Od Pythagora ke geometrickému modelování. Miroslav Lávička 1

www.KMA.zcu.cz

Od Pythagora ke geometrickému modelování Miroslav Lávička1 Email: [email protected] 1 Katedra

matematiky Fakulty aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

Brána matematikou otevřená Seminář pro učitele středních a vysokých škol Plzeň, 29. března 2012

Od Pythagora ke geometrickému modelování

29. března 2012

1 / 34

www.KMA.zcu.cz

Osnova

1 Úvod 2 Od Pythagora . . . Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice

3 . . . ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem

4 Závěr


29. března 2012

2 / 34

www.KMA.zcu.cz

Osnova



4 Závěr


29. března 2012

2 / 34

www.KMA.zcu.cz

Osnova



4 Závěr


29. března 2012

2 / 34

www.KMA.zcu.cz

Osnova



4 Závěr


29. března 2012

2 / 34

Úvod

www.KMA.zcu.cz

Osnova



4 Závěr


29. března 2012

3 / 34

Úvod

www.KMA.zcu.cz

Antická civilizace – zrod matematiky jako vědy 1 Archaická doba (800 - 500 př. n. l.) 1.1 1.2 1.3 1.4

Rozmach poleis Velká kolonizace – rozšíření řecké kultury Proměna státního zřízení řeckých obcí Nejsilnější řecké obce: Vzestup Sparty a Athén 1.4.1 Sparta – nejmocnější stát Řecka 1.4.2 Athény na cestě k demokracii

2 Klasická doba (500 - 336 př. n. l.) 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Řecko-perské války Dominance Athén Peloponéská válka Boj o hegemonii: Soupeření Sparty a Théb Nástup Makedonie – konec nezávislosti řeckých poleis Kultura a společnost klasického věku

3 Helénistická doba (336 - 146 př. n. l.) 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Alexandrovy výboje Helénistický svět Antigonovci: převaha Makedonie Římské zásahy Konec řecké svobody

4 Římská nadvláda (146 př. n. l. - 395) 4.1 Mithridatés a římské občanské války 4.2 Římská provincie 4.3 Doba pozdní antiky


29. března 2012

4 / 34

Úvod

www.KMA.zcu.cz

Antická civilizace – zrod matematiky jako vědy 1 Archaická doba (800 - 500 př. n. l.) 1.1 1.2 1.3 1.4

Rozmach poleis Velká kolonizace – rozšíření řecké kultury Proměna státního zřízení řeckých obcí Nejsilnější řecké obce: Vzestup Sparty a Athén 1.4.1 Sparta – nejmocnější stát Řecka 1.4.2 Athény na cestě k demokracii

2 Klasická doba (500 - 336 př. n. l.) 2.1 Řecko-perské války Antická civilizace dala světu 2.2 Dominance Athén 2.3 Peloponéská válka matematiku jako vědu 2.4 Boj o hegemonii: Soupeření Sparty a Théb 2.5 Nástup Makedonie – konec nezávislosti řeckých poleis 2.6 Kultura a společnost klasického věku

Co? Jak? Proč?

3 Helénistická doba (336 - 146 př. n. l.) 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Alexandrovy výboje Helénistický svět Antigonovci: převaha Makedonie Římské zásahy Konec řecké svobody

4 Římská nadvláda (146 př. n. l. - 395) 4.1 Mithridatés a římské občanské války 4.2 Římská provincie 4.3 Doba pozdní antiky


29. března 2012

4 / 34

Úvod

www.KMA.zcu.cz

Odkaz řecké matematiky Dědictví řecké matematiky . . . Thalés – Thaletova věta, Thaletova kružnice Pythagoras – Pythagorova věta, pythagorejské trojice Platón – platónská tělesa Eukleides – Eukleidovy prostory, eukleidovské konstrukce, ne-eukleidovské geometrie Archimédés – Archimédův zákon, Archimédův šroub, Archimédova spirála, Archimédova serpentina, archimédovská tělesa Apollónios – Apolloniovy úlohy, Apolloniova kružnice Diofantos – diofantovské rovnice

. . . a řada dalších Eratostenes, Aristarchos, Nikomachos, Pappos, Meneachmos, Menelaos, Herón, Ptolemaios, . . .


