................................................................................................14 ZDROJE....................................................................................................................................14 POUŽITÁ LITERATURA...................................................................................................14 INTERNETOVÉ ZDROJE .................................................................................................15 ODKAZY NA POUŽITÉ ZDROJE.....................................................................................15 SEZNAM OBRAZOVÝCH PŘÍLOH ..................................................................................17 PŘÍLOHA .................................................................................................................................19

1


ÚVOD

Téma mojí práce je zlatý řez v umění. Knih na toto téma není v češtině mnoho. Za všechny jmenujme publikace „Zlatý řez: příběh fí, nejpodivuhodnějšího čísla na světě“ od Livia Maria a „Zlaté číslo, aneb, Jak Pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace“ od Matily Ghyky. Zato diplomových prací, které rozebírají zlatý řez z rozmanitých úhlů pohledu od estetického, matematického, filosofického až po pedagogický, je velmi mnoho. Celá literatura, týkající se zlatého řezu, ze které jsem vycházel je psána s ohledem na tematičnost a žádná práce, kterou jsem četl, není řazena podle chronologie. Tudíž je cílem tohoto textu poskytnout stručný náhled do problematiky historie zlatého řezu oknem chronologie, s důrazem na stručné životopisy mnou vybraných významných osobností a jejich přínosu k dané tématice. Dále si kladu za cíl zrekonstruovat „cestu“, kterou musely znalosti o zlatém řezu a matematice s ním spjaté urazit od starověku až k mistru Leonardu da Vinci. Práce bude rozdělena do pěti kapitol. V kapitole první bude představen základní výpočet zlatého řezu. V kapitole druhé, která se bude zabývat starověkou matematikou, bude nastíněn život a přínos Pythagory, Platóna, Eukleida, Vitruvia a Nikomacha. Třetí gotická kapitola, bude patřit životu a dílu Leonarda Pisánského. Čtvrtá potom matematikovi Lucovi Paciolovi. V páté kapitole bude stručně představen život Leonarda da Vinciho a jeho kresba Vitruviovský muž. Téma zlatý řez a umění jsem si vybral z důvodu mého dlouhodobějšího zájmu o tuto problematiku. Poprvé jsem se seznámil se zlatým řezem, stejně jako většina laické veřejnosti, z knihy Dana Browna Šifra mistra Leonarda, ve které hlavní postava knihy, sémiolog Robert Langdon, hledá souvislosti mezi poměry zlatého řezu a kompozicí v obrazech italského mistra Leonarda da Vinciho. Dále jsem se se zlatým řezem náhodně setkal ve dvou knihách amerických matematiků Charlese Seifea (Nula: životopis jedné nebezpečné myšlenky) a Keitha Devlina (Jazyk matematiky – Jak zviditelnit neviditelné), kde oba autoři vysvětlovali různé harmonické posloupnosti, se kterými se matematici a fyzici při studiu vesmíru, hmoty a živých organismů potkávají, právě zlatým řezem. K dalšímu studiu jsem záměrně zvolil knihu Matyly Costiesca Ghyky Zlaté číslo aneb jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. Kniha Zlaté číslo je nejobsáhlejším pojednáním napsaným v českém jazyce na téma zlatého řezu, a i když byla vydána ve Francii už roku 1931, je velmi nadčasová. Právě z této publikace a náhledů Ghyky na problematiku zlatého řezu nejvíc vycházím, snažím se je parafrázovat a zasadit do dobového kontextu. K tomu mi posloužily zejména knihy o dějinách filosofie od Zdeňka Kratochvíla (Filosofie mezi mýtem a vědou od Homéra po Descarta) a Joachima Storiga (Malé dějiny filosofie). Jako pramenná literatura, ze které chci zvolit citace, mi budou sloužit knihy Ghyky (Zlaté číslo aneb jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace) a Platóna (Tímaios).

2


KAPITOLA I. – ZLATÝ ŘEZ

Co je to zlatý řez? Zlatým řezem chápeme rozdělení úsečky na dvě odlišně dlouhé části tak, aby poměr délky celé úsečky k délce větší části byl stejný, jako poměr délky větší části úsečky k délce části menší. Představme si, že máme úsečku AC. Rozdělíme-li úsečku AC bodem B na dvě úsečky AB a BC tak, aby platila úměra AC/AB = AB/BC, tedy tak, že poměr celé úsečky k její větší části se rovná poměru její větší části k části menší, dostaneme tzv. zlatý poměr (obr. 1). Toto dokazuje snadný výpočet: |AB| = a; |AC| = x; tudíž |CB| = a – x; kde x > a – x, pro které platí a/x = x/(a – x) následně určíme délku úsečky AB 1/x = x/(1x) převedeme na kvadratickou rovnici x^2 + x – 1 = 0 a vypočítáme její kořeny

;

=

První kořen x1 se rovná číslu 0,618…; druhý vyjde v záporné hodnotě a nemůže proto představovat úsečku. Konečným dopočítáním zlatého řezu je poměr celkové délky úsečky a=1 s prvním kořenem x1=0,618

φ=

Výpočtem dostáváme hodnotu 1,618… [1] Právě toto iracionální1 číslo označil americký matematik Mark Barr řeckým písmenem φ.

