Ploˇ sn´ y integr´ al Nˇ ekolik pojm˚ u • Pˇri naˇsich u ´vah´ ach budeme ˇcasto vyuˇz´ıvat skal´arn´ı souˇcin dvou vektor˚ u. Plat´ı F~ · ~n = |F~ ||~n| cos α, kde α je u ´hel, kter´ y sv´ıraj´ı vektory F~ a ~n. Vid´ıme, ˇze pokud je tento u ´hel ostr´ y, pak je skal´arn´ı souˇcin kladn´ y. Pokud je u ´hel dvou vektor˚ u tup´ y, pak je skal´arn´ı souˇcin z´aporn´ y. Zn´ ame-li souˇradnice vektor˚ u F~ = (F1 , F2 , F3 ) a ~n = (n1 , n2 , n3 ), pak F~ · ~n = F1 n1 + F2 n2 + F3 n3 . • V naˇsich u ´vah´ ach budeme vˇzdy pˇredpokl´adat, ˇze plocha S je grafem funkce z = f (x, y) na uzavˇren´e oblasti D. • Pˇripomeˇ nme, ˇze teˇcn´ a rovina k ploˇse S v bodˇe [x0 , y0 ] m´a rovnici z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ). Protoˇze v´ıme, ˇze rovina % : ax + by + cz + d = 0 m´a norm´alov´ y vektor ~n = (a, b, c), vid´ıme, ˇze teˇcn´ a rovina m´ a norm´ a lov´ y vektor ~ n = (f , f , −1) nebo ~ n = (−f , −f , 1). Pro velikost tohoto vektoru x y x y q plat´ı |~n| =
fx2 + fy2 + 1.
• V pˇr´ıpadˇe ploˇsn´ ych integr´ al˚ u 2. druhu budeme hovoˇrit o orientaci plochy S. Ta je urˇcena volbou smˇeru vektoru norm´ aly ~n. Jesliˇze vektor ~n sv´ır´a ostr´ yu ´hel s kladn´ ym smˇerem osy z (tedy s vektorem (0, 0, 1), ˇr´ık´ ame “m´ıˇr´ı vzh˚ uru”, pak ~n = (−fx , −fy , 1). Sv´ır´a-li ~n tup´ y u ´hel s kladn´ ym smˇerem osy z, tedy “m´ıˇr´ı dol˚ u”, pak ~n = (fx , fy , −1). Koneˇcnˇe pokud vektor ~n je kolm´ y na osu z, pak ~n = (fx , fy , 0). • Velikost obsahu plochy S budeme znaˇcit m(S) a vypoˇcteme ji ze vztahu ZZ q m(S) = fx2 + fy2 + 1 dxdy. D
Pˇ r´ıklad 1: Vypoˇctˇete obsah plochy S, kter´a je grafem funkce z = xy, pro D : x2 + y 2 ≤ r2 (ˇc´ ast hyperbolick´eho paraboloidu leˇz´ıc´ıho uvnitˇr v´alcov´e plochy). Plat´ı fx = y,
fy = x,
Po zaveden´ı pol´ arn´ıch souˇradnic dost´av´ame ZZ p Z 2 2 m(S) = 1 + x + y dxdy = D
Z
√
2π
Z dϕ ·
= 0
0 ≤ x2 + y 2 ≤ r 2 .
pro
2π
Z
r
p 1 + %2 % d% = |1 + %2 = t| =
dϕ
0 1+r 2
t2 dt = 2π
1
0
3
t 3
√1+r2 = 1
2π p (1 + r2 )3 − 1 . 3
Ploˇ sn´ y integr´ al 1. druhu • Jedn´ a se o integr´ al ze skal´ arn´ı funkce pˇres plochu S. • V´ ypoˇcet ploˇsn´eho integr´ alu 1. druhu pˇrev´ad´ıme na v´ ypoˇcet dvojn´eho integr´alu. Je-li plocha S grafem funkce z = f (x, y) na uzavˇren´e oblasti D, plat´ı ZZ ZZ q F (x, y, z) dS = F (x, y, f (x, y)) 1 + fx2 + fy2 dxdy. S
D
1
• Pˇr´ıkladem aplikace je urˇcen´ı hmotnosti M plochy S, jestliˇze zn´ame hustotu %(x, y, z) v libovoln´em bodˇe (x, y, z) plochy. Protoˇze plat´ı %= dost´ av´ ame
m m(S)
tedy
ZZ
m = % m(S),
ZZ
M=
%(x, y, z) dS =
% (x, y, f (x, y))
S
q
1 + fx2 + fy2 dxdy.