29. března 2012

5 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz

Osnova



4 Závěr


29. března 2012

6 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz

Pythagoras ze Samu. Pythagorejská škola I řecký matematik, astronom a filozof – pythagorejská

škola (≈ tajné náboženské společenství) I při hledání zákonů vesmírů studovali pythagorejci tzv.

kvadrivium (geometrie, aritmetika, astronomie, muzika) I matematika (zvl. aritmetika) se stala základem

kosmologické filozofie pythagorejců ("Všechno je číslo") I objev Pythagorovy věty připisovali pythagorejci svému

mistrovi – věta už byla dříve známa Babylóňanům a Egypťanům, ale pythagorejci zřejmě jako první provedli důkaz I největší dosah pro řeckou matematiku měl důkaz √

iracionality 2 (úhlopříčka a strana jednotkového čtverce jsou nesouměřitelné)

(okolo 582 p.n.l. – okolo 496 p.n.l.)

⇓ nabourání souladu mezi aritmetikou a geometrií (1. krize matematiky) Od Pythagora ke geometrickému modelování

29. března 2012

7 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz









29. března 2012

7 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz









29. března 2012

7 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz









29. března 2012

7 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz









29. března 2012

7 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz

Figurální čísla I tzv. figurální čísla (trojúhelníková, čtvercová, obdélníková, pětiúhelníková, atd.)

byla pro pythagorejce nástrojem jak znázorňovat úvahy o číslech

I přeskupování kaménků do různých tvarů bylo pomůckou k objevům a k provádění

důkazů, např.

1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2


29. března 2012

8 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz

Pythagorova věta

C b

b

a

cb

a

ca

A

B

c

c


29. března 2012

9 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz

Objev nesouměřitelnosti. První krize matematiky I objev spadá do posledních desetiletí 5. st. p.n.l. I poměr úhlopříčky a strany čtverce nelze vyjádřit

„číslem“ (celým nebo zlomkem) × Všechno je číslo ⇓ 1. krize matematiky I „krize“ řecké matematiky byla vyřešena odstraněním

pythagorejské aritmetiky a důslednou geometrizací matematiky

√ 12 + 12 = 2 = ( 2)2 √ u:a= 2

reálné číslo . . . úsečka (resp. její délka) druhá mocnina . . . čtverec (resp. jeho obsah) součin dvou čísel . . . obdélník (resp. jeho obsah) třetí mocnina . . . krychle (resp. její objem) atd.


29. března 2012

10 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz




√ 12 + 12 = 2 = ( 2)2 √ u:a= 2



29. března 2012

10 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz




√ 12 + 12 = 2 = ( 2)2 √ u:a= 2



29. března 2012

10 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz


„číslem“ (celým nebo zlomkem) × Všechno je číslo ⇓ 1. krize matematiky Princip homogenity I „krize“ řecké matematiky byla vyřešena odstraněním A + B ∗ C nelze sečíst (úsečka a obdélník) pythagorejské aritmetiky a důslednou geometrizací A ∗ E + B ∗ C, kde E je jednotková úsečka matematiky

√ 12 + 12 = 2 = ( 2)2 √ u:a= 2



29. března 2012

10 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz

Pythagorejské trojice a jejich generátory I Pythagorejská trojice je trojice přirozených čísel a, b, c takových, že

a2 + b2 = c2 . I Nejznámější příklad pythagorejské trojice jsou čísla 3, 4, 5. Libovolný násobek

pythagorejské trojice je také pythagorejská trojice. I Generátor pythagorejských čísel je trojice matematických funkcí takových, že

dosazením proměnné nebo proměnných do těchto funkcí se vygenerují jednotlivé hodnoty pythagorejských čísel a, b, c. I Nejznámější generátor (tzv. Euklidova formule): a, b, c = f (m, n), kde m, n ∈ N a

m>na a = 2mn,

b = m2 − n2 ,

c = m2 + n2

I Pro n = 1 se také hovoří o Platonově formuli. I Jiné generátory (s vazbami, např. c − b = 1, c − b = 2):