1

Iracionální čísla jsou ta reálná čísla, která nelze zapsat ve tvaru zlomku, tedy ve tvaru podílu dvou celých čísel. V desetinném zápise by měla nekonečný desetinný rozvoj bez periody. Mezi iracionální čísla tak patří číslo π nebo například φ [2]

3


KAPITOLA II. - ANTIKA II.I. Zlaté číslo v době předantické

Umění a matematika jsou disciplíny staré jako lidstvo samo. Sice nevíme, co vedlo pravěkého člověka k vytváření jelenů a lovců na stěnách tmavých jeskyní, ale fascinují nás dodnes. Matematika takové štěstí nemá a její „prehistorie“ je v obecném povědomí lidí zapsána podstatně méně. Bohužel zcela neprávem. Vždyť právě matematika ve spojení s astronomií stojí na počátku soustavné vědecké činnosti a snahy o poznání vesmíru. Periodické pohyby Slunce a Měsíce, doba za kterou Země „oběhne“ kolem Slunce, cyklické pohyby planet, to vše ovlivňuje život na Zemi. Pravěký člověk si velice dobře uvědomoval svoji závislost na ročních obdobích, kterými se řídí stěhování zvěře. Pro starověkého zemědělce byla znalost zasetí vhodné plodiny ve vhodnou dobu otázkou života a smrti. Ve všech starověkých civilizacích – Mezopotámii, Egyptě, Indii i Číně stála astronomie a náboženství v počátcích jejich pozdější vědy. Díky své cykličnosti se vesmír učencům jevil jako kosmos – řád. Pochopení tohoto řádu vedlo k tvorbám prvních kalendářů, které byly buď solární, anebo lunární.[3] Ovšem astronomie a její jazyk, primitivní matematika, neměla význam jen při náboženských obřadech, ale byla zacílena i na mnohem praktičtější věc – a to na stavitelství. Právě v posvátných stavbách začali tehdejší architekti záměrně používat pevně stanovené poměry. Astronomická observatoř z doby neolitu Stonehenge (3100-2200 př.n.l.) a Velká pyramida v Gíze (2570 př.n.l.). To jsou příklady velkolepých staveb, založených na číselných vztazích a poměrech, které dost možná obsahují zlatý řez2. Jedna z nejstarších dochovaných učebnic matematiky, tzv. Londýnský nebo Rhindův papyrus (obr. 1), obsahuje 87 matematických úloh a pochází z roku 1850 př.n.l. [4] Rhindův papyrus je hmatatelný důkaz o egyptských matematických znalostech, které byly předány antické matematice. Chmelíková k tomu poznamenává: „ Rhindův papyrus (…) říká: „V pyramidách je utajen tajemný kvocient nazvaný seqt“. Někteří historikové se domnívají, že tento kvocient je právě zlaté číslo (…).3

II.II. Řecká matematika V této kapitole se budeme zabývat antickou matematikou a přínosem jednotlivých filosofů-matematiků k našemu tématu zlatého řezu. U životopisů Pythagora a Platóna jsou zdůrazněny jejich cesty po Egyptě, které tvoří časovou spojnici mezi řeckými matematickými znalostmi a egyptskými, ze kterých ty řecké vycházejí. II.II.a Život Pythagory ze Samu Pythagoras se narodil na ostrově Samu mezi lety 580-5704. Podle Diogena Laertia5 i dalších životopisců hodně cestoval – navštívil egyptská města Memfis, Diospolis 2

Měření a výpočty tuto tezi ani nepotvrdily, ani nevyvrátily. CHMELÍKOVÁ, Vlasta. Zlatý řez. Praha: UK Matematicko-fyzikální fakulta , 2006. s.6 4 Autoři zabývající se Pythagorovým životem jsou ohledně datace narození i úmrtí velmi velkorysí. Hodnoty se pohybují od roku 592 př.n.l. pro narození až po rok 480 př.n.l. pro úmrtí. Nejpravděpodobněji se jeví Pythagorovo narození kolem roku 575 př.n.l. a úmrtí kolem roku 500 př.n.l. 3

4


i Heliospolis, kde měl být zasvěcen do tajů geometrie. Údajně navštívil Foiníkii a Chaldejskou říši, kde byl zajat a odveden až do Babylonu. Tyto cesty nebyly potvrzeny ani vyvráceny. Dle Iamblicha6 se v šestapadesáti letech vrátil na rodný Samos a založil tam filosofickou školu. Odtud byl tyranem Polykratem donucen odejít do jižní Itálie, kde měla řecká města své kolonie souhrnně nazvané Magna Graecia – Veliké Řecko. Zde ve městě Krotón kolem roku 530 př.n.l. znovuobnovil svoji školu. [5] Ta měla velmi přísná pravidla. Pythagorejci museli žít podle zásad skromnosti, nesměli zabít neútočné zvíře, museli dodržovat mravní čistotu, žili ze společného majetku, každý večer museli zpytovat svědomí a páteří pythagorejské řehole byla přísaha mlčenlivosti. Pythagorejská sekta byla rozdělena do několika stupňů podle míry zasvěcení. Nejvýš stál „mistr“, pod ním „matematici“ (ti kteří vědí), dále „nomothéti“ (řídili společenskou a společenskou činnost bratrstva) a poslední „politici“ (kteří nedosáhli dokonalé čistoty). Pythagoras byl orientován silně pro-aristokraticky, přesto si elitářské bratrstvo brzy získalo vliv v Krotónu, Metapontu i dalších městech a pythagorejci ovládali značnou část Velikého Řecka. Jejich hegemonie trvala až do roku 450 př.n.l., kdy jejich dům v Metapontu obklíčil dav a při následném požáru většina pythagorejců – až na pár „politiků“ – uhořela. [6] Samotnému Pythagorovi jsou připisována dvě díla, ve kterých mělo být ukryto tajemství vesmíru. Byla to báseň „Svatá řeč“ (Hieros logos), a „Zlaté verše“ (Carmen aureum). Obojí je ale patrně podvrh a díla napsali Pythagorovi žáci až po jeho smrti. [7]

II.II.b Pythagoras, pythagorejci a zlaté číslo Pythagoras hledal tajemství stavby světa a nalezl jej v čísle. Číslo pojímal jako pralátku7 a praprincip. Každé z čísel od jedné do desíti má podle pythagorejců vlastní význam. Číslo jedna je tvůrce ostatních čísel a bylo přiřazováno k rozumu. Číslo dva bylo prvním ženským číslem a bylo přiřazeno odlišným názorům a sváru. Číslo tři bylo první mužské číslo a bylo přiřazeno harmonii, spojuje totiž čísla (1 a 2). Číslo čtyři bylo přiřazeno spravedlnosti a řádu. Ovšem nejdokonalejším číslem byla desítka – symbol kosmu. Pythagorejci velmi specificky spojili čísla deset a čtyři, když z nich vytvořili tzv. tetraktys (viz. níže)

Pythagorejští filosofové rozlišovali dva významy pojmu ČÍSLO 1. buď šlo o „omezené množství“ (konečná spočetná množina)

5

Diogenes Laertios (3. stol. n.l.) autor desetidílného pojednání „O životě a učení slavných filosofů“ (Βίοι κα ν φιλοσοφί ε δοκιµησάντων). 6 Iamblichos z Chalkidy (244-325 n.l.) 7 Na rozdíl od svých filosofických současníků pocházejících z města Mílet.

