h h h n 2! 3! n! h h h 2! 3! n!

Diferensiasi Numerik

Salah satu perhitungan kalkulus yang sering digunakan adalah turunan/ differensial. Contoh penggunaan differensial adalah untuk menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi

y  f  x  mensyaratkan nilai turunan suatu fungsi = 0  y’  0  . Dan di materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa dalam menentukan akar suatu persamaan linear dengan metode Newton-Raphson memerlukan differensial sebagai pembagi nilai perbaikan errornya. Tidak semua fungsi dapat dicari fungsi turunannya dengan mudah. Contoh fungsi yang dapat x x diselesaikan dengan manual adalah : f  x   xe  cosx  f ’  x   1  x  e – sin x . Tetapi pada

permasalahan lain nilai fungsi sulit diselesaikan secara manual. Terutama jika fungsinya hanya diketahui berupa nilai atau grafis. Definisi Umum Diferensial

f '( x)  lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

Ekspansi Deret Taylor Rumus umum ekspansi deret Taylor fungsi f  x  h  sekitar titik x

f ( x  h)  f ( x)  h. f '( x) 

h2 h3 hn n f ''( x)  f '''( x)  ...  f ( x)  ... 2! 3! n!

Atau bisa juga ditulis :

f ( xi 1 )  f(x i )  h. f '( xi ) 

h2 h3 hn n f ''( xi )  f ''( xi )  ...  f ( xi )  ... 2! 3! n!

{baca: Deret Taylor satu langkah ke depan} Ekspansi Deret Taylor inilah yang digunakan untuk mencari nilai turunan secara numerik. Ada 3 metode yang bisa digunakan : 1. Metode Selisih Maju 2. Metode Selisih Tengahan 3. Metode Selisih Mundur Selain 3 metode di atas, akan dibahas juga pendekatan numerik untuk diferensial tingkat tinggi.

Metode Selisih Maju Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi langsung definisi differensial Rumus umum differensial metode selisih maju pada titik x :

f '(x) 

f ( x  h)  f ( x ) h

h  0 {nilai yang diharapkan kecil} agar errornya kecil. Secara ringkas, besar errornya adalah : Ef '  

h f ''( ) 2

Contoh : Hitunglah nilai turunan fungsi f (x)  x 2 pada titik x=2: a. Cara analitik b. Cara numeruik dengan metode selisih maju (h=0,1 dan h = 0,01). Tentukan juga besar error relatifnya. Jawab : a. Cara analitik  f’(2)=4 b. Cara numerik dengan metode selisih maju. - h = 0,1

f '(x) 

a  -

f ( x  h)  f ( x ) f (2,1)  f (2)  f '(2)   4,1 h 0,1

4  4,1 100%  2,5% 4

h = 0,01

f '(x) 

a 

f ( x  h)  f ( x ) f (2, 01)  f (2)  f '(2)   4, 01 h 0, 01

4  4, 01 100%  0, 25% 4

Catatan : Tampak bahwa makin kecil nilai h semakin kecil juga tingat kesalahannya.

Metode Selisih Tengahan Metode selisih tengahan merupakan metode penentuan nilai turunan dengan mengambil perubahan dari 2 titik sekitar titik yang diukur. Rumus umum differensial metode selisih tengahan pada titik x : Rumus selisih maju pada  x  h 

f '(x  h) 

f ( x )  f ( x  h) h

Rumus selisih maju pada (x)

f '(x) 

f ( x  h)  f (x) h

Metode selisih tengahan merupakan rata-rata dari dari dua selisih maju di atas :

f '( x) 

f1 '( x  h)  f 2 '(x) f ( x  h)  f ( x  h)  2 2h

h2 Besar kesalahan metode selish tengahan ini adalah : E f '   f '''( ) 6 NB: Metode seleksi tengahan banyak digunakan sebagai metode diferensial numerik.

Contoh : Hitunglah nilai turunan fungsi f ( x)  x 2 pada titik x  2 dengan metode selisih tengahan (h=0,1 dan h = 0,01). Tentukan juga besar error relatifnya. Jawab : a. Cara analitik  f’(2)=4 b. Cara numerik dengan metode selisih tenagahan. - h = 0,1

f '(x) 

a 

f ( x  h)  f ( x  h) f (2,1)  f (1,9)  f '(2)  4 2h 0, 2

44 100%  0% 4

-

h = 0,01

f '(x) 

a 

f ( x  h)  f ( x  h) f (2, 01)  f (1,99)  f '(2)  4 2h 0, 02

44 100%  0% 4

Metode Selisih Mundur Rumus umum differensial metode selisih mundur pada titik x :

f '( x)  Besar errornya adalah : E f ' 

f ( x )  f ( x  h) h

h f ''( ) 2

Contoh : Hitunglah nilai turunan fungsi f ( x)  x 2 pada titik x=2 dengan metode selisih mundur (h=0,1 dan h = 0,01). Tentukan juga besar error relatifnya. Jawab : COBALAH

Latihan : Hitunglah nilai turunan f (x)  0,1x 4  0,15x3  0,5x 2  0, 25 x  1, 2 untuk x=00,5 dengan h = 0,1. a. b. c. d. e.