a = 2n + 1, a = 4n,

b = 2n2 + 2n, b = 4n2 − 1,


c = 2n2 + 2n + 1, c = 4n2 + 1 29. března 2012

11 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz





m>na a = 2mn,

b = m2 − n2 ,

c = m2 + n2


a = 2n + 1, a = 4n,

b = 2n2 + 2n, b = 4n2 − 1,


c = 2n2 + 2n + 1, c = 4n2 + 1 29. března 2012

11 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz





m>na a = 2mn,

b = m2 − n2 ,

c = m2 + n2


a = 2n + 1, a = 4n,

b = 2n2 + 2n, b = 4n2 − 1,


c = 2n2 + 2n + 1, c = 4n2 + 1 29. března 2012

11 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz





m>na a = 2mn,

b = m2 − n2 ,

c = m2 + n2


a = 2n + 1, a = 4n,

b = 2n2 + 2n, b = 4n2 − 1,


c = 2n2 + 2n + 1, c = 4n2 + 1 29. března 2012

11 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz





m>na a = 2mn,

b = m2 − n2 ,

c = m2 + n2


a = 2n + 1, a = 4n,

b = 2n2 + 2n, b = 4n2 − 1,


c = 2n2 + 2n + 1, c = 4n2 + 1 29. března 2012

11 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz





m>na a = 2mn,

b = m2 − n2 ,

c = m2 + n2


a = 2n + 1, a = 4n,

b = 2n2 + 2n, b = 4n2 − 1,


c = 2n2 + 2n + 1, c = 4n2 + 1 29. března 2012

11 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz

Euklidova formule I Trojice generovaná Euklidovou formulí se nazývá primitivní, jestliže a, b, c jsou po

dvou nesoudělná čísla. I Splnění pythagorejské podmínky se snadno ověří

a2 + b2 = (2mn)2 + (m2 − n2 )2 = m4 + 2m2 n2 + m4 = (m2 + n2 )2 = c2 I Euklidova formule generuje VŠECHNY primitivní pythagorejské trojice, ale NE

VŠECHNY pythagorejské trojice. Je nutné provést úpravu na tvar, který již generuje (byť nejednoznačně) všechny trojice a = k · (2mn),

b = k · (m2 − n2 ),

c = k · (m2 + n2 )

I Např. všechny primitivní pythagorejské trojice, kdy délka přepony c < 100

(3, 4, 5) (9, 40, 41) (16, 63, 65) (36, 77, 85)

(5, 12, 13) (11, 60, 61) (20, 21, 29) (39, 80, 89)


(7, 24, 25) (12, 35, 37) (28, 45, 53) (48, 55, 73)

(8, 15, 17) (13, 84, 85) (33, 56, 65) (65, 72, 97)

29. března 2012

12 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz





b = k · (m2 − n2 ),

c = k · (m2 + n2 )


(3, 4, 5) (9, 40, 41) (16, 63, 65) (36, 77, 85)

(5, 12, 13) (11, 60, 61) (20, 21, 29) (39, 80, 89)


(7, 24, 25) (12, 35, 37) (28, 45, 53) (48, 55, 73)

(8, 15, 17) (13, 84, 85) (33, 56, 65) (65, 72, 97)

29. března 2012

12 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz





b = k · (m2 − n2 ),

c = k · (m2 + n2 )


(3, 4, 5) (9, 40, 41) (16, 63, 65) (36, 77, 85)

(5, 12, 13) (11, 60, 61) (20, 21, 29) (39, 80, 89)


(7, 24, 25) (12, 35, 37) (28, 45, 53) (48, 55, 73)

(8, 15, 17) (13, 84, 85) (33, 56, 65) (65, 72, 97)

29. března 2012

12 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz





b = k · (m2 − n2 ),

c = k · (m2 + n2 )


(3, 4, 5) (9, 40, 41) (16, 63, 65) (36, 77, 85)

(5, 12, 13) (11, 60, 61) (20, 21, 29) (39, 80, 89)


(7, 24, 25) (12, 35, 37) (28, 45, 53) (48, 55, 73)

(8, 15, 17) (13, 84, 85) (33, 56, 65) (65, 72, 97)

29. března 2012

12 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz

Geometrie Euklidovy formule I Platí

a2 + b2 = c2

=⇒

2 a c

+

2 b c

=1

I Geometricky vzato – bod o kartézských souřadnicích

x=

a b ,y= , c c

kde D(a, b, c) = 1, leží na jednotkové kružnici x2 + y 2 = 1. I Existuje tedy vzájemně jednoznačná korespondence mezi body na jednotkové

kružnici, které mají racionální souřadnice, a primitivními pythagorejskými trojicemi I Euklidova formule může být snadno odvozena pomocí stereografické projekce