5

γν µαι τ ν


2. nebo „sloučení monád“ (tedy jednotek) Právě druhý význam – monádní – dal vzniknout tzv. figurálním číslům – rovinným (trojúhelníkovým, čtvercovým, pětiúhelníkovým atd. (obr. 3)) a prostorovým (jehlanovým, krychlovým atd.) Trojúhelníková čísla jsou 1; 3; 6; 10; 15 atd. Čtvercová čísla 1; 4; 9; 16; 25 atd. Pětiúhelníková čísla 1; 5; 12; 22; 35 atd. Šestiúhelníková čísla 1; 6; 15; 28; 45; 66.

TETRAKTYS Tetraktys – můžeme přeložit jako čtvernost – je posloupnost prvních čtyř přirozených čísel 1,2,3,4. Pro pythagorejce to bylo nejposvátnější figurální číslo. Nahlíželo se na ni nejen jako na posloupnost, ale také jako na množinu – dekádu co vznikla ze čtyřkové formace: 1 1 1 1

1 1

1

1 1

1

Tetraktys-dekáda měla nejen vlastnosti dekády (a symbolizovala tak kosmos/makrokosmos), dynamiku růstu trojúhelníkových čísel, z nichž lze vygenerovat všechna rovinná i prostorová figurální čísla, ale i vlastnost harmonické posloupnosti 1,2,3,4. Máme-li dvě stejné struny v poměru čtyři ku dvěma – dostaneme oktávu, jsou-li v poměru tři ku dvěma – dostaneme kvartu. Z toho vyplývá, že tetraktys je množinou čtyř čísel, jejichž vzájemné poměry představují základní akordy. Podle pythagorejců je číslo deset nejdokonalejším ze všech možných čísel. Symbolem makrokosmu. Polovina dekády, pentáda byla vyjádřením krásného lidského těla – mikrokosmu. Emblémem mikrokosmu se stal na dva tisíce let pentagram. [8] PENTAGRAM Symbol mikrokosmu, zdraví a plodnosti si za svůj tajný poznávací znak zvolila pythagorejská společnost. Pentagram je zajímavý tím, že každá jeho menší úsečka je v poměru k větší ve zlatém řezu. Může rovněž tvořit nekonečnou rekurentní posloupnost, když budeme do jeho středu vepisovat další a další pentagramy. [9] Spolu se čtvercem8 může být pětiúhelník9 jedním z geometrických obrazců, na kterém pythagorejci objevili princip nesouměřitelnosti. To v nich vyvolalo zděšení a dalo značnou ránu představám o vesmíru, který lze beze zbytku vyjádřit poměry celých čísel. [10] Pro pythagorejskou společnost byla přísaha mlčenlivosti po objevení iracionálních čísel důležitější než dřív. TŘI ZRÁDCI Bylo jen otázkou času, kdy se nějaká část nauky o číslech, hlavně o iracionální podstatě některých z nich, dostane mimo kruh zasvěcenců. Víme, že za prvního zrádce považovali pythagorejci Filolaa (470-399 př.n.l.), kvůli tomu, že porušil přísahu a ve svém 8

Pythagorejec Hippasus dokázal, že poměr strany čtverce s jeho úhlopříčkou jsou navzájem nesouměřitelné tedy, že odmocninu ze dvou nelze zapsat zlomkem dvou celých čísel. 9 Jak bylo řečeno u pentagramu, každá jeho menší úsečka je v poměru k větší ve zlatém řezu – taktéž iracionální číslo.

6


spise O přírodě (Peri fyseos) vyzradil, nám blíže neurčená matematická tajemství. Podle Matily dokonce neodolal ohromné sumě a prodal syrakuskému tyranovi tři knihy s tajným učením. S těmito knihami se později měl seznámit Platón při svém pobytu u syrakuského dvora[11]. Dalšími dvěma zrádci byli Hippokrates z Chiu a Hippasos z Metapontu. Stejně jako předtím Filolaos, byli z bratrstva okamžitě vyloučeni. Hippokrates z Chiu za zveřejnění tajemství týkajícího se nesouměřitelnosti úseček. Hippasos z Metapontu kvůli prozrazení metody, jak s pomocí zlatého řezu sestrojit pravidelný pětiúhelník, je-li dána velikost jeho strany[12]. Pozitivní přínos Pythagora a jeho žáků v oblasti antické matematiky je nevyčíslitelný. Myšlenky bratrstva z jižní Itálie odstartovaly běh evropské vědecké tradice. Běh, jehož cílem je vysvětlit svět na základě přírodních zákonů interpretovaných jazykem matematiky. II.II.c Život Platónův Platón se narodil roku 427 př. n. l. do bohaté a vlivné athénské rodiny. Matka pocházela z rodiny slavného řeckého zákonodárce Solóna, otec odvozoval svůj původ od krále Kodra. V mládí se dostalo Platónovi vynikajícího vzdělání u nejlepších sofistů a záhy se začal připravovat na dráhu politika. Psal také dramata a básně. Ve svých dvaceti letech potkal Platon Sokrata a učil se u něj osm let filosofii. Demokracii si zošklivil, když mu lidový sněm odsoudil jeho učitele k trestu smrti a po zbytek života ji nazýval vládou lůzy. Podobně jako Pythagoras měl výrazné aristokratické a elitářské názory. Po Sokratově popravě podnikl několik studijních cest. Nejprve do Egypta, kde studoval matematiku u matematika Theodóra, dále do Itálie, kde se seznámil s pythagorejským matematikem Archytou z Tarentu. Po návratu do Athén začal učit filosofii ve formě dialogů, kterou převzal od Sókrata. Tak vznikla škola Akademie, pojmenovaná podle héroa Akadéma. V Akademii také Platón roku 347 př.n.l. umírá ve věku 80 let [13].

