Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica

Wanneer het koud is, dienen warme kleren als isolatoren om het warmteverlies van het lichaam naar de omgeving door geleiding en convectie te verminderen. De stralingswarmte van een kampvuur kan jou en je kleren opwarmen. Vuur kan ook rechtstreeks energie overbrengen door warmteconvectie en -geleiding naar wat je aan het koken bent. Warmte, is net als werk, een vorm van energieoverdracht. Warmte is gedefinieerd als een overdracht van energie als gevolg van een temperatuursverschil. Werk is een overdracht van energie door mechanische middelen, niet als gevolg van een temperatuursverschil. De eerste wet van de thermodynamica legt een verband tussen die twee in een

Hoofdstuk

19 Inhoud 19.1 Warmte als energieoverdracht 19.2 Inwendige energie 19.3 Soortelijke warmte 19.4 Calorimetrie: het oplossen van vraagstukken 19.5 Latente warmte 19.6 De eerste hoofdwet van de thermodynamica 19.7 Toepassingen van de eerste hoofdwet van de thermodynamica; het berekenen van de arbeid 19.8 Molaire soortelijke warmtes voor gassen en de equipartitie van energie 19.9 Adiabatische expansie van een gas 19.10 Warmteoverdracht: geleiding, convectie en straling

570

algemene uitspraak over behoud van energie: de warmte Q die aan een systeem wordt toegevoegd verminderd met de netto hoeveelheid arbeid W die door het systeem wordt verricht, is gelijk aan de verandering in inwendige energie Einw van het systeem: Einw = Q – W. De inwendige energie Einw is de som van alle energieën van de moleculen van het systeem.

Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica Openingsvraag: wat denk jij? Een hete ijzeren kubus van 5 kg (60 C) wordt in thermisch contact gebracht met een koude ijzeren kubus van 10 kg (15 C). Welke uitspraak is waar: (a) (b) (c) (d) (e)

De warmte stroomt spontaan van de warme kubus naar de koude totdat beide dezelfde warmte-inhoud hebben. De warmte stroomt spontaan van de warme kubus naar de koude totdat beide kubussen dezelfde temperatuur hebben. De warmte kan spontaan van de warme kubus naar de koude stromen, maar ook spontaan van de koude naar de warme kubus stromen. De warmte kan nooit van een koud voorwerp of gebied naar een warm voorwerp of gebied stromen. Warmte stroomt van de grotere kubus naar de kleinere omdat de grotere meer inwendige energie heeft.

Wanneer een pan met koud water op een brander of op een formuis wordt geplaatst, neemt de temperatuur van het water toe. We zeggen dat de warmte van de hete brander naar het koude water ‘stroomt’. Wanneer twee voorwerpen bij verschillende temperaturen met elkaar in contact worden gebracht, stroomt de warmte spontaan van het hete naar het koude voorwerp. De spontane warmtestroom is zodanig gericht dat hij de temperaturen dichter bij elkaar brengt. Als de twee voorwerpen zo lang met

elkaar in contact blijven dat hun temperaturen aan elkaar gelijk worden, wordt gezegd dat de voorwerpen in thermisch evenwicht met elkaar zijn en dat er tussen hen geen verdere warmtestroom is. Om een voorbeeld te geven: wanneer een koortsthermometer net in je mond is gestopt, stroomt de warmte van je mond naar de thermometer. Wanneer de thermometer in je mond dezelfde temperatuur bereikt als de binnenkant van je mond, zijn de thermometer en je mond in evenwicht en stroomt er geen warmte meer. Warmte en temperatuur worden vaak door elkaar gehaald. Het zijn zeer verschillende begrippen, waar we duidelijk onderscheid tussen zullen maken. We beginnen dit hoofdstuk met het definiëren en gebruiken van het begrip warmte. We beginnen ook met onze behandeling van de thermodynamica, wat de naam was die we gaven aan het bestuderen van processen waarbij energie werd overgedragen als warmte en als arbeid.

19.1

Warmte als energieoverdracht

In het dagelijks leven gebruiken we de term ‘warmte’ alsof we weten wat we bedoelen. Deze term wordt vaak echter inconsequent gebruikt, dus is het voor ons belangrijk om warmte duidelijk te definiëren en de verschijnselen en concepten die verband houden met warmte te verklaren. We hebben het vaak over de warmtestroom: warmte stroomt van de pit van een gasfornuis naar een pan soep, van de zon naar de aarde en van iemands mond naar een koortsthermometer. Warmte stroomt spontaan van een voorwerp met hogere temperatuur naar een voorwerp met lagere temperatuur. In een achttiende-eeuws model van warmte werd de warmtestroom ook beschouwd als een beweging van een vloeibare sustantie die caloric werd genoemd. De caloricvloeistof werd echter nooit waargenomen. In de negentiende eeuw werd ontdekt dat de verschillende verschijnselen die te maken hebben met warmte op een consistente manier kunnen worden beschreven met behulp van een nieuw model, dat we zo dadelijk zullen behandelen; hierin wordt warmte beschouwd als een soort arbeid. Om te beginnen merken we op dat een bekende eenheid voor warmte, die tegenwoordig nog steeds in gebruik is, naar de caloricvloeistof is genoemd. Deze eenheid wordt de calorie (cal) genoemd en is gedefinieerd als de hoeveelheid warmte die nodig is om de temperatuur van 1 gram water met 1 graad Celsius te laten stijgen. (Om precies te zijn is het specifieke temperatuurbereik van 14,5 C tot 15,5 C opgegeven omdat de vereiste warmte in zeer lichte mate temperatuurafhankelijk is. Binnen het bereik van 0 tot 100 C is het verschil minder dan 1 procent, en voor de meeste doeleinden zullen we dit verschil verwaarlozen.) In plaats van de calorie wordt meestal de kilocalorie (kcal) gebruikt, die gelijk is aan 1000 calorieën. Dus is 1 kcal is de warmte die nodig is om de temperatuur van 1 kg water met 1 C te laten stijgen. Vaak wordt een kilocalorie een Calorie genoemd (met een hoofdletter C); deze Calorie (of de kJ) wordt gebruikt om de energiewaarde van voedsel aan te geven. In het Britse eenhedensysteem wordt warmte gemeten in Britse thermische eenheden (Btu). Eén Btu is gedefinieerd als de warmte die nodig is om de temperatuur van 1 lb water met 1 F te laten stijgen. Het is af te leiden (vraagstuk 4) dat 1 Btu = 0,252 kcal = 1056 J. Het idee dat warmte verwant is aan energieoverdracht werd in de achttiende eeuw onderzocht door een aantal wetenschappers, met name door een Engelse brouwer, James Prescott Joule (1818-1889). Een van Joule's experimenten is (in vereenvoudigde vorm) weergegeven in fig. 19.1. Het vallende gewicht zorgt ervoor dat het schoepwiel gaat draaien. De wrijving tussen het water en het schoepwiel zorgt ervoor dat de temperatuur van het water licht gaat stijgen (door Joule zelfs nauwelijks te meten). In dit experiment en bij vele andere (sommige met betrekking tot elektrische energie), bepaalde Joule dat een zekere hoeveelheid verrichte arbeid altijd equivalent was aan een bepaalde hoeveelheid warmte-invoer. Kwantitatief gezien bleek 4,186 joule (J) aan arbeid equivalent te zijn aan 1 calorie (cal) aan warmte. Dit staat bekend als het mechanische equivalent van warmte:

Let o p Warmte is geen vloeistof.

Gewicht

FIGUUR 19.1 Het experiment van Joule op het mechanische equivalent van warmte.

4,186 J = 1 cal; 4,186 kJ = 1 kcal.

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica

571

Let o p Warmte is overgedragen energie vanwege een T

Natuurkunde in de praktijk

Calorieën eraf trimmen

Als gevolg van deze en andere experimenten interpreteerden wetenschappers warmte niet langer als een stof, maar ook niet helemaal als een vorm van energie. In plaats daarvan is warmte een vorm van overdracht van energie: wanneer warmte van een heet voorwerp naar een koud voorwerp stroomt, wordt er energie overgedragen van het hete naar het koude voorwerp. Dus is warmte energie die wordt overgedragen van het ene voorwerp naar het andere vanwege een verschil in temperatuur. In SIeenheden is de eenheid voor warmte, net zoals voor elke andere vorm van energie, de joule. Toch worden calorieën en kcal nog steeds gebruikt. Tegenwoordig is de calorie gedefinieerd in termen van de joule (via het hiervoor genoemde mechanische equivalent van warmte), en niet in de eerder gegeven eigenschappen van water. Het laatste is nog steeds handig om te onthouden: 1 cal verhoogt de temperatuur van 1 g water met 1 C, oftewel 1 kcal verhoogt de temperatuur van 1 kg water met 1 C. Joule's resultaat was cruciaal omdat dit het arbeid-energieprincipe uitbreidde naar processen waarbij warmte een rol speelt. Het leidde ook tot het instellen van de wet van behoud van energie, die we verderop in dit hoofdstuk zullen bespreken. Voorbeeld 19.1

Schatten De extra calorieën eraf trimmen

Stel dat je alle goede raad in de wind slaat en te veel ijs en cake eet in de orde van 500 kilocalorieën. Om dit te compenseren, wil je een hiermee gelijkwaardige hoeveelheid arbeid verrichten door te gaan traplopen of bergbeklimmen. Wat is de totale hoogte die je moet klimmen? Aanpak De arbeid W die je bij het klimmen moet verrichten is gelijk aan de verandering in gravitationele potentiële energie: W = PE = mgh,waarin h de geklommen verticale hoogte is. Benader in deze schatting je eigen massa door m 60 kg. Oplossing

500 kcal is in joule gelijk aan

(500 kcal)(4,186 103 J/kcal) = 2,1 106 J. De arbeid die moet worden verricht voor het klimmen van een verticale hoogte h is W = mgh. We lossen h hieruit op: h¼

W 2; 1 106 J ¼ 3600 m: ¼ mg ð60 kgÞ 9; 80 m/s2

Dit is een enorm hoogteverschil. Opmerking Het menselijk lichaam zet energie uit voedsel niet 100 procent efficiënt om: dit komt eerder in de buurt van een efficiëntie van 20 procent. Zoals we in het volgende hoofdstuk zullen bespreken wordt er altijd enige energie ‘verspild’, zodat je feitelijk slechts (0,2)(3600 m) 700 m hoeft te klimmen, wat een veel aanvaardbaarder hoogte is.

19.2

Inwendige energie

De som van de energieën van alle moleculen in een voorwerp wordt de inwendige energie genoemd. (Soms wordt hiervoor ook de term thermische energie gebruikt.) We introduceren nu het begrip inwendige energie omdat hiermee ideeën over warmte gemakkelijker zijn te verduidelijken.

Onderscheid tussen warmte, inwendige energie en temperatuur Let o p Maak onderscheid tussen warmte, inwendige energie en temperatuur.

572

19.2

Inwendige energie

Met behulp van de kinetische theorie kunnen we een duidelijk onderscheid maken tussen temperatuur, warmte en inwendige energie. Temperatuur (in kelvin) is een maat voor de gemiddelde kinetische energie van afzonderlijke moleculen. Inwendige energie is de totale energie van alle moleculen binnen het voorwerp. (Dus twee ijzeren staven met gelijke massa kunnen dezelfde temperatuur hebben, maar twee van die staven hebben twee keer zoveel inwendige energie als één.) Warmte ten slotte, is een overdracht van energie van het ene voorwerp naar het andere vanwege een verschil in temperatuur.

Merk op dat de richting van de warmtestroom tussen twee voorwerpen afhangt van hun temperaturen en niet van de hoeveelheid inwendige energie van elk voorwerp. Als dus 50 g water van 30 C in contact wordt gebracht (of gemengd) met 200 g water van 25 C, stroomt de warmte van het water van 30 C naar het water van 25 C, hoewel de inwendige energie van het water van 25 C veel groter is omdat er zoveel meer van is.

Let o p De richting van de warmtestroom hangt af van de temperatuur (en niet van de hoeveelheid inwendige energie).

Opgave A Ga terug naar de openingsvraag aan het begin van dit hoofdstuk, en beantwoord die nogmaals. Probeer te verklaren waarom je die de eerste keer misschien anders beantwoord hebt.

Inwendige energie van een ideaal gas Laten we eens de inwendige energie berekenen van n mol van een ideaal eenatomig gas (één atoom per molecuul). De inwendige energie, Einw, is de som van de translatie-energieën van alle atomen.1 Deze som is gelijk aan de gemiddelde kinetische energie per molecuul maal het totaal aantal moleculen, N: (a)

Einw ¼ N ð12mv 2 Þ: Met behulp van vgl. 18.4, K ¼ 12mv 2 ¼ 32kT ; kunnen we dit schrijven als Einw = 32NkT

(19.1a)

oftewel (zie paragraaf 17.9)

(b)

Einw = 32nRT,

[ideaal eenatomig gas] (19.1b)

waarin n het aantal mol is. Dus hangt de inwendige energie van een ideaal gas uitsluitend af van de temperatuur en het aantal mol gas. Als de gasmoleculen meer dan één atoom bevatten, dan moet er ook rekening worden gehouden met de rotatie- en trillingsenergie van de moleculen (fig. 19.2). Bij gegeven temperatuur zal de inwendige energie groter zijn dan voor een eenatomig gas, maar het zal voor een ideaal gas nog steeds uitsluitend een functie van de temperatuur zijn. De inwendige energie van bestaande gassen hangt voornamelijk af van de temperatuur, maar echte gassen wijken in gedrag af van ideaal gas in die zin dat hun inwendige energie ook enigszins afhangt van druk en volume (als gevolg van atomaire potentiële energie). De inwendige energie van vloeistoffen en vaste stoffen is tamelijk gecompliceerd, omdat hierin ook elektrische potentiële energie is opgenomen die verband houdt met de krachten (oftewel ‘chemische bindingen’) tussen atomen en moleculen.

19.3

Soortelijke warmte

Als warmte naar een voorwerp stroomt, neemt de temperatuur van het voorwerp toe (aangenomen dat er geen faseovergang plaatsvindt). Maar hoe stijgt de temperatuur? Dat hangt ervan af. Al in de achttiende eeuw hadden experimentatoren onderkend dat de hoeveelheid warmte Q die nodig is om de temperatuur van een bepaald materiaal te verwarmen, evenredig is met de massa m van het aanwezige materiaal en de temperatuurverandering T. Deze opmerkelijke eenvoud in de natuur kan worden uitgedrukt in de vergelijking Q = mcT

(19.2)

waarin c een karakteristieke grootheid van het materiaal is die de soortelijke warmte wordt genoemd. Omdat c = Q/(mT), is soortelijke warmte gespecificeerd in eenheden J/(kg C) (de juiste SI-eenheid) of kcal/(kg C). Voor water van 15 C en een constante druk van 1 atm geldt c = 4,19 103 J/(kg C) oftewel 1,00 kcal/(kg C), 1

In sommige boeken wordt voor de inwendige energie het symbool U gebruikt. Het gebruik van Einw voorkomt verwarring met U, die staat voor depotentiële energie (hoofdstuk 8).

FIGUUR 19.2 Naast translatie-energie kunnen moleculen (a) rotatie-energie en (b) trillingsenergie hebben (zowel kinetische als potentiële).

TABEL 19.1 Soortelijke warmtes(tenzij anders vermeld bij 1 atm constante druk en 20 C) Soortelijke warmte

J/kg-C* Stof kcal/kg C (= cal/g C)

Aluminium 0,22 Alcohol (ethyl) 0,58 Koper 0,093 Glas 0,20 IJzer of staal 0,11 Lood 0,031 Marmer 0,21 Kwik 0,033 Zilver 0,056 Hout 0,4 Water 0,50 IJs (-5 C) 1,00 Vloeibaar (15 C) 0,48 Stoom (110 C) Menselijk lichaam (gemiddeld) 0,83 Proteïne 0,4

900 2400 390 840 450 130 860 140 230 1700 2100 4186 2010

3470 1700


573

omdat volgens de definitie van de calorie en de joule er 1 kcal warmte nodig is om de temperatuur van 1 kg water met 1 C te laten stijgen. Tabel 19.1 geeft de waarden van soortelijke warmten voor andere vaste stoffen en vloeistoffen bij 20 C. De waarden van c voor vaste stoffen en vloeistoffen hangen in enige mate af van de temperatuur (en in geringe mate ook van de druk), maar voor temperatuurveranderingen die niet al te groot zijn, kan c vaak constant worden beschouwd.1 Bij gassen ligt dit gecompliceerder; die worden behandeld in paragraaf 19.8. Voorbeeld 19.2

Het verband tussen overgebrachte warmte en soortelijke warmte

(a) Hoeveel warmte moet er worden toegevoerd om de temperatuur van een leeg ijzeren vat van 20 kg te laten stijgen van 10 C tot 90 C? (b) En hoeveel als het vat gevuld is met 20 kg water? Aanpak

We passen vgl. 19.2 toe op de verschillende materialen.

Oplossing (a) Ons systeem is uitsluitend het ijzeren vat. Uit tabel 19.1 volgt dat de soortelijke warmte van ijzer 450 J/(kg C) is. De temperatuurverandering is (90 C − 10 C) = 80 C. Dus geldt: Q = mcT = (20 kg)(450 J/(kg C))(80 C) = 7,2 105 J = 720 kJ. (b)Ons systeem is het vat plus het water. Voor het water alleen zou Q = mcT = (20 kg)(4186 J/(kg C))(80 C) = 6,7 106 J = 6700 kJ zijn, oftewel bijna tien maal zoveel als voor een gelijke massa aan ijzer nodig is. Het totaal voor het vat plus het water is 720 kJ + 6700 kJ = 7420 kJ. Opmerking In (b) ondergingen het ijzeren vat en het water dezelfde temperatuurverandering T = 80 C, maar hun soortelijke warmten zijn verschillend.


Praktische effecten van de soortelijke warmte van water

Als het ijzeren vat bij onderdeel (a) van voorbeeld 19.2 zou zijn afgekoeld van 90 C tot 10 C, zou 720 kJ aan warmte uit het ijzer zijn gestroomd. Met andere woorden, vgl. 19.2 is geldig voor zowel in- als uitgaande warmtestromen, met een overeenkomstige toe- of afname in temperatuur. Bij onderdeel (b) hebben we gezien dat er voor een temperatuurverandering van water ongeveer tien maal zoveel warmte nodig is als voor dezelfde temperatuurverandering bij ijzer. Water heeft een van de hoogste soortelijke warmtes van alle stoffen, waardoor het een ideale stof is voor centraleverwarmingssystemen en andere toepassingen waarbij voor een bepaalde warmteoverdracht een minimale daling in temperatuur nodig is. Het is ook de waterinhoud waardoor we bij een warme appeltaart door de warmteoverdracht niet onze mond verbranden aan de bodem maar aan de appels.

19.4

Calorimetrie: het oplossen van vraagstukken

Bij het bespreken van warmte en thermodynamica zullen we het vaak hebben over specifieke systemen. Zoals reeds genoemd in eerdere hoofdstukken, is een systeem een voorwerp of verzameling objecten die we willen bekijken. Al het andere in het heelal zullen we aanduiden als de ‘omgeving’ of de ‘omgevingen’. Er zijn verschillende categorieën systemen. Een gesloten systeem is een systeem waar geen massa in en uit gaat (maar er kan wel energie worden uitgewisseld met de omgeving). In een open systeem kan massa in- en uitgaan (evenals energie). Veel (geïdealiseerde) systemen die we in de natuurkunde bestuderen, zijn gesloten systemen. Maar veel systemen, waaronder planten en dieren, zijn open systemen omdat ze materialen (voedsel, zuurstof en afvalproducten) uitwisselen met de omgeving. Een gesloten

1

574

19.4

Om rekening te houden met de afhankelijkheid van c van T, kunnen we vgl. 19.2 schrijven in differentiële vorm: dQ = mc(T) dT, waarin c(T) betekent dat c(T) een functie van de temperatuur T is. Dan is de warmte Q die nodig is voor de temperatuurverRT andering van T1 naar T2 gelijk aanQ ¼ T12 mcðT ÞdT :


systeem wordt als geïsoleerd beschouwd als er geen energie in enige vorm zijn grenzen passeert; anders is het niet geïsoleerd. Wanneer verschillende delen van een geïsoleerd systeem verschillende temperaturen hebben, zal warmte (er wordt energie overgedragen) van het deel met hogere temperatuur naar het deel met lagere temperatuur stromen; dat wil zeggen: binnen het systeem. Als het systeem echt geïsoleerd is, wordt er geen energie naar binnen of naar buiten overgedragen. Dus speelt het behoud van energie voor ons opnieuw een belangrijke rol: de warmte die door het ene deel van het systeem verloren gaat is gelijk aan de warmte die door het andere deel wordt gewonnen: verloren warmte = gewonnen warmte, oftewel energie uit één deel = energie in een ander deel. Deze eenvoudige verbanden zijn erg nuttig, maar hangen af van de (vaak zeer goede) benadering dat het gehele systeem geïsoleerd is (er vindt geen andere energieoverdracht plaats). Laten we eens een voorbeeld bekijken. Voorbeeld 19.3

Thee koelt af in een kopje

Als 200 cm thee bij 95 C wordt geschonken in een glazen kopje van 150 g, aanvankelijk op 25 C (fig. 19.3), wat is dan de gemeenschappelijke eindtemperatuur T van de thee en het kopje wanneer evenwicht is bereikt, aangenomen dat er geen warmte naar de omgeving stroomt? 3

Aanpak We passen behoud van energie toe op ons systeem van thee plus theekopje, waarvan we aannemen dat het geïsoleerd is: alle warmte die de thee verlaat stroomt in het kopje. Om het verband tussen de warmtestroom en de temperatuurverandering te meten, maken we gebruiken van de soortelijke-warmtevergelijking, vgl. 19.2. Oplossing Omdat thee voornamelijk bestaat uit water, is de soortelijke warmte ervan 4186 J/(kg C) en de massa m is gelijk aan de dichtheid maal het volume V = 200 cm3 = 200 10−6 m3): m = V = (1,0 103 kg/m3)(200 10−6 m3) = 0,20 kg. We gebruiken vgl. 19.2, passen behoud van energie toe en noemen de nog onbekende eindtemperatuur T:

95°C

25°C

T=?

