PELUANG
TEKNIK MENGHITUNG: PERKALIAN Prinsip Dasar Perkalian:
Bab pembelajaran: 1. Teknik Menghitung a. Perkalian b. Permutasi c. Kombinasi 2. Peluang a. Dasar Peluang b. Peluang Bersyarat c. Kebebasan
Jika suatu tugas (prosedur/pilihan) dapat dilakukan dengan n1 diikuti oleh tugas selanjutnya sebanyak n2 cara, tugas selanjutnya dengan n3 cara, dan seterusnya sampai tugas terakhir adalah nk cara, maka banyaknya cara untuk menyelesaikan tugas tersebut semuanya adalah sebanyak n1·n2·n3· … ·nk. Contoh: Berapa banyak cara kita bisa membuat nomor pelat mobil BL? (angka 3 buah, huruf 2 buah) Oleh Ridha Ferdhiana, M.Sc
TEKNIK MENGHITUNG: PERKALIAN Banyaknya susunan bilangan positif genap yang terdiri dari 3 angka yang diambil dari angka 2, 3, 4, 5, 6, 7 dan tidak boleh lebih dari 500 adalah....
10*10*10*26*26 = 676,000
TEKNIK MENGHITUNG: PERMUTASI
P n , r , P nr
Pengertian: Mengatur n buah obyek yang diambil sebanyak r buah (r≤n) dalam suatu urutan.
P n , r =nn−1n−2…n−r1= Angka-angka yang kurang dari 500, dimulai dengan angka 2,3, dan 4. Sehingga banyaknya angka adalah : 3 x 6 x 6 = 108
n! n−r !
Dimana
nn−1n−2…n−r1=
n n−1n−2n−r1 .n−r ! n−r !
TEKNIK MENGHITUNG: PERMUTASI
P n , r , P nr
Pengambilan Sampel DENGAN Pengembalian
Pada kasus khusus:
P n , n=n n−1 n−2…n−r1…3.2 .1=n !
Permutasi dengan Perulangan Banyaknya permutasi dari n obyek dimana beberapa obyeknya adl sama. Banyaknya permutasi dari n obyek dengan obyek 1 sebanyak n 1, obyek 2 sebanyak n 2, ...., obyek k sebanyak n k
P n ,n 1 , n 2 , , n k =
SAMPEL TERURUT
n! n1 ! n 2 ! n k !
Empat tim bulu tangkis ganda disusun dari sejumlah 8 pemain. Tentukan banyaknya konfigurasi yang mungkin, jika setiap pemain hanya bermain pada satu tim? Setiap tim terdiri dari 2 orang, sehingga n1 = 2, n2 = 2, n3 = 2, dan n4= 2, sehingga banyaknya konfigurasi adalah : 8!/(2!2!2!2!) = 5040. Dalam suatu keluarga terdiri dari 3 orang perempuan dan 2 orang laki-laki. Apabila keluarga tersebut akan berfoto bersama dengan posisi berdiri berjajar dan anggota keluarga laki-laki harus mengapit anggota keluarga perempuan, maka formasi yang terbentuk ada…. Ada 2! mengatur laki-laki dan 3! mengatur perempuan, maka banyak cara adalah 2!3! = 12
n.n.n.n =n
r
r
Pengambilan Sampel TANPA Pengembalian
P n , n=n n−1n−2…n−r1…3.2 .1=n ! Pengambilan sebanyak n
P n , r =n n−1n−2…n−r1=
n! n−r !