II.II.d Platón a zlatý řez – platónská tělesa V úvodu do Platónovy numerologické mystiky Ghyka tvrdí, že „znalost bez které by lidské pokolení nebylo moudré, je podle Platóna znalost čísla. Nauka o číslech a vztazích mezi nimi přináší moudrost v nejpravdivějším slova smyslu. Platón zde jasně vychází ze zásad pythagoreismu“ [14]. Z četných Platónových dialogů nás budou zajímat především ty, které se týkají teorie matematiky – jsou to Tímaios a Theatétos. Právě v dialogu Tímaios se Platón pokouší podat vlastní kosmologickou teorii založenou na skloubení teorie živlů a na tzv. platónských tělesech. Zatímco v rovině existuje nekonečný počet pravidelných konvexních mnohoúhelníků, v trojrozměrném prostoru existuje pouze pět pravidelných konvexních těles. Jsou to čtyřstěn (tetraedr), krychle (hexaedr), osmistěn (oktaedr), dvanáctistěn (dodekaedr) a dvacetistěn (ikosaedr). Čtyřstěnu, Platón přidělil element ohně. Krychle, patrně kvůli její stabilitě, dostala element země. Osmistěn Platón přiřadil k vzduchu, dvacetistěn představoval vodu a dvanáctistěn byl určen jako základní stavební kámen celého kosmu [15].

7


Sám Platón se ke svým tělesům vyjadřuje takto: „Tolik budiž řečeno o jejich vzájemném vznikání; následuje promluviti o tom, jaký je každý jednotlivý z těch druhů a ze střetnutí kterých čísel vznikl. Začneme od prvního druhu a nejjednodušeji složeného, jehož prvkem jest trojúhelník, mající přeponu dvakrát delší kratší odvěsny; když se dva takové položí přeponou k sobě a to se ztrojnásobí tak, že přepony a krátké odvěsny směřují k témuž bodu jako ke středu, vznikne z těchto šesti trojúhelníků jeden trojúhelník rovnostranný. Když se pak složí čtyři rovnostranné trojúhelníky tak, aby k sobě přišly vždy tři rovinné úhly, tvoří tyto jeden roh, který v pořadí následuje za nejtupějším z úhlů rovinných; když vzniknou takové čtyři, jest složen první tvar prostorový, jenž, rozděluje celou opsanou kouli na rovné a podobné části. Druhý tvar jest z týchž trojúhelníků, složených v osm trojúhelníků rovnostranných, tvořících jeden roh ze čtyř úhlů rovinných; takových tu vzniká šest a takto jest vytvořeno zase druhé těleso. Třetí se skládá ze sloučených dvakrát šedesáti oněch prvků, má dvanáct rohů, z nichž každý jest objímán od pěti rovinných trojúhelníků rovnostranných, a dvacet stěn z rovnostranných trojúhelníků. A jeden z prvků byl se svou úlohou hotov, když byl toto vytvořil, ale trojúhelník rovnoramenný dal vznik podstatě čtvrtého, jsa po čtyřech skládán tak, aby pravé úhly se spojovaly uprostřed, čímž vytvořil jeden rovnostranný čtyřúhelník; složením šesti takových vzniklo osm rohů, z nichž každý se skládá ze tří pravých úhlů rovinných; tvar tělesa takto složeného jest krychle, mající za stěny šest rovinných čtyřúhelníků rovnostranných. Poněvadž byl ještě jeden, pátý, pravidelný mnohostěn, užil ho bůh, propracovávaje nákres všehomíra.“10 Platónská tělesa jsou zajímavá tím, že je lze všechny opsat koulí. Se zlatým řezem souvisejí zejména dvanáctistěn a dvacetistěn. Dvanáctistěn má stěny složené z pravidelných pětiúhelníků. Dvacetistěn z trojúhelníků, které ovšem tvoří rovněž pětiúhelníky. Platónův význam spočívá v tom, že se pokusil vysvětlit běh kosmu na základě číselné pravidelnosti svých těles. Je zajímavé, že teorie živlů přežívala v evropském myšlení až do publikování Mendělejevovy periodické soustavy prvků. Tedy asi 2200 let.

II.II.e Eukleidés

Matematik Eukleidés žil na přelomu 3 stol př.n.l. Svoje znalosti matematiky patrně získal na Platónově Akademii. Největších úspěchů však dosáhl v Alexandrijském Músaiu, kam ho povolal král Ptolemaios I. Zde napsal svoje nejslavnější dílo Základy (řecky Stoicheia), které byly shrnutím řeckých znalostí matematiky[16]. Mimo jiné v nich uvedl úlohu o zlatém řezu: „Rozdělte danou úsečku na dvě nestejné části tak, aby čtverec sestrojený nad větší částí měl stejný obsah jako pravoúhelník, jehož jedna strana má délku menší části a druhá délku úsečky“11. Eukleidés je dalším z řady význačných učenců starověku, jehož dílo bylo uznáváno až do moderní doby. Často se uvádí téměř neuvěřitelný fakt, že se z jeho Základů učili studenti ještě na počátku devatenáctého století.