(a)

(b)

FIGUUR 19.3 Voorbeeld 19.3.

warmte verloren door de thee = warmte gewonnen door het kopje mtheecthee(95 C − T) = mkopje ckopje(T − 25 C). Door getallen in te vullen en gebruik te maken van tabel 19.1 (ckopje = 840 J/ (kg C) voor glas), kunnen we T oplossen en vinden we (0,20 kg)(4186 J/(kg C))(95 C − T) = (0,15 kg)(840 J/(kg C))(T − 25 C) 79.500 J − (837 J/ C)T = (126 J/ C)T − 3150 J T = 86 C. Door in evenwicht te komen met het kopje daalt de thee 9 C in temperatuur. Opmerking De temperatuur van het kopje stijgt met 86 C − 25 C = 61 C. De veel grotere verandering in temperatuur (vergeleken met die van theewater) is het gevolg van de veel kleinere soortelijke warmte vergeleken met die van water. Opmerking In deze berekening is de T (van vgl. 19.2, Q = mcT) in beide leden van onze energievergelijking een positieve grootheid. Links staat de ‘verloren warmte’ en is T de begintemperatuur min de eindtemperatuur (95 C − T), terwijl rechts de ‘gewonnen warmte’ staat en T gelijk is aan de eindtemperatuur min de begintemperatuur. Maar bekijk ook eens de volgende alternatieve aanpak. Alternatieve oplossing We kunnen voor dit voorbeeld (en voor andere voorbeelden) ook een andere aanpak gebruiken. We kunnen schrijven dat de totaal overgedragen warmte van en naar het geïsoleerde systeem gelijk aan nul is:

Let o p Bij het gebruik van verloren warmte = gewonnen warmte, is T aan beide kanten positief.

Oplossingsstrategie Alternatieve aanpak: Q ¼ 0

Q ¼ 0:


575

Dan kan elke term worden geschreven als Q = mc(Teind − Tbegin), en is T = Teind − Tbegin altijd gelijk aan de eindtemperatuur min de begintemperatuur en kan elke T positief of negatief zijn. In dit voorbeeld: Thermometer

Roerder Isolatiedeksel

Water

Lucht (isolatie) Isolatiemantel Calorimeter beker FIGUUR 19.4 Eenvoudige watercalorimeter.

Q ¼ mkopje ckopje ðT 25 CÞ þ mthee cthee ðT 95 CÞ ¼ 0: De tweede term is negatief omdat T minder zal zijn dan 95 C. Oplossen van de vergelijkingen leidt tot hetzelfde resultaat. De uitwisseling van energie, zoals verduidelijkt in voorbeeld 19.3, is de basis voor een techniek die bekendstaat als de calorimetrie, waarbij warmte-uitwisseling kwantitatief wordt gemeten. Voor dergelijke metingen wordt gebruikgemaakt van een calorimeter; een eenvoudige watercalorimeter is te zien in fig. 19.4. Het is erg belangrijk dat de calorimeter goed geïsoleerd is zodat er vrijwel geen warmte wordt uitgewisseld met de omgeving. Een belangrijke toepassing van de calorimeter is het bepalen van soortelijke warmtes van stoffen. In de techniek die bekendstaat als de ‘methode van mengsels’, wordt een monster van een stof verwarmd tot een hoge temperatuur, die nauwkeurig wordt gemeten, en vervolgens snel in het koude water van de calorimeter geplaatst. De warmte die het monster verliest wordt gewonnen door het water en de beker van de calorimeter. Door de eindtemperatuur van het mengsel te meten, kan de soortelijke warmte worden berekend, zoals te zien is in het volgende voorbeeld. Voorbeeld 19.4

Onbekende soortelijke warmte bepalen met calorimetrie

Een ingenieur wil de soortelijke warmte van een nieuwe metaallegering bepalen. Een monster van 0,150 kg van de legering wordt verwarmd tot 540 C. Dit wordt vervolgens snel geplaatst in 0,400 kg water van 10,0 C in een aluminium caloriemeterbeker van 0,200 kg. (De massa van de isolerende mantel is niet van belang omdat we aannemen dat de luchtruimte tussen de mantel en de beker goed isoleert, zodat de temperatuur niet noemenswaardig verandert.) De eindtemperatuur van het systeem is 30,5 C. Bereken de soortelijke warmte van de legering. Aanpak We passen energiebehoud toe op ons systeem, dat we laten bestaan uit het legeringsmonster, het water en de calorimeterbeker. We nemen aan dat dit systeem geïsoleerd is, zodat de energie die door de warme legering wordt verloren gelijk is aan de energie die wordt gewonnen door het water en de calorimeterbeker. Oplossing De verloren warmte is gelijk aan de gewonnen warmte: verloren warmte gewonnen warmte gewonnen warmte ¼ þ door de legering door het water door de calorimeterbeker m‘ c‘ T‘

¼

mw cw Tw

þ

mcal ccal Tcal

waarbij de indexen ‘, w en cal verwijzen naar respectievelijk de legering, het water en de calorimeter, en elke T > 0. Wanneer we waarden invullen en tabel 19.1 gebruiken, gaat deze vergelijking over in (0,150 kg)(c‘) (540 C − 30,5 C) = (0,400 kg) (4186 J/(kg C)) (30,5 C − 10,0 C) + (0,200 kg) (900 J/(kg C))(30,5 C − 10,0 C) (76,4 kg C)c‘ = (34.300 + 3690) J c‘ = 497 J/(kg C). Door deze berekening te maken hebben we alle warmte verwaarloosd die is overgedragen naar de thermometer en de roerder (die wordt gebruikt om het warmtetransport te versnellen en dus het warmteverlies naar buiten toe te verminderen). Hiermee kan rekening worden gehouden door in het rechterlid van de voorgaande vergelijking extra termen toe te voegen, wat resulteert in een kleine correctie op de waarde van c‘. Zorg ervoor dat je bij alle voorbeelden en vraagstukken van dit type alle voorwerpen die warmte winnen of verliezen (voor zover mogelijk) meeneemt. Aan de kant met

576

19.4


‘warmteverlies’ hebben we hier uitsluitend de hete metaallegering. Aan de kant met ‘warmtewinst’ hebben we zowel het water als de aluminium calorimeterbeker. Omwille van de eenvoud hebben we zeer kleine massa’s verwaarloosd, zoals die van de thermometer en de roerder, omdat die de energiebalans slechts in zeer geringe mate zouden verstoren.

19.5

Oplossingsstrategie Zorg ervoor dat je alle mogelijke bronnen van energieoverdracht meerekent.

Latente warmte

Wanneer een materiaal overgaat van de vaste naar de vloeibare fase, of van de vloeibare naar de gasfase (zie ook paragraaf 18.3), is er een vaste hoeveelheid energie betrokken bij deze faseovergang. Laten we bijvoorbeeld eens bekijken wat er gebeurt wanneer een blok van 1,0 kg ijs van −40 C langzaam wordt verhit totdat alle ijs veranderd is in water, het (vloeibare) water vervolgens wordt verwarmd tot 100 C en verandert in stoom, en vervolgens verhit tot boven 100 C, alles bij een druk van 1 atm. Zoals te zien is in de grafiek van fig. 19.5, begint de verhitting van het ijs bij −40 C, en stijgt de temperatuur met een snelheid van circa 2 C/kcal toegevoegde warmte (voor ijs, c 0,50 kcal/(kg C)). Wanneer echter 0 C wordt bereikt, stopt de temperatuurstijging ondanks dat er nog steeds warmte wordt toegevoerd. Het ijs verandert geleidelijk in water in de vloeibare toestand, zonder temperatuurverandering. Nadat er bij 0 C ongeveer 40 kcal is toegevoegd, is de helft van het ijs nog steeds ijs en is de helft veranderd in water. Nadat er circa 80 kcal oftewel 330 kJ is toegevoegd, is al het ijs veranderd in water, nog steeds bij 0 C. Verdere warmtetoevoer zorgt ervoor dat de temperatuur van het water weer toeneemt, nu met een snelheid van 1 C/kcal. Wanneer 100 C is bereikt, blijft de temperatuur weer constant omdat de toegevoegde warmte wordt gebruikt om het vloeibare water in damp (stoom) te laten veranderen. Er is circa 540 kcal (2260 kJ) nodig om 1,0 kg water volledig in stoom te laten veranderen, waarna de grafiek weer stijgt, wat aangeeft dat de temperatuur van de stoom toeneemt als er warmte wordt toegevoerd. De warmte die nodig is om 1,0 kg van een stof van de vaste in de vloeibare toestand te doen overgaan, wordt de smeltwarmte genoemd; deze wordt genoteerd met LF. De smeltwarmte van water is 79,7 kcal/kg oftewel in de juiste SI-eenheden, 333 kJ/ kg (= 3,33 105 J/kg). De warmte die nodig is om een stof van de vloeistof- naar de dampfase te doen overgaan wordt de verdampingswarmte genoemd. Voor water is dit 539 kcal/kg oftewel 2260 kJ/kg. Bij andere stoffen horen grafieken die vergelijkbaar zijn met fig. 19.5, hoewel de smeltpunt- en kookpunttemperaturen verschillend zijn, net zoals de soortelijke warmtes en smelten verdampingswarmtes. In tabel 19.2 worden de waarden gegeven voor de smelten verdampingswarmtes, ook wel latente warmtes worden genoemd. De verdampings- en smeltwarmtes staan ook voor de hoeveelheid warmte die uit een stof vrijkomt wanneer die overgaat van een gas in een vloeistof, of van een vloeistof

120 Waterdamp (stoom)

80 60 40

Water en stoom

20 0

–20 –40

IJs

Temperatuur (°C)

100

0 20

Water en ijs

Water (alle vloeistoffen) 100

200

300

400

500

600

700

740

Toegevoegde warmte (kcal) FIGUUR 19.5 Temperatuur als functie van de toegevoegde warmte om 1,0 kg ijs van –40 C te verwarmen tot stoom van boven 100 C.


577

TABEL 19.2 Latente warmtes (bij 1 atm)

Stof

Smeltpunt ( C)

Smeltwarmte kcal/kg* kJ/kg

Kookpunt ( C)

Verdampingswarmte kcal/kg† kJ/kg

Zuurstof Stikstof Ethylalcohol Ammonia Water Lood Zilver IJzer Wolfraam

–218,8 –210,0 –114 –77,8 0 327 961 1808 3410

3,3 6,1 25 8,0 79,7 5,9 21 69,1 44

–183 –195,8 78 –33,4 100 1750 2193 3023 5900

51 48 204 33 539 208 558 1520 1150

14 26 104 33 333 25 88 289 184

210 200 850 137 2260 870 2300 6340 4800

†

Numerieke waarden in kcal/kg zijn gelijk aan die in cal/g.

in een vaste stof. Dus komt er bij de overgang van stoom naar water 2260 kJ/kg vrij en bij de overgang van water naar ijs 333 kJ/kg. De warmte die nodig is voor een faseovergang hangt niet uitsluitend af van de latente warmte, maar ook van de totale massa van de stof. Dat wil zeggen: Q = mL

(19.3)

waarin L de latente warmte van het proces en de stof in kwestie is, m de massa van de stof, en Q de warmte die tijdens het proces is toegevoerd of vrijgekomen. Om een voorbeeld te geven, wanneer 5,00 kg water bevriest bij 0 C, komt er (5,00 kg) (3,33 105 J/kg) = 1,67 106 J aan energie vrij. Opgave B Onder een pan met kokend water draai je de vlam van de gaspit hoger. Wat gebeurt er? (a) De temperatuur van het water gaat stijgen. (b) Er is een lichte afname van het waterverlies door verdamping. (c) De hoeveelheid waterverlies door koken neemt toe. (d) Er is een duidelijke toename in zowel de snelheid van het koken als de watertemperatuur. (e) Geen van deze mogelijkheden. Bij calorimetrie speelt soms een faseovergang mee, zoals de volgende voorbeelden laten zien. Latente warmtes worden ook vaak gemeten met behulp van calorimetrie. Voorbeeld 19.5

Oplossingsstrategie Bepaal eerst de eindtoestand (of geef een schatting)

Zal alle ijs smelten?

Een ijsblok van 0,50 kg wordt bij −10 C in 3,0 kg ijsthee van 20 C gegooid. Welke temperatuur en welke fase zal het uiteindelijke mengsel hebben? De thee kan worden beschouwd als water. Verwaarloos alle warmtestroom naar de omgeving, met inbegrip van het vat. Aanpak Voordat we een vergelijking kunnen opschrijven om behoud van energie toe te passen, moeten we eerst nagaan of de eindtoestand geheel uit ijs bestaat, een mengsel is van ijs en water bij 0 C, of geheel uit water bestaat. Om de 3,0 kg water van 20 C af te koelen naar 0 C zou een hoeveelheid energie moeten vrijkomen (vgl. 19.2) van mwcw(20 C − 0 C) = (3,0 kg)(4186 J/(kg C))(20 C) = 250 kJ. Anderzijds is voor het verwarmen van het ijs van −10 C tot 0 C mijscijs(0 C − (−10 C)) = (0,50 kg)(2100 J/(kg C))(10 C) = 10,5 kJ nodig, en voor de verandering van ijs naar water bij 0 C (vgl. 19.3)

Oplossingsstrategie Bepaal vervolgens de eindtemperatuur

578

19.5

Latente warmte

mijsLF = (0,50 kg)(333 kJ/kg) = 167 kJ, wat bij elkaar opgeteld 10,5 kJ + 167 kJ = 177,5 kJ is. Dit is onvoldoende energie om de 3,0 kg water bij 20 C af te koelen tot 0 C, dus zien we dat het mengsel eindigt als uitsluitend water, ergens tussen 0 C en 20 C.

Oplossing Om de eindtemperatuur T te bepalen, passen we energiebehoud toe en schrijven we: warmtewinst = warmteverlies, 0

1 0 warmte om 0; 50 kg warmte voor B ijs te verwarmen C B de overgang B C B B CþB @ A @ van 0; 50 kg van 10 C tot 0 C

1 0 1 warmte verloren warmte voor C B temperatuurstijging C B door 3,0 kg afkoeling C C B C C B CþB C CþB A @ van 0,50 kg water A @ van het water van A 1

0

ijs naar water

van 0 C tot T

20 C tot T

Met behulp van deze resultaten vinden we 10,5 kJ + 167 kJ + (0,50 kg) (4186 J/(kg C))(T − 0 C) = (3,0 kg)(4186 J/(kg C))(20 C − T). Als we T hieruit oplossen, vinden we T = 5,0 C. Opgave C Hoeveel ijs van −10 C zou er in voorbeeld 19.5 extra nodig zijn om de thee af te laten koelen tot 0 C en net al het ijs te laten smelten?

Oplossingsstrategie Q(verloren) = mc(Tbegin − Teind)

Calorimetrie 1. Zorg dat je voldoende informatie hebt om behoud van energie toe te passen. Stel jezelf de vraag: is het systeem geïsoleerd (of bijna geïsoleerd, zodat een goede benadering kan worden verkregen)? Weten we alle belangrijke bronnen van energieoverdracht of kunnen we ze berekenen? 2. Pas behoud van energie toe:

4.

verloren warmte = gewonnen warmte Voor iedere stof in het systeem verschijnt er ofwel in het linker- ofwel in het rechterlid van de vergelijking een term met betrekking tot warmte (energie). (Een andere mogelijkheid is het gebruik van Q ¼ 0. 3. Als er geen faseovergangen plaatsvinden, zal elke term in de energiebehoudvergelijking (bij punt 2) van de vorm zijn

5.

6.

Q(winst) = mc(Teind − Tbegin), 7.

oftewel

Voorbeeld 19.6

waarbij Tbegin en Teind respectievelijk de begin- en eindtemperaturen van de stof zijn, en m en c respectievelijk de massa en de soortelijke warmte. Als er wel faseovergangen plaatsvinden, dan zouden in de energiebehoudsvergelijking termen kunnen voorkomen van de vorm Q = mL, waarbij L de latente warmte is. Maar alvorens weenergiebehoud toepassen, bepalen (of schatten) we in welke fase de eindtoestand zal zijn, zoals we ook deden in voorbeeld 19.5 door de verschillende bijdragen voor de warmte Q te berekenen. Zorg ervoor dat elke term aan de juiste kant van de energievergelijking terechtkomt (gewonnen warmte of verloren warmte) en dat elke T positief is. Merk op dat wanneer het systeem thermisch evenwicht bereikt, de eindtemperatuur van elke stof dezelfde waarde heeft. Er is één Teind. Los je onbekende op uit de energievergelijking.

Bepaling van een latente warmte

De soortelijke warmte van vloeibaar kwik is 140 J/(kg C). Wanneer 1,0 kg vast kwik bij zijn smeltpunt van −39 C geplaatst wordt in een aluminium calorimeter van 0,50 kg gevuld met 1,2 kg water van 20,0 C, smelt het kwik en wordt voor de eindtemperatuur van de combinatie 16,5 C gevonden. Wat is de smeltwarmte van kwik in J/kg? Aanpak

We volgen de oplossingsstrategie die we zojuist hebben besproken.

Oplossing 1. Is het systeem geïsoleerd? Het kwik wordt in een calorimeter geplaatst, die naar we aannemen goed geïsoleerd is. Ons geïsoleerd systeem is de calorimeter, het water en het kwik.


579

2. Behoud van energie. De warmte die door het kwik wordt gewonnen = de warmte die wordt verloren door het water en de calorimeter. 3. en 4. Faseovergangen. Er is een faseovergang (van kwik), en we gebruiken vergelijkingen voor de soortelijke warmte. De warmte die door het kwik (Hg) wordt gewonnen, omvat een term voor het smelten van het kwik, Q(smelten vast kwik) = mHgLHg, plus een term die de verwarming van het vloeibare kwik van −39 C tot +16,5 C voorstelt: Q(verwarmen vloeibaar kwik) = mHgcHg (16,5 C − (−39 C)) = (1,0 kg)(140 J/(kg C))(55,5 C) = 7770 J. Al deze warmte die door het kwik wordt gewonnen wordt verkregen uit het water en de calorimeter, die afkoelen: Qcal + Qw = mcalccal(20,0 C − 16,5 C) + mwcw(20,0 C − 16,5 C) = (0,50 kg) (900 J/(kg C)) (3,5 C) + (1,2 kg)(4186 J/(kg C))(3,5 C) = 19.200 J. 5. De energievergelijking. Energiebehoud zegt ons dat de warmte die door het water en de calorimeterbeker wordt verloren gelijk is aan de warmte die gewonnen wordt door het kwik: Qcal + Qw = Q(smelten vast kwik) + Q(verwarmen vloeibaar kwik) oftewel 19.200 J = mHgLHg + 7770 J. 6. Evenwichtstemperatuur. Deze is gegeven als 16,5 C, wat we reeds gebruikt hebben. 7. Oplossen. De enige onbekende in onze energievergelijking (punt 5) is LHg, de latente smeltwarmte van kwik. We lossen deze op en nemen mHg = 1,0 kg: LHg ¼

19.200 J 7770 J ¼ 11.400 J/kg 11 kJ=kg: 1,0 kg

waarbij we hebben afgerond tot op twee significante cijfers.

Verdamping


Lichaamstemperatuur

De latente warmte om een vloeistof in een gas te doen veranderen is niet alleen nodig op het kookpunt. Water kan zelfs bij kamertemperatuur overgaan van de vloeistof- naar de gasfase. Dit proces wordt verdamping genoemd (zie ook paragraaf 18.4). Bij een temperatuurdaling neemt de waarde van de verdampingswarmte licht toe: bij 20 C bijvoorbeeld, is deze 2450 kJ/kg (585 kcal/kg) vergeleken met 2260 kJ/ kg (= 539 kcal/kg) bij 100 C. Wanneer water verdampt, koelt de resterende vloeistof af, omdat de benodigde energie (de latente verdampingswarmte) uit het water zelf komt; dus moet de inwendige energie ervan, en dus de temperatuur, dalen.1 Verdamping van water op de huid is een van de belangrijkste methoden die het lichaam gebruikt om de temperatuur te regelen. Wanneer de temperatuur van het bloed stijgt tot iets boven normaal, detecteert het hypothalamusgebied in de hersenen deze temperatuurstijging en stuurt een signaal naar de zweetklieren om de productie te verhogen. De energie (latente warmte) die nodig is om dit water te verdampen is afkomstig van het lichaam, en dus moet het lichaam afkoelen.

