ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N .......... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3, …, n, … N0 .............. množina všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,…, n, … Z .......... množina všech celých čísel: …, -n, …, -2, -1, 0, 1, 2, …,n, … Q........... množina všech racionálních čísel (čísel, která lze zapsat ve tvaru zlomku
p , kde p Z , q N ) q
I ........... množina iracionálních čísel (nelze je zapsat ve tvaru zlomku; mají v dekadickém zápise nekonečný desetinný rozvoj, ve kterém není žádná perioda) … 𝜋, √2, √5 R ........... množina všech reálných čísel (množina všech racionálních a iracionálních čísel)
85
110
0
1 1152 přirozená č. - N
celá č. - Z
√3 𝜋
-1280
√5
-280
−2,87̅ racionální č. - Q
−12 5
8 5 2,87
iracionální č. - I
reálná č. - R
PŘIROZENÁ ČÍSLA … N
ciferný součet … získáme sečtením cifer daného čísla rozvinutý zápis čísla a … 𝑎 = 𝑎𝑛 ∙ 10𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∙ 10𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 ∙ 101 + 𝑎0 , 𝑘𝑑𝑒 𝑛 ∈ 𝑵, 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … 𝑎0 ∈ {0; 1; 2; … ; }, 𝑎𝑛 ≠ 0
DĚLITELNOST PŘIROZENÝCH ČÍSEL
číslo b je dělitelné číslem a, jestliže existuje přirozené číslo k takové, že 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑘 každé přirozené číslo je dělitelné 1 a samo sebou
znaky dělitelnosti:
dvěma – je sudé třemi – ciferný součet je dělitelný 3 čtyřmi – poslední dvojčíslí je dělitelné 4 pěti – poslední cifra je 0 nebo 5 šesti – je dělitelné 2 a zároveň 3 osmi – poslední trojčíslí dělitelné 8 devíti – ciferný součet je dělitelný 9 desíti – poslední cifra je 0 dvanácti – je dělitelné 3 a zároveň 4 patnácti – je dělitelné 3 a zároveň 5 osmnáctvi – je dělitelné 2 a zároveň 9 dvacíti – je dělitelné 4 a zároveň 5
hledání dělitelů přirozeného čísla a:
určíme √𝑎 a prověřujeme dělitelnost pro všechna čísla ≤ √𝑎
jestliže zjistíme, že číslo d dělí číslo a, doplníme vydělením a : d dělitele větší než √𝑎
PRVOČÍSLA A ČÍSLA SLOŽENÁ
prvočíslo – má právě dva různé dělitele – 1 a sebe samo složené číslo – má alespoň tři různé dělitele 𝑟
𝑟
𝑟
rozklad na prvočísla (prvočinitele): 𝑎 = 𝑝11 ∙ 𝑝22 ∙ ⋯ ∙ 𝑝𝑛𝑛 , 𝑘𝑑𝑒 𝑝1 < 𝑝2 < ⋯ < 𝑝𝑛 jsou prvočísla; 𝑟1 , ⋯ , 𝑟𝑛 ∈ 𝑵 Největší společný dělitel čísel (NSD) a a b je největší číslo, které je společným dělitelem čísel a, b. .. D(a,b) Nejmenší společný násobek (nsn) čísel a, b je nejmenší číslo ze všech společných násobků čísel a, b … n(a, b) 𝐷(𝑎, 𝑏) ∙ 𝑛(𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑏
soudělná čísla – mají největšího společného dělitele většího než 1 nesoudělná čísla – jejich největší společný dělitel je 1
CELÁ ČÍSLA … Z číslo opačené k a je –a
𝑎, 𝑏 ∈ 𝒁:
𝑎: (−1) = −𝑎
𝑎 + (−𝑏) = 𝑎 − 𝑏
𝑎: (−𝑏) = −(𝑎: 𝑏)
𝑎 − (−𝑏) = 𝑎 + 𝑏
(−𝑎): (−𝑏) = 𝑎: 𝑏
−𝑎 + (−𝑏) = −𝑎 − 𝑏 = −(𝑎 + 𝑏)
0∙0=0
−𝑎 − (−𝑏) = −𝑎 + 𝑏 = 𝑏 − 𝑎
0∙𝑎 =0
𝑎 ∙ (−1) = −𝑎
0: 𝑎 = 0
𝑎 ∙ (−𝑏) = −(𝑎 ∙ 𝑏)
𝑎: 0 nelze dělit nulou !!!!
(−𝑎) ∙ (−𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑏
RACIONÁLNÍ ČÍSLA
můžeme zapsat ve tvaru zlomku v základním tvaru nebo jako desetinné číslo s ukončeným nebo neukončeným, ale periodickým rozvojem
periodické číslo – desetinný rozvoj není ukončený, ale od určitého místa se u něj vyskytuje stále stejná opakující se skupina číslic = perioda
̅̅̅̅ ryze periodické číslo – perioda začíná hned za desetinou čárkou … 2, 56 ̅̅̅̅ neryze periodické číslo – perioda nezačíná hned za desetinou čárkou … 1,2556 periodická čísla s periodou z číslic 9 lze zapsat jako čísla s ukončeným desetinným rozvojem tak, že periodu odstraníme a poslední číslici před periodou zvýšíme o 1.