D
p
• Pˇ r´ıklad 2: Vypoˇctˇete hmotnost kuˇzelov´e plochy S : z = % konstantn´ı. Plat´ı fx = p
x x2 + y 2
x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 2, je-li hustota plochy
y fy = p , x2 + y 2
,
tedy ZZ
s
ZZ
M=
%(x, y, z) dS =
%
S
D
√ x2 y2 + + 1 dxdy = 2% x2 + y 2 x2 + y 2
ZZ
√ dxdy = 4 2π%.
D
Pˇri v´ ypoˇctu jsme uˇzili skuteˇcnosti, ˇze posledn´ı integr´al vyjadˇruje obsah oblasti D, tedy kruhu o polomˇeru 2.
Ploˇ sn´ y integr´ al 1. druhu — ˇ reˇ sen´ e pˇ r´ıklady na procviˇ cen´ı 1. Vypoˇctˇete integr´ al a z ≥ 0).
R S
xyz dS, kde S je ˇc´ast roviny x + y + z = 1 v 1. oktantu (tedy pro x ≥ 0, y ≥ 0
Plochu S vyj´ adˇr´ıme takto: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, z = f (x, y) = 1 − x − y. Plat´ı fx (x, y) = −1,
fy (x, y) = −1,
dS =
p
1 + (−1)2 + (−1)2 dxdy =
Dost´ av´ ame Z √ ZZ √ Z xyz dS = 3 xy (1 − x − y) dxdy = 3 S
D
√ Z = 3
1
0
2. Vypoˇctˇete integr´ al
R S
1
Z
xy 2 y3 y2 − − x 2 2 3
√ dS 2
x +y 2
1−x
3 dxdy.
1−x
xy (1 − x − y) dy =
dx
0
√
0
√ Z dx = 3
1
0
0
√ x 3 3 (1 − x) dx = ... = . 6 120
, kde S je ˇc´ast plochy z = xy vyt’at´e v´alcem x2 + y 2 = 1.
Plochu S vyj´ adˇr´ıme takto: z = f (x, y) = xy pro body oblasti D, kterou je kruh x2 + y 2 = 1. Plat´ı p fx (x, y) = y, fy (x, y) = x, dS = 1 + x2 + y 2 dxdy. Ploˇsn´ y integr´ al pˇrevedeme na dvojn´ y integr´al ZZ p Z dS 1 + x2 + y 2 p p = dxdy. 2 2 x +y x2 + y 2 S D Dvojn´ y integr´ al transformujeme do pol´arn´ıch souˇradnic. Oblast D je pops´ana nerovnicemi 0 ≤ % ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2ϕ. ZZ D
p
1 + x2 + y 2 p dxdy = x2 + y 2
Z
2π
Z dϕ
0
0
1
p
1 + %2 % 1 d% = % 2
Z
2π
h p i1 p % 1 + %2 + ln % + 1 + %2 dϕ = 0
0
=π Pˇritom integr´ al
Rp
1 + %2 d% ˇreˇs´ıme metodou per partes, kde vol´ıme u = 2
√
2 + ln 1 +
p 1 + %2 a v 0 = 1.