1

580

19.5

Latente warmte

Op grond van de kinetische theorie is verdamping een afkoelingsproces omdat juist de snelst bewegende moleculen aan het oppervlak ontsnappen. Hierdoor daalt de gemiddelde snelheid van de overgebleven moleculen, dus op grond van vgl. 18.4 ook de temperatuur.

Kinetische theorie van latente warmtes Met behulp van de kinetische theorie kunnen we inzien waarom er energie nodig is om een stof te smelten of te verdampen. Op het smeltpunt verhoogt de latente smeltwarmte niet de gemiddelde kinetische energie (en de temperatuur) van de moleculen in de vaste stof, maar wordt in plaats daarvan gebruikt als tegenwicht voor de potentiële energie behorend bij de krachten tussen de moleculen. Dat wil zeggen, er moet arbeid worden verricht tegen deze aantrekkende krachten in om de moleculen los te breken van hun betrekkelijk vaste posities in de vaste stof, zodat ze in de vloeistoffase vrij over elkaar kunnen rollen. Ook is er energie nodig om de moleculen die in de vloeistoffase dicht bij elkaar worden gehouden, te laten ontsnappen naar de gasfase. Bij dit proces wordt de ordening van de moleculen veel heftiger verstoord dan bij smelten (de gemiddelde afstand tussen de moleculen neemt sterk toe), en dus is in het algemeen de verdampingswarmte voor een stof veel groter dan de smeltwarmte.

19.6

De eerste hoofdwet van de thermodynamica

Tot nu toe hebben we in dit hoofdstuk inwendige energie en warmte besproken. Maar bij thermodynamische processen speelt vaak ook arbeid een rol. In hoofdstuk 8 hebben we gezien dat bij de overdracht van energie van het ene voorwerp naar het andere met mechanische middelen, arbeid wordt verricht en in paragraaf 19.1 dat warmte een energieoverdracht is van het ene voorwerp naar een ander met een lagere temperatuur. Dus lijkt warmte veel op arbeid. Om deze van elkaar te onderscheiden wordt warmte gedefinieerd als een energieoverdracht als gevolg van een temperatuurverschil,terwijl arbeid een energieoverdracht is die niet het gevolg is van een temperatuurverschil. In paragraaf 19.2 definieerden we de inwendige energie van een systeem als het totaal van alle energieën van de moleculen binnen het systeem. We zouden verwachten dat de inwendige energie van een systeem zou toenemen als er arbeid op wordt verricht of warmte aan toegevoegd. Evenzo zou de interne energie afnemen als er warmte uit het systeem zou stromen of als er door het systeem arbeid zou worden verricht op iets uit de omgeving. Het is dus redelijk om behoud van energie uit te breiden en een belangrijke wet voor te stellen: de verandering in inwendige energie van een gesloten systeem, Einw, is gelijk aan de energie die aan het systeem wordt toegevoegd verminderd met de hoeveelheid arbeid die het systeem op de omgeving verricht. In vergelijkingsvorm schrijven we Einw = Q − W

(19.4)

Eerste hoofdwet van de thermodynamica Toegevoegde warmte is + Verloren warmte is − Arbeid op systeem is + Arbeid door systeem is −

waarin Q de netto toegevoegde warmte aan het systeem is en W de netto verrichte arbeid door het systeem.1 Bij het gebruik van de tekenconventies voor Q en W moeten we zorgvuldig en consistent te werk gaan. Omdat W in vgl. 19.4 de arbeid is die door het systeem is verricht, is, als er arbeid op het systeem is verricht, W negatief en zal Einw toenemen. Volgens een soortgelijke redenering is Einw positief voor toegevoegde warmte aan het systeem; dus als er warmte uit het systeem gaat, is Q negatief. Vgl. 19.4 staat bekend als de eerste hoofdwet van de thermodynamica. Het is een van de belangrijkste wetten uit de natuurkunde, en de geldigheid ervan berust op experimenten (zoals die van Joule) waarop geen uitzonderingen zijn waargenomen. Omdat Q en W staan voor energie die naar of vanuit het systeem wordt overgebracht, verandert de inwendige energie overeenkomstig. Dus is de eerste hoofdwet van de thermodynamica een belangrijke en brede formulering van de wet van behoud van energie.

1

Deze conventie stamt uit de tijd van de stoommachines: men was geïnteresseerd in de invoer van warmte en de uitvoer van arbeid, die beide als positief werden gezien. In andere boeken zie je de eerste hoofdwet van de thermodynamica soms geschreven als Einw = Q + W, waarbij W betrekking heeft op de arbeid die op het systeem wordt verricht.


581

Het is zinvol om op te merken dat de wet van behoud van energie pas aan het eind van de negentiende eeuw is geformuleerd, omdat deze wet afhing van de interpretatie van warmte als vorm van energieoverdracht. Vgl. 19.4 is van toepassing op een gesloten systeem. Deze vergelijking is ook van toepassing op een open systeem (paragraaf 19.4) als we rekening houden met de verandering in inwendige energie als gevolg van de toe- of afname van de hoeveelheid materie. Bij een geïsoleerd systeem (paragraaf 19.4), wordt er geen arbeid verricht en gaat er geen warmte het systeem in of uit, dus W = Q = 0, en dus Einw = 0. Een systeem is op een zeker moment in een bepaalde toestand en er kan een bepaalde hoeveelheid inwendige energie, Einw , aan worden toegekend. Een systeem ‘heeft’ echter geen bepaalde hoeveelheid warmte of arbeid. In plaats daarvan leidt arbeid op een systeem (zoals het comprimeren van een gas) of het toevoegen of onttrekken van warmte aan een systeem, tot een toestandsverandering van het systeem. Dus spelen arbeid en warmte een rol bij thermodynamische processen die het systeem van de ene toestand in de andere kunnen laten overgaan; ze zijn niet kenmerkend voor de toestand zelf. Grootheden die de toestand van een systeem beschrijven, zoals de inwendige energie Einw, de druk P, het volume V, de temperatuur T en demassa m of het aantal mol n, worden toestandsvariabelen genoemd. Q en W zijn geen toestandsvariabelen. Omdat Einw een toestandsvariabele is, die alleen afhankelijk is van de toestand van het systeem en niet van de manier waarop het systeem in die toestand gekomen is, kunnen we schrijven Einw = Einw,2 − Einw,1 = Q − W waarin Einw,1 en Einw,2 staan voor de interne toestanden van het systeem in toestanden 1 en 2, en Q en W voor de toegevoegde warmte aan het systeem en de arbeid die door het systeem wordt verricht bij de overgang van toestand 1 naar toestand 2. Het kan soms handig zijn om de eerste hoofdwet van de thermodynamica in differentiële vorm te schrijven: dEinw = dQ − dW. Hierin stelt dEinw een oneindig kleine verandering in de inwendige energie voor terwijl er een oneindig kleine hoeveelheid warmte dQ aan het systeem wordt toegevoegd en het systeem een oneindig kleine hoeveelheid arbeid dW verricht.1 Voorbeeld 19.7

Gebruik van de eerste hoofdwet

Er wordt 2500 J warmte toegevoerd aan een systeem en 1800 J arbeid op het systeem verricht. Wat is de verandering in inwendige energie van het systeem? Aanpak We passen de eerste hoofdwet van de thermodynamica toe op ons systeem, vgl. 19.4. Oplossing De aan het systeem toegevoegde warmte is Q = 2500 J. De door het systeem verrichte arbeid is −1800 J. Waarom het minteken? Omdat 1800 J verricht op het systeem (zoals gegeven) gelijk is aan −1800 J verricht door het systeem, en we het laatste nodig hebben voor de tekenconventies die we gebruikten in vgl. 19.4. Dus geldt Einw = 2500 J − (−1800J) = 2500 J + 1800 J = 4300 J.

1

De differentiële vorm van de eerste hoofdwet wordt vaak geschreven als dEinw ¼ dQ dW ; waarbij de streep boven het differentiaalsymbool wordt gebruikt om ons eraan te herinneren dat W en Q geen functies zijn van de toestandsvariabelen (zoals P, V, T en n).De inwendige energie, Einw , is een functie van de toestandsvariabelen, en dus stelt dEinw de differentiaal voor (die een exacte differentiaal wordt genoemd) van een of andere functie Einw. De differentialen zijn geen exacte differentialen (het zijn niet de differentialen van een of andere wiskundige functie); ze stellen gewoon oneindig kleine hoeveelheden voor. Deze kwestie is verder niet van belang voor dit boek.

582

19.6

De eerste hoofdwet van de thermodynamica

Misschien had je intuïtief al gedacht dat de 2500 J en de 1800 J bij elkaar zouden moeten worden opgeteld, omdat ze beide betrekking hebben op energie die wordt toegevoegd aan het systeem. Je ziet dat je gelijk hebt. Opgave D Wat zou de inwendige energieverandering in voorbeeld 19.7 zijn als er 2500 J aan warmte aan het systeem wordt toegevoegd en 1800 J aan arbeid door het systeem wordt verricht (dat wil zeggen: als uitvoer)?

*Uitbreiding van de eerste hoofdwet van de thermodynamica Om de eerste hoofdwet van de thermodynamica in zijn volledige vorm te kunnen beschrijven, beschouwen we een systeem met zowel kinetische energie K (er is beweging) als potentiële energie U. Dan zou de eerste hoofdwet van de thermodynamica deze termen moeten bevatten en geschreven moeten worden als K + U + Einw = Q − W. Voorbeeld 19.8

(19.5)

Kinetische energie omgezet in thermische energie

Een kogel van 3,0 g dringt met een snelheid van 400 m/s een boom binnen en komt er aan de andere kant met een snelheid van 200 m/s weer uit. Waar verloor de kogel kinetische energie en wat was de overgedragen energie? Aanpak Neem als systeem de kogel en de boom. Er is geen potentiële energie in het spel. Er wordt geen arbeid op (of door) het systeem verricht door externe krachten, noch wordt er warmte toegevoegd omdat geen energie is overgedragen als gevolg van een temperatuurverschil. Dus wordt de kinetische energie omgezet in inwendige energie van de kogel en de boom. Oplossing Uit de eerste hoofdwet van de thermodynamica zoals gegeven in vgl. 19.5, weten we dat Q = W = U = 0, dus geldt K + Einw = 0 oftewel, als we voor de begin- en eindsnelheid de indexen ‘begin’ en ‘eind’ gebruiken Einw ¼ K ¼ Keind Kbegin ¼ 12m v 2begin v 2eind = 12(3,0 10−3 kg)((400 m/s)2 − (200 m/s)2) = 180 J. Opmerking De inwendige energie van zowel de kogel als de boom nemen toe, omdat beide een temperatuurstijging ervaren. Als we alleen de kogel als ons systeem hadden gekozen, zou er arbeid op zijn verricht en zou er warmteoverdracht hebben plaatsgevonden.

19.7

Toepassingen van de eerste hoofdwet van de thermodynamica; het berekenen van de arbeid

P A

Laten we in het licht van de eerste hoofdwet van de thermodynamica eens enkele eenvoudige processen analyseren.

A′ B

Isotherme processen (T = 0) We beginnen met een geïdealiseerd proces dat wordt uitgevoerd bij constante temperatuur. Een dergelijk proces wordt een isotherm proces genoemd (naar de Griekse betekenis ‘gelijke temperatuur’). Als het systeem een ideaal gas is, dan geldt PV = nRT (vgl. 17.3), dus voor een vaste hoeveelheid gas die op constante temperatuur wordt gehouden, geldt PV = constant. Dus volgt het proces een kromme zoals AB in het PV-diagram van fig. 19.6, waarin een kromme is getekend voor PV = constant.

B′ 0

Hogere T Lagere T

V

FIGUUR 19.6 PV-diagram voor een ideaal gas dat een isotherm proces ondergaat bij twee verschillende temperaturen.


583

Beweegbare zuiger Ideaal gas

FIGUUR 19.7 Een ideaal gas in een cilinder met een beweegbare zuiger.

Elk punt op de kromme, zoals punt A, stelt de toestand van het systeem voor op een zeker moment, dat wil zeggen: de druk P en het volume V. Bij een lagere temperatuur zou een ander isotherm proces worden voorgesteld door een kromme zoals A' B' in fig. 19.6 (het product PV = nRT = constant is kleiner wanneer T kleiner is). De krommen in fig. 19.6 worden isothermen genoemd. Laten we aannemen dat het gas is opgesloten in een vat met een beweegbare zuiger, fig. 19.7, en dat het gas in contact is met een warmtereservoir (een lichaam waarvan de massa zo groot is dat, in het ideale geval, de temperatuur niet noemenswaardig verandert wanneer er warmte aan het systeem wordt toegevoegd). We nemen ook aan dat het proces van compressie (volumeafname) of expansie (volumetoename) quasistatisch (‘vrijwel statisch’) wordt uitgevoerd, waarbij we extreem traag bedoelen, zodat al het gas vrij beweegt tussen een reeks evenwichtstoestanden, die elk dezelfde constante temperatuur hebben. Als aan het systeem een hoeveelheid warmte Q wordt toegevoegd en de temperatuur constant moet blijven, zal het gas uitzetten en een hoeveelheid arbeid W op de omgeving uitoefenen (het oefent een kracht uit op de zuiger en beweegt deze over een afstand). De temperatuur en de massa worden constant gehouden, dus volgt uit vgl. 19.1 dat de inwendige energie niet verandert: Einw = 3 2nRT = 0. Dus geldt op grond van de eerste wet van de thermodynamica, vgl. 19.4, Einw = Q − W = 0, dus W = Q: de arbeid die door het gas in een isotherm proces wordt uitgevoerd is gelijk aan de warmte die wordt toegevoegd aan het gas.

Adiabatische processen (Q = 0)

A

P

Isotherm B Adiabaat

C

V

0

FIGUUR 19.8 PV-diagram voor een adiabatisch (AC) en isotherm (AB) proces op een ideaal gas.

P 0

P

B

A

A

B 0 V (b) Isovolumetrisch

V (a) Isobaar

FIGUUR 19.9 (a) Isobare processen (bij gelijke druk). (b) Isovolumetrische processen (bij gelijk volume).

oppervlakte

Een adiabatisch proces is een proces waarbij geen warmte in of uit het systeem kan stromen: Q = 0. Deze situatie kan zich voordoen als het systeem zeer goed geïsoleerd is, of het proces zo snel verloopt dat de warmte (die zeer langzaam stroomt) geen tijd heeft om naar binnen of naar buiten te stromen. Een voorbeeld van een proces dat vrijwel adiabatisch is, is de zeer snelle expansie van gassen in een interne verbrandingsmotor. Een langzame adiabatische expansie van een ideaal gas verloopt zoals de kromme AC in fig. 19.8. Omdat Q = 0, volgt uit vgl. 19.4 dat Einw = −W. Dat wil zeggen: als het gas uitzet, neemt de inwendige energie af; dus neemt ook de temperatuur af (omdat Einw = 32nRT). Dit is duidelijk te zien in fig. 19.8, waar het product PV (= nRT) in punt C kleiner is dan in punt B (de kromme AB is voor een isotherm proces, waarbij Einw = 0 en T =0). Bij de omgekeerde bewerking, een adiabatische compressie (bijvoorbeeld door van C naar A te gaan), wordt er arbeid verricht op het gas, en dus neemt de inwendige energie toe en stijgt de temperatuur. In een dieselmotor wordt het brandstof-luchtmengsel snel adiabatisch samengedrukt met een factor 15 of meer; de temperatuurstijging is zo groot dat het mengsel spontaan ontbrandt.

Isobare en isovolumetrische processen Isotherme en adiabatische processen zijn gewoon twee mogelijke processen die zouden kunnen voorkomen. Twee andere eenvoudige thermodynamische processen zijn te zien in de PV-diagrammenvan fig. 19.9. (a) Een isobaar proces is een proces waarbij de druk constant wordt gehouden, dus wordt het proces voorgesteld door een horizontale rechte lijn in het PV-diagram, fig. 19.9a. (b) een isovolumetrisch (oftewel isochoor) proces is Een proces waarbij het volume niet verandert (fig. 19.9b). Bij deze processen, en bij alle andere, geldt de eerste hoofdwet van de thermodynamica.

dl

Arbeid die wordt uitgevoerd bij volumeveranderingen

A

P

FIGUUR 19.10 De arbeid die door een gas wordt verricht wanneer het volume toeneemt met dV = A dl is dW = P dV.

584

19.7

Vaak willen we de arbeid berekenen die bij een proces wordt uitgevoerd. Stel dat we een gas hebben in een cilindrisch vat met een beweegbare zuiger (fig. 19.10). We moeten altijd zorgvuldig definiëren wat ons systeem is. In dit geval kiezen we als ons systeem het gas; dus maken de wanden en de zuiger van het vat deel uit van de omgeving. Laten we nu eens berekenen wat de arbeid is die door het gas wordt verricht wanneer het quasistatisch uitzet, zodat P en T op elk moment gedefinieerd zijn voor het systeem.1 1

Als het gas snel uitzet of wordt samengedrukt, dan zou er turbulentie zijn en zouden verschillende delen verschillende drukken (en temperaturen) hebben.


omdat de oneindig kleine volumetoename gelijk is aan dV = A d‘. Als het gas samengedrukt zou zijn, zodat d~ l naar het gas toe gericht zou zijn, zou het volume afnemen en dV < 0. De arbeid die door het gas wordt uitgevoerd, zou in dat geval negatief zijn, wat op hetzelfde neerkomt als zeggen dat er positieve arbeid op het gas is verricht, niet door het gas. Bij een eindige volumeverandering van VA naar VB zou de door het gas verrichte arbeid W gelijk zijn aan Z Z VB PdV : ð19:7Þ W ¼ dW ¼ VA

De vergelijkingen 19.6 en 19.7 zijn geldig voor de verrichte arbeid bij een willekeurige volumeverandering (door een gas, een vloeistof of een vaste stof), zolang als het quasistatisch gebeurt. Om vgl. 19.7 te integreren moeten we weten hoe de druk tijdens het proces varieert, en dit is afhankelijk van het type proces. Laten we eerst eens kijken naar een quasistatische isotherme expansie van een ideaal gas. Dit proces wordt voorgesteld door de kromme tussen de punten A en B in het PV-diagram van fig. 19.11. De arbeid die door het gas in dit proces wordt verricht is, volgens vgl. 19.7, precies het gebied tussen de PV-kromme en de V-as, het gekleurde gebied in fig. 19.11. We kunnen de integraal in vgl. 19.7 voor een ideaal gas berekenen door gebruik te maken van de ideale gaswet, P = nRT/V. De arbeid verricht bij constante T is Z VB Z VB dV VB isotherm proces; W ¼ P dV ¼ nRT ¼ nRT In : ð19:8Þ VA ideaal gas VA VA V

A

B

PB

0

V

VB

VA

FIGUUR 19.11 Arbeid die verricht is door een ideaal gas in een isotherm proces is gelijk aan de oppervlakte onder de PV kromme. De oppervlakte van het gekleurde gebied is gelijk aan de door het gas verrichte arbeid bij het uitzetten van VA tot VB.

P PA

PB

A

rm

e

W = 0.

PA

th Is o

Laten we nu eens op een andere manier naar een ideaal gas tussen dezelfde toestanden A en B bekijken. Laten we ditmaal eens de druk in het gas verlagen van PA tot PB, zoals aangegeven door de lijn AD in fig. 19.12. (In dit isovolumetrisch proces kan de warmte uit het gas stromen zodat de temperatuur ervan daalt.) Laat vervolgens het proces uitzetten van VA tot VB bij constante druk (= PB), wat wordt aangegeven door de lijn DB in fig. 19.12. (In dit isobare proces, wordt warmte toegevoegd aan het gas om de temperatuur te verhogen.) Bij het isovolumetrisch proces AD wordt geen arbeid verricht, omdat dV = 0:

P

Isovolumetrisch

Het gas zet uit tegen de zuiger met oppervlakte A. Het gas oefent een kracht F = PA uit op het gas, waarin P de druk in het gas is. De arbeid die door het gas wordt verricht voor een oneindig kleine verplaatsing van de zuiger d~ l is ~ ~ dW ¼ F d l ¼ PA d‘ ¼ P dV

Isobaar

B

D

[isovolumetrisch proces]

Bij het isobare proces DB blijft de druk constant, dus Z VB W¼ P dV ¼ PB ðVB VA Þ ¼ PV :

0

[isobaar proces] ð19:9aÞ

VA

Ook hier wordt de arbeid in het PV-diagram voorgesteld door de oppervlakte onder de kromme (ADB) en de V-as, zoals aangegeven door het gekleurde gebied in fig. 19.12. Met behulp van de ideale gaswet kunnen we ook schrijven isobaar proces; VA W = PB(VB − VA) = nRTB 1− . (19.9b) VB ideaal gas

VA

VB

FIGUUR 19.12 Het proces ADB bestaat uit een isovolumetrisch (AD) en een isobaar (DB) proces.