29. března 2012

13 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz


a2 + b2 = c2

=⇒

2 a c

+

2 b c

=1


x=

a b ,y= , c c




29. března 2012

13 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz


a2 + b2 = c2

=⇒

2 a c

+

2 b c

=1


x=

a b ,y= , c c




29. března 2012

13 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz


a2 + b2 = c2

=⇒

2 a c

+

2 b c

=1


x=

a b ,y= , c c




29. března 2012

13 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz

Racionální parametrizace kružnice I Uvažujme na ose x pohyblivý bod

P 0 = [t, 0] ,

t∈R

I Užitím inverzní stereografické projekce se středem

v severním pólu N získáme na kružnici bod

P =

2t t2 − 1 , 2 2 t +1 t +1

I Parametrizace jednotkové kružnice ve tvaru

x(t) =

t2 − 1 2t , t2 + 1 t2 + 1

je racionální alternativou k více známé goniometrické parametrizaci x(ϕ) = [cos ϕ, sin ϕ] Od Pythagora ke geometrickému modelování

29. března 2012

14 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz


P 0 = [t, 0] ,

t∈R



P =

2t t2 − 1 , 2 2 t +1 t +1


x(t) =

t2 − 1 2t , t2 + 1 t2 + 1


29. března 2012

14 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz


P 0 = [t, 0] ,

t∈R



P =

2t t2 − 1 , 2 2 t +1 t +1


x(t) =

t2 − 1 2t , t2 + 1 t2 + 1


29. března 2012

14 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz

. . . to už nemůže být náhoda ;-)

I Uvažujme komplexní číslo

x, y ∈ R, i2 = −1

z = x + yi, I Potom

z 2 = (x + yi)2 = x2 − y 2 + 2xyi, I Neboli

Re(z 2 ) = x2 − y 2 ,

Im(z 2 ) = 2xy,

|z|2 = x2 + y 2

tvoří pythagorejskou trojici


29. března 2012

15 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz



x, y ∈ R, i2 = −1

z = x + yi, I Potom


Re(z 2 ) = x2 − y 2 ,

Im(z 2 ) = 2xy,

|z|2 = x2 + y 2



29. března 2012

15 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz



x, y ∈ R, i2 = −1

z = x + yi, I Potom


Re(z 2 ) = x2 − y 2 ,

Im(z 2 ) = 2xy,

|z|2 = x2 + y 2



29. března 2012

15 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz

Kam dál? I Pythagorejské čtveřice a, b, c, d

a2 + b2 + c2 = d2 I Např. (2, 3, 6, 7), obecně

a = m2 +n2 −p2 −q 2 ,

b = 2mq +2np,

c = 2nq −2mp,

d = m2 +n2 +p2 +q 2

I Pythagorejské n-tice x1 , x2 , . . . , xn , kde n > 3 I Velká Fermatova věta:

Neexistují přirozená čísla x, y, z a n, pro která xn + y n = z n , kde n > 2 a x, y, z 6= 0


29. března 2012

16 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz



a = m2 +n2 −p2 −q 2 ,

b = 2mq +2np,

c = 2nq −2mp,

d = m2 +n2 +p2 +q 2




29. března 2012

16 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz



a = m2 +n2 −p2 −q 2 ,

b = 2mq +2np,

c = 2nq −2mp,

d = m2 +n2 +p2 +q 2




29. března 2012

16 / 34

Od Pythagora . . .

www.KMA.zcu.cz



a = m2 +n2 −p2 −q 2 ,

b = 2mq +2np,

c = 2nq −2mp,

d = m2 +n2 +p2 +q 2




29. března 2012

16 / 34

. . . ke geometrické modelování

www.KMA.zcu.cz

Osnova



4 Závěr


29. března 2012

17 / 34



www.KMA.zcu.cz

29. března 2012

18 / 34


www.KMA.zcu.cz

Krátký výlet do nedávné historie I Geometrické modelování nebo také Computer Aided Geometric Design (CAGD) je

I I

I

I

moderní geometrická disciplína, která se zabývá studiem reprezentací křivek, ploch a těles volného tvaru a jejich užitím v následných aplikacích. U zrodu CAGD stáli inženýři Pierre Bézier (1910–1999), Paul de Casteljau (∗1930) a Steven A. Coons (?–1979). CAGD se stalo suverénním vědním oborem cca kolem roku 1974, kdy se na University of Utah konala první tematická konference. První kompendium věnované CAGD bylo publikováno v roce 1988. Pokud se zabýváme historií CAGD zjistíme, že vývoj CAGD je úzce spjat s problematikou racionálních technik a racionálních reprezentací geometrických objektů Dnes nachází geometrické modelování uplatnění ve strojírenství, stavebnictví, architektuře, biologii, geografii, počítačových animacích, lékařství atd.