√ 2 .
p x dS, kde S je horn´ı polovina kulov´e plochy z = 1 − x2 − y 2 . p Plochu S vyj´ adˇr´ıme takto: z = f (x, y) = 1 − x2 − y 2 pro body oblasti D, kterou je kruh x2 +y 2 = 1. Plat´ı s −y x2 y2 −x , fy (x, y) = p , dS = 1 + + dxdy. fx (x, y) = p 2 2 2 2 2 2 1−x −y 1 − x2 − y 2 1−x −y 1−x −y
3. Vypoˇctˇete integr´ al
R
S
Ploˇsn´ y integr´ al pˇrevedeme na dvojn´ y integr´al a vyuˇzijeme pol´arn´ıch souˇradnic x = % cos ϕ, x = % sin ϕ, kde 0 ≤ % ≤ 1 a 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Plat´ı
Z
2π
Z
Z
1
% cos ϕ
dϕ
x dS =
0
0
S
r
Tento integr´ al je roven nule, protoˇze
1 % d% = 1 − %2
R 2π 0
Z
2π
Z cos ϕ dϕ · 0
0
1
%2 p d%. 1 − %2
cos ϕ dϕ = 0.
4. Pomoc´ı ploˇsn´eho integr´ alu 1. druhu vypoˇctˇete obsah povrchu parabolick´e plochy z = x2 + y 2 , kde 0 ≤ z ≤ 9. R Obsah plochy S je d´ an integr´ alem S dS. M´ame z = f (x, y) = x2 + y 2 ,
fx (x, y) = 2x,
fy (x, y) = 2y,
dS =
p
1 + 4x2 + 4y 2 dxdy.
Pouˇzijeme pol´ arn´ıch souˇradnic
Z dS = S
ZZ p
1 + 4x2 + 4y 2 dxdy =
D
Z
2π
Z dϕ ·
0
3
% 0
p
1 + 4%2 d% = |1 + 4%2 = t| = 2π
1 8
Z
37
√
t dt =
1
" √ #37 π t3 π √ 3 = 37 − 1 . 2 = 4 3 6 1
Ploˇ sn´ y integr´ al 1. druhu — dalˇ s´ı pˇ r´ıklady k procviˇ cen´ı 1. Vypoˇctˇete integr´ al √ V´ ysledek 4 61.
R S
2x + 43 y + z dS, kde S je ˇc´ast roviny 6x + 4y + 3z = 12 v 1. oktantu.
√ y dS, kde S je ˇc´ast roviny 3x + 4y + 3z = 12 v 1. oktantu. V´ ysledek 2 34. 3. Vypoˇctˇete obsah ˇc´ asti plochy z = 12 x2 + y 2 leˇz´ıc´ı uvnitˇr v´alcov´e plochy x2 + y 2 = 1 V´ ysledek √ 2 2 − 1). π(2 3
2. Vypoˇctˇete integr´ al
R
S
3
Ploˇ sn´ y integr´ al 2. druhu Protoˇze nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı aplikac´ı ploˇsn´eho integr´alu 2. druhu je v´ ypoˇcet toku vektorov´eho pole orientovanou plochou, provedeme v´ yklad tohoto integr´ alu na v´ ypoˇctu t´eto veliˇciny. Pˇritom si pˇredstav´ıme, ˇze ˇc´ ast prostoru je vyplnˇena nestlaˇcitelnou proud´ıc´ı kapalinou, pˇriˇcemˇz rychlost kaˇzd´e ˇc´ astice je urˇcena jen jej´ı polohou a nez´avis´ı na ˇcase. Pole rychlosti tohoto proudˇen´ı je pops´ano vektorovou funkc´ı F~ (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Ve zkouman´e ˇc´asti prostoru se nach´ az´ı orientovan´ a plocha S. Chceme zjistit, jak´e mnoˇzstv´ı tekutiny proteˇce plochou za jednotku ˇcasu ve smˇeru jej´ı orientace, tj. na tu stranu plochy, kam smˇeˇruj´ı jej´ı norm´alov´e vektory urˇcuj´ıc´ı orientaci. I v tomto pˇr´ıpadˇe budeme uvaˇzovat plochu, kter´ a je grafem funkce z = f (x, y) na nˇejak´e oblasti D. Je-li plocha S orientovan´ a tak, ˇze norm´alov´e vektory “smˇeˇruj´ı nahoru”, tj. sv´ıraj´ı s kladn´ ym smˇerem osy z ostr´ yu ´hel, pak ZZ ZZ ~ ~ F (x, y, y) · dS = F~ (x, y, z) · ~n(x, y, z) dS, S
S
kde ~n je jednotkov´ y norm´ alov´ y vektor plochy S −f 1 −f y x ,q ,q ~n = q 2 2 2 2 2 2 1 + fx + fy 1 + fx + fy 1 + fx + fy M´ ame tedy ZZ
~= F~ (x, y, z) · dS
ZZ (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) · q
−fx
−fy
1
dS = ,q ,q 1 + fx2 + fy2 1 + fx2 + fy2 ZZ q 1 = (P (x, y, f (x, y)), Q(x, y, f (x, y)), R(x, y, f (x, y))) · q (−fx , −fy , 1) 1 + fx2 + fy2 dxdy = D 1 + fx2 + fy2 ZZ = (P (x, y, f (x, y)), Q(x, y, f (x, y)), R(x, y, f (x, y))) · (−fx , −fy , 1) dxdy.
