Tentamen Thermodynamica 4B420
3 november 2011, 9.00–12.00 uur
• Dit tentamen bestaat uit 4 opeenvolgend genummerde opgaven, die alle even zwaar worden beoordeeld. Advies: besteed daarom tenminste een half uur aan iedere opgave. • De opgaven dienen duidelijk leesbaar beantwoord te worden. • De tabellen dienen, vanwege hergebruik, met het tentamen weer ingeleverd te worden.
Thermodynamische formules Toestandsvariabelen 1. Grootheden (en daarmee toestanden) zijn bepaald door twee onafhankelijke (in principe willekeurig te kiezen) grootheden: U = U (T, V ), U = U (p, V ), U = U (p, T ) etc. en idem dito voor alle andere grootheden (H, S, . . . ) inclusief de specifieke vormen u = U/m etc. Drie bijzondere gevallen: (i) Twee-fasen mengsel: druk en temperatuur zijn afhankelijk van elkaar in het coexistentie gebied; voor een grootheid u = (1 − x)uf + xug in dit gebied geldt dus b.v. wel u = u(p, v) of u = u(T, v), maar niet u = u(p, T ). (ii) Inwendige energie en enthalpie van een ideaal gas: U = U (T ) en H = H(T ). (iii) Incompressibele vloeistoffen (water: p . 50 bar): voor toestandsgrootheden geldt bij (goede) benadering v = v(T ) ≈ vf (T ), u ≈ uf (T ) etc. Daarnaast geldt cp = cv , du = cv dT en dh = du + vdp. 2. De definitie van enthalpie luidt H ≡ U + pV (specifiek: h = H/m = u + pv = u + p/ρ); de definitie van entropie luidt dS ≡ δQrev /T . Beide definities zijn altijd geldig. 3. Ideaal gas: du = cv dT , dh = cp dT , s2 − s1 = cv ln(p2 /p1 ) + cp ln(v2 /v1 ), cp = cv + R, ¯ cp /cv = k, R = R/M ; isentroop (ds = 0): T2 /T1 = (V2 /V1 )1−k etc. (Poisson relaties). Gesloten systemen 4. Eerste hoofdwet: δQ = dU + δW ; reversibel proces: δWrev = pdV , δQrev = T dS R 5. Tweede hoofdwet: S2 − S1 = sg δQ/T + Sp (sg=systeemgrens); entropieproductie Sp ≥ 0; reversibel proces: Sp = 0; irreversibel proces: Sp > 0 Open systemen P 6. Massabehoud: dm/dt|cv = ˙ i (cv=controlevolume); massastroom m ˙ = ρAc; inim stroom: m ˙ i > 0; uitstroom: m ˙i<0 0 ˙x+P m 7. Eerste hoofdwet (energiebehoud): dU/dt|cv = Q˙ − W i ˙ i hi ; stagnatie-enthalpie: 0 2 hi = hi + c /2 + gzi ; reversibel proces: δwx,rev = −vdp, δqrev = T ds R P ˙ + im 8. Tweede hoofdwet: dS/dt|cv = sg δ Q/T ˙ i si + S˙ p (sg=systeemgrens) Kringprocessen 9. Thermisch rendement motor: η ≡ |W |/|Qin |; “Coefficient Of Performance” (COP) koelsysteem: COP ≡ |Qkoel |/|W |; efficientie warmtepomp: ² ≡ |Qwarmte |/|W |; Carnot proces: ηC = 1 − TL /TH ; COPC = TL /(TH − TL ); ²C = TH /(TH − TL ) = COPC + 1 Vochttransport 10. Relatieve vochtigheid: φ(T ) = pH2 O (T )/psat,H2 O (T )
Opgave 1 Een cilinder, afgesloten door een wrijvingsloze zuiger, bevat Argon (ideaal gas, M = 40 kg/kmol, cp = 0.52 kJ/kg K). Het gas wordt gecomprimeerd door de zuiger middels uitoefening van een variabele kracht in te drukken. Deze kracht wordt daarbij dusdaning geregeld dat de temperatuur lineair toeneemt met afnemend volume volgens de relatie T = av + b, met a = −50 K kg/m3 en b = 350 K. Het specifieke beginvolume bedraagt v1 = 1 m3 /kg en de compressie stopt als de druk twee keer de begindruk heeft bereikt. a) Geef een relatie voor de druk p als functie van het specifieke volume v en schets deze in een p-v diagram. b) Bepaal begin- en einddruk alsmede het specifieke volume na de compressie. c) Bepaal de hoeveelheid specifieke arbeid benodigd voor de compressie. d) Hoeveel specifieke warmteafgifte vindt plaats tijdens de compressie? De warmte wordt naar de omgevingslucht (20◦ C, 1 bar) afgevoerd. e) Toon aan dat deze warmteafgifte irreversibel verloopt.