Cara analitik Metode selisih maju Metode selisih tengahan Metode selisih mundur Hitung juga error b,c, dan d.

Differensial Tingkat Tinggi Differensial tingkat tinggi merupakan proses pendefferensialan secara terus menerus, hingga tingkatan yang ditentukan. Pedeferensialan tingkat n secara umum dapat ditulis :

f n ( x) 

 n f ( x)    n 1 f ( x)     x n   x n1 

Misalkan differensial tingkat 2, dapat ditulis :

 2 f ( x)   f ( x)  f '( x) f ( x)     x 2   x  x 2

Untuk menghitung differnsial tinkat tinggi dapat menggunakan metode selisih maju, selisih tengahan, dan selisih mundur. Rumus umum differensial tingkat 2 dengan metode maju :

f ''( x) 

f '( x  h)  f '( x) f ( x  2h)  2 f ( x  h)  f ( x)  h h2

(3) Dengan error : E f  h. f ( )

Rumus umum differensial tingkat 2 dengan metode tengahan :

f ''( x) 

f '( x  h)  f '( x  h) f ( x  2h)  2 f ( x)  f ( x  h)  h h2

Dengan error : E f  

h2 (4) . f ( ) 12

Rumus umum differensial tingkat 2 dengan metode mundur :

f ''( x) 

f '( x)  f '( x  h) f ( x)  2 f ( x  h)  f ( x  2h)  h h2

(3) Dengan error : E f  h. f ( )

Dengan cara yang sama dapat diperoleh rumus umum differensial tingkat 3,4, dst. Contoh :

Hitunglang nilai turunan kedua dari fungsi f ( x)  x 3  2 x 2  x untuk x=0,25 dengan h=0,05. Tentukan juga nilai errornya : a. b. c. d.

Cara analitik Metode selisih maju Metode selisih tengahan Metode selisih mundur

Jawab : a. Cara analitik (coba sendiri) b. Cara numerik metode selisih maju

f '( x  h)  f '( x) f ( x  2h)  2 f ( x  h)  f ( x)  h h2 f '(0, 25  0, 05)  f '(0, 25) f (0,35)  2 f (0,3)  f (0, 25) f ''(0, 25)    2, 2 0, 05 (0, 05)2 f ''( x) 

r 

2,5  (2, 2) 100%  12% 2,5

c. Cobalah d. Cobalah Tampak bahwa : -

Metode selish maju dan mundur memberikan hasil dengan tingkat ketelitian yang sencderung sama Sementara Metode selisih tengahan memberikan hasil yang paling teliti.

Pendekatan Ekspansi Taylor Pendekatan lain yang dapat digunakan untuk memberi nilai pendekatan fungsi diferensial adalah ekspansi deret Taylor. Ekspansi deret Taylor satu langkah ke depan :

h2 h3 f ( xi 1 )  f ( xi )  h. f '( xi )  f ''( xi )  f '''( xi )  ... 2! 3! Ekspansi deret Taylor dua langkah ke depan :

f ( xi  2 )  f ( xi )  2h. f '( xi ) 

(2h)2 (2h)3 f ''( xi )  f '''( xi )  ... 2! 3!

Dengan menggunakan persaman (2) dengan 2 kali persamaan (1), diperoleh :

f ( xi 2 )  2 f ( xi )   f ( xi )  h2 f ''( xi )  ... Sehingga diperoleh

f ''( xi ) 

f ( xi  2 )  2 f ( xi 1 )  f ( xi ) h2

(differensial terbagi hingga 2 langkah ke depan)

Persamaan di atas bisa di modifikasi menjadi :

f ''( xi ) 

f ( xi )  2 f ( xi 1 )  f ( xi 2 ) h2

(differensial terbagi hingga 2 langkah mundur)

Sementara itu : Ekspansi deret Taylor tiga langkah ke depan :

f '''( xi ) 

f ( xi 3 )  3 f ( xi  2 )  3 f ( xi 1 )  f ( xi ) h3

Secara umum mengikuti pola bilangan segitiga Pascal. Secara umum ditulis :

f ( n ) ( xi ) 

f ( xi  n )  nf ( xi  n 1 )  ...  (1) n1 nf ( xi 1 )  (1) n f ( xi ) hn

Misalkan rumus pendekatan untuk differensial tingkat 5:

f (5) ( xi ) 

f ( xi 5 )  5 f ( xi  4 )  10f(x i 3 )  10 f ( xi  2 )  5 f ( xi 1 )  f ( xi ) h5

Latihan : 1. Hitunglah nilai turunan kedua dari fungsi f ( x)  0,1x4  0,15x3  0,5x 2  0, 25 x  1, 2 untuk

x  0,5 dengan h=0,1. a. Cara analitik b. Metode selisih maju c. Metode selisih tengahan d. Metode selisih mundur e. Hitung juga error b,c,d. Apa kesimpulan kalian? 2. Untuk soal no.1 di atas, tentukan pendekatan turunan ketiganya menggunakan pendekatan ekspansi deret Taylor. 3. Hitunglah nilai differensial kedua dan turun ketiganya menggunakan pendekatan ekpansi deret Taylor dari fungsi f ( x)  x3  2 x 2  x untuk x  0, 25 dengan h=0,05. Tentukan juga nilai errornya.