S
S
1 + fx2 + fy2
D
Tedy ZZ
~= F~ (x, y, z) · dS
S
ZZ [−P (x, y, f (x, y))fx (x, y) − Q(x, y, f (x, y))fy (x, y) + R(x, y, f (x, y))] dxdy. D
V pˇr´ıpadˇe, ˇze je plocha S orientovan´ a tak, ˇze norm´alov´e vektory “smˇeˇruj´ı dol˚ u”, tj. sv´ıraj´ı s kladn´ ym smˇerem osy z tup´ yu ´hel, pak norm´ alov´ y vektor plochy S vezmeme f f −1 x y ~n = q ,q ,q 1 + fx2 + fy2 1 + fx2 + fy2 1 + fx2 + fy2 Ve v´ ysledn´em vzorci tedy dostaneme opaˇcn´e znam´enko, ale tvar z˚ ust´av´a nezmˇenˇen. Speci´ aln´ı pˇr´ıpady ploˇsn´eho integr´ alu 2. druhu jsou: • a) Vektorov´e pole F~ = (0, 0, R(x, y)) a S : z = f (x, y), pro (x, y) ∈ D. Pro tok T plat´ı ZZ ZZ ~=± T = F~ (x, y, z) · dS (0, 0, R(x, y, f (x, y)) · (−fx (x, y), −fy (x, y), 1) dxdy. S
D
Tedy ZZ T =
R(x, y, f (x, y)) dxdy, D
jestliˇze norm´ ala plochy “m´ıˇr´ı nahoru” (sv´ır´a ostr´ yu ´hel s kladn´ ym smˇerem osy z), nebo ZZ T =− R(x, y, f (x, y)) dxdy, D
jestliˇze norm´ ala plochy “m´ıˇr´ı dol˚ u” (sv´ır´a tup´ yu ´hel s kladn´ ym smˇerem osy z). 4
• b) Vektorov´e pole F~ = (P (x, y, z), Q(x, y, z), 0) a z = konst. V tomto pˇr´ıpadˇe ~n = (0, 0, ±1) a ZZ ZZ ~ ~ F (x, y, z) · dS = (P (x, y, z), Q(x, y, z), 0) · (0, 0, ±1) dxdy = 0. S
D
Pozn´ amka: Ve vˇetˇsinˇe text˚ u se pro ploˇsn´ y integr´ al 2. druhu pouˇz´ıv´a n´asleduj´ıc´ı symbolika ZZ ZZ ~= F~ (x, y, z) · dS P (x, y, z) dydy + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy. S
S
Pˇ r´ıklad 3: Vypoˇctˇete tok vektorov´eho pole F~ (x, y, z) = (0, 0, 2) plochou S, kter´a je orientovan´a tak, ˇze norm´ alov´e vektory sv´ıraj´ı s kladn´ ym smˇerem osy z ostr´ yu ´hel nebo prav´ yu ´hel. • a) S : z = 2 − y, kde 0 ≤ x ≤ 4, y ≥ 0 a z ≥ 0. Plat´ı ~n = (−fx , −fy , 1) = (0, 1, 1). Dost´av´ame ZZ ZZ ZZ ~ ~ T = F · dS = (0, 0, 2) · (0, 1, 1) dxdy = 2 dxdy = 16. S
D
D