10 11

PLATÓN. Tímaios: Kritias. 3. vyd. dotisk. Praha: Oikoymenh 2008.s.63. ISBN 978-80-7298-161-8 CHMELÍKOVÁ, Vlasta. Zlatý řez. Praha: UK Matematicko-fyzikální fakulta, 2006. s. 6

8


II.II.f Marcus Vitruvius Pollio

Architekt Marcus Vitruvius Pollio žil v průběhu prvního století našeho letopočtu za vlády Caesara a Augusta. O jeho mladém životě víme jen velmi málo, snad jen to, že sloužil u římského vojska ve funkci „velitele technického sboru“. V první čtvrtině prvního století n.l. sepsal dílo, kterým se architekti inspirovali po další staletí. Vitruvius mu dal název Architectura (Stavitelství) a věnoval ho císaři Augustovi. Jako Eukleidés shrnul poznatky z matematiky, tak Vitruvius, aniž by přidal něco nového, sebral znalosti o tehdejších stavitelských postupech. Spis rozčlenil do deseti knih, ve kterých popsal architektovy dovednosti od plánování měst, staveb chrámu, sloupů, veřejných budov, divadel, lázní, až po akvadukty, stavbu hodin či válečných strojů [17]. Ghyka k Vitruviovi poznamenává: „Stavitelství,“ píše Vitruvius, „sestává z ideového usměrnění (ordinatio), jež se řecky jmenuje taxis, z rozvržení (dispositio), jemuž Řekové říkají diathesis, z eurytmie, ze symetrie, z ladnosti (decor) a z hospodářské rozvahy (distributio), jež se řecky jmenuje Oikonomia. Ideové usměrnění (ordinatio) je přiměřená vyrovnanost jednotlivých článků díla o sobě a uspořádání celkové proporcionálnosti k dosažení symetrie. Spočívá na rozměrovosti díla (quantitas), která se řecky jmenuje posotes (číslo). Tato rozměrovost je výsledek poměrové míry (modulus), převzaté z části díla samého a z částí jednotlivých článků, který vyhovuje souladnému dojmu celého díla. (…) Eurythmia je ladný vzhled díla a příjemný dojem z jeho členění. Dosahuje se jí, jestliže články díla mají výšku přiměřenou šířce a šířku délce a odpovídají-li vůbec všechny své symmetrii. Symmetria je soulad vyvěrající z článků díla samého navzájem a správný poměr mezi jednotlivými částmi a vzhledem útvaru celkového. Tak jako u lidského těla z předloktí, nohy, dlaně, prstu a z ostatních jeho částí vyplývá symetrická (úměrná) povaha eurytmie (celkového souladu), tak je tomu i u výtvorů stavebních.“12 Z uvedeného citátu si můžeme udělat představu o tom, jak moc Vitruvia ovlivnila řecká matematika. Proporce lidského těla dává do souvztažnosti s proporcemi architektonického díla. Vitruvius se tak stává myšlenkovým pokračovatelem pythagorejských a platónských teorií proporčnosti a harmonie. II.II.g Nikomachos z Gerasy Nikomachos z Gerasy (60-120), zvaný „Pythagorovec“, byl matematik a novopythagorejský filosof. Ze sedmi jeho děl, která máme bezpečně doložena, se v úplnosti zachovala pouze dvě: Rukověť harmonie ( γχειρίδιον ρµονικ ς) a Úvod do aritmetiky ( ριθµητικ ε σαγωγή). Ostatní díla známe pouze z citací knih jiných autorů, jako 12

GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 43. ISBN 978-80-7203-926-5.

9


například Nikomachovu Aritmetickou teologii (Theologumena Arithmeticae) známe díky Soustavě pythagorovských názorů od novoplatonika Iamblicha [18]. Nikomachos stejně jako Platon rozlišuje čísla na „božská čísla“ a „vědecká čísla“. V Aritmetické teologii pojednal o božských číslech, v Úvodu do aritmetiky o číslech vědeckých. Právě od Nikomacha máme definici vědeckého čísla, které lze z pythagorejského pohledu vnímat jako a) omezené množství (množina) či za b) sloučení monád (monáda = jednotka) . Právě výklad b) kdy body tvoří obrazce a my tak můžeme vnímat číslo jak z algebraického, tak geometrického hlediska dal vzniknout tzv. „figurálním číslům“ (viz. výše) [19]. Postava Nikomacha z Gerasy je pro nás velmi důležitá tím, že se díky němu zachovala pythagorejská teorie čísel. V následujících stoletích, kdy se začala Římská říše hroutit pod nájezdy barbarů, ustoupilo vznešené umění matematiky, stavitelství i sochařství do stínu dějin. Spisy antických autorů se přesunuly do klášterů… KAPITOLA III. GOTIKA

S pádem říše Římské následoval prudký pokles vědy a umění. Práce řeckých a alexandrijských matematiků či Vitruvia, by jen těžko přečkaly časy válek, nebýt jejich uschování v benediktinských klášterech. Sankt Gallen či Monte Cassino se tak do doby renesance staly pokladnicí, uchovávající vědění evropské civilizace. Benediktinští mniši si předávali pythagorejské znalosti a geometrii platónských těles. Martianus Capella (5. stol.), Boethius z Dácie (6. stol.), Cassiodorus (6. stol.), Isidor ze Sevilly (7. stol.), papež Sylvestr II. (10. stol.) a Johannes Campanus z Novary (13. stol.). [20] To jsou osobnosti, které tvoří spojovník mezi antikou a renesancí. Pro zlatý řez by gotika byla opravdovou dobou temna, nebýt jednoho muže – vynikajícího matematika Leonarda Pisánského.

