Wiskundige toepassingen bij Thermodynamica
-1–
WISKUNDE toegepast bij THERMODYNAMICA
Wiskundige toepassingen bij Thermodynamica
-2–
INTEGRATIETECHNIEKEN Toepassingsvoorbeeld - 1 Het opgenomen vermogen van een compressor – 1 Beschouw onderstaand p – V – diagram, waarin het drukverloop is zichtbaar gemaakt als functie van het doorlopen slagvolume van een compressor. 1–2 2–3 3–4 4–1
Het op druk brengen van het aangezogen volume gas Het onder constante druk uitdrukken van het gecomprimeerde gas Het dalen van de druk in de cilinder bij aanvang aanzuigslag. (Ideaal) Aanzuigen van nieuw gas tijdens de zuigslag van de compressor.
Aanvullende gegevens zijn nog dat de aanvangsdruk 1 bar bedraagt. Het volume bij aanvang van de compressie bedraagt 300 liter. De persdruk van de compressor is 5 bar. De compressie verloopt volgens de wet van Poisson. Deze luidt: p ⋅ V n = con . De exponent van Poisson, n = 1,35. Het proces wordt 5 maal per seconde doorlopen; de compressor draait met een toerental van 5 Hz.
[ m ]en de eenheid van volume [m ]is, is de eenheid van het
Omdat de eenheid van druk N
3
2
product van deze beide grootheden, p ⋅ V , dus [Nm] . Het is hierdoor te begrijpen dat de oppervlakte van het beschreven proces een maat is voor de hoeveelheid arbeid welke de compressor per cyclus vraagt.
Weergave van het compressorproces in een p – V – diagram Bereken de grootte van het opgenomen vermogen van deze compressor.
Wiskundige toepassingen bij Thermodynamica
-3–
Uitwerking Bij wijze van illustratie zal het bovenstaande probleem op twee verschillende manieren worden uitgewerkt. Manier 1
Werkwijze: Om de oppervlakte te berekenen maken we gebruik van een integraal. Hiermee wordt het op bovenstaande abeelding gearceerde oppervlak berekend. Merk op dat we niet mogen vergeten het onderste, rechthoekige oppervlak van het gevonden resultaat af te trekken. Daarna wordt nog het rechthoekige oppervlak bepaald en bij het eerst gevonden antwoord opgeteld. Allereerst wordt het volume in punt 2 berekend. Er geldt p1 ⋅ V1n = p 2 ⋅ V2n
p Omschrijven leert 1 ⋅ V1n = V2n p2 1
p n Links en rechts de n – de machts wortel trekken levert: V2 = 1 ⋅ V1 p2 1
1 1,35 Dit levert bij invullen V2 = ⋅ 300 = 91,07 liter 5 Omdat de compressie van 1 naar 2 verloopt volgens de wet van Poisson, geldt:
Wiskundige toepassingen bij Thermodynamica
-4–
p ⋅V n = c
Na wat algebraïsch omschrijven volgt de functie die het verloop van de druk beschrijft als functie van het volume. p=
c Vn
Het oppervlak onder de lijn 1 – 2 bedraagt nu: 2
2
2
2
2
2 1 1 1 c −n − n +1 ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ p dV dV c dV c dV c V dV c V ∫1 ∫1 V n ∫1 V n ∫1 V n ∫1 − n +1 1
Uitwerking geeft: 2 2 1 1 1 − n +1 n 1− n c ⋅ − n + 1 V 1 = p ⋅ V ⋅ 1 − n ⋅ V 1 = 1 − n ⋅ {p 2 ⋅ V2 − p1 ⋅ V1 }
{
}
1 1 ⋅ {p 2 ⋅ V2 − p1 ⋅ V1 } = ⋅ 5 ⋅ 10 5 ⋅ 0,091 − 1 ⋅ 10 5 ⋅ 0,3 = −44286 Nm 1− n 1 − 1,35 Opmerking: Merk op dat het antwoord negatief is. Dit duidt op het feit dat compressiearbeid energie kost! De gevraagde hoeveelheid arbeid, is nu gelijk aan W = 44286 − (0,3 − 0,091) ⋅ 1 ⋅ 10 5 + (5 − 1) ⋅ 10 5 ⋅ (0,091 − 0 ) = 59786 Nm
Het opgenomen vermogen bedraagt hiermee P = W ⋅ n = 59786 ⋅ 5 = 298929 Watt = 299 kWatt
Manier 2 Werkwijze Beschouw het met rood aangegeven oppervlakje, wat een zeer kleine hoeveelheid arbeid voorstelt. We kunnen schrijven dW = V ⋅ dp
Wiskundige toepassingen bij Thermodynamica
-5–
p2
p2
Voor het totale oppervlak noteren we W = ∫ dW = ∫ V ⋅ dp p1
(A)
p1
Omdat geldt p ⋅ V n = c 1
c n geldt ook, na enig algebraïsch omschrijven: V = p
Dit resultaat wordt nu in vergelijking A ingevuld. 1 1 1 p2 1 p2 1 n − c n 1 W = ∫ V ⋅ dp = ∫ ⋅ dp = c n ⋅ ∫ ⋅ dp = c n ⋅ ∫ p n ⋅ dp = p ⋅ V n p p p1 p1 p1 p1 p2
p2
(
)
1 n
⋅
1 p 1 − +1 n
1 − +1 n
2 1
De uitwerking levert: W = p ⋅V n
(
)
1 n
1 − +1 2 1 n n 2 ⋅ p n = ⋅ p ⋅V = ⋅ [ p 2 ⋅ V2 − p1 ⋅ V1 ] 1 n −1 n −1 1 1 − +1 n
Invullen levert nu W=
n 1,35 ⋅ [ p 2 ⋅ V2 − p1 ⋅ V1 ] = ⋅ [5 ⋅ 0,091 − 1 ⋅ 0,3] ⋅ 10 5 = 59786 Nm n −1 1,35 − 1
Hiermee is in één enkele stap hetzelfde resultaat bereikt als in de wat meer omslachtige methode welke hiervoor werd toegepast.