29. března 2012

19 / 34


www.KMA.zcu.cz


I I

I

I



29. března 2012

19 / 34


www.KMA.zcu.cz


I I

I

I



29. března 2012

19 / 34


www.KMA.zcu.cz


I I

I

I



29. března 2012

19 / 34


www.KMA.zcu.cz


I I

I

I



29. března 2012

19 / 34


www.KMA.zcu.cz


I I

I

I



29. března 2012

19 / 34


www.KMA.zcu.cz


I I

I

I



29. března 2012

19 / 34


www.KMA.zcu.cz

Racionální křivky a plochy

I Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo

implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis I Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané

výhradně pomocí polynomiálních a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo implementovat do standardních CAD systémů I Uvažujme např. jednotkovou sféru S : x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0, kterou lze popsat

parametrizací I Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis.


29. března 2012

20 / 34


www.KMA.zcu.cz

Racionální křivky a plochy

I Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo



parametrizací I Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis.


29. března 2012

20 / 34


www.KMA.zcu.cz

Racionální křivky a plochy I Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo



goniometrickou parametrizací x(φ, ψ) = (cos φ cos ψ, sin φ cos ψ, sin ψ)> .

I Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis.


29. března 2012

20 / 34


www.KMA.zcu.cz




racionální parametrizací

x(s, t) =

2s 2t s2 + t2 − 1 , 2 , 2 2 2 2 s + t + 1 s + t + 1 s + t2 + 1

> ,

jež se získá (jako v případě kružnice) stereografickou projekcí. I Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis.


29. března 2012

20 / 34


www.KMA.zcu.cz




parametrizací

x(s, t) =

2s 2t s2 + t2 − 1 , 2 , 2 2 2 2 s + t + 1 s + t + 1 s + t2 + 1

> ,



29. března 2012

20 / 34


www.KMA.zcu.cz


implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis Hlavní problémy CAGD I Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané I Zabýváme se reálnými objekty. výhradně pomocí polynomiálních a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo Iimplementovat do standardních systémů Využíváme aparát algebraické CAD geometrie operující nad tělesem 2 čísel. sféru S : x + y 2 + z 2 − 1 = 0, kterou lze popsat I Uvažujmekomplexních např. jednotkovou parametrizací I Zajímají nás objekty popsané racionálně.

> I Většina operací používaných v CAGD 2s 2t obecně s2 nezachovává + t2 − 1 x(s, t)odvozených = , , racionalitu s2 + t2objektů. + 1 s2 + t2 + 1 s2 + t2 + 1

,



29. března 2012

20 / 34


www.KMA.zcu.cz

Motivace: 3-osé a 5-osé obrábění

I Motivaci k zavedení ofsetů je možné hledat v obrábění. I 3-osé obrábění je obrábění frézou, která může vykonávat pouze translační pohyb ve

směru všech os souřadného systému, nemůže se natáčet. I Fréza se neustále dotýká obráběné plochy. I 5-osé obrábění je obrábění frézou, která může vykonávat jak translační pohyb ve

směru všech os souřadného systému, tak rotační pohyb. I Frézu je tedy možné vždy nastavit tak, aby osa frézy byla rovnoběžná s normálou

plochy v bodě, který chceme obrábět.


29. března 2012

21 / 34



www.KMA.zcu.cz

29. března 2012

22 / 34



www.KMA.zcu.cz

29. března 2012

22 / 34


www.KMA.zcu.cz

Klasický ofset v rovině

I Nechť C je křivka daná parametrizací c(t). I Jednostranný ofset Cd křivky C ve vzdálenosti

d je potom dán parametrizací cd (t) = c(t) + d · n(t), kde n(t) je jednotková normála křivky c(t). I Oboustranný ofset křivky můžeme získat jako

obálku jednoparametrického systému kružnic S(t) : (x − c(t)) · (x − c(t)) = d2 , se středy kružnic na křivce C.