Zoals we aan de gekleurde gebieden in fig. 19.11 en 19.12 kunnen zien, of door getallen in te voeren in vgl. 19.8 en 19.9 (probeer dit voor VB = 2VA), is de verrichte arbeid bij deze twee processen verschillend. Dit is een algemeen resultaat. De arbeid die wordt verricht om een systeem van de ene toestand naar de andere over te brengen hangt niet alleen af van de begin- en eindtoestanden maar ook van het type proces (oftewel de ‘gevolgde weg’). Dit resultaat benadrukt opnieuw het feit dat arbeid niet kan worden beschouwd als een eigenschap van een systeem. Hetzelfde geldt voor warmte. De warmte-invoer die nodig is om het gas van toestand A te laten overgaan in toestand B hangt af van het proces; bij het isotherme proces van fig. 19.11 blijkt de warmte-invoer groter te zijn dan bij het proces ADB van fig. 19.12. Algemeen geldt dat de hoeveelheid toegevoegde of onttrokken warmte bij het overbrengen van een systeem van de ene toestand naar de andere niet alleen afhangt van de begin- en eindtoestand maar ook van de gevolgde weg of het proces.


585

V

Conceptvoorbeeld 19.9

Arbeid bij isotherme en adiabatische processen

In fig. 19.8 hebben we PV-diagrammen gezien voor een gas dat op twee manieren uitzet, isotherm en adiabatisch. Het beginvolume VA was in beide gevallen hetzelfde, evenals de eindvolumes (VB = VC). Bij welk proces werd er door het gas de meeste arbeid verricht? Antwoord Ons systeem is het gas. De meeste arbeid werd verricht door het gas in het isotherm proces, wat we op twee manieren kunnen inzien door te kijken naar fig. 19.8. Op de eerste plaats was de ‘gemiddelde’ druk gedurende het isotherme proces AB hoger, dus was W = PV groter (V is voor beide processen gelijk). Op de tweede plaats kunnen we de oppervlakte onder elke kromme bekijken: de oppervlakte onder kromme AB, die de verrichte arbeid voorstelt, was groter (omdat de kromme AB hoger ligt in fig. 19.8) dan die onder AC. Opgave E Is de arbeid, die door het gas in proces ADB van fig. 19.12 is verricht, groter dan, kleiner dan, of gelijk aan de verrichte arbeid in het isotherm proces AB?

Voorbeeld 19.10 P Isovolumetrisch

PA

PB

A

D 0

2

Isotherm B Isobaar 4

6

8

10 V (L)

FIGUUR 19.13 Voorbeeld 19.10.

De eerste hoofdwet bij isobare en isovolumetrische processen

Deze conventie stamt uit de tijd van de stoommachines: men was geïnteresseerd in de invoer van warmte en de uitvoer van arbeid, die beide als positief werden gezien. In andere boeken zie je de eerste hoofdwet van de thermodynamica soms geschreven als Einw = Q + W, waarbij W betrekking heeft op de arbeid die op het systeem wordt verricht.Een ideaal gas wordt bij een constante druk van 2,0 atm langzaam samengedrukt van 10,0 l tot 2,0 l. Dit proces wordt in fig. 19.13 voorgesteld door de lijn van B naar D. (Bij dit proces stroomt er enige warmte uit het gas en daalt de temperatuur.) Vervolgens wordt er warmte toegevoegd aan het gas, waarbij het volume constant blijft, en de druk en de temperatuur mogen stijgen (lijn DA) totdat de temperatuur de oorspronkelijke waarde bereikt (TA = TB). Bereken (a) de totale hoeveelheid arbeid die door het gas in het proces BDA is verricht, en (b) de totale warmtestroom naar het gas. Aanpak (a)Alleen bij het compressieproces BD wordt arbeid verricht. Bij het proces DA blijft het volume constant, dus is V = 0 en wordt er geen arbeid verricht. (b) We gebruiken de eerste hoofdwet van de thermodynamica, vgl. 19.4. Oplossing (a)Tijdens de compressie BD is de druk 2,0 atm = 2(1,01 105 N/m2) en de verrichte arbeid (omdat 1 l = 103 cm3 = 10−3 m3) W = PV = (2,02 105 N/m2)(2,0 10−3 m3 − 10,0 10−3m3) = −1,6 103 J. De totale arbeid die door het gas is verricht, is −1,6 103 J, waarbij het minteken betekent dat er +1,6 103 J arbeid op het gas wordt verricht. (b) Omdat de temperatuur in het begin en aan het einde van het proces BDA gelijk zijn, is er geen verandering in inwendige energie: Einw = 0. Uit de eerste hoofdwet van de thermodynamica weten we dat 0 = Einw = Q − W dus is Q = W = −1,6 103 J. Omdat Q negatief is, gaat er bij het hele proces, BDA, 1600 J aan warmte verloren. Opgave F Als in voorbeeld 19.10 de warmte die het gas bij proces BD verliest gelijk is aan 8,4 103 J, wat is dan de verandering in inwendige energie van het gas gedurende het proces BD?

586

19.7


Voorbeeld 19.11

Verrichte arbeid in een motor

In een motor zet 0,25 mol van een ideaal eenatomig gas in de cilinder snel en adiabatisch uit tegen de zuiger. Bij dit proces daalt de temperatuur van het gas van 1150 K tot 400 K. Hoeveel arbeid verricht het gas? Aanpak Als systeem nemen we het gas (de zuiger wordt tot de omgeving gerekend). De druk is niet constant en de variabele waarde ervan is niet gegeven. In plaats daarvan kunnen we de eerste hoofdwet van de thermodynamica gebruiken, omdat we Einw kunnen bepalen uit Q = 0 (het proces is adiabatisch). Oplossing We bepalen Einw uit vgl. 19.1 voor de inwendige energie van een ideaal eenatomig gas, waarbij we eind- en begintoestanden aangeven met de indexen ‘eind’ en ‘begin’: Einw = Einw,1 − Einw,2 = 32nR(Teind − Tbegin) = 32(0,25 mol)(8324 J/mol K)(400 K − 1150 K) = −2300 J. Vervolgens volgt uit de eerste hoofdwet van de thermodynamica, vgl. 19.4: W = Q − Einw = 0 − (−2300 J) = 2300 J. Tabel 19.3 geeft een kort overzicht van de processen die we hebben besproken. TABEL 19.3 Eenvoudige thermodynamische processen en de eerste hoofdwet

Proces

Wat is constant:

De eerste hoofdwet voorspelt:

Isotherm Isobaar Isovolumetrisch Adiabatisch

T = constant P = constant V = constant Q=0

T = 0 zorgt dat Einw = 0, dus Q = W Q = Einw+ W = Einw + PV V = 0 zorgt dat W = 0, dus Q = Einw Einw = -W

Vrije expansie Eén type adiabatisch proces is een zogeheten vrije expansie waarbij een gas adiabatisch kan uitzetten zonder enige arbeid te verrichten. Het apparaat om een vrije expansie weer te geven is te zien in fig. 19.14. Het bestaat uit twee goed geïsoleerde compartimenten (om ervoor te zorgen dat er geen warmte in of uit stroomt) verbonden door een klep of een afsluitkraan. Het ene compartiment is gevuld met gas, het andere is leeg. Wanneer de kraan wordt geopend, zet het gas uit zodat beide compartimenten worden gevuld. Er gaat geen warmte in of uit (Q = 0), en er wordt geen arbeid verricht omdat het gas geen ander voorwerp in beweging brengt. Dus geldt Q = W = 0 en op grond van de eerste hoofdwet van de thermodynamica, Einw = 0. De inwendige energie van een gas verandert niet bij vrije expansie. Bij een ideaal gas geldt bovendien T = 0, omdat Einw uitsluitend afhangt van T (paragraaf 19.2). Experimenteel wordt de vrije expansie gebruikt om te bepalen of de inwendige energie van echte gassen uitsluitend van T afhangt. Het is zeer lastig om deze experimenten nauwkeurig uit te voeren, maar gebleken is dat de temperatuur van een echt gas bij vrije expansie zeer licht daalt. Dus hangt de interne energie van echte gassen, in geringe mate, zowel af van de druk, het volume als van de temperatuur. Een vrije expansie kan niet in een PV-diagram worden getekend, omdat het een snel, en geen quasistatisch proces is. De tussenliggende toestanden zijn geen evenwichtstoestanden, en dus is de druk (en op sommige momenten zelfs het volume) niet duidelijk gedefinieerd.

FIGUUR 19.14 Vrije expansie.


587

19.8

Molaire soortelijke warmtes voor gassen en de equipartitie van energie

In paragraaf 19.3 bespraken we het begrip soortelijke warmte en gebruikten dit bij vaste stoffen en vloeistoffen. In tegenstelling tot bij vaste stoffen en vloeistoffen hangen de waarden van soortelijke warmtes voor gassen veel sterker af van de manier waarop het proces wordt uitgevoerd. Twee belangrijke processen zijn de processen waarbij ofwel het volume ofwel de druk constant wordt gehouden. Daar waar het bij vaste stoffen en vloeistoffen weinig uitmaakt, laat tabel 19.4 zien dat de soortelijke warmtes van gassen bij constant volume (cV) en bij constante druk (cP) sterk verschillen.

Molaire soortelijke warmtes voor gassen Het verschil in soortelijke warmtes voor gassen is eenvoudig te verklaren met behulp van de eerste hoofdwet van de thermodynamica en de kinetische theorie. Voor het gemak gebruiken we de molaire soortelijke warmtes, CV en CP, gedefinieerd als de warmte nodig om 1 mol gas met 1 C te laten stijgen bij respectievelijk constant volume en constante druk. Dat is, in analogie met vgl. 19.2, de warmte Q die nodig is voor het verhitten van de temperatuur van n mol gas bij T: Q = nCVT

[constant volume] (19.10a)

Q = nCPT.

[constante druk]

(19.10b)

Uit de definitie van molaire soortelijke warmte (of door het vergelijken van vgl. 19.2 en 19.10) volgt duidelijk dat CV = McV CP = McP waarbij M de molecuulmassa van het gas is (M = m/n in gram/mol). De waarden voor de molaire specifieke warmtes zijn opgenomen in tabel 19.4, en we zien dat de waarden voor gassen met hetzelfde aantal atomen per molecuul vrijwel hetzelfde TABEL 19.4 Soortelijke warmtes voor gassen bij 15 C

Gas Eenatomig He Ne Tweeatomig N2 O2 Drieatomig CO2 H2O (100 C)

Soortelijke warmtes (kcal/kg K) cP cV

Molaire soortelijke (cal/mol K) CV CP

0,75 0,148

1,15 0,246

2,98 2,98

0,177 0,155

0,248 0,218

0,153 0,350

0,199 0,482

CP CV

CP – CV (cal/mol K)

¼

4,97 4,97

1,99 1,99

1,67 1,67

4,96 5,03

6,95 7,03

1,99 2,00

1,40 1,40

6,80 6,20

8,83 8,20

2,03 2,00

1,30 1,32

zijn. We gebruiken nu de kinetische theorie en stellen ons voor dat een ideaal gas langzaam wordt verhit via twee verschillende processen: eerst bij constant volume en vervolgens bij constante druk. Bij beide processen laten we de temperatuur toenemen met dezelfde waarde, T. In het proces bij constant volume wordt geen arbeid verricht omdat V = 0. Dus wordt, op grond van de eerste hoofdwet van de thermodynamica, de toegevoegde warmte (die we noteren als QV) geheel omgezet in de inwendige energie van het gas: QV = Einw

588

19.8


In het proces dat wordt uitgevoerd bij constante druk, wordt arbeid verricht, en dus draagt de toegevoegde warmte, QP, niet alleen bij aan de inwendige energie maar wordt ook gebruikt om arbeid te verrichten, W = PV. Daarom moet er bij dit proces bij constante druk meer warmte worden toegevoegd dan bij het eerste proces bij constant volume. Uit de eerste hoofdwet van de thermodynamica weten we dat voor het proces bij constante druk geldt QP = Einw + PV. Omdat Einw voor beide processen gelijk is (T werd gelijk gekozen), kunnen we de twee eerdere vergelijkingen combineren: QP − QV = PV. Uit de ideale gaswet weten we dat V = nRT/P, dus voor een proces bij constante druk geldt V = nRT/P. Als we dit invullen in de vorige vergelijking en vgl. 19.10, vinden we nRT nCp T nCV T ¼ P P of, na vereenvoudiging, CP − CV = R.

(19.11)

Omdat de gasconstante R = 8,314 J/mol K = 1,99 cal/mol K, is onze voorspelling dat CP circa 1,99 cal/mol K groter zal zijn dan CV. Dit ligt inderdaad zeer dicht in de buurt bij wat experimenteel wordt gevonden, zoals te zien is in de op een-na-laatste kolom van tabel 19.4. We berekenen nu de molaire soortelijke warmte van een eenatomig gas met behulp van de kinetische theorie. Bij een proces dat wordt uitgevoerd bij constant volume, wordt geen arbeid verricht; dus volgt uit de eerste wet van de thermodynamica dat als er warmte Q aan het gas wordt toegevoegd, de inwendige energie van het gas verandert met Einw = Q. Bij een ideaal eenatomig gas is de inwendige energie Einw gelijk aan de totale kinetische energie van alle moleculen, Eint ¼ N 12mv 2 ¼ 32nRT zoals we gezien hebben in paragraaf 19.2. Dus kunnen we met behulp van vgl. 19.10a Einw = Q schrijven in de vorm Einw = 32nRT = nCVT

(19.12)

CV = 32R.

(19.13)

oftewel Omdat R = 8,314 J/mol K = 1,99 cal/mol K, voorspelt de kinetische theorie dat CV = 2,98 cal/mol K voor een eenatomig gas. Dit ligt zeer dicht bij de experimentele waarden voor eenatomige gassen zoals helium en neon (tabel 19.4). Uit vgl. 19.11 wordt voor CP een waarde voorspeld van circa 4,97 cal/mol K, eveneens in overeenstemming met experimentele waarnemingen.

Equipartitie van energie De gemeten molaire soortelijke warmtes voor complexere gassen (tabel 19.4), zoals tweeatomige en drieatomige gassen, nemen toe met het aantal atomen per molecuul. Dit is te verklaren door aan te nemen dat de inwendige energie niet alleen uit translatie-energie, maar ook uit andere vormen van energie bestaat. Neem bijvoorbeeld een tweeatomig gas. Zoals te zien is in fig. 19.15, kunnen de twee atomen roteren rond twee verschillende assen (maar rotatie rond een derde as door de twee atomen zou weinig bijdragen aan de energie omdat het traagheidsmoment zo klein is). De moleculen kunnen zowel rotatie- als translatie-energie hebben. Dit kan handig worden beschreven met behulp van het begrip vrijheidsgraden, waarbij we het aantal onafhankelijke manieren bedoelen waarop moleculen energie kunnen bezitten. Om een

As

As (a)

(b)

FIGUUR 19.15 Een tweeatomig molecuul kan roteren rond twee verschillende assen.


589

FIGUUR 19.16 Een tweeatomig molecuul kan trillen, alsof de twee atomen verbonden waren door een veer. Natuurlijk zijn ze niet verbonden door een veer; in plaats daarvan oefenen ze krachten op elkaar uit die elektrisch van aard zijn, maar van een vorm die doet denken aan een veerkracht.

voorbeeld te geven: een eenatomig gas heeft drie vrijheidsgraden, omdat een atoom een snelheid kan hebben langs de x-as, de y-as en de z-as. Deze worden gezien als drie onafhankelijke bewegingen omdat één van de drie componenten niet van invloed is op de andere. Een tweeatomig molecuul heeft dezelfde drie graden van vrijheid behorende bij de translatie-energie plus twee extra vrijheidsgraden behorende bij rotatie-energie, wat een totaal van vijf vrijheidsgraden oplevert. Een snelle blik op tabel 19.4 leert dat CV voor tweeatomige gassen ongeveer 5/3 maal zo groot is als die voor een eenatomig gas: dat wil zeggen, in dezelfde verhouding als hun graden van vrijheid. Dit resultaat bracht negentiende-eeuwse natuurkundigen op een belangrijk idee, het principe van equipartitie van energie. Dit principe stelt dat energie gelijk wordt verdeeld onder de actieve graden van vrijheid, en in het bijzonder dat elke actieve graad van vrijheid van een molecuul gemiddeld een energie heeft die gelijk is aan 1 2kT. Dus is de gemiddelde energie van een molecuul van een eenatomig gas gelijk aan 32kT (wat we al weten) en van een tweeatomig gas 52kT. Dus zou de inwendige energie van een tweeatomig gas gelijk zijn aan Einw = N(52kT) = 52nRT, met n het aantal mol. Op grond van hetzelfde argument dat we gebruikten voor eenatomige gassen, zien we dat voor tweeatomige gassen de molaire soortelijke warmte bij constant volume gelijk is aan 52R = 4,97 cal/mol K, in overeenstemming met gemeten waarden. Complexere moleculen hebben zelfs nog meer graden van vrijheid en derhalve grotere molaire soortelijke warmtes. De situatie bleek echter gecompliceerder te zijn, toen metingen lieten zien dat voor tweeatomige gassen bij zeer lage temperaturen, CV slechts een waarde van 32R heeft, alsof moleculen ervan slechts drie graden van vrijheid zouden hebben. En bij zeer hoge temperaturen was CV ongeveer gelijk aan 72R, alsof er zeven graden van vrijheid waren. De verklaring is dat bij lage temperaturen vrijwel alle moleculen uitsluitend translatie-energie hebben. Dat wil zeggen: er gaat geen energie naar de rotatie-energie, dus zijn er uitsluitend drie graden van vrijheid ‘actief’. Daarentegen zijn bij zeer hoge temperaturen alle vijf de graden van vrijheid actief plus twee extra graden. We kunnen de twee nieuwe graden van vrijheid interpreteren als behorende bij de twee trillende atomen alsof ze verbonden waren door een veer, zoals weergegeven in fig. 19.16. Eén graad van vrijheid is afkomstig van de kinetische energie van de trillingsbeweging, en de tweede van de potentiële energie van de trillingsbeweging (12kx2). Bij kamertemperatuur zijn deze twee graden van vrijheid blijkbaar niet actief. Zie fig. 19.17.

CV

4R FIGUUR 19.17 Molaire soortelijke warmte CV als functie van de temperatuur voor waterstofmoleculen (H2). Bij toename van de temperatuur kan een deel van de translatie-energie via botsingen worden omgezet in rotatieenergie en, bij nog hogere temperaturen, in trillingsenergie. (Opmerking: bij 3200 K valt H2 uiteen in twee atomen, dus is het laatste deel van de kromme gestippeld getekend.)

7 2R

3R

Trillingsenergie 5 R 2

Rotatie-energie

2R

3 R 2 R

Translatie-energie

0

T (K) 20

50

100

200

500

1000

2000

5000

10.000

Waarom er bij lagere temperaturen minder graden van vrijheid ‘actief’ waren, werd uiteindelijk verklaard door Einstein met behulp van de kwantumtheorie. (Volgens de kwantumtheorie neemt energie geen continue waarden aan, maar is ze gekwantiseerd: ze kan slechts bepaalde waarden aannemen, en er is een bepaalde minimale energie. De minimale rotatie- en trillingsenergieën zijn hoger dan bij de eenvoudige translatie-energie, dus is er bij lagere temperaturen en lagere translatie-energie, onvoldoende energie om de rotatie- en trillingsenergie op te wekken.) Berekeningen gebaseerd op de kinetische theorie en het principe van equipartitie van energie (met de aanpassingen uit de kwantumtheorie) geven numerieke resultaten die overeenkomen met experimentele waarnemingen.

590

19.8


Het principe van equipartitie van energie kan ook worden toegepast op vaste stoffen. De molaire soortelijke warmte van elke vaste stof ligt bij elke temperatuur dicht bij 3R (6,0 cal/mol K), fig. 19.18. Dit wordt de Dulong-en-Petit-waarde genoemd naar de wetenschappers die deze waarde voor het eerst maten in 1819. (Merk op dat tabel 19.1 de soortelijke warmtes per kilogram geeft en niet per mol.) Bij hoge temperaturen heeft elk atoom klaarblijkelijk zes graden van vrijheid, hoewel sommige ervan bij lage temperaturen niet actief zijn. Elk atoom in een vaste stof met een kristalstructuur kan trillen rond zijn evenwichtsstand alsof het met veren met elk van zijn buren was verbonden. Dus kan het drie graden van vrijheid voor kinetische energie hebben en nog drie andere behorende bij de potentiële energie van de trilling in de x-, y- en z-richtingen, wat in overeenstemming is met de gemeten waarden.

19.9

Molaire soortelijke warmte bij constant volume (cal/mol · K)

*Vaste stoffen

6 5 4 3 2 1 0

Lood

Koper Beryllium Diamant

0 100

300 500 700 Temperatuur (K)

900

FIGUUR 19.18 Molaire soortelijke warmtes als functie van de temperatuur.