Opgave 2 Een hoeveelheid water van 25 g bevindt zich in een zuiger-cilinder systeem op een druk van 300 kPa en met een beginvolume van 10 liter. Een electrisch verwarmingselement (vermogen 100 W) is in de cilinder geplaatst en wordt gedurende 5 minuten in werking gesteld. Hierdoor stijgt de zuiger (oppervlak 0.1 m2 ) wrijvingsloos en lekt via de cilinderwand tegelijkertijd 5 kJ aan warmte weg naar de omgeving. a) Bepaal de temperatuur en enthalpie van het water in de begintoestand. b) Schets het proces in een p-v diagram en geef daarbij de saturatiecurve aan. c) Bepaal de stijging van de zuiger en de daarbij geleverde arbeid. Het systeem wordt van een thermische isolatie voorzien. Wederom wordt, startend van dezelfde begintoestand, warmte toegevoerd middels het verwarmingselement, totdat de zuiger dezelfde stijging als voorheen heeft ondergaan. (Neem een stijging van 10 cm aan indien u onderdeel (c) niet heeft kunnen beantwoorden.) d) Bepaal de einddruk van het water. e) Hoe lang dient het verwarmingselement aan te staan?
Opgave 3 Een gasturbine (lucht, ideaal gas, M = 29 kg/kmol, k=1.4) wordt beschreven door een cyclus bestaande uit twee isobaren en twee isentropen (zie figuur). De maximum en minimum temperaturen in de cyclus bedragen 1000 K en 288 K, de drukverhouding is 6 en de laagste druk is 1 bar. Ga in eerste instantie uit van ideaal functionerende componenten. a) Schets het proces in een T-s diagram. b) Bepaal de specifieke hoeveelheid warmte die in de verbrandingskamer (“heater”, zie figuur) moet worden toegevoerd. c) Bepaal het thermisch rendement van deze cyclus. Vanwege interne wrijving in de turbine-component (“turbine”) is diens isentrope rendement gelijk aan ηi = wwerkelijk /wideaal = 0.9. Neem aan dat begin- en einddruk hetzelfde blijven. d) Bepaal de temperatuur aan de uitgang van de turbine (T4 ). e) Hoeveel bedraagt de specifieke entropieproduktie in de turbine?
Opgave 4 De turbine in een restwarmte-centrale, werkend volgens een Rankine cyclus, levert een vermogen aan de as van 100 kW bij een massastroom van 0.1 kg/s. De thermische isolatie van de turbine is verwijderd, waardoor deze 20 kW aan warmte afstaat aan de omgeving (op een temperatuur van 20◦ C). De Rankine cyclus werkt met het medium water en doorloopt de volgende stappen: • stap 1-2: isentrope wrijvingsloze compressie (met een pomp); • stap 2-3: isobare warmte toevoer (druk van 3 MPa) tot een temperatuur van 680K (boiler); • stap 3-4: expansie (in een turbine); • stap 4-1: isobare warmte afvoer (in een condensor) bij een druk van 6 kPa, totdat het medium volledig vloeistof is (x = 0). a) Schets het T-s diagram en geef daarbij de componenten aan. b) Bepaal het dampgehalte aan de uitgang van de turbine. c) Bepaal de aan de boiler toe te voeren warmtestroom. d) Bepaal het thermisch rendement van deze Rankine cyclus. e) Bepaal het maximaal haalbare rendement bij deze temperatuurniveau’s en verklaar het verschil met het daadwerkelijk behaalde rendement.