III.I. Leonardo Pisano Fibonacci

Leonardo Pisano (známější pod svojí přezdívkou Fibonacci) se narodil pravděpodobně roku 1170 v italské republice Pisa. Vzdělání získal v severní Africe, protože jeho otec zastával diplomatický úřad v Bugii (dnešní severovýchodní Alžírsko). Se svým otcem hodně cestoval a v navštívených zemích studoval a porovnával místní matematické systémy. Seznámil se s matematikou Egypta, Sýrie, Řecka, Sicílie a především s uměním indických devíti symbolů. Kolem roku 1200 se Fibonacci vrací do Pisy, kde píše několik důležitých matematických prací. Roku 1202 vychází jeho kniha „Liber Abbaci“. V té Fibonacci popisuje indicko-arabský dekadický systém a požívání arabských číslic. Třetí část „Liber Abbaci“ je věnována matematickým posloupnostem, později nazvaných Fibonacciho čísla. [21] Problém lze ilustrovat na příkladu jedné z úloh:

10


Pokud budeme mít pár králíků v uzavřeném výběhu. Kolik párů králíků tento pár vyprodukuje za rok, budeme-li předpokládat, že každý měsíc porodí nový pár, který je od druhého měsíce produktivní? Výsledná posloupnost je 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 atd. Fibonacciho čísla souvisejí se zlatým řezem tím, že poměry dvou po sobě následujících čísel se zvyšující hodnotou přibližují číslu φ. [22] Fibonacciho posloupnost je tak prvním negeometrickým, vyjádřením zlatého řezu. Další dílo Leonarda Pisánského „Practica geometriae“, které dokončil v roce 1223, se zabývá geometrickými problémy a vychází z Eukleidových „Základů“. Zde jsou uvedeny výpočty stran pětiúhelníku a desetiúhelníku pomocí opsaných a vepsaných kružnic. Dále výpočty objemů dvanáctistěnu a dvacetistěnu. Následuje práce „Liber quadratorum“ z roku 1225, kde se Fibonacci pojednává a problému druhých mocnin. Bohužel se nedochovala „Kniha X“, ve které psal Fibonacci o iracionálních číslech. [23] Leonardo Pisano Fibonacci umírá roku 1250 ve své rodné Pise. Jeho přínos pro matematiku je srovnatelný s Eukleidem, protože byl první, kdo začal popularizovat arabské číslice. Číslice, které dodnes stojí na konci historické řady: figurální čísla, římské číslice, arabská čísla. Bohužel byl jeho význam, stejně jako většiny géniů v historii, doceněn až dlouho po jeho smrti. KAPITOLA IV. ZNOVUZROZENÍ Znovuzrození antických ideálů započalo během konce čtrnáctého století v toskánské metropoli jménem Florencie. Zde pod mecenátem uměnímilovných Medicejů vznikaly velkolepé obrazy, nádherně iluminované kodexy, mramorová sousoší a prostorné paláce. Celou jednu kapitolu této práce by mohly zaplnit jména umělců pocházejících z Florencie. Renesance se ale neprojevovala pouze dech beroucími bronzovými vraty či kupolemi chrámů, které téměř popírají zemskou přitažlivost. Roku 1459 byla ve Florencii založena Platónská akademie, která měla navazovat na tu původní, zaniklou roku 529. Filosof Paul Oskar Kristeller ve svém díle o italských renesančních filosofech13, téměř u každého myslitele zdůrazňuje jeho ovlivněnost Pythagorem, Platónem a dalšími, o nichž jsme hovořili výše. Francesco Petrarca, Lorenzo Valla, Marcilio Ficino, Pico della Mirandola či Giordano Bruno. Ti všichni se pokoušeli více či méně napodobit své velké antické vzory. V této kapitole se budeme věnovat životu a dílu matematika jménem Luca Pacioli.

13

KRISTELLER, Paul Oscar. Osm filosofů italské renesance. 1. Vyd. Praha: Vyšehrad 2007. 208 s. ISBN 978-80-7021832-7

11


IV.I. Luca Bartolomeo de Pacioli

Luca Bartolomeo de Pacioli se narodil v roce 1445 v Borgo San Sepulcro. Svoje vzdělání získal v malířské dílně u mistra Piera della Francescy, který při malování prosazoval znalost geometrie a matematiky. Od roku 1496 působil jako profesor matematiky v Miláně u dvora Lodovica Sforzi. Zde napsal svoji nejznámější práci „De divina proportine“ (O božské proporci). Kniha je třídílná a v prvním svazku Pacioli vysvětluje, proč by měl být zlatý řez označován jako božská proporce. Argumentuje neměnností zlatého řezu, který je srovnatelný s neměnností Boží. Také odkazuje na Platóna, podle kterého Bůh stvořil vesmír dvanáctistěnem, jenž nelze bez znalosti zlatého řezu sestrojit. Ve druhém svazku knihy Pacioli rozebírá souvislosti mezi architekturou a proporcemi lidského těla. Poslední třetí svazek knihy je věnován platónským tělesům. Kniha „De divina proportine“, ilustrovaná Leonardem da Vinci, zpřístupnila zlatý řez i umělcům, kteří neměli vzdělání v matematice a geometrii. [24] Luca Pacioli zemřel roku 1516. Jeho „De divina proportine“ je prvním dílem systematicky pojednávajícím o zlatém řezu. KAPITOLA V. LEONARDO DA VINCI

V.I. Leonardo da Vinci Leonardo da Vinci se narodil roku 1452 ve vesnici Vinci. Tento všestranně nadaný génius je vzorem pro renesanční osobnost. Malířskému a sochařskému umění se učil u mistra Verrochia ve Florencii. Roku 1482 odešel do Milána, kde vytvořil fresku Poslední večeře. Mezi jeho další nesmrtelná díla patří Mona Lisa, Dáma s hranostajem či Klanění tří králů. Leonardo se zabýval studiem aerodynamiky, fyziky, anatomie, pythagorejské matematiky, statiky a mnoha dalšími vědními obory. Z jeho studií se dochovaly nádherně ilustrované deníky, uchovávající jeho ohromné znalosti. Leonardo da Vinci je fascinující osobnost, ale nás bude zajímat pouze ve spojení se zlatým řezem. Leonardovým úmrtím roku 1517 ztratil svět jednoho z největších géniů. [25] Většina autorů píšících o Leonardovi v souvislosti se zlatým řezem popisují jeho obrazy Mona Lisa, sv. Jeroným či fresku Poslední večeře, ale v následující kapitole se nebudeme zabývat ani freskou ani malbou, nýbrž jednou z nejkrásnějších kreseb co se v historii dochovaly, Vitruviovským mužem.