Adiabatische expansie van een gas

De PV-kromme voor de quasistatische (langzame) adiabatische expansie (Q = 0) van een ideaal gas was weergegeven in fig. 19.8 (kromme AC). Deze is wat steiler dan bij een isotherm proces (T = 0), wat erop wijst dat bij dezelfde volumeverandering de verandering in de druk groter zal zijn. Dus moet de temperatuur van het gas tijdens een adiabatische uitzetting dalen. Omgekeerd moet de temperatuur tijdens een adiabatische compressie stijgen. We kunnen de relatie afleiden tussen de druk P en het volume V van een ideaal gas dat adiabatisch kan uitzetten. We beginnen met de eerste hoofdwet van de thermodynamica, geschreven in differentiële vorm: dEinw = dQ − dW = −dW = −P dV. omdat voor een adiabatisch proces geldt dQ = 0. Vgl. 19.12 levert ons een verband op tussen Einw en CV, die geldig is voor elk ideaal-gasproces omdat Einw voor een ideaal gas uitsluitend een functie is van T. We schrijven dit in differentiële vorm: dEinw = nCV dT. Wanneer we deze laatste twee vergelijkingen combineren, vinden we nCV dT + P dV = 0. Vervolgens nemen we de differentiële vorm van de ideale gaswet, PV = nRT, waarbij we P, V en T laten variëren: P dV + V dP = nR dT. Uit deze betrekking lossen we dT op, substitueren dit in de vergelijking hiervóór en vinden P dV þ V dP nCV þ P dV ¼ 0 nR of, door te vermenigvuldigen met R en anders te rangschikken: (CV + R)P dV + CVV dP = 0. Uit vgl. 19.11 zien we dat CV + R = CP , dus CPP dV+ CVV dP = 0, oftewel CP P dV þ V dP ¼ 0: CV We definiëren CP = CV

(19.14)

zodat onze laatste vergelijking overgaat in dP dV þ ¼ 0: P V


591

Na integratie gaat dit over in ln P + ln V = constant. Dit vereenvoudigt (met behulp van de regels voor optelling en vermenigvuldiging van logaritmen) tot PV = constant.

[quasistatisch adiabatisch proces; ideaal gas] (19.15)

Dit is het verband tussen P en V voor een quasistatische adiabatische expansie of contractie. Dit zal erg nuttig blijken als we in het volgende hoofdstuk warmtemotoren gaan bestuderen. Tabel 19.4 (par. 19.8) geeft de waarden van voor sommige echte gassen. Fig. 19.8 vergelijkt een adiabatische expansie (vgl. 19.15) in kromme AC met een isotherme expansie (PV = constant) in kromme AB. Het is belangrijk om te onthouden dat de ideale gaswet, PV = nRT, ook geldt voor een adiabatische expansie (PV = constant); het is duidelijk dat in dit laatste geval PV niet constant is, wat betekent dat T niet constant is.

P (kPa)

C

200

Isotherm

Voorbeeld 19.12

B

Een ideaal eenatomig gas wordt gecomprimeerd beginnend in punt A in het PVdiagram van fig. 19.19, waarbij PA = 100 kPa, VA = 1,00 m3 en TA = 300 K. Het gas wordt eerst adiabatisch gecomprimeerd tot toestand B (PB = 200 kPa). Vervolgens wordt het gas in een isotherm proces verder gecomprimeerd van punt B tot punt C (VC = 0,50 m3). (a) Bepaal VB. (b) Bereken de op het gas verrichte arbeid gedurende het hele proces.

Adiabaat A

100

0

0,50

1,00

FIGUUR 19.19 Voorbeeld 19.12

V (m3)

Compressie van een ideaal gas

Aanpak Volume VB wordt verkregen met behulp van vgl. 19.15. R De arbeid die door een gas wordt verricht, wordt gegeven door Rvgl. 19.7, W ¼ PdV : De arbeid op het gas is het tegengestelde hiervan: Wop ¼ P dV : Oplossing Bij het adiabatisch proces blijkt uit vgl. 19.15 dat PV = constant. Dus is PV = PA VA ¼ PB VB waarbij voor een eenatomig gas = CP/CV = (5/2)/(3/2) = 32. 3

(a) Vgl. 19.15 levert VB = VA(PA/PB)1/ = (1,00 m3)(100 kPa/200 kPa)5 = 0,66 m3. (b) Op elke moment in het adiabatisch proces wordt de arbeid P gegeven door P ¼ PA VA V − . De op het gas verrichte arbeid bij de overgang van VA naar VB is Z B Z VB 1 WAB ¼ P dV ¼ PA VA V dV ¼ PA VA VB1 VA1 : þ 1 VA A Omdat = 53, is − +1 = 1 − = −23, dus 2 3 2 3 2 3 2 V 23 3 3 V 5 B B WAB ¼ PA VA 3 15 ¼ þ PA VA 4 15 VA 3 4 VA VA 2 2 2 3 3 3 ¼ þ ð100 kPaÞ 1,00 m ð0,66Þ 1 ¼ þ48 kJ: 2 Bij het isotherme proces van B naar C wordt arbeid verricht bij constante temperatuur, dus is op elk moment van het proces de druk gelijk aan P = nRTB/V en Z

C

WBC ¼

Z P dV ¼ nRTB

B

VC

VB

dV VC VC ¼ PB VB ln ¼ þ37 kJ: ¼ nRTB ln VB VB V

De totale arbeid verricht op het gas is 48 kJ + 37 kJ = 85 kJ.

19.10 Warmteoverdracht: geleiding, convectie en straling Warmteoverdracht van de ene plaats of het ene lichaam naar het andere gebeurt op drie manieren: door geleiding, convectie en straling. We zullen deze stuk voor stuk behandelen; maar in de praktijk kunnen ook twee van deze manieren, of alle drie tegelijkertijd voorkomen. We beginnen met geleiding.

592

19.10 Warmteoverdracht: geleiding, convectie en straling

Geleiding Wanneer een metalen pook uit een heet vuur wordt gehaald of een zilveren lepel in een hete kop soep wordt geplaatst, wordt het blootgestelde uiteinde van de pook of de lepel eveneens heet, hoewel het niet rechtstreeks in contact is met de warmtebron. We zeggen dat de warmte van het hete naar het koude uiteinde wordt ‘geleid’. Bij veel materialen is warmtegeleiding voor te stellen als iets dat tot stand komt via botsingen tussen moleculen. Als één kant van een voorwerp wordt verwarmd, gaan de moleculen steeds sneller bewegen. Op het moment dat ze botsen met hun langzamer bewegende buren, dragen ze een deel van hun kinetische energie over op deze andere moleculen, die op hun beurt energie overdragen naar moleculen nog verder weg in het voorwerp. In metalen zijn het voornamelijk de botsingen van vrije elektronen die verantwoordelijk zijn voor de geleiding. Warmtegeleiding van het ene naar het andere punt vindt uitsluitend plaats als er een temperatuurverschil tussen de twee punten bestaat. Het is ook experimenteel vastgesteld dat de snelheid van de warmtestroom door een stof evenredig is met het temperatuurverschil tussen beide kanten. De snelheid van de warmtestroom hangt ook af van de omvang en de vorm van het voorwerp. Laten we, om dit kwantitatief te onderzoeken, eens kijken naar de warmtestroom door een uniforme cilinder, zoals te zien in fig. 19.20. Experimenteel is aangetoond dat de warmtestroom Q over een tijdsinterval t wordt gegeven door de betrekking Q T1 T2 ¼ kA ‘ t

Koud A

Warmtestroom T1

T2 l

FIGUUR 19.20 Warmtestroom tussen gebieden met temperaturen T1 en T2. Als T1 groter is dan T2 stroomt de warmte naar rechts; de snelheid wordt dan gegeven door vgl. 19.16a.

ð19:16aÞ

waarin A de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van het voorwerp is, ‘ de afstand tussen beide kanten van het voorwerp, met respectievelijk temperaturen T1 en T2, en k een evenredigheidsconstante die de thermische conductiviteit wordt genoemd, die karakteristiek is voor het materiaal. Uit vgl. 19.16a zien we dat de snelheid van de warmtestroom (in J/s) recht evenredig is met de oppervlakte van de dwarsdoorsnede en met de temperatuurgradiënt (T1 − T2)/‘. In sommige gevallen (zoals wanneer k of A niet constant kunnen worden beschouwd) moeten we de limiet van een oneindig dunne laag met dikte dx bekijken. Vgl. 19.16a gaat dan over in dQ dT ¼ kA ; ð19:16bÞ dt dx waarin dT/dx de temperatuurgradiënt1 is en het minteken er staat omdat de warmtestroom loopt in de richting tegengesteld aan die van de temperatuurgradiënt. De thermische conductiviteit, k, is voor een aantal stoffen gegeven in tabel 19.5. Stoffen met een grote k geleiden warmte snel en worden goede thermische geleiders genoemd. Tot deze categorie behoren de meeste metalen, hoewel er zelfs hier grote variatie is, zoals je merkt wanneer je de uiteinden vasthoudt van een zilveren lepel en een roestvrijstalen lepel die in dezelfde warme kop soep staan. Stoffen waarvoor k klein is, zoals wol, glasvezel, polyurethaan en ganzendons, zijn slechte warmtegeleiders en daarom goede warmte-isolatoren. De verschillen in de waarden van k zijn een verklaring van eenvoudige verschijnselen zoals waarom bij dezelfde temperatuur een tegelvloer veel kouder aanvoelt dan een vloer met een tapijt. Tegels zijn een betere warmtegeleider dan het vloerkleed. Warmte die van je voeten naar het tapijt stroomt wordt niet snel afgevoerd, dus warmt het oppervlak van het tapijt snel op tot de temperatuur van je voeten, wat aangenaam aanvoelt. Tegels daarentegen voeren de warmte snel af en kunnen dus snel meer warmte van je voeten afvoeren, zodat de oppervlaktetemperatuur van je voeten daalt.

1

Warm

TABEL 19.5 Thermische conductiviteit

Stof

Thermische conductiviteit, k kcal J (s m C) (s m C)

Zilver 10 10–2 Koper 9,2 10–2 Aluminium 5,0 10–2 Staal 1,1 10–2 IJs 5 10–4 Glas 2,0 10–4 Baksteen 2,0 10–4 Beton 2,0 10–4 Water 1,4 10–4 Menselijk 0,5 10–4 weefsel Hout 0,3 10–4 Glasvezel 0,12 10–4 Kurk 0,1 10–4 Wol 0,1 10–4 Ganzendons 0,06 10–4 Polyurethaan 0,06 10–4 Lucht 0,055 10–4

420 380 200 40 2 0,84 0,84 0,84 0,56 0,2 0,1 0,048 0,042 0,040 0,025 0,024 0,023

De vergelijkingen 19.16 zijn zeer goed vergelijkbaar met de diffussievergelijkingen (paragraaf 18.7) en de stroom van vloeistoffen door een pijp (paragraaf 13.12). In die gevallen bleek de stroom van materie evenredig te zijn aan de concentratiegradiënt dC/dx, of de drukgradiënt (P1 − P2)/‘. Deze nauwe overeenkomst is een van de redenen dat we spreken over een ‘warmtestroom’. Toch moeten we in gedachten houden dat er in het geval van warmte geen materie stroomt, maar dat er energie wordt overgedragen.


593

Voorbeeld 19.13

A= 3,0 m2

14,0°C

15,0°C

Warmteverlies door ramen

Een belangrijke bron van warmteverlies uit een huis vormen de ramen. Bereken de omvang van de warmtestroom door een glazen ruit van 2,0 m 1,5 m en die 3,2 mm dik is, als de temperaturen van het binnenen buitenoppervlak respectievelijk 15,0 C en 14,0 C zijn (fig. 19.21). Aanpak Warmte stroomt door geleiding via het glas van de hogere binnentemperatuur naar de lagere buitentemperatuur. We gebruiken de warmtegeleidingsvergelijking, vgl. 19.16a. Oplossing Hier is A = (2,0 m)(1,5 m) = 3,0 m2 en ‘ = 3,2 10−3 m. Met behulp van tabel 19.5 voor het bepalen van k vinden we

l = 3,2 × 10-3 m FIGUUR 19.21 Voorbeeld 19.13.

Q T1 T2 ð0,84 J/s m CÞð3,0 m2 Þð15,0 C 14,0 CÞ ¼ ¼ kA l ð3,2 103 mÞ t ¼ 790 J/s: Opmerking Deze warmtestroom is equivalent met (790 J/s)/(4,19 103 J/kcal) = 0,19 kcal/s, oftewel (0,19 kcal/s) (3600 s/u) = 680 kcal/u.


Dubbel glas


Kleren isoleren doordat ze een laag lucht vasthouden


R-waarden van thermische isolatie

594

Bij voorbeeld 19.13 zou je kunnen opmerken dat 15 C voor de woonkamer van een huis aan de lage kant is. De kamer zelf kan zelfs een stuk warmer zijn, en buiten kan het veel kouder zijn dan 14 C. Maar de temperaturen van 15 C en 14 C zijn de temperaturen op de raamoppervlakken, en er is gewoonlijk een aanzienlijke temperatuurdaling van de lucht in de buurt van het raam, zowel aan de binnen- als aan de buitenkant. Dat wil zeggen dat de luchtlaag aan beide zijden van het raam werkt als een isolator, en dat normaal gesproken het grootste deel van de temperatuurdaling tussen de omgeving in en die buiten het huis plaatsvindt via de luchtlaag. Als er een stevige wind staat, zal de lucht buiten een raam constant gevuld zijn met koude lucht; de temperatuurgradiënt langs het glas zal groter zijn en er zal een veel groter warmteverlies zijn. Door de dikte van de luchtlaag te vergroten, zoals door het gebruik van twee glaspanelen gescheiden door een luchtlaag, wordt het warmteverlies sterker teruggebracht dan door het simpelweg vergroten van de glasdikte, omdat de thermische conductiviteit van lucht veel kleiner is dan die van glas. De isolerende eigenschappen van kleding komen voort uit de isolerende eigenschappen van lucht. Zonder kleding zouden onze lichamen in stilstaande lucht de lucht in contact met de huid opwarmen, waardoor we ons nog steeds redelijk aangenaam zouden voelen omdat lucht een zeer goede isolator is. Maar omdat de lucht zich verplaatst (er zijn briesjes, er is tocht, en mensen lopen rond), wordt de warme lucht vervangen door koude lucht, waardoor het temperatuurverschil toeneemt en dus ook het warmteverlies van het lichaam. Kleren houden ons warm door de lucht vast te houden zodat die zich niet zo gemakkelijk kan verplaatsen. Het is niet de kleding die ons isoleert, maar de lucht die door de kleding wordt vastgehouden. Ganzendons is een zeer goede isolator omdat zelfs een kleine hoeveelheid ervan al donzig wordt en een grote hoeveelheid lucht vasthoudt. (Voor praktische doeleinden worden de thermische eigenschappen van bouwmaterialen, met name wanneer ze bestemd zijn voor isolatie, gewoonlijk opgegeven in Rwaarden (oftewel ‘thermische weerstand’), gedefinieerd voor een gegeven dikte ‘ van het materiaal: R = ‘/k. De R-waarde van een gegeven stuk materiaal combineert de dikte ‘ en de thermische conductiviteit k in één getal. De SI-eenheid van R is K m2/W. (In de Verenigde Staten worden R-waarden opgegeven in Britse eenheden zoals ft2 h F /Btu: 1 K · m²/ W 5,67446 ft² · F · h/Btu). Tabel 19.6 geeft de R-waarden voor enkele veel gebruikte bouwmaterialen. De R-waarden nemen evenredig toe met de dikte van het materiaal: zo heeft bijvoorbeeld 5 cm glasvezel een R-waarde van 1 (wat ook als R-1 wordt genoteerd), terwijl 10 cm R-2 is. Het omgekeerde van de R-waarde is de thermische geleiding van een materiaal, de U-waarde genoemd: U = 1/R = k/‘ (vroeger werd dit de K-waarde van het materiaal genoemd). Dit is een specificatie die vaak terug te vinden is bij ruiten en andere


bouwmaterialen. Typische waarden voor enkel glas, gewoon dubbel glas en superisolerend glas zijn respectievelijk 5,8 W/(m2K), 2,8 W/(m2K) en 1,1 W/(m2K), hetgeen betekent dat voor een gelijke oppervlakte en een gelijk temperatuurverschil, enkel glas meer dan 5 keer meer warmteverlies geeft dan superisolerend glas.

Convectie Hoewel vloeistoffen en gassen in het algemeen geen erg goede warmtegeleiders zijn, kunnen ze snel warmte overbrengen door convectie. Convectie is het proces waarbij warmte door de massale beweging van de moleculen van de ene plaats naar de andere stroomt. Terwijl geleiding te maken heeft met moleculen (en/of elektronen) die zich slechts over korte afstanden verplaatsen en botsen, heeft convectie te maken met de verplaatsing van grote aantallen moleculen over grote afstanden. Een heteluchtoven, waarin lucht wordt verwarmd die vervolgens door een ventilator in een ruimte wordt geblazen, is een voorbeeld van gedwongen convectie. Er bestaat ook natuurlijke convectie, en een bekend voorbeeld is dat hete lucht opstijgt. Zo zet de lucht boven een radiator (of een ander type verwarming) bij verwarming uit (hoofdstuk 17) en neemt dus de dichtheid af. Omdat de dichtheid ervan minder is dan die van de omringende koelere lucht, stijgt deze op, net als een houtblok dat in water wordt ondergedompeld naar boven drijft omdat de dichtheid ervan minder is dan die van water. Warme of koude oceaanstromen, zoals de Warme Golfstroom, zijn voorbeelden van natuurlijke convectie op een mondiale schaal. Een ander voorbeeld is de wind, en het weer in het algemeen wordt in hoge mate beïnvloed door convectieluchtstromen. Wanneer een pan water wordt verwarmd (fig. 19.22), gaan er convectiestromen lopen als het verwarmde water onder in de pan opstijgt vanwege de verminderde dichtheid. Dat verwarmde water wordt vervangen door koeler water van boven in de pan. Dit principe wordt gebruikt in veel verwarmingssystemen, zoals het heetwaterverwarmingssysteem uit fig. 19.23. Water wordt verwarmd in de ketel, en als de temperatuur stijgt, zet het uit en stijgt op zoals weergegeven. Dit zorgt ervoor dat het water in het verwarmingssysteem gaat circuleren. Vervolgens gaat heet water de radiatoren binnen, wordt warmte via geleiding overgebracht naar de lucht, en stroomt het afgekoelde water weer terug naar de ketel. Het water circuleert dus vanwege convectie; soms worden pompen gebruikt om de circulatie te verbeteren. Als gevolg van convectie wordt ook de lucht in de hele ruimte verwarmd. De lucht die door de radiatoren wordt verwarmd, stijgt op en wordt vervangen door koelere lucht, wat resulteert in koelere luchtstromen, zoals weergegeven door de groene pijlen in fig. 19.23. Andere typen ketels zijn eveneens afhankelijk van convectie. Heteluchtverwarmingen met roosters (openingen) dicht bij de vloer hebben vaak geen ventilatoren maar zijn afhankelijk van natuurlijke convectie, wat aangenaam kan zijn. Bij andere systemen wordt wel een ventilator gebruikt. In beide gevallen is het belangrijk dat koude lucht terug kan stromen naar de ketel zodat er convectiestromen door de ruimte kunnen lopen als deze gelijkmatig verwarmd moet worden. Convectie is niet altijd de beste keus. Zo komt bijvoorbeeld een groot deel van de warmte van een open haard niet in de kamer terecht, maar gaat door de schoorsteen naar buiten.

TABEL 19.6 R-waarden Materiaal

Dikte

R-waarde 2 (ft h- F /Btu)

1 Glas 8 inch Baksteen 3 12 inch Gelaagd hout 12 inch Glasvezel4 inch isolatie

1 0,6 – 1 0,6 12

Koud water

Warm water FIGUUR 19.22 Convectiestromen in een pan water op een fornuis.


Convectieverwarming van een huis

Radiator

Ketel

Heet water

Koud

Straling Voor convectie en geleiding is het noodzakelijk dat er materie aanwezig is, die als medium dient om de warmte over te brengen van het warme naar het koude gebied. Maar een derde type warmteoverdracht vindt plaats zonder dat er enig medium aan te pas komt. Alle leven op aarde is afhankelijk van de energieoverdracht van de zon, en deze energie wordt via lege (of bijna lege) ruimte overgedragen aan de aarde. Deze vorm van energieoverdracht is warmte (omdat de temperatuur van het zonneoppervlak veel hoger (6000 K) is dan het aardoppervlak) en wordt straling genoemd. De warmte die we van een open vuur ontvangen is voornamelijk stralingswarmte. Zoals we in deel II zullen zien, bestaat straling in wezen uit elektromagnetische golven. Op dit punt volstaat het om te zeggen dat straling van de zon bestaat uit zichtbaar licht plus licht van veel andere golflengtes waar het oog niet gevoelig voor is, met inbegrip van infraroodstraling (IR-straling). Gebleken is dat de hoeveelheid energie die een voorwerp per seconde uitstraalt, evenredig is met de vierde macht van de kelvintemperatuur, T. Dat wil zeggen: een

FIGUUR 19.23 Convectie speelt een rol bij het verwarmen van een huis. De cirkelvormige pijlen staan voor de convectieluchtstromen in de kamers.