UITWERKINGEN TENTAMEN THERMODYNAMICA voor W (4B420) 3 november 2011 van 9.00 - 12.00 uur. Opgave 1 a) Gaswet: p = RT /v = R(a + b/v) b) T1 = av1 + b = 300 K; p1 = RT1 /v1 = 62.4 kPa; p2 = 2p1 = 124.7 kPa; v2 = bR/(p2 − aR) = 0.539 m3 /kg R2 R2 c) Wrijvingsloze zuiger → reversibele arbeid: w12 = 1 pdv = R 1 (a + b/v)dv = Ra(v2 − v1 ) + Rb ln(v2 /v1 ) = −40.24 kJ/kg d) 1e HW gesloten systeem: q = ∆u12 + w12 = cv (T2 − T1 ) + w12 = −33.03 kJ/kg; T2 = av2 + b = 323.08 K e) Warmteuitwisseling met warmtereservoir (hier omgevingslucht) → (ir)reversibiliteit bepaald door totale entropieproductie t.g.v. warmteuitwisseling op reservoirtemperatuur → 2e HW gesloten systeem: ∆sp = ∆s12 − q12 /TR = 7.21 J/kg K; ∆sp > 0 → irreversibel; reden: eindige temperatuurval T − TR > 0 tijdens warmteafgifte naar omgeving (TR = Tomg. = 293 K; ∆s12 = cv ln(p2 /p1 ) + cp ln(v2 /v1 ) = −105.535 J/kg K)
Opgave 2 a) v1 = V1 /m = 0.4 m3 /kg; vf @300kP a < v1 < vg@300kP a → verzadigd water-damp mengsel → T1 = T −sat@300kP a = 406.67 K; x+1 = (v1 −vf )/(vg −vf ) = 0.66; h1 = (1−x1 )hf +x1 hg = 1988. kJ/kg b) Mediumdruk in evenwicht met massa zuiger en buitendruk (constant tijdens gehele proces) → 1e HW, isobaar proces: Q = m(h2 − h1) = Qelement + Qlek = Pelement ∆t + Qlek = 30 + (−5) = 25 kJ → toestand 2: h2 = h1 + Q/m = 2988.7 kJ/kg; h2 > hg@300kP a : oververhitte stoom → p-v diagram: isobaar die saturatiecurve snijdt c) v2 = vp2 ,h2 ≈ 0.79144 m3 /kg; V 2 = mv2 = 0.0198 m3 = 19.8 liter; ∆z = (V2 − V1 )/A = 9.79 cm; isobaar: W = p1 (V2 − V1 ) = 2.94 kJ d) Eindtoestand alsmede procesverloop in het p-v diagram blijven gelijk. De toestandsverandering blijft nl. isobaar, daar de mediumdruk in evenwicht blijft met de massa van de zuiger en de buitendruk. Het systeem is weliswaar thermisch ge¨ısoleerd, maar desondanks niet adiabatisch, daar er nog steeds warmtetoevoer, nl. via het verwarmingselement, plaatsvindt. In de literatuur wordt een dergelijke situatie vaak toch adiabatisch genoemd, daar electriciteit strikt genomen energie in de vorm van mechanische kracht is (er kan nl. direct een electromotor mee worden aangedreven). In deze alternatieve beschouwing neemt bovenstaande 1e HW de vorm Q = m(h2 − h1) + Welement = 0, met Welement = −Qelement , aan. Dit leidt (uiteraard) tot dezelfde uitkomst als voorheen. e) 1e HW, isobaar: Q = m(h2 − h1 ) = Qelement = P ∆t → ∆t = m(h2 − h1)/P = 250 s = 4.17 min (h1,2 als voorheen) De verwarmingstijd is korter, daar het verwarmingselement nu, in tegenstelling tot de oorspronkelijke situatie, niet het warmtelek hoeft te compenseren.