Wiskundige toepassingen bij Thermodynamica
-6–
Toepassingsvoorbeeld – 2 Het opgenomen vermogen van een compressor - 2 Gegeven Een compressor werkt volgens de wet van Poisson, p ⋅ V n = c . De machine zuigt lucht aan met een druk van 0,95 bar en de persdruk bedraagt 5 bar. De machine heeft geen schadelijke ruimte. Het betreft hiermee dus een theoretische benadering van de werkelijkheid. Voor de waarde van de exponent van Poisson nemen we 1,4. De compressor heeft slechts één cilinder en draait met een toerental van 10 omwentelingen per seconde, n = 10 Hz. Het slagvolume van de compressor bedraagt 50 liter. Bereken het opgenomen vermogen van de compressor, aangenomen dat alle rendementen 100% zijn. Oplossing: Beschouw onderstaande afbeelding waarop het kringproces in beeld gebracht is.
Weergave van het (links om draaiende) kringproces in de cilinder van een compressor. Het op bovenstaande afbeelding, met blauw aangegeven oppervlakje, stelt een zeer kleine hoeveelheid arbeid voor, waarvoor geldt: dW = V ⋅ dp
[1]
Wiskundige toepassingen bij Thermodynamica
-7–
Voor het volume, hetgeen een functie van de druk is, kan geschreven worden, via p ⋅V n = c
Herschikken van de vergelijking geeft Vn =
c p
Links en rechts de n-de machts wortel trekken geeft: 1 n
− c V = = c n ⋅ p n p 1
1
[2]
Vergelijking [2] invullen in [1] geeft 1 n
dW = c ⋅ p
1
W = cn ⋅
−
p2
∫
p
1 n
−
⋅ dp
1 n
⋅ dp
p1
Links en rechts integreren geeft nu p2 1
W = ∫cn ⋅ p
−
1 n
⋅ dp
p1
Na uitwerken zien we 1 1 − +1 1 W = c n ⋅ ⋅p n 1 − +1 n
p2
p1
Voor de constante kan nu ingevuld worden p ⋅ V n = c , waarna W = p ⋅V n
(
)
1 n
n ⋅ ⋅p n −1
Uitwerken geeft
n −1 n
p2
p1
-8–
Wiskundige toepassingen bij Thermodynamica
W=
n ⋅ {p 2 ⋅ V2 − p1 ⋅ V1 } n −1
[3]
Allereerst moet nu het volume, na het bereiken van de druk p2 het volume V2 berekend worden. Hiervoor geldt: p ⋅V n = c ,
Dus 0,95 ⋅ 0,051, 4 = 5 ⋅ V21, 4 Hieruit volgt: V21, 4 =
0,95 ⋅ 0,051, 4 5 1
0,95 ⋅ 0,051, 4 1, 4 3 V2 = = 0,0153 m 5
Thans kan vergelijking [3] worden ingevuld: W=
n ⋅ {p 2 ⋅ V2 − p1 ⋅ V1 } n −1
W=
1,4 ⋅ 5.10 5 ⋅ 0,0153 − 0,95 ⋅ 10 5 ⋅ 0,05 = 10150 Joule [= Nm] 1,4 − 1
{
Voor het vermogen wordt gevonden: P = W ⋅ n = 10140 ⋅ 10 = 101,5 kW
}