595

voorwerp straalt bij 2000 K, 24 = 16 maal zoveel uit als bij 1000 K. De hoeveelheid straling is ook evenredig met de oppervlakte A van het uitstralende voorwerp, dus is de snelheid waarmee de energie het voorwerp verlaat, Q/t, gelijk aan Q ¼ "AT 4 : t Dit wordt de Stefan-Boltzmannvergelijking genoemd, waarin σ een universele constante is die de Stefan-Boltzmannconstante wordt genoemd en de waarde σ = 5,67 10−8 W/m2 K4 heeft.


Het verschil tussen donkere en lichte kleding


Verlies van stralingswarmte van het lichaam

Oplossingsstrategie Gebruik de kelvintemperatuur

De factor ε (de Griekse letter epsilon) wordt de emissiviteit genoemd en is een getal tussen 0 en 1 dat karakteristiek is voor het oppervlak van het uitstralende materiaal. Zeer zwarte oppervlakken, zoals steenkool, hebben een emissiviteit die dicht bij 1 ligt, terwijl glanzende metaaloppervlakken een emissiviteit hebben die dicht bij nul ligt en dus overeenkomstig weinig straling uitzenden. De waarde is enigszins afhankelijk van de temperatuur van het materiaal. Niet alleen zenden glanzende oppervlakken minder straling uit, ze absorberen ook minder van de straling die erop valt (het meeste wordt gereflecteerd). Zwarte en zeer donkere voorwerpen zijn goede uitstralers (ε 1), en ze absorberen vrijwel alle straling die erop valt; daarom kun je op een zonnige en warme dag gewoonlijk beter lichtgekleurde kleding dragen dan donkere. Een goede absorbeerder is dus ook een goede uitstraler. Elk voorwerp zendt niet alleen energie uit door straling maar absorbeert ook energie die wordt uitgestraald door andere voorwerpen. Als een voorwerp met emissiviteit ε en oppervlakte A een temperatuur T1 heeft, straalt het energie uit met een snelheid εσAT14 . Als de omgeving van het voorwerp een temperatuur T2 heeft, zal de snelheid waarmee de omgeving energie uitstraalt evenredig zijn met T24 , en de snelheid waarmee de energie door het voorwerp wordt geabsorbeerd evenredig met T24 . De netto snelheid van de warmtestroom van het voorwerp wordt gegeven door Q ¼ "A T14 T24 ; ð19:18Þ t waarin A de oppervlakte is van hetvoorwerp, T1 de temperatuur en ε de emissiviteit (bij temperatuur T1) en T2 de omgevingstemperatuur. Deze vergelijking is consistent met het experimentele feit dat evenwicht tussen het voorwerp en zijn omgeving wordt bereikt wanneer ze op dezelfde temperatuur zijn gekomen. Dat wil zeggen: wanneer T1 = T2 moet Q/t gelijk zijn aan nul, dus moet ε voor emissie en absorptie gelijk zijn. Dit bevestigt het idee dat een goede uitstraler een goede absorbeerder is. Omdat zowel het voorwerp als de omgeving energie uitstralen, is er een netto energieoverdracht van het ene voorwerp naar het andere totdat alles op dezelfde temperatuur is. Voorbeeld 19.14

Schatten Afkoeling door straling

Een atleet zit uitgekleed in een kleedkamer waarvan de donkere muren een temperatuur van 15 C hebben. Schat zijn warmteverlies door straling, uitgaande van een huidtemperatuur van 34 C en ε = 0,70. Neem aan dat de oppervlakte van het lichaam dat niet in contact is met de stoel gelijk is aan 1,5 m2. Aanpak

We gebruiken vgl. 19.18, met kelvintemperaturen.

Oplossing

Er geldt Q ¼ "A T14 T24 t = (0,70)(5,67 10−8 W/m2 K4)(1,5 m2)[(307 K)4 − (288 K)4] = 120 W.

Opmerking Het ‘vermogen’ van deze uitrustende atleet is iets meer dan het verbruik van een gloeilamp van 100 Watt. Een rustend persoon produceert van nature intern warmte met een vermogen van circa 100 W, wat minder is dan het warmteverlies door straling zoals berekend in voorbeeld 19.14. Derhalve zou zijn lichaamstemperatuur dalen, waardoor hij zich heel on-

596


behaaglijk zou gaan voelen. Het lichaam reageert op het extreme warmteverlies door de stofwisseling te versnellen; een manier om dit te doen is het lichaam te laten rillen. Vanzelfsprekend kan kleding veel opvangen. Voorbeeld 19.14 laat zien dat iemand zich onbehaaglijk kan voelen, zelfs als de temperatuur van de lucht bijvoorbeeld 25 C is, wat behoorlijk warm is voor een binnentemperatuur. Als de wanden of de vloer koud zijn, gaat er straling naartoe, ongeacht de temperatuur van de lucht. Het is zelfs zo dat naar schatting straling verantwoordelijk is voor circa 50 procent van het warmteverlies van een zittend persoon in een normale kamer. Kamers zijn het aangenaamst wanneer de wanden en de vloer warm zijn en de lucht niet zo warm is. Vloeren en wanden kunnen worden verwarmd door middel van bijvoorbeeld warmwaterleidingen. Dergelijke verwarmingssystemen worden tegenwoordig steeds meer toegepast, en het is interessant om op te merken dat 2000 jaar geleden de Romeinen, zelfs in huizen in de afgelegen provincie Britannica, hun huizen verwarmden door gebruik te maken van de warmwater- en stoomleidingen in de vloeren. De verwarming van een voorwerp door straling van de zon kan niet worden berekend met behulp van vgl. 19.18 omdat die vergelijking uitgaat van een een uniforme temperatuur, T2, van de omgeving van het voorwerp, terwijl de zon in wezen een puntbron is. De zon moet dus worden behandeld als een aparte energiebron. De verwarming door de zon wordt dan ook berekend uit het feit dat per seconde en per vierkante meter oppervlak circa 1350 J aan energie de atmosfeer van de aarde raakt onder rechte hoeken met de zonnestralen. Dit getal, 1350 W/m2, wordt de zonneconstante genoemd. De atmosfeer kan tot circa 70 procent van deze energie absorberen alvorens deze de grond raakt, afhankelijk van het wolkendek. Op een heldere dag raakt circa 1000 W/m2 het aardoppervlak. Een voorwerp met emissiviteit ε met een oppervlakte A naar de zon gericht absorbeert energie van de zon met een vermogen, in watt, van ongeveer Q ¼ 1000 W/m2 "A cos ; ð19:19Þ t waarin de hoek tussen de zonnestralen en een lijn loodrecht op het oppervlak A is (fig. 19.24). Dat wil zeggen: A cos is de ‘effectieve’ oppervlakte, onder rechte hoeken met de zonnestralen. De verklaring voor de seizoenen en de poolkappen (zie fig. 19.25) hangt af van deze factor cos in vgl. 19.19. De seizoenen zijn niet het resultaat van hoe dicht de aarde bij de zon staat: op het noordelijk halfrond is het zelfs zomer als de aarde het verst verwijderd is van de zon. Alleen de hoek (dat wil zeggen, ) is echt van belang. Verder houdt het feit dat de zon de aarde ‘s middags meer verwarmt dan bij zonsopgang en zonsondergang ook verband met deze factor cos . Een interessante toepassing van thermische straling in de diagnostische geneeskunde is thermografie. Een speciaal instrument (de thermograaf) scant het lichaam, meet op een aantal punten de intensiteit van de straling en vormt een beeld dat lijkt op een röntgenfoto (fig. 19.26). Gebieden met hoge stofwisselingsactiviteit, zoals tumoren, zijn vaak zichtbaar op een thermogram als gevolg van hun hogere temperatuur en derhalve verhoogde straling.

Ac

os

θ

θ

A

θ

FIGUUR 19.24 Stralingsenergie op een lichaam onder een hoek .

As

Evenaar Aarde (Juni)

Zon

Aarde (December)

(a) As

Juni

(A) θ ≈ 0° (Zomer) Zonneschijn (Juni)

eve naa r

23°

(C) θ ≈ 90° (Koud)

(B) θ ≈ 50° (Winter) (b)

FIGUUR 19.25 (a) De seizoenen van de aarde ontstaan door de hoek van 2312 die de aardas maakt met zijn baan rond de zon. (b) Het zonlicht in juni maakt een hoek van circa 23 met de evenaar. Dus is in het zuiden van de Verenigde Staten (A) in de buurt van 0 (direct zomerzonlicht), terwijl op het zuidelijk halfrond (B) is 50 of 60 , waardoor er minder warmte kan worden geabsorbeerd: dus is het winter. In de buurt van de polen (C) is er nooit sterk direct zonlicht; cos varieert van circa 12 in de zomer tot 0 in de winter; en met deze geringe verwarming kan zich dus ijs vormen.

FIGUUR 19.26 Thermogrammen van de armen en handen van een gezond persoon (a) voor en (b) na het roken van een sigaret, wat een temperatuurdaling laat zien als gevolg van een slechtere bloedsomloop als gevolg van het roken. De thermogrammen hebben kleurcodes die overeenstemmen met de temperatuur; de schaal rechts loopt van blauw (koud) naar wit (heet).

(a)

(b)


597


Astronomie:de afmeting van een ster

Voorbeeld 19.15

Schatten Straal van een ster

De reuzenster Betelgeuse zendt stralingsenergie uit met een vermogen dat 104 maal zo groot is dan dat van de zon, terwijl de oppervlaktetemperatuur slechts de helft (2900 K) die van de zon is. Schat de straal van Betelgeuse, ervan uitgaande dat voor beide ε = 1. De straal van onze eigen zon is rZ = 7 108 m. Aanpak We nemen aan dat zowel Betelgeuse als de zon bolvormig zijn, met boloppervlakte 4r2. Oplossing

We lossen A op uit vgl. 19.17:

4r2 ¼ A ¼

ðQ=tÞ : "T 4

Dus geldt rB2 ðQ=tÞB TZ4 4 4 ¼ ¼ 10 2 ¼ 16 104 : rZ2 ðQ=tÞZ T4B pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Dus is rB ¼ 16 104 rZ ¼ ð400Þð7 108 mÞ 3 1011 m: Opmerking Als Betelgeuse onze zon was, zou ze ons omhullen (de aarde is ‘slechts’ 1,5 1011 m verwijderd van de zon). Opgave G Met een waaier kun je jezelf op een warme dag afkoelen door (a) het stralingsvermogen van de huid te vergroten; (b) het geleidingsvermogen te vergroten; (c) de gemiddelde vrije weglengte van de lucht te verkorten; (d) de verdamping van zweet te verhogen; (e) geen van deze mogelijkheden.

Samenvatting Inwendige energie, Einw, staat voor de totale energie van alle moleculen in een voorwerp. Voor een ideaal eenatomig gas geldt Einw = 32NkT = 3/2nRT

(19.1)

waarin N het aantal moleculen is en n het aantal mol. Warmte is de overdracht van energie tussen voorwerpen vanwege een temperatuurverschil. Warmte wordt dus gemeten in energie-eenheden, zoals joule. Warmte en inwendige energie worden soms ook uitgedrukt in calorieën of kilocalorieën (kcal), waarbij 1 kcal = 4,186 kJ de hoeveelheid warmte is, die nodig is om de temperatuur van 1 kg water met 1 C te laten stijgen. De soortelijke warmte, c, van een stof is gedefinieerd als de energie (oftewel de warmte) die nodig is om de temperatuur van één massa-eenheid van de stof met 1 graad te laten toenemen; uitgeschreven als vergelijking: Q = mcT

(19.2)

met Q de geabsorbeerde of afgegeven warmte, T is de temperatuurstijging of -daling en m de massa van de stof. Wanneer er tussen twee delen van een geïsoleerd systeem warmte stroomt, zegt de wet van behoud van energie dat de warmte die door het ene deel van het systeem wordt gewonnen, gelijk is aan de warmte die door het andere deel van het systeem wordt verloren. Dit is de basis van calorimetrie, de kwantitatieve meetmethode voor warmte-uitwisseling.

598

Samenvatting

Wanneer een stof zonder temperatuurverandering overgaat naar een andere fase, vindt energie-uitwisseling plaats. De smeltwarmte is de warmte die nodig is om 1 kg van een vaste stof te doen overgaan in de vloeistoffase; deze is ook gelijk aan de afgegeven warmte wanneer de stof verandert van vloeistof naar vaste stof. De verdampingswarmte is de energie die nodig is om 1 kg van een stof te doen overgaan van de vloeistof- naar de dampfase; het is ook de energie die wordt afgestaan wanneer de stof van damp overgaat naar vloeistof. De eerste hoofdwet van de thermodynamica stelt dat de verandering Einw van een systeem gelijk is aan de warmte die aan een systeem wordt toegevoegd, Q, verminderd met de netto hoeveelheid arbeid W, die door het systeem wordt verricht: Einw = Q − W

(19.4)

Deze belangrijke wet is een brede herformulering van het behoud van energie en blijkt te gelden voor alle processen. Twee eenvoudige thermodynamische processen zijn isotherme processen, dat wil zeggen uitgevoerd bij constante temperatuur, en adiabatische processen, dat wil zeggen dat er geen warmte wordt uitgewisseld. Twee andere processen zijn isobare processen (uitgevoerd bij constante druk) en isovolumetrische processen (uitgevoerd bij constant volume). De arbeid die door een gas wordt verricht om het volume te veranderen met dV is dW = P dV, waarbij P de druk is. Arbeid en warmte zijn geen functies van de toestand van een systeem (zoals P, V, T, n en Einw), maar hangen af van het ty-

pe proces dat een systeem van de ene toestand in de andere doet overgaan. Het verband tussen de molaire soortelijke warmte van een ideaal gas bij constant volume, CV, en bij constante druk, CP, wordt gegeven door CP − CV = R.

(19.11)

met R de gasconstante. Voor een eenatomig gas geldt CV =

3 2R.

Voor ideale gassen samengesteld uit tweeatomige of complexere moleculen, is CV gelijk aan 12R maal het aantal graden van vrijheid van het molecuul. Tenzij de temperatuur zeer hoog is, zullen sommige graden van vrijheid niet actief zijn en dus niet bijdragen. Op grond van het principe van equipartitie van energie wordt energie gelijk verdeeld onder de actieve graden van vrijheid met gemiddeld een hoeveelheid 1 2kT per molecuul. Wanneer een ideaal gas adiabatisch (Q = 0) uitzet (of inkrimpt), geldt het verband PV = constant, met CP = (19.14) CV

Warmteoverdracht van de ene plaats of het ene voorwerp naar het andere gebeurt op drie manieren: geleiding, convectie en straling. Bij geleiding wordt energie via botsingen overgedragen tussen moleculen of elektronen met hogere kinetische energie naar langzamer bewegende buren. Convectie is de energieoverdracht door de massale verplaatsing van moleculen over aanzienlijke afstanden. Straling, waarvoor de aanwezigheid van materie niet is vereist, is energieoverdracht door elektromagnetische golven, zoals van de zon. Alle voorwerpen stralen een hoeveelheid energie uit die evenredig is met de vierde macht van de kelvintemperatuur (T4) en met de oppervlakte. De uitgestraalde (of geabsorbeerde) energie hangt ook af van de aard van het oppervlak, dat wordt gekarakteriseerd door de emissiviteit, ε, (donkere oppervlakken absorberen en stralen meer uit dan lichtkleurige). Op een heldere dag komt de straling van de zon op het aardoppervlak binnen met een snelheid van circa 1000 W/m2.

Vragen 1. Wat gebeurt er met de arbeid op een fles appelsap wanneer deze heftig heen en weer wordt geschud? 2. Wanneer een warm voorwerp een koud voorwerp opwarmt, is er dan een temperatuurstroom tussen de voorwerpen? Zijn de temperatuurveranderingen van de twee voorwerpen gelijk? Licht je antwoord toe. 3. (a) Als twee voorwerpen met verschillende temperaturen met elkaar in contact worden gebracht, is het dan vanzelfsprekend dat de warmte van het voorwerp met de hoogste inwendige energie naar het voorwerp met de laagste inwendige energie stroomt? (b) Is het mogelijk dat er warmte stroomt zelfs als de inwendige energieën van de twee voorwerpen gelijk zijn? Licht je antwoord toe. 4. In warme gebieden waar tropische planten groeien maar de temperatuur in de winter enkele malen kan dalen tot onder het vriespunt, kan de vernietiging van gevoelige planten als gevolg van bevriezing worden teruggebracht door ze ’s avonds water te geven. Licht je antwoord toe. 5. De soortelijke warmte van water is tamelijk groot. Leg uit waarom dit water bijzonder geschikt maakt voor verwarmingssystemen (dat wil zeggen: voor warmwaterradiatoren). 6. Waarom blijft water in een veldfles koeler als het stoffen omhulsel van de veldfles vochtig wordt gehouden? 7. Leg uit waarom brandwonden door stoom van 100 C op de huid vaak ernstiger zijn dan brandwonden veroorzaakt door water van 100 C. 8. Leg met behulp van de concepten van latente warmte en inwendige energie uit waarom water bij verdamping afkoelt (de temperatuur ervan daalt). 9. Zullen aardappelen ook sneller koken als het water harder kookt? 10. Zeer hoog in de atmosfeer van de aarde kan de temperatuur 700 C zijn. Toch zal een dier hier eerder doodvriezen dan gebraden worden. Leg uit waarom. 11. Wat gebeurt er met de inwendige energie van waterdamp in de lucht die op de buitenkant van een koud glas water condenseert? Wordt er arbeid verricht of warmte uitgewisseld? Leg uit waarom.

12. Gebruik de wet van behoud van energie om te verklaren waarom de temperatuur van een goed geïsoleerd gas toeneemt bij compressie (bijvoorbeeld door een zuiger aan te duwen), terwijl de temperatuur bij expansie van het gas afneemt. 13. Bij een isotherm proces wordt door een ideaal gas 3700 J aan arbeid verricht. Is dit voldoende informatie om te bepalen hoeveel warmte er aan het systeem is toegevoegd? Zo ja, hoeveel? 14. Onderzoekers bij mislukte poolexpedities wisten te overleven door zichzelf met sneeuw te bedekken. Waarom zouden ze dat doen? 15. Waarom voelt nat zand op het strand koeler aan dan droog zand? 16. Waarom is het bij luchtverwarming van een huis met een verwarmingsketel van belang dat er een ventilatiekanaal is om de lucht terug de ketel in te laten stromen? Wat gebeurt er als dit ventilatiekanaal geblokkeerd is door een boekenkast? 17. Is het mogelijk dat de temperatuur van een systeem constant blijft, hoewel er warmte in en uit stroomt? Zo ja, geef enkele voorbeelden. 18. Leg uit hoe de eerste hoofdwet van de thermodynamica kan worden toegepast op de menselijke stofwisseling. Merk in het bijzonder op dat iemand arbeid W verricht, maar dat er zeer weinig warmte wordt toegevoegd aan het lichaam (er zelfs eerder warmte uitstroomt). Waarom daalt de inwendige energie dan niet drastisch in de tijd? 19. Verklaar in woorden waarom CP groter is dan CV. 20. Leg uit waarom bij adiabatische compressie de temperatuur van een gas toeneemt. 21. Een ideaal eenatomig gas kan uitzetten tot tweemaal zijn volume (1) isotherm; (2) adiabatisch; (3) isobaar. Teken elk ervan in een PV-diagram. Bij welk proces is Einw het grootst en bij welk het kleinst? En bij welk proces is W het grootst, en bij welk het kleinst? En bij welk proces is Q het grootst, en bij welk het kleinst? 22. Plafondventilatoren kunnen soms twee kanten op werken, in die zin dat ze in het ene seizoen de lucht naar beneden


599

23.

24. 25.

26. 27. 28.

29.

30.

31. 32.