Opgave 3 a) Het proces betreft een ideale Brayton cyclus; zie H.8 boek Turns b) 1e HW open systeem (stationair, potentiele/kinetische energie verwaarloosbaar, geen technische arbeid, ideaal gas): q23 = h3 − h2 = cp (T3 − T2 ) = 521.24 kJ/kg; T3 = Tmax = 1000 K; T2 = T1 (p2 /p1 )(k−1)/k = 480.53 K (isentroop, ideaal gas: Poisson relaties); cp = ¯ k R/M (k − 1) = 1003.4 J/kg K c) η = wx,net /qin = (wx,12 + wx,34 )/q23 = 0.40; 1e HW compressor/turbine (stationair, potentiele/kinetische energie verwaarloosbaar, isentroop+reversibel=adiabatisch, ideaal gas): wx,12 = h1 − h2 = cp (T1 − T2 ) = −193.19 kJ/kg; wx,34 = h3 − h4 = cp (T3 − T4 ) = 402.03 kJ/kg; T1 = Tmin = 288 K; T4 = T3 (p4 /p3 )(k−1)/k = T3 (p1 /p2 )(k−1)/k = 599.34 K (isentroop, ideaal gas: Poisson relaties) d) wx,34,werkelijk = ηi wx,34 = cp (T3 − T40 ) → T40 = T3 − ηi wx,34 /cp = 639.40 K; processtappen 1 → 2 en 2 → 3 – en daarmee temperatuur T3 – zijn onveranderd e) 2e HW open systeem (stationair, adiabatisch, ideaal gas): sp = ∆s34 = cp ln(T40 /T3 ) − R ln(p4 /p3 ) = 64.93 J/kg K
Opgave 4 ˙ x,34 + b) 1e HW turbine (stationair, potentiele/kinetische energie verwaarloosbaar): Q˙ 34 = W ˙ ˙ m(h ˙ 4 − h3 ) → h4 = h3 + (Q34 − Wx,34 )/m ˙ = 2047.3 kJ/kg; x4 = (h4 − hf @6kP a )/(hg@6kP a − hf @6kP a ) = 0.7850; h3 = h@3M P a,680K = 3247.3 kJ/kg c) 1e HW boiler (stationair, potentiele/kinetische energie verwaarloosbaar, geen technisch vermogen): Q˙ 23 = m(h ˙ 3 − h2 ) = 309.28 kW; pomp (isentroop + reversibel + incompressibel (waterdruk < 5 MPa)): h2 = h1 + v1 (p2 − p1 ) = 154.49 kJ/kg; h1 = hf @6kP a = 151.48 kJ/kg; h1 = hf @6kP a = 0.0010065 m3 /kg d) η = wx,net /qin = (wx,12 + wx,34 )/q23 = 0.3224; wx,12 = h1 − h2 = v1 (p1 − p2 ) = −3.01 kJ/kg e) ηmax = ηCarnot = 1 − TL /TH = 0.5451; TH = T3 − 680 K; TL = T1 = T4 = Tsat@6kP a = 309.31 K. Dit rendement kan alleen gehaald worden indien uitsluitend warmte toevoer in de boiler bij TH en warmte afvoer in de condensor bij TL plaatsvinden. Daaraan wordt echter niet voldaan: in zowel boiler als turbine vindt warmteuitwisseling over een eindige temperatuurgradient plaats. Dit zijn essentieel irreversibele processen die leiden tot een lager thermisch rendement dan theoretisch haalbaar.