12


V.II. Vitruviovský muž

Vitruviovský muž je nakreslen perem a inkoustem na velkém archu papíru (33,75 x 23,75 cm), a dnes je uložen ve sbírkách benátské Akademie. Leonardo da Vinci v této kresbě využil svoje zkušenosti z mnohaletých anatomických studií a také znalost teorie proporcí Marca Vitruvia Pollia. Sám Leonardo na okraje papíru udělal několik poznámek: „Architekt Vitruvius ve své práci o architektuře říká, že míry člověka jsou Přírodou rozloženy takto: čtyři palce je jedna dlaň a čtyři dlaně je jedna stopa; šest dlaní je jeden cubit, což je loket (…) a čtyři lokty tvoří výšku člověka…“14 Dále pak tyto poměry citované z Vitruviovi třetí knihy o architektuře rozvádí do nejmenších podrobností. Kresba ukazuje jednoho muže, stojícího ve dvou různých polohách. První muž stojí snožmo s rukama horizontálně rozpaženýma a má představovat myšlenku, že šíře jeho rozepjatých paží je stejná jako jeho výška. Z tohoto důvodu je postava vepsána do čtverce. Druhý muž je rozkročený s lehce vzpaženýma rukama a má představovat rovněž Vitruviovo pravidlo, že po mírném rozkročení a vzpažení se nachází pupek v přesném středu těla. Z tohoto důvodu je muž vepsán do kružnice, jejímž středem je pupek. [26] Kresba Vitruviovský muž (obr. 4) je geniálním vyjádřením teorií o proporčnosti lidského těla. Je to poslední postava, která symbolicky uzavírá tuto maturitní práci.

ZÁVĚR

Cílem mojí maturitní práce Zlatý řez „matematika a umění od Pythagora po da Vinciho“ bylo v pěti kapitolách přiblížit mnou vybrané nejvýznamnější osobnosti spjaté se zlatým řezem a pokusit se chronologicky vyložit cestu v čase, kterou muselo vědění o zlatém řezu podstoupit, aby se dostalo od starověku až k mistru Leonardu da Vinci. Myslím, že tohoto cíle bylo dosaženo. Stručně jsem představil Rhindův papyrus, Pythagora a jeho žáky, Platóna, Eukleida, Marca Vitruvia Pollia, Nikomacha z Gerasy, Fibonacciho, Pacioliho a na konec Leonarda da Vinciho. Pokusil jsem se objektivně zhodnotit přínos každé postavy pro problematiku zlatého řezu. Tato práce pro mě znamená neocenitelnou zkušenost. I když mnou byla ze začátku pojímána pouze jako nezbytná formalita, v průběhu její tvorby se pro mě její psaní a vylepšování stalo zábavnou a poučnou činností. Aby měla moje práce „snesitelný“ rozsah, musel jsem některé věci razantně redukovat či úplně vynechat. Nebylo to lehké rozhodování, ale věřím že bylo správné. 14

NICHOLL, Charles. Leonardo da Vinci – vzlety mysli. 1. vyd. Brno: BB art 2006. s. 279 ISBN 80-7341-955-6.

13


ANOTACE

Tato práce se zabývá tématikou zlatého řezu a je inspirovaná českým překladem knihy Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts, od Matyly Ghyky. Jejím záměrem bylo chronologicky seřadit nejvýznamnější osobnosti, které se zlatým řezem souvisejí. Podtitul práce - „matematika a umění od Pythagora po da Vinciho“ ukazuje na časové rozpětí, které sahá od starověku po vrcholnou renesanci. This thesis deals with the topic of the Golden Ratio and is inspired by the Czech translation of the book Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts, by Matyla Ghyka. It's purpose is to put the most influential scholars who dealt with the Golden Ration in chronological order. The wide timeline from antique to The High Renaissance is expressed by the second of the title of this final work which is “Math and art from Pythagoras to da Vinci”.

ZDROJE

POUŽITÁ LITERATURA GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. 415 s. ISBN 978-80-7203-926-5. GRAESER, Andreas. Řecká filosofie klasického období. 1. vyd. Praha: Oikoymenh 2000. 445 s. ISBN 80-7298-019-X. KRATOCHVÍL, Zdeněk. Filosofie mezi mýtem a vědou od Homéra po Descarta. 1. vyd. Praha: Academia, 2009. 471 s. ISBN 978-80-200-1789-5. KRISTELLER, Paul Oscar. Osm filosofů italské renesance. 1. Vyd. Praha: Vyšehrad 2007. 208 s. ISBN 978-80-7021-832-7 NICHOLL, Charles. Leonardo da Vinci – vzlety mysli. 1. vyd. Brno: BB art 2006. 663 s. ISBN 80-7341-955-6. PLATÓN. Tímaios: Kritias. 3. vyd. dotisk. Praha: Oikoymenh 2008. 127 s. ISBN 978-80-7298-161-8. STÖRIG, Hans Joachim. Malé dějiny filosofie. 8. vyd. Kostelní Vydří: Karmelitánské nakladatelství 2007. 653 s. ISBN 978-80-7195-206-0.

14


INTERNETOVÉ ZDROJE

http://sagan.blog.cz/0807/tajemstvi-velke-pyramidy-v-gize-3-3

HEGAROVÁ, Olga. Základy teorie a metodologie vědy. Praha: Gymnázium Jana Palacha Praha 1, 2009. 85 s. Dostupné z URL www.gjp1.cz/stahuj/oppa/heg_zaklady_teorie_a_metodologie_vedy.pdf CHMELÍKOVÁ, Vlasta. Zlatý řez. Praha: UK Matematicko-fyzikální fakulta , 2006. 45 s. Dostupné z URL http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/chmelikovabp/Zlaty_rez.pdf PŘIBYL, Pavel Wilhelm. Explikace zlatého řezu v estetice. Brno : FF MUNI, 2011. 65 s. Dostupné z URL http://is.muni.cz/th/217584/ff_b_a2/bakalarska_prace_pribyl.pdf CHLUBNÝ, Jiří. Vitruvius. 2004-2012 http://antika.avonet.cz/article.php?ID=2031 SVRŠEK, Jiří. Matematikové v historii: Leonardo Pisano Fibonacci. 2004 http://www.cact.cz/noviny/2004/03/Fibonacci.htm