ZLOMKY zlomek … 𝑎 ∈ 𝒁, 𝑏 ∈ 𝑵
𝑎 𝑏 𝑏
čitatel
jmenovatel
opačný zlomek … −
převrácený zlomek … 𝑎 𝑧
smíšení číslo … 𝑘 𝑏
𝑎 𝑏
převod smíšeného čísla na zlomek: 𝑎
𝑘∙𝑎
𝑏
𝑘∙𝑏
rozšiřování zlomků … vynásobení čitatele i jmenovatele stejným nenulovým číslem … = 𝑎
𝑎∶𝑘
𝑏
𝑏∶𝑘
krácení zlomků … vydělení čitatele i jmenovatele stejným nenulovým číslem … =
𝑘∙𝑏+𝑧 𝑏
,𝑘 ≠ 0
,𝑘 ≠ 0
𝑎
základní tvar zlomku … 𝑏 ⟺ 𝑎, 𝑏 𝑛𝑒𝑠𝑜𝑢𝑑ě𝑙𝑛á porovnávání zlomků 𝒂 𝒃
=
𝒄 𝒅
převedeme na desetinná nebo periodická čísla, které potom porovnáme převedeme zlomky na stejné jmenovatele a porovnáme jejich čitatele 𝑎 𝑐 použijeme křížové pravidlo: 𝒂
⟺𝑎∙𝑑 =𝑏∙𝑐
𝒃
<
𝑏 𝒄
𝒅
𝑑
⟺𝑎∙𝑑 <𝑏∙𝑐
𝒂 𝒃
>
𝒄 𝒅
⟺𝑎∙𝑑 >𝑏∙𝑐
𝑎 𝑐
operace se zlomky , , 𝑏, 𝑑 ≠ 0 𝑏 𝑑
𝑎
𝑐
𝑎∙𝑐
𝑏 𝑑
𝑏∙𝑑
násobení … ∙ = 𝑎
složený zlomek … 𝑏𝑐 , 𝑏, 𝑐, 𝑑 ≠ 0 … 𝑑
𝑎 𝑐
𝑎 𝑑
dělení … 𝑏 : 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
𝑎 𝑐
𝑎 𝑑
= 𝑏:𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐 =
𝑎∙𝑑 𝑏∙𝑐
𝑎∙𝑑 𝑏∙𝑐
𝑎
𝑐
sčítání a odčítání … 𝑏 ± 𝑑 =
𝑎𝑑±𝑏𝑐 𝑏𝑑
POMĚR 𝑎: 𝑏, 𝑎, 𝑏 > 0 … ve výpočtech zapisujeme obvykle ve zlomku
𝑎 𝑏
postupný poměr … 𝑎: 𝑏: 𝑐 … zkrácený zápis poměrů 𝑎: 𝑏, 𝑏: 𝑐, 𝑎: 𝑐 krácení (rozšíření) poměru … vydělení (vynásobení) členů poměru stejným nenulovým číslem rovnost poměrů 𝑎: 𝑏, 𝑐: 𝑑 … 𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑 ↔ 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐 … úměra
PŘÍMÁ A NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST přímá úměrnost …. zvýšení jedné veličiny vede ke zvýšení druhé veličiny e stejném poměru nepřímá úměrnost … zvýšení jedné veličiny vede ke snížení druhé veličiny ve stejném poměru příklady na úměrnost řešíme pomocí trojčlenky
PROCENTA 1%=
1 = 0,01 100
základ (z) … celek, z něhož se počítá část … 100% procentová část (c) … část základu počet procent (p) 𝑐 =𝑝∙𝑧
při výpočtech můžeme využít také trojčlenku nebo výpočet přes 1% promile … 1 ‰ =
1 1000
= 0,001
REÁLNÁ ČÍSLA
každému reálnému číslu je na číselné ose přiřazen právě jeden bod každý bod na číselné ose je obrazem právě jednoho reálného čísla
INTERVALY Množina
x R; a x b x R; a x b
x R; a x b
Zobrazení na číselné ose a b
a a
Zápis
název intervalu
a, b
uzavřený interval a,b
b
a, b
otevřený interval a,b
b
a, b
polouzavřený interval a,b zleva uzavřený, zprava otevřený
x R; a x b
a
b
a, b
polouzavřený interval a,b zleva otevřený, zprava uzavřený
x R; x a
a
a;
zleva uzavřený interval od a do plus nekonečna
x R; x a
a
a,
otevřený interval od a do plus nekonečna
a
x R; x a
, a
zprava uzavřený interval od minus nekonečna do a
x R; x a
a
, a
otevřený interval od minus nekonečna do a
ABSOLUTNÍ HODNOTA REÁLNÉHO ČÍSLA Absolutní hodnota reálného čísla a je reálné číslo, pro které platí: 1. Je-li 2. Je-li
a 0 , pak a a. a 0 , pak a a.
Vlastnosti:
a 0
a a ,b 0 b b
a a
a b ba
a a
|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
a2 a
|𝑎 − 𝑏| ≥ |𝑎| − |𝑏|
a b a b Geometrický význam:
Absolutní hodnota reálného čísla je vzdálenost obrazu tohoto čísla od počátku číselné osy. Pro k R platí:
x R; x k k , k
x R; x k
k, k
x R; x k k , k x R; x k , k
0
-x
x
k ,
x R; x k ,k k , Pro
k R , a R platí:
|𝑥|
|𝑥|
𝑎
𝑥
x R; x a k a k , a k x R; x a k
a k, a k
x R; x a k a k , a k x R; x a k , a k
a k ,
x R; x a k , a k a k ,
|𝑥 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑥|