33.

blazen en in het andere seizoen omhoog zuigen. Hoe moet je ’s zomers de ventilator instellen? En in de winter? Bij slaapzakken en parka’s van ganzendons wordt vaak het aantal centimeter loft vermeld, dat wil zeggen de feitelijke dikte van het materiaal wanneer het de ruimte krijgt om donzig te worden. Leg uit waarom. Bij de moderne microprocessorchips is bovenop een koelplaat gelijmd die eruitziet als een reeks vinnen. Waarom? Zeebriesjes komen vaak voor op zonnige dagen aan de kust van een groot water. Geef een verklaring hiervoor, ervan uitgaande dat de temperatuur van het land sneller stijgt dan die van het nabijgelegen water. De aarde koelt bij helder weer ‘s nachts veel sneller af dan wanneer het bewolkt is. Waarom? Leg uit waarom de luchttemperatuur altijd wordt afgelezen op een thermometer in de schaduw. Een te vroeg geboren baby in een couveuse kan gevaarlijk onderkoeld raken zelfs wanneer de luchttemperatuur in de couveuse warm is. Leg uit waarom. De vloer van een huis op een fundering waaronder de lucht kan stromen is vaak kouder dan een vloer die rechtstreeks op de grond rust (zoals een betonnen funderingslaag). Leg uit waarom. Waarom is de binnenkant van een thermoskan verzilverd (fig. 19.27), en waarom is er een vacuüm tussen de binnenen de buitenwand? Een dag van 22 C is warm, terwijl zwemwater van 22 C koud aanvoelt. Waarom? Op het noordelijk halfrond is er voor het verwarmen van een kamer met een raam op het noorden veel meer warmte nodig dan voor een kamer met een raam op het zuiden. Leg uit waarom. Warmteverlies door ramen vindt plaats door de volgende processen: (1) ventilatie rond randen; (2) via de kozijnen,

34.

35.

36.

37.

met name als die van metaal zijn; (3) door de glaspanelen en (4) door straling. (a) Wat is (zijn) bij de eerste drie de mechanisme(n): geleiding, convectie of straling? (b) Welke van deze warmteverliezen zijn door zware gordijnen te verminderen? Geef een gedetailleerde toelichting. Vroeg op de dag, nadat de zon de helling van een berg heeft bereikt, is er vaak een lichte opwaartse beweging van de lucht. Later op de dag, als de helling in de schaduw is komen te liggen, is er een kleine luchtverplaatsing naar beneden. Leg uit waarom. Een stuk hout in de zon absorbeert meer warmte dan een stuk glanzend metaal. Toch voelt het metaal als je het oppakt warmer aan dan het stuk hout. Leg uit waarom. Een ‘nooddeken’ is een stuk dun glanzend plasic folie (voorzien van een metaallaag). Leg uit hoe je hiermee onbeweeglijke mensen warm kunt houden. Leg uit waarom dicht bij de oceaan gelegen steden meestal minder extreme temperaturen hebben dan verder landinwaarts gelegen steden met dezelfde breedtegraad.

Stop Buitenwand Lucht Binnenwand Warme of koude vloeistof Vacuüm FIGUUR 19.27 Vraag 30.

Isolatiemateriaal

Vraagstukken 19.1 Warmte als energieoverdracht 1. (I) Tot welke temperatuur zal 8700 J aan warmte 3,0 kg water met een begintemperatuur van 10,0 C verwarmen? 2. (II) Wanneer een duiker in de oceaan springt, lekt er water in de ruimte tussen de huid en het duikerspak, waardoor er een waterlaag van 0,5 mm dik wordt gevormd. Aangenomen dat de totale oppervlakte van het duikerspak dat de duiker bedekt 1,0 m2 is en dat het oceaanwater het pak binnengaat bij 10 C en door de duiker wordt opgewarmd tot de huidtemperatuur van 35 C, geef dan een schatting hoeveel energie (uitgedrukt in aantallen snoeprepen van 300 kcal) voor dit verwarmingsproces nodig is. 3. (II) Een gemiddeld actief persoon verbruikt circa 2500 kcal per dag. (a) Hoeveel is dit in joule? (b) Hoeveel is dit in kilowattuur? (1 kWh is de energie die omgezet wordt wanneer gedurende 1 u een vermogen van 1 kW ontwikkeld wordt, dus 1 kWh = 1 kW 1 u = 1000 J/s 3600 s = 3,6 106 J) (c) Als jouw elektriciteitsbedrijf circa 10 eurocent per kilowattuur rekent, hoeveel zou je energie per dag dan kosten als je die van het elektriciteitsbedrijf zou moeten kopen? Zou je jezelf van een dergelijk bedrag per dag in leven kunnen houden? 4. (II) Een British thermal unit (Btu) is een eenheid van warmte in het Britse systeem van eenheden. Eén Btu is ge-

600

Vraagstukken

definieerd als de warmte die nodig is om de temperatuur van 1 lb water met 1 F te laten stijgen. Laat zien dat 1 Btu = 0,252 kcal = 1056 J. 5. (II) Hoeveel joules en kilocalorieën worden gegenereerd wanneer de remmen worden gebruikt om een auto van 1200 kg vanuit rust tot een snelheid van 95 km/u te brengen? 6. (II) Een kleine dompelaar wordt geschat op een vermogen van 350 W. Geef een schatting hoe lang het duurt om een kop soep (ervan uitgaande dat dit 250 ml water is) te verwarmen van 15 C tot 75 C. 19.3 en 19.4 Soortelijke warmte; calorimetrie 7. (I) Een koelsysteem van een auto bevat 18 l water. Hoeveel warmte absorbeert dit als de temperatuur stijgt van 15 C tot 95 C? 8. (I) Wat is de soortelijke warmte van een metaal als er voor het verhitten van 1 kg van het metaal van 18,0 C tot 37,2 C 135 kJ nodig is? 9. (II) (a) Hoeveel energie is er nodig om een pan met 1,0 l water van 20 C op 100 C te brengen? (b) Hoe lang zou een dergelijke hoeveelheid energie een gloeilamp van 100 W kunnen laten branden?

10. (II) Bij het absorberen van een gelijke hoeveelheid warmte vertonen monsters van koper, aluminium en water dezelfde temperatuurstijging. Wat is de verhouding van hun massa’s? 11. (II) Hoe lang doet een percolator met een vermogen van 750 W erover om 0,75 l water met een begintemperatuur van 8,0 C aan de kook te brengen? Neem aan dat het deel van de kan waarin het water wordt verwarmd gemaakt is van 280 g aluminium en dat er geen water wegkookt. 12. (II) Een pas gesmeed heet ijzeren hoefijzer (massa = 0,40 kg) (fig. 19.28) wordt in een ijzeren pot van 0,30 kg met 1,05 l water gegooid, die aanvankelijk een temperatuur van 20,0 C heeft. Als de uiteindelijke evenwichtstemperatuur 25,0 C is, geef dan een schatting van de begintemperatuur van het hete hoefijzer.

FIGUUR 19.28 Vraagstuk 12.

13. (II) Voordat een glazen thermometer in 135 ml water wordt geplaatst, wijst hij 23,6 C aan. Wanneer het water en de thermometer in evenwicht gekomen zijn, wijst de thermometer 39,2 C aan. Wat was de oorspronkelijke temperatuur van het water? (Hint: negeer de massa van de vloeistof binnen de glazen thermometer.) Dit vraagstuk is een voorbeeld van een in de natuurkunde vaak voorkomend probleem, namelijk dat de meting zelf de te meten grootheid beïnvloedt. 14. (II) Geef een schatting van het aantal kilocalorieën dat vrijkomt bij verbranding (oxidatie) van 65 g snoepgoed aan de hand van de volgende metingen (dit is tegelijk de calorieinhoud zoals vermeld op de snoepwikkel). Een monster van 15 g van het snoep wordt geplaatst in een smal aluminium vat met massa 0,325 kg, dat gevuld is met zuurstof. Dit vat wordt geplaatst in 2,00 kg water in een aluminium calorimeterbeker met massa 0,624 kg bij een begintemperatuur van 15,0 C. Het zuurstof-snoepmengsel in het smalle vat wordt aangestoken en de eindtemperatuur van het gehele systeem is 53,5 C. 15. (II) Wanneer een stuk ijzer van 290 g met een temperatuur van 180 C geplaatst wordt in een aluminium caloriemeterbeker van 95 g die 250 g glycerine van 10 C bevat, wordt een eindtemperatuur van 38 C gemeten. Geef een schatting van de soortelijke warmte van glycerine. 16. (II) De warmtecapaciteit, C,van een voorwerp is gedefinieerd als de hoeveelheid warmte die nodig is om de temperatuur met 1 C te laten stijgen. Dus is er om de temperatuur met T te laten stijgen een hoeveelheid warmte Q nodig, gelijk aan Q ¼ CT : (a) Druk de warmtecapaciteit C uit in de soortelijke warmte, c, van het materiaal. (b) Wat is de warmtecapaciteit van 1,0 kg water? (c) Van 35 kg water? 17. (II) De 1,20 kg zware kop van een hamer heeft net voordat hij een spijker raakt, een snelheid van 7,5 m/s (fig. 19.29) en wordt tot stilstand gebracht. Geef een schatting van de temperatuurstijging van een ijzeren spijker van 14 g na tien

van dergelijke opeenvolgende hamerslagen. Neem aan dat de spijker alle energie absorbeert. 19.5 Latente warmte 18. (I) Hoeveel warmte is er nodig om 26,50 kg zilver met een begintemperatuur van 25 C te laten smelten? 19. (I) Bij inspanning kan iemand in 25 min tijd door verdamping van water op de huid 180 kcal afgeven. Hoeveel water is er dan verloren gegaan? 20. (II) Een ijsklontje van 35 g wordt op zijn smeltpunt in een geïsoleerd vat met vloeibaar stikstof gegooid. Hoeveel stikstof verdampt er als dit op het kookpunt van 77 K is en een latente verdampingswarmte van 200 kJ/kg heeft? Neem voor het gemak aan dat de soortelijke warmte van ijs constant is en gelijk aan de waarde in de buurt van het smeltpunt. 21. (II) Bergbeklimmers op grote hoogten eten geen sneeuw, maar smelten die altijd eerst boven een vuurtje. Bereken, om in te zien waarom, de energie die uit je lichaam wordt geabsorbeerd (a) als je 1,0 kg sneeuw van −10 C eet die door jouw lichaam wordt opgewarmd tot een lichaamstemperatuur van 37 C. (b) Als je 1,0 kg sneeuw van −10 C met een vuurtje opwarmt en de resulterende 1,0 kg water van 2 C opdrinkt, en die door je lichaam laat opwarmen tot 37 C. 22. (II) Een ijzeren boiler met een massa van 180 kg bevat 730 kg water van 18 C. Een verwarmingselement levert energie met een vermogen van 52.000 kJ/u. Hoe lang duurt het voordat (a) het water het kookpunt heeft bereikt, en (b) alle water in stoom is veranderd? 23. (II) Bij een wielerwedstrijd op een warme dag drinkt een renner in 3,5 uur tijd 8,0 l water. Als we de benadering maken dat alle energie van de wielrenner wordt gebruikt voor de verdamping van zijn zweet, hoeveel energie, uitgedrukt in kcal, heeft hij dan tijdens zijn race verbruikt? (Omdat de efficiëntie van de renner slechts circa 20 procent is, wordt het grootste deel van de verbruikte energie omgezet in warmte, dus zit onze benadering er niet ver naast.) 24. (II) De soortelijke warmte van kwik is 138 J/(kg C). Bepaal de latente warmte van het smelten van kwik aan de hand van de volgende volgende caloriemetergegevens: 1,00 kg vast kwik wordt op zijn smeltpunt van −39,0 C in een aluminium caloriemeter van 0,620 kg geplaatst, die gevuld is met 0,400 kg water van 12,80 C; de resulterende evenwichtstemperatuur is 5,06 C. 25. (II) Op de plaats van een misdrijf merkt de forensisch onderzoeker op dat de 7,2 g loden kogel die in een deurkozijn was blijven steken, klaarblijkelijk op het moment van inslag volledig gesmolten was. Aangenomen dat de kogel werd afgeschoten op kamertemperatuur (20 C), wat berekent de onderzoeker dan als de minimale loopsnelheid van het pistool? 26. (II) Een schaatser van 58 kg komt vanuit een beweging met 7,5 m/s tot stilstand. Aangenomen dat het ijs een tempera-



601

tuur van 0 C heeft en dat 50 procent van de warmte die door wrijving wordt gegenereerd wordt geabsorbeerd door het ijs, hoeveel ijs smelt er dan? 19.6 en 19.7 De eerste hoofdwet van de thermodynamica 27. (I) Schets een PV-diagram van het volgende proces: 2,0 l van een ideaal gas wordt bij atmosferische druk bij constante druk afgekoeld tot een volume van 1,0 l, en vervolgens isotherm teruggeëxpandeerd tot 2,0 l, terwijl de druk bij constant volume wordt verhoogd totdat de oorspronkelijke druk is bereikt. 28. (I) Een gas wordt opgesloten in een cilinder voorzien van een lichte wrijvingsloze zuiger; het gas wordt op atmosferische druk gehouden. Wanneer er 1250 kcal aan warmte aan het gas wordt toegevoegd, blijkt het volume langzaam toe te nemen van 12,0 m3 tot 18,2 m3. Bereken (a) de arbeid die door het gas wordt uitgevoerd en (b) de verandering in de inwendige energie van het gas. 29. (II) De druk in een ideaal gas wordt, terwijl het in een vat met vaste wanden wordt bewaard, geleidelijk gehalveerd. Tijdens het proces verliest het gas 365 kJ aan warmte. (a) Hoeveel arbeid werd er tijdens dit proces verricht? (b)Wat was de verandering in inwendige energie van het gas gedurende dit proces? 30. (II) 1,0 l lucht met een (absolute) begindruk van 3,5 atm zet isothermisch uit totdat de druk 1,0 atm is. Vervolgens wordt de lucht bij constante druk samengedrukt tot het beginvolume en ten slotte teruggebracht tot de oorspronkelijke druk door te verhitten bij constant volume. Teken het proces in een PV-diagram met inbegrip van getallen en namen bij de assen. 31. (II) Beschouw het volgende tweestapsproces. Uit een ideaal gas kan bij constant volume warmte wegstromen zodat de druk daalt van 2,2 tot 1,4 atm. Vervolgens zet het gas, bij constante druk, uit van een volume van 5,9 l tot 9,3 l, waarbij de temperatuur zijn oorspronkelijke waarde bereikt. Zie fig. 19.30. Bereken (a) de totale arbeid die door het gas in dit proces wordt verricht, (b) de verandering in inwendige energie van het gas in het proces, en (c) de totale warmtestroom in of uit het gas.

P

a

2,2 atm

b

1,4 atm


P (N/m2) 500 1 400 300 200 100 0

33.

34.

35.

36.

37.

38.

2

2

4

6

8

10 V (m3)

uit een isotherme expansie van toestand 1 tot het volume V2, gevolgd door een isovolumetrische temperatuurverhoging naar toestand 2, en noem dit proces B. (d) Bepaal de verandering in de inwendige energie van het gas voor het tweestapsproces B. (II) Stel dat 2,60 mol van een ideaal gas met volume V1 = 3,50 m3 bij een temperatuur T1 = 290 K isotherm kan uitzetten tot V2 = 7,00 m3 bij T2 = 290 K. Bepaal (a) alle door het gas verrichte arbeid, (b) de aan het gas toegevoerde warmte, en (c) de verandering in de inwendige energie van het gas. (II) In een motor wordt een vrijwel ideaal gas adiabatisch gecomprimeerd tot de helft van het volume. Hierdoor wordt 2850 J arbeid verricht op het gas. (a) Hoeveel warmte stroomt er in of uit het gas? (b) Wat is de verandering in inwendige energie van het gas? (c) Stijgt of daalt de temperatuur? (II) Anderhalf mol van een ideaal eenatomig gas zet adiabatisch uit en verricht hierbij 7500 J aan arbeid. Wat is de temperatuurverandering van het gas gedurende deze expansie? (II) Bepaal (a) de verrichte arbeid, en (b) de verandering in inwendige energie van 1,00 kg water wanneer het allemaal aan de kook wordt gebracht tot stoom van 100 C. Ga uit van een constante druk van 1,00 atm. (II) Hoeveel arbeid wordt er verricht door een pomp bij het geleidelijk isotherm comprimeren van 3,50 l stikstof van 0 C en 1,00 atm tot 1,80 l bij 0 C? (II) Wanneer een gas het pad langs de getekende kromme uit fig. 19.32 van a naar c doorloopt, is de verrichte arbeid door het gas Q = −35 J en de aan het gas toegevoerde warmte Q = −63 J. Langs pad abc is de verrichte arbeid W = −54 J. (a) Wat is Q voor pad abc? (b) Als Pc = 1/2Pb, wat is dan W voor pad cda? (c) Wat is Q voor pad cda? (d) Wat is Einw,a − Einw,c? (e) Als Einw,d − Einw,c = 12 J, wat is dan Q voor pad da?

P

c

b

a

c

d


0

5,9 L 9,3 L

V

32. (II) Het PV-diagram in fig. 19.31 toont twee mogelijke toestanden van een systeem dat 1,55 mol van een eenatomig ideaal gas bevat. (P1 = P2 = 455 N/m2, V1 = 2,00 m3, V2 = 8,00 m3). (a) Teken een grafiek van een isobare expansie van toestand 1 naar toestand 2, en noem dit proces A. (b) Bepaal de arbeid die door het gas wordt verricht en de verandering in de inwendige energie van het gas bij proces A. (c) Teken de grafiek van het tweestapsproces bestaande

602

Vraagstukken

FIGUUR 19.32 Vraagstukken 38, 39 en 40.

0

V

39. (III) Als een gas vanuit toestand a in toestand c wordt gebracht via de kromme uit fig. 19.32, komt er 85 J aan warmte vrij uit het systeem en wordt er 55 J arbeid op het systeem verricht. (a) Bepaal de verandering in inwendige energie, Einw,a − Einw,c. (b) Wanneer het gas langs het pad

cda wordt gevoerd, is de door het gas verrichte arbeid W = 38 J. Hoeveel warmte Q wordt bij het proces cda toegevoegd aan het gas? (c) Als Pa = 2,2Pd, hoeveel arbeid wordt er dan door het gas verricht in het proces abc? (d) Wat is Q voor pad abc? (e) Als Einw,a − Einw,b = 15 J, wat is Q dan voor het proces bc? Hier is een overzicht van wat er gegeven is:

Qa!c ¼ 85 J Wa!c ¼ 55 J Wcda ¼ 38 J Einw;a Einw;b ¼ 15 J Pa ¼ 2,2Pd : 40. (III) Stel dat een gas met de klok mee de rechthoek uit fig. 19.32 doorloopt, beginnend in b, dan naar a, d, c, en weer eindigend in b. Gebruik de waarden uit vraagstuk 39 en (a) beschrijf iedere tak van het proces, en (b) bereken de nettoarbeid die gedurende de cyclus wordt verricht, (c) bereken de totale verandering van de inwendige energie gedurende de cyclus, en (d) de netto warmtestroom tijdens de cyclus. (e) Welk percentage van de opgenomen warmte werd omgezet in bruikbare arbeid, dat wil zeggen: hoe efficiënt is deze ‘rechthoekscyclus’ (uitgedrukt in een percentage)? *41. (III) Bepaal de arbeid die wordt verricht door 1,00 mol van een Van der Waals-gas (paragraaf 18.5) wanneer dit isotherm expandeert van volume V1 tot V2. 19.8 Moleculaire soortelijke warmte voor gassen; equipartitie van energie 42. (I) Wat is de inwendige energie van 4,50 mol van een ideaal tweeatomig gas bij 645 K, aangenomen dat alle graden van vrijheid actief zijn? 43. (I) Als een verwarming een kamer van 3,5 m 4,6 m 3,0 m die lucht van 20 C en 1,0 atm bevat voorziet van 1,8 106 J/u, hoeveel zal de temperatuur dan in één uur stijgen, aangenomen dat er geen warmte of luchtmassa naar buiten weglekt? Neem aan dat lucht een ideaal tweeatomig gas is met molecuulmassa 29. 44. (I) Toon aan dat wanneer de moleculen van een gas n graden van vrijheid hebben, dat dan de theorie voorspelt dat CV = 12nR en CP = 12(n + 2)R. 45. (II) Een bepaald eenatomig gas heeft soortelijke warmte cV = 0,0356 kcal/(kg C), die binnen een breed temperatuurbereik weinig verandert. Wat is de atoommassa van dit gas? Welk gas is het? 46. (II) Toon aan dat de arbeid die door n mol van een ideaal gas bij adiabatische expansie wordt verricht, gelijk is aan W = nCV(T1 − T2), met T1 en T2 respectievelijk de begin- en eindtemperatuur, en CV de molaire soortelijke warmte bij constant volume. 47. (II) Een concertzaal van 22.000 m3 is gevuld met 1800 bezoekers. Als er geen ventilatie zou zijn, hoeveel zou de luchttemperatuur in 2,0 u stijgen als gevolg van de stofwisseling van de mensen (70 W per persoon)? 48. (II) De soortelijke warmte bij constant volume van een bepaald gas is 0,182 kcal/(kg K) bij kamertemperatuur en de molecuulmassa is 34. (a) Wat is de soortelijke warmte bij constante druk? (b) Wat is volgens jou de molecuulstructuur van dit gas? 49. (II) Een monster van 2,00 mol stikstofgas wordt bij constante druk verhit van 0 C tot 150 C (1,00 atm). Bepaal