V´ ysledek dvojn´eho integr´ alu jsme z´ıskali u ´vahou, protoˇze se jedn´a o obsah plochy D, kterou je obd´eln´ık o stran´ ach 4 a 2 d´elkov´e jednotky. Tok plochou je tedy 16 jednotek toku. p • b) S : z = 4 − y 2 , 0 ≤ x ≤ 4, y ≥ 0, z ≥ 0. I zde sv´ıraj´ı norm´ alov´e vektory plochy ostr´ yu ´hel s kladn´ ym smˇerem osy z a plat´ı ~n = (−fx , −fy , 1) = y (0, 4−y av´ ame 2 , 1). Dost´ ZZ
~= F~ · dS
T =
ZZ
y , 1) dxdy = 2 4 − y2
(0, 0, 2) · (0, D
S
ZZ dxdy = 16. D
Tak´e tady je oblast D stejn´ y obd´eln´ık jako v ˇc´asti a). Tok plochou je tedy opˇet 16 jednotek toku. • c) S je v´ alcov´ a plocha x2 + y 2 = 4, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 2. V tomto pˇr´ıpadˇe jsou norm´ alov´e vektory kolm´e na kladn´ y smˇer osy z, a tedy tak´e na vektor F~ = (0, 0, 2) V kaˇzd´em bodˇe v´ alcov´e plochy plat´ı F~ · ~n = 0. Tok vektorov´eho pole plochou je tedy v tomto pˇr´ıpadˇe roven nule. p Pˇ r´ıklad 4: Vypoˇctˇete tok vektorov´eho pole F~ = (2, −1, 1) kuˇzelovou plochou z = 2 x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 4, kter´ a je orientovan´ a tak, ˇze jej´ı norm´alov´e vektory sv´ıraj´ı s kladn´ ym smˇerem osy z tup´ y u ´hel. Plat´ı fx = p
2x x2
+
y2
2y p , 2 x + y2
,
tedy 2x
2y
!
p ,p , −1 . x2 + y 2 x2 + y 2
~n = Pro tok T pak dost´ av´ ame ZZ
~= F~ · dS
S
= D
(2, −1, 1) ·
2x
2y
!
,p , −1 dxdy = x2 + y 2 x2 + y 2 ! ZZ ZZ 4x 2y 4x − 2y p p −p − 1 dxdy = dxdy − dxdy. x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 D D
T = ZZ
ZZ D
5
p
Z´ıskan´ y dvojn´ y integr´ al jsme rozdˇelili na dva integr´aly pouze z d˚ uvodu v´ ypoˇctu. Prvn´ı integr´ al vypoˇcteme transformac´ı do pol´ arn´ıch souˇradnic, ve kter´ ych je oblast D urˇcena nerovnicemi 0 ≤ % ≤ 2 a 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Dost´ av´ ame Z 2 Z 2π ZZ Z 2 Z 2π 4% cos ϕ − 2% sin ϕ 4x − 2y p p dxdy = d% % dϕ = % d% · (4 cos ϕ − 2 sin ϕ) dϕ = x2 + y 2 0 0 0 0 D %2 cos2 ϕ + %2 sin2 ϕ 2 2 % 2π [4 sin ϕ + 2 cos ϕ]0 = 0. = 2 0 Druh´ y integr´ al, pokud neuvaˇzujeme znam´enko, vyjadˇruje obsah kruhu, jehoˇz polomˇer je 2. M´ame tedy ZZ − dxdy = −4π. D
Celkov´ y tok T pˇres plochu S je roven −4π jednotek toku.