ODKAZY NA POUŽITÉ ZDROJE [1] GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 47-48. ISBN 978-80-7203-926-5. [2] HAVART, Lukáš www.matweb.cz Iracionální čísla.2006-2011 http://www.matweb.cz/iracionalni-cisla [citováno 12. března 2012] [3] HEGAROVÁ, Olga. Základy teorie a metodologie vědy. Praha: Gymnázium Jana Palacha Praha 1, 2009 s. 7 [4] http://sagan.blog.cz/0807/tajemstvi-velke-pyramidy-v-gize-3-3 [citováno 12. března 2012] [5] GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 230-235. ISBN 978-80-7203-926-5. [6] GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 237. ISBN 978-80-7203-926-5. 15


[7] GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 22-23. ISBN 978-80-7203-926-5. [8] GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 41-42. ISBN 978-80-7203-926-5. [9] PŘIBYL, Pavel Wilhelm. Explikace zlatého řezu v estetice. Brno : FF MUNI, 2011. s. 18 [10] GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 28. ISBN 978-80-7203-926-5. [11] GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 237. ISBN 978-80-7203-926-5. [12] GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 53. ISBN 978-80-7203-926-5. [13] GRAESER, Andreas. Řecká filosofie klasického období. 1. vyd. Praha: Oikoymenh 2000. S. 163-164 . ISBN 80-7298-019-X [14] GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 22. ISBN 978-80-7203-926-5. [15] PŘIBYL, Pavel Wilhelm. Explikace zlatého řezu v estetice. Brno : FF MUNI, 2011. s. 22 [16] KRATOCHVÍL, Zdeněk. Filosofie mezi mýtem a vědou od Homéra po Descarta. 1. vyd. Praha: Academia, 2009. s. 188. ISBN 978-80-200-1789-5 [17] CHLUBNÝ, Jiří. Vitruvius. 2004-2012. http://antika.avonet.cz/article.php?ID=2031 [citováno 13. března 2012] [18] GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 21-22. ISBN 978-80-7203-926-5. [19] GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 24. ISBN 978-80-7203-926-5. [20] GHYKA, Matila Costiescu. Zlaté číslo aneb Jak pythagorovské rytmy a obřady ovlivnily vývoj západní civilizace. 1. vyd. Praha: Argo, 2008. s. 269. ISBN 978-80-7203-926-5. [21] SVRŠEK, Jiří. Matematikové v historii: Leonardo Pisano Fibonacci. 2004 http://www.cact.cz/noviny/2004/03/Fibonacci.htm [citováno 14. března 2012] [22] PŘIBYL, Pavel Wilhelm. Explikace zlatého řezu v estetice. Brno : FF MUNI, 2011. s. 17 [23] SVRŠEK, Jiří. Matematikové v historii: Leonardo Pisano Fibonacci. 2004 16


http://www.cact.cz/noviny/2004/03/Fibonacci.htm [citováno 14. března 2012] [24] PŘIBYL, Pavel Wilhelm. Explikace zlatého řezu v estetice. Brno : FF MUNI, 2011. s. 21-22 [25] NICHOLL, Charles. Leonardo da Vinci – vzlety mysli. 1. vyd. Brno: BB art 2006. 663 s. ISBN 80-7341-955-6. [26] NICHOLL, Charles. Leonardo da Vinci – vzlety mysli. 1. vyd. Brno: BB art 2006. s. 279-278 ISBN 80-7341-955-6

SEZNAM OBRAZOVÝCH PŘÍLOH

Obrázek č. 1: Převzato z URL http://freemasonry.bcy.ca/symbolism/golden_ratio/index.html [citováno 12. března 2012]. Obrázek č. 2: Převzato z URL http://www.google.cz/imgres?q=rhindu%C2%B4s+papyrus&um=1&hl=cs&sa=X&biw=1366 &bih=667&tbs=isz:m&tbm=isch&tbnid=DWwNWZPJckXguM:&imgrefurl=http://www.hist oryofinformation.com/index.php%3Fcategory%3DManuscripts%2B%2526%2BManuscript% 2BCopying&docid=eF18j21pGDMzM&imgurl=http://historyofinformation.com/images/rhind_papyrus.jpg&w=578&h=3 41&ei=w2JcT5myCKz64QTr5YjMDw&zoom=1&iact=hc&vpx=307&vpy=199&dur=2587& hovh=172&hovw=292&tx=239&ty=119&sig=104953908323477454023&page=1&tbnh=118 &tbnw=200&start=0&ndsp=20&ved=1t:429,r:1,s:0 [citováno 12. března 2012]. Obrázek č. 3: Převzato z URL class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Download/Volne/SUMA_42.pdf [citováno 12. března 2012]. Obrázek č.4: Přezato z URL http://www.google.cz/imgres?q=vitruvian+man+golden+ratio&start=21&num=10&hl=cs&gb v=2&biw=1016&bih=567&tbm=isch&tbnid=0OC4vDWXnbvBcM:&imgrefurl=http://www.you rinspirationweb.com/en/gold-section-and-web-design-how-to-use-it-andwhy/&docid=QyNP_-N3zlsg8M&imgurl=http://www.yourinspirationweb.com/wp17


content/uploads/2011/04/0081.jpg&w=600&h=607&ei=kN1YT9P1G8XT0QWU19jVDQ&zoo m=1 [citováno 14. března 2012].

18


PŘÍLOHA

Obrázek 1 - Dělení úsečky zlatým řezem

Obrázek 2 - fragment Rhindova papyru

19


Obrázek 3 – figurální čísla

Obrázek 4 – desetidílná segmentace díla „Vitruviovský ský muž“

20


Dne 15. Března 2012 v Telnici Jan Hanuš v.r.

21

ZLATÝ ŘEZ MATEMATIKA A UMĚNÍ OD PYTHAGORA PO DA VINCIHO. Střední škola KNIH, o.p.s., Bzenecká 23 Brno

Recommend Documents