Pengambilan sebanyak r
Dalam suatu rapat komisi yang terdiri dari 6 orang dalam posisi yang melingkar. a.Ada berapa cara formasi duduk yang bisa dibentuk? b.Jika ketua dan wakil harus selalu duduk bersebelahan, ada berapa formasi duduk yang bisa dibentuk…. a. Satu kursi menjadi pusat, sehingga tersisa 6-1 = 5 kursi, maka ada (6-1)! = 5! = 120 cara membentuk formasi duduk. b. Karena ketua dan wakil harus bersebelahan, maka ada 4 kursi yang tersisa dan ada 2! cara menyebelahkan ketua dan wakil. Maka formasi duduk ada 2!4! = 48
Dalam Sebuah kantong terdapat 8 bola yang dinomori 1 sampai 8. Ada berapa cara mengambil 4 bola, jika: a. Bola dikembalikan lagi kedalam kantong setelah terambil b.Bola tidak dikembalikan lagi kedalam kantong a. Ada 8 pilihan saat mengambil bola pertama, karena bola dikembalikan lagi maka ada 8 pilihan untuk mengambil bola kedua, 8 pilihan mengambil bola ketiga, dan 8 pilihan mengambil bola keempat. Banyak cara adalah 8x8x8x8 = 4098 b. Ada 8 pilihan mengambil bola pertama, 7 pilihan mengambil bola kedua, 6 pilihan untuk mengambil bola ketiga, san 5 pilihan mengambil bola keempat, maka banyak cara adalah 8x7x6x5=1680 atau P(8,4) = 8!/(8-4)! = 8!/4! = 1680
TEKNIK MENGHITUNG: KOMBINASI
C n , r ,C nr , n r
3-permutations abc acb bac abd adb bad adc acd dac dbc dcb bdc
bca bda dca bcd
cba dba cda cbd
cab dab cad cdb
3-combinations {a, b, c} {a, b, d} {a, c, d} {b, c, d}
TEKNIK MENGHITUNG: KOMBINASI
C n , r ,C nr , n r
Pengertian: Mengatur n buah obyek yang diambil sebanyak r buah (r≤n) tidak dalam urutan.
C (n, r)=
P(n ,r) n! = r! r !(n−r)!
Dalam sebuah acara terdapat 10 orang yang saling bersalaman, berapa kali salaman yang terjadi dalam acara tersebut…. Diperlukan 2 orang untuk bersalam, tidak peduli A dengan B atau B dengan A (tidak ada urutan), maka banyak salaman yang terjadi adalah: C(10,2) = 10!/(8!2!) = 45 Disuatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita. Jika perkumpulan tersebut terdiri dari 7 pria dan 8 wanita, berapa banyak susunan perwakilan yang dapat dibentuk…. Banyak cara mendapatkan pria adalah C(7,3), banyak cara mendapatkan wanita adalah C(8,2), maka banyak cara , mendapatkan 5 orang perwakilan adalah C(7,3)xC(8,2) = 980
PELUANG Aturan Peluang 1. Untuk setiap kejadian A, 0 ≤ P(A) ≤ 1 2. P(S) = 1 3. Jika A dan B saling asing (tidak punya irisan) maka P(A U B) = P(A) + P(B) 4. Jika A dan B tidak saling asing, maka P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 5. Jika A dan B saling bebas, jika dan hanya jika P(A∩B) = P(A) x P(B) 6. Peluang Bersyarat: P(B|A) = P(A∩B) ∕ P(A), konsekuensinya adalah P(A∩B) = P(A) x P(B|A)
Dua dadu dilempar bersama-sama. Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah…. P(keluar mata 3 dadu pertama) = 1/6 P(keluar mata 5 dadu kedua ) = 1/6 Kedua kejadian adalah saling bebas ,maka peluangnya adalah P(3∩5) = P(3) x P(5) = (1/6) x (1/6) = 1/36 Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilantunkan bersama sama. Bila diketahui mata uang muncul angka, maka peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah ... Kejadian muncul mata dadu lebih dari dua adalah mata dadu 3, 4, 5, atau 6, peluangnya adalah saling asing dan tidak punya irisan, shg P(keluar mata dadu lebih dari 2) = 4/6 = 2/3 Keluaran dari dadu tidak dipengaruhi oleh keluaran dari mata uang.