29. března 2012

23 / 34


www.KMA.zcu.cz

Konstrukce ofsetu

c(t) = (x(t), y(t))


29. března 2012

24 / 34


www.KMA.zcu.cz

Konstrukce ofsetu


29. března 2012

24 / 34


www.KMA.zcu.cz

Konstrukce ofsetu

T(t0 , λ) = (x(t0 ), y(t0 )) + λ(x0 (t0 ), y 0 (t0 ))


29. března 2012

24 / 34


www.KMA.zcu.cz

Konstrukce ofsetu

n(t0 ) = (−y 0 (t0 ), x0 (t0 ))


29. března 2012

24 / 34


www.KMA.zcu.cz

Konstrukce ofsetu

N(t0 ) =

n(t0 ) (−y 0 (t0 ), x0 (t0 )) = p kn(t0 )k (x0 (t0 ))2 + (y 0 (t0 ))2


29. března 2012

24 / 34


www.KMA.zcu.cz

Konstrukce ofsetu

cd (t0 ) = c(t0 ) + d · N(t0 )


29. března 2012

24 / 34


www.KMA.zcu.cz

Konstrukce ofsetu

cd (t) = c(t) + d · p


(−y 0 (t), x0 (t)) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 29. března 2012

24 / 34


www.KMA.zcu.cz

Konstrukce ofsetu

cd (t) = c(t) + d · p


(−y 0 (t), x0 (t)) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 29. března 2012

24 / 34


www.KMA.zcu.cz

Polynomiální křivky s Pythagorejským hodografem I Nechť C je křivka daná polynomiální parametrizací c(t). I Hodograf křivky c(t) je dán parametrizací c0 (t). I Křivka c(t) je křivkou s pythagorejským hodografem (zkráceně PH křivka), pokud

složky jejího hodografu c0 (t) splňují pythagorejskou podmínku, tj. x02 (t) + y 02 (t) = σ 2 (t). I Splnění této podmínky je ekvivalentní s požadavkem, že hodograf lze vyjádřit ve

tvaru

x0 (t) y 0 (t)

= =

(u2 (t) − v 2 (t))w(t) 2u(t)v(t)w(t)

pro jisté polynomy u(t), v(t), w(t). Potom σ(t) = (u2 (t) + v 2 (t))w(t). I Vezmeme-li w(t) = 1 a u(t), v(t) takové, že D(u(t), v(t)) = 1, dostáváme

regulární PH křivky lichého stupně.


29. března 2012

25 / 34


www.KMA.zcu.cz

Polynomiální křivky s Pythagorejským hodografem I Nechť C je křivka daná polynomiální parametrizací c(t). I Hodograf křivky c(t) je dán parametrizací c0 (t). I Křivka c(t) je křivkou s pythagorejským hodografem (zkráceně PH křivka), pokud

složky jejího hodografu c0 (t) splňují pythagorejskou podmínku, tj. x02 (t) + y 02 (t) = σ 2 (t). I Splnění této podmínky je ekvivalentní s požadavkem, že hodograf lze vyjádřit ve

tvaru

x0 (t) y 0 (t)

= =

(u2 (t) − v 2 (t))w(t) 2u(t)v(t)w(t)

pro jisté polynomy u(t), v(t), w(t). Potom σ(t) = (u2 (t) + v 2 (t))w(t). I Vezmeme-li w(t) = 1 a u(t), v(t) takové, že D(u(t), v(t)) = 1, dostáváme

regulární PH křivky lichého stupně.


29. března 2012

25 / 34


www.KMA.zcu.cz

Rovinné polynomiální PH křivky I Přímým důsledkem zavedení PH křivek je, že jsou to křivky s polynomiální délkou

oblouku, jelikož s(t) =

Z tp

t

Z x02 (u) + y 02 (u)du =

0

|σ(u)|du. 0

I PH křivky jsou křivky s racionálním ofsetem – jelikož platí

n(t) =

y 0 (t)

p

x02 (u) + y 02 (u)

−x0 (t)

!