Integr´ aln´ı vˇ eta Gaussova-Ostrogradsk´ eho Necht’ F~ = (P, Q, R) je vektorov´ a funkce definovan´a na oblasti Ω ⊂ <3 a G ⊂ Ω je uzavˇren´ a ohraniˇcen´ a oblast, jej´ıˇz hranic´ı je uzavˇren´a plocha S orientovan´a podle vnˇejˇs´ıch norm´al. Necht’ P , Q, R, Px , Qy a Rz jsou na Ω spojit´e. Pak plat´ı ZZZ ZZZ ZZ ~ ~ ~ F · dS = div F dxdydz = (Px + Qy + Rz ) dxdydz. G
S
G
V´ ypoˇcet toku vektoru pˇres uzavˇrenou plochu tedy pˇrev´ad´ıme na trojn´ y integr´al pˇres vnitˇrek t´eto plochy. Interpretujeme-li ploˇsn´ y integr´ al jako tok T vektorov´eho pole uzavˇrenou plochou, pak T = T1 − T2 , kde T1 je mnoˇzstv´ı tekutiny, kter´e z G vyteˇce za jednotku ˇcasu, a T2 je mnoˇzstv´ı tekutiny, kter´e do G za stejn´ y ˇcas pˇriteˇce. Je-li T = 0, pak z oblasti vyt´ek´ a pr´ avˇe tolik tekutiny, kolik do n´ı vt´ek´a. Je-li T > 0, pak z oblasti vyt´ek´ a za jednotku ˇcasu v´ıce tekutiny, neˇz kolik do n´ı vt´ek´a. D´a se to vysvˇetlit tak, ˇze uvnitˇr oblasti G se nach´azej´ı tzv. zˇr´ıdla, tj. body, ve kter´ ych nˇejak´ ym zp˚ usobem pˇrib´ yv´ a tekutiny. Kdyˇz T < 0, pak z oblasti vyt´ek´ a m´enˇe tekutiny, neˇz kolik do n´ı vt´ek´a. To se d´a vysvˇetlit t´ım, ˇze v oblasti se nach´ az´ı tzv. nory, ve kter´ ych se tekutina ztr´ac´ı. RR ~ kde F~ (P, Q, R) = (y 2 , z 2 , x2 ), pˇres povrch krychle Pˇ r´ıklad 5: Vypoˇctete tok T = S F~ · dS, −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1 a −1 ≤ z ≤ 1 orientovan´ y tak, ˇze norm´ala m´ıˇr´ı zvnitˇrku ven. Jsou splnˇeny pˇredpoklady Gaussovy-Ostrogradsk´eho vˇety. Pˇritom div F~ = Px + Qy + Rz = 0. Plat´ı tedy ZZ
~= F~ · dS
T =
ZZZ
S
div F~ dxdydz = 0. G
6
Ploˇ sn´ y integr´ al 2. druhu — pˇ r´ıklady do cviˇ cen´ı 1. Vypoˇctˇete tok vektorov´eho pole F~ = (x2 , −2y, 3z) plochou S, kterou je horn´ı polovina kulov´e plochy x2 + y 2 + z 2 = 4, kter´ a je orientovan´a tak, ˇze norm´alov´e vektory sv´ıraj´ı s kladn´ ym smˇerem osy z ostr´ yu ´hel. p Plat´ı z = f (x, y) = 4 − x2 − y 2 , pro (x, y) ∈ D, kde D je kruh x2 + y 2 = 4. M´ame fx (x, y) = p
−x 4−
x2
−
y2
,
fy (x, y) = p
−y 4 − x2 − y 2
.
Vzhledem k orientaci plochy dost´ av´ ame ZZ T =
~= F~ · dS
ZZ
S
p (x , −2y , 3 4 − x2 − y 2 ) · 2
2
D
x
p ,p ,1 4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2 p + 3 4 − x2 − y 2
p −p 4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2
= D
dxdy = !
2y 3
x3
ZZ
!
y
dxdy.