Dalam suatu kelas yang terdiri atas 40 siswa, terdapat 11 anak hobi bermain voli, 15 anak hobi bermain basket, dan 5 anak hobi bermain voli dan basket. Jika dipilih dua murid untuk suatu kompetisi olahraga, peluang yang terpilih anak yang hobi bermain voli atau basket adalah…. P(Voli atau Basket) = P(Voli U Basket) = 11/40 + 15/40 – 5/40 = 21/40 Tiga uang logam dilempar bersama-sama. Jika A adalah kejadian muncul tepat dua angka, maka P(A) adalah…. n(A) = C(3,2) = 3 n(S) = 2 x 2 x 2 = 8 P(A) = 3/8
Bapak dan ibu Zaenal sedang merencanakan nama bagi anak mereka yang akan segera lahir dengan nama yang terdiri dari 3 kata dengan nama belakang Zaenal. Mereka menginginkan inisial/singkatan nama anak tersebut adalah terurut menurut abjad dengan tak ada huruf yang berulang, sebagai contoh GTZ, tetapi mereka tidak mau TGZ. Banyak pilihan inisial nama yang dapat dipergunakan adalah .... (olimpiade SMP tingkat kota)
a. 25 b. 125 c. 150 d. 300
Tersedia tujuh gambar yang berbeda akan dipilih empat gambar yang akan dipasang membentuk barisan memanjang. Banyaknya cara yang dapat dilakukan jika sebuah gambar yang terpilih harus selalu dipasang di ujung adalah ...
Terdapat 3 orang Indonesia, 4 orang Belanda, dan 2 orang Jerman akan duduk dalam bangku yang memanjang. Banyaknya susunan yang terjadi jika duduknya berkelompok menurut kewarganegaraannya adalah...
(olimpiade SMP tingkat kota)
(TOKI propinsi)
a. 420 b. 504 c. 520 d. 720 e. 710
a. 24 b. 48 c. 288 d. 536 e. 1728
Lima pasang suami istri akan duduk di 10 kursi secara memanjang. Banyaknya cara mengatur tempat duduk mereka sehingga setiap pasang suami istri duduk berdampingan adalah
Misalkan S = {21, 22, 23, ..., 30}. Jika empat anggota S diambil secara acak, maka peluang terambilnya empat bilangan yang berjumlah genap adalah ....
(TOKI propinsi)
(olimpiade SMP tingkat kota)
a. 3800 b. 3820 c. 3840 d. 3900 e. 3940
a. 2/5 b. 1/2 c. 11/21 d. 2/3
Seorang pedagang menjajakan 10 jeruk manis dan 5 jeruk masam yang kesemuanya terlihat sama dan diletakkan dalam satu keranjang yang sama. Jika Ana ingin membeli dua buah jeruk dan mengambilnya sekaligus secara sembarang, maka peluang Ana akan memperoleh dua jeruk dengan rasa yang sama adalah ...
Dijual 100 lembar kupon, 2 diantaranya berhadiah. Ali membeli 2 lembar undian. Peluang Ali mendapat 2 hadiah adalah... (soal SNMPTN)
(soal SNMPTN)
a. 1/21 b. 1/15 c. 2/15 d. 11/15 e. 11/21
a. 1/50 b. 1/100 c. 1/200 d. 1/4950 e. 1/9900
Didalam kotak terdapat 2 bola biru, 4 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah
Suatu sekolah mengikutsertakan 3 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan dalam seleksi OSN tingkat kabupaten/ kota. Diberikan 3 soal pilihan benar-salah. Peluang bahwa tidak ada satupun siswa laki-laki yang menjawab semua soal dengan benar, sedangkan ada satu siswa perempuan yang dapat menjawab semua soal dengan benar adalah ....
(soal SNMPTN 2012)
a. 7/8 b. 6/8 c. 5/8 d. 2/8 e. 1/8
(soal olimpiade SMP propinsi)
a. b. c. d.
73/83 (15x73)/85 (14x73)/85 (73+14)/85