,p x02 (u) + y 02 (u)

=

y 0 (t) −x0 (t) , σ(t) σ(t)

je cd (t) = c(t) + dn(t) racionální. I Nejjednoduššími PH křivkami jsou přímky – u(t), v(t), w(t) volíme konstantní. I Prvními netriviálními regulárními PH křivkami jsou kubiky – u(t), v(t) volíme

lineární w(t) = 1 I Lze ukázat, že existuje právě jedna PH kubika, tzv. Tschirnhausenova kubika

a(t) = 3a(3 − t2 ), at(3 − t2 ) Od Pythagora ke geometrickému modelování

29. března 2012

26 / 34



www.KMA.zcu.cz

29. března 2012

27 / 34


www.KMA.zcu.cz

Polynomiální PH křivky v prostoru

I Analogicky můžeme zavést polynomiální prostorové PH křivky – nechť

c(t) = (x(t), y(t), z(t)) je prostorová křivka. Potom c(t) je prostorovou PH křivkou, pokud existuje polynom σ(t) splňující x02 (t) + y 02 (t) + z 02 (t) = σ 2 (t). I Podobně jako v rovině, splnění této podmínky je ekvivalentní s požadavkem, že

hodograf musí být možné vyjádřit ve tvaru x0 (t) y 0 (t) z 0 (t)

= = =

u2 (t) + v 2 (t) − p2 (t) − q 2 (t), 2u(t)p(t) + 2v(t)q(t), 2u(t)q(t) − 2v(t)p(t)

pro polynomy u(t), v(t), p(t), q(t). Potom σ(t) = u2 (t) + v 2 (t) + p2 (t) + q 2 (t).


29. března 2012

28 / 34


www.KMA.zcu.cz

Co dál? PH křivky v Minkowského prostoru R2,1

I Uvažujme prostorovou křivku y(t) = (y1 (t), y2 (t), y3 (t))> , ke které vypočteme

obálku kružnice se středem (y1 (t), y2 (t))> a poloměrem y3 (t)

x± (t) =

y1 y2

−

y3 y10 2 + y20 2

y30

y10 y20

±

p

y10 2 + y20 2 − y30 2

−y20 y10

I Studium racionality obálek vedlo k zavedení Minkowského křivek s pythagorejským

hodografem (MPH křivky), které splňují podmínku 2

2

2

y10 (t) + y20 (t) − y30 (t) = %2 (t), I PH podmínka je nyní splněna vzhledem k Minkowského skalárnímu součinu

hu, vi = u1 v1 + u2 v2 − u3 v3 . Od Pythagora ke geometrickému modelování

29. března 2012

29 / 34


www.KMA.zcu.cz




x± (t) =

y1 y2

−

y3 y10 2 + y20 2

y30

y10 y20

±

p

y10 2 + y20 2 − y30 2

−y20 y10



2

2



29. března 2012

29 / 34


www.KMA.zcu.cz




x± (t) =

y1 y2

−

y3 y10 2 + y20 2

y30

y10 y20

±

p

y10 2 + y20 2 − y30 2

−y20 y10



2

2



29. března 2012

29 / 34


www.KMA.zcu.cz

Polynomiální MPH křivky

I Nutnou a postačující podmínkou pro to, aby křivka byla prostorovou polynomiální

MPH křivkou je y10 y20 y30 %

= = = =

U 2 − V 2 + P 2 − Q2 , 2U V − 2P Q, 2U P − 2V Q, U 2 + V 2 − P 2 − Q2 ,

U, V, P, Q ∈ R[t]

I zobecněné pythagorejské čtveřice (jiný než euklidovský skalární součin)


29. března 2012

30 / 34


www.KMA.zcu.cz

Polynomiální MPH křivky

I Nutnou a postačující podmínkou pro to, aby křivka byla prostorovou polynomiální

MPH křivkou je y10 y20 y30 %

= = = =

U 2 − V 2 + P 2 − Q2 , 2U V − 2P Q, 2U P − 2V Q, U 2 + V 2 − P 2 − Q2 ,

U, V, P, Q ∈ R[t]

I zobecněné pythagorejské čtveřice (jiný než euklidovský skalární součin)


29. března 2012

30 / 34

Závěr

www.KMA.zcu.cz

Osnova



4 Závěr


29. března 2012

31 / 34

Závěr


www.KMA.zcu.cz

29. března 2012

32 / 34

Závěr


www.KMA.zcu.cz

29. března 2012

33 / 34

Závěr

www.KMA.zcu.cz

DĚKUJI ZA POZORNOST!


29. března 2012

34 / 34

Od Pythagora ke geometrickému modelování. Miroslav Lávička 1

Recommend Documents