Transformujeme do pol´ arn´ıch souˇradnic a rozdˇel´ıme na dva integr´aly Z 2 Z 2π p Z 2 Z 2π 3 % cos3 ϕ − 2%3 sin3 ϕ p 3% 4 − %2 dϕ. d% % dϕ + d% T = 4 − %2 0 0 0 0 Prvn´ı integr´ al je roven nule, plat´ı totiˇz1 Z 2 Z 2π %4 p · (cos3 ϕ − 2 sin3 ϕ) dϕ = 0. 4 − %2 0 0 Pro druh´ y integr´ al dost´ av´ ame Z
2
3%
p
4 − %2 d% ·
2π
Z 0
0
3 dϕ = |4 − %2 = t| = −2π 2
"p
(4 − %2 )3 3 2
#2 = 16π. 0
Celkov´ y tok T pˇres plochu S je roven 16π jednotek toku. 2. Vypoˇctˇep te tok vektorov´eho pole F~ = (2, 1, 3) orientovanou plochou S, kterou je kuˇzelov´a plocha z = 4 − x2 + y 2 , z ≥ 0, jej´ıˇz norm´ alov´e vektory sv´ıraj´ı s osou z ostr´ yu ´hel. p Pro z = f (x, y) = 4 − x2 + y 2 plat´ı fx = − p
x x2
+
y2
fy = − p
,
y x2
+ y2
.
Funkce z = f (x, y) je definov´ ana na oblasti D, kterou je kruh x2 + y 2 ≤ 16. Dost´av´ame ! ZZ ZZ y x ~= T = F~ · dS (2, 1, 3) · p ,p , 1 dxdy = x2 + y 2 x2 + y 2 S D ! ZZ 2x y p = +p + 3 dxdy. x2 + y 2 x2 + y 2 D V´ ypoˇcet tohoto integr´ alu rozdˇel´ıme na dvˇe ˇc´asti a pouˇzijeme pol´arn´ı souˇradnice ! ZZ Z 4 Z 2π 2x y 2% cos ϕ + % sin ϕ p +p dxdy = d% % dϕ = 2 + y2 2 + y2 % x x D 0 0 Z 4 Z 2π = % d% · (2 cos ϕ + sin ϕ) dϕ = 0. 0 1S
vyuˇ zit´ım faktu, ˇ ze
R 2π 0
sink
ϕ dϕ =
R 2π 0
cosk
0
ϕ dϕ = 0, je-li k lich´ e pˇrirozen´ eˇ c´ıslo.
7
ZZ
Z 3 dxdy = D
4
2π
Z d%
4
Z
% d% ·
3% dϕ = 3
0
2π
Z
0
0
0
%2 dϕ = 6π 2
4 = 48π. 0
Celkov´ y tok T pˇres plochu S je roven 48π jednotek toku. 3. Vypoˇctˇete tok vektorov´eho pole F~ = (yz, xz, xy) orientovanou plochou S, kterou je parabolick´ a plocha z = x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 9, jej´ıˇz norm´alov´e vektory sv´ıraj´ı s osou z tup´ yu ´hel. Pro z = f (x, y) = x2 + y 2 plat´ı fx = 2x,
fy = 2y.
Funkce z = f (x, y) je definov´ ana na oblasti D, kterou je kruh x2 + y 2 ≤ 3. Pouˇzijeme tedy pol´arn´ı souˇradnice. Dost´ av´ ame ZZ ZZ ~= T = F~ · dS (y(x2 + y 2 ), x(x2 + y 2 ), xy) · (2x, 2y, −1) dxdy = S
ZZ
4x3 y + 4xy 3 − xy dxdy =
=
3
Z
D
D 2π
Z
4%3 cos3 ϕ % sin ϕ + 4% cos ϕ %3 sin3 ϕ − %2 cos ϕ sin ϕ % dϕ.