(a) de verandering in inwendige energie, (b) de door het gas verrichte arbeid (c) de aan het gas toegevoerde warmte. 50. (III) Een monster van 1,00 mol van een ideaal tweeatomig gas bij een druk van 1,00 atm en een temperatuur van 420 K doorloopt een proces waarbij de druk lineair toeneemt met de temperatuur. De eindtemperatuur en druk zijn 720 K en 1,60 atm. Bepaal (a) de verandering in inwendige energie, (b) de door het gas verrichte arbeid en (c) de aan het gas toegevoerde warmte. (Ga uit van vijf actieve graden van vrijheid.) 19.9 Adiabatische expansie van een gas 51. (I) Een monster van 1,0 mol van een ideaal tweeatomig gas, aanvankelijk bij 1,00 atm en 20 C, zet adiabatisch uit tot 1,75 maal het beginvolume. Wat zijn de einddruk en eindtemperatuur van het gas? (Neem aan dat er geen moleculaire trillingen zijn.) 52. (II) Toon met behulp van vgl. 19.6 en 19.15 aan dat de arbeid die verricht wordt door een gas dat geleidelijk adiabatisch expandeert van druk P1 en volume V1 naar P2 en V2, wordt gegeven door W = (P1V1 − P2V2)/( − 1). 53. (II) Een monster van 3,65 mol van een ideaal tweeatomig gas zet adiabatisch uit van een volume van 0,1210 m3 tot 0,750 m3. Aanvankelijk was de druk 1,00 atm. Bepaal (a) de begin- en eindtemperatuur, (b) de verandering in inwendige energie, (c) de door het gas verloren warmte en (d) de op het gas verrichte arbeid. (Neem aan dat er geen moleculaire trillingen zijn.) 54. (II) Een ideaal eenatomig gas, bestaande uit 2,8 mol met een volume van 0,086 m3, zet adiabatisch uit. De begin- en eindtemperatuur zijn respectievelijk 25 C en −68 C. Wat is het eindvolume van het gas? 55. (III) Een monster van 1,00 mol van een ideaal eenatomig gas, aanvankelijk onder een druk van 1,00 atm, doorloopt een driestapsproces: (1) het expandeert adiabatisch van T1 = 588 K tot T2 = 389 K; (2) het wordt gecomprimeerd bij constante druk totdat de temperatuur gelijk is aan T3; (3) het keert via een constant-volumeproces terug naar de oorspronkelijke druk en temperatuur. (a) Teken deze processen in een PV-diagram. (b) Bepaal T3. (c) Bereken voor elk proces de verandering in inwendige energie, de door het gas verrichte arbeid en de aan het gas toegevoerde warmte, en (d) doe dit ook voor de gehele cyclus. 56. (III) Beschouw een luchtpakketje dat naar een andere hoogte y in de atmosfeer van de aarde beweegt (fig. 19.33). Als het pakketje hoogte verliest, krijgt het de druk P van de omringende lucht. Uit vgl. 13.4 weten we dat dP ¼ g dy waarbij de hoogteafhankelijke dichtheid van het pakketje is. Gedurende deze beweging zal het volume van het pakketje veranderen, en, omdat lucht een slechte warmtegeleider is, nemen we aan dat deze expansie of inkrimping adiabatisch zal plaatsvinden. (a) Ga uit van vgl. 19.15, PV = constant, en laat zien dat voor een ideaal gas dat een adiabatisch proces ondergaat, P1− T =constant. Toon vervolgens aan dat het verband tussen de druk en de temperatuur van het pakje wordt gegeven door dP P dT þ ¼0 ð1 Þ dy T dy


603

y

‘Pakketje’ of N luchtmoleculen y=0

61. (II) Een keramische (ε = 0,70) en een metalen theepot (ε = 0,10) bevatten elk 0,55 l thee van 95 C. (a) Geef een schatting van het warmteverlies van elk, en (b) geef voor elk een schatting van het temperatuurverlies na 30 min. Beschouw uitsluitend straling, en ga uit van een omgevingstemperatuur van 20 C. 62. (II) Een koperen en een aluminium staaf met dezelfde lengte en dwarsdoorsnede worden bij de uiteinden aan elkaar bevestigd (fig. 19.34). Het koperen uiteinde wordt in een oven geplaatst die op een constante temperatuur van 225 C wordt gehouden. Het aluminiumuiteinde wordt in een ijsbad geplaatst dat op een constante temperatuur van 0,0 C wordt gehouden. Bereken de temperatuur op het verbindingspunt van de twee staven.

Koper


225°C en dus

T=?

0,0°C


ð1 Þðg Þ þ

P dT ¼ 0: T dy

(b) Combineer de ideale gaswet met het resultaat uit onderdeel (a) om aan te tonen dat het verband tussen de verandering in de temperatuur van het pakketje en de hoogteverandering wordt gegeven door dT 1 mg ¼ dy k met m de gemiddelde massa van een luchtmolecuul en k de constante van Boltzmann. (c) Gebruik het feit dat lucht een tweeatomig gas is met een gemiddelde molecuulmassa van 29, en toon aan dat dT/dy = −9,8 C/km. Deze waarde wordt de adiabatische gradiënt voor droge lucht genoemd. (d) In Californië dalen de de overheersende westenwinden af van een van de grootste hoogten (de 4000 m hoge Sierra Nevada) tot een van de grootste diepten (Death Valley, −100 m) van het vasteland van de Verenigde Staten. Als een droge wind op de top van de Sierra Nevada een temperatuur van −5 C heeft, wat is dan de temperatuur van de wind nadat hij is afgedaald tot Death Valley? 19.10 Geleiding, convectie en straling 57. (I) (a) Hoeveel vermogen wordt er uitgestraald door een bol van wolfraam (emissiviteit ε = 0,35) met een straal van 16 cm bij een temperatuur van 25 C? (b) Als de bol is opgesloten in een ruimte waarvan de wanden op −5 C worden gehouden, wat is dan de netto energiestroom per seconde uit de bol? 58. (I) Eén uiteinde van een 45 cm lange koperen staaf met een diameter van 2,0 cm wordt op 460 C gehouden, en het andere uiteinde wordt ondergedompeld in water van 22 C. Bereken de warmtegeleiding langs de staaf. 59. (II) Hoe lang doet de zon erover om een blok ijs van 0 C met een vlak horizontaal opervlak van 1,0 m2 en dikte 1,0 cm te smelten? Neem aan dat de zonnestralen een hoek van 35 maken met de verticaal en dat de emissiviteit van ijs 0,050 is. 60. (II) Warmtegeleiding door de huid. Stel dat 150 W aan warmte door geleiding vanuit de haarvaten van het bloed onder de huid naar het lichaamsoppervlak van 1,5 m2 stroomt. Als het temperatuurverschil 0,50 C is, geef dan een schatting van de gemiddelde afstand van de haarvaten tot het huidoppervlak.

604

Aluminium

Vraagstukken

63. (II) (a) Geef met behulp van de zonneconstante een schatting welk vermogen aan energie de aarde ontvangt van de zon. (b) Neem aan dat de aarde een gelijke hoeveelheid straling terug de ruimte in stuurt (dat wil zeggen: de aarde is in evenwicht). Geef dan, ervan uitgaande dat de aarde een volmaakte uitstraler is (ε = 1,0), een schatting van de gemiddelde oppervlaktetemperatuur. (Hint: gebruik oppervlakte A ¼ 4rE2 ; en leg uit waarom.) 64. (II) Een gloeilamp van 100 W genereert 95 W aan warmte, die wordt gedissipeerd via een glazen bol met een straal van 3,0 cm en een dikte van 0,50 mm. Wat is het temperatuurverschil tussen het binnenen het buitenoppervlak van de bol? 65. (III) Een binnenthermostaat wordt gewoonlijk ingesteld op 22 C, maar ’s nachts voor een periode van negen uur teruggezet naar 12 C. Geef een schatting hoeveel warmte er extra nodig zou zijn (uitgedrukt in een percentage van het dagelijks verbruik) als de thermostaat ’s nachts niet zou worden teruggezet. Neem aan dat de buitentemperatuur voor de negen nachtelijke uren gemiddeld 0 C is en voor de rest van de dag 8 C, en dat het warmteverlies van het huis evenredig is met het verschil tussen de binnenen buitentemperatuur. Om een schatting voor de gegevens te verkrijgen, moet je andere vereenvoudigende aannames maken; geef aan welke dat zijn. 66. (III) Hoe lang duurt het bij benadering voordat 9,5 kg ijs van 0 C smelt wanneer dit in een zorgvuldig verzegelde piepschuim vrieskist van 25 cm 35 cm 55 cm wordt geplaatst, waarvan de wanden 1,5 cm dik zijn? Neem aan dat het geleidingsvermogen van piepschuim het dubbele is van dat van lucht en dat de buitentemperatuur 34 C is. 67. (III) Een cilindrische pijp heeft een inwendige straal R1 en een uitwendige straal R2. Het inwendige van de pijp bevat heet water met temperatuur T1. De buitentemperatuur is T2 (< T1). (a) Toon aan dat het warmteverlies per tijdseenheid voor een stuk pijp met lengte L gelijk is aan dQ 2k ðT1 T2 ÞL ; ¼ dt lnðR2 =R1 Þ met k de thermische conductiviteit van de pijp. (b) Stel de pijp is van staal en R1 = 3,3 cm, R2 = 4,0 cm en T2 = 18 C. Als de pijp stilstaand water van T1 = 71 C bevat, wat is dan het temperatuurverlies per tijdseenheid in het begin? (c) Stel dat water van 71 C de pijp verlaat en zich ver-

Baksteen Isolatie (R1) (R2)

plaatst met een snelheid van 8,0 cm/s. Wat is dan de temperatuurdaling per afgelegde cm? 68. (III) Stel dat de isolerende eigenschappen van de muur van een huis voornamelijk afkomstig zijn van een laag baksteen van 10,0 cm en een R-3,35 isolatielaag, zoals weergegeven in fig. 19.35. Wat is het totale vermogen aan warmteverlies door een dergelijke muur, als de totale oppervlakte 18 m2 en het temperatuurverschil over de dikte van de wand 7 C is?

T2

T1 Warmtestroom

FIGUUR 19.35 Vraagstuk 68. Twee isolatielagen van een muur.

Algemene vraagstukken 69. Een blikje frisdrank kan circa 0,20 kg vloeistof van 5 C bevatten. Het drinken van deze vloeistof kan feitelijk iets van het vet van het lichaam verbruiken, omdat er energie nodig is om de vloeistof op te warmen tot lichaamstemperatuur (37 C). Hoeveel kilocalorieën moet de drank bevatten opdat deze perfect in balans is met de warmte die nodig is om de drank (in hoofdzaak water) te verwarmen? 70. (a) Bepaal het totale vermogen dat door de zon naar de ruimte wordt uitgestraald, ervan uitgaande dat de zon bij T = 5500 K een perfecte uitstraler is. De straal van de zon is 7,0 108 m. (b) Bepaal hieruit het vermogen per eenheidsoppervlak dat op aarde arriveert, op een afstand van 1,5 1011 m. 71. Geef, om een idee te krijgen hoeveel thermische energie de oceanen op de wereld bevatten, een schatting van de warmte die vrijkomt wanneer een kubus van oceaanwater met een ribbe van 1 km, 1 K wordt afgekoeld. (Behandel voor deze schatting het oceaanwater als zuiver water.) 72. Een bergbeklimmer draagt een ganzendonzen jas van 3,5 cm dik en met een totale oppervlakte van 0,95 m2. De temperatuur aan de oppervlakte van de kleding is −18 C en op de huid 34 C. Bepaal het vermogen van de warmtestroom door de jas (a) ervan uitgaande dat deze droog is en dat de thermische conductiviteit k die van ganzendons is, en (b) ervan uitgaande dat de jas nat is, dus k is de k van water en de jas is in elkaar gaan klitten tot een dikte van 0,50 cm. 73. Gedurende lichte activiteit kan iemand van 70 kg 200 kcal/u genereren. Geef, ervan uitgaande dat 20 procent hiervan wordt omgezet in nuttige arbeid en de andere 80 procent in warmte, een schatting van de temperatuurstijging van het lichaam na 30 min, als er geen warmte wordt afgestaan aan de omgeving. 74. Geef een schatting van het vermogen waarmee warmte van het inwendige van het lichaam geleid wordt naar het oppervlak. Ga uit van een weefseldikte van 4,0 cm, een huidtemperatuur van 34 C en een inwendige temperatuur van 37 C, en van een uitwendige oppervlakte van 1,5 m2. Vergelijk dit met de gemeten waarde van circa 230 W die moet worden gedissipeerd door iemand die lichte arbeid verricht. Dit toont duidelijk de noodzaak aan van convectieve afkoeling door het bloed. 75. Een marathonloopster heeft tijdens een wedstrijd een gemiddelde stofwisselingssnelheid van circa 950 kcal/u. Als de hardloopster een massa van 55 kg heeft, geef dan een schatting hoeveel vocht zij via verdamping op de huid verliest gedurende een wedstrijd van 2,2 u.

76. Een huis heeft goed geïsoleerde muren van 19,5 cm dik (ga uit van geleiding van lucht) en een oppervlakte van 410 m2, een houten dak van 5,5 cm dik en een oppervlakte van 280 m2, en onbedekte ramen van 0,65 cm dik en een totale oppervlakte van 33 m2. (a) Neem aan dat warmte alleen verloren gaat door geleiding en bereken het vermogen aan warmte dat aan dit huis moet worden geleverd om de binnentemperatuur op 23 C te houden als de buitentemperatuur −15 C is. (b) Als het huis aanvankelijk een temperatuur van 12 C heeft, geef dan een schatting hoeveel warmte er moet worden geleverd om de temperatuur binnen 30 min te laten stijgen tot 23 C. Neem aan dat uitsluitend de lucht moet worden verwarmd en dat het volume gelijk is aan 750 m3. (c) Als aardgas 0,080 per kilogram kost en de verbrandingswarmte 5,4 107 J/kg bedraagt, hoe groot zijn dan de maandelijkse kosten om het huis 24 uur per dag zoals in onderdeel (a) te houden, ervan uitgaande dat 90 procent van de geproduceerde warmte wordt gebruikt voor het verwarmen van het huis? Neem de soortelijke warmte van lucht gelijk aan 0,24 kcal/(kg C). 77. Bij een doorsnee partijtje squash (fig. 19.36), slaan twee mensen een zachte rubberen bal tegen een muur totdat ze er bijna bij neervallen als gevolg van uitdroging en vermoeidheid. Neem aan dat de bal de muur raakt met een snelheid van 22 m/s en weerkaatst met een snelheid van 12 m/s, en dat de kinetische energie die bij het proces verloren gaat, de bal opwarmt. Wat is de temperatuurstijging van de bal na één weerkaatsing? De soortelijke warmte van rubber is circa 1200 J/(kg C).



605

78. Een fietspomp is een cilinder van 22 cm lang en 3,0 cm doorsnee. De pomp bevat lucht van 20,0 C en 1,0 atm. Als de uitgang onderaan de pomp geblokkeerd is en de hendel zeer snel wordt ingedrukt, waardoor de lucht tot de helft van zijn oorspronkelijke volume wordt gecomprimeerd, hoe heet wordt dan de lucht in de pomp? 79. 250 g water wordt verwarmd in een magnetron. Op zijn maximumstand kan de oven de temperatuur van het vloeibare water in 1 min 45 s (= 105 s) verhitten van 20 C tot 100 C. (a) Met welk vermogen voert de magnetron energie toe aan het vloeibare water? (b) Het toegevoerde vermogen van de magnetron naar het water blijft constant. Bepaal hoeveel gram water wegkookt als de magnetron 2 min aanstaat (in plaats van slechts 1 min 45 s). 80. De temperatuur binnen de aardkorst neemt met elke 30 m diepte circa 1,0 C toe. De thermische conductiviteit van de aardkorst is 0,80 W/(m C). (a) Bepaal voor de gehele aarde de hoeveelheid warmte die in 1,0 u wordt overgedragen van het inwendige naar het oppervlak. (b) Vergelijk deze warmte met de hoeveelheid energie die de aarde binnenkrijgt als gevolg van de straling van de zon. 81. Op een meer vormt zich een ijslaag. De temperatuur van de lucht boven de laag is −18 C, die van het water 0 C. Neem aan dat de smeltwarmte van het water dat aan de onderkant van de laag bevriest, door de laag naar de lucht erboven wordt geleid. Hoe lang duurt het om een laag ijs van 15 cm dik te vormen? 82. Bij het ingaan van de dampkring smelt een ijzeren meteroriet. Als de begintemperatuur buiten de dampkring −105 C was, bereken dan de minimale snelheid die de meteoriet moet hebben gehad alvorens de dampkring binnen te gaan. 83. Een diepzeeduiker laat vanaf een diepte van 14,0 m een luchtbel met een diameter van 3,60 cm gaan. Neem aan dat de temperatuur constant 298 K is, en dat de lucht zich gedraagt als een ideaal gas. (a) Hoe groot is de bel wanneer deze aan de oppervlakte komt? (b) Schets een PV-diagram van het proces. (c) Pas de eerste hoofdwet van de thermodynamica toe op de bel, en bepaal de arbeid die de lucht verricht om de bel naar de oppervlakte te brengen, de verandering in zijn inwendige energie, en de toe- of afgevoerde warmte van de lucht in de bel bij het opstijgen. Neem de dichtheid van water gelijk aan 1000 kg/m3. 84. Een zuigercompressor is een apparaat dat lucht comprimeert door een heen-en-weerbeweging in één rechte lijn, zoals een zuiger in een cilinder. Beschouw een zuigercompressor die werkt op 150 omw/min. Tijdens een compressieslag wordt 1,00 mol aan lucht gecomprimeerd. De begintemperatuur van de lucht is 390 K, de motor van de compressor levert een vermogen van 7,5 kW om de lucht te comprimeren, en er wordt warmte afgevoerd met een vermogen van 1,5 kW. Bereken de temperatuurverandering per compressieslag. 85. Bij een kamertemperatuur van 18 C is de temperatuur van het glasoppervlak van een gloeilamp van 75 W 75 C. Maak

86.

87.

88.

89.

90.

een schatting van de oppervlaktemperatuur van een gloeilamp van 150 W met een glazen bol van dezelfde afmeting. Beschouw alleen straling, en ga ervan uit dat 90 procent van de energie wordt uitgezonden in de vorm van warmte. Stel dat 3,0 mol neon (een ideaal eenatomig gas) bij STP langzaam en isotherm wordt gecomprimeerd tot 0,22 maal het oorspronkelijke volume. Vervolgens laat men het gas snel en adiabatisch expanderen tot het oorspronkelijke volume. Bepaal de hoogste en laagste temperaturen en drukken die door het gas worden bereikt, en laat in een PV-diagram zien waar deze waarden voorkomen. Bij zeer lage temperaturen is de molaire soortelijke warmte van veel stoffen evenredig met de derde macht van de abso3 lute temperatuur: C ¼ k TT 3 ; hetgeen soms ook wel de wet 0 van Debye wordt genoemd. Voor bergzout is T0 = 281 K en k = 1940 J/(mol K). Bepaal de warmte die nodig is om 2,75 mol zout te verwarmen van 22,0 K tot 48,0 K. Een dieselmotor kan starten zonder een ontstekingsplug door adiabatische compressie van lucht tot een temperatuur boven de ontbrandingstemperatuur van de dieselvloeistof, die bij de maximale compressie wordt geïnjecteerd in een cilinder. Neem aan dat de lucht bij 280 K en volume V1 in de cilinder gaat en adiabatisch wordt gecomprimeerd tot 560 C en volume V2. Aangenomen dat de lucht zich gedraagt als een ideaal gas waarvan de verhouding CP tot CV gelijk is aan 1,4, bereken dan de compressieverhouding V1/V2 van de motor. Wanneer 6,30 105 J aan warmte wordt toegevoerd aan een gas in een cilinder, afgesloten door een lichte wrijvingsloze zuiger, waardoor het gas op atmosferische druk blijft, blijkt het volume toe te nemen van 2,2 m3 tot 4,1 m3. Bereken (a) de arbeid die door het gas wordt uitgevoerd en (b) de verandering in de inwendige energie van het gas. (c) Geef dit proces weer in een PV-diagram. In een koude omgeving kan iemand warmte verliezen door geleiding en straling, met een vermogen van circa 200 W. Geef een schatting hoe lang het duurt voor de lichaamstemperatuur daalt van 36,6 C tot 35,6 C als de stofwisseling tijdens dit proces bijna tot stilstand komt. Ga uit van een massa van 70 kg. (Zie tabel 19.1.)

*Numeriek/computer *91. (II) Stel dat 1,0 mol stoom van 100 C met een volume van 0,50 m3 isotherm uitzet tot een volume van 1,00 m3. Neem aan dat stoom voldoet aan de Van der Waals-vergelijking (P + n2a/V2)(V/n − b)= RT, vgl. 18.9, met a = 0,55 N m4/ mol2 en b = 3,0 10−5 m3/mol. Bepaal met behulp van het verband dW = P dV numeriek de totale verrichte arbeid W. Je resultaat mag niet meer dan 2 procent afwijken van het resultaat dat wordt verkregen door integratie van de uitdrukking voor dW.

Antwoorden op de opgaven A: B: C: D:

606

(b). (c). 0,21 kg. 700 J.

Antwoorden op de opgaven

E: Minder. F: −6,8 103 J. G: (d).

Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica

Recommend Documents