d% 0
0
V´ ypoˇcet tohoto integr´ alu rozdˇel´ıme na tˇri ˇc´asti Z
3
Z
2π 5
d% 0
Z
Z
2π
4%5 cos ϕ sin3 ϕ dϕ =
0
Z
0
3
Z d%
0
4%5 d% ·
2π 3
Z
2π
Z
0
cos ϕ sin3 ϕ dϕ = | sin ϕ = t| =
0
3 3
Z
2π
% d% ·
% sin ϕ cos ϕ dϕ = 0
0
3
Z
2π cos4 ϕ 4 6 3 = 0. sin ϕ cos ϕ dϕ = | cos ϕ = t| = % 0· − 6 4 0 3
4% d% · 0
d%
2π
Z
5
4% cos ϕ sin ϕ dϕ = 0
3
3
Z
3
0
0
%4 sin ϕ cos ϕ dϕ = | sin ϕ = t| = 4
2π 4 6 3 sin4 ϕ = 0. % 0· 6 4 0
3 2 2π sin ϕ · = 0. 2 0 0
Celkov´ y tok T pˇres plochu S je roven nule. 4. Vypoˇctˇete tok vektorov´eho pole F~ = (x, y, z) orientovanou plochou S, kterou je ˇc´ast roviny y z ıˇz norm´ alov´e vektory sv´ıraj´ı s osou z ostr´ yu ´hel. 3 + 4 = 1 v 1. oktantu, jej´
x 2
+
Pro z = f (x, y) = 4 − 2x − 34 y plat´ı 4 fy = − . 3
fx = −2,
Funkce z = f (x, y) je definov´ ana na oblasti D, kterou je troj´ uheln´ık popsan´ y nerovnicemi 0 ≤ x ≤ 2, av´ ame 0 ≤ y ≤ 3 − 32 x. Dost´ ZZ ZZ ZZ 4 4 4 4 ~= T = F~ · dS (x, y, 4 − 2x − y) · 2, , 1 dxdy = 2x + y + 4 − 2x − y dxdy = 3 3 3 3 S D D 2 ZZ Z 2 Z 3− 23 x Z 2 3 3 2 = 12. dy = 4 (3 − x) dx = 4 3x − x = 4 dxdy = 4 dx 2 4 D 0 0 0 0 Celkov´ y tok T pˇres plochu S je roven 12 jednotek toku. 5. Vypoˇctˇete tok vektorov´eho pole F~ = (x, y, z) orientovanou plochou S, kterou je v´alcov´a plocha y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 3, jej´ıˇz norm´alov´e vektory sv´ıraj´ı s osou z ostr´ yu ´hel. p 2 Pro z = f (x, y) = 4 − y plat´ı fx = 0,
fy = − p
8
y 4 − y2
.
Funkce z = f (x, y) je definov´ ana na oblasti D, kterou je obd´eln´ık popsan´ y nerovnicemi 0 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 2. Dost´ av´ ame ! ! ZZ ZZ ZZ 2 p p y y ~= p , 1 dxdy = + 4 − y 2 dxdy = T = F~ · dS x, y, 4 − y 2 · 0, p 4 − y2 4 − y2 D S D ! Z 3 Z 2 Z 3 Z 2 h p y2 4 π π y i2 3 2 p p = dx dy = dx = 4 · 3 · ( + ) = 12π. + 4−y dy = 4 [x]0 · arcsin 2 2 2 −2 2 2 4−y 4−y 0 −2 0 −2 Celkov´ y tok T pˇres plochu S je roven 12π jednotek toku. 6. Vypoˇctˇete tok vektorov´eho pole F~ = (x, y, z) orientovanou plochou S, kterou je kulov´a plocha x2 + y 2 + z 2 = 9, z ≥ 0, jej´ıˇz norm´ alov´e vektory sv´ıraj´ı s osou z ostr´ yu ´hel. p 2 2 Pro z = f (x, y) = 9 − x − y plat´ı fx = − p
x 9−
x2
−
y2
,
fy = − p
y 9 − x2 − y 2
.
Funkce z = f (x, y) je definov´ ana na oblasti D, kterou je kruh x2 + y 2 ≤ 9. Pouˇzijeme proto pol´arn´ı souˇradnice a dost´ av´ ame ZZ ~= T = F~ · dS S ! ZZ ZZ p x 9 y 2 2 p x, y, 9 − x − y · p ,p , 1 dxdy = dxdy = = 2 2 2 2 9−x −y 9−x −y 9 − x2 − y 2 D D √ 0 Z 0 Z 3 Z 2π Z 3 t 9% % 1 dt 2 p p √ = −9π 1 = 54π. = d% dϕ = 18π d% = |9 − % = t| = 18π − 2 2 2 t 9−% 9−% 0 0 0 9 2 9 Celkov´ y tok T pˇres plochu S je roven 54π jednotek toku